30A02000 Tilastotieteen perusteet

Samankaltaiset tiedostot
Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?

dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Todennäköisyyden ominaisuuksia

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Suotuisien tapahtumien lukumäärä Kaikki alkeistapahtumien lukumäärä

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

&idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo, keskihajonta ja varianssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

Todennäköisyysjakaumia

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

Opiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

3.7 Todennäköisyysjakaumia

Ilkka Mellin (2008) 1/5

Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Keskihajonta ja korrelaatio

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

(x, y) 2. heiton tulos y

Yleistä tietoa kokeesta

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Transkriptio:

30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II

Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

1. välikoe Tiistaina 22.10.2019 klo 14.00-17.00, salissa U2. Sallitut apuvälineet: yliopiston laskin. Omia laskimia ei sallita. Normaalijakauman taulukko (sama kuin mycourses-sivuilla) jaetaan. Kysymyspaperi on palautettava! 5 tehtävää, joista kustakin saa pisteitä 0-6. Yhdessä tehtävässä voi olla useita alakohtia (esim. a-c) jotka eivät välttämättä ole samanarvoisia. Alakohdista saatavat pisteet on merkitty kysymyspaperiin. Yksi tehtävistä on monivalinta, jossa on 6 kysymystä ja jokaisessa 2 vaihtoehtoa (oikeasta vastauksesta 1 piste, väärästä -1 piste, tyhjästä 0. Kokonaispisteet silti välillä 0-6). Mahdollisia tehtävätyyppejä: selitystehtävä, suora lasku, sanallinen tehtävä.

Yleisohjeita Mitä kysytään Tehtävien tarkoitus on mitata ymmärtämistä ja soveltamista, ei ulkoa opittuja kaavoja. Esimerkki: selitystehtävässä ei ole tarkoitus muistaa luentokalvojen lauseita ulkoa, vaan selittää omin sanoin miten asian on ymmärtänyt. Vastaamisesta Perustele vastauksesi. Oikea tulos ilman perusteluja tuo nolla pistettä, kun taas oikea perustelu mutta esim. laskuvirheen vuoksi väärä vastaus tuo lähes täydet pisteet. Poikkeuksena monivalintatehtävä jossa vastaus riittää. Välikokeessa (ja elämässä yleensä) kannattaa yrittää! Tyhjästä vastauksesta ei kuitenkaan varmasti saa pisteitä joten miksipä ei jotakin raapustaisi.

Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

Joukko-opista: keskeiset asiat Uusien joukkojen muodostaminen joukko-opin perusoperaatioiden avulla. Perusjoukon käsite

Tapahtumien yhdisteleminen Yhteenveto Termi Merkintä Määritelmä Venn-kaavio Tulkinta Perusjoukko S {x S : x S} Varma tapahtuma Osajoukko A {x S : x A} A toteutuu Osajoukko B {x S : x B} B toteutuu Leikkaus A B {x S : x A ja x B} A ja B toteutuvat Yhdiste A B {x S : x A tai x B} A tai B toteutuu Erotus A \ B {x S : x A ja x B} A toteutuu mutta B ei Erotus B \ A {x S : x B ja x A} B toteutuu mutta A ei Komplementti A c {x S : x A} A ei toteudu Komplementti B c {x S : x B} B ei toteudu Tyhjä joukko {x S : x S} Mahdoton tapahtuma

Lukumääristä: keskeiset asiat Yhteenlaskuperiaate (liittyen sanaan tai) Kertolaskuperiaate (liittyen sanaan ja) Permutaatiot n(n 1)... (n k): kun n:n alkion joukosta valitaan k yksikköä jonoon palauttamatta. Erityisesti n! = n(n 1)... 2 1 Kombinaatiot ( n k) : kun valitaan n:n alkion joukosta k:n kokoinen osajoukko (järjestyksellä ei väliä)

Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

Todennäköisyyslaskenta: keskeiset asiat Todennäköisyyden luonne suhteellisena osuutena Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus Osituskaavan ja Bayesin kaavan soveltaminen

Todennäköisyyden perussäännöt Yleinen summasääntö: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Poissulkevien summasääntö: P(A B) = P(A) + P(B), kun A B =. Vastakohdan ja erotuksen todennäköisyys: P(A c ) = 1 P(A), P(B \ A) = P(B) P(A B). Monotonisuus: P(A) P(B), kun A B.

Ehdollinen todennäköisyys ja riippumattomuus Ehdollinen todennäköisyys P(A B) = P(A B), P(B) 0 P(B) eli todennäköisyys A:lle, kun tiedetään että B tapahtui. Riippumattomuus Tapahtumat riippumattomia, jos P(A B) = P(A)P(B) tai yhtäpitävästi P(A B) = P(A) (todennäköisyys ei muutu vaikka tiedetään että B tapahtui)

Tulosääntö, osituskaava ja Bayesin kaava Tulosääntö: P(A 1... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A k A 1... A n 1 ) Ositussääntö: jos B 1,..., B n on ositus (eli muodostavat yhdessä koko perusjoukon) niin Bayesin kaava: P(A) = n P(B i )P(A B i ). k=1 P(A B) = P(B A)P(B) P(A)

Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

Satunnaismuuttujat: keskeiset asiat Satunnaismuuttujan ja todennäköisyysjakauman käsitteet keskeiset termit: diskreetti jakauma: pistetodennäköisyysfunktio p(x) = P(Y = x) ja kertymäfunktio F (x) = P(Y x) jatkuva jakauma: tiheysfunktio f (x) ja kertymäfunktio F (x) = P(Y x) odotusarvo E(X ) varianssi Var(X ) ja keskihajonta SD(X )

Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

Diskreetit jakaumat: keskeiset asiat Binomijakauma Bin(n, p) Asetelma, jossa toistetaan operaatiota n kertaa ja lasketaan onnistumisten lukumäärä. Yksittäisellä operaatiolla onnistumisen tn on p Vastaavasti binomijakauma vastaa tilannetta, jossa otanta suoritetaan palauttaen (onnistuminen vastaa ominaisuuden A esiintymistä otoksessa) Hypergeometrinen jakauma Hypergeom(N, K, n) Perusjoukossa N yksikköä, ja K yksiköllä on mielenkiinnon kohteena oleva ominaisuus A. Poimitaan n yksikköä satunnaisesti palauttamatta ja tarkastellaan otoksessa ominaisuuden A esiintymistä

Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi ja kombinatoriikka Todennäköisyyslaskentaa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Diskreettejä jakaumia Jatkuvat jakaumat ja normaalijakauma

Jatkuvat jakaumat: keskeiset asiat Pistetodennäköisyyksiä ei ole : jokaiselle yksittäiselle x pätee P(Y = x) = 0. Yksittäisten pisteiden sijaan tarkastellaan välien todennäköisyyksiä. Todennäköisyys olla välillä [a, b] saadaan kertymäfunktion F Y (x) = P(Y x) avulla P(a X b) = F (b) F (a).

Normaalijakauma: keskeiset asiat Kertymäfunktion Φ(x) arvojen lukeminen luvuilla x 0 taulukosta. Erilaisten todennäköisyyksien palauttaminen lausekkeiksi, jotka sisältävät kertymäfunktion Φ(x) arvoja luvuilla x 0: P(Z > x) = 1 Φ(x) (komplementtisääntö) Φ( x) = 1 Φ(x) (symmetria) P(x < Z < y) = Φ(y) Φ(x) Normittaminen: Yleisen X N(µ, σ 2 ) palauttaminen standardoituun Z N(0, 1) muunnoksella Z = X µ σ. Keskeinen raja-arvolause Ei tarvitse osata ulkoa, vaan ymmärtää sen filosofinen merkityksen