Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.

Transkriptio

1 /1 MTTTP1, luento KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä, nk. luottamustasolla.

2 /2 Olkoon populaatiossa % viallisia. Nyt :n 100(1 - ) %:n luottamusväli on p z / 2 p(100 p) / n kaava (8)

3 /3 Esim. Rahapelin pitäisi antaa voitto 20 %:lle pelatuista peleistä. Pelaat peliä 200 kertaa ja voitat 32 kertaa. Voitko uskoa, että 20 % peleistä voittaa? Muodostetaan 95 %:n luottamusväli prosenttiosuudelle. Nyt = 0,05, z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96, n = 200, p = 16, luottamusväli 16 1,96 16(100 16)/ ,1 Koska 20 kuuluu luottamusvälille, päätellään pelin toimivan luvatulla tavalla.

4 /4 Esim Yritys valvoo tuotantoaan. Virheellisten komponenttien osuus ei saisi olla suurempi kuin 4 %. Laaduntarkkailussa tehtiin 500 komponentin otos, jossa 28 komponenttia osoittautui virheellisiksi. Onko tuotanto keskeytettävä? 95 %:n luottamusväli virheellisten komponenttien prosenttiosuudelle 5,6 1,96 5,6(100 5,6)/500 Virheellisten osuuden arvellaan olevan välillä 3,6 % - 7,6 %, joten vaihtelu on sallituissa rajoissa, koska 4 % kuuluu luottamusvälille.

5 /5 Populaation odotusarvon µ 100(1 - ) %:n luottamusväli on Esim. X t / 2; n 1s / n kaava (9) Eräs tehdas valmistaa tiiliä, joiden keskipaino pitkän aikavälin seurannassa on ollut 2,000 kg. Erään päivän tuotannosta valittiin satunnaisesti 16 tiiltä. Näiden keskipainoksi saatiin 1,972 kg ja keskihajonnaksi 0,054 kg. Onko keskipainossa tapahtunut muutosta? Muodostetaan odotusarvon 95 %:n luottamusväli. Nyt t 0,05/2;16 1 =2,131 ja luottamusväli 1,972 2,131 0,054 / 16. Saadaan väliksi 1,972 ± 0,029. Koska 2,000 kuuluu välille, päätellään ettei muutosta.

6 /6 Esim Kirjailijan virkkeiden keskipituus, luottamusväli 35,0 ± 2,045 6,8/ 30. Esim Esimerkissä 7.6.6, syntymäpituuden tarkastelu, otoksessa 65 poikaa Luottamusväli on laskettu 50,95±2 1,972/ 65, (t 0,05/2;65 1 2) 50,95±2 0,245

7 /7 Esim. Lepakoiden tunnistusmatkat, ks. kaavoihin.pdf

8 /8 Esim Esimerkin kovuusindeksien erotukset -5, 1, -2, -5, 2,-7, -1, -7, 1, 0, joista keskiarvo -2,3 ja keskihajonta 3,4. Odotusarvon 95 %:n luottamusväli -2,3±2,262 3,4/ 10-2,3±2,4 Lisäaineilla ei eroja, koska nolla kuuluu luottamusvälille.

9 / Kahden populaation odotusarvon erotuksen luottamusväli Jos halutaan arvioida kahden populaation odotusarvojen yhtäsuuruutta, niin voidaan arvioida odotusarvojen erotusta µ 1 - µ 2. Esim Arvio lähiö- ja keskusta-asuntojen keskineliöhintojen erotukselle on (-989,844, -798,862), muodostettu luottamusväli odotusarvojen erotukselle. Koska nolla ei kuulu luottamusvälille, niin päätellään: odotusarvojen olevan eri suuret (keskihinnat eivät samoja). o.pdf#page=76

10 / Hypoteesien testausta Tutkimusongelmia: Puolueen kannatus? Väite: = 18 % Virheellisten komponenttien osuus tuotannossa? Väite: = 4 % Kynttilöiden keskimääräinen palamisaika? Väite: µ = 20 h

11 /11 Asuntojen keskimääräiset neliöhinnat keskustassa ja lähiössä? Väite: µ 1 = µ 2 Painon ja pituuden välinen lineaarinen riippuvuus? Väite: = 0 Opintosuunnan vaikutus kurssiarviointiin? Väite: ei riippuvuutta

12 /12 Tilastollinen hypoteesi on väite populaatiosta, usein populaation jakauman parametrista. Esim. H0: = 0 H0: µ = µ 0 Hypoteesin testaus on väitteen tutkimista otoksen perusteella. Käytetään sopivaa otossuuretta (testisuuretta), jonka jakauma tunnetaan, kun H0 tosi.

13 /13 Esim. H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi H 0 : = 0 Z p ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H 0 tosi

14 Otossuureen (testisuureen) arvon perusteella H 0 hyväksytään tai hylätään /14 Jos testisuureen arvoa pidetään tavanomaisten arvojen joukkoon kuuluvaksi, niin H 0 hyväksytään. Jos arvoa pidetään harvinaisten arvojen joukkoon kuuluvaksi, niin H 0 hylätään. Mikä on harvinaista? Mihin H 0 :n hylkääminen johtaa?

15 /15 Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 vaihtoehtoinen hypoteesi Z likimain p 0 ~ N(0,1) 100 ) / n 0 ( 0, kun H 0 tosi Nyt harvinaisiksi arvoiksi katsotaan suuret arvot, suuremmat kuin z. Tällöin merkitsevyys- eli riskitaso on. Usein = 0,05, 0,025, 0,01 tai 0,001.

16 Jos H 0 hylätään, niin H 1 hyväksytään /16

17 /17 Miten H 1 asetetaan? Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 (yksisuuntainen testi) tai H 1 : < 0 (yksisuuntainen testi) tai H 1 : 0 (kaksisuuntainen testi) Kaksisuuntaisessa testissä harvinaisten arvojen joukko on jakauman hännillä.

18 /18 Esim. H 0 : = 0 H 1 : 0 (kaksisuuntainen testi) Päättely p-arvon perusteella, p-arvo on pienin riskitaso, jolla H0 voidaan hylätä.

19 /19 Esim. H 0 : = 0 H 1 : > 0 Jos p-arvo on pienempi kuin valittu riskitaso, niin H 0 hylätään.

20 /20 Testisuureita H 0 : = 0 Z p ) / n 0 ( 0 likimain ~ N(0,1), kun H0 tosi

21 /21 Esim Tarkastellaan erään liikkeen asiakkaita. Halutaan tutkia, ovatko asiakkaista yli puolet naisia. Tehdään 200 asiakkaan satunnaisotos jossa naisia on 113. Nyt H 0 : = 50 % ja H 1 : > 50 %. Otoksessa naisia 56,5 %. Aineiston perusteella testisuureen arvoksi saadaan z 56, (100 50)/ 200 1,838 z 0,05 1,6449.

22 /22 H 0 hylätään 5 %:n riskitasolla, mutta ei 2,5 %:n riskillä, joten 0,025 < p-arvo < 0,05. Ks. 5/luentorunko.pdf#page=82 Esim /luentorunko.pdf#page=83

23 /23 - > luento 8.10 H 0 : µ = µ 0 t X s / n 0 ~ tn 1, kun H 0 tosi

24 /24 Esim Kauppias väitti, että kananmunien keskipaino on 50 g. Tehdään 36 alkion satunnaisotos ja saadaan x = 47, s = 6. Onko kauppiaan väittämään uskomista? Nyt H 0 : = 50 g ja H 1 : < 50 g Saadaan t 47 6/ , joka on pienempi kuin t 0,005;35 2,75, joten kauppiaan väitettä ei voida uskoa. Hylätään nollahypoteesi 0,5 %:n riskitasolla.

25 /25 Esim /luentorunko.pdf#page=86 Esim /luentorunko.pdf#page=87