MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R o tasaisesti jatkuva. (c) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1] R o tasaisesti jatkuva. (a) Väite o tarua. Olkoo f : R R, f(x) = x. f o polyomia jatkuva, mutta Esimerki 7.1.6 mukaa f ei ole tasaisesti jatkuva. (b) Väite o tarua. Olkoo f : [0, 1[ R, f(x) = 1 x 1. Olkoo myös ε = 1 ja valitaa joot x = 1 1 ja z = 1 1 +1. Nyt ku. Kuiteki x z = 1 1 1 + 1 + 1 = eli f ei ole tasaisesti jatkuva välillä [0, 1[. ( + 1) + 1 ( + 1) = 1 ( + 1) 0, f(x ) f(z ) = + + 1 = 1 ε (c) Väite o totta Lausee 7.1.9 ojalla. 1
Tehtävä 3 Osoita, että fuktio f : R R, f(x) = si(x), o tasaisesti jatkuva reaalilukuje joukossa. Sii summatulosta saadaa, että x y si x si y = si cos Valitaa δ = ε, jolloi x + y. f(x) f(y) = si x si y x y x + y si cos = x y x + y si cos x y = x y < δ = ε kaikilla x, y R, x y < δ. Siispä si x o tasaisesti jatkuva R:ssä ja väite o site osoitettu.
Tehtävä 5 Osoita, että f : R R, f(x) = 1 1+x, o tasaisesti jatkuva reaalilukuje joukossa. Ku x 1, f o tasaisesti jatkuva välillä [ 1, 1] Lausee 7.1.9 ja ratioaalifuktio jatkuvuude perusteella. Olkoot siis x > 1, y > 1 ja ε > 0. Valitaa δ = ε > 0, jolloi f(x) f(y) = 1 1 + x 1 1 + y = x y (1 + x )(1 + y ) x + y (1 + x )(1 + y x y ) 1 + x 1 + x + 1 + y 1 + y x y = x y < δ = ε kaikilla x, y R \ [ 1, 1], x y < δ. Siispä f o tasaisesti jatkuva myös välillä R \ [ 1, 1], jote f o tasaisesti jatkuva koko R:ssä ja väite o site osoitettu. 3
Tehtävä 9 Osoita, että f : ]0, [ R, f(x) = log x, ei ole tasaisesti jatkuva joukossa ]0, [. Olkoot x = 3 ]0, [ ja z = 1 ]0, [ jooja ja ε = 1. Nyt ku. Kuiteki x z = 3 1 = 0, f(x ) f(z ) = log 3 log 1 = log 3 1 = log 3 1 = ε. Nyt Lemma 7.1.8 perusteella f(x) = log x ei ole tasaisesti jatkuva välillä ]0, [. 4
Tehtävä 1 Olkoo f : ]0, [, f(x) = si 1 x. Osoita, että f ei ole tasaisesti jatkuva joukossa ]0, [. Olkoot x = 1 π ]0, [, z = 1 π+ π ]0, [ jooja ja ε = 1. Selvästi lim (x 1 z ) = lim π(4 + 1) = 0, mutta f(x ) f(z ) = si(π) si π + π = 0 1 = 1 ε, jote Lemma 7.1.8 mukaa f(x) = si 1 x ei ole tasaisesti jatkuva välillä ]0, [. 5
Tehtävä 17 Aa esimerkit tasaisesti jatkuvista fuktioista f : A R ja g : A R site, että iide tulofuktio h : A R, h(x) = f(x)g(x), ei ole tasaisesti jatkuva joukossa A. Olkoot f, g : R R, f(x) = g(x) = x. f ja g ovat tasaisesti jatkuvia R:ssä lieaariaffiieia fuktioia Esimerki 7.1.3 mukaa. Kuiteki h : R R, h(x) = f(x)g(x) = x, ei ole tasaisesti jatkuva R:ssä Esimerki 7.1.6 mukaisesti. Vastaus: f, g : R R, f(x) = g(x) = x. 6
Tehtävä 19 Olkoot A R, ja f : A R ja g : A R tasaisesti jatkuvia ja rajoitettuja fuktioita joukossa A. Osoita, että h : A R, h(x) = f(x)g(x) o tasaisesti jatkuva joukossa A. (Vikki: Kirjoita f(x)g(x) f(y)g(y) = f(x)[g(x) g(y)] + g(y)[f(x) f(y)].) Nyt h(x) h(y) = f(x) g(x) f(y)g(y) = f(x)g(x) + f(x)g(y) f(x)g(y) f(y)g(y) = f(x)[g(x) g(y)] + g(y)[f(x) f(y)] f(x) g(x) g(y) + g(y) f(x) f(y). Koska f ja g ovat rajoitettuja, M f, M g 0 site, että f(x) M f ja g(x) M g kaikilla x A. Jos M f = 0 tai M g = 0 tai M f = M g = 0, tällöi h(x) = f(x) tai h(x) = g(x) tai h(x) = 0. Oletukse mukaa f ja g ovat tasaisesti jatkuvia, ja x 0 o vakioa myös tasaisesti jatkuva, jolloi myös h o tasaisesti jatkuva. Oletetaa siis, että M f, M g > 0. Tasaise jatkuvuude oletuksesta saadaa myös, että ε > 0 δ f, δ g > 0 site, että f(x) f(y) < ε x, y A, x y < δ f ja g(x) g(y) < ε x, y A, x y < δ g. Valitaa yt δ = max{δ f, δ g }, jolloi h(x) h(y) f(x) g(x) g(y) + g(y) f(x) f(y) M f g(x) g(y) + M g f(x) f(y) < M f kaikilla x, y A joille x y < δ. Siispä h o tasaisesti jatkuva joukossa A ja saatii väite. ε ε + M g = ε M f M g 7
Tehtävä A Tutki joo (z ), missä z = cos(π), suppeemista Cauchy suppeemiskriteerio avulla. Olkoo ε > 0. Havaitaa, että cos(π) = ±1 N. Valitaa yt N ε N site, että N ε > ε ja oletetaa, että m. Tällöi z z m = cos(π) cos(π) = 1 + 1 m cos(mπ) m + cos(mπ) m 1 + 1 = N ε = ε kaikilla m > N ε. Siispä (z ) o Cauchy-joo, jote Lausee A.0.6 mukaa (z ) suppeee. 8
Tehtävä A3 Oletetaa, että (x ) o lukujoo site, että x x +1 kaikilla N. Osoita, että (x ) suppeee. Oletetaa, että m, jolloi k = m 0. Jos k = 1, tällöi Jos taas k > 1, saadaa kolmioepäyhtälöllä x x m = x x +1. x x m = x x +k = x x +1 + x +1 x +1 +... + x +k 1 x +k x x +1 + x +1 x + +... + x +1 1 x +k + (+1) +... + (+k 1) k k = 1 1 Valitaa yt N ε N site, että N ε > log 1 ε. Nyt = ( 1). x x m ( 1) Nε < 1 log 1 ε ja siis (x ) o Cauchy-joo ja site Lausee A.0.6 mukaa (x ) suppeee. = ε 9