Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa on k valkoista palloa Tapahtumaan A k sisältyy monta alkeistapausta (mitkä valkoiset, mitkä mustat pallot otoksessa) N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa { } otos n=4 palloa Montako valkoista? P( A k ) k valkoista valitaan K:sta 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 1 Suotuisat alkeistapaukset n-k mustaa valitaan N-K:sta K N K k n k N n Kaikki alkeistapaukset = erilaiset n-otokset
Otanta ilman takaisinpanoa N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa 7 3 2 2 213 P( A 2 ) 10 210 4 0,3 { } otos n=4 palloa Samalla kaavalla P( 0 valkoista ) = 0 P( 1 valkoinen ) 0,033 P( 2 valkoista ) = 0,300 P( 3 valkoista ) = 0,500 P( 4 valkoista ) 0,167 (miksi?) 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 2
Otanta takaisinpanolla Populaatio kuten edellä. Poimitaan umpimähkään yksi pallo, pannaan takaisin, otetaan umpimähkään toinen pallo jne. Ei välttämättä konkreettista takaisinpanoa, olennaista on että poimitaan joka kerta uudestaan samasta populaatiosta (esim. puhelinluettelosta ihmisiä) Sama pallo voi tulla otokseen monta kertaa! Osajoukko ei mielekäs malli otokselle. Ajatellaan otos järjestetyksi n-jonoksi jossa sama alkio saa esiintyä monta kertaa. Montako valkoista palloa otoksessa? N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa ( ),,, P( A k ) Suotuisat alkeistapaukset k:n valkoisen sijainti n- jonossa n k k valkoista valitaan K:sta K k n-k mustaa valitaan N-K:sta ( N K) n N nk Kaikki alkeistapaukset = erilaiset n-jonot. Joka kerta samat N vaihtoehtoa! 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 3
Otanta takaisinpanolla N=10 palloa yhteensä K=7 valkoista N-K=3 mustaa (,,, ) 2 valkoisen sijainti 4- jonossa Suotuisat alkeistapaukset 2 valkoista valitaan 7:stä 2 4 7 3 P( A ) 4 2 10 2 2 Kaikki alkeistapaukset = erilaiset 4-jonot. Joka kerta samat 10 vaihtoehtoa! 2 mustaa valitaan 3:sta 0,265 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 4
Yleensä eri todennäköisyys 7 valkoista ja 3 mustaa, otos n=4 k P( k valkoista ) ilman takaisinpanoa P( k valkoista ) takaisinpanolla 0 0,000 0,008 (miksi > 0?) 1 0,033 0,076 2 0,300 0,265 3 0,500 0,412 4 0,167 0,240 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 5
Esimerkki: Hyvin suuri populaatio N = 5 000 000 (suomalaiset) K = 500 000 (helsinkiläiset) n = 3 (otoskoko) n << K ja n << N-K Millä tn:llä otokseen osuu tasan yksi helsinkiläinen? Ilman takaisinpanoa 500 000 4500 000 1 2 P( A 1 ) 0,243 000 094 5000 000 3 Takaisinpanolla P 1 3 500000 4500000 A ) 1 5000000 2 ( 1 3 0,243000 000 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 6
Ehdollinen todennäköisyys Määritelmä. Jos A ja B ovat tapahtumia, niin A:n todennäköisyys ehdolla B on P(A B) = P(A B) / P(B). Tulkinta. P(A B) on väitteen A todennäköisyys siinä tapauksessa, että tiedämme väitteen B olevan tosi. B:n tietäminen todeksi voi kasvattaa tai pienentää A:n todennäköisyyttä. Esimerkki. P(pakkasta on joulukuu) > P(pakkasta). 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 7
Kertolaskukaava eli ketjusääntö suoraan määritelmästä P(A B) = P(A B) / P(B) P(B) P(A B) = P(A B) P(B) Tulkinta. Tapahtuman A B osuus kaikista alkeistapauksista, P(A B), saadaan laskemalla ensin B:n osuus kaikista, P(B) ja laskemalla siitä A:n osuus P(A B) 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 8
Ehdollinen tn populaatiossa Perusjoukko (# = 1000000) Populaatiossa 1 milj. ihmistä. Miehiä ja naisia kumpiakin 500 000 kpl (osuus = 0,5). 450 000 miehiä 50 000 5 000 värisokeita naisia 495 000 Umpimähkään poimittaessa P(mies) = 0,5 P(värisokea mies) = 0,1 P(värisokea nainen) = 0,01 Ketjusääntö: P(värisokea mies) = 0,5 0,1 = 0,05 P(värisokea nainen) = 0,5 0,01 = 0,005 Yhteenlaskusääntö: P(värisokea) = 0,05 + 0,005 = 0,055 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 9
Ehdollinen tn = perusjoukon rajoittaminen 450 000 miehiä Osapopulaatiota miehet voidaan ajatella uutena perusjoukkona (# = 500 000). 50 000 värisokeita miehiä Tässä osapopulaatiossa värisokeita on 50 000 (osuus = 0,01). Osuus on eri kuin alkuperäisessä populaatiossa (0,055). 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 10
Ketjusääntö toiseen suuntaan Tarkastellaankin osapopulaatiota värisokeat (# = 55 000). Tässä osapopulaatiossa miehiä on 50 000 (osuus 0,91). miehiä 50 000 naisia 5 000 Osuus on eri kuin alkuperäisessä populaatiossa (0,5). värisokeita Ketjusääntö: P(mies värisokea) = P(mies värisokea) / P(värisokea) = 0,05 / 0,055 0,91. 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 11
Ketjusääntö molempiin suuntiin Ketjusääntö tosiaan toimii molempiin suuntiin. P(A B) = P(B) P(A B) = P(B A) = P(A) P(B A) Esim. P(mies värisokea) = P(mies) P(värisokea mies) = P(värisokea) P(mies värisokea) Huom. kuitenkin P(värisokea mies) P(mies värisokea)!!! 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 12
Ehdollinen tn monivaiheisessa valinnassa Herra K valitsee taas autoa. Ensin hän valitsee merkin noppaa heittämällä: P(Audi) = 2/3, P(Skoda) = 1/3 Sitten hän valitsee värin siten, että todennäköisyys riippuu merkin valinnasta 1/2 P(musta Audi) = 1/2 2/3 Audi 1/2 P(valkoinen Audi) = 1/2 P(punainen Skoda) = 1/4 1/4 Skoda P(valkoinen Skoda) = 3/4 1/3 Ketjusäännöstä: P(valkoinen Audi) = 1/3 jne. Yhteenlaskusta: P(valkoinen) = 1/3 + 1/4 = 3/4 3/4 musta valkoinen punainen valkoinen 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 13
Lause 1.7.3 Jos P on todennäköisyys perusjoukossa, niin ehdollinen todennäköisyys P( B) on todennäköisyys perusjoukossa B. Ts. se toteuttaa todennäköisyyden aksioomat (TN1) P(A B) 0 kaikilla A (ei-negatiivisuus) (TN2) P(B B) = 1 (TN3) täysadditiivisuus Todistus: (taululla; näytetään (iii):sta vain kahden joukon tapaus yksinkertaisuuden vuoksi) 26.1.2012 Johdatus todennäköisyyteen, luento 5 14