Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271

Fysikaalinen geodesia Maa-6.3271 Martin Vermeer martin.vermeer@hut.fi g N N 4. helmikuuta 2013

3 Kurssiesite Laajuus 3 op Opetusjakso IV, Luennoidaan parittomien vuosien keväinä. Osaamistavoitteet Kurssin suorittamisen jälkeen opiskelija osaa tehdä yksinkertaisten kappaleiden painovoimakentän laskentoja. Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja painovoima-anomalioiden ja maastokorjauksen kanssa. Osaa laskea geopotentiaalilukujen, ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä. Osaa suorittaa yksinkertaisia laskentoja liittyen isostaattiseen kompensaatioon. Osaa tilastollisesti predikoida painovoima-anomaliat kollokaatiomenetelmällä. Ymmärtää Maan painovoimakentän esittämistä pallofunktiokertoimilla, sekä painovoima-anomalioiden ja geoidikorkeuksien spektraalikäyttäytymistä. Ymmärtää gravimetrisen geoidimäärityksen perusteet. Sisältö Maan painovoimakenttä ja sen esitystavat; geopotentiaali ja pallofunktiokehitelmät; eri havaintotyypit ja niiden käsittely; painovoima-anomaliat; Maan muoto (geoidi) ja sen määritys; korkeudenmittaus ja korkeusjärjestelmät; maastomallit ja maastoefektit; painovoima ja Maan sisäinen rakenne; merenpinta, geoidi ja merenpinnan topograa; satelliittien käyttö painovoimakentän määrityksessä. Esitiedot Maa-6.203 tai Maa-6.2203. Korvaavuudet Korvaa opintojakson Maa-6.271. Kohderyhmä Suoritustavat Kokonaissuoritus koostuu tentistä ja laskuharjoituksista.

Työmäärä toteutustavoittain Luennot 6 4 t = 24 t Materiaalin itsenäinen opiskelu 31 t Laskuharjoitukset 30 1t josta 25 pakollisia = 25 t (itsenäinen työskentely) Yhteensä 80 t Arvostelu Tentin arvosana on kokonaissuorituksen arvosana, 1-5 Oppimateriaalit Luentomoniste. Taustamateriaalina HeiskanenMoritz Heiskanen and Moritz (1967). Opetuskieli Suomi Kurssin henkilökunta ja yhteystiedot Martin Vermeer, huone M309, nimi@tkk. Vastaanottoajat Sovitaan CEFR-taso Lisätietoja Kiitokset Hannu Ruotsalaiselle ja monelle opiskelijalle hyödyllisistä kommentteista ja korjausehdotuksista. Tämän dokumentin laatimiseen käytettiin mm. seuraavat työkalut: visuaalinen L A TEX-editori LYX, piirtämisohjelma xfig, ja bibliograaohjelma BibTEX.

Sisältö 5 Sisältö 1 Newtonin gravitaatioteoria 1 1.1 Yleistä........................................ 1 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio........................ 2 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali......................... 4 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali....................... 4 1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista...................... 7 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali.......................... 8 1.6.1 Käyttäytyminen äärettömyydellä..................... 9 1.7 Laplacen ja Poissonin yhtälöt......................... 9 1.8 Mittainvarianssi................................... 10 1.9 Yksinkertainen massatiheyskerros......................... 11 1.10 Kaksinkertainen massatiheyskerros........................ 12 1.11 Gaussin lause.................................... 13 1.11.1 Esitys.................................... 13 1.11.2 Intuitiivinen kuvaus............................ 14 1.11.3 Gaussin lauseen potentiaaliversio..................... 15 1.11.4 Yksinkertainen esimerkki: pieni kuutio.................. 15 1.12 Greenin lauseet.................................. 16 1.13 Chaslesin lause.................................. 19 1.14 Reuna-arvotehtävät................................. 21 1.15 Mitä reuna-arvotehtävä ei osaa laskea....................... 22 1.16 Harjoitustehtäviä.................................. 22 1.16.1 Tehtävä: Massaviivan potentiaali..................... 22 1.16.2 Tehtävä: Gaussin yhtälön tarkistus erikoistapauksessa......... 23 1.16.3 Tehtävä: Yksinkertaisen massatiheyskerroksen divergenssi...... 23 1.16.4 Tehtävä: Kappaleen kokonaismassan määritys.............. 24 2 Laplace'n yhtälö 25 2.1 Yleistä........................................ 25 2.2 Laplacen yhtälö suorakulmaisissa koordinaatteissa............... 26 2.3 Pallokoordinaatit, geodeettiset koordinaatit, ellipsoidiset koordinaatit.... 28 2.4 Laplacen yhtälö pallokoordinaateissa...................... 30 2.5 Riippuvuus korkeudesta.............................. 31 2.6 Legendren funktiot................................ 32 2.7 Legendre-polynomien ortogonaalisuus...................... 35

6 Sisältö 2.8 Eri suureiden spektraaliesitykset......................... 36 2.8.1 Potentiaali.................................. 36 2.8.2 Gravitaatio................................. 37 2.9 Funktion hajoittaminen asteosuuksiin...................... 38 2.10 Matalan asteluvun pallofunktiot.......................... 39 2.11 Usein käytetyt pallofunktiokehitelmät...................... 40 2.12 Ellipsoidiset harmoniset [vaikea]......................... 41 2.13 Harjoitustehtäviä.................................. 43 2.13.1 Tehtävä: Laplace-yhtälö napakoordinaateissa.............. 43 2.13.2 Tehtävä: Pallofunktiokertoimet...................... 44 3 Normaalipainovoimakenttä 45 3.1 Normaalikentän perusajatus............................ 45 3.2 Keskipakoisvoima ja sen potentiaali........................ 46 3.3 Tasopinnat ja luotiviivat.............................. 48 3.4 Luonnolliset koordinaatit............................. 49 3.5 Normaalipotentiaali ellipsoidisissa koordinaateissa [vaikea]........... 50 3.6 Normaalipainovoima................................ 51 3.7 Numeeriset arvot ja kaavat............................. 52 3.8 Normaalipotentiaali pallofunktiokehitelmänä................... 53 3.9 Häiriöpotentiaali.................................. 54 3.9.1 Rappin kaavan ja ellipsoidisen kaavan ekvivalenssin osoittaminen,.. 55 3.9.2 Somigliana-Pizettin kaava......................... 55 3.9.3 Painovoimagradientista........................... 56 3.9.4 Keskipakoisvoimasta............................ 56 3.9.5 Luotiviivapoikkeamat geoidimäärityksessä................ 56 4 Painovoimakentän anomaaliset suureet 57 4.1 Häiriöpotentiaali, geoidikorkeus, luotiviivapoikkeamat............. 57 4.2 Painovoimahäiriöt................................. 59 4.3 Painovoima-anomaliat............................... 60 4.4 Fysikaalisen geodesian reuna-arvotehtävä..................... 61 4.5 Telluroidikuvaus ja kvasi-geoidi......................... 63 4.6 Ilma-anomaliat................................... 64 4.7 Harjoitustehtäviä.................................. 64 4.7.1 Tehtävä: Painovoima-anomalioiden spektri................ 64 4.7.2 Tehtävä: Painovoimakentän koko.................... 65 4.7.3 Tehtävä: Johda yllä annettua kaavaa:.................. 65 5 Geofysikaaliset reduktiot 67 5.1 Yleistä........................................ 67 5.2 Bouguer-anomaliat................................. 68 5.3 Maastoefektit ja maastokorjaus.......................... 70 5.3.1 Esimerkki: Maastokorjauksen laskenta erikoistapauksessa........ 72

Sisältö 7 5.4 Helmert-kondensaatio [vaikea].......................... 73 5.4.1 Topograan sisäinen potentiaali...................... 74 5.4.2 Topograan ulkoinen potentiaali..................... 75 5.4.3 Kondensaatiokerroksen ulkoinen potentiaali............... 75 5.4.4 Helmert-kondensaation kokonaispotentiaali............... 76 5.4.5 Helmert-kondensaation painovoimavaikutus.............. 76 5.4.6 Helmert-kondensaation sisäinen potentiaali............... 77 5.5 Dipolimenetelmä.................................. 77 5.6 Isostasia....................................... 78 5.6.1 Klassisia hypoteeseja............................ 78 5.6.2 Laskentakaavoja.............................. 80 5.6.3 Isostasian nykykäsitys........................... 82 5.7 Isostaattiset reduktiot............................... 83 5.8 Isostaattinen geoidi [vaikea]........................... 83 5.9 Harjoitustehtäviä.................................. 85 5.9.1 Tehtävä: Maaston vaikutus gradienttiin.................. 85 6 Korkeusjärjestelmät 87 6.1 Vaaitus, ortometriset korkeudet ja geoidi..................... 87 6.2 Ortometriset korkeudet............................... 88 6.3 Normaalikorkeudet................................. 89 6.3.1 Molodenskyn teoria........................... 90 6.3.2 Molodenskyn todistus [vaikea]..................... 90 6.3.3 Normaalikorkeus ja korkeusanomalia................... 92 6.4 Erotus geoidin korkeuden ja korkeusanomalian välillä.............. 93 6.5 Erotus normaalikorkeuksien ja ortometristen korkeuksien välillä........ 95 6.6 Ortometristen korkeuksien tarkka laskenta.................... 95 6.7 Normaalikorkeuksien tarkka laskenta....................... 97 6.8 Ortometrinen korjaus ja normaalikorjaus..................... 98 6.9 Harjoitustehtäviä.................................. 99 6.9.1 Risteilyohjuksen ongelmasta........................ 99 7 Stokesin kaava ja muut integraalikaavat 101 7.1 Stokesin kaava ja Stokesin integraaliydin................... 101 7.2 Luotiviivapoikkeamat ja Vening-Meineszin kaavat.............. 103 7.3 Poissonin integraalikaava............................. 104 7.4 Painovoima-anomalioita ulkoavaruudessa..................... 106 7.5 Painovoima-anomalian pystygradientti...................... 108 7.6 Painovoimareduktiot geoidimäärityksessä.................... 109 7.6.1 Molodenskii-menetelmä lineaarisessa approksimaatiossa....... 111 7.6.2 Laskentapiste vertaustasoksi........................ 111 7.7 Remove-Restore menetelmä............................ 112 7.8 Ytimen modikaatio remove-restore menetelmässä............... 113 7.9 Paikallisen vyöhykkeen vaikutus.......................... 115

8 Sisältö 8 Spektraalimenetelmät, FFT 117 8.1 Stokesin lause konvoluutiona........................... 117 8.2 Integraatio FFT:llä................................. 119 8.3 Ratkaisu suorakulmaisissa koordinaateissa.................... 120 8.3.1 Strang van Hees-menetelmä...................... 120 8.3.2 Spherical FFT, monivyöhykemall.................... 121 8.3.3 Spherical FFT, Taylor-kehitelmämalli................. 122 8.3.4 1D-FFT.................................. 124 8.4 Mutkat matkalla: bordering, tapering....................... 124 8.5 Geoidilasku FFT:llä................................ 125 8.5.1 GRAVSOFT-ohjelmisto.......................... 125 8.5.2 Suomen FIN2000 geoidi.......................... 126 8.6 FFT-laskennan käyttö muissa yhtyksissä..................... 127 8.6.1 Satelliitti-altimetria............................. 127 8.6.2 Satelliittipainovoimamissiot; ilmagravimetria.............. 127 8.7 Maastokorjausten laskeminen FFT:llä...................... 127 9 Tilastolliset menetelmät 131 9.1 Epävarmuuden rooli geofysiikassa......................... 131 9.2 Lineaariset funktionaalit.............................. 131 9.3 Tilastotiede Maan pinnalla............................. 132 9.4 Painovoimakentän kovarianssifunktio....................... 133 9.5 Pienimmän neliösumman kollokaatio....................... 135 9.5.1 Stokastiset prosessit yhdessä ulottuvuudessa............... 135 9.5.2 Signaali ja kohina.............................. 136 9.5.3 Estimaattori ja sen virhevarianssi..................... 136 9.5.4 Optimaalisuuden todistus......................... 137 9.5.5 Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio............... 138 9.5.6 PNS-kollokaatio painovoima-anomalioille................. 139 9.5.7 Laskuesimerkki............................... 140 9.5.8 PNS-kollokaation teoria.......................... 141 9.6 Painovoima-anomalioiden prediktio........................ 142 9.7 Kovarianssifunktio ja astevarianssit........................ 143 9.7.1 Häiriöpotentiaalin kovarianssifunktio................... 143 9.7.2 Astevarianssit ja pallofunktiokertoimet.................. 144 9.8 Kovarianssien kasautumislaki........................... 145 9.8.1 Ensimmäinen esimerkki: Potentiaalin jatkaminen ylöspäin...... 145 9.8.2 Toinen esimerkki: Painovoima-anomalioiden kovarianssifunktio.. 147 9.9 Globaaliset kovarianssifunktiot.......................... 147 9.10 Kollokaatio ja spektraalinäkökohta........................ 149 9.11 Harjoitustehtäviä.................................. 150 9.11.1 Tehtävä: Hirvosen kovarianssikaava ja prediktio............. 150 9.11.2 Kovarianssien kasautuminen........................ 150 9.11.3 Tehtävä: Prediktiosta............................ 151

Sisältö 9 9.11.4 Maanalaiset massapisteet......................... 151 9.11.5 Kovarianssimatriiseistä........................... 151 10 Gravimetriset mittauslaitteet 153 10.1 Historia....................................... 153 10.2 Relatiivinen (jousi-) gravimetri.......................... 153 10.3 Absoluuttinen (ballistinen) gravimetri...................... 157 10.4 Suprajohtava gravimetri.............................. 159 10.5 Ilmakehän vaikutus painovoimamittaukseen................... 160 10.6 Ilmagravimetria ja GPS.............................. 161 10.7 Harjoitustehtäviä.................................. 163 10.7.1 Ballistisen gravimetrin vaihtoehtoiset havaintoyhtälöt.......... 163 11 Geoidi, keskimerenpinta, meritopograa 165 11.1 Peruskäsitteet.................................... 165 11.2 Geoidit ja kansalliset korkeusdatumit....................... 166 11.3 Geoidi ja postglasiaalinen maannousu...................... 167 11.4 Menetelmiä meritopograan määrittämiseksi................... 168 11.5 Globaalinen meritopograa ja lämmönkuljetus.................. 169 11.6 Merenpinnan globaalinen käyttäytyminen.................... 172 11.7 Merenpintayhtälö.................................. 172 12 Satelliitti-altimetria ja satelliittipainovoimamissiot 177 12.1 Satelliitti-altimetria................................. 177 12.2 Crossover-tasoitus................................. 179 12.3 Satelliittiradan valinta............................... 182 12.4 Retracking...................................... 184 12.5 Merentutkimus altimetrian avulla......................... 185 12.6 Satelliittipainovoimamissiot............................ 186 12.7 Harjoitustehtäviä.................................. 188 12.7.1 Satelliittiradan laskenta.......................... 188 12.7.2 Crossover-tasoitus............................. 189 13 Vuorovesi, ilmakehä ja maankuoren liikkeet 191 13.1 Teoreettinen vuorovesi............................... 191 13.2 Vuorovesivoiman aiheuttama deformaatio.................... 193 13.3 Vuoroveden pysyvä osa............................... 194 13.4 Meren ja ilmakehän kuormitus maankuoreen................... 195 14 Maan painovoimakentän tutkimus 197 14.1 Kansainvälisesti................................... 197 14.2 Eurooppa ja pohjoismaat............................. 198 14.3 Oppikirjat...................................... 198 Kirjallisuutta 199

10 Sisältö A Kenttäteorian ja vektorianalyysin rautaisannos 203 A.1 Vektorilaskenta................................... 203 A.1.1 Skalaaritulo................................. 203 A.1.2 Muodollisesti................................ 204 A.1.3 Ulkoinen tulo eli vektoritulo........................ 204 A.1.4 Muodollisesti................................ 204 A.1.5 Keplerin toinen laki............................ 205 A.2 Skalaari- ja vektorikenttiä............................. 205 A.2.1 Määritelmät................................. 205 A.2.2 Avaruuden kanta.............................. 206 A.2.3 Nabla-operaattori.............................. 207 A.2.4 Gradientti.................................. 207 A.2.5 Divergenssi................................. 208 A.2.6 Rotaatio (en. curl)............................. 208 A.2.7 Konservatiiviset kentät........................... 209 A.2.8 Laplace-operaattori............................. 209 A.3 Integraalit...................................... 210 A.3.1 Käyrä-integraali............................... 210 A.3.2 Pinta-integraali............................... 211 A.3.3 Stokesin reuna-integraalilause...................... 212 A.3.4 Gaussin integraalilause.......................... 213 A.4 Aineen jatkuvuus.................................. 213 B Funktioavaruudet 215 B.1 Abstraktinen vektoriavaruus............................ 215 B.2 Fourier-funktioavaruus............................... 216 B.3 Sturm-Liouville dierentiaaliyhtälöt...................... 217 B.3.1 Ominaisarvotehtävä............................. 217 B.3.2 Itseadjungoitu operaattori......................... 218 B.3.3 Itseadjungoidut dierentiaaliyhtälöt................... 219 B.4 Legendre-polynomit............................... 221 B.5 Pallofunktiot.................................... 221 C Miksi FFT toimii? 223 Hakemisto 225

Taulukot 2.1 EGM96-pallofunktiokehitelmän harmonisia kertoimia.............. 42 12.1 Altimetriasatelliittit kautta aikojen........................ 177 13.1 Teoreettisen vuoroveden eri periodit....................... 193 Kuvat 1.1 Gravitaatio on universaalinen........................... 2 1.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista........................ 5 1.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä 6 1.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros........................ 12 1.5 Gaussin lauseen graanen selostus........................ 14 1.6 Pieni kuutio..................................... 15 1.7 Greenin kaavan ulkoinen geometria........................ 18 1.8 Geometria Greenin kaavan johtamiseksi jos piste P on pinnan @V sisäpuolella 19 1.9 Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle.................... 20 2.1 Painovoimakentän vaimennus korkeuden mukaan................. 28 2.2 Pallokoordinaattien määritelmä.......................... 29 2.3 Geodeettisten koordinaattien määritelmä..................... 30 2.4 Muutama Legendren polynomi.......................... 33 2.5 Legrendren liitännäisfunktioita......................... 34 2.6 Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla................... 35 2.7 Monopoli, dipoli ja kvadrupoli ja niiden vaikutukset geoidiin......... 40 4.1 Geoidi-undulaatiot ja luotiviivapoikkeamat................... 58 4.2 Painovoima- ja normaalipainovoimakentän ekvipotentiaalipinnat....... 59 4.3 Eri vertauspinnat.................................. 60 5.1 Bouguer-laatan vetovoima............................. 68 5.2 Bouguer-laatta topograan approksimaationa.................. 69 5.3 Eri anomalioiden käyttäytyminen vuoristossa.................. 70

12 Kuvat 5.4 Klassisen maastokorjauksen laskeminen prisma-menetelmällä......... 71 5.5 Bouguer-anomalian laskennan vaiheet...................... 72 5.6 Helmert-kondensaatio ja sen............................ 73 5.7 Isostasia ja luotiviivojen taipuminen vuoreen päin............... 79 5.8 Pratt-Hayford isostaattinen hypoteesi...................... 80 5.9 Airy-Heiskanen isostaatinen hypoteesi...................... 80 5.10 Isostaattisen kompensaation suureita....................... 81 5.11 Isostasian nykykäsitys............................... 82 6.1 Vaaituksen periaate................................. 87 6.2 Vaaitut korkeudet ja geopotentiaaliluvut..................... 89 6.3 Geoidi, kvasi-geoidi, telluroidi ja maasto...................... 93 7.1 Gravimetrisen geoidimäärityksen perusperiaate................. 101 7.2 Stokes-kaavan integraatio geometrisesti...................... 102 7.3 Stokesin funktio S ( ). Argumentti radiaaneina [0; )............ 103 7.4 Generoiva funktio.................................. 104 7.5 Poissonin ydinfunktio painovoima-anomalioille.................. 109 7.6 Residual terrain Model (RTM).......................... 110 7.7 Modioituja Stokes-ydinfunktioita....................... 114 7.8 Simpson-integrointi kahdessa ulottuvuudessa................... 116 8.1 Karttaprojektiokoordinaatit x; y.......................... 117 8.2 Suomen FIN2000ögeoidi.............................. 126 8.3 Maastokorjauksen laskenta FFT-menetelmällä.................. 128 9.1 Geosentrisen kulmaetäisyyden ja atsimutikulman määritelmä.......... 134 9.2 Hirvosen kovarianssifunktio kahdessa ulottuvuudessa.............. 138 9.3 Esimerkki pienimmän neliösumman kollokaatiosta............... 140 9.4 Globaaliset kovarianssifunktiot astevariansseina................. 148 9.5 Sirkulaarinen geometria.............................. 149 10.1 Autograv CG5 jousugravimetri.......................... 154 10.2 Jousigravimetrin toimintaperiaate......................... 156 10.3 Astatisoinnin idea.................................. 156 10.4 Ballistisen absoluuttigravimetrin toimintaperiaate................ 157 10.5 FG5 absoluuttinen gravimetri........................... 158 11.1 Postglasiaalisen maannousun mekanismin kaksi eri hypoteesia......... 169 11.2 Fennoskandian 63 leveyspiirin painovoimalinja................. 170 11.3 Meritopograan ja merivirtausten välinen yhteys................ 171 11.4 Merenpintayhtälö.................................. 173 11.5 Merenpinnan nousu viimeisen jääkauden jälkeen................. 174 12.1 Satelliittialtimetria mittausmenetelmänä; käsitteet............... 178 12.2 Eräs crossoverien yksinkertainen geometria.................... 180

Kuvat 13 12.3 Aurinkosynkroonisen radan mekanismi...................... 183 12.4 No-shadow -radan geometria........................... 184 12.5 Altimetriapulssin analyysi.............................. 184 12.6 Maan painovoimakentän määrittäminen matalasti................. 186 12.7 GRACE-satelliittien perusidea............................ 187 12.8 Maan painovoimakentän määrittäminen GOCE-satelliitin............. 188 12.9 Satelliitti-altimetrian ratageometria........................ 189 13.1 Teoreettinen vuorovesi. z on Kuun paikallinen zeniittikulma.......... 191 A.1 Ulkoinen tulo eli vektoritulo............................ 205 A.2 Keplerin toinen laki................................ 206 A.3 Gradientti...................................... 208 A.4 Divergenssi..................................... 209 A.5 Rotaatio....................................... 210 A.6 Stokesin rotaatiolause.............................. 211 A.7 Gaussin divergenssilause............................. 213

Luku 1 Newtonin gravitaatioteoria 1.1 Yleistä Tässä luvussa käsitellään Newtonin gravitaatioteorian perusteet. Intuitiivisesti gravitaatioteoriaa on helpointa ymmärtää kaukaisen vaikutuksen (En. action at a distance) ilmiönä, jossa kahden massan välinen voima on verrannollinen massojen suuruuteen ja kääntäen verrannollinen massojen välisen etäisyyden neliöön. Tämä on Newtonin gravitaatiolain kaikille tuttu ilmaisumuoto. On olemassa vaihtoehtoinen mutta samanarvoinen esitystapa, kenttäteoria, joka kuvaa gravitaatiota avaruuden kautta etenevänä ilmiönä, kenttänä. Etenemistä kuvaa kenttäyhtälöt. Kenttäteorian lähestymistapa ei ole yhtä intuitiivinen, mutta on tehokas teoreettinen apuväline. Tässä luvussa tutustutaan kenttäteorian keskeiseen gravitaatiopotentiaalin käsitteeseen. Tutkitaan myös yksinkertaisen ja kaksinkertaisen massatiheyskerroksen aiheuttamat, teoreettisesti mielenkiintoiset potentiaalikentät. Niiden sovelluksista teoriassa ja käytännössä mainittakoon Bouguer-kerros ja ns. Helmert-kondensaatio. Seuraavassa käsitellään seikkaperäisesti niiden ominaisuudet. Massatiheyskerroksia käytetään myös Greenin lauseiden johtamisessa. Tulemme tutustumaan keskeisiin integraalilauseisiin kuten Gaussin ja Greenin lauseet, joiden avulla voidaan päätellä koko potentiaalikenttää avaruudessa vain tietyllä pinnalla annetujen kenttäarvojen perusteella. Muut vastaavat esimerkit ovat Chaslesin lause, Stokesin lause ja Dirichletin ongelman ratkaisu. Toisessa luvussa nämä potentiaaliteorian perusteet sovelletaan Maan gravitaatiokentän spektraaliesityksen, ns. pallofunktiokehitelmän, johtamiseksi. Luentomonisteen alussa johdetaan suurehko määrä matemaattisia kaavoja, mm. integraalikaavoja. Tämä on valitettavasti välttämätön pohjatyö. Kuitenkaan kaavat eivät ole itsetarkoitus eikä niitä kannata oppia ulkoa. Yritä mieluummin ymmärtää niiden logiikka ja miten historiallisesti eri tuloksiin on päädytty, sekä hankkia itsellesi jonkinlaista sormituntumaa teorian luonteesta.

2 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Kuva 1.1 Gravitaatio on universaalinen. Hubble-teleskoopin kuvaama gravitaatiolinssi, galaksijoukko etäisyydellä 2.2 miljardia valovuotta. Lähde NASA & ESA 1.2 Kahden massan välinen gravitaatio Maan painovoimakentän tutkiminen aloitetaan sopivasti Isaac Newtonin yleisestä gravitaatiokaavasta: F = G m 1m 2 `2 : (1.1) F on kappaleiden 1 ja 2 välinen vetovoima; m 1 ja m 2 ovat kappaleiden massat ja ` on niiden välinen etäisyys. Massat oletetaan pistemäisiksi. Vakio G on arvoltaan G = 6:67 10 11 m 3 kg 1 s 2 : G:n arvo määritti ensimmäistä kertaa Henry Cavendish käyttämällä herkkää torsiovaakaa. Jos nyt kutsutaan mielivaltaisesti, vaikka yleensä m on pieni kappale, koemassa, esim. satelliitti, ja M suuri massa, planeetta tai Aurinko massa m 1 = M vetoavaksi massaksi

1.2. Kahden massan välinen gravitaatio 3 ja m 2 = m vedetyksi massaksi, saadaan F = G mm `2 : Newtonin liikelain mukaan F = ma; missä a on kappaleen m kiihtyvyys. Tästä seuraa a = G M`2 : Tästä kaavasta suure m = m 2 on hävinnyt. Tämä on kuuluisa Galilei'n havainto, että kaikki kappaleet putoavat yhtä nopeasti 1, niiden massasta riippumatta. Tätä tunnetaan myös Einsteinin ekvivalenssiperiaatteena. Sekä voima F että kiihtyvyys a ovat saman suuntaisia kuin kappaleiden yhdistävä viiva. Siksi käytetään yhtälö (1.1) usein vektorikaavana, jolla on suurempi ilmaisukyky: a = GM r R `3 ; (1.2) missä vedetyn ja vetäävän massan kolmiulotteiset paikkavektorit määritellään seuraavasti suorakulmaisissa koordinaatteissa 2 : r = xi + yj + zk; R = Xi + Y j + Zk; missä yksikkövektorien kolmikko fi; j; kg on eukliidisen avaruuden R 3 ortonormaalinen kanta ja ` = kr Rk =q(x X) 2 + (y X) 2 + (z Z) 2 (1.3) on massojen välinen etäisyys Pythagoraan lauseen mukaisesti laskettuna. Huomaa, että vektorikaavassa (1.2) on miinusmerkki! Tämä kertoo vain, että voiman suunta on päinvastainen kuin vektorin r R suunta. Tämä vektori on vedetyn massan m paikka vetäävän massan M paikasta laskettuna. Toisin sanoen, tämä kertoo että kyseessä on vetovoima eikä työntövoima. 1 Ainakin tyhjiössä. Apollo-astronautit esittivät vaikuttavasti, miten Kuulla höyhen ja vasara putoavat yhtä nopeasti! https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=kdp1tiuszw8#!. 2 Vektorin notaatioksi voidaan käyttää joko! v (nuoli yläpuolella) tai v (lihava). Tässä käytetään lihava notaatiotapa, paitsi kreikkalaisin kirjaimin merkittyille vektoreille, joille lihavointi ei onnistu.

4 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria 1.3 Pistemäisen kappaleen potentiaali Gravitaatiokenttä on erikoinen kenttä: mikäli se on stationaarinen eikä siis ajasta riippuvainen, se on konservatiivinen. Tämä merkitsee, että kappale, joka liikkuu kentän sisällä suljettua reittiä pitkin, matkan lopussa ei ole menettänyt eikä voittanut energiaa. Tästä syystä voi kiinnittää jokaisen kentän pisteelle yksiselitteisesti tarra johon voi merkitä yksikkö- eli koemassan energiamäärä, joka se on voittanut tai menettänyt matkustaessaan sovitusta lähtöpisteestä kyseessä olevaan pisteeseen. Tarralle kirjoitettu arvo kutsutaan potentiaaliksi. (Huomaa, että lähtöpisteen valinta on mielivaltainen! Tähän asiaan palataan vielä.) Pistemäisen kappaleen M näin määritelty potentiaalifunktio on: V = G = ; M` GM` (1.4) jossa ` on taas, kuten yllä, vektorin r R pituus ` = kr Rk. Vakiolla GM on Maapallon tapauksessa (GRS80-vertausjärjestelmän mukainen, konventionaalinen) arvo: GM = 3; 986005 10 14 m 3 =s 2 : Tämän hetken paras käytettävissä oleva fysikaalinen arvo taas on: GM = 3; 986004404 10 14 m 3 =s 2 : 1.4 Pallon muotoisen kuoren potentiaali Voimme kirjoittaa kaavan (1.4) perusteella laajan kappaleen potentiaali seuraavaan muotoon: ˆ dm V = G m ` : (1.5) Tämä on integraali massa-alkoiden dm yli, missä jokainen massa-alkio dm sijaitsee paikalla R. Potentiaali V lasketaan paikalla r ja ` = kr rk. Johdamme nyt ohuen pallon muotoisen kuoren potentiaalin kaavan, ks. kuva 1.2, jossa olemme laittaneet pallon keskipiste origoksi O. Koska kapean renkulan, leveys b d, ympärysmitta on 2b sin, on sen pinta-ala (2b sin ) (b d) : Olkoon kuoren paksuus p (pieni) ja sen ainetiheys. Saamme renkulan kokonaismassaksi: 2pb 2 sin d: Koska renkulan jokainen piste on samalla etäisyydellä ` pisteestä P; voimme kirjoittaa potentiaaliksi pisteessä P : V P = 2Gpb2 sin d : `

1.4. Pallon muotoisen kuoren potentiaali 5 bd p b O r ` P Q Kuva 1.2 Pallon ohut kuori koostuu renkaista Kosinisäännön avulla: `2 = r 2 + b 2 2rb cos (1.6) saadaan kaavan (1.5) avulla koko kuoren potentiaaliksi: ˆ V P = 2Gpb 2 sin d p r2 + b 2 2rb cos : Tämän integraalin laskemiseksi muutetaan integrointimuuttuja :stä `:ksi. Dierentioimalla (1.6) saadaan `d` = br sin d; ja muistamalla että ` = p r 2 + b 2 2rb cos saadaan: V P = 2Gpb 2 ˆ `2 `1 d` br : Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren ulkopuolella, ovat `:n integraatiorajat `1 = r b ja `2 = r + b, ja pisteen P potentiaaliksi saadaan 2" #`=r+b ` V P = 2Gpb br `=r b = 4Gpb2 : r Koska koko kuoren massa on M d = 4b 2 p, seuraa, että kuoren potentiaali on sama kuin sen keskipisteessä O olevan, samansuuruisen massan potentiaali : V P = GM d ; r

6 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria 4Gb Kiihtyvyys 4Gb b2 r 2 4Gb b r Potentiaali 0 0 b r Kuva 1.3 Potentiaalin ja vetovoiman riippuvuus etäisyydesta r pallokuoren keskipisteestä jossa r on nyt laskentapisteen P etäisyys pallon keskipisteestä O. Nähdään, että tämä on sama kaava kuin 1.4. Samalla tavoin pallokuoren vetovoima (kiihtyvyys) on r O a = rv = 4Gpb 2 r P r P r O = GM r 3 d ; r 3 taas identtinen samanmassaisen, pisteessä O sijaitsevan pistemassan aiheuttaman kiihtyvyyden kanssa, ks. kaava 1.2. Siinä tapauksessa, että piste P on kuoren sisäpuolella, `1 = b integraali muuttu seuraavaksi: r ja `2 = b + r ja yllä oleva 2" #`=b+r ` V P = 2Gpb = 4Gpb: br `=b r Kuten nähdään, tämä on vakio eikä riipu pisteen P paikasta. Siksi rv P potentiaalin gradienttina häviää. = 0 ja vetovoima Lopputulos on, että pallon muotoisen kuoren vetovoiman suuruus on kuoren ulkopuolella a = GM r 2 ; missä M on kuoren kokonaismassa ja r havaintopisteen etäisyys kuoren keskipisteestä, ja 0 kuoren sisällä. Kuvassa 1.3 on piirretty potentiaalin ja vetovoiman (eli kiihtyvyyden, vetovoima-per-massayksikkö) käyrät. Jos kappale koostuu monesta sisäkkäisestä pallon kuoresta (kuten melko tarkasti Maapallo ja useimmat taivaankappaleet) aiheuttavat kappaleen sisällä vetovoimaa vain ne massakerrokset jotka ovat havaintopisteen sisäpuolella, ja vetovoima on sama kuin mitä se olisi jos koko niiden massa olisi keskitetty kappaleen keskipisteeseen. Tätä tapausta, jossa massatiheysjakauma kappaleen sisällä riippuu ainoastaan etäisyydestä sen keskipisteestä eikä leveystai pituusasteesta, kutsutaan isotrooppiseksi tiheysjakaumaksi.

1.5. Vetovoiman laskeminen potentiaalista 7 1.5 Vetovoiman laskeminen potentiaalista Kuten yllä argumentoitiin on potentiaali ns. matka-integraali. Kääntäen voidaan potentiaalista laskea gravitaation kiihtyvyysvektorin komponentit dierentioimalla paikan suhteen, ts. ottamalla gradientti: a =! rv =! gradv = i @V @x + j@v @y + k@v @z : (1.7) Tässä symboli r (Nabla) on usein käytetty ns. dierentiaalioperaattori, r = i @ @x + j @ @y + k @ @z : Tässä fi; j; kg on taas eukliidisen avaruuden R 3 suorakulmaisten, keskenään kohtisuorien yksikkövektorien kanta. Kokeillaan tätä dierentiaatiota pistemassan M potentiaalikentän tapauksessa. Sijoita ylläolevat V :n (1.4) ja `:n (1.3) kaavat 3 : @V @x = @V @` @` @x = GM 1 `2 x X ` Vastaavasti lasketaan y- ja z-komponentit: @V @y = GM y Y ; @V `3 @z = GM z Z : `3 = GM x X `3 : Nämä ovat gravitaatiokiihtyvyyden komponentit kun kentän lähde on yksi pistemassa M. Siis tässä konkreettisessa tapauksessa yllä annettu vektoriyhtälö pitää paikkansa: a =! gradv =! rv: Huomautus: fysikaalisessa geodesiassa toisin kuin esim. fysiikassa potentiaali lasketaan aina positiiviseksi jos vetäävä massa M on positiivinen (kuten tiettävästi aina on). Kuitenkin kappaleen m potentiaalienergia massan M kentässä on negatiivinen! Tarkemmin, kappaleen m potentiaalinen energia on: E pot = V m: Käytännössä kutsutaan gravitaatiokiihtyvyysvektori yksinkertaisemmin gravitaatiovektoriksi. Seuraamme tätä käytäntöä. 3 Kaavasta ` =q(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 =h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2i1 2 seuraa 2i1 2 2 @` @h(x X) + (y Y ) 2 + (z Z) @x = @h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) = 1 2 h(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2i 1 2 2 @ (x X) @x = 2 (x X) = x X : `

8 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria 1.6 Kiinteän kappaleen potentiaali Seuraavaksi tutkitaan kiinteä kappale, jonka massa on jakautunut avaruudessa eikä siis keskitetty yhteen pisteeseen. Maapallo on tästä esimerkki: sen massajakauma avaruudessa voidaan kuvata tiheysfunktiolla : (x; y; z) = dm (x; y; z) dv (x; y; z) ; jossa dm on massa-alkio ja dv on avaruuden tilavuusalkio siinä, missä massa-alkio sijaitsee. :n dimensio on tiheys, sen yksikkö SI-järjestelmässä kg =m³. Koska gravitaatiokiihtyvyys (1.7) on lineaarinen ilmaisu potentiaalissa V, ja voima- tai kiihtyvyysvektorit voidaan summata lineaarisesti, seuraa, että myös kappaleen kokonaispotentiaali saadaan summaamalla kaikki sen osien potentiaalit yhteen. Esimerkiksi n massapisteen kokoelman potentiaali on V = G nx m i i=1 `i josta saadaan gravitaatiokiihtyvyys yksinkertaisesti gradienttilauseen (1.7) kautta. Kiinteän kappaleen potentiaali saadaan vastaavasti korvaamalla summa integraalilla, seuraavalla tavalla. (Huomaa että valitettavasti sama symboli V käytetään sekä potentiaalille että tilavuudelle): dm V = G kappale ` = G kappale dv: (1.8) ` Symboli integraalimerkin sisällä liittyy vetäävään massa-alkioon; ` = kr Rk =q(x X) 2 + (y Y ) 2 vetäävän massa-alkion ja mittauspisteen välinen etäisyys. Selvemmin: V (x; y; z) = G kappale q(x (X; Y; Z) dxdy dz: X) 2 + (y Y ) 2 2 + (z Z) Kuten yllä jo näytetty massapisteelle, myös kiinteän kappaleen geopotentiaalin V ensimmäinen derivaatta eli gradientti paikan suhteen,! gradv =! rv = a; antaa kappaleen vetovoiman aiheuttama kiihtyvyysvektori. Tämä pätee yleisesti. (1.9)

1.7. Laplacen ja Poissonin yhtälöt 9 1.6.1 Käyttäytyminen äärettömyydellä Mikäli kappale on äärellisen kokoinen (ts. se on kokonaan -säteisen, origoa ympäröivän pallon sisällä) ja sen tiheyskin on kaikkialla rajallinen, seuraa että koska krk! 1 ) V (r)! 0; 1 `! 0: Gravitaation kiihtyvyydelle pätee kaikille kolmelle komponenteille, siis myös vektorisuureen pituusarvolle, samaa: krk! 1 )! rv! 0: Tätä tulosta voidaan vielä tarkentaa: Jos krk! 1, silloin 1 ` =q(x X) 2 + (y Y ) 2 + (z Z) 2 1 missä r on pisteen r etäisyys origosta eli krk.! x 2 + y 2 + z 2 1 2 = 1 r ; Kun sijoitetaan tätä yllä olevaan integraaliin (1.8), seuraa, että suureille etäisyyksille krk! 1: V = G r dv = G dv = GM r r ; kappale kappale missä M, tiheyden integraali kappaleen tilavuuden yli, on juuri sen kokonaismassa. Tästä nähdään että suurella etäisyydellä äärellisen kokoisen kappaleen kenttä on lähes identtinen sen kentän kanssa, joka aiheutuu pistemassasta, jonka kokonaismassa on sama kun kappaleen kokonaismassa M. Tämä tärkeä huomautus teki jo Newton. Tämän ilmiön seurauksena voimme taivaanmekaniikassa käsitellä Aurinko ja planeetat (muttei Kuu!) massapisteinä, vaikka tiedetään että ne eivät sitä ole. 1.7 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Geopotentiaalin toinen derivaatta paikan suhteen, gravitaatiokiihtyvyysvektorin ensimmäinen paikan derivaatta eli divergenssi, on myös geofysikaalisesti mielenkiintoista. Voidaan kirjoittaa: diva = D! r a E = D! r! rv E = D! r! r E V = V = @ 2 missä D! r! r E on tunnettu symboli nimeltä Laplace-operaattori. @x V + @2 2 @y V + @2 V; (1.10) 2 @z2

10 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Massapistepotentiaalin kaavasta (1.4) voidaan osoittaa suorittamalla kaikki osittaisdierentiaatiot (1.10), että: V = 0; tunnettu Laplace-yhtälö. Tämä yhtälö pätee pistemassan ulkopuolella, ja yleisemmin kaikkialla tyhjässä avaruudessa: kaikki massathan voidaan limiitissä katsoa koostuvan pistemäisistä massa-alkioista. Tai kaavassa (1.8) voidaan suoraan dierentioida kolminkertaisen integraalimerkin sisällä, kayttäen hyväksi se, että integraalin ja osittaisderivaatan vaihtaminen keskenään on sallittu, jos molemmat on määriteltyjä. Siinä tapauksessa, että massatiheys ei ole kaikkialla nolla, saadaan toisenlainen yhtälö: V = 4G: Tätä yhtälöä kutsutaan Poisson-yhtälöksi. Yhtälöpari! gradv = a diva = 4G tunnetaan gravitaatiokentän kenttäyhtälöiksi. Niillä on samanlainen rooli kuin sähkömagnetismissä Maxwellin kenttäyhtälöt. Toisin kuin Maxwellin yhtälöissä, ylläolevissa ei ole aikakoordinaatti mukana. Tästä syystä niiden avulla ei voida johtaa kaavaa sähkömagneetisten aaltojen vastaavien gravitaatio-aaltojen kulusta avaruudessa. Nykyisin tiedetään että yo. Newtonin kenttäyhtälöt ovat vain likimääräisiä, ja että tarkka teoria on Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria. Kuitenkin fysikaalisessa geodesiassa Newtonin teoria on yleensä riittävän tarkka ja tulemme rajoittumaan siihen. 1.8 Mittainvarianssi Potentiaalin tärkeä ominaisuus on, että, jos siihen lisätään vakio C, mitään painovoimaan liittyvä, mitattavissa oleva suure ei muutu. Tätä kutsutaan mittainvarianssiksi (En. gauge invariance). Painovoima itse saadaan dierentioimalla, operaatio joka hävittää vakiotermi. Siksi potentiaalin määrittely on jonkin verran mielivaltainen: kaikki tietyllä C:n valinnalla saadut potentiaalikentät V ovat samanarvoisia. Havainnoistakin saadaan vain potentiaalieroja, kuten vaaitsijat hyvin tietävät. Usein valittu potentiaalimääritelmä lähtee siitä, että jos krk! 1, silloin myös V! 0; mikä on fysikaalisesti järkevä. Kuitenkin maanpäällisessä työssä järkevämpi vaihtoehto voi olla V = 0 keskimerenpinnan kohdalla vaikka sekin aiheuttaa ongelmia. Esimerkiksi Maapallon massalle M fysikaalisesti järkevä potentiaaliesitys on V = GM r ;

1.9. Yksinkertainen massatiheyskerros 11 joka häviää äärettömyyteen r! 1 kun taas käytännöllisesti järkevä esitys olisi V = GM GM r R ; missä R on Maapallon säde. Jälkimmäinen potentiaali on nolla missä r = R, Maan pinnalla. GM Limiitissä r! 1 sen arvo on eikä nolla. R 1.9 Yksinkertainen massatiheyskerros Jos kappaleen pinnan päälle laitetaan massatiheyden pinnoitus tiheydellä = dm ds ; saadaan potentiaaliksi integraalikaava, joka on samannäköinen kuin (1.8), mutta pintaintegraali: V = G pinta dm ` = G pinta ds: (1.11) ` Tässä taas ` on etäisyys tarkastuspisteen eli koemassan P ja integroinnissa liikkuvan massaalkion dm (tai pinta-alkion ds) välillä. Huomaa että pintatiheyden dimensio on kg =m², eli erilainen kuin tavallisen (tilavuus-) tiheyden dimensio. Tämä tapaus on teoreettisesti mielenkiintoinen, vaikkakin fysikaalisesti epärealistinen. Funktio V on näet kaikkialla jatkuva, myös pinnan S kohdalla; kuitenkin jo sen ensimmäiset derivaatat paikan suhteen ovat epäjatkuvia. Epäjatkuvuus ilmenee pinnan suhteen kohtisuora olevassa suunnassa, ns. normaaliderivaatassa. Tutkitaan yksinkertainen tapaus jossa pallo, säde R, on pinnoitettu kerroksella jonka pintatiheys on vakio. Laskemalla ylläoleva integraali (1.11) voidaan todistaa (monimutkaisesti) että ulkoinen potentiaali on sama kuin jos kappaleen koko massa olisi pallon keskipisteessä. Aikaisemmin (osa 1.4) tuli todistetuksi, että pallon sisäinen potentiaali on vakio. Siten ulkoinen vetovoima (` > R) on a e (`) = G M`2 4R2 = G `2 Sisäinen vetovoima (` < R) on a i (`) = 0: = 4G R` 2 : Tämä merkitsee että pallon pinnalla vetovoima on epäjatkuva: a e (R) a i (R) = 4G: Tässä symmetrisessä tapauksessa nähdään, että a = kak = @V (1.12) @n missä n on normaalisuunta, ts. pintaan S kohtisuora oleva suunta tai koordinaatti-akseli. Mikäli pinta S on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, kaava (1.12) pätee yleisesti; silloin vetovoimavektori tarkemmin, kiihtyvyysvektori on kohtisuora pintaa S kohtaan, ja sen suuruus on sama kuin normaaliderivaatta.

12 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria P ` n Kuva 1.4 Kaksinkertainen massatiheyskerros 1.10 Kaksinkertainen massatiheyskerros Kaksinkertainen massatiheyskerros voidaan tulkita dipolitiheyskerrokseksi. Dipolit ovat orientoituneet pinnan normaalin suuntaan. Jos dipoli koostuu kahdesta varauksesta m ja m paikoilla r 1 ja r 2, siten että niiden välinen vektorietäisyys on r r 1 r 2, on dipolin momentti d = m r, vektorisuure. Ks. kuva 1.4. Olkoon dipolikerroksen tiheys = dm ds ; missä dm on dipolikerros-elementti; tätä kerrosta voidaan katsoa kahden yksinkertaisen kerroksen yhdistelmäksi. Jos on positiivinen kerros tiheydellä ja negatiivinen kerros tiheydellä ja niiden välinen etäisyys on, syntyy pienellä -arvoilla likimääräinen vastaavuus: : Edellisen kappaleen mukaan kahden yksinkertaisen massakerroksen yhteenlaskettu potentaali on `2 1 V = G ds: pinta 1`1 `1:n, `2:n ja :n välillä pätee seuraava yhteys (funktion 1` Taylor-kehitelmä): 1 `1 = 1`2 + @ 1` + ; @n

1.11. Gaussin lause 13 missä @ @n on suureen derivaatta pinnan normaalisuuntaan. Sijoittamalla yhtälöön saadaan: V = G 1` @n @ ds = G pinta pinta 1` @n @ ds: Jos on riittävän pieni (ja vastaavasti suuri), tämä on eksakti. On helppo näyttää, että yo. potentiaali ei edes ole jatkuva; epäjatkuvuus sattuu pinnalla S. Tutkitaan taas yksinkertaisuuden vuoksi pallo, säde R, jossa vakiokerros tiheydellä : Ulkopuolinen potentiaali: @ V e = G 1` ds = 0; (1.13) @n pinta koska integraali on 0. Tämän todistamiseksi voidaan käyttää Gaussin integraalilause, josta enemmän myöhemmin. Sisäpuolinen potentiaali: @ V i = G 1` ds = 4R pinta @n G 2 = 4G; 1`2`=R laskemalla pintaintegraali evaluointipisteenä pallon keskipiste, ja käyttämällä aiemmin todettu seikkä, että yksinkertaisen massakerroksen peittämän pallon sisällä potentiaali on vakio. Nyt limiitissä `! R tulos on erilainen ulkopuoliselle ja sisäpuoliselle potentiaalille. Ero on V e (R) V i (R) = 4G: 1.11 Gaussin lause 1.11.1 Esitys Fysiikan kuuluisa Gaussin lause on vektorimuodossaan: diva dv = ha ni ds; (1.14) V @V missä n on pinnan S ulkoapäin suuntautunut normaali, nyt vektorina: vektorin pituus oletetaan knk = 1. @V on kappaleen V pinta. Tämä lause pätee kaikille dierentioitaville vektorikentille a ja kaikille kunnollisille kappaleille V joiden pinnalla S on kaikkialla normaalisuunta n olemassa. Toisin sanoen, tämä ei ole gravitaatiokiihtyvyysvektorin erikoisominaisuus, vaikka se pätee sillekin.

14 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Kenttäviiva Vuo Lähteet Kappaleen pinta Kuva 1.5 Gaussin lauseen graanen selostus 1.11.2 Intuitiivinen kuvaus Huomauttakoon, että diva = V = 4G on lähdefunktio. Se kuvaa paljonko pinnan S sisäpuolella olevassa osa-avaruudessa painovoimakentän positiivisten ja negatiivisten lähteiden tiheyksiä (En. sources and sinks). Tilanne on täysin analoginen nesteen virtauskuvion kanssa: positiiviset lataukset vastaavat pisteisiin joista lisätään nestettä virtaukseen, negatiiviset lataukset vastaavat kaivoihin minkä kautta nestettä häviää. Vektori a on tässä vertauskuvassa virtauksen nopeusvektori; lähteiden ja kaivojen puuttuessa se täyttää ehdon diva = 0; mikä kuvaa ainemäärän säilyvyyttä ja kokoonpuristumattomuus. Toisaalta funktio ha ni = @V @n kutsutaan usein vuofunktioksi (En. ux); ts. paljonko kenttää vuotaa ulos aivan nestevirtauksen tavoin pinnan S sisäiseltä avaruuden osalta ulospäin S:n kautta. Gaussin yhtälö toteaa molemmat määrät yhtä suureiksi: se on tavallaan kirjanpitolause joka vaatii, että kaikki mitä tuotetaan pinnan sisällä diva on tultava myös ulos pinnan kautta ha ni. Kuvassa 1.5 on graasesti selostettu, että lähteiden summa kappaleen sisäisen avaruusosan läpi, eli P (+ + + : : :), on oltava sama kuin vuon summa P (""" : : :) koko avaruusosaa rajoittavan reunapinnan yli.

1.11. Gaussin lause 15 a a + z z a + y a + x a x a y a z y x Kuva 1.6 Pieni kuutio 1.11.3 Gaussin lauseen potentiaaliversio Kirjoitetaan Gaussin yhtälö hiemän eri tavalla, käyttämällä potentiaali painovoimavektorin sijaan: @V V dv = ds; (1.15) @n V @V jossa on tehty yllä annetut sijoitukset. Tässä näkyy myös suosittua kappaleen pintaa tarkoittavaa notaatiota. Esitystapoja (1.15) ja (1.14) yhdistää kaavat (1.10) ja (1.9), V :n ja a:n välissä. 1.11.4 Yksinkertainen esimerkki: pieni kuutio Tarkastetaan pieni kuutio, jonka sivut ovat x; y; z; niin pieni, että kenttä a (x; y; z) on sen sisällä lähes lineaarinen paikan funktio. Kirjoitetaan a potentiaalin V gradienttina: jossa a = rv = i @V @x + j@v @y + k@v @z = ia x + ja y + ka z a x = @V @x ; a y = @V @y ; a z = @V @z : Nyt tilavuusintegraali V diva dv! @a x @x + @a y @y + @a z x y z (1.16) @z

16 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria kun taas pinta-integraali x ha ni ds a + x a y z+ @V + a + y a y x z+ + a + z a z x y: Tässä on a + x komponentin a x :n arvo toisessa pinnassa x-suunnassa ja a x sen arvo toisessa pinnassa, jne. Esim. a + z on a z :n arvo kuution ylä- ja a z sen alapinnassa. Kuutiolla on tiettävästi kuusi pintaa, jokaisen kolmen koordinaattisuunnan ala- ja yläsuunnassa. Silloin a + x a + y a y a x @a x @x x; @a y @y y; a + z a z @a z @z z; ja sijoittamalla nähdään, että @V ha ni ds @a x x y z+ @x + @a y y x z+ @y! = @a x @x + @a y @y + @a z @z + @a z z x y = @z x y z; sama kaava kuin 1.16. Eli tässä yksinkertaisessa tapauksessa Gaussin kaava pätee. Ilmeisimmin kaava pätee myös, jos näistä tiiliskiveistä rakennettaisiin suurempi kappale, koska eri tiiliskivien toisiinsa koskevat, vastaavat pinnat ovat vastakkaisesti orientoituneet ja putoavat pois pintaintegraalista. Hieman vaikeampaa on todistaa, että se pätee myös kappaleille, joilla on vinopintoja. 1.12 Greenin lauseet Kaytä Gaussin kaava vektorikentälle F = U! rv:

1.12. Greenin lauseet 17 Tässä U ja V ovat kaksi eri skalaarikenttää. Saadaan: divf D dv = E V!! = r U rv dv D = E V!! = U V dv + ru rv dv =! V V @U @V = U V dv + @x @x + @U @V @y @y + @U @V dv @z @z ja = V D E @V @V! U rv n ds = @V @V V hf ni ds = D U! rv n E ds = U @V @n ds: Lopputulos on ensimmäinen Greenin lause:! @U @V U V dv + @x @x + @U @V @y @y + @U @V dv = @z @z V V @V U @V @n ds: Tätä voidaan siivota koska vasemman puolen toinen termi on symmetrinen U:n ja V :n keskinäisen vaihdon suhteen. Vaihdetaan siis U ja V keskenään, ja vähennä saadut yhtälöt toisistaan. Tulos on toinen Greenin lause:! (U V V U) dv = U @V V @U ds: @n @n V @V Oletamme kaikissa operaatioissa, että funktiot U ja V ovat hyvin käyttäytäviä, ts. kaikki tarvittavat derivaatat jne. ovat kaikkialla kappaleessa V olemassa. Hyödyllinen erikoistapaus on se, missä funktioksi U on valittu: U = 1` ; jossa ` on etäisyys annetusta laskentapisteestä P. Tämä funktio U on hyväkäytöksinen kaikkialla paitsi juuri itse pisteessä P, jossa se ei ole määritelty. Siinä tapauksessa, että piste P on pinnan @V ulkopuolella, tulos saadaan yksinkertaisesti sijoittamalla: 1 1 @V V dv = V @ ` ` @n @n! ds: 1` V @V Tämä tapaus on kuvattu kuvassa 1.7.

18 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria P etäisyys ` Pinta-elementti dv Pintanormaali n Kappale V Pinta S = @V Kuva 1.7 Geometria G reenin kaavan johtamiseksi jos piste P on pinnan @V ulkopuolella Siinä tapauksessa, että piste P on pinnan @V sisäpuolella, laskenta mutkistuu jonkin verran. Kannattaa tutustua siihen ovelaan tekniikkaan, joka tässä tapauksessa, ja muissakin auttaa. Siksi kuvaamme sen lyhyesti. Muodostetaan pieni, -säteinen, pallero V 2 pisteen P ympäri; nyt muodollisesti voimme määrittää kappaleeksi V V 1 V 2, reikäjuusto, ja samalla sen pinnasta @V tulee kaksiosainen pinta, @V = @V 2 @V 1. Nyt voidaan kirjoittaa tilavuusintegraali kahteen osaan:: 1 1 1 V dv = V dv V dv; V ` V 1 ` V 2 ` missä toinen termi voidaan integroida pallokoordinaateissa: ˆ 1 V 2 ` V dv V P 4`2 1` d` = 2 V p 2 ; 0 mikä menee nollaan jos annetaan! 0: Pintaintegraaliksi saamme Gaussin integraalilauseen (1.15) avulla: 1 @V @V 2 ` @n ds = 1 @V @V 2 @n ds = 1 V dv 1 V 2 V P 4 3 3 ; mikä myös menee nollaan jos! 0: Toinen pintaintegraali: V 1` @ ds = V @V 2 @n @V 2 V 1 2 ds 42 2 V P : Yhdistämällä kaikki tulokset oikeilla etumerkeillään saadaan siis tapauksessa missä P on pinnan S sisäpuolella : 1 ` V dv = 4V 1 @V P + V @ ` @n @n! ds; (1.17) 1` @V

1.13. Chaslesin lause 19 Piste P Pinta @V, osa 1 Tila V Pinta @V, osa 2 Kuva 1.8 Geometria G reenin kaavan johtamiseksi jos piste P on pinnan @V sisäpuolella Tämän jälkeen lienee intuitiivisesti selvä, ja esitämme ilman sen kummempaa todistusta, että 1 ` V dv = 2V 1 @V P + V @ ` @n @n! ds; 1` V @V jos piste P on kappaleen V reunalla. Tämä kuitenkin edellyttää normaaliderivaatan, ja erityisesti normaalisuunnan, olemassaoloa juuri pisteessä P! Geodesiassa tyypillinen on tilanne missä kappale jonka tilavuuden läpi halutaan laskea volyymi-integraali, on koko maapallon ulkopuolinen avaruuden osa. Tässä tapauksessa kätevästi V = 0 ja koko integraali menee nollaksi. Tulosta (1.17) voidaan yleistää tähän tapaukseen, missä V on koko avaruus pinnan S ulkopuolella. Tämä yleistys tehdään valitsemalla pinnaksi S nyt kolmiosainen pinta S = S 1 +S 2 +S 3 ; missä S 3 on suurisäteinen pallo P :n ympäri. Sen säde annetaan jälkeenpäin limiitissä kasvaa äärettömyyteen, jolloin kaikki integraalit sekä pinnan S 3 että sen ulkopuolella olevan avaruusosan yli häviävät. Myös pinnan S 3, kuten yllä käytetyn pikkupalleron, normaalisuunta on käänteinen eli normaali on sisäänpäin, Maapalloon päin, suuntautunut. Lopputulos on:! ds; (1.18) V 1 ` V dv = 4V P @V 1 @V ` @n V @n @ 1` Koska tässä tapauksessa, missä V on Maapallon ulkopuolinen avaruuden osa, vasemmanpuolinen volyymi-integraali häviää, voidaan ilmaista pisteen P potentiaaliarvo kätevästi kaksitermisena pinta-integraalina pinnan @V:n yli. Ks. alla. 1.13 Chaslesin lause Tutkitaan yllämainittua tapausta missä kappale on pinnan @V ulkopuolinen avaruuden osa (siis käytännössä: Maapallon ulkopuolinen avaruus). Yllä johdetusta Greenin yhtälöstä (1.18) voidaan johtaa harmoniselle funktiolle V (ts. V = 0) ulkoavaruudessa: 1 1 @V V p = 4 @V ` @n ds + 1 V 1` @ ds: (1.19) 4 @V @n

20 Luku 1. Newtonin gravitaatioteoria Piste P Integrointitila V Reuna @V, osa 2 Aine Reuna @V, osa 3 Reuna @V, osa 1 (Limiitti) Kuva 1.9 Greenin lause kappaleen ulkoavaruudelle Tulkinta: mielivaltaisen pinnan ulkopuolinen, harmoninen potentiaali voidaan esittää pinnassa sijaitsevien, yksinkertaisen ja kaksinkertaisen pintatiheyden summana. Selostus: Yksinkertaisen massakerroksen tiheys saadaan kaavan (1.11) avulla: = 1 @V 4G @n ; kaksinkertaisen massatiheyden kerroksen tiheys saadaan kaavan (1.13) avulla: = V 4G : Jos tätä sijoitetaan" kaavaan (1.19), saadaan: V P = G ` @n # + @ ds: 1` @V @V Siinä tapauksessa että pinta @V on potentiaalin V ekvipotentiaalipinta, seuraa että yksinkertainen massatiheyskerros riittää, koska silloin V @n @ @ ds = V 0 1` ds = 0; 1` @n @V koska oikeanpuolinen integraali on nolla Gaussin lauseen perusteella (funktio 1 =` on harmoninen V:n sisällä). Tämä on Chaslesin lause 4, myös kutsuttu Greenin vastaavan kerroksen lauseeksi (en. equivalent layer theorem). 4 Michel Chasles, 1793 1880