10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein jollakin kirjaimella (esim. x:llä tai y:llä) Yhtälöitä käytetään matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen - usein ratkaisuja voi olla enemmän kuin yksi - kun haemme ratkaisua, on kysymyksessä yhtälön ratkaiseminen Yhtälön ratkaisemisella tarkoitetaan sitä, että meidän on löydettävä yhtälössä olevalle tuntemattomalle sellainen arvo, joka sijoitettuna yhtälöön tuntemattoman paikalle, aiheuttaa sen, että yhtälön molempien puolien arvo on yhtä suuri. Esim. x + 5 = 8 On siis löydettävä x:lle sellainen arvo, että yhtälön molemmat puolet ovat samansuuruiset. Sijoitetaan x:n paikalle arvo + 5 = 8 8 = 8 yhtälön molempien arvo on sama (8) x = on siis yhtälön ratkaisu (juuri)
10.2 Yhtälön ratkaisusääntöjä a) Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai vähentää sama luku Esim. x - = 4 lisätään molemmille puolille luku x + = 4 + x = 7 b) Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla luvulla, ei kuitenkaan nollalla Esim. 0,5x = 4 kerrotaan molemmat puolet luvulla 2 2 0,5x = 2 4 x = 8 Esim. x = 15 jaetaan molemmat puolet luvulla x 15 = x = 5 c) Yhtälön mikä tahansa termi voidaan siirtää yhtäläisyysmerkin (=) vastakkaiselle puolelle vaihtamalla samalla sen etumerkkiä. x 2 = 8 siirretään termi -2 yhtälön oikealle puolelle x = 8 + 2 = 10
Yhtälö on ratkaistu, kun tuntematon muuttuja on yksin yhtälön vasemmalla puolella ja oikea puoli on sievennetty mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon! 10.2.1 Tekijäyhtälön ratkaiseminen Tekijäyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, jossa on vain kerto- ja jakolaskuja Esim. 4x = 8 x 4 = 2 Tekijäyhtälöiden ratkaisuissa tarvitaan vain kerto- ja/tai jakolaskua 2 x Esim1. = 6 kerrotaan molemmat puolet :lla 2x = 6 2x = 18 Supistetaan vasen puoli :lla (saadaan murtolausekkeen nimittäjä () poistettua) jaetaan molemmat puolet tuntemattoman (x:n) kertoimella (2:lla) 2 / x 18 = supistetaan vasemmalla puolella 2:lla ja 2/ 2 sievennetään oikea puoli x = 9 yhtälö on ratkaistu
m Esim2. Ratkaise V fysiikan kaavasta ρ = (ρ (roo)= tiheys, m = V massa ja V = tilavuus) ja laske sen jälkeen V:n arvo kun ρ = 7,8 kg/dm ja m = 20 kg. m ρ = Kerrotaan molemmat puolet V:llä V Vm ρ V = Supistetaan V:t yhtälön oikealta puolelta V ρv = m Jaetaan molemmat puolet tuntemattoman (V:n) kertoimella (ρ:lla) ρv m = Supistetaan vasemmalta puolelta ρ:t pois ρ ρ m V = Yhtälö on ratkaistu V:n suhteen ρ Sijoitetaan ratkaisuun ρ = 7,8 kg/dm ja m = 20 kg. 20kg V = = 2,6 dm 7,8 kg / dm
10.2.2 Verranto Verrannolla tarkoitetaan yhtälöä, jossa kaksi suhdetta (murtolauseketta) on merkitty yhtä suuriksi Esim. x = 10 5 Verrannon ratkaisu Helpoin tapa ratkaista verranto on ns. ristiinkertominen, jolloin vasemman puolen osoittaja kerrotaan oikean puolen nimittäjällä ja oikean puolen osoittaja vasemman puolen nimittäjä ja merkitään saadut tulot yhtä suuriksi. Esim. a b 2a = x b + 1 2 4 = x 8 4x = 2 8 4x = 16 jaetaan 4:llä 4 x 16 = 4 4 supistetaan 4:lla x = 4 verranto (yhtälö) on ratkaistu Verranto voidaan ratkaista myös aikaisemmin esitettyjä tekijäyhtälön ratkaisumenetelmää käyttäen
1. Ratkaise seuraavat tekijäyhtälöt x a) 6x = 42 b) 6 9 = 6 c) = x 121 d) -11x = 56 e) 15 = 5x f) = 4, 2 x g) 5 8 = x 4 h) 18 4 = 27 x
2) Ratkaise seuraavista yhtälöistä halutut suureet. a) F = ma m =? b) p = 2πr r =? a =? d) ah A= a =? 2 h =? f) Q = mh m =? H =?
. Ratkaise ensin kysytty suure ja sijoita sitten annetut arvot kaavaan. s a) v = 20 km/h v = s = 7,5 km t t =? b) M = Fr M = 15 Nm F = 7,5 N r =? P c) η = 0,8 2 η = P 2 = 1500 W P P 1 =? 1
10.2. Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu - ensimmäisen asteen yhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, jonka tuntemattoman aste (eksponentti) on yksi. Esim. x + 6 = - 2x = 4x + 7 x 4= x + 1 2 Ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu vaiheet: 2x 4 2x 1 2= 2 Poista nimittäjät kertomalla kaikki termit nimittäjien (2 ja ) pienimmällä jaettavalla eli 6:lla supistetaan nimittäjät pois 6(2 / x 4) 6(2 / x 1) 6 2 = 2/ / 1 2 1 (2x 4) 12 = 2(2x 1) Poista sulut 2x 4 12 = 4x 2 1 6x 12 12 = 4x 2
Siirrä x:n termit vasemmalle ja muut termit oikealle puolelle. (Muista vaihtaa siirrettävien termien etumerkit) 6x 4x = -2 + 12 + 12 2x = 22 Laske yhteen samanmuotoiset termit ja vakiotermit Poista tuntemattoman kerroin jakamalla yhtälön molemmat puolet sillä ja supista 11 2x 22 = 2 2 x = 11 Yhtälö on ratkaistu
Yhtälö voidaan vielä tarkistaa sijoittamalla saatu ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön 2x 4 2x 1 2= 2 Sijoitetaan x = 11 2 11 4 2 11 1 2 = 2 22 4 22 1 2= 2 18 2 2= 9 2= 7 7 = 7 21 Koska yhtälön molemmille puolille tuli sama arvo, on yhtälö oikein ratkaistu
Tehtäviä 4) Ratkaise seuraavat ensimmäisen asteen yhtälöt a) x + 1 = 4 b) x 2 = 5 c) 2x = 10 d) -4x = 10 e) x = 2 f) 5x + 2 = 2x + 10 g) 4x 15 = 1 x h) 4(x 2) = 6 i) 9(x + ) 5(x 2) = 1 j) x 1 1 = 4 k) 4(2 x) + 11(x 1) = (x )
2 l) x 1 x + = 1 4 k) x 1 = x 4 5 m) x x = 11 n) + x 1 5 = 4 5 o) Ratkaise R seuraavasta yhtälöstä. 1 1 1 1 = + + R R R R R =? 1 2
10.2.4 Sanallisten tehtävien ratkaiseminen yhtälön avulla Ratkaisun vaiheet: A) Valitaan jokin tuntematon suure (yleensä kysytty suure), jota merkitään kirjaimella (esim. x, y, z jne.) B) Muodostetaan yhtälö tehtävän ehtojen mukaan C) Ratkaistaan yhtälö Esim1. Traktori ja peräkärry maksavat yhteensä 5 700. Traktori maksaa 9 600 enemmän kuin peräkärry. Kuinka paljon peräkärry maksaa? Peräkärryn hinta = x Traktorin hinta = x + 9 600 Traktorin ja peräkärryn hinta yhteensä = x + (x + 9 600 ) Muodostetaan yhtälö x + (x + 9600 ) = 5 700 Ratkaistaan yhtälö x + x + 9 600 = 5 700 2x = 5 700-9 600 2x = 14100 2 x 14100 = 2 2 x = 7050
Esim2. Määritä neljä perättäistä kokonaislukua, joiden summa on 22. Pienin kokonaisluku = x Toinen kokonaisluku = x + 1 Kolmas kokonaisluku = x + 2 Neljäs kokonaisluku on x + Lukujen summa on 22 muodostetaan yhtälö x + (x + 1) + (x + 2) + (x + ) = 22 ratkaistaan yhtälö x + x + 1 + x + 2 + x + = 22 x + x + x + x = 22-1 2 4x = 16 4 x 16 = 4 4 x = 79 (pienin luku) muut luvut ovat 80, 81 ja 82 Tarkistus: 79 + 80 + 81 + 82 = 22
Sanallisia tehtäviä 1. Jukalla ja Henrillä on yhteensä. Jukalla on 5 enemmän kuin Henrillä. Montako euroa kummallakin pojalla on?, 2. Helenan äiti Pirkko on vuotta vanhempi kuin Helena. Helenan sisko Elina on vuotta nuorempi kuin Helena. Kaikkien kolmen naisen yhteenlaskettu ikä on 117 vuotta. Kuinka vanha kukin nainen on?. Mikä on luku, jonka puolikkaasta vähennettynä saman luvun neljäsosa saadaan kolme?
4. Matilla on rahaa 210. Raha olli 50 :n ja 10 :n seteleinä. 10 :n seteleitä oli kaksi kertaa niin pajon kuin 50 :n seteleitä. Kuinka paljon kumpiakin seteleitä oli. 5. Neljä miestä osti 1 000 :n veneen. Pekka sijoittaa veneeseen kaksi kertaa niin paljon kuin Matti. Olli sijoittaa 500 enemmän kuin Matti, ja Heikki yhtä paljon kuin Matti ja Olli yhteensä. Kuinka paljon kukin mies sijoittaa veneeseen? 5. Teatteriesitykseen myytiin 20 mk hintaisia lastenlippuja ja 40 mk hintaisia aikuistenlippuja yhteensä 460 kappaletta. Kuinka monta lastenlippua ja kuinka monta aikuisten lippua esitykseen myytiin, kun lipputulot olivat 12 000 markkaa?