Johdatus numeerisiin ja algebrallisiin menetelmiin Jalkapallo ei ole täydellinen Kuten tiedät, ykkössäteisen, origokeskisen pallon yhtälö karteesisessa koordinaatistossa on x 2 y 2 z 2 =1 Pallo tai tarkemmin sanottuna pallonpinta on siis kolmiulotteinen kappale, jonka jokainen piste on säteen etäisyydellä pallon keskipisteestä. Vertaa tätä ideaa vaikkapa jalkapalloon, tennispalloon, ilmapalloon tai taitavan lasinpuhaltajan tekemään hauraaseen, ohueen lasipalloon. Ainutkaan näistä ei täytä pallon yhtälöä tarkasti. Luonnonlakien asettamien rajojen takia ei ole edes periaatteessa mahdollista valmistaa täydellistä palloa: kvanttifysiikan epätarkkuusperiaate, Planck'in matka ynnä muut. Kaikki olemassa olevat aineelliset kappaleet ovat korkeintaan pallon likiarvoja, joissa olevat poikkeamat voidaan yleensä laskea tai mitata. Nämä poikkeamat voivat olla pienet, mutta ne ovat aina nollaa suuremmat. Täydellinen pallo lienee olemassa vain matemaattisena käsitteenä. Filosofit pohtivat, onko olemassa jonkinlainen matemaattisten ideaalien abstrakti maailma, joka jonkin määritelmän mukaan olisi yhtä todellinen tai ehkä jopa todellisempi kuin se maailma, jonka me tavallisesti havaitsemme. Rataa Kuuhun ei voi ratkaista Kesällä 1969 lähetettiin ensimmäiset ihmisen Kuun pinnalle. Maa, Kuu ja kuualus muodostivat kolmen kappaleen probleeman, jollainen ei ole ratkaistavissa suljetussa muodossa. Koska kolme miestä ja kaksi ohuesta foliosta tehtyä tölkkiä eli komentomoduuli ja laskeutumisalus Eagle painavat mitättömän vähän Maan ja Kuun massoihin verrattuina, niin numeerisen ratkaisun etsiminen ei ollut vaikea tehtävä. Siihen riitti sen ajan huipputietokone, jonka laskentakapasiteetti lähes pärjäsi nykyisen tavaratalon kassakoneen laskentatehon kanssa. Tuloksena ei ollut Maa Kuu -systeemin kartta ja siihen piirretty reitti, vaan kuinka suurella teholla moottoreita ajetaan ja mihin suuntaan. MAA12:n idea on juuri tässä: haetaan ratkaisuksi lukuarvoja. Numeeristen ratkaisujen etsiminen on monissa käytännön tilanteissa riittävä. Tällöin ei ratkaista yhtälöä siinä mielessä, kuin mikä sinulle on tuttua matikan aiemmilta kursseilta. Lähes aina kyseessä on sitä paitsi likiarvo. Viimeksi mainittu seikka seuraa jo siitä tosiasiasta, että melkein kaikki luvut ovat irrationaalilukuja. Tämä siitä huolimatta, että rationaalilukuja on äärettömän 1(12)
monta. Jopa: Melkein kaikki luvut ovat imaginaarilukuja, reaaliluvuista taas melkein kaikki ovat transkendenttilukuja eli transsendettilukuja. Monissa tilanteissa tarkan ratkaisun etsiminen on epätaloudellista ja joskus jopa mahdotonta. Onneksi usein riittää, kun oikeita numeroita on jokin äärellinen määrä. Vähän käytämme aikaa myös polynomien jaollisuuden tarkastelemiseen. Tällöinkin tavoitteemme on konkreettinen menetelmä, jonka avulla elävä, oikea polynomi osataan jakaa tekijöihin eli jakoalgoritmi. Välineemme tässä mainitussa hommassa ovat vanhanaikaiset kynä, paperi ja korvien väli. Yleensäkin tarjoan tämän kurssin avulla sinulle erilaisia käytännöllisiä menetelmiä löytää lukuarvoja. Tässä yhteydessä tarkoitan käytännöllisellä menetelmällä algoritmia. Kakkosen neliöjuuri, pii ja muuta saivartelua Mikä on ulkoilman lämpötila juuri nyt? Onko se jotain 2 astetta plussalla vai +1,77 C? Kun katson hetken päästä samaa mittaria uudelleen, saat tuloksen +1,93 C. Mitä järkeä? Lämpötila on pari astetta plussalla, eikö niin. Minä kysyn: Kuinka pitkä on sellaisen neliön sivu, jonka pinta-ala on 2m 2?. No, tietysti 2 metriä, sinä vastaat aivan oikein. Entä kuinka paljon on 2 metriä, minä tivaan edelleen. Luet laskimesi näytöltä: 1,414213562 metriä. Koska 2 metriä 2 täytyy olla 2m 2, niin katsotaan: 1,414213562 2 =1,999999998944727844. Ei näytä kakkoselta, ei. Tämä johtuu tietenkin siitä, että laskin laskee äärellisellä määrällä numeroita kuten esimerkiksi 10 numerolla. Oheinen neliöjuuriesimerkki on laskettu 10 numerolla neliön laskemisessa näkyy olevan numeroita enemmän, koska kone oli tehokkaampi kuin se ensimmäinen. Kakkosen neliöjuuri ei ole esitettävissä 10 numerolla, jos käytetään desimaalilukuja. Voidaan osoittaa, että kakkosen neliöjuuri ei ollenkaan ole tarkasti esitettävissä äärellisen mittaisena desimaalikehitelmänä. Toinen yksinkertainen esimerkki voisi olla vaikkapa seuraava. Kuinka pitkän matkan etenee sellainen käytävälle irti päästettynä vanne, jonka halkaisija on yhden metrin pituinen, kun mainittu vanne pyörähtää ympäri yhden kerran? Oletetaan tietenkin, että vanne ei luista eikä asiaan liity mitään muitakaan hankalia juttuja paitsi tuo matka itse. 2(12)
Vannehan kulkee tietenkin kehänsä pituisen matkan. Tilaapa tällainen vanne lähimmältä täsmälleen halutun kokoisia vanteita toimittavalta vanteentekijältä. Tipauta sen kulutuspinnalle punainen maalitippa ja anna vanteen pyöriä. Kun nyt mittaat tippojen lyhimmän välimatkan, niin tiedät vanteen kehän pituuden, vai mitä. Tässä vaiheessa voit vaikkapa laskea tästä tiedosta tarkan piin arvon, mitä tarkkaa lukuarvoa on kauan ja hartaasti etsitty. Näin teoriassa. Käytännössä et saa mistään vannetta, jonka (ulko)läpimitta olisi tarkalleen metrin eikä se maalitippakaan ole piste vaan isompi. Laskin, joka ilmoittaa piin arvon 12 numeron tarkkuudella, ei maksa kovin paljon. Millään helpolla keinolla et yllä mittauksissasi lähellekään näin montaa merkitsevää numeroa. Johtopäätös on: mittaustulokset ovat aina likiarvoja. Lukuarvon tarkkuuden arvioimisesta Tehtävän vastauksen antaminen oikealla tarkkuudella on jokseenkin yhtä tärkeää kuin oikean vastauksen antaminen yleensäkin. Vaikka laskin antaa numeroita paljon, useimmiten osasta niitä on raaskittava luopua. Ruvetaan tutkimaan tätä asiaa nyt lähemmin. Oikean likiarvon valitseminen: lukujen pyöristämisestä Kun tulos halutaan antaa kohtuullisella määrällä numeroita, se on joko pyöristettävä tai katkaistava. Jos tiedossa on vaikkapa kymmenen oikeaa numeroa, mutta tulokselle on varattu tilaa vain 8 numeron verran, niin ilmoitettava tulos on oikean likiarvo. Luvun tarkkuus voidaan tarvita n:n merkitsevän numeron tarkkuudella n:n desimaalin tarkkuudella ilmoittamalla viimeisen numeron yksikkö Kun pyöristetään n:n merkitsevän numeron tarkkuuteen, merkitseväksi numeroksi (number of significant digits) luetaan kaikki muut paitsi desimaaliluvun alun nollat (leading zeroes) ja kokonaisluvun lopun nollat (trailing zeroes). Merkitsevien numeroiden määrä ei ole sama kuin numeromäärä, jolla kone laskee (precision), joka puolestaan ei ole sama kuin koneen (tai ohjelman) tarkkuus (accuracy). Esimerkki 1 Luvussa 2008 on neljä merkitsevää numeroa, luvussa 2080 on kolme merkitsevää numeroa ja 3(12)
numerossa 2800 on kaksi merkitsevää numeroa. Lukujen pyöristämisessä käytetään usein seuraavaa (niin sanottua kaupallista) pyöristystapaa: Jos ensimmäinen pois jäävä numero on 5, 6, 7, 8 tai 9, niin viimeistä jäljelle jäävää lisätään yhdellä. Jos ensimmäinen pois jäävä numero on 0, 1, 2, 3 tai 4, niin viimeinen jäljelle jäävä säilyy ennallaan ja luku vain katkaistaan. Tästä aiheutuvan virheen suuruus on korkeintaan puolet viimeisen mukaan otetun numeron yksiköstä. Se on joskus paljon. Huomaa! Tämä sääntö pyöristää ylöspäin hieman useammin kuin alaspäin. Sitä kuitenkin yleensä käytetään koulukursseissa. Esimerkki 2 Tarkastellaan lukua 3. Windows Xp:n laskimesta nähdään, että kolmen neliöjuuri on noin 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 9. Miten lie pyöristetty tai katkaistu. Pidetään tätä huolellisen mittauksen tuloksena eli jollakin tunnetulla tarkkuudella oikeana arvona, jossa numerot ainakin 3. viimeiseen numeroon saakka ovat luotettavat. Sen likiarvo 10 merkitsevän numeron tarkkuudella on 3 1,732 050808, koska ensimmäinen pois jätetty numero on 5. Kymmenen merkitsevän numeron tarkkuus on tällä kertaa sama asia kuin 9 desimaalin tarkkuus. Sama luku 16 merkitsevän numeron tarkkuudella on 3 1,732050807568877, koska ensimmäinen pois jätetty numero on nyt 2. Esimerkki 3 Luvulle 1,2 6 on mahdollista laskea tarkka arvo. Se on 2,985 984. Tämän likiarvo yhden merkitsevän numeron tarkkuudella on 3 ja 10 merkitsevän numeron tarkkuudella 2,985 984 000. Koska pyöristämällä menetetään usein tietoa alkuperäisestä luvusta, aina ei voida tietää, mikä annetun luvun tarkkuudeksi pitäisi tulkita. 4(12)
Esimerkki 4 Luet jostain tietolähteestä, että Maan läpimitta on 13 000 kilometriä. Kuinka tarkka tämä luku on? Jos tietolähteesi ei muuta kerro, et saa tästä irti enempää kuin kaksi merkitsevää numeroa! Luet toista tietolähdettä. Se kertoo varmana asiana, että Maan läpimitta on 1,2756 10 4 kilometriä. Näyttää tieteelliseltä. Onhan siinä tieteellisyyden vaikutelman lisäksi 5 merkitsevää numeroa. Sitten luet vielä kolmatta tietolähdettä, jonka mukaan Maan akselin pituus on 12714 kilometriä. Eikö Maan akseli ole myös Maan halkaisija? Ei. Asiaa tutkittuasi sinulle selviää, että Maan halkaisija päiväntasaajan kohdalla eli päiväntasaajan halkaisija on 12 756 kilometriä eli 1,2756 10 4 kilometriä ja Maan akselin pituus on 12 714 kilometriä eli 1,2714 10 4 kilometriä. Varmuuden välttämiseksi sorrut vielä viidenteen tietolähteeseen, joka ilmoittaa riemukkaasti, että: Maa (Tellus): pyörähdysakselin pituus d 1,2713550 10 4 km päiväntasaajan halkaisija D 1,2756320 10 4 km Arvovaltaisen näköinen, mutta No, tätä et tietenkään ota todesta! Nuohan annetaan metrin tarkkuudella! Entä jos merellä on myrsky? Aallot voivat olla yli kymmenmetrisiä. Tai entä jos joku tekee porakaivon Afrikassa juuri siihen, missä mittaus tehdään. Tai jos navoilla sataa lunta. Ja Maan massa kasvaa sitä paitsi joka vuorokausi 16 000 tonnilla avaruudesta tulevasta pölystä. Kasvaako myös Maan säde? Tämän tarinan opetus on se, että jos käytät omaa, tervettä järkeäsi, niin kovin pahasti et mene metsään. Tai jos menet, niin se ei oikeastaan ole sinun vikasi. Järkeväkään arvaus ei aina ole oikea, mutta järjen käyttäminen on parempi ajatus kuin tahallinen järjen hylkääminen. Esimerkki 5 Dalton (lyhenne Da) on molekyylimassan yksikkö. Se on yhden atomimassayksikön suuruinen eli 1,66053886 10 27 kg. Tämä on suunnilleen yhden vetyatomin massa. Tutkitaan daltonia eri tavoin pyöristettynä. Yksi dalton on milligramman tarkkuudella: 0 9 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1,66053886 10 27 kg eli 1,66053886 10 24 g 5 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1,6605 10 27 kg 5(12)
4 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1,661 10 27 kg 3 merkitsevän numeron tarkkuudella: 1,66 10 27 kg Esimerkki 6 Kuinka suuri on sellaisen tilin vuotuinen korkoprosentti, jolle sijoitetut varat kasvavat 10 vuodessa korkoa korolle 31 prosenttia? Ratkaisu Yhtälöstä x 10 =1,31 ratkaisemalla saadaan esimerkiksi 1,0273705907571677844974298017731 eli noin 2,74 prosenttia. Miksi ei esimerkiksi 1,027370591? Koska perusteita on vain korkokannalle r, jolle 1 r 10 100 =1,31 eli lähtöarvo on annettu kahden desimaalin tarkkuudella. Täten kysytty korkokanta on parhaan tietomme mukaan 2,74 prosenttia per annum. Vastaus: Kysytty korkoprosentti on 2,74. Huomaa! Laskujen tuloksena saadussa luvussa ei koskaan voi olla tarkkoja numeroita enempää kuin epätarkimmassa lähtöarvossa. Jos muuta neuvoa ei ole, käytä vastauksessa aina muulloin samaa tarkkuutta kuin epätarkimmassa lähtöarvossa, mutta yhteen- ja vähennyslaskun tapauksessa yhtä monta desimaalia kuin epätarkimmassa lähtöarvossa. Likiarvon virheestä Absoluuttisella virheellä tarkoitetaan virheen itseisarvoa. Merkitään tarkkaa arvoa x:llä ja likiarvoa x':lla. Silloin virhe = x ' x = x. Suhteellinen virhe määritellään vertaamalla absoluuttista virhettä tarkkaan arvo, joten suhteellinen virhe = x ' x = x x x. Suhteellinen virhe ilmaistaan usein prosentteina. Tieteessä ja tekniikassa sovelletaan usein periaatetta, jonka mukaan oikea arvo = virheellinen arvo miinus virhe. Toisin sanoen, oikea tulos saadaan, kun virhe poistetaan. Tällöin x= x' x. 6(12)
Esimerkki 7 Geodeettisen laitoksen nettisivulta : http://www.fgi.fi/asiantuntijapalvelut/pituus.php Kvartsimetrit Perusviivanmittauksissa Väisälä-komparaattorilla mittakaava saadaan kvartsimetrien kautta. Näiden noin metrin mittaisten mittanormaalien pituudet on saatu Mittatekniikan keskuksessa ja PTB:ssä (Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig, Saksa) tehtyjen absoluuttimittausten ja Turun yliopiston Tuorlan observatorion vertausmittausten avulla. Perusviivoja Suomessa Nummelan normaaliperusviiva on mitattu Väisälän interferenssikomparaattorilla 13 kertaa vuosina 1947-1996. Viimeisimmän mittauksen perusteella koko viivan pituus on 864 122,75 mm ±0,07 mm. Lainaus päättyy. Maanmittari haluaa mitata tonttinsa pinta-alan tarkasti. Hän mittaa suorakulmion muotoisen tonttinsa sivujen pituudet ja pyrkii tässä työssään samaan suhteelliseen tarkkuuteen kuin yllä kuvatussa Nummelan perusviivan mittauksessa on päästy. Jos oletetaan epärealistisesti, että maanmittari yltää mittaustarkkuudessaan tavoitteeseensa, niin laske hänen tonttinsa pinta-ala virhearvioineen, kun tontit mitat hänen mittaustensa mukaan ovat 73 metriä ja 75 metriä. Ratkaisu Maanmittarin mittausten suhteelliset virheet mittauksissa ovat ja x= 0,07 73000mm 0,006 mm 864122,75 y= 0,07 75000mm 0,006 mm 864122,75 Tontin mitat ovat siis 73 000 mm ± 0,006 mm ja 75 000 mm ± 0,006 mm, joten tontin pinta-ala on välillä 73 000 0,006 75000 0,006 mm 2... 73 000 0,006 75 000 0,006 mm 2 5,475 10 9 mm 2 ±8,88 10 2 mm 2. eli välillä Vastaus: Tontin ala on noin 5,475 10 9 mm 2 ±8,88 10 2 mm 2. Koska 888 mm² on todella vähän verrattuna yli puolen hehtaarin alaan, niin näemme, että Suomesta löytyy todella tarkkaa tekniikkaa. 7(12)
Huomaa! Käytä aina mielekästä tarkkuutta, myös silloin, kun sitä ei erikseen pyydetä. Huomaa! Muutamat laskimet ja tietokoneohjelmat eivät pyöristä tuloksiaan vaan katkaisevat ne. Tällöin laskutuloksen viimeinen numero on epätarkempi kuin jos se olisi pyöristetty oikeaoppisesti. Lukuarvo on aina pyöristettävä, jos mahdollista, ei katkaistava. Teknisissä ja tieteellisissä tarkoituksissa luvut pyöristetään yleensä lähimpään parilliseen. Tästä aiheutuu paljon pienempi virhe kuin kaupallista pyöristystapaa käytettäessä, koska pitkissä laskuissa virheet tasoittuvat paremmin. Välttämättömästä tarkkuudesta Esimerkki 8 Kuinka suuri on sellaisen tilin korkoprosentti vuodessa, jolle sijoitetut varat kasvavat 25 vuodessa korkoa korolle 50 prosenttia? Ratkaisu Ratkaistaan x yhtälöstä: Tulos on x 25 =1,50 ln 1,5 25 x=e. Tämä on tarkka ratkaisu tai tarkka arvo. Erään laskimen antama likiarvo on x 1,016350840. Tästä saadaan koroksi 0,016350840 eli 1,6350840 %. Koska 25 vuotta voidaan pitää tarkkana arvona, kun 50 on puolestaan korkeintaan kolmen merkitsevän numeron likiarvo. Koska kyseessä ovat valuuttalaskut, oletetaan, 50 prosentin tuotto on myös tarkalleen kolmen merkitsevän numeron likiarvo. Kuinka monta merkitsevää numeroa se oikeuttaa ratkaisuun? Kokeillaan kolmea merkitsevää numeroa eli likiarvoa 1,64 prosenttia. 1,0164 25 1,50. Tarkistetaan vielä likiarvo 1,63 prosenttia: Hups! 1,0163 25 1,50. 8(12)
1,0165 25 1,51. Liikaa! Kolme merkitsevää numeroa on liian vähän. Otetaan uudestaan. ln 1,5 x=e 25 1,01635. Kokeillaan likiarvoja 1,01634; 1,01635 ja 1,01636: 1,500 338 017 1,01634 25 =1,4996 1,01635 25 =1,5000 1,01636 25 =1,5003 Vastaus: Korkoprosentti on 1,635. Mahdollisesta tarkkuudesta Tarkkuudelle asettavat ylärajan ainakin laskujen pohjana olevan teorian epätarkkuudet (kuten klassinen mekaniikka contra suhteellisuusteoria) lähtöarvojen epätarkkuudet numeeriset menetelmät ovat usein lähtökohtaisesti likimääräisiä, kun tarkka kaava korvataan helpommin käsiteltävällä likiarvokaavalla koneen ja ohjelmistojen epätarkkuudet ja virheet koneen hitaus: menetelmä antaa mielivaltaisen tarkan ratkaisun, jos voit odottaa rajattoman kauan Jos käytössäsi on ohjelmoitava laskin tai jokin ohjelmointikielen kääntäjä tai tulkki, voit arvioida välineesi tarkkuutta (accuracy) aritmeettisissa operaatioissa seuraavalla algoritmilla: 1) Annetaan muuttujille x, i, j arvot (vastaavasti) 1, 0, 0. 2) Laske x + 1. 3) Onko x x + 1? 4) x x + 1: 1. muuta muuttujan j arvoksi j + 1. 2. muuta muuttujan x arvoksi 2x. 3. palaa kohtaan 3) 9(12)
5) x = x + 1: 1. muuta muuttujan i arvoksi 0,30103 j. 2. tulosta i. 6) Loppu Seuraavassa muutamalla laskimella saadut tulokset HP-48G: 12,041. HP-33s: 11,740. TI-84Plus: 10,536. TI-Voyage200: 14,148 (liukuluvuilla, floating point). sekä yhdellä tietokoneohjelmalla saatu tulos. Python 3.0 ohjelmointikieli antoi tuloksen 15,955. Koodi oli seuraava. Siinä 0,30103 = lg 2. #Based on Astronomical Algorithms by Jean Meeus, 1. English edition, p. 17. x,j=1.,0 while x!=x+1: j=j+1 x=2*x print(0.30103*j) Mikä sinun mielestäsi olisi näitten tulosten järkevä esitystarkkuus? Käytettyjen numeroitten määrä ei välttämättä ole sama asia kuin saavutettava tarkkuus. Käsitteellä liukuluku tarkoitetaan sellaista luvun esitystapaa, jossa on etumerkki, mantissa ja eksponentti. Mantissaan mukaan otettavien numeroiden määrän voit valita tilanteen mukaiseksi. Eksponentin kantaluku on 10. Esimerkki 9 1,23456 10 126 Tarkista, miten sinun koneesi ilmoittaa liukuluvut. Esimerkiksi kantaluvun 10 kohdalla saattaa lukea E tai EE eikä kertomerkkiä ole välttämättä ollenkaan. Esimerkki 10 Kuten on helppo uskoa, säännöllisen monikulmion eli säännöllisen n kulmion piirin pituus on sitä lähempänä n kulmion ympäri piirretyn ympyrän kehän pituutta mitä suurempi n on ja lähestyy tätä alhaalta päin. Tästä syystä monikulmion piirin ja ympyrän halkaisijan suhde lähestyy piitä, kun n 10(12)
kasvaa rajatta. Merkitään säännöllisen n kulmion keskuskolmion kantaa kirjaimella d ja sen kylkeä kirjaimella r. Tällöin r on myös puheena olevan ympyrän säde. Kosinilauseen nojalla saadaan: d = 2r2 [ 1 cos 360º n ]. Piin arvolle saadaan tämän avulla yhtälö n s =lim n 2r =lim n 360º 2 1 cos n 2 n. Taulukoidaan funktion p n = n 2 Erään laskimen tulokset: 360º 2 1 cos arvoja eri n:n arvoilla. n n:n arvo p(n) 100 3,141 075 907 814 1 10 4 3,141 592 589 754 5 10 6 3,141 655 614 48 10 7 3,162 277 660 168 4 2 10 7 3,162 277 660 168 4 2,5 10 7 3,061 862 178 479 3 10 7 3,0 3,5 10 7 3,5 3,6 10 7 3,6 3,7 10 7 2,616 295 090 390 2 3,8 10 7 2,687 005 768 508 9 4 10 7 2,828 427 124 746 2 5 10 7 3,535 533 905 932 8 6 10 7 4,242 640 687 119 3 7 10 7 0 Ilmiö johtuu siitä, että koneet laskevat äärellisellä määrällä numeroita. 11(12)
Laskentavälineitten tarkkuus on erityisellä koetuksella seuraavissa tilanteissa: pienellä luvulla jakaminen eli jaetaanko nollalla vai ei ykkösen lähellä olevan luvun logaritmi esimerkiksi korkolaskuissa luvun korottaminen melkein ykköseen Joskus laskujen suorittamisjärjestys vaikuttaa tuloksessa saavutettavaan tarkkuuteen. Taulukoi 1 esimerkiksi lausekkeen x 1 x= x 1 x potenssin arvoja alkaen vaikkapa arvosta x = 10 11. arvoja, kun x saa erilaisia kymmenen 12(12)