MAAHANMUUTTAJATAUSTAISTEN OPPILAIDEN MATEMATIIKAN OSAAMINEN -Mittarina MaKeKo

MAAHANMUUTTAJATAUSTAISTEN OPPILAIDEN MATEMATIIKAN OSAAMINEN -Mittarina MaKeKo Anna-Liisa Kahra Pirjo Lindström Kasvatustieteen pro gradu-tutkielma Elokuu 2006 Opettajankoulutuslaitos Opettajien lisäkoulutusohjelma Tampereen yliopisto

TIIVISTELMÄ Tampereen yliopisto Kasvatustieteiden tiedekunta Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitos Opettajien lisäkoulutusohjelma A-L. Kahra & P. Lindström: Maahanmuuttajataustaisten oppilaiden matematiikan osaaminen Mittarina MaKeKo Kasvatustieteen pro gradu tutkielma, 73 sivua Elokuu 2006 Tutkimuksen tarkoituksena oli kartoittaa maahanmuuttajataustaisten oppilaiden matematiikan oppimissaavutuksia verrattuna suomea äidinkielenään puhuviin oppilaisiin. Tutkimuksessa mitattiin, kuinka oppilaat saavuttavat Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa (2004) sekä koulun omassa opetussuunnitelmassa asetetut tavoitteet. Tutkimus oli kvantitatiivinen tutkimus, jonka aineisto kerättiin pääkaupunkiseudulla sijaitsevan peruskoulun 2., 3., 4. ja 6. vuosiluokkien MaKeKo- testien avulla. Aineisto koodattiin SPSS- ohjelmaan, jonka avulla selvitettiin, onko maahanmuuttajataustaisten oppilaiden saavuttamien pistemäärien ja suomea äidinkielenään käyttävien oppilaiden pistemäärien välillä eroja. Tutkimukseen osallistui 223 oppilasta, joista 76 (34 %) oli maahanmuuttajataustaisia. Kerätty aineisto ja siitä saadut tulokset osoittavat, että matematiikan oppimistulokset maahanmuuttajataustaisilla oppilailla poikkeavat vastaavista, suomea äidinkielenään puhuvien oppilaiden oppimistuloksista. Koehenkilöryhmien välillä oli merkitseviä eroja etenkin sanallisissa tehtävissä, joissa vaadittiin päässälaskua. Maahanmuuttajataustaisilla oppilailla oli suomea äidinkielenään puhua oppilaita enemmän vaikeuksia asetettujen tavoitteiden saavuttamisessa. Lisäksi joissakin mekaanisissa tehtävissä, joissa tarvittiin jonkun keskeisen käsitteen/asian hallintaa, oli jopa erittäin merkitseviä eroja. Tutkimuksen avainsanoja ovat: matematiikan opetus, matematiikan oppiminen, matematiikan oppimissaavutukset, maahanmuuttajataustainen oppilas.

1 JOHDANTO...1 1.1 TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA JA TUTKIMUSKOHDE...2 1.2 TUTKIMUKSEN TARKOITUS...3 2 MATEMATIIKAN OPETUS...3 2.1 PERUSOPETUKSEN OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET...3 2.2 MATEMAATTISTEN TAITOJEN JA OPPIMISEN ARVIOINTI...4 2.3 KOULUN OPETUSSUUNNITELMA...6 3 MATEMATIIKAN OPPIMINEN...7 3.1 MATEMAATTISEN AJATTELUN KEHITTYMINEN...8 3.1.1 Käsitteen muodostuminen...8 3.1.2 Uskomukset, kulttuurin vaikutus, matemaattiset kyvyt, ongelmanratkaisu ja informaation prosessointi...13 3.2 MATEMATIIKKAKUVA...17 3.3 KIELEN VAIKUTUS MATEMATIIKAN OPPIMISEEN...18 3.4 MATEMAATTISTEN KÄSITTEIDEN KIELENTÄMINEN...19 3.5 MATEMAATTISTEN ONGELMIEN RATKAISUTAITO...20 3.6 MATEMATIIKAN KESKEISTEN KÄSITTEIDEN OPPIMINEN...22 3.6.1 Laskutoimitusten keskeisten käsitteiden oppiminen...22 3.6.2 Yhteenlasku...23 3.6.3 Vähennyslasku...25 3.6.4 Kertolasku...26 3.6.5 Jakolasku...27 3.6.6 Murtoluvut...29 3.6.7 Desimaaliluvut...30 3.6.8 Päässälasku...30 4 MAAHANMUUTTAJATAUSTAINEN OPPILAS...31 4.1 KIELI JA OPPIMINEN...31 4.2 TOIMINNALLINEN KAKSIKIELISYYS KOULUSSA...35 4.3 MAAHANMUUTTAJATAUSTAINEN OPPILAS PERUSKOULUSSA...36 4.4 MAAHANMUUTTAJATAUSTAISEN OPPILAAN KOULUMENESTYS...37 5 AIKAISEMPIA TUTKIMUKSIA...39 6 TUTKIMUSONGELMA...44 7 TUTKIMUKSEN TOTEUTUS...44 7.1 TUTKIMUSAINEISTON HANKINTA JA TUTKIMUSMENETELMÄ...44 7.2 MAKEKO...45 7.3 TUTKIMUKSEN LUOTETTAVUUS...46 8 TUTKIMUKSEN TULOKSET...48 8.1 TULOKSET LUOKKA-ASTEITTAIN...48 8.2 SUMMAMUUTTUJIEN TULOKSET...56 8.3 LUOKKIEN TULOSTEN VERTAILUA...57 9 POHDINTA...57 9.1 LUONNOLLISTEN LUKUJEN JA LUKUKÄSITTEEN HALLINTAAN LIITTYVÄT EROT...58 9.2 PÄÄSSÄLASKUTAITO...59 9.3 AIKA...60 9.4 YHTEENVETO...61 LÄHTEET:...63 LIITTEET:...70 LIITE 1 PERUSOPETUKSEN OPETUSSUUNNITELMAN (2004) KESKEISET SISÄLLÖT...70 LIITE 2 CRONBACHIN ALFAKERTOIMET LUOKKA-ASTEITTAIN...73

1 JOHDANTO Perusopetuksen oppilaiksi on viime vuosina tullut etenkin pääkaupunkiseudulla yhä enenevässä määrin eri kieli- ja kulttuuriryhmiin kuuluvia oppilaita. Tämä asettaa haasteita kuntien harjoittamalle koulutuspolitiikalle, koska tavoitteena on näiden ryhmien integroiminen ympäröivään yhteiskuntaan. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi heidän oppimistaan tuetaan monin eri tavoin mm. peruskoulun valmistavalla opetuksella, oppilaan oman äidinkielen sekä suomi toisena kielenä -opetuksella. Integrointi yleisopetuksen ryhmään pyritään järjestämään yleensä heti, kun oppilaan kielelliset ja sosiaaliset taidot sen mahdollistavat. Siten maahanmuuttajaoppilaiden ja maahanmuuttajataustaisten oppilaiden tulo koulujemme luokkiin on vaikuttanut myös opettajien työhön. LUMA-talkoot käynnisti pääministeri Paavo Lipponen vuonna 1999. Sen tavoitteena on, että koululaiset ja opiskelijat saavuttavat hyvät ja monipuoliset luonnontieteiden ja matematiikan tiedot ja taidot, joihin kuuluvat erityisesti asioiden käsitteellinen hallinta ja tietojen soveltaminen sekä kokeellisen ja havainnoivan työskentelyn taidot. Näitä taitoja mitattaessa kansainvälisissä vertailuissa, mm. TIMSS-R (The Third International Mathematics and Science Study) ja PISA (Programme for International Student Assessment), Suomi sijoittuu OECD-maiden parhaaseen neljännekseen. (www. Opetushallitus.fi. 12.12.2002). PISA tulosten mukaan maahanmuuttajataustaisten oppilaiden koulumenestykseen vaikuttavat monet eri tekijät. Perheen sosioekonominen asema ja aikaisempi kouluhistoria selittävät osan esiintyvistä eroista. Usein maahanmuuttajataustaisten oppilaiden oppimismotivaatio on korkea ja heidän asenteensa koulua ja koulutusta kohtaan myönteinen, mitkä edesauttavat oppimista. Menestykseen vaikuttavina tekijöinä nähdään myös ne resurssit, jotka yhteiskunta on valmis antamaan maahanmuuttajataustaisten oppilaiden opetukseen. Vain joissakin tutkimusmaiden (OECD maat) valtioissa tuetaan sekä oppilaan oman kielen, että opetuksessa

käytettävän kielen opetusta sekä järjestetään valmistavaa opetusta oppilaan omassa koulussa (mm. Ruotsi, Suomi, osassa Sveitsin kantoneita). Opetuksessa käytettävän kielen tukea järjestetään jossain muodossa kaikissa tutkimusmaissa. ( www.pisa.oecd.org/document/44/). PISA 2003 luokittelee oppilaiden matemaattiset taidot kuudelle saavutustasolle. Tasoa kaksi pidetään perustasona, jonka saavuttamista pidetään tärkeänä jokapäiväisten matematiikan taitojen hallitsemiseksi. Syntyperäisistä kansalaisista vain pieni osa ei saavuta tätä tasoa. Maahanmuuttajataustaisissa kansalaisissa niiden osuus, jotka eivät saavuta tätä tasoa, vaihtelee jopa 25 40%. Osuus vaihtelee riippuen siitä, onko kyse ensimmäisen vai toisen polven maahanmuuttajista. (www.pisa.oecd.org/document/44/). 1.1 Tutkimuksen lähtökohta ja tutkimuskohde Olemme molemmat työskennelleet luokanopettajina alakoulussa useita vuosia. Yksi vuosien kuluessa muuttuneista asioista on maahanmuuttajataustaisten lasten määrän lisääntyminen luokissa. Aluksi näitä oppilaita oli muutama, mutta nykyisin jopa puolet luokan oppilaista saattaa olla maahanmuuttajataustaisia, näin etenkin pääkaupunkiseudulla. Enenevässä määrin opettaja joutuu kohtamaan kielitaidon tai kulttuuritaustan aiheuttamia vaikeuksia luokkatilanteissa. Osa maahanmuuttajataustaisista oppilaista selviytyy koulunkäynnistä suomea äidinkielenään puhuvien luokkatovereidensa veroisesti, mutta suurella osalla on vaikeuksia suoriutua annetuista tehtävistä, seurata annettuja suullisia tai kirjallisia ohjeita ja toimia niiden mukaan. Pohdimme, kuinka maahanmuuttajataustaiset oppilaat onnistuvat matematiikan oppimisessa. Tutkimuskohteena ovat yhden, pääkaupunkiseudulla sijaitsevan, perusopetuksen alakoulun oppilaat. Koulun eri luokka-asteiden oppilaat edustavat useita eri kansallisuuksia. Koulun oppilaiden keskuudessa puhutaan ainakin 17 eri kotikieltä. Matematiikan opetus entistä monikulttuurisemmaksi muuttuvassa koulussa on haasteellinen tehtävä. 2

1.2 Tutkimuksen tarkoitus Tämän tutkimuksen tarkoituksena on kartoittaa maahanmuuttajataustaisten oppilaiden matematiikan oppimissaavutuksia verrattuna suomea äidinkielenään puhuviin oppilaisiin. Tutkimuksessa mitataan, kuinka oppilaat saavuttavat Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteissa (2004) sekä koulun omassa opetussuunnitelmassa asetetut matematiikan oppimistavoitteet. Mittarina on opetuksessa yleisesti käytössä oleva MaKeKo ( Matematiikan Keskeisen oppiaineksen Kokeet). Tutkimuksen avainsanoja ovat: matematiikan opetus, matematiikan oppiminen, matematiikan oppimissaavutukset, maahanmuuttajataustainen oppilas. 2 MATEMATIIKAN OPETUS 2.1 Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet (2004, 156) määrittelevät matematiikan opetuksen tehtäväksi matemaattisen ajattelun kehittämisen ja matemaattisten käsitteiden sekä yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimisen. Sen mukaan matematiikan opiskelu antaa mahdollisuuden kehittää keksimiskykyä ja luovaa ajattelua. Opetuksen tulee edetä systemaattisesti ja luoda kestävä pohja sekä matematiikan käsitteiden että rakenteiden oppimiselle. Matematiikan mahdollisuudet monipuolistavat sen käyttökelpoisuuden ratkaista arkipäivän ongelmia. Oppilaan omia kokemuksia käytetään konkreettisina apuvälineinä yhdistettäessä jokapäiväisiä tilanteita ja ajattelujärjestelmiä matematiikan abstraktiin järjestelmään. Matematiikka tarjoaa keinon viestittää informaatiota täsmällisesti. Nykyaikaisessa teknistyneessä yhteiskunnassa on matemaattisesti esitetyn informaation lukemisen ja kirjoittamisen taito tärkeää. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet painottavat tieto- ja viestintätekniikan käyttämistä oppilaan oppimisprosessin tukemisessa (mts., 156). 3

Ensimmäisellä ja toisella luokalla on matematiikan opetuksen ydintehtävänä matemaattisen ajattelun kehittäminen. Oppilas harjaantuu keskittymään, kuuntelemaan ja kommunikoimaan. Hän hankkii kokemuksia matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden muodostamisen perustaksi. (mts., 156). 3-5 luokalla matematiikan opetuksen ydintehtävänä on edelleen matemaattisen ajattelun kehittäminen. Oppilas oppii tutkien ja havainnoiden muodostamaan matemaattisia käsitteitä ja käsitejärjestelmiä. Tavoitteena on matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen ja peruslaskutoimitusten varmentaminen sekä kokemusten hankkiminen matematiikan käsitteiden ja rakenteiden omaksumisen pohjaksi (mts., 158-159). Vuosiluokkien 6-9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten ajattelumallien oppiminen sekä muistamisen, keskittymisen ja täsmällisen ilmaisun harjoitteleminen. (mts., 161). (Perusopetuksen opetussuunnitelman 2004 keskeiset sisällöt liitteessä 1). 2.2 Matemaattisten taitojen ja oppimisen arviointi Tavoitteellisen opetuksen olennainen osa on arviointi. Opettajalle ja oppilaille välittyy oppimistapahtumassa tietoa opetuksen ja oppimisen onnistumisesta sekä opetusjärjestelyjen toimivuudesta. Opettaja voi jatkuvalla opetustapahtuman arvioinnilla kehittää opetusta. Edistymisestä annettava välitön palaute tekee arvioinnista luontevan, myönteisen ja oppimista edistävän opetuksen olennaisen osan. Arviointi auttaa oppilasta tuntemaan omia kykyjään ja mahdollisuuksiaan. Arviointia on kaikki toiminta, jonka tarkoituksena on verrata saavutettuja tuloksia asetettuihin tavoitteisiin. Arvioinnin tulee olla toteavaa, motivoivaa, ohjaavaa ja ennustavaa. Arvioinnin perinteinen kolmijako on: diagnostinen, formatiivinen ja summatiivinen. Diagnostinen arviointi suoritetaan yleensä jakson alussa, jolloin todetaan, mitä valmiuksia oppilaalla on siirtyä uuteen jaksoon/asiaan. Formatiivinen koe 4

on jonkin asiakokonaisuuden oppimisen varmistamiseksi tehty koe. Sen perusteella voidaan säädellä etenemisnopeutta. Summatiivisessa kokeessa seurataan laajemman kokonaisuuden hallintaa. (Koponen 1995). Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet (2004, 260) jakavat oppilaan arvioinnin arviointiin opintojen aikana sekä päättöarviointiin. Opintojen aikaisen arvioinnin tulisi ohjata ja kannustaa opiskelua sekä kuvata, miten hyvin oppilas on saavuttanut kasvulle ja oppimiselle asetetut tavoitteet. Oppilaalle tulisi muodostua realistinen kuva oppimisestaan ja kehittymisestään ja arvioinnin tulisi tukea siten myös oppilaan persoonallisuuden kasvua. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden (mts., 260) mukaan opintojen aikaisen arvioinnin tulee olla totuudenmukaista ja perustua monipuoliseen näyttöön. Arvioinnissa huomioidaan oppilaan oppiminen ja edistyminen eri osa-alueilla sekä oppimisprosessi. Oppilaan edistymistä, työskentelyä ja käyttäytymistä arvioidaan suhteessa opetussuunnitelman tavoitteisiin ja kuvauksiin oppilaan hyvästä osaamisesta. Opettajan antaman jatkuvan palautteen merkitys on suuri. Arvioinnin avulla opettaja ohjaa oppilasta tiedostamaan omaa ajatteluaan ja toimintaansa sekä auttaa oppilasta ymmärtämään oppimistaan. Kuvaus oppilaan hyvästä osaamisesta on laadittu jokaisen oppiaineen osion päätteeksi tuntijaon nivelkohtaan. Se sekä päättöarvioinnin kriteerit määrittelevät kansallisesti sen tieto- ja taitotason, joka on oppilaan arvioinnin pohjana. Numeroarvostelua käytettäessä hyvän osaamisen kuvaus määrittelee tason arvosanalle kahdeksan (8). Sanallinen arvioinnin kuvaus oppilaan hyvästä osaamisesta on tukena opettajan arvioidessa oppilaan edistymistä, ja siihen perustuu kuvaus siitä, miten oppilas on saavuttanut tavoitteet. (mts., 260). Maahanmuuttajaoppilaiden matemaattisten taitojen ja oppimisen arvioinnissa huomioidaan oppilaan tausta ja vähitellen kehittyvä suomen tai ruotsin kielen taito. Arviointimenetelmien tulee olla monipuolisia, joustavia ja oppilaan tilanteeseen sovitettuja, jotta hän kykenee osoittamaan osaamisensa kielellisten taitojen puutteista huolimatta. Maahanmuuttajaoppilaan arviointi voi olla sanallista koko perusopetuksen ajan. Ainoastaan päättöarviointi on arvioitava numeroin.(mts., 263). 5

2.3 Koulun opetussuunnitelma Tutkimuskoulun koulun opetussuunnitelma (Yhtenäisen perusopetuksen opetussuunnitelma) on valmistunut v. 2004 yhteistyönä alueen kolmen alakoulun ja yhden yläkoulun kanssa. Koulun opetussuunnitelma noudattaa Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteita 2004. Matematiikan opetuksessa pyritään matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden ja yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimiseen. Tavoitteena on kehittää oppilaan luovaa ja täsmällistä ajattelutapaa ja ohjata oppilasta löytämään asioita ja asiayhteyksiä sekä etsimään ratkaisuja ongelmiin. Oppilasta ohjataan hahmottamaan, luokittelemaan ja mallintamaan ympäröivässä maailmassa eteen tulevia tilanteita, etsimään ja ymmärtämään arkielämän lainalaisuuksia ja asioiden välisiä riippuvuuksia sekä arvioimaan ja päättelemään suuruusluokkia ja ratkaisujen oikeellisuutta. Ajattelun taitojen, kirjallisen ja suullisen esittämisen sekä ongelmanratkaisumenetelmien ja työskentelytaitojen oppiminen ovat keskeisiä matematiikassa opeteltavia taitoja. Oppilasta ohjataan loogiseen ja täsmälliseen suulliseen ja kirjalliseen esittämisen. Oppilas osaa esittää järjestelmällisesti mahdolliset ratkaisuvaihtoehdot myös taulukkoa, puu-, polku, tai muuta diagrammia käyttäen. Koulun opetussuunnitelman mukaan oppimisympäristöt pyritään järjestämään oppilaan päättely-, perustelu- ja kommunikaatiotaitojen kehittymistä tukeviksi. Oppilasta kannustetaan luottamaan itseensä ja ottamaan vastuu omasta oppimisestaan matematiikassa sekä työskentelemään keskittyneesti ja pitkäjänteisesti myös erilaisissa ryhmissä. Oppimistilanteet pyritään järjestämään riittävän konkreettisiksi, kokeellisiksi, keskusteleviksi ja ongelmalähtöisiksi. Ajattelua tukevia piirroksia ja konkreettisia välineitä kuten laskusauvat, murtolukumallit, multilink-palikat, avaruuskappaleet, vaaka jne. käytetään oppimisen apuna mahdollisimman pitkään. Sopivissa asiayhteyksissä opetellaan laskimen käyttöä tavoitteena saavuttaa sujuva käyttötaito peruskoulun aikana. Mahdollisuuksien mukaan hyödynnetään opetuksessa tietoteknisiä laitteita, tietokoneohjelmia ja tietoverkkoa. Asiayhteyksiin soveltuvissa kohdissa opiskellaan matematiikan historiaa. 6

Matematiikka on kumulatiivinen oppiaine, jonka käsitteet rakentuvat toistensa varaan. Siksi opetus etenee systemaattisesti ja mahdollistaa näin kestävän pohjan matematiikan käsitteiden ja rakenteiden omaksumiselle. Matematiikkaa opiskeltaessa voivat Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden 2004 mukaiset aihekokonaisuudet sisältyä opetukseen matematiikalle luonteenomaisella ja oppilaan kehitysvaiheeseen sopivalla tavalla. Viestintä- ja mediataitoja harjoitellaan jatkuvasti. Matematiikan kieli on täsmällinen ilmaisukieli, ajatusprosessien esittäminen matematiikan kielellä on osa viestintä ja mediataitoa. Matematiikkaa opiskellessaan oppilas joutuu myös kohtaamaan ja käsittelemään muutoksia, epävarmuutta ja ristiriitoja, toimimaan pitkäjänteisesti sekä arvioimaan toiminnan vaikuttavuutta. Tällöin luodaan pohja aihekokonaisuudelle Osallistuva kansalaisuus ja yrittäjyys, jonka tavoitteet toteutuvat näin vahvasti matematiikan opiskelussa. Opetuksen sisältöjä valitessa on huomioitava myös muut aihekokonaisuudet, kuten Vastuu ympäristöstä, hyvinvoinnista ja kestävästä tulevaisuudesta sekä Turvallisuus ja liikenne. Arvioinnissa otetaan huomioon matematiikan tietojen ja laskutaitojen rinnalla myös ajattelun ja työskentelyn taitoja. Näihin kuuluvat mm. päättely-, perustelu ja kommunikaatiotaidot sekä kokeileva, keksivä ja tutkiva työskentely sekä ongelmien muotoileminen ja ratkaiseminen. Toisen luokan päättyessä arviointi perustuu kuvaukseen hyvästä osaamisesta. Kolmannesta luokasta lähtien arviointiin lisätään oppilaan positiivinen suhtautuminen oppiaineeseen. Oppilas myös harjoittelee arvioimaan omia taitojaan matematiikassa. Kolmannesta luokasta lähtien edellytetään myös, että oppilas suorittaa opinnot hyväksytysti. Hän on osallistunut kokeisiin ja testeihin, joista 1/3 on suoritettu hyväksytysti. Viidennen luokan arviointi perustuu kuvaukseen hyvästä osaamisesta. Arviointi on sanallinen, jota voidaan täydentää numeroilla. Vasta kuudennen luokan arviointi on numeerinen. 7

3 MATEMATIIKAN OPPIMINEN 3.1 Matemaattisen ajattelun kehittyminen Viime vuosina on meille tullut tutuksi käsite matemaattinen ajattelu, joka esiintyy käsitteenä sekä ainedidaktisessa kirjallisuudessa että myös kouluhallinnon asiakirjoissa. Käsitteen sisältö ei ole kuitenkaan vakiintunut, vaan se on määritelty monin eri tavoin riippuen kirjoittajan omista tutkimuslähtökohdista. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet (2004) velvoittavat matematiikan opetuksen tehtäväksi tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden oppimiseen. 3.1.1 Käsitteen muodostuminen Käsitteenmuodostus luo pohjan ihmisen ajattelulle. Matemaattiset käsitteet muodostavat koko matematiikan perustan. Sanaa käsite käytetään laajasti, mutta sen määritteleminen ei ole kovin yksinkertaista. Skempin (1971, 21-26) mukaan käsite on tulos abstraktioista, jotka kehittyvät luokittelemalla ja nimeämällä tapahtumia ympäröivässä maailmassa. Käsitteen muodostumiseen tarvitaan kokemuksia, joilla on yhteisiä tekijöitä. Skemp puhuu käsitteen malleista (examples of the concepts) silloin, kun käsitteen ominaispiirteet ovat muodostuneet. Arkipäivän käsitteet syntyvät vähitellen kokemuksista, jotka kuuluvat jokapäiväiseen elämään. Mallit, jotka johtavat niiden muodostumiseen esiintyvät satunnaisesti. Useasti toistuvat kohteet käsitteellistyvät nopeimmin. Havainnot, jotka poikkeavat ympäristöstään, todennäköisesti myös muistuvat mieleen, mutta myös niiden samankaltaisuus toisiinsa abstrahoituu ajan myötä erilaisissa yhteyksissä. Vaikuttava tekijä on tällöin vastakohta (contrast). Havaintojen tekeminen vaatii erottelukykyä. Käsitteitä, jotka ovat syntyneet aisti- ja liikehavainnoistamme ympäristöstä, kuten punainen, auto, painava, kuuma, makea, kutsutaan alakäsitteiksi (primary concepts); ja niitä, jotka abstrahoituvat näistä käsitteistä, kuten värit, ajoneuvot, kutsutaan yläkäsitteiksi (secondary concepts). Vaikeudet matematiikassa eivät johdu ainoastaan siitä, että sen käsitteet ovat abstraktimpia kuin arkipäiväinen elämä, vaan myös siitä, että matematiikan opetus on usein abstraktisesti suuntautunutta. 8

Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden (2004) tavoitteissa käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat puhuttu ja kirjoitettu kieli sekä välineet ja symbolit. Vergnaud on määrittänyt (1998) käsitteen joukoksi tilanteita, jotka sisältävät tietyn määrän toiminnallisia muuttujia. (Kuvio 1). Nämä muuttujat muodostavat toiminnan mallin, skeeman. Tilanteet a Skeemat (toiminnalliset muuttujat) b Viite c c Esineet Havainnot Luonnollinen Symbolinen puhuttu ja kirjoitettu kieli puhuttu ja kirjoitettu kieli d d Kuvio 1. Vergnaud n mallin mukaan muokattu kuva käsitteen muodostuksesta (Vergnaud 1998,177). Malli esittää viisi eri vaihetta käsitteen muodostumiselle. Ensimmäinen vaihe on käsitteellistämisvaihe, jossa ns. käsitteiden edustus syntyy suhteessa koetun tilanteen ja yksilön skeeman välillä (a). Toinen vaihe on käsitteen muotoiluvaihe (b). Se kehittyy suhteessa havainnon ja yksilön skeeman välillä, toisin sanoen todetaan, mikä joku tai jokin on. Nämä ovat toiminnallisten muuttujien päävaiheita ja sisältävät teoreeman käsittelyn (theorems-in-action) ja käsitteen käsittelyn (concepts-in-action). Yksilön skeeman ja puhekielen sekä symbolijärjestelmän välillä syntyy myös yhteisvaikutus (c). Sen lisäksi esiintyy yhteisvaikutusta sekä molempien kielenkäyttömuotojen sisällä että välillä (d). Puhekieltä käyttämällä ja harjoittamalla syntyy ja kehittyy koko symbolijärjestelmän metakieli. Matematiikan opetuksen didaktiikka on perustunut Piaget n ja Vygotskyn teorioihin lapsen kasvusta ja kehityksestä. Piaget n mukaan ajattelun kehitys on seurausta lapsen toiminnasta ja kokemuksista. Kokeilemalla ja päättelemällä lapsi vertailee tuloksiaan aikaisempiin tuloksiin. Hänen mielestään ajatus on ennen puhetta. ( Piaget 1968, 15-16). 9

Vygotsky(1986) puolestaan esittää kielen kehityksen sosiaalisena vuorovaikutuksena ja painottaa sitä, että kieli esiintyy ennen ajattelua. Molempien tutkijoiden mukaan kehityksen kulussa ulkoiset toiminnat muuttuvat sisäisiksi. Piaget korvaa ulkoiset toiminnat ajatellulla ja symbolisilla toiminnoilla, kun taas Vygotsky puhuu ulkoisen, sosiaalisen puheen muuttumisesta sisäiseksi. Vergnaud n mallissa yhdistyvät sekä Piaget n mallin sisäinen edustus, nk. skeema että Vygotskyn teoria puheen kehityksestä sosiaalisessa kontekstissa. Vergnaud n käsitteenmuodostusmallista voidaan nähdä, että kielellinen ja symbolinen ilmaisu muodostavat tärkeän osan matematiikan opetuksessa. (Häggblom, L. 2000, 13). Opetussuunnitelmien tavoitteet asettavat käsitteiden ymmärtämiseen liittyviä vaatimuksia. Oppilas osoittaa matematiikkaan liittyvien käsitteiden ymmärtämistä käyttämällä niitä ongelmien ratkaisuissa, esittämällä niitä monipuolisesti (välineillä, kuvilla, symboleilla, sanoilla, lukujen avulla tai diagrammeilla) ja selittämällä niitä toisille oppilaille ja opettajalle. Matematiikan opetuksessa edetään yksinkertaisten konkreettisten esineiden vertailuprosessista yhä monimutkaisempiin matemaattisiin rakenteisiin. Oppilaan omat kokemukset ja ajatustavat yhdistyvät abstraktiin järjestelmään konkreettisten apuneuvojen avulla. Piaget n (1970, 1977) mukaan ajatteleminen on fyysisen toiminnan tulosta. Hän kuvaa, kuinka ajatteleminen kehittyy konkreettisesta ajattelusta abstraktiksi. Kehitysvaiheiden välillä ei ole olemassa jyrkkiä rajoja. Kehitys edellyttää sekä lapsen omaa aktiivista toimintaa että kokemuksia ympäristöstä. o Sensomotorinen kausi on alle 2-vuotiailla lapsilla, jolloin lapselle alkaa syntyä malleja sanojen ja niiden sisällön yhteydestä (symbolifunktio). Kieli alkaa ilmaantua toisen ikävuoden puolivälissä. Lapselle kehittyy myös alkeellinen käsitys ajasta ja paikasta ja hän alkaa erottaa itsensä muista. o Esioperationaalisessa vaiheessa (ikävuodet 2-6) lapsen symboliset toiminnot ovat riippuvaisia konkreettisista esineistä. Säilyvyyden ymmärtäminen on tämän ikäiselle lapselle vaikeaa, samoin toisen asemaan asettuminen. o Konkreettisten operaatioiden alkuvaiheessa (ikävuodet 7-12) lapsi aloittaa koulunkäynnin. 7-8 vuoden iässä lapsi ymmärtää aineen säilyvyyden, 9-10 vuoden iässä painon säilyvyyden ja 11-12 vuoden iässä tilavuuden säilyvyyden. Ajattelu on yhä melko konkreettista, esimerkiksi 10

sananlaskut tarkoittavat vain sitä, mitä niissä sanotaan. Useilla käsitteillä on vain yksi merkitys. Abstraktin ajattelun kehittyessä syy- ja seuraussuhteet ymmärretään entistä paremmin, lapsi alkaa hahmottaa erilaisia luokittelutapoja ja kykenee muodostamaan sarjoja (esim. esineiden koon perusteella). Asioiden vertailussa opitaan huomioimaan useampi kuin yksiominaisuus. Symboliset leikit vähenevät ja kuvitteelliset leikkitoverit katoavat. Ajattelu on kuitenkin vielä pitkälti intuitiivista. o Lapsen tullessa kohti murrosikää ajattelu muuttuu abstraktimpaan suuntaan. Alkaa formaalisten operaatioiden vaihe. Kun tämän vaiheen tasoinen ajattelu on päässyt kerran vakiintumaan, oppilas kykenee loogiseen ajatteluun, joka on irti konkreettisista lähtökohdistaan. Hän aloittaa oletuksistaan ja tekee niistä johtopäätökset riippumatta oletusten totuudesta. Tämän myötä myös kyky suorittaa matemaattisia operaatioita kehittyy. Käsitehierarkiat muotoutuvat täydellisemmiksi ja kielen eri sävyjä ja vivahteita opitaan tulkitsemaan. (Donaldson 1978, 156-162). Vygotskyn (1978) kehittämiä oppimisenteorioita on käytetty mm. tutkivan oppimisen kehittämisessä. Vygotsky on kehittänyt teorian lähikehityksen vyöhykkeestä: oppija työskentelee todellisella kehitystasollaan, kun hän juuri ja juuri osaa ratkaista annetun ongelman. Lähikehityksen vyöhyke on oppilaan tietotaidon osa-alue, jota hän ei vielä hallitse itsenäisesti, mutta selviytyy itsenäisesti saadessaan ajatteluprosesseihinsa kohdistuvaa ohjausta. Ongelma, jonka hän ratkaisee enemmän tietävän avulla, on hänen potentiaalinen kehitystasonsa. Lähikehityksen vyöhyke on näiden tasojen välille jäävä ero. What the child can do in cooperation today he can do alone tomorrow (mts., 188). Vygotsky ei tarkastele kieltä käsitteen kehittymisen tuloksena, vaan osana itse käsitettä. Hänen mukaansa kieli ja ajatus kehittyvät sosiaalisessa vuorovaikutuksessa. Lapsen kehityksessä kieli on aluksi sosiaalisen vuorovaikutuksen väline, mutta kehityksen myötä siitä muodostuu myös ajattelun väline, jolloin kieli sisäistyy. Käsitteen ilmaiseminen tapa voi hänen mukaansa olla sisäistä tai puhuttua kieltä, merkkejä tai kehonkieltä. Kehittämällä ilmaisua monipuolisesti ja käyttämällä kieltä on mahdollista kehittää käsitteen sisältöä. (Johnsen Hǿines, 2000, 68). Vykotskyn mukaan lapsi ajattelee ääneen. Tällainen egosentrinen äänekäs puhe on sosiaalista puhetta, joka myöhemmin muuttuu sisäiseksi puheeksi, ja voi olla loogisen ajattelun apuna. (mts., 18-21). 11

Suomessa Keranto (1981, 78) on tutkinut lapsen lukukäsitteen kehittymistä ja kehittämistä pohjautuen mm. Vygotskyn ja Piaget n näkemyksiin. Hänen mielestään keskeinen ero Piaget n ja Vygotskyn välillä on kasvatuksen ja opetuksen huomioon ottaminen matemaattis-loogisen ajattelun kehittymisessä ja kehittämisessä. Piaget n teorian mukaan lapsen lukukäsitys kehittyy itseohjautuvan prosessin myötä spontaanisti, ja opetus tulee järjestää sen mukaisesti. Vygotskyn ja myös Galperinin kautta tutkimuksessamme mittarina käytetyn MaKeKonkin (Matematiikan Keskeisen oppiaineksen Kokeet) tekijöihin vaikuttanut ajatus on, että kasvatus ja opetus ovat ratkaisevia tekijöitä henkisten toimintojen muodostukselle. Galperin (1979) katsoo jokaisen henkisen toiminnon heijastukseksi ulkoisesta toiminnasta ja hänen mukaansa kaiken uuden opetuksen tulisi lähteä konkreettisesta tilanteesta. Sisäisessä ymmärtämisessä, johon Galperin pyrkii, tulisi opettajan saada oppilas vastaamaan suullisesti, jotta selviäisi, vastaako kieli tehtävän todellista sisältöä. Lapsi puhuu hiljaa itsekseen, kun hän käyttää sisäistä kieltään. Omistautuessaan toiminnalleen on ajatus nopeampaa kuin kieli ja toiminta automatisoitunutta. Myös Dienes tukeutui Piaget n teoriaan lapsen kehityksestä luodessaan menetelmiä modernin matematiikan opetukseen (Dienes 1974, 40-45). Dienes viittaa Piaget n lukuisiin periaatteisiin. Periaate havainnollistamisen muunnelmista (Das Prinzip der Variation der Veranschaulichung) on niistä yksi. Jokainen käsite, joka pitää oppia, muodostetaan joukosta erilaisia havainnollistamisia. Havainnollistamisen muunnelmien periaate tarkoittaa sitä, että perusajatus esitetään mahdollisimman monipuolisesti. Lapsella on mahdollisuus oppia matematiikkaa monia eri teitä, koska lapset ovat erilaisia ja oppivat eritavalla. Oppimistilanne, joka yhdelle on ihanteellinen, ei toiselle välttämättä olekaan. Toiset oppivat nopeammin kuin toiset ja saavuttavat korkeamman tason. Myös erittäin älykkäillä lapsilla on osoittautunut avuksi runsaamman materiaalin esittäminen pitkäkestoisen muistin kehittämisessä. Siksi heitä tulisi kannustaa käyttämään myös muita kuin ensimmäisellä tai toisella kokeilukerralla käytettyjä vaihtoehtoja käsitteen ratkaisemiseksi. Toinen Dienesin periaate on muuttujat havainnossa (Das Prinzip der Variabilität in der Wahrnehmung). Tämä periaate edellyttää, että kun lapselle esitetään erilaiset materiaalit, huomioidaan myös ilmaisussa lapsen käsityskyky mahdollisimman monella tavalla. Tämä merkitsee sitä, 12

että esitysten tulee olla toisistaan mahdollisimman erilaisia myös silloin, kun odotamme lapselta itse perusajatuksen ymmärtämistä kokemisen perusteella. Dienesin (1960, 29-36) mielestä lapset voivat muodostaa käsitteitä, vaikka he eivät osaa tehdä loogisia laskutoimituksia. Hän ajattelee, että mitä aikaisemmin lapsi saa kokemuksia käsitteestä, sitä paremmat hänen mahdollisuutensa ovat sen käyttämiseen. Dienesin mallin mukaan matematiikan oppimiseen sisältyy kuusi askelmaa: vapaa leikki, säännöt, yleistäminen, esittäminen, symbolisoiminen ja muotoilu. Vapaa leikki aineellisen materiaalin kanssa saa lapset keksimään muotoja ja säännönmukaisuuksia. Tällöin lapsi havainnoi, abstrahoi ja antaa yleispätevyyksiä kohteena oleville esineille. Lapsi voi nähdä yhtäläisyyksiä ja yhdistää mallin ominaisuuksia jonkin toisen kohteen kanssa. Konkreettinen materiaali esittää matemaattista toimintaa. Symbolisoiminen antaa esittämiselle kielen, jota ilmaistaan symbolien avulla. Muotoileminen varustaa matematiikkaan järjestyksen, joka sisältää sen, että sääntöjä ja ominaisuuksia käsitellään yhtenä järjestelmänä. 3.1.2 Uskomukset, kulttuurin vaikutus, matemaattiset kyvyt, ongelmanratkaisu ja informaation prosessointi Joutsenlahti (2005) ottaa matemaattisen ajattelun tarkasteluun mukaan opiskelijan uskomukset ja kyvyt, opiskelijaa ympäröivän kulttuurin, sekä opiskelijan ongelmanratkaisutaidon ja informaation prosessoinnin. (Kuvio 2.) Kuvio 2. Keskeisiä lähtökohtia opiskelijan matemaattisen ajattelun tutkimukseen 13

Affektiivisen alueen tekijöiden vaikutus on matematiikan oppimisen ja opettamisen tutkimuksen mukaan 1980-luvulta alkaen katsottu selittävän huomattavan osan oppijoiden kognitiivisen alueen vaihtelusta. Joutsenlahti (mts., 51) siteeraa Pehkosta (1998), jonka mukaan oppilaan uskomukset ikään kuin suodattavat kaiken oppilaan ajattelun ja toiminnan. Uskomuksilla voi olla oppimista estävä vaikutus. Tuntemalla oppilaan uskomuksia opettaja voi ennustaa oppilaan ajattelua ja vaikuttaa oppimiseen. Opettaminen on aina kulttuuriin liittyvä tapahtumasarja, joka tapahtuu erityisesti sosiaalisessa vuorovaikutuksessa. Siinä määrin, kun se heijastaa monimuotoisten etnisten ja kulttuuristen ryhmien kokemuksia, perspektiivejä, orientoitumista ja panostamista, korkeamman tason akateeminen menestyminen taataan suuremmalle joukolle oppijoita. Oppilaat oppivat enemmän ja helpommin, kun opetettava aines on suodatettu heidän oman kokemuksellisen ja kulttuurisen viitekehyksensä kautta. Tutkittaessa yksilön matemaattista ajattelua kulttuurin näkökulmasta keskeisiksi tekijöiksi nousevat oppimisen tilannesidonnaisuus, kieli ajattelun välineenä ja kansallisen kulttuurin ominaispiirteet (Joutsenlahti, mts., 55). Viimeksi mainitut tunnetaan omana tutkimusalueenaan etnomatematiikkana. Joutsenlahti (mts., 55) esittää tilannesidonnaisuuden esimerkkinä arkipäivän matematiikan, jossa sovelletaan erilaisia menettelytapoja (proseduureja) arkielämän tilanteissa, esimerkiksi kaupassa, pankissa ja muissa paikoissa asioitaessa. Näissä tilanteissa esiintyy kansallisia, kulttuurisia eroavaisuuksia, joita ei voi suoraan siirtää toiseen kulttuuriin. Joutsenlahti (mts., 55) pitää antropologista näkökulmaa mielenkiintoisena kielen rakenteen ja etymologian tutkimuksessa. Hän viittaa Stenbergiin (1996), jonka mukaan eri kielillä muodostettujen lukusanojen rakenne antaa viitteitä ihmiskunnan lukukäsitteen kehityksestä. Myös erot lukusanojen rakenteessa selittävät osaltaan lasten vaikeuksia lukukäsitteen oppimisessa. Kielen merkitys on suuri ajattelun, myös matemaattisen ajattelun jäsentämisessä ja ilmaisemisessa. Etnomatematiikan keskeisiä tutkimuksen kohteita ovat eri sukupolvien matemaattisen tiedon siirtäminen ja matemaattisten prosessien jäljittäminen sekä analysointi kulttuurisysteemeissä. Joutsenlahti (mts., 55) on luetellut Gerdesiin (1996) viitaten ne 14

tutkimusten käsitteet, jotka ovat olleet tutkimuskohteina niin sanotuissa kolmansissa maissa, Afrikassa ja Aasiassa. Tutkimusten käsitteinä ovat olleet esimerkiksi epäformaali matematiikka (informal mathematics), spontaani matematiikka (spontaneous mathematics), ei-standardi matematiikka (non-standard mathematics) ja kätketty matematiikka (hidden mathematics). Näihin kaikkiin käsitteisiin sisältyvä matemaattinen ajattelu on opittu arkielämän tilanteissa, pääasiassa koululuokkien ulkopuolella. Suomalainen kansallinen kulttuuri sisältää runsaasti jokapäiväisessä elämässä tarvittavaa tietoa, jota on vaikea tulkita verbaalisesti, ns. hiljainen tieto. Matemaattisia ongelmia voi ratkoa myös käyttämällä tervettä talonpoikaisjärkeä. Kulttuurilähtöisessä lähestymistavassa tulee esille matemaattisen ajattelun tilannesidonnaisuus ja arkipäivän esimerkkien vaikutus opiskeluun (Joutsenlahti, 56). Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden (2004) mukaan matematiikan opetuksen tehtävänä on matemaattisen ajattelun, matemaattisten käsitteiden sekä yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimisen mahdollistaminen. Arvioinnin termeinä käytetään käsitettä ajattelun ja työskentelyn taidot, jotka on riippuvaisia oppilaan kyvykkyydestä oppia opittavat asiat. Joutsenlahti (2005) viittaa useisiin tutkijoihin määritellessään matemaattisia kykyjä. Gardnerin lahjakkuusluokituksen mukaan matemaattisesti kyvykkäällä henkilöllä on loogismatemaattista ja spatiaalista lahjakkuutta (esim. Uusikylä 1994, 66). Krutetskin (1976, 318, 350) mielestä matemaattisten kykyjen olennaisin piirre on kyvykkyys ymmärtää kirjoitettua ja suullista matemaattista tietoa, sen esittäminen kirjallisesti ja suullisesti sekä kyvykkyys matemaattisen informaation muistamiseen. Kilpatrickin (1983) mukaan matemaattisten kykyjen osa-alueita ovat mm. kyky loogiseen ajatteluun kvantitatiivisten ja spatiaalisten suhteiden, lukujen ja kirjain symbolien alueella, kyky ajatella matemaattisin symbolein ja kyky lyhentää matemaattisen ajattelun prosessia sekä kyky ajatella lyhennetyillä struktuureilla. Carrollin (1996) kehittämä kognitiivisten kykyjen kolmikerros-teoria (three-statum theory) on uusi, faktorianalyysiin perustuva kykytutkimus. Hän määrittelee matemaattisen kyvyn viittaavan yksilöiden välisiin eroihin suorittaa onnistuneesti eri vaikeustasoisia matemaattisia tehtäväluokkia. Yksilö on matemaattisesti kyvykäs onnistuessaan ratkaisemaan kaikki tai lähes kaikki vaikeiden matemaattisten tehtävien luokkaan kuuluvat tehtävät. Carrollin mukaan matemaattiseen 15

ajatteluun vaikuttavia kykyjä yleisen älykkyyden (g) lisäksi ovat joustava intelligenssi (fluid intelligence), karttuva intelligenssi (crystallized intelligence), yleinen muistamiskyky (general memory), yleinen visuaalinen havaintokyky (general visual perception) ja informaation prosessointinopeus (speed of information processing). Monien tutkijoiden mukaan ongelmanratkaisu on koko matemaattisen ajattelun ydin. Joutsenlahti luettelee Dreyfus in ja Eisenbergin (1996) asettamia, hyvälle ongelmanratkaisijalle tärkeitä ajattelun taitoja. Keskeisiä asioita kehittyneessä matemaattisessa ajattelussa ovat ajattelun esteettisyys, analoginen päättely, struktuurien ymmärtäminen, esittäminen, visuaalinen päättely ja käänteinen ajattelu. Nämä yhdessä mahdollistavat yksilön joustavan ajattelun, jolloin esimerkiksi ongelmanratkaisija voi nähdä ongelman sisäpuolelta ja monesta eri näkökulmasta. Ajattelun esteettisyydellä opiskelija pyrkii elegantteihin ratkaisuihin, joille on ominaista lyhyt esitystapa ja omaperäinen sekä oivaltava tapa yhdistellä ratkaisuun tarvittavia elementtejä. Analogisesti päättelevä opiskelija pystyy näkemään yhteneviä piirteitä erityyppisten ongelmien välillä hyödyntäen niitä uusien ongelmien ratkaisuissa ja uusien käsitteiden oppimisessa. Struktuureja ymmärtävä opiskelija hahmottaa faktojen välisiä suhteita sekä suhteiden välisiä suhteita. Matemaattisten käsitteiden struktuurin omaksuminen on keskeinen osa matemaattista ajattelua. Matemaattisen tiedon esittäminen eri muodoissa on ongelmanratkaisussa tärkeä osa. Ongelman esittäminen jossakin toisessa isomorfisessa muodossa voi johtaa ratkaisun löytymiseen. Käsite voidaan esittää monella eri tapaa. Esimerkiksi funktio voi olla algebrallisessa, graafisessa tai tilastollisessa esitysmuodossa. Ongelman tai käsitteen visualisointi helpottaa kokonaisuuden hahmottamista ja ymmärtämistä. Visuaalisesti päättelevä opiskelija hahmottaa kokonaisuuksia ja ymmärtää erilaisia struktuureja muita tapoja helpommin kuvien avulla. Käänteisessä ajattelussa ratkaisija tietää ongelman lopputilan ja ratkaisee ongelman päättelemällä lopputuloksesta ongelman alkutilan ja lopputilan välillä olevan ratkaisuprosessin. (mts., 260-279). Informaation prosessointia tutkivan lähestymistavan pohjana on ihmisen ajattelun kuvaaminen tietokoneen toiminnan mallilla. Laarniin ym. (2001) viitaten Joutsenlahti mainitsee ihmisen tiedonkäsittelyjärjestelmän tyypilliseksi informaation prosessoinniksi muun muassa havaitsemisen, muistamisen, mieltämisen, ajattelun ja päätöksenteon. 16

Tärkeimmät ajatteluprosessit ovat kategoriointi, päätöksenteko, päättely ja ongelmanratkaisu. Ajatteluprosessin ydin on mieltäminen (apperseptio), joka muodostaa ajattelun pohjana olevalle tietoesitykselle (representaatiolle) sen sisällön. 3.2 Matematiikkakuva Uskomukset ovat pohjana, kun oppilas luo itsestään kuvaa matematiikan oppijana ja käyttäjänä. Se on myös pohjana kuvalle matematiikasta matematiikan opettamisessa ja oppimisessa. (Kaasila, R., Laine, A. & Pehkonen, E. 2004, 399.) Yksilön matemaattisten uskomusten ja siihen läheisesti liittyvien tekijöiden kokonaisuutta kutsutaan hänen matematiikkakuvakseen. Matematiikkakuvaan sisältyy oppilaan uskomusten lisäksi myös hänen tietoaan, käsityksiään, asenteitaan ja tunteitaan. Kaasila, Laine & Pehkonen erottavat matematiikkakuvassa kaksi pääkomponenttia: 1. kuva itsestä matematiikan oppijana ja käyttäjänä 2. kuva matematiikasta, matematiikan opettamisesta ja oppimisesta. Ensimmäinen näistä komponenteista on enimmäkseen affektiivinen, jälkimmäinen suurimmaksi osaksi kognitiivinen. Kuviossa 3 hahmottuvat matematiikkakuvan keskeisten käsitteiden väliset suhteet. Kuvio 3. Matematiikkakuvan keskeisten käsitteiden väliset suhteet 17

Objektiivinen ja subjektiivinen tieto erotetaan toisistaan. Objektiivinen tieto on yksilön ulkopuolella. Kaasila ym., ajattelevat niiden voivan olla kuitenkin vuorovaikutuksessa keskenään. Yksilön subjektiivinen tieto sisältää myös tunteita ja näin nämä kaksi aluetta leikkaavat toisensa. Matemaattiset uskomukset kuuluvat subjektiiviseen tietoon, matemaattiset asenteet puolestaan tunteisiin. Jos oppilas uskoo, että hän on huono päässälaskija, sisältää väite samanaikaisesti myös asenteen päässälaskuun. 3.3 Kielen vaikutus matematiikan oppimiseen Lapsi ilmaisee itseään monin eri tavoin. Hän kuvailee tapahtumia sanoin, piirtäen, eleillään ja liikkuen. Lapsella on sata kieltä (ja vielä sata ja vielä sata) mutta häneltä ryövätään ne yhdeksänkymmentäyhdeksän. Koulu ja kulttuuri erottavat pään ruumiista, sanoi aikoinaan Loris Malaguzzi. (Wallin, K. 1990, 12). Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet (2004) määrittelevät matematiikan 1-2 luokan opetuksen tavoitteiksi sen, että oppilas oppii keskittymään, kuuntelemaan, kommunikoimaan ja kehittämään ajatteluaan ja saa tyydytystä ja iloa ongelmien ymmärtämisestä ja ratkaisemisesta. Hänen tulee hankkia monipuolisia kokemuksia erilaisista tavoista esittää matemaattisia käsitteitä. Tämä edellyttää matematiikan kielen ja terminologian tuntemista. Vain niiden avulla oppilas voi ymmärtää ja ratkaista ympäristön asettamia ongelmia. Matematiikalla on tarkka ja yksiselitteinen symbolikieli. Sen käyttäminen vaatii kahdenlaista taitoa; pitää osata kirjoittaa symbolit ja pitää osata tulkita niiden sisältö. Matemaattisen tehtäväratkaisun ensimmäisessä vaiheessa oppilas lukee tehtävän, tulkitsee sen, ratkaisee ongelman sekä esittää kirjallisen ratkaisun. Jos oppilaan on vaikea muodostaa kirjallista vastausta, myös suullisen vastauksen pitää olla mahdollinen, vaikka se onkin vaikeampi kontrolloida. Toisessa vaiheessa oppilas kykenee antamaan jo tehtävään muodollisen vastauksen. Hän pystyy siirtämään symbolit oikeaan todellisuuteen. (Johnsen Hǿines 2000). Johnsen Hǿines (38-66) on soveltanut Vygotskyn kielen kehityksen teorioita opetuksessa, jossa oppilas ääneen puhumalla ilmaisee vähitellen rakentamaansa merkkijärjestelmää. Oppilas oppii ymmärtämään symbolifunktioita puhumalla ja piirtämällä niitä oman kuvallisen 18

ilmaisunsa avulla. Hän saa työskennellä riittävän pitkän ajan omien symboliensa kanssa. Oppilaan piirtämille omille merkeille annetaan aikuisen ohjauksella matemaattinen arvo ja kirjoituskieli. Samanaikaisesti Johnsen Hǿines pitää tärkeänä, että oppilas saa metatietoa erilaisten merkkien symbolifunktioista yleisesti. Jos hänen annetaan keksiä erilaisten merkkien käyttötarkoituksia, kuten liikennemerkit, vaatteiden pesumerkinnät, lentokentän tai rautatieaseman tiedotuskilvet ja vastaavat, hänen yleistietonsa ja käsityksensä merkeistä symboleina laajenee. Jokapäiväinen elämä ja oppilaan arki suovat runsaasti mahdollisuuksia monipuoliseen matematiikan opiskeluun. Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden (2004) 3-5 vuosiluokkien matematiikan opetuksen ydintehtävänä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien pohjustaminen, lukukäsitteen ja peruslaskutoimitusten varmentaminen sekä kokemusten hankkiminen matematiikan käsitteiden ja rakenteiden omaksumisen pohjaksi. Tällöin oppilaan arkipäivän kokemukset ovat ensiarvoisen tärkeitä. 3.4 Matemaattisten käsitteiden kielentäminen Joutsenlahti (2005) pitää Johnsen Hǿinesin mallia käytännönläheisenä ja siksi hyvänä, mutta kritisoi sitä sen vuoksi, että Johnsen Hǿines ei huomioi oppijan kehitystason vaikutusta käsitteiden oppimiseen, vaan kohdistaa tutkimuksensa vain tietyn ikäisiin lapsiin. Yhtälailla molemmat tutkijat korostavat oppijan aikaisempia tietoja ja taitoja lähtökohtana oppimiselle. Joutsenlahden mukaan käsite muodostuu käsitteen sisällöstä ja ilmaisusta. Toista ei voi olla ilman toista. Käsitteen sisältö viittaa aina johonkin ulkoiseen tarkoitteeseen, joka voi olla esine, asia, ominaisuus tai muu havaittava kohde. Käsite on tämän tarkoitteen representaatio, edustus. Ilmaisu puolestaan voi olla puhuttua tai kirjoitettua kieltä, piirroksia, symboleja. Joutsenlahti selventää mallia matemaattisten käsitteiden kielentämisellä. Toimintamateriaalin ja sopivien esimerkkien avulla oppilas luo mentaalimallia käsitteestä. Kun hän saa ilmaista opiskeltavan käsitteen sisältöä itse valitsemallaan tavalla, puhumalla omalla terminologiallaan, piirtämällä tms., opettaja ja muut oppilaat saavat kuvan tämän oppilaan käsitteen ymmärtämisestä. Matemaattisen käsitteen kielentäminen on osa käsitteen 19

konstruointiprosessia. Oppilas voi mm. lausekkeen sijasta kirjoittaa vihkoonsa, miten hän aikoo matemaattisen ongelman ratkaista? Kun oppilas Joutsenlahden didaktisessa mallissa ilmaisee käsitteen sisältöä muille, hän joutuu pohtimaan käsitteen keskeisiä piirteitä ja reflektoimaan sekä jäsentämään matemaattista ajatteluaan. Muut oppilaat voivat verrata oppimansa käsitteen sisältöä toisen oppilaan ilmaisuun ja muokata sekä omaa että toisten käsitteen sisältöä keskustelun avulla. Oppilaan ilmaisussa tulevat tällöin esiin myös hänen matematiikkaan liittyvät uskomuksensa. (www.joutsenlahti.net). Keranto (1997, 32-34) on suositellut puheen käyttämistä metodina oppilaiden ääntämyksen ja tulosten kriittisen tarkastelun kehittämiseen. Opettajan on mahdollista tarkkailla ja tulkita oppilaiden käyttämää kieltä kartoittaakseen, millaisia käsityksiä oppilailla on sekä kontrolloidakseen, kuinka oppiminen edistyy. Keskusteluiden avulla selviää, miten oppilaat käsittävät asiakokonaisuuksia, kuinka he ovat kehittyneet ja missä heidän vielä pitää parantaa taitojaan. 3.5 Matemaattisten ongelmien ratkaisutaito Matematiikan perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden tavoitteiden mukaisesti oppilaiden tavoitteena on sekä vuosiluokilla 3-5 että vuosiluokilla 6-9 oppia peruslaskutaitojen lisäksi ratkaisemaan matemaattisia ongelmia. Kinnusen ja Vauraan (1998, 269) mukaan taito ratkaista matemaattisia ongelmia ei ole mikään yksittäinen kyky, vaan se käsittää joukon tiedollisia ja taidollisia komponentteja, joita ratkaisija käyttää suunnitelmallisesti. Matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa he erottavat yleensä neljä matemaattista erityisosaamista edustavaa tasoa. (Kuvio 4). Ylinnä niistä on se käsitteellinen taso, jolla matemaattiset käsitteet, säännöt ja menettelytapojen taustalla olevat periaatteet ymmärretään ja jolla ongelmalle ja sen ratkaisuvaihtoehdoille annetaan matemaattinen sisältö. Toisena on strateginen taso, jolla ongelmalle erityiset ratkaisustrategiat valitaan ja toteutetaan. Kolmantena on tekninen taso, jolla valittujen strategioiden vaatimat toimintasekvenssit toteutetaan. Tälle tasolle kuuluvat erilaiset ratkaisua kohti vievät säännöt, sovitut merkitsemistavat ja laskemisen apuvälineiksi kehitellyt laskutekniikat (esim. allekkain laskemisen algoritmit). Alimmalla, operaatioiden tasolla ovat mentaaliset operaatiot ja vähitellen automaattisiksi muuntuneet 20

laskutoimitukset, joita ratkaisuun pääseminen vaatii (esim. kertolaskun haku faktatietona muistista osana jakolaskua tai yhteen- tai vähennyslaskun tekeminen päässä osana allekkainlaskua.) Käsitteellinen taso Strateginen taso Tekninen taso Operaatioiden taso Kuvio 4. Matemaattisen erityisosaamisen toiminnan tasot (Kinnunen & Vauras 1998, 270 mukaan) Viime aikoina on sekä koulussa että oppimisen tutkijoiden piirissä kiinnitetty huomiota siihen, että perinteisesti toteutetulla matematiikan opetuksella ei saavuteta haluttuja tavoitteita (Kinnunen & Vauras 1998, 273). Oppilaat oppivat suuren joukon merkitsemistapoja, laskuoperaatioita ja algoritmeja sekä näiden muistitueksi kehiteltyjä sääntöjä, mutta näiden oppien perimmäinen tarkoitus ja ymmärtäminen jäävät puutteellisiksi. He eivät opi ajattelemaan matemaattisia ongelmia ja niiden ratkaisuvaihtoehtoja joustavasti ja strategisesti. He eivät myös opi soveltamaan matemaattista tietouttaan erilaisissa elämäntilanteissa. Päinvastoin, monien oppilaiden toimintaa luonnehtivat matematiikkaa koskevat väärät uskomukset ja pinnalliset strategiat. Yhtenä olennaisena syynä tähän on pidettävä sitä, että perinteinen opetus liiaksi keskittyy matemaattisen ongelmanratkaisun teknisten menettelytapojen ja laskuoperaatioiden harjoitteluun. Sen sijaan käsitteellisen tason tai strategisen tason pohdintoihin ei käytetä riittävästi aikaa. Lapset eivät opi suhteuttamaan laskuteknisiä ratkaisujaan käsillä olevaan matemaattiseen ongelmaan käytettyjen lukujen ja menettelytapojen matemaattiseen sisältöön ja strategisiin vaihtoehtoihin, vaan tukeutuvat pinnallisiin strategioihin ja omiin sääntöihin ja vääriin käsityksiin, joita laskutehtävien operaatioiden ja tekniikoiden maailma heille tarjoaa. (mts., 273) 21

Sanallisten tehtävien vaikeudet johtuvat usein pinnallisista strategioista, jotka oppilaat ovat omaksuneet koulumatematiikasta saamiensa kokemusten perusteella. Oppilas pyrkii löytämään menetelmän, joka toimii aina, ettei hänen tarvitse jokaisen tehtävän kohdalla miettiä, mitä laskutoimitusta tulee käyttää. Oppilas saattaa etsiä tehtävästä avainsanoja (enemmän, kertaa, yhteensä), jotka ohjaavat häntä valitsemaan laskuoperaation. Hän valitsee usein myös operaation, joka luokassa on viimeksi opetettu ja käyttää siihen kaikki tehtävässä annetut numerot. Oppilas voi myös päätellä operaation tehtävän sisältämistä numeroista. Esimerkiksi, jos toinen luku on iso ja toinen pieni, on oppilaan mielestä kyseessä varmaankin jakolasku. (mts., 276-277). 3.6 Matematiikan keskeisten käsitteiden oppiminen Peruslaskutoimitusten rakenteen ymmärtäminen on tärkeä osa matematiikan soveltamisessa. Yrjönsuuren (1994) mukaan laskutoimitusten opiskelussa erotetaan neljä eri pääaluetta, käsitteen muodostuminen, käsitteen sisältö, käsitteen ala ja käsitteen käyttö soveltamisessa. Matematiikan opiskelussa on korostunut algoritminen tekeminen, joka muuttuu apuvälineiden käytön laajentuessa. 3.6.1 Laskutoimitusten keskeisten käsitteiden oppiminen Käsitteen muodostuksen tarkoituksena on laskutoimituksen käsitteen kehittäminen lähtien konkreettina esitettävästä joukkojen välisestä tapahtumasta, johon liitetään lukujen toimitus. Tämä abstrahoidaan vähitellen siten, että se ymmärretään kuvauksena määrätystä lukuparien joukosta lukujen joukkoon. Käsitteen sisältöön ja sen ominaisuuksiin perehtymisen tarkoituksena on oppia tuntemaan laskutoimituksen ominaisuudet, jolloin edellä mainitun kuvauksen luonne ymmärretään ja ominaisuuksia pystytään käyttämään hyväksi laskemisessa ja laskutoimitusten soveltamisessa. Laskemismenetelmiä harjoitellaan riittävästi perehtyen keinoihin, joilla annettua lukuparia vastaava luku löytyy. Sovellettaessa opitaan käyttämään käsiteltyä laskutoimitusta käytännön elämässä esiintyvien ongelmien ratkaisemiseen. (Yrjönsuuri 1994, 146). 22