Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio. Osoita, että myös Y on diskreetti ja määritä sen pistetodennäköisyysfunktio. (b) Toista sama, kun sanat diskreetti ja pistetodennäköisyysfunktio korvataan sanoilla jatkuva ja tiheysfunktio. Ratkaisu. Merkitään Y = g(x), missä g(x) := ax + b sekä a ja b ovat kuten yllä. (a) Koska X on diskreetti satunnaismuuttuja, sen arvojoukko on joko äärellinen tai numeroituvasti ääretön 1. Jokainen funktio kuvaa määrittelyjoukkonsa kunkin alkion täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon, joten funktion g maalijoukko on enintään yhtä suuri kuin sen lähtöjoukko. Siten myös satunnaismuuttujan Y = g(x) arvojoukko on äärellinen tai numeroituvasti ääretön. Tällöin Y on diskreetti. Kuvaus g on niin sanottu affiini kuvaus, sillä se koostuu skaalauksesta ja siirrosta. Tällaiset kuvaukset ovat bijektioita eli lähtöjoukon ja maalijoukon alkioiden välillä on yksi yhteen -vastaavuus. Selvitetään funktion g käänteisfunktio: y = ax + b y b = ax x = y b a. Merkitään materiaalin tavoin h(y) := g 1 (y) = (y b)/a. Tällöin ( ) y b f Y (y) = f X (h(y)) = f X. a Koska g on yksi yhteen -kuvaus, emme tarvitse Lauseessa 2.10 esitettyä summakaavaa. (b) Käytetään Lausetta 2.12. Tätä varten täytyy tarkistaa, että g täyttää diffeomorfismin ehdot: 1 Yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko N, eli joukon alkiot voi laittaa yksi-yhteen vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa. Tarkemmin sanottuna joukko A on numeroituvasti ääretön, jos voimme löytää bijektion f : N A. Reaalilukujen joukko R on ylinumeroituva eli aidosti mahtavampi kuin kuin N, mutta rationaalilukujen joukko Q on numeroituva! 1
Edellä todettiin, että g on bijektio. Lisäksi g on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, joten Lauseen 2.12 merkinnöin A = B = R. (Väli R = (, ) on avoin ja selvästi P(X R) = 1.) Funktio g on jatkuvasti derivoituva, sillä sen derivaatta on kaikkialla a. Samoin funktio h on jatkuvasti derivoituva ja sen derivaatta on 1/a. Voimme siis käyttää Lausetta. Tällöin satunnaismuuttujan Y jakauma on jatkuva ja sen tiheysfunktio on ( ) y b 1 f Y (y) = f X (h(y)) h (y) = f X a a. 2. Määritä eksponenttijakauman Exp(λ) mediaani sekä ala- ja yläkvartiilit. Ratkaisu. Tarkastellaan ensin yleistä kvantiilia q (0, 1) ja ratkaistaan sen avulla kysytyt kvartiilit. Halutaan siis selvittää x > 0, jolla P(X x) = q. Kvantiilifunktio saadaan ratkaisemalla x: P(X x) = q 1 e λx = q e λx = 1 q λx = ln(1 q) x = ln(1 q). λ Mediaani eli toinen kvartiili on tapaus q = 1/2. Hyödynnetään kahta havaintoa: ensinnäkin (a/b) = (b/a) 1 ja toisekseen log(a c ) = c log a. Siten x = ln(1/2) λ = ln(2 1 ) λ Samalla päättelyllä saadaan alakvartiili (q = 1/4) ja yläkvartiili (q = 3/4) x = ln( 4 3 ) λ x = ln 4 λ. = ln 2 λ. 2
3. Satunnaisen puhelinsoiton kestoa voidaan mallintaa eksponenttijakaumalla, X Exp(λ). Vaikka soittaja päättäisi katkaista puhelun lyhyeen, jokaiseen aloitettuun soittoon liittyvä yhteyden muodostaminen aiheuttaa aina vähintään vakioajan α > 0 kestävän kuormituksen puhelinverkossa. Täten puhelun aiheuttama verkon kuormitusaika on Y = max(α, X). Totea, että Y noudattaa sekatyypin jakaumaa, ja esitä sen kertymäfunktio konveksina kombinaationa diskreetin ja jatkuvan jakauman kertymäfunktioista esimerkin 2.6 tapaan. (Tämä malli on oikeasti (ainakin ollut) käytössä eräässä matkapuhelinverkkoyhtiössä. Järkeviä lukuarvoja voisivat olla esim. λ = 1/(30 s) ja α = 3 s.) Ratkaisu. Tapa 1. Kysytyn kertymäfunktion tulisi näyttää satunnaismuuttujan X Exp(λ) kertymäfunktiolta sillä erolla, että pisteeseen α asti arvo on nolla. Yritetään muodostaa tällainen jakauma. 1 α Edellisten laskuharjoitusten tehtävässä 4 osoitettiin eksponenttijakauman muistinmenetysominaisuus P(X > x X > α) = P(X > x α). Voimme siis määritellä satunnaismuuttujan X, jonka kertymäfunktio on F X(x) = F X (x α). Tämä kertymäfunktio on nollaa aina pisteeseen α asti. Toiseksi jakaumaksi voimme ottaa diskreetin satunnaismuuttujan Z, joka saa arvon α todennäköisyydellä 1. Tällöin sen kertymäfunktio on F Z (z) = 1{z α}. Näiden kahden kertymäfunktion konveksi kombinaatio on muotoa F Y (y) = tf X(y) + (1 t)f Z (y), missä t [0, 1] on jokin vakio. Tämä todella on kertymäfunktio, sillä se täyttää kahden kasvavan ja oikealta jatkuvan funktion summana itsekin nämä ehdot. Lisäksi F Y ( ) = 0 ja F Y ( ) = 1, sillä t + (1 t) = 1. 3
Vakio t saadaan ratkaistua vaatimuksesta F Y (α) = P(X α). Jatkuvuuden nojalla F X(α) = 0 ja määritelmän nojalla F Z (α) = 1. Siis saadaan yhtälö F Y (α) = P(X α) 1 t = F X (α) 1 t = 1 e λα 1{α > 0} t = e λα. Saatu luku t kelpaa, sillä e s > 0 kaikilla s R ja toisaalta e s < 1 kaikilla s < 0. Siispä lopullinen kertymäfunktio on F Y (y) = e λα F X(y) + ( 1 e λα) F Z (y). Tämä on sekatyypin jakauma, sillä kertymäfunktio ei ole jatkuva muttei myöskään diskreetti: satunnaismuuttuja Y voi saada minkä tahansa arvon välillä (α, ). Tapa 2. Havaitaan, että max(α, X) = 1 {X>α} X + 1 {X α} α. Tällöin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio voidaan kirjoittaa F Y (y) = P(max(α, X) y) = P(1 {X>α} X + 1 {X α} α y). Tarkastellaan erillisiä tapahtumia {X α} ja {X > α}. Kokonaistodennäköisyyden nojalla edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa summana kahdesta ehdollisesta todennäköisyydestä. Indikaattorifunktiot saavat vakioarvoja (joko 0 tai 1) näillä ehdoilla, joten lausekkeet yksinkertaistuvat: F Y (y) = P(α y X α)p(x α) + P(X y X > α)p(x > α). Todennäköisyys P(α y X α) on nolla, kun y < α ja yksi, kun y α. Siispä ensimmäiseksi kertymäfunktioksi voidaan valita F α (y) = 1 {y α}. Toisessa termissä esiintyy eksponenttijakauman kertymäfunktio. Muistinmenetysominaisuuden perusteella P(X y X > α) = 1 P(X > y X > α) = 1 P(X > y α) = P(X y α). Selvästikin tämä todennäköisyys on nolla, jos y α < 0 eli y < α. Viimeisenä eksponenttijakauman kertymäfunktiosta saadaan P(X α) = 1 e λα ja P(X > α) = e λα. 4
Yhdistämällä nämä saadaan F Y (y) = (1 e λα )1 {y α} + e λα (1 e λ(y α) ). Huom! Luentomonisteessa on virhe esimerkissä 2.6.: Diskreetin kertymäfunktion pitäisi olla F d (x) = 1, kun x 2. Ratkaisujen lopussa on johdettu esimerkin 2.6. ratkaisu käyttäen tapa 2:n ideaa. 4. Olkoon F kertymäfunktio. Tarkastellaan joukkoa J u = {x R : F (x) u}. (a) Olkoon u (0, 1). Osoita (määritelmän 2.9 jälkeen todettu väite), että joukko J u on muotoa [t, ) oleva väli jollakin t R. (b) Olkoon u = 1. Osoita esimerkeillä, että J 1 voi olla (kertymäfunktiosta F riippuen) joko samaa muotoa kuin edellä tai. Ratkaisu. (a) Noudatetaan tehtävämonisteessa esitettyjä vihjeitä. i. Olkoon x J u. Tällöin koska F X on kertymäfunktiona kasvava, niin kaikilla y > x pätee F X (y) F X (x) u, jossa jälkimmäinen epäyhtälö seuraa joukon J u määritelmästä eli y J u. ii. Koska kertymäfunktio F X on oikealta jatkuva, voidaan valita vähenevä jono (x n ), jolla x n x, eli jokaiselle jonon jäsenelle pätee x 1 x 2... x n x n+1... x kaikilla n N, ja lim F X (x n ) = F X (x). n Koska F X (x n ) u kaikilla n N, niin F X (x) u. Kohdasta i. seuraa, että jos x J u, niin [x, ) J u. Kohdasta ii. taas seuraa, että jos (x, ) J u, niin myös [x, ) J u. Avoimelta väliltä (x, ) voidaan nimittäin valita alkoita kuten x n = x + 1/n, joiden muodostama jono (x n ) on vähenevä ja lähestyy pistettä x. Täten joukko J u on aina puoliavoin väli. Vielä täytyy tarkistaa, että J u ei ole tyhjä joukko. Koska lim x F X (x) = 1, niin jokaista u (0, 1) vastaa jokin x R, jolla F X (x) u eli x J u. 5
(b) Olkoon F N tavallisen nopanheiton kertymäfunktio. Koska P(N 6) = 1 ja toisaalta P(N < 6) = F N (6 ) = 5/6, niin J N,1 = [6, ). Toisaalta olkoon J E eksponenttijakauman kertymäfunktio jollakin parametrilla λ > 0. Olkoon M > 0. Nyt F E (M) = 1 e } λm {{} < 1, >0 joten M / J E,1. Koska M oli mielivaltainen, niin J E,1 =. 5. Todista monisteen Lause 2.11: Jos F on mielivaltainen kertymäfunktio ja U U(0, 1), niin satunnaismuuttujalla F 1 (U) on jakauma, jonka kertymäfunktio on F. Huomaa, että tässä F 1 on määritelmän 2.9 mukainen yleistetty käänteisfunktio eli kvantiilifunktio, ts. tässä ei oleteta käänteisfunktion olemassaoloa tavallisessa mielessä! Ratkaisu. Merkitään Z = F 1 (U), jossa funktion F 1 määritelmä on F 1 (u) = inf{x : F (x) u}. Olkoon z R. Nyt siis F Z (z) = P(F 1 (U) z) = P(z J U ), jossa ensimmäinen yhtälö seuraa määritelmästä ja jälkimmäinen siitä, että ehdot z J U ja F (z) U ovat yhtäpitäviä, sillä edellisen tehtävän nojalla J U on muotoa [t, ) oleva väli, missä t R on pienin luku, joka toteuttaa ehdon F (t) U. Siten P(z J U ) = P(U F (z)). Koska F (z) on jokin kiinteä luku välillä [0, 1] ja U tasajakautunut satunnaismuuttuja, niin tasajakauman kertymäfunktion määritelmän nojalla tällöin P(U F (z)) = F (z). Yhdistämällä yllä oleva nähdään, että F Z (z) = F (z). 6. Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f. Osoita, että Y = sin(x) on myös jatkuva satunnaismuuttuja ja määritä sen tiheysfunktio. (Vihje: lause 2.13.) 6
Ratkaisu. Jaetaan reaaliakseli avoimiin väleihin, joilla sinifunktio on bijektio. Niputamme muotoa π/2 + kπ, k Z, olevat pisteet joukoksi A 0. Koska tämä joukko on numeroituva, niin P(X A 0 ) = 0. g 0,0 g 1,0 π/2 π/2 3π/2 g g0,1 1, 1 Määritellään avoimet välit A 0,k := ( π/2, π/2) + k2π ja A 1,k := (π/2, 3π/2) + k2π jokaisella k Z. 2 Näitä välejä on numeroituvasti ääretön määrä kuten Lauseessa vaaditaan. Kaikilla näistä väleistä sin x saa arvoja koko väliltä ( 1, 1) = B i,k. Kullakin näistä väleistä rajoittumafunktio g Ai,k on bijektio (kuva riittää perusteluksi). Lisäksi g on jatkuvasti derivoituva (g (x) = cos x) kaikkialla. Käänteisfunktiot h i,k ovat muotoa h 0,k (y) = 2kπ + arcsin y, h 1,k (y) = 2kπ + π arcsin y, missä arcsin y tuottaa arvoja välillä ( π/2, π/2) ja edessä oleva termi siirtää tuloksen lähtövälille. 3 Jokaisella näistä funktioista on välillä ( 1, 1) jatkuva derivaatta h 1 i,k(y) = ±. 1 y 2 Nyt kaikki Lauseen 2.13 oletukset toteutuvat. Näin ollen Y on jatkuva satunnaismuuttuja ja sen tiheysfunktio on f Y (y) = [ fx (h 0,k (y)) h 0,k (y) + fx (h 1,k (y)) h 1,k (y) ] k Z = k Z [f X (2kπ + arcsin y) + f X (π + 2kπ + arcsin y)] 1 1 y 2, kun 1 < y < 1, ja f Y (y) = 0 muutoin. 2 Näissä joukoissa on käytetty Lauseesta 2.13 poikkeavia alaindeksejä selkeyden vuoksi. Niiden ja lukujen 1, 2,... välillä on kuitenkin bijektio. 3 Funktio arcsin on määritelty näin yksikäsitteisyyden takia. Muuten se saisi äärettömän monta arvoa kussakin välin [ 1, 1] pisteessä. 7
Esimerkki 2.6. Koska X on tasajakautunut välillä (0,4), niin P(X x) = x, kun x (0, 4) ja 0 4 muulloin. Satunnaismuuttuja Y = min(max(x, 1), 2) voidaan kirjoittaa indikaattorimuuttujien avulla Y = 1 {X<1} 1 + 1 {1 X 2} X + 1 {X>2} 2. Tällöin satunnaismuuttujan Y kertymäfunktio voidaan kirjoittaa F Y (y) = P(min(max(X, 1), 2) y) = P(1 {X<1} 1 + 1 {1 X 2} X + 1 {X>2} 2 y). Tapahtumat {X < 1}, 1 X 2 ja {X > 2} ovat erillisiä ja niiden unioni on koko tapahtuma-avaruus; ne muodostavat tapahtuma-avaruuden osituksen. Kokonaistodennäköisyyden nojalla edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa summana kolmesta ehdollisesta todennäköisyydestä. Indikaattorifunktiot saavat vakioarvoja (joko 0 tai 1) näillä ehdoilla, joten lausekkeet yksinkertaistuvat: F Y (y) = P(1 y X < 1)P(X < 1) + P(X y 1 X 2)P(1 X 2) + P(2 y X > 2)P(X > 2). Todennäköisyys P(1 y X < 1) on nolla, kun y < 1 ja yksi, kun y 1. Eli P(1 y X < 1) = 1 {y 1}. Todennäköisyys P(X y 1 X 2) on nolla, kun y < 1; y 1, kun 1 y 2; ja yksi, kun y > 2. Todennäköisyys P(2 y X > 2) on nolla, kun y < 2 ja yksi, kun y 2. Eli P(2 y X > 2) = 1 {y 2}. Koska X on tasajakautunut, saadaan laskettua todennäköisyydet P(X < 1) = 1 4, P(1 X 2) = 2 1 4 = 1 4 ja P(X > 2) = 1 P(X 2) = 2 4. Yhdistämällä ylläolevat tulokset, saadaan Y :n kertymäfunktio F Y (y) = 1 4 1 {y 1} + 1 4 (y 1)1 {1 y 2} + 2 4 1 {y 2}. 8