JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN

JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN Esko Suhonen Fysikaalisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2001, pienin korjauksin 2010

Sisältö 1 SUHTEELLISUUSTEORIAN SYNTY 2 11 Newtonin mekaniikan peruslait ja Newtonin suhteellisuusperiaate 2 12 Mihelsonin ja Morleyn koe 3 13 Suhteellisuusteorian peruspostulaatit 6 2 LORENTZIN KOORDINAATISTOMUUNNOS JA SEN VÄLITTÖMIÄ SEURAUKSIA 6 21 Lorentzin koordinaatistomuunnos 6 22 Samanaikaisuuden suhteellisuus 9 23 Pituuden kontraktio 9 24 Ajan dilataatio 9 25 Suhteellisuusteoreettinen nopeuden muunnos 10 26 Nopeuden suuntakulman muunnos ja liikkuvan hiukkasen valoemissio 11 3 NELIULOTTEINEN AVARUUS-AIKA- MAAILMA 12 31 Minkowskin diagrammit 12 32 Hyperbolinen koordinaatiston kierto ja viivaelementti 14 33 Kaksosparadoksi 16 4 KINEMAATTISIA SUUREITA 17 41 Paikkavektori ja ominaisaika 17 42 Nelinopeus ja nelikiihtyvyys 18 5 RELATIVISTISTA DYNAMIIKKAA 19 51 Lepomassa ja liikemassa 19 52 Suhteellisuusteoreettinen dynamiikan perusyhtälö 21 53 Lepomassan vakioisuus 21 54 Massan ja energian ekvivalenssi 22 55 Neliliikemäärä 23 56 Einsteinin fotoniteoria 24 6 SÄILYMISLAKIEN SOVELLUTUKSIA HIUKKASKINEMATIIKKAAN 25 61 Dopplerin ilmiö 25 62 Comptonin sironta 26 63 Hiukkasen hajonta 28 64 Elastinen sironta 29 65 Hiukkasreaktion kynnysenergia 32 1

1 SUHTEELLISUUSTEORIAN SYNTY 11 Newtonin mekaniikan peruslait ja Newtonin suhteellisuusperiaate Useimmat fysiikan kokeet suoritetaan maanpinnalla levossa olevassa laboratoriossa Tällöin on kokeen suorittajan kannalta yksinkertaisinta antaa koetulokset koordinaatistossa, joka on levossa maanpinnan suhteen Tällaista koordinaatistoa sanotaan maan lepokoordinaatistoksi tai myös laboratoriokoordinaatistoksi Sen sijaan liikuttaessa esim suurella valtamerialuksella, on aluksen sisällä tapahtuvien tapahtumien kuvaamiseen alukseen kiinnitetty koordinaatisto eli aluksen lepokoordinaatisto yksinkertaisin Kokemuksesta tiedämme, että tasainen suoraviivainen liike ei lainkaan vaikuta fysikaalisiin tapahtumiin Esimerkiksi tyynellä merellä tasaisella nopeudella liikkuvan aluksen matkustajat voivat pelata pöytätennistä yhtä vaivattomasti kuin kuivalla maalla Katsomatta aluksen ulkopuolelle ei matkustaja edes tiedä, onko alus liikkeellä vai levossa Newtonin dynamiikan I peruslaki eli jatkavuuden laki asettaakin lepotilan ja tasaisen suoraviivaisen liikkeen samaan asemaan Jatkavuuden lain mukaan massapiste, johon mikään voima ei vaikuta, pysyy levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä Onko massapiste levossa vai liikkeessä riippuu vertailutilasta, jossa havainnot tehdään Esim liikkuvan laivan masto on levossa laivan suhteen, mutta liikkuu maamerkkien suhteen Jatkavuuden laki ei alkuperäisessä muodossaan pidä paikkansa kaikissa koordinaatistoissa Jos kappaleen liike mitataan esim vauhtiaan hidastavaan laivaan kiinnitetyssä koordinaatistossa, todetaan, ettei voiman puuttuminen merkitsekään kappaleen lepotilaa tai sen tasaista suoraviivaista liikettä Laivaa jarrutettaessa siellä oleviin kappaleisiin näyttää vaikuttavan voimia, jotka pyrkivät antamaan kappaleille kiihtyvyyden alkuperäisen liikkeen suuntaan Näitä voimia nimitetään hitausvoimiksi ja ne on otettava huomioon, jotta jatkavuuden lakia voitaisiin soveltaa kiihtyvissä koordinaatistoissa Havaitsijaa, joka toteaa jatkavuuden lain pitävän alkuperäisessä muodossaan paikkansa, nimitetään inertiaalihavaitsijaksi Inertiaalihavaitsijalle testikappaleen kiihtyvyyden puuttuminen merkitsee kyseiseen kappaleeseen vaikuttavan voiman puuttumista ja kappaleen kiihtyvyys taas osoittaa kappaleeseen vaikuttavan jonkin ulkoisen voiman Koordinaatistot, joihin kiinnitetyt havaitsijat toteavat jatkavuuden lain pitävän paikkansa, ovat inertiaalikoordinaatistoja Tässä monisteessa rajoitutaan tapahtumien kuvaamiseen yksinomaan inertiaalikoordinaatistoissa Newtonin mekaniikan perusvertailujärjestelmä on absoluuttisessa levossa oleva koordinaatisto, jota ei voida kuitenkaan kokeellisesti löytää Vapaan eli inertiaaliliikkeen nopeus absoluuttisessa avaruudessa mitattuna on vakio Absoluuttisen avaruuden suhteen tasaisella nopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Siirtyminen inertiaalikoordinaatistosta toiseen tapahtuu Newtonin mekaniikassa Galilein koordinaatistomuunnoksen avulla Olkoot K ja K kaksi inertiaalikoordinaatistoa, joiden akselit ovat yhdensuuntaiset Liikkukoon koordinaatisto K koordinaatiston K suhteen tasaisella nopeudella v positiivisen x-akselin suuntaan (Kuva 1) Oletetaan, että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = 0 Newtonin mekaniikassa oletetaan aika absoluuttiseksi eli samaksi jokaiselle havaitsijalle Galilein koordinaatistomuunnos kuvan 1 liiketapauksessa on Vektorimuodossa esitettynä r = r vt { x = x vt y = y z = z Jos massapisteen nopeus on u = dr/dt koordinaatistossa K ja u = dr /dt koordinaatistossa K, saadaan yhtälöistä (1) ajan suhteen derivoimalla nopeuskomponenttien Galilein muunnosyhtälöt u x = u x v u y = u y u z = u z Yhtälöiden (2) derivointi antaa kiihtyvyydelle a = du/dt saman arvon molemmissa koordinaatistoissa eli a = a Newtonin dynamiikan II peruslain eli liikelain mukaan on ulkoisen voiman f massapisteelle antama liikemäärän muutos dp suoraan verrannollinen vaikuttavaan voimaan ja tapahtuu voiman suunnassa eli f = dp dt = d (mu), (3) dt missä u on massapisteen nopeus, m sen massa ja t aika Mikäli massa on ajan suhteen vakio, yhtälö (3) voidaan kirjoittaa muotoon (1) (2) 2

y u vt y r v u r z K x K z x Kuva 1: Kaksi inertiaalikoordinaatistoa K ja K, joiden vastinakselit ovat yhdensuuntaiset K liikkuu K:n suhteen nopeudella v x-akselin suuntaan f = ma (4) Klassillisessa fysiikassa massan oletetaan olevan riippumaton kappaleen liikkeestä, joten tulo ma on sama molemmille havaitsijoille K ja K Jos yhtälö (3) tai (4) tulkitaan voiman määritelmäksi, seuraa tästä, että f = f Newtonin dynamiikan III peruslaki eli vaikutuksen ja vastavaikutuksen laki ilmaisee, että jos massapiste A vaikuttaa massapisteeseen B voimalla f A B, niin B vaikuttaa A:han voimalla f A B Newtonin mekaniikassa aika on absoluuttista, mikä edellyttää ääretöntä signaalinopeutta Tarkastellaan kahdessa eri avaruuden pisteessä olevien kellojen synkronointia Ajan siirtämiseksi kellosta toiseen tarvitaan signaali, jonka nopeus tunnetaan Nopeuden mittaus taas edellyttää ajan mittausta kahdessa eri pisteessä, joten ajan tulisi olla jo siirrettynä Mikäli aika on absoluuttista, niin ainoa ratkaisu on, että signaalinopeus on ääretön Myös Newtonin III laki edellyttää, että voiman vaikutus pisteestä A pisteeseen B siirtyy äärettömän nopeasti Koska muut mekaniikan lait, kuten energian, liikemäärän ja kulmaliikemäärän säilymislait ovat Newtonin peruslakien seurauksia, ovat mekaniikan lait samanmuotoiset kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa Tämä sisältyy klassisen mekaniikan suhteellisuusperiaatteeseen, jonka mukaan toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvat koordinaatistot ovat mekaniikan ilmiöiden kannalta samanarvoisia Millään mekaniikan kokeella, joka suoritetaan kokonaisuudessaan yhdessä inertiaalikoordinaatistossa ei voida määrittää kyseisen koordinaatiston nopeutta jonkin toisen inertiaalikoordinaatiston suhteen Erikoisesti mitään absoluuttista lepotilaa ei ainakaan mekaniikan ilmiöiden kannalta ole olemassa, sillä mikä tahansa inertiaalikoordinaatisto on yhtä oikeutettu lepokoordinaatistoksi 12 Mihelsonin ja Morleyn koe Sähkömagnetismin perusyhtälöistä, Maxwellin yhtälöistä, voidaan johtaa sähkö- ja magneettikentille aaltoyhtälöt, joiden perusteella voidaan päätellä sähkömagneettisten häiriöiden etenevän aaltoliikkeenä, jonka etenemisnopeus tyhjiössä on valonnopeus Viime vuosisadan lopulla, jolloin mekaaninen ajattelutapa ohjasi fysiikan teoriain muodostusta, ajateltiin, etteivät sähkömagneettiset aallot (esim valoaallot) voisi edetä tyhjiössä Ääni- ja vesiaaltojen tavoin valoaaltojenkin ajateltiin liikkuvan väliaineessa, joka täysin läpinäkyvänä ja painottoman täyttäisi koko avaruuden Tästä hypoteettisestä väliaineesta käytettiin nimitystä eetteri Absoluuttisen avaruuden ajateltiin määrittelevän järjestelmän, jonka suhteen maailmaneetteri on levossa Valonnopeus eetterin lepokoordinaatistossa K on kaikissa suunnissa sama = 2997925 10 10 m/s eli nopeus, jota sanomme valon tyhjiönopeudeksi (Kuva 2a) Koordinaatistossa K oleva havaitsija mittaa eri suuntiin liikkuvalle valolle eri nopeudet, mikäli nopeuden muunnosyhtälöt (2) ovat oikeat (Kuva 2b) x -akselin positiiviseen ja negatiiviseen suuntaan liikkuvan valon nopeuksien komponenteiksi saadaan yhtälöistä (2) { u x = v u y = 0 { u x = + v u y = 0 (5) (6) Tarkastellaan sitten koordinaatistossa K y -akselin suunnassa liikkuvaa valonsädettä Koska K liikkuu K:n suhteen x-akselin suuntaisella nopeudella v, on kyseisen valonsäteen nopeuden x-komponentti koordinaatistossa K u x = v 3

y y + v K 2a x 2 v 2 v K v 2b 2 v 2 Kuva 2: Eri suuntiin etenevän valon nopeudet inertiaalikoordinaatistoissa K ja K, ( joista K on eetterin lepokoordinaatisto ) mikäli klassiset nopeuden muunnosyhtälöt pitävät paikkansa x Koska valonnopeus eetterin lepokoordinaatistossa on kaikissa suunnissa, on 2 = v 2 +u y 2, u y = 2 v 2 ja yhtälöistä (2) saadaan { u x = 0 u y = 2 v 2 (7) Valonnopeus ei näin ollen säily invarianttina Galilein muunnoksissa Mikäli nämä muutokset todella soveltuisivat sähkömagneettisiin ilmiöihin, niin olisi olemassa vain yksi koordinaatisto, jossa mitattu valonnopeus olisi tarkasti Tämä koordinaatisto olisi eetterin lepokoordinaatisto ja sitä voitaisiin pitää absoluuttisena lepojärjestelmänä Määrittämällä valonnopeuden arvo jossakin muussa koordinaatistossa, saataisiin yhtälöiden (5) - (7) mukaan tämän koordinaatiston nopeus eetterin suhteen määritetyksi Mihelsonin vuonna 1881 suorittamassa ja Mihelsonin ja Morleyn v 1887 uusimassa kokeessa pyrittiin määrittämään maan ratanopeus absoluuttisen vertailujärjestelmän eli eetterin suhteen Periaatteena oli verrata maan rataliikkeen suunnassa ja sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa kulkevien valonsäteiden nopeuksia valon interferenssin avulla kuvan 3 osoittamaa koejärjestelyä käyttäen P 1 P S l 1 45 l 2 P 2 T Kuva 3: Mihelsonin ja Morleyn kokeen koejärjestely ( selitys oheisessa tekstissä ) Laboratoriossa levossa olevasta lähteestä S tuleva valosuihku jakautuu puoliläpäisevällä peilillä P kahteen osaan Peililtä P heijastunut valo ohjautuu peilille P 1 ja peilin P läpäissyt valo peilille P 2 Peilit P 1 ja P 2 heijastavat valon takaisin peiliin P, josta osa kumpaakin tietä kulkeneesta valosta tulee teleskooppiin T, missä eri suuntia kulkeneet valonsäteet interferoivat Odotettavissa on interferenssikuvio eri teitä kulkeneiden säteiden matkaerosta aiheutuvasta vaihe-erosta ja (kuten oletettiin) erisuuntaisten valonsäteiden erilaisesta nopeudesta johtuen Tarkastellaan aluksi peilin P 2 kautta kulkevaa valonsädettä ja oletetaan, että S P P 2 on maan rataliikkeen suunnassa Jos maan nopeus eetterin suhteen on v, niin valonnopeus on v suunnassa P P 2 ja + v suunnassa P 2 P (yhtälöt (5) ja (6) tai kuva 2b) Edestakaiseen matkaan P P 2 P = 2l 2 valolta kuluu aika t 2 = l 2 v + l 2 + v = 2l 2 2 v 2 = 2l 2γ 2, 4

missä γ = 1 1 (v/) 2 (8) Peilin P 1 kautta kulkevan säteen edestakaiseen matkaan P P 1 -P = 2l 1 käyttämä aika saadaan yhtälöiden (7) tai kuvan (2b) avulla: Eri reittejä kulkeneiden säteiden aikaero on t 1 = mikä havaitaan laitteistossa interferenssikuviona 2l 1 = 2l 1 2 v } {{ 2 γ } u y t = t 2 t 1 = 2γ (γl 2 l 1 ), Jatketaan koetta kiertämällä laitteistoa 90 o siten, että peiliin P 1 kulkeva säde etenee maan rataliikkeen suuntaan Vastaavilla laskuilla kuin edellä saadaan aikaeroksi t = t 2 t 1 = 2γ (l 2 γl 1 ) Laitteiston kiertämisen pitäisi siirtää interferenssijuovia määrällä, joka on suoraan verrannollinen aikojen t ja t erotukseen = t t = 2γ (γ 1)(l 1 + l 2 ) Siirtymän suuruus verrattuna interferenssijuovien etäisyyteen on S = T = 2(l 1 + l 2 ) γ(γ 1), (9) λ missä T = λ/ on säteilyjakson kesto ja λ säteilyn aallonpituus Pienten nopeuksien (v ) kyseessäollen kerroin γ voidaan approksimoida lausekkeella γ = 1 1 v2 / = 1 + 1 v 2 2 2 2 + jolloin suureelle S saadaan S (l 1 + l 2 )v 2 λ 2 (10) Mihelson ja Morley käyttivät laitteistoa, jolle l 1 + l 2 22 m Jos käytetyn valon aallonpituus on 55 10 7 m ja v:n oletetaan olevan maan ratanopeuden suuruusluokkaa (v 30 km/s), saadaan yhtälöstä (10) S=04 Näin suuri interferenssijuovien suhteellinen siirtymä olisi varmuudella havaittu Siirtymää ei kuitenkaan havaittu alkuperäisissä kokeissa eikä myöhemminkään koetta uusittaessa Yksinkertainen tapa selittää Mihelsonin ja Morleyn kokeen tulos on päätellä, että valonnopeudella on tarkasti sama lukuarvo kaikissa koordinaatistoissa ja kaikissa suunnissa Jos valonnopeudelle mitattu arvo ei riipu havaitsijan nopeudesta, kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat sähkömagneettisten ilmiöiden kannalta samanarvoisia Mitään absoluuttista lepojärjestelmää eli eetteriä ei siten olisi olemassa Kuitenkin tällainen selitys, joka ei ole sopusoinnussa klassisten nopeuden muunnosyhtälöiden kanssa, oli viime vuosisadan vaihteessa liian rohkea Lukuisia yrityksiä tehtiinkin Mihelsonin ja Morleyn koetuloksen ymmärtämiseksi siten, että eetterin käsite säilyisi Seuraavassa luetellaan tärkeimmät selitysyritykset ja niiden heikkoudet: 5

1 Maa kuljettaa eetterin mukanaan Tämä on selitys, jota Mihelson itse ehdotti Tähtivalon aberraatio, joka havaittiin jo 1729, osoittaa kuitenkin selityksen vääräksi Aberraatiolla ymmärretään tähtien aseman näennäistä siirtymistä vuodenaikojen mukaan pitkin ympyränkehää, jonka näkökulma on 41 Siirtyminen johtuu maan rataliikkeestä Valon kulkiessa suoraan yläpuolella olevaan tähteen suunnatun l-pituisen kaukoputken läpi, siirtyy kaukoputki maan rataliikkeen suuntaan matkan s=vt=vl/ Jotta tähti nähtäisiin, on putkea kallistettava kulma α, jonka suuruus on noin v/ 10 4 radiaania Kuuden kuukauden kuluttua maan rataliike on vastakkaissuuntainen ja aberraation suunta siten myös vastakkainen Kokonaisaberraatiokulma 2α = 2 10 4 = 41 on erinomaisen hyvin sopusoinnussa havaintojen kanssa Valon aberraatiosta voidaan päätellä, ettei eetteri kulje maan mukana Mikäli se kulkisi, niin eetteri olisi levossa maan suhteen, jolloin kaukoputkea ei tarvitsisi kallistaa eikä mitään aberraatiota myöskään havaittaisi 2 Kappaleet kutistuvat liikesuunnassa tekijällä 1 v 2 / 2 Lorentz kehitti kutistumisilmiön perusteella ns elektroniteorian, joka kuitenkin johtaa eräisiin efekteihin, joita ei ole kokeellisesti havaittu 3 Elektromagnetismin teoria on virheellinen Useimmat korjatuista teorioista perustuvat oletukselle, että valonnopeus on valolähteen suhteen ja on riippumaton sen väliaineen liiketilasta, jonka läpi valo kulkee Tällaisia teorioita kutsutaan emissioteorioiksi Koska Mihelsonin ja Morleyn kokeessa sekä valolähde että havaitsija ovat maan lepokoordinaatistossa, niin emissioteoriat selittävät kokeen lopputuloksen automaattisesti Emissioteoriat on kuitenkin voitu kokeellisesti kumota Ensiksikin, Mihelsonin ja Morleyn koe on suoritettu auringonvaloa käyttäen eikä mitään interferenssijuovien siirtymistä havaittu Toisaalta, tutkittaessa nopeiden pionien hajoamista, on syntyvän säteilyn nopeuden todettu olevan riippumaton hajoavien hiukkasten nopeudesta Samaan johtopäätökseen valonnopeuden riippumattomuudesta valolähteen nopeudesta on tultu myös kaksoistähtihavaintojen perusteella 13 Suhteellisuusteorian peruspostulaatit Einstein esitti v 1905 teorian, joka selitti Mihelsonin ja Morleyn kokeen tuloksen ja johti useihin uusiin myöhemmin kokeellisesti todettuihin ilmiöihin Tämän teorian lähtökohtana ovat seuraavat kaksi peruspostulaattia: 1) Kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat kaikkien fysiikan lakien suhteen samanarvoisia 2) Valonnopeus on riippumaton valolähteen ja havaitsijan nopeudesta Ensimmäinen peruspostulaatti on klassisen suhteellisuusperiaatteen suoranainen ja välttämätön laajennus Koska pelkästään mekaniikan piiriin kuuluvaa koetta ei ole olemassa, ei klassisella suhteellisuusperiaatteella ole fysikaalista sisältöä Einstein laajensi suhteellisuusperiaatteen käsittämään kaikki fysiikan alat ja ilmiöt Koska mitkään koetulokset eivät tukeneet absoluuttisen lepokoordinaatiston olemassaoloa, Einstein hylkäsi koko eetterikäsitteen asettamalla kaikki inertiaalikoordinaatistot tasavertaiseen asemaan Rajoittamalla suhteellisuusperiaate inertiaalikoordinaatistoihin, päädytään erikoiseen l suppeampaan suhteellisuusteoriaan Vaatimalla fysiikan lakien invarianssi myös toistensa suhteen kiihtyvässä liikkessä olevissa koordinaatistoissa, päästään yleisempään formalismiin, ns yleiseen suhteellisuusteoriaan (Tässä monisteessa rajoitutaan käsittelemään yksinomaan suppeampaa suhteellisuusteoriaa, josta käytetään nimitystä suhteellisuusteoria) Valonnopeuden vakioisuuden seurauksena on, että aika riippuu havaitsijan liiketilasta Koska nopeus on aikayksikössä kuljettu matka ja matka on käytetystä koordinaatistosta riippuva, on välttämätöntä, että myös aika on suhteellista Näin suhteellisuusteorian toinen peruspostulaatti romuttaa Newtonin mekaniikan absoluuttisen ajan käsitteen sekä Galilein muunnosyhtälöt Toinen peruspostulaatti antaa mahdollisuuden eri paikoissa ja eri liiketiloissa olevien kellojen osoittamien aikojen keskinäiseen vertailuun Vertailu voidaan suorittaa eri suuntiin yhtä suurella nopeudella etenevillä valosignaaleilla 2 LORENTZIN KOORDINAATISTOMUUNNOS JA SEN VÄLITTÖ- MIÄ SEURAUKSIA 21 Lorentzin koordinaatistomuunnos Pyrkimyksenä on suhteellisuusteorian peruspostulaattien avulla löytää muunnosyhtälöt kahden inertiaalikoordinaatiston välille Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi, että koordinaatistojen K ja K vastinakselit ovat yhdensuuntaiset, että 6

koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t = 0 sekä että koordinaatiston K liike tapahtuu yhteisen x- ja x -akselin suunnassa (Kuva 1) Olkoot jonkin tapahtuman koordinaatit x, y, z ja t koordinaatistossa K, sekä x, y, z ja t koordinaatistossa K Tarkastellaan aluksi etäisyyksiä liikesuuntaan nähden kohtisuorilla suunnilla Havaitsijoilla K ja K ajatellaan olevan metrimitat, jotka on todettu yhtäpitkiksi vertaamalla niitä levossa toisiinsa ja jotka on asetettu y- ja y -akselien suuntaisiksi Mikäli olisi y y, niin hetkellä, jolloin mitat ohittavat toisensa, olisi toinen niistä toista lyhyempi Oletetaan, että K:n mielestä K :n mitta, joka liikkuu, on hänen omaansa lyhempi Vastaavasti K :n mielestä K-koordinaatisto liikkuu ja siihen kiinnitetty mitta on lyhyempi Koska mittojen vertailu tapahtuu samassa pisteessä samalla ajanhetkellä (mittojen ohitushetkellä), on ainoa ratkaisu, että y = y Vastaavasti z = z Edellä jo päättelimme, että t t On luonnollista olettaa, että uudet paikka- ja aikakoordinaatit riippuvat alkuperäisistä paikka- ja aikakoordinaateista eli { x = x (x, t) t = t (x, t) (11) Jos massapiste liikkuu K:ssa tasaisella nopeudella, niin K :n tasaisesta nopeudesta K:n suhteen seuraa, että piste liikkuu tasaisella nopeudella myös K :ssa Matemaattisesti tämä vaatimus edellyttää, että munnokset (11) ovat lineaarisia Koska lisäksi oletimme, että koordinaatistojen origot yhtyvät hetkellä t = t = 0, on { x = A 1 x + B 1 t t = A 2 x + B 2 t, missä kertoimet A 1, A 2, B 1 ja B 2 ovat vakioita Kertoimet A 1, A 2, B 1 ja B 2 voidaan määrittää seuraavista ehdoista: 1 o K :n nopeus K:n suhteen on v, joten a) jos piste on levossa koordinaatistossa K, niin sen nopeus K:n suhteen on v, b) jos piste on levossa koordinaatistossa K, niin sen nopeus K :n suhteen on v 2 o Valonnopeus on sama molemmissa koordinaatistoissa Olkoon pisteen nopeus K:ssa u = dx dt ja K :ssa u = dx dt Differentioimalla yhtälöt (12) saadaan dx = A 1 dx+b 1 dt; dt = A 2 dx + B 2 dt, joten (12) Ehdoista 1 o seuraa a) kun u = 0, u = v: u = dx dt = A 1dx + B 1 dt A 2 dx + B 2 dt = A dx 1 dt + B 1 A 2 dx dt + B 2 = A 1u + B 1 A 2 u + B 2 (13) 0 = A 1v + B 1 A 2 v + B 2 } {{ } A 2v+B 2 0 eli B 1 = A 1 v ; B 2 A 2 v b) kun u = v, u = 0: v = B 1 + 0 B 2 + 0 eli B 1 = B 2 v joista edelleen nähdään, että B 2 = A 1 Ehdosta 2 o, kun u = u =, taas saadaan = A 1 + B 1 A 2 + B 2 = A 1 A 1 v A 2 + B 2 = A 1( v) A 2 + A 1, josta A 2 = A 1v 2 Sijoittamalla B 2 = A 1 ja A 2 = ( A 1 v)/ 2 lisäehtoon B 2 A 2 v todetaan, ettei koordinaatistojen välinen nopeus v voi olla valonnopeus 7

Sijoittamalla saadut kertoimien lausekkeet muunnosyhtälöihin (12), nämä tulevat muotoon x = A 1 x A 1 v t = A }{{} 1 (x vt) B 1 t v = A }{{} 1 t + ( A 1 2 x) = A 1 (t v x) } {{ } 2 B 2 A 2 (14) Kertoimen A 1 määrittämiseksi käytämme ehtoa 2 o eli suhteellisuusteorian toista peruspostulaatia Tarkastellaan hetkellä t = t = 0 origosta lähtevän valon etenemistä Valo etenee kaikkiin suuntiin nopeudella, joten se kulkee ajassa t matkan r = t koordinaatistossa K mitattuna Koska r = x 2 + y 2 + z 2, on valorintaman yhtälö x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = 0 (15) Koordinaatistossa K valorintama etenee myös pallonpintana, koska valorintaman erilaisesta muodosta voitaisiin muutoin päätellä K :n liikkuvan, mikä olisi vastoin suhteellisuusperiaatetta Nopeudella liikkuvan valorintaman yhtälö koordinaatistossa K on r = x 2 + y 2 + z 2 = t, josta neliöimällä Yhtälöistä (15) ja (16) voidaan päätellä, että x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = 0 (16) x 2 + y 2 + z 2 2 t 2 = α 2 (x 2 + t 2 + z 2 2 t 2 ), (17) missä α on vakio Sijoittamalla x ja t yhtälöistä (14) ja y = y, z = z yhtälöön (17), saadaan termin y 2 +z 2 kertoimien yhtälöksi α 2 = 1 Yhtälö (17) supistuu näinollen muotoon x 2 2 t 2 = x 2 2 t 2, (18) mikä on voimassa kaikille x :n ja t:n arvoille Sijoitus yhtälöistä (14) yhtälöön (18) antaa sekä x 2 :n että 2 t 2 :n kerroinyhtälöksi A 2 1(1 v2 2 ) = 1, josta 1 A 1 = ± 1 v2 / (19) 2 Vain + -merkki kelpaa, koska muuten ajan suunta vaihtuisi muunnoksissa Olemme näin johtaneet Lorentzin koordinaatistomuunnoksen: x = y = y z = z 1 (v/) x vt = x vt 2 1 β 2 t = t v 2 x 1 β 2 (20) missä β = v/ Käänteismuunnos saadaan vaihtamalla nopeuden v etumerkki: 8

x = x + vt 1 β 2 y = y z = z t + v t = 2 x 1 β 2 (21) Mikäli v, Lorentzin koordinaatistomuunnos antaa Galilein muunnoksen Tästä johtuu, että suhteellisuusteoreettinen probleemien käsittely on yleensä välttämätöntä vain suurten nopeuksien kyseessäollen Poikkeuksena ovat puhtaasti relativistiset ilmiöt, joissa epärelativistisen approksimaation termi ei esiinny 22 Samanaikaisuuden suhteellisuus Olkoot kahden tapahtuman koordinaatit (x 1, t 1 ) ja (x 2, t 2 ) koordinaatistossa K sekä (x 1, t 1) ja (x 2, t 2) koordinaatistossa K Merkitään x = x 2 x 1, x = x 2 x 1, t = t 2 t 1 ja t = t 2 t 1 Tällöin yhtälöiden (21) ajan muunnosyhtälöstä saadaan t = t + v 2 x 1 β 2 Jos eripaikkaiset tapahtumat ( x 0) ovat samanaikaiset ( t = 0) koordinaatistossa K, on niiden aikaväli koordinaatistossa K t = v x 2 1 β 2 0 Näinollen eripaikkaisten tapahtumien samanaikaisuus on koordinaatistosta riippuva käsite 23 Pituuden kontraktio Tarkastellaan x-akselin suunnassa liikkuvan mittasauvan pituuden mittausta Olkoon K sauvan lepokoordinaatisto, jossa sauvan pituus on sen lepopituus l o ja x 2 x 1 = l o Sauvan pituuden mittaamiseksi koordinaatistossa K, jonka suhteen sauva liikkuu tasaisella x-akselin suuntaisella nopeudella v, on sauvan päiden koordinaatit luettava samalla ajanhetkellä ( t = 0) Olkoot lukemat x 1 ja x 2 Koordinaatistossa K mitattu sauvan pituus on l = x 2 x 1 Soveltamalla koordinaatin x muunnosyhtälöä (21) erikseen sauvan koordinaatteihin x 1 ja x 2 ja vähentämällä näin saadut yhtälöt puolittain toisistaan, saadaan l 0 = l 1 β 2 eli l = l 0 1 β2, (22) koska t = t 2 t 1 = 0 Lauseke (22) osoittaa, että liikkuva kappale on liikkeensä suunnassa kutistunut Vastaavasti liikkuva havaitsija mittaa liikkeensä suunnassa olevat välimatkat kutistuneina 24 Ajan dilataatio Verrataan kahden tapahtuman välisiä aikaeroja inertiaalikoordinaatistoissa K ja K, joista K on lepokoordinaatisto Sattukoot tapahtumat pisteessä x, johon pisteeseen kiinnitetty kello (samoinkuin mikä tahansa K :n suhteen levossa oleva edellisen kanssa synkronoitu kello) osoittaa tapahtumahetkien olevan t 1 ja t 2 Tapahtumien välinen aika on t 0 = t 2 t 1 Koska koordinaatisto K liikkuu K:n suhteen, eivät tapahtumat satu samassa pisteessä koordinaatistossa K Jotta eripaikkaisten tapahtumien ajanhetket voitaisiin määrittää, ajatellaan koordinaatiston K x-akselilla olevan vieri vieressä havaitsijoita, joilla on keskenään synkronoidut kellot Tapahtumien ajanhetket t 1 ja t 2 koordinaatistossa K lukevat ne havaitsijat, jotka ovat pisteen x kohdalla tapahtumahetkillä Yhtälön (21) mukaan on 9

t 1 + v t 1 = 2 x 1 β 2 ja t 2 = t 2 + v 2 x 1 β 2, joten tapahtumien aikaväliksi koordinaatistossa K saadaan t = t 2 t 1 = t 2 t 1 = t 0 (23) 1 β 2 1 β 2 Lepokoordinaatistossa mitatusta ajasta t 0 käytetään nimitystä ominaisaika Kahden tapahtuman välinen ominaisaika voidaan mitata samalla kellolla Sen sijaan aikavälin t määrittämiseen tarvitaan kaksi kelloa, koska tapahtumat ovat eri paikkaisia koordinaatistossa K Yhtälöstä (23) nähdään, että ominaisaikaa mittaava kello (so kello, joka on paikalla kummallakin tapahtumahetkellä) mittaa tapahtumien välille lyhimmän aikaeron t 0 Ajan dilataation kaava (23) tulkitaan usein siten, että liikkuva kello käy hitaammin kuin levossa oleva Tämä sanonta on oikea; tällöin on vain tiedettävä, mitä tarkoitetaan liikkuvalla kellolla Ajatellaan seuraavaa tilannetta: Kello A kulkee levossa olevan kellon B ohi, jolloin siis A käy hitaammin kuin B Toisaalta A:n kannalta tilannetta tarkasteltaessa B liikkuu, joten B kävisi A:ta hitaammin Tässä on ristiriita, joka usein selvitetään sanomalla, että levossa olevan havaitsijan mielestä liikkuva kello vain näyttää käyvän hänen omaa kelloaan hitaammin Selityksen mukaan ajan dilataatio olisikin vain näennäistä Näin ei kuitenkaan ole asianlaita, vaan kysymyksessä on todella reaalinen efekti Mitattu aikaväli on lyhin kellon omassa lepokoordinaatistossa Edellä olleen esimerkin näennäinen ristiriita johtuu siitä, että vertailu suoritettiin eri intervallien kesken Ajan venymän lausekkeessa nopeus esiintyy neliöllisenä Näin ollen jos K :n kellot jätättävät K:n kellojen suhteen koordinaatistosta K katsottuna, niin samalla tavoin jätättävät K:n kellot K :n suhteen koordinaatistosta K katsottuna Ajan venymistä ja pituuden kutistumista voidaan havainnollistaa kosmisen säteilyn myonien hajonnan mittauksilla Elektronien kaltaisia mutta niitä noin 200 kertaa raskaampia myoneja syntyy π-mesonien eli pionien hajotessa Pioneja puolestaan syntyy ylemmissä ilmakerroksissa esim kahden protonin törmätessä toisiinsa Myonin keskimääräinen elinaika on T = 22 10 6 s ja myonien puoliintumisaika T o = T/ ln 2 15 10 6 s Nämä ajat ovat myonien lepokoordinaatistossa mitattuja Tarkastellaan esimerkkinä maata kohti 3000 metrin korkeudessa, l o = 3000, nopeudella v = 099 lentävää myoniparvea Puoliintumisajassa myonit ehtivät kulkea matkan vt o 445 m Myonien lepokoordinaatistossa mitattu maan etäisyys on l = l o 1 β2 423 m, Koska vt o > l, ja puoliintumisajassa myonien määrä vähenee puoleen, niin yli puolet myonierästä saavuttaa maan pinnan Maan koordinaatistossa mitattuna myonien puoliintumisaika on ajan dilataatiokaavan mukaan T = T o 1 β 2, ja niiden tänä aikana kulkema matka vt 3158 m > l o Niin myonien lepokoordinaatistossa kuin maan koordinaatistossakin tehty lasku osoittaa, että yli puolet esimerkin myoneista ehtii maanpinnalle ennen hajoamistaan 25 Suhteellisuusteoreettinen nopeuden muunnos Tarkastellaan mielivaltaista liikettä, jonka hetkellinen nopeus on u = (u x, u y, u z ) ja u = (u x, u y, u z) koordinaatistoissa K ja K vastaavasti Differentioimalla koordinaattien muunnosyhtälöt (20) saadaan 10

dx dx vdt dt v = ; 1 β 2 dy = dy; dz = dz; dt = 2 dx, 1 β 2 joten u x = dx dt u y = dy dt u z = dz dt = u z = dx vdt dt v 2 dx = = u y 1 β 2 1 vu x 2 1 β 2 1 vu x 2 u x v 1 vu x 2 Käänteiset muunnosyhtälöt saadaan muuttamalla v:n etumerkki ja vaihtamalla pilkulliset ja pilkuttomat merkinnät keskenään: u x = u x + v 1 + vu x/ 2 u y = u y 1 β 2 1 + vu x/ 2 u z = u z 1 β 2 1 + vu x/ 2 Koska u x on vektorin u projektio koordinaatistojen välisen nopeuden v suunnalla, on ensimmäinen yhtälöistä (25) samansuuntaisten nopeuksien yhteenlaskukaava Tästä kaavasta havaitaan, että kahden samansuuntaisen nopeuden summa on pienempi kuin kyseisten nopeuksien algebrallinen summa On helppo osittaa, että laskettaessa suhteellisuusteoreettisesti yhteen valonnopeuksia ja valonnopeutta pienempiä nopeuksia, ei saavuteta ylivalonnopeuksia Mikäli v ja u ovat molemmat valonnopeutta paljon pienempiä, yhtälöt (24) antavat approksimaationa klassilliset nopeuden muunnoskaavat (2) (24) (25) 26 Nopeuden suuntakulman muunnos ja liikkuvan hiukkasen valoemissio Olkoon xy-tasossa liikkuvan hiukkasen nopeusvektorin u ja x-akselin välinen kulma θ Koordinaatistossa K ovat hiukkasen nopeusvektori ja suuntakulma u ja θ vastaavasti (Kuva 4) Nopeuden u komponenttien muunnosyhtälöistä (24) saadaan u os θ = u os θ v 1 vu os θ/ 2 u sin θ = u sin θ 1 β 2 1 vu os θ/ 2 joista tan θ = sin θ 1 β 2 os θ v/u (26) Yhtälö (26) on koordinaatistojen välisen liikkeen suuntaisessa tasossa olevan kulman suhteellisuusteoreettinen muunnos Koordinaatistojen välistä liikesuuntaa vastaan kohtisuorassa tasossa olevat kulmat säilyvät muuttumattomina, koska nopeuden y - ja z -komponenttien lausekkeet (24) ovat samanmuotoiset Tarkastellaan hiukan edellisestä poikkeavaa tilannetta, jossa laboratorion suhteen nopeudella v liikkuva hiukkanen emittoi omassa lepokoordinaatistossaan K valoa kulmaan θ Laboratoriokoordinaatistossa K on valon lähtökulma θ (Kuva 5) Koska valon etenemisnopeus on molemmissa koordinaatistoissa sama, on u = u = Nopeuden y-komponentin muunnosyhtälöstä (25) saamme tällöin 11

y y u θ ṿ u θ K x K x Kuva 4: Hiukkasen nopeusvektori ja suuntakulma inertiaalikoordinaatistoissa K ja K y u y u θ ṿ θ K x K x Kuva 5: Hiukkanen, jonka nopeus laboratorion suhteen on v, emittoi lepokoordinaatistossaan K valoa kulmaan θ Laboratoriokoordinaatistossa K nähtynä on vastaava kulma θ, joka on pienempi kuin θ sin θ = sin θ 1 β 2 1 + v os θ / Käänteismuunnos vastaa lauseketta (26) Jos oletamme valoemission tapahtuvan hiukkasen lepokoordinaatistossa samalla todennäköisyydellä kaikkiin suuntiin, niin puolet valosta suuntautuu kulman θ = π/2 suhteen etusuuntaan Tällöin laboratoriokoordinaatistossa on sin θ = 1 β 2 ja mikäli hiukkanen liikkuu lähes valonnopeudella, on kulma θ hyvin pieni Näinollen laboratoriokoordinaatistossa valo ohjautuu suurella todennäköisyydellä pieneen etusuunnassa olevaan kulmaan 3 NELIULOTTEINEN AVARUUS-AIKA- MAAILMA 31 Minkowskin diagrammit Lorentzin koordinaatistomuunnoksessa avaruus- ja aikakoordinaatit liittyvät kiinteästi toisiinsa Aika ei ole universaalista kuten Galilein muunnoksessa, vaan se riippuu havaitsijan liiketilasta Paikka- ja aikakoordinaattien toisiinsa niveltyminen tulee havainnollisesti esiin, kun suhteellisuusteoriaa esitetään geometrisesti avaruus-aikakoordinaatistoa käyttäen Avaruus-aikakoordinaatiston otti suhteellisuusteorian kuvaamiseksi ensiksi käyttöön Minkowski, jonka vuoksi suhteellisuusteoreettisia avaruus-aikapiirroksia sanotaan Minkowskin diagrammeiksi Avaruus-aikamaailman elementteinä ovat tapahtumat l maailmanpisteet Kuvassa 6 piste O esittää tapahtumaa, joka sattuu havaitsijan A mittaamalla ajanhetkellä t = 0 pisteessä x = 0 Kaikki havaitsijalle A sattuvat tapahtumat kuvautuvat A :n aika-akselille eli viivalle OA Tämän vuoksi viivasta OA käytetään nimitystä A:n maailmanviiva Jokaisen laboratorion (ja siten myös A:n) suhteen levossa olevan kappaleen maailmanviiva on OA:n suuntainen Viiva OB kuvaa tapahtumia, jotka sattuvat tapahtuman O kanssa samanaikaisesti laboratoriohavaitsijan mielestä Aikakoordinaatiksi valitaan yleensä t pelkän t asemesta Valonsäteen maailmanviivoja x = ±t esittävät tällöin koordinaattiakselien välisen kulman puolittajat Laboratorion suhteen tasaisella nopeudella liikkuvan havaitsijan A maailmanviivan OA ja suoran OA välinen kulma on θ, jolle tanhθ = v/ Havaitsijan A maailmanviiva on samalla hänen 12

D t A A C θ O B x Kuva 6: Havaitsijoiden A ja A maailmanviivat OA ja OA sekä valonsäteiden maailmanviivat OC ja OD A:n lepokoordinaatistossa A:n ja A :n maailmanviivat leikkaavat toisensa origossa ja niiden välinen kulma on θ = artanh ( v ), missä v on havaitsijoiden välinen suhteellinen nopeus ominaisaika-akselinsa kerrottuna valonnopeudella Kiihtyvässä liikkeessä olevan havaitsijan (kappaleen) maailmanviiva on käyrä Havainnollistetaan Minkowskin maailman käsitteitä yksinkertaisella esimerkillä Olkoon A avaruusasemalla oleva havaitsija, joka näkee samanaikaisesti häntä vastakkaisilta suunnilta lähestyvät avaruusalukset B ja C matkojen s b ja s päässä Alukset liikkuvat tasaisilla nopeuksilla v B ja v C Alus B ohittaa havaitsijan ennen alusta C Kuvassa 7 tapahtumaketju on kuvattu avaruus-aikakoordinaatistossa A:n, B:n ja C:n maailmanviivojen avulla Aluksi B ja C ovat matkojen s B ja s C päässä A:sta (1) A ja B kohtaavat maailmanviivojensa leikkauspisteessä (2) B ja C kohtaavat toisensa (3) ja lopulta A ja C kohtaavat (4) t C A B 4 3 2 1 s B s C x Kuva 7: Minkowskin diagramma tapahtumaketjusta, jossa vastakkaisilta suunnilta tulevat avaruusalukset B ja C ohittavat havaitsijan A tapahtumapisteissä 2 ja 3 sekä kohtaavat toisensa pisteessä 3 Toisena esimerkkinä graafisesta esityksestä tarkastellaan samanaikaisuuden suhteellisuutta Olkoot A, B ja C tasavälein toisistaan olevia avaruusasemia, jotka ovat levossa koordinaatistossa K Niiden maailmanviivat ovat t-askelin suuntaisia suoria (kuva 8a) Asemalta B lähetetään hetkellä t = 0 valosignaalit x-akselin positiiviseen ja negatiiviseen suuntaan Signaalit saapuvat asemille A ja C maailmanpisteissä A 1 ja C 1 Yhdysjana A 1 C 1 on x-akselin suuntainen, joten signaalit saapuvat samaan aikaan asemille A ja C eli tapahtumat A 1 ja C 1 ovat samanaikaiset koordinaatistossa K Oletetaan sitten, että asemat A, B ja C ovat levossa koordinaatistossa K, joka liikkuu tasaisella nopeudella v koordinaatiston K suhteen x-akselin positiiviseen suuntaan (kuva 8b) Pisteestä (x B, 0) lähteneet valosignaalit saapuvat asemille A ja C pisteissä A 1 ja C 1 Asemien A,B ja C maailmaviivat A 1, B 1 ja C 1 ovat vinossa t-akseliin nähden, joten yhdysjana A 1C 1 ei ole x-akselin suuntainen eivätkä tapahtuvat A 1 ja C 1 ole samaaikaisia koordinaatistossa K Signaali saapuu aikaisemmin asemalle A kuin asemalle C, koska K-koordinaatistosta nähtynä A liikkuu signaalia kohti ja C signaalista poistaan K -koordinaatiston x -akseli on suora t = 0 ja t -akseli on suora x =0 Lorentzin muunnosyhtälöiden 13

{ x = γ(x vt) t = γ(x v 2 x) mukaan näiden K :n koordinaattiakselien yhtälöt koordinaatistossa K ovat x akseli : t = v x eli t = βx 2 t akseli : x = vt eli x = βt Kordinaatiston K -akselit on esitetty kuvassa 7b Kuvasta todetaan, että A 1C 1- jana on x -akselin suuntavinen, joten signaalin saapumishetket ovat samat koordinaatistossa K t A B C t t A B C C 1 A 1 C 1 A 1 x x A x B x C x x B x 8a 8b Kuva 8: Minkowskin kuvaus koejärjestelylle, jolla havainto-asemien A ja C puolivälissä sijaitsevalta asemalta B lähetettyjen valosignaalien avulla määritetään samanaikaisuus asemilla A ja C a) asemien lepokoordinaatistossa K ja b) koordinaatistossa K, joka siihen kiinnitettyjen havaintoasemien tavoin liikkuu K-koordinaatiston suhteen positiivisen x-akselin suuntaisella tasaisella nopeudella 32 Hyperbolinen koordinaatiston kierto ja viivaelementti Koordinaattien x ja t Lorentz-muunnosten { x = ax bt t = at bx kertoimet a = γ = (1 β 2 ) 1/2 ja b = βγ toteuttavat yhtälön a 2 b 2 = 1 Koska sama yhtälö on voimassa myös hyperbolisille funktioille osh ϕ ja sinh ϕ, niin Lorentzin muunnokset voidaan kirjoittaa muotoon { x = x osh ϕ t sinh ϕ t (27) = t osh ϕ x sinh ϕ, jolloin osh ϕ = γ = 1 1 β 2 sinh ϕ = βγ = β 1 β 2 (28) Yhtälöt (27) muistuttavat koordinaatiston kiertokaavoja { x = x os α + y sin α y = y os α x sin α, (29) 14

missä koordinaatistoa on kierretty z-akselin ympäri vastapäivään Yhtälöt (27) poikkeavat yhtälöistä (29) siten, että tavallisten trigonometristen funktioiden tilalla ovat hyperboliset funktiot sekä yhden etumerkin osalta Joka tapauksessa yhtälöiden yhdenkaltaisuus on ilmeinen Yhtälöiden (27) esittämää muunnosta sanotaan hyperboliseksi kierroksimuunnoksen tuottama x t -koordinaatisto on vinokulmainen, kun se esitetään x t - tasossa (kuva 8b) Funktiot, jotka säilyvät invariantteina trigonometrisessa ja hyperbolisessa koordinaatiston kierrossa, poikkeavat oleellisella tavalla toisistaan Muunnoksessa (27) kahden pisteen etäisyys x 2 + y 2 on säilyvä suure Lorentz-muunnoksen johto perustui suureen s 2 = x 2 y 2 z 2 + 2 t 2 (30) invarianssiin, joten kaksidimensioisessa hyperbolisessa kierrossa (29) on taas x2 + 2 t 2 säilyvä suure Avaruuden- ja ajanlaatuisten termien etumerkit ovat vastakkaiset hyperbolisessa kierrossa invarianttina säilyvässä suureessa Etumerkkiero on seuraus valonnopeuden invarianssista Kahden tapahtumapisteen, (x 1, y 1, z 1, t 1 ) ja (x 2, y 2, z 2, t 2 ) välimatka s määritellään neliulotteisessa Lorentzkoordinaatistossa yhtälöllä s 2 = (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2 + 2 (t 1 t 2 ) 2 Mikäli tapahtumapisteiden välimatka on differentiaalinen, niin = r r + 2 ( t) 2 (31) ds 2 = dx 2 dy 2 dz 2 + 2 dt 2 = dr 2 + 2 dt 2 (32) Suure ds on viivaelementti ja se säilyy invarianttina Lorentzin koordinaatistomuunnoksessa Lausekkeesta (31) nähdään, että kahden tapahtuman välimatkan neliö voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen Erikoisesti valonsäteelle on s 2 = 0, josta syystä valonsäteen maailmanviivoja kutsutaan nollaviivoiksi Tapahtumaparit voidaan luokitella invariantin välimatkan avulla seuraavasti: a) s 2 > 0 eli x 2 + y 2 + z 2 < 2 t 2 - ajanlaatuinen b) s 2 = 0 eli x 2 + y 2 + z 2 = 2 t 2 - valonlaatuinen ) s 2 < 0 eli x 2 + y 2 + z 2 > 2 t 2 - paikanlaatuinen Vastaavasti puhutaan ajan-, valon- ja paikanlaatuisesta vektorista sen mukaan, onko sen neliö suurempi, yhtäsuuri vai pienempi kuin nolla Tehty jako on valitusta inertiaalijärjestelmästä riippumaton lausekkeen (31) invarianssista johtuen Tutkiaksemme, voidaanko tapauksissa a) - ) siirtää informaatiota tapahtumapisteestä toiseen, laskemme informaation siirtoon tarvittavan signaalin nopeuden Merkitsemällä r = x 2 + y 2 + z 2 ja muistamalla, että valon tyhjiönopeus on suurin mahdollinen informaation siirtonopeus, todetaan eri tapauksissa a) - ): a) r t < b) r t = ) r t > - tapahtumat voidaan yhdistää signaalilla - tapahtumat voidaan yhdistää vain valon tyhjiönopeudella etenevällä signaalilla - tapahtumia ei voida yhdistää signaalilla Mikäli kaksi tapahtumaa ovat syy- ja seuraussuhteessa keskenään, niin kyseisen riippuvuuden välittää jokin signaali Edellä olevan mukaan ei paikanlaatuisen tapahtumaparin tapahtumista voi niinollen toinen olla toisen syy Ajan ja valonlaatuisilla tapahtumapareilla on aikajärjestys yksikäsitteinen Paikanlaatuisten tapahtumien aikajärjestys riippuu koordinaatiston valinnasta Havainnollistetaan edellä esitettyä x t-koordinaatistossa Oletetaan, että hetkellä t = 0 sattuu paikassa x = 0 tapahtuma P, jonka maailmanpiste on siten koordinaatiston origo Tapahtumaparin toinen tapahtuma Q on tapauksissa a) joko ylös- tai alaspäin aukeavassa sektorissa, b) suorilla x = ±t ja ) joko vasemmalle tai oikealle avautuvassa sektorissa Jos tapahtuman Q maailmanpiste on ylöspäin avautuvassa sektorissa, on tapahtuma Q ehdottomasti myöhäisempi 15

kuin tapahtuma P Sen vuoksi sanotaan, että ylöspäin aukeava sektori muodostaa origon tapahtuman ehdottoman tulevaisuuden Vastaavasti alaspäin aukeava sektori muodostaa ehdottoman menneisyyden Mikäli maailmanpiste Q on oikealle tai vasemmalle aukeavissa sektoreissa, ei tapahtumien P ja Q aikajärjestys ole yksikäsitteinen, jonka vuoksi sivuille aukeavien sektoreiden sanotaan muodostavan origon tapahtuman epämääräisyysalueen Neliulotteisessa koordinaatistossa vastaavat edellä mainittuja sektoreita 3-ulotteiset kartiot x = t t ehdoton tulevaisuus x = t epämääräisyysalue epämääräisyysalue P x ehdoton menneisyys Kuva 9: Origon tapahtuman ehdottoman tulevaisuuden, ehdottoman menneisyyden ja epämääräisyyden alueet ovat ylöspäin, alspäin ja sivulle avautuvat sektorit 33 Kaksosparadoksi Suhteellisuusteoreettiseen aikakäsitteeseen liittyy läheisesti usein väärinymmärretty kaksos- eli kelloparadoksi Kaksosista A ja B pääsee B suurella nopeudella liikkuvalla aluksella pitkälle avaruusmatkalle Olettakaamme, että alus liikkuu tasaisella nopeudella alku-, käännös- ja loppuvaiheen kiihdytysvälejä lukuunottamatta Ajan dilataatiokaavan (23) mukaan B:n kello käy menomatkalla A:n mielestä hänen omaa kelloaan hitaammin Suhteellisuusperiaatteen mukaan voimme päätellä edelleen, että B:n kellon tavoin myös B:n sydämenlyönnit, ajatukset ja kaikki elintoiminnot hidastuvat A:n näkemänä Henkilö B ei kuitenkaan huomaa tapahtumien tempossa mitään epätavallista Mikäli hän huomaisi, hän voisi siitä päätellä liikkuvansa suurella nopeudella, mikä suhteellisuusperiaatteen mukaan on mahdotonta havaita Koska nopeus esiintyy aikadilataatiokaavassa neliöterminä, B:n kello käy myös paluumatkalla A:n kelloa hitaammin Näinollen B:n palattua matkalta hän on kaksoisveljeään (-sisartaan) nuorempi Mikäli aluksen nopeus olisi lähellä valonnopeutta, henkilöiden ikäero olisi todella huomattava Tarkastellaan samaa tilannetta alukseen kiinnitetystä B:n koordinaatistosta Tällöin maapallo ja sen pinnalla oleva B:n kaksosveli (-sisar) näyttävät tekevän avaruusmatkan Koska liikkuvan koordinaatiston aika käy lepokoordinaatiston aikaa hitaammin, A olisi B:n mielestä häntä nuorempi matkan jälkeen Ainoa ratkaisu näinollen olisi, että A ja B olisivat samanikäiset Tämä päättely on kuitenkin virheellinen Piirrämme kuvatusta tilanteesta avaruusaikadiagrammin A:n maailmanviiva on minimaalisia poikkeamia lukuunottamatta maapallon ominaisaika-akselin suuntainen suora B:n maailmanviiva koostuu avaruusmatkan tapahtumien osalta kahdesta approksimoidusta suorasta B 1 ja B 2, joista B 1 vastaa meno- ja B 2 paluumatkaa Suhteellisuusperiaate asettaa inertiaalihavaitsijat tasavertaiseen asemaan A on inertiaalihavaitsija, mutta B, jonka idealisoitukin maailmanviiva koostuu kahdesta suorasta, ei ole Voimme ajatella havaitsijan B korvatuksi kahdella inertiaalihavaitsijalla, joista B 1 poistuu maasta ja B 2 lähestyy maata tasaisella nopeudella Havaitsijat A ja B 1 sekä A ja B 2 ovat samanarvoisia Sensijaan A ja B eivät ole samassa asemassa, koska B 2 liikkuu B 1 :n suhteen Koska ajan dilataatiokaava johdettiin suppeampaan suhteellisuusteoriaan rajoittuen, ei B voi käyttää kyseistä kaavaa johtopäätösten tekoon, koska hän ei ole inertiaalihavaitsija Paitsi A:n koordinaatistoa voidaan tilanteen tarkasteluun käyttää myös inertiaalihavaitsijoiden B 1 tai B 2 koordinaatistoa, jolloin päädytään samaan lopputulokseen kuin A:n (= maan) lepokoordinaatistossa Henkilö B tietää olleensa avaruusmatkalla maailmanviivaansa maan lepokoordinaatistoon piirtämättäkin Hän tuntee kiihdytysten ja jarrutusten aiheuttamat fysikaaliset efektit, kun taas A:n inertiaalielo ei häiriinny B:n startista, käännöksestä tai loppujarrutuksesta Liikkeellä oleva henkilö vanhenee levossa olevaa hitaammin, joten aika riippuu kuljetusta reitistä matkan tavoin 16

t A B B 1 B 2 Kuva 10: Kaksosparadoksi Maanpinnalla olevan henkilön A maailmanviiva on t-akselin suuntainen suora Avaruusmatkan tekevän henkilön B maailmanviiva voidaan esittää approksimoiden kahtena suorana, joista B 1 yhdistää menomatkan ja B 2 paluumatkan tapahtumapisteet Tilanne on epäsymmetrinen A on inertiaalihavaitsija mutta B ei ole 4 KINEMAATTISIA SUUREITA Tässä ja seuraavissa luvuissa käytettävät 4-vektorit on esitetty liitteessä 1 Nelivektoreita tarvitaan fysiikan lakien kirjoittamiseksi lorentzkovarianttiin muotoon eli siten, että ne ovat samanmuotoisia kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa Inertiaalikoordinaatistosta toiseen siirrytään Lorentzin muunnoksella, jossa 4-vektorit ja niiden skalaaritulot säilyvät muuttumattomina, kun taas vektoreiden komponentit muuttuvat kaavojen (L13) mukaan Eri koordinaatistoissa ovat myös eri kantavektorit x 41 Paikkavektori ja ominaisaika Maailmanpisteen aseman koordinaatiston origon suhteen ilmaisee 4-paikkavektori S, jonka komponentit ovat (x, y, z, t) Neliulotteisella paikkavektorilla S on siis kolmiulotteisen vastineensa r lisäksi t-suuruinen komponentti ajan suunnalla; S = r + tê 4, (33) missä ê 4 on aika-akselin suuntainen yksikkövektori Vektorin S pituuden neliö on määritelmän mukaan S 2 = S S = r 2 + 2 t 2 mikä voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen Differentiaalisen 4-paikkavektorin = (x 2 + y 2 + z 2 ) + 2 t 2, (34) neliötä ds = dr + dtê 4 (35) sanotaan viivaelementin neliöksi ds 2 = ds ds = dr 2 + 2 dt 2 = (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) + 2 dt 2 (36) Hiukkasen ominaisaika on hiukkasen mukana liikkuvan standardikellon mittaama aika Esim radioaktiivisten ydinten hajoaminen seuraa omainaisaikaa Samoin elimistömme mittaa ominaisaikaa, joskaan se ei sovellu standardikelloksi Ominaisaikaintervalli dt o on yksinkertaisessa yhteydessä viivaelementtiin Tämä yhteys havaitaan helposti lausumalla invariantti viivaelementti kappaleen lepokoordinaatistossa, jossa ds = 2 dt 2 o dx 2 o dy 2 o dz 2 o 17

Kappaleen lepokoordinaatistossa on dx o = dy o = dz o = 0, joten Yhtälöstä (37) voimme todeta yksinkertaisesti ajan dilataatiokaavan (23), sillä dt o = dτ = ds (37) dτ = ds = 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 = dt 1 u2 2, (38) missä u 2 = (dx 2 + dy 2 + dz 2 )/dt 2 Integroimalla yhtälö (38) puolittain havaitaan, että kahden tapahtuman välinen ominaisaika on tapahtumien välinen maailmanviivan pituus jaettuna valonnopeudella Mikäli tapahtumien aikaväli lasketaan koordinaatistossa K, johon liittyy aika t, niin t2 τ 2 τ 1 = 1 u2 dt (39) 2 Jos u = vakio, on missä t 1 ja t 2 ovat tapahtumahetket koordinaatistossa K t 1 τ 2 τ 1 = 1 u 2 / 2 (t 2 t 1 ), Kaava (39) on nykyisten koetuloksien rajoissa voimassa myös kiihtyvän liikkeen tapauksessa eli kun u = u(t) Esim eräässä CERN:issä tehdyssä kokeessa myonien keskimääräisen elinajan todettiin olevan kiihtyvyydestä riippumaton kiihtyvyyden ollessa 10 19 kertaa maanvetovoimakiihtyvyys Kokeen tarkkuus oli noin yksi prosentti Yhtälöstä (37) nähdään, että kahden tapahtuman välinen ominaisaika on suoraan verrannollinen kyseisten tapahtumapisteiden välisen maailmanviivan pituuteen Samoinkuin jokaisella havaitsijalla on oma maailmanviivansa, on hänellä myös oma ominaisaikansa Luvun 33 kuvassa 9 on esitetty kaksoisparadoksin kaksosten A ja B maailmanviivat B:n maailmanviiva näyttää A:n maailmanviivaa pitemmältä Kuitenkin A:n maailmanviiva on pisin kaikista A:n ja B:n maailmanviivojen leikkauspisteitä yhdistävistä viivoista Tämä johtuu siitä, että paikkakomponentit antavat pituuden neliön lausekkeeseen negatiivisen lisän Näin ollen s A > s B eli myös τ A > τ B, joten matkan tehnyt henkilö on kaksostaan nuorempi 42 Nelinopeus ja nelikiihtyvyys Kappaleen nopeuden neliulotteinen vastine, nelinopeus, määritellään paikkavektorin S ominaisaikaderivaattana, U = ds dτ (40) Nelinopeuden U ja kolminopeuden u välinen yhteys saadaan yhtälöistä (33) ja (38), missä U = ds dτ = 1 d(r + tê 4 ) 1 dt u2 2 = γ(u)( dr dt + ê 4) = γ(u)(u + ê 4 ), (41) 1 γ(u) = (42) 1 u2 2 Nelinopeuden avaruusosa U ja aikaosa U 4 ovat siis kolminopeus u ja valonnopeus kerrottuina γ(u)-tekijällä, U = γ(u)u, U 4 = γ(u) (43) Vektoriin U suunta on maailmanviivan tangentin suunta ja sen pituus on valonnopeus, 18

U U = U U + U 4 U 4 = [γ(u)] 2 u 2 + [γ(u)] 2 2 = 2 u 2 1 u2 2 = 2 (44) Lorentzin koordinaatistomuunnoksen johto luvussa II1 perustuu 4-paikkavektorin neliön invarianssivaatimukseen Koska jokaisen nelivektorin neliö säilyy Lorentzin muunnoksessa invarianttina, muuttuvat minkä tahansa nelivektorin komponentit 4-paikkavektorin vastaavien komponenttien tavoin Nelinopeuden komponenttien muunnosyhtälöt ovat siis U 1 = γ(u 1 βu 4 ), U 2 = U 2, U 3 = U 3, U 4 = γ(u 4 βu 1 ) (45) Yhtälöt (45) voidaan toki johtaa sijoittamalla kolminopeuden muunnosyhtälöt (24) nelinopeuden U = γ(u )(u +ê 4) komponentteihin, mutta tulos tiedetään johtamattakin, kiitos 4-vektoriesityksen Nelikiihtyvyys määritellään nelinopeuden ominaisaikaderivaattana A = du dτ (46) Nelikiihtyvyyden A yhteys kolmikiihtyvyyteen a on vastaavaa nelinopeudelle kirjoitettua yhtälöä (41)monimutkaisempi Kappaleen hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa u = 0, 4-kiihtyvyyden avaruusosa A on kolmikiihtyvyys a ja aikakomponentti on nolla Vektoreiden U ja A määritelmiä ja yhtälöä U U = 2 hyväksikäyttäen todetaan, että 4-nopeus ja 4-kiihtyvyys ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa U A = U du dτ = 1 2 (du dτ U + U du dτ ) = 1 2 d(u U) dτ = 1 2 5 RELATIVISTISTA DYNAMIIKKAA 51 Lepomassa ja liikemassa d 2 dτ = 0 (47) Tarkastellaan kahden identtisen hiukkasen (lepomassa m 0 ) täysin epäelastista törmäystä Koordinaatistossa K hiukkaset liikkuvat ennen törmäystä vastakkaissuuntaisilla yhtäsuurilla nopeuksilla u toisiaan kohti ja muodostavat törmäyshetkellä levossa olevan hiukkasen (Kuva 11a) Koordinaatistossa K, jossa toinen hiukkasista on ennen törmäystä levossa, törmäyksen jälkeisen hiukkasen (lepomassa M 0 ) nopeus on u (Kuva 11b) Jotta energian ja liikemäärän säilymislait olisivat voimassa, täytyy hiukkasen massan riippua nopeudesta Merkitään törmäävän hiukkasen massaa m = m(u ) ja m = m(u) koordinaatistoissa K ja K sekä M 0 -lepomassaisen hiukkasen massaa M = M(u) koordinaatistossa K Eliminoimalla massa M liikemäärän ja massan säilymislaeista mu = Mu (48) saadaan m + m 0 = M (49) m m 0 = u u u (50) 19

a) m u u m M 0 u b) ṁ m 0 M u Kuva 11: Kahden identtisen hiukkasen täysin epäelastinen törmäys a) massakeskuskoordinaatistossa, b) toisen törmäävän hiukkasen lepokoordinaatistossa Sijoittamalla koordinaatistojen välinen nopeus v = u nopeuksien yhteenlaskukaavaan (25) saadaan törmäävän hiukkasen nopeudeksi koordinaatistossa K josta u = u + v 1 + vu / 2 = 2u 1 + u 2 / 2, (51) u 2 2 2 u /u + 2 = 0 Tämän yhtälön ratkaisut ovat u = 2 u ( 1 (+) 1 u2 / 2 ) (52) Vain merkki kelpaa, sillä pienten nopeuksien tapauksessa, u, massa on nopeudesta riippumaton jolloin u u/2 Näin ollen Sijoitus yhtälöistä (52) ja (53) yhtälöön (50) antaa ( ) u u = u 2 1 1 u2 u 2 ( ) = 2 u 2 u 2 1 + 1 u2 2 ( ) = 2 1 u2 u 2 1 1 u2 2 = m = 1 u2 2 u (53) m 0 1 u2 / 2 = γ(u)m 0 (54) Kaavan (54) mukaan hiukkasen massa on suurempi liikkeessä kuin levossa Suuretta m 0 nimitetään lepomassaksi ja suuretta m liikemassaksi Vaikka kaava (54) johdettiin yksinkertaisessa erikoistapauksessa, on tulos yleispätevä Suhteellisuusteoreettinen massan kasvu on verifioitu kokeellisesti suurella tarkkuudella esimerkiksi tutkimalla elektronien ratoja magneettikentässä Massan kasvu nopeuden funktiona on helppo ymmärtää Suhteellisuusteoriassa valon tyhjiönopeus on rajanopeus, jota mikään hiukkanen (jonka lepomassa on reaalinen ja eri suuri kuin nolla) ei voi saavuttaa Klassillinen fysiikka ei taas tunne mitään rajaa hiukkasten nopeuksille Kun voima vaikuttaa kappaleeseen, se kasvattaa dynamiikan peruslain f = d(mu) mukaan liikemäärää Nopeuksien ehdottoman kattorajasta u = johtuen suurella dt nopeudella liikkuvan kappaleen lisäkiihdytys vaikeutuu ja voiman vaikutus ohjautuu suurelta osin massan kasvuun 20