KJR-C1001: Statiikka L2 Luento 21.2.2018: voiman momentti ja voimasysteemit Apulaisprofessori Konetekniikan laitos
Luennon osaamistavoitteet Tämän päiväisen luennon jälkeen opiskelija Pystyy muodostamaan, käsittelemään ja soveltamaan momenttia vektorimuodossa. Tuntee käsitteet samanarvoinen (ekvivalentti) voimasysteemi ja jakaantunut voima Osaa yksinkertaistaa voimasysteemejä redusoimalla ne ekvivalenteiksi voimasysteemeiksi.
Voiman momentti Voima pyrkii kiertämään kappaletta vaikutussuoransa ulkopuolisen pisteen suhteen Tämä on voiman momentti tai momentti. Momenttia kutsutaan myös väännöksi (ylhäällä) tai taivutusmomentiksi (alhaalla). Momentin suuruus: Suoraan verrannollinen voiman suuruuteen sekä pisteen ja vaikutussuoran väliseen kohtisuoraan etäisyyteen, voiman varteen.
Voiman momentti Momentilla on suuruus ja suunta: Momentti on siis vektori Merkintä: voiman! aiheuttama momentti pisteen " suhteen on # $. Momentin suuruus on voima kertaa varsi: % $ = '( Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti: Vastapäivään positiivinen, myötäpäivään negatiivinen (oikean käden sormet antavat positiiviseen kiertosuunnan peukalon osoittaman vektorin suhteen).
Esimerkki Mikä on voiman varsi!, kun halutaan laskea momentti pisteen " ympäri?
Momentin skalaarimuoto Tasossa (2D) on kätevää tarkastella momenttia skalaarimuodossa, jolloin yhtälöt ovat yksinkertaisempia, kuin vektorimuotoiset yhtälöt. Tasossa momentin resultantti saadaan laskemalla yhteen kaikkien voimasysteemin voimien aiheuttamat momentit + $ % & = Σ) * + * $ % & = ), +, ). +. + ) / + / Huomaathan näissä etumerkin! Positiivinen suunta vastapäivään!
Momentin skalaarimuoto Laske resultanttimomentti, kun! " =! $ =! % = 100 N, * " = 1 m, * $ = 1,3 m, * % = 1,2 m 4 5 6 =! " * "! $ * $ +! % * % = 100 130 + 120 Nm = 90(Nm) Laske resultanttimomentti, kun! " =! % = 100 N,! $ = 200 N, * " = * % = 1 m, * $ = 1,2 m 4 5 6 = 100 240 + 100 Nm = 40(Nm) Mihin suuntaan positiivinen ja negatiivinen resultanttimomentti pyrkivät pyörittämään kappaletta?
Momentin vektorimuoto Momenttivektori pisteessä on voiman paikkavektorin (pisteen suhteen) ja voimavektorin ristitulo! " = $ &
Momentin vektorimuoto Ristitulo Kahden vektorin ristitulo tuottaa vektorin! = # %! = '( sin,. / Vektorin! suuruus (itseisarvo): & = '( sin, Vektori! on kohtisuorassa vektoreiden # ja % muodostamaa tasoa vastaan ja sen suunta määräytyy oikean käden säännön avulla. Huomaa myös, että % # =!
Momentin vektorimuoto Kantavektoreiden i ja j ristitulo! # : Suuruus: i j sin 90 = 1 1 1 = 1 Suunta: oikean käden säännön mukaisesti! # = (! ( = # ( # =?!! = # # = ( ( =? (ks. määritelmä edellä!)
Momentin vektorimuoto Helpohkoa kantavektoreiden ristitulojen avulla / 0 = # $ & + # ) * + # +, % $ & + % ) * + % +, = # $ % $ & & + # $ % ) & * + # $ % + &, + = # ) % + # + % ) & # $ % + # + % $ * + # $ % ) # ) % $, Tai sitten determinantin avulla / 0 = & *, # $ # ) # + % $ % ) % +
Momentin vektorimuoto!-alkiolle:! " # $ % $ & $ ' ( % ( & ( ' =!($ & ( ' $ ' ( & ) Determinantti: $ )) $ )* $ *) $ ** = $ )) $ ** $ )* $ *) "-alkiolle:! " # $ % $ & $ ' ( % ( & ( ' = "($ % ( ' $ ' ( % ) Muista miinus-merkki! #-alkiolle:! " # $ % $ & $ ' ( % ( & ( ' = #($ % ( & $ & ( % ) Lopuksi lasketaan tulokset yhteen.
Momentin vektorimuoto - esimerkki Laske! #, kun! = 2& + ( * ja # = 5( + 2* Tapa 1. Sijoitetaan tunnettuun kaavaan:! # =, -. /, /. - &, 0. /, /. 0 ( +, 0. -, -. 0 * = (1)(2) ( 1)(5) & (2)(2) ( 1)(0) ( + (2)(5) 1 0 * = 7& 4( + 10* Tapa 2. Ratkaise (2& + ( *) (5( + 2*) käyttäen kantavektoreiden ristituloja. Tapa 3. Ratkaise determinantti & ( *, 0, -, / =. 0. -. / & ( * 2 1 1 0 5 2 = 2 5 & 4 0 ( + 10 0 * = 7& 4( + 10*
Momentin vektorimuoto Momenttivektori: paikkavektorin ja voimavektorin ristitulo.! " = $ & Momentti lasketaan aina jonkin pisteen suhteen (tässä '). Momentin suuruus on ristitulon määritelmän mukaan ( " = $ & = *+ sin / = +(* sin /) = +2 Suunta: oikean käden sääntö. Paikkavektori $ voi osoittaa mileivaltaiseen voiman vaikutussuoran pisteeseen (vastaavasti voima voi myös liikkua vaikutussuorallaan) momentti säilyy vakiona.
Momentin vektorimuoto! " = $ & = ' ( ) * ' * ) (, ' - ) * ' * ) -. + ' - ) ( ' ( ) - 0 = (2 " ) -, + (2 " ) (. + (2 " ) * 0 Momentti x-akselin ympäri pisteessä 4 (2 " ) - = ' ( ) * ' * ) ( Huomaa: Momenttivektorin komponenteilla on fysikaalinen merkitys! Ne kertovat voiman momentin koordinaattiakselien ympäri siten, että esimerkiksi x-komponentti on momentti x-akselin ympäri (siksi x-akselin suuntainen voima ei voi esiintyä siinä).
Momentin vektorimuoto Voimasysteemi aiheuttaa resultanttimomentin! "# = % & ( & + % * ( * + % + ( + =. & % - ( - (Tässä tapauksessa summalausekkeessa n=3)
Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti putken kiinnityspisteen! suhteen. Tapa 1. Skalaarimenetelmä Lasketaan jokaisen voiman momentti pisteen! ympäri ja summataan ne: + 5 6 7 = Σ: ; < ;, johon saadaan etäisyydet kuvasta " (1 + 2 + 2.5 cos 45 ) m 5 6 7 = 600N 1m 300N 2.5 2 m + 500N((3 + 2.5 2 ) m) 2.5 sin 45 m # = 1253.55 Nm = 1254 Nm? 7 = 1254 @ Nm Huomaa momenttivektorin suunnan miettiminen: Skalaarimenetelmässä joudut päättelemään tämän.
Esimerkki Määritä voimien aiheuttama resultanttimomentti putken kiinnityspisteen! suhteen. " (1 + 2 + 2.5 cos 45 ) m Tapa 2. Vektorimenetelmä Määritetään paikkavektorit (tässä siis pisteen O suhteen) ja sekä voimavektorit 4 5 = 9 m 4 6 = 4 8 = 3 + 2.5 2 9 + 2.5 2 ; m < 5 = 600; N < 6 = 3009 N < 8 = 500; N 4 5 4 6 = 4 8 2.5 sin 45 m # A BC = Σ 4 < = 4 5 < 5 + 4 6 < 6 + 4 8 < 8 = 600F 2.5 2 300F + 3 + 2.5 2 500F = 1253.55F = 1254F Nm Momenttivektorin suunta tulee suoraan ristituloista! Jos olo tuntuu epävarmalta ristitulojen suhteen: laske käsin auki ristitulot edeltä ja tarkasta tulos.
Momenttiperiaate Voiman aiheuttama momentti pisteen suhteen on yhtä suuri kuin saman voiman komponenttien aiheuttamien momenttien summa saman pisteen suhteen. Laske voiman momentti pisteen! ympäri. ) ( Tapa 1. Laske geometrian avulla voiman vaikutussuoran (punainen katkoviiva) etäisyys pisteestä! $ % = '(. * Tapa 2. Jaetaan voima komponentteihin, lasketaan komponenttien aiheuttamat momentit pisteen! suhteen ja summataan saadut komponentit (tässä esimerkissä helpompi tapa).
Momentti tietyn akselin ympäri Pisteessä O olevan pultin akseli on y-akselin suuntainen: pulttia avaavan momentin on myös oltava y-akselin suuntainen! ". Ratkaise avaava momentti! ", kun tunnetaan voima F (z-akselin suuntainen), etäisyys ( ja työkalun varren pituus ( " = ( cos.. Huomaa, että! "! $. Momentin % $ suuruus % $ = '(. Momentin! $ suunnan määrittely selkeästi helpoin tehdä vektorimuotoisten yhtälöiden avulla. Momentin komponentin! " suuruus määräytyy voiman vaikutussuoran y-akselia kohtisuoraan vastaan olevan komponentin kohtisuoran etäisyyden mukaan. % " = '( " = '( cos.
Esimerkki Määritä oheisen kuvan mukaisessa laatan kuormitustapauksessa voimien aiheuttama momentti kuvan x-, y- ja z- akselien ympäri. Momentti x-akselin ympäri. + $ % = 100N 3m = 300 Nm z 100 N Momentti y-akselin ympäri. 50 N 200 N y + $ - = 200N 2m = 400 Nm 2 m Momentti z-akselin ympäri. x 3 m 300 N + $ 0 = 300N 2m = 600 Nm
Momentti tietyn akselin ympäri Pisteessä O olevan pultin akseli on y-akselin suuntainen: pulttia avaavan momentin on myös oltava y-akselin suuntainen! ". Ratkaise avaava momentti! ", kun tunnetaan voima F (z-akselin suuntainen), etäisyys $ ja työkalun varren pituus $ " = $ cos ). Yleisempi (parempi) tapa on käyttää vektoreita = * - = $ cos ) / + $ sin ) 3 4 5! 6 = 4$ sin ) / + 4$ cos ) 3 Skalaariprojektion avulla (pistetulo) saadaan 7 " = 3! 6 = 4$ cos ) ja kun vielä huomioidaan projektion suunta! " = 4$ cos ) 3
Momentti tietyn akselin ympäri Jos tunnetaan voiman & aiheuttama momentti! ' = ( & akselilla * olevan mielivaltaisen pisteen + suhteen, saadaan akselin ympäri vaikuttavan momentin suuruus skalaariprojektiolla $ " = % "! ' = % " (( &) jossa % " on akselin * suuntainen yksikkövektori. Edellä esiintyy skalaarikolmitulo, joka saadaan vaikkapa determinantista (tai ihan vaan laskemalla auki risti- ja pistetulo) $ " = % " (( &) = 0 " 1 0 " 2 0 " 3 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 Momentin suunnan antaa akselin suuntainen yksikkövektori % ", joten! " = $ " % "
Esimerkki Kuvan mukaista rakennetta kuormittaa voima! = 300% 200( + 150, N pisteessä B. Ratkaise momentti x-akselin suhteen. Määritetään voiman paikkavektori / 01 (O on x-akselilla) / 01 = 0.3% + 0.4( 0.2, m 8 0 = / 01! Yksikkövektori 5 6 x-akselin suuntaan on kantavektori %. / 01 = 6 = % 8 0 = % (/ 01!) = 1 0 0 0.3 0.4 0.2 300 200 150 = 0.4 150 0.2 200 = 20 (Nm) 8 6 = 20 % (Nm)
Voimaparin momentti Voimapari = kaksi samansuuruista ja yhdensuuntaista, mutta erimerkkistä voimaa Resultanttivoima on nolla (# # = 0). Voimapari aiheuttaa ainoastaan momentin, jota kutsutaan voimaparin momentiksi ja joka riippuu ainoastaan voimien suuruudesta ja niiden välisestä kohtisuorasta etäisyydestä on ). Voimaparin momentti mielivaltaisen pisteen O suhteen on * = +,. + + 0. = (+, + 0 ). = +. Voimaparin momentti on vapaa vektori: momentti ei riipu voimien etäisyydestä pisteestä O, ainoastaan voimien välisestä etäisyydestä r (esim. kappaleeseen vaikuttaisi kaikkialla sama momentti *).
Voimaparin momentti Voimaparin momentin suuruus (d on voimien kohtisuora etäisyys)! = #$ Momentin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti. Voimaparien sanotaan olevan ovat samanarvoisia, kun niiden momentit ovat yhtä suuria ja samansuuntaisia.
Esimerkki Määritä kuvan tapauksessa voimaparin aiheuttama momenttivektori (Huom! Kaikkien pisteiden suhteen yhtä suuri!). Määritetään tässä pisteen B paikkavektori pisteen A suhteen # $% = 0.43 m Kirjoitetaan voimavektori ' % (kuvan perusteella) ' % = 4 % 5 3 + 4 %6 + + 4 %7. = (4 5 450)+ + ( 3 450). = 360+ 270. N 5 # $% Voimaparin momentti on! = # $% ' % = 108+ + 144. Nm
Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Voimasysteemit ovat samanarvoisia, jos ne aiheuttavat kappaleeseen saman ulkoisen vaikutuksen Voimasysteemin ulkoinen vaikutus tarkoittaa: (1) kappaleen tukien reaktiovoimia, jos kappaleen liike on estetty tuilla (statiikka) (2) kappaleen liikettä ja rotaatiota, jos kappale on vapaa liikkumaan (dynamiikka)
Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Korvataan ylemmän kuvan kahdesta voimasta ja voimaparin momentista koostuva voimasysteemi samanarvoisella, mutta pisteessä! vaikuttavalla voimasysteemillä. Voima " # korvataan pisteessä! vaikuttavalla voimalla " # sekä voimaparin momentilla (% & ) # = ) # " #. Voima " + korvataan pisteessä! vaikuttavalla voimalla " + sekä voimaparin momentilla (% & ) + = ) + " +. Voimaparin momentti % on vapaa vektori, joka voidaan siirtää sellaisenaan pisteeseen!.
Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Edellistä voimasysteemiä voidaan yksinkertaistaa edelleen muodostamalla pisteessä O vaikuttava resultanttivoima! " ja resultanttimomentti ($ " ) &.! " = Σ! =! ( +! * ($ " ) & = ($ & ) ( + ($ & ) * + $
Samanarvoiset (ekvivalentit) voimasysteemit Jos voimasysteemi vaikuttaa tasossa (2D), voi olla nopeampi määrittää ekvivalentti voimasysteemi käyttämällä skalaarimenetelmää: 1. Voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihin, ja resultanttivoiman komponentit (" # ) % = Σ" % (" # ) ( = Σ" ( 2. Määritetään momentti (momentit) voimien komponenteista Jos voimasysteemi on kolmiulotteinen (3D), kannattaa aina laskea voimaresultantti karteesisilla vektoreilla ja momentti ristitulolla.
Esimerkki Määritä kuvan voimasysteemiä vastaava resultanttivoima ja resultanttimomentti pisteessä A. Tehtävän voimat tasossa, käytetään skalaarimenetelmää. Jaetaan kaikki voimat x- ja y-akselin suuntaisiin komponentteihin ja ratkaistaan resultanttivoima. B (0.3m) 5 +(0.4m) 5 = 0.5 m 100 N 0.4 m + (% & ) ( = Σ% ( = 200N + 100N 0.3 0.5 = 140 N + (% & ) 7 = Σ% 7 = 150N + 100N 0.4 0.5 = 70 N % & = (% & ( )5 +(% & 7 )5 = ( 140N) 5 +( 70N) 5 = 157N 0.3 m 0.3 m 200 N C 9 = tan => (% &) 7 70N = tan => (% & ) ( 140N = 26,6 150 N
Esimerkki Määritä kuvan voimasysteemiä vastaava resultanttivoima ja resultanttimomentti pisteessä A. 100 N Määritetään voimien momentit pisteen A ympäri. + 3 4 5 = Σ3 5 = 150N 0.3m + 100N 0.4 0.5 = 45 Nm + 48 Nm 24 Nm = 21 Nm 0.6m 100N 0.3 0.5 (0.4m) - (0.3m) ' +(0.4m) ' = 0.5 m 0.4 m Pisteeseen A redusoitu ekvivalentti voimasysteemi - 3 4 5 = 21 Nm 0.3 m 0.3 m 200 N. 26,6. 150 N : 4 = 157N
Samanarvoiset voimasysteemit Voimavektorit vaikuttavat saman pisteen kautta. Yhtyvässä voimasysteemissä kaikkien voimien vaikutussuorat leikkaavat yhdessä vaikutuspisteessä!. ei momenttia pisteessä!. Samanarvoinen voimasysteemi voidaan esittää resultanttivoimana pisteessä!.
Samanarvoiset voimasysteemit Voimavektorit vaikuttavat samassa tasossa. ($ % ) ' =!( %! = ($ % ) ' ( % Tasossa vaikuttavan voimasysteemin resultanttivoima on samassa tasossa, mutta voimaparin momentin resultantin (+ % ) ' suunta on tasoa vastaan kohtisuorassa. Voimaparin momentin resultantti voidaan korvata siirtämällä resultanttivoima momentin varren,!, matkan pisteestä,, jolloin resultanttivoima tuottaa saman momentin pisteen, ympäri.
Samanarvoiset voimasysteemit Voimavektorit ovat yhdensuuntaisia. ($ % ) ' =!( %! = ($ % ) ' ( % Yhdensuuntainen voimasysteemi koostuu yhdensuuntaisista voimista voimaresultantti yhdensuuntainen ja voimaparin momentin resultantti on resultanttivoimaa kohtisuorassa ja momenttiakselin + suuntainen. Voimasysteemiä voidaan yksinkertaistaa siirtämällä resultanttivoima pitkin +:ta vastaan kohtisuorassa olevalla --akselilla etäisyyden! päähän momenttiakselista +.
Esimerkki Kuvan voimasysteemi on mahdollista korvata yhdellä samanarvoisella resultanttivoimalla. Määritä sen vaikutussuoran x- ja y-koordinaatit. Kuvan voimasysteemi on yhdensuuntainen. Se voidaan sieventää yhdeksi resultanttivoimaksi. + # $ = 100N 500N 400N = 800N Resultanttivoiman paikka saadaan momenttitasapainoista x-akselin ja y-akselin ympäri. Resultanttivoiman momentti x-akselin ympäri on oltava yhtä suuri kuin voimasysteemin voimien aiheuttama momentti x-akselin ympäri. (. $ ) 0 = Σ. 0 + 800N 4 = 400N 4m 500N(4m) 4 = 4,5 m
Esimerkki Kuvan voimasysteemi on mahdollista korvata yhdellä samanarvoisella resultanttivoimalla. Määritä sen vaikutussuoran x- ja y-koordinaatit. Kirjoitetaan momenttitasapainoyhtälö y-akselin ympäri ja määritetään resultanttivoiman x-koordinaatti: (" # ) % = Σ" % + 800N. = 100N 3m + 500N(4m). = 2,125 m Resultanttivoima 8 # = 800N pisteessä (2,125 m; 4,5 m) on samanarvoinen voimasysteemi. 8 # = 800N 4,5 m 2,125 m
Jakaantunut voima Paine: kuorma / pintalayksikkö Viivakuorma: kuorma / pituusyksikkö! =! # N/m ( )(#) =! #, N/m! = Pa = N/m (.
Jakaantunut voima Ajattelutapa: jakaantunut voima koostuu vierekkäisistä pienistä pistevoimista!", jotka vaikuttavat lyhyillä!%:n mittaisilla pätkillä.!" = $ %!% Resultanttivoima on kaikkien systeemin voimien summa + " ) = Σ!" " ) =,!" =, $ %!% Voima = viivakuorman jakaumakuvion pinta-ala A - =,!- ". ~ - Resultanttivoiman vaikutussuora kulkee jakaumakuvion painopisteen 0 kautta
Jakaantunut voima Voiman -/ aiheuttama momentti pisteen. suhteen +-/ = +, + -+ Jakaantuneen voiman momentti pisteen. suhteen (integroi hyvin pienet momentit yli kuorman pituuden) + $ % & = * +, + -+ Jakaantunut voima ja resultanttivoima jakaumakuvion painopisteen kautta ovat samanarvoisia voimasysteemejä + / % = * +, + -+ + = * +, + -+ = * +, + -+ / % *, + -+ * +-2 * -2
Jakaantunut voima Huomaa tapausten yhtäläisyys! Ensimmäisessä suuri määrä hyvin pieniä voimia. " $ % = ( ") " *" " = ") " *" ( = ") " *" ( $ % ( ) " *" ( "*, ( *, (. % ) 0 = *$ % * = (. % ) 0 $ %
Jakaantunut voima Jakaantuneen voiman jakaumakuvio on usein muodoltaan hyvin yksinkertainen, kuten suorakulmio, jolloin sen pinta-ala voidaan helposti laskea ilman integrointia.! 2 Tasainen jakaantunut kuorma " # vaikuttaa palkin pituudella b. Resultanttivoima vastaa kuormituskuvion pinta-alaa: $ % = " #!.! Resultanttivoima vaikuttaa kuormituskuvion painopisteessä, eli pituuden b puolivälissä.
Esimerkki Määritä resultanttivoima ja sen paikka suhteessa palkin tukeen pisteestä A. Resultanttivoiman suuruus vasta kuormituskuvion pinta-alaa. Jaetaan pinta-ala kahteen osaan (helpottaa laskentaa), ja lasketaan osien resultanttivoimat. Kolmio: + $ % = 1 2 3 kn/m 4.5m = 6.75 kn Suorakaide: 3 kn/m 3 kn/m + $ 3 = 3 kn/m 6 m = 18 kn $ % $3 5 % 5 3 Resultanttivoimien vaikutussuorat kuvioiden painopisteiden kautta. 5 % = 1 3 4.5 m = 1.5 m 5 3 = 1 2 6 m = 3 m
Esimerkki Määritetään tehtävän kuormitustapaukselle resultanttivoiman paikka momenttitasapainon avulla. + 4 % 5 = Σ4 5 $ % 7 = $ ' 7 ' $ ( 7 ( 7 24.75 kn = 6.75kN 1.5 m + 18 kn(3 m) 7= = 2.59 m Kahden jakaumakuvion resultanttivoimista saadaan koko kuormituksen resultantti. + $ % = $ ' + $ ( = 6.75 kn + 18 kn = 24.75 kn
Yhteenveto Uusia käsitteitä: Samanarvoinen voimasysteemi Jakaantunut voima Voimasysteemien yksinkertaistukset Voimasysteemi redusoitiin samanarvoiseksi joko resultanttivoimaksi tai resultanttivoiman ja momentin resultantin pariksi. Jakautunut kuorma sievennettiin yhdeksi resultanttivoimaksi.