Ryhmäteoria. Jyrki Lahtonen. Turun yliopisto, helmikuu 2019 keskeneräinen versio

Ryhmäteoria Jyrki Lahtonen Turun yliopisto, helmikuu 2019 keskeneräinen versio

Sisältö 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä 3 1.1 Ryhmä, aliryhmä, homomorfismi.................................. 3 1.2 Generointi, sivuluokat, normaali aliryhmä, tekijäryhmä..................... 7 1.3 Vapaa ryhmä, generaattorit ja relaatiot.............................. 9 2 Ryhmän toiminta joukossa 14 2.1 Toiminta, peruskäsitteet....................................... 14 2.2 Luokkayhtälö, Cauchyn lause.................................... 18 2.3 Peittoryhmistä............................................ 19 2.4 Sovellus kombinatoriikkaan, Burnsiden lemma........................... 26 2.5 Aliryhmät, sivuluokat ja toiminta.................................. 28 3 Rakenneteoriaa 31 3.1 Isomorfialauseet, vastaavuusperiaate................................ 31 3.2 Sylowin teoriaa............................................ 33 3.3 Puolisuora tulo............................................ 37 3.4 Yksinkertainen ryhmä, Kompositiotekijöistä............................ 42 3.5 Ratkeavat ryhmät, kommutaattorialiryhmä, johdettu sarja.................... 46 4 Yksinkertaisia ryhmiä 50 4.1 Alternoivien ryhmien yksinkertaisuus................................ 51 2

Luku 1 Ryhmäteorian peruskäsitteitä Kerrataan Algebran peruskurssien materiaalia. 1.1 Ryhmä, aliryhmä, homomorfismi Määritelmä 1.1. Joukkoa G, jossa on määritelty laskutoimitus (kuvaus G G G, merkitään (a, b) ab), sanotaan ryhmäksi, jos (ab)c = a(bc) kaikille a, b, c G (assosiátiivisuus), löytyy sellainen alkio 1 = 1 G G, että 1a = a1 = a kaikille a G (neutraalialkio), jokaista a G kohti löytyy alkio a 1 G, jolle aa 1 = 1 = a 1 a (käänteisalkio). Jos lisäksi ab = ba kaikille a, b G (kommutatiivisuus), niin sanotaan, että G on abelin ryhmä. Neutraalialkiota kutsutaan myös ykkösalkioksi. Joskus laskutoimitus on luonteeltaa yhteenlaskua. Tällöin puhutaan additiivisesta ryhmätä. Sen laskutoimituksesta käytään merkintää a + b. Ykkösalkion asemesta puhutaan tällöin nolla-alkiosta (0 + a = a) ja käänteisalkion asemesta vasta-alkiosta (a + ( a) = 0). Additiivinen ryhmä oletetaan aina Abelin ryhmäksi. Esimerkki 1.2. Lukujoukot R, C, Q ja Z ovat ryhmiä yhteenlaskun suhteen. Luku 0 on kunkin nolla-alkio. Joukot R = R \ {0}, C = C \ {0} ja Q = Q \ {0} ovat ryhmiä kertolaskun suhteen. Neutraalialkiona on luku 1. Koska alkio a 0, niin käänteisluku 1/a sopii käänteisalkion rooliin. Esimerkki 1.3. Oletetaan, että n on jokin luonnollinen luku, n > 1. Jäännösluokkien joukko Z n = {0, 1,..., n 1} 3

on Abelin ryhmä jäännösluokkien yhteenlaskun suhteen. Neutraalialkiona on jäännösluokka 0, ja jäännösluokan a vasta-alkio on jäännösluokka a = n a. Alkuluokkien joukko Z n = {a Z n syt(a, n) = 1} puolestaan on ryhmä jäännösluokkien kertolaskun suhteen. Neutraalialkio on jäännösluokka 1. Alkion a käänteisalkio on jäännösluokka a, missä kokonaisluku a on jokin kongruenssin aa 1 (mod n) ratkaisu. Esimerkki 1.4. (Yleinen lineaarinen ryhmä) Kiinnitetään positiivinen kokonaisluku n. Käytetään kompleksisten n n neliömatriisien joukosta merkintää M n (C) = {(a ij ) n n a ij C i, j}. Tällöin säännöllisten n n matriisien joukko GL n (C) = {A M n (C) det A 0} muodostaa ryhmän matriisien kertolaskun suhteen. Neutraalialkiona on identiteettimatriisi I n, ja matriisin A GL n (C) käänteisalkio on sen käänteismatriisi. Tätä ryhmää kutsutaan yleiseksi lineaariseksi ryhmäksi (yli C:n), (eng. general linear group). Huomautus 1.5. Edellisessä esimerkissä voidaan C korvata millä tahansa kunnalla K (vrt. PK II). Esimerkiksi R ja Q ovat kuntia lukujen yhteen- ja kertolaskun suhteen. Jäännösluokkarengas Z n on kunta jäännösluokkien yhteen- ja kertolaskun suhteen silloin ja vain silloin, kun n = p on alkuluku. Muista kunnista enemmän muilla kursseilla. Matriisit muodostavat ryhmän myös jos sen alkiot ovat kommutatiivisen renkaan R alkioita. Tällöin matriisin säännöllisyys voidaan tarkistaa varmistumalla siitä, että sen determinantilla on käänteisalkio renkaassa R. Yksityiskohtia lisää kurssilla Algebra. Tällä kurssilla tarvittavin osin luentoesimerkeissä. Esimerkki 1.6. (Symmetrinen ryhmä) Olkoon X jokin joukko. Joukon X permutaatioiden joukko Sym(X) = {f : X X f on bijektio} on ryhmä funktioiden yhdistämisen suhteen, fg = f g. Neutraalialkio on identiteettikuvaus id X : x x kaikille x X. Funktion f käänteisalkio on sen käänteiskuvaus f 1. Ryhmää Sym(X) kutsutaan joukon X symmetriseksi ryhmäksi. Usein esiintyvä erikoistapaus on X = J n = {1, 2, 3,..., n}. Tällöin käytetään symmetrisestä ryhmästä merkintää S n = Sym(J n ). Kerrataan symmetristä ryhmää S n koskeva Algebran Peruskurssi II:lla esitelty sykliesitys. PK I:lle permutaatio α S n kuvattiin taulukkomuodossa eli 2-rivisenä matriisina, jossa ylärivissä lueteltiin lähtöjoukon alkiot 1, 2,..., n ja alkion i alapuolella sen kuva α(i) permutaatiossa α. Permutaation sykliesityksessä säästetään tilaa ensinnäkin siten, että ehdon α(i) = i toteuttavat luvut i jätetään kokonaan merkitsemättä, ja 4

muut luvut puolestaan kootaan sykleiksi. Ns. m-sykli σ = (i 1 i 2 i 3... i m ) on permutaatio, jolle σ(i 1 ) = i 2, σ(i 2 ) = i 3, σ(i 3 ) = i 4,..., σ(i m 1 ) = i m ja σ(i m ) = i 1. Jotta σ olisi hyvinmääritelty on syklissä esiintyvien lukujen oltava parittain erisuuria, eli i k i l aina, kun k l. Jokainen permutaatio voidaan kirjoittaa erillisten syklien tulona (=yhdistettynä kuvauksena). Esimerkiksi joukon J 6 permutaation ( ) 1 2 3 4 5 6 α = 3 2 4 1 6 5 sykliesitys on α = (134)(2)(56) = (134)(56). Esimerkki 1.7. Olkoot α S 6 yo. permutaatio ja β = (123)(456). Muodostetaan ryhmän S 6 alkioiden α 2, β 1 ja αβ sykliesitykset. Ratkaisu. Aloitetaan muodostamalla permutaatio α 2 = α α. Käydään läpi joukon J 6 alkiot. α 2 (1) = α(α(1)) = α(3) = 4. Sykliesitystä varten kannattaa seuraavaksi laskea α 2 (4) = α(α(4)) = α(1) = 3. Sitten α 2 (3) = α(α(3)) = α(4) = 1. Tässä vaiheessa palasimme jo käsiteltyyn alkioon, eli sykli sulkeutui. Ensimmäinen permutaation α 2 sykli on siis (143). Selvästi α 2 (2) = 2. Lisäksi α 2 (5) = α(α(5)) = α(6) = 5, joten 5 on sekin permutaation α 2 kiintopiste. Samoin nähdään 6 kiintopisteeksi. Siis α 2 = (143) on 3-sykli. Koska β(2) = 3, niin β 1 (3) = 2. Edelleen β(1) = 2 = β 1 (2) = 1 ja β 1 (1) = 3. Näin ollen β 1 sisältää 3-syklin (321). Samaan tapaan nähdään (näin käy aina), että myös toinen 3-sykli pyörii käänteispermutaatiossa β 1 päinvastaiseen suuntaan. Vastaukseksi saamme β 1 = (321)(654) = (132)(465). Yhdistetty permutaatio αβ kuvaa α(β(1)) = α(2) = 2, sitten α(β(2)) = α(3) = 4, α(β(4)) = α(5) = 6, α(β(6)) = α(4) = 1, eli sykli sulkeutui muotoon (1246). Käsittelllän seuraavaksi luku 3. Sille α(β(3)) = α(1) = 3. Edelleen α(β(5)) = α(6) = 5, joten 3 ja 5 ovat permutaation αβ kiintopisteitä. Siis αβ = (1246)(3)(5) = (1246). Määritelmä 1.8. Jos ryhmän G osajoukko H muodostaa ryhmän saman laskutoimituksen suhteen sanomme, että H on ryhmän G aliryhmä, merkitään H G. Assosiatiivilaki ja muut ryhmäaksioomat ovat automaattisesti voimassa osajoukon H alkioille, koska ne ovat voimassa isommassa joukossa. Oleellista onkin, ettei H:n alkioilla laskutoimituksia tekemällä ajauduta osajoukon H ulkopuolelle. Palautetaan mieleen seuraava käyttökelpoinen tulos PK I:ltä. 5

Lause 1.9. (Aliryhmäkriteeri) Oletetaan, että G on ryhmä ja H. Tällöin H G, joss seuraavat 2 ehto toteutuvat H aina, kun a, b H, myös ab 1 H. Jos lisäksi H on äärellinen joukko, niin jälkimmäisen ehdon asemesta riittää tarkistaa implikaatio a, b H = ab H (eli että H on suljettu laskutoimituksen suhteen). Esimerkki 1.10. Jos G on mikä tahansa ryhmä, niin sillä on ns. triviaalit aliryhmät {1 G } ja G. Jos n on mielivaltainen kokonaisluku, niin sen kokonaislukumonikerrat muodostavat (additiivisen) ryhmän Z aliryhmän nz. Esimerkki 1.11. Palauta mieleesi, että kiinnittämällä n-ulotteiselle vektoriavaruudelle V (yli kunnan K) jokin kanta, n n-matriisit vastaavat bijektiivisesti lineaarikuvauksia T : V V. Tällöin lineaarikuvaus on bijektio sjvsk sen matriisi on säännöllinen. Koska lineaarikuvausten yhdistäminen vastaa niiden matriisien kertolaskua, tässä mielessä ryhmästä GL n (K) tulee symmetrisen ryhmän Σ(V ) aliryhmä. Esimerkki 1.12. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja K kunta. Matriisijoukko SL n (K) = {A GL n (K) det A = 1} on ryhmän GL n (K) aliryhmä. Nimittäin I n SL n (K) joten SL n (K) on epätyhjä. Lisäksi säännöistä i) det(ab) = det(a) det(b) ja ii) det(a 1 ) = (det A) 1 seuraa, että SL n (K) suljettu ryhmätoimitusten suhteen. Ryhmää SL n (K) kutsutaan erikoiseksi lineaariseksi ryhmäksi (yli kunnan K). Esimerkki 1.13. Kiinnitetään kokonaisluku m > 1. Jos a Z toteuttaa ehdon syt(a, m) = 1, niin kongruenssiopin nojalla kuvaus f a,b : Z m Z m, f a,b (x) = ax + b on bijektio. Helposti nähdään, että joukko Aff(m) = {f a,b a Z m, b Z m } on suljettu kuvausten yhdistämisen suhteen, joten se on symmetrisen ryhmän Sym(Z m ) aliryhmä. Määritelmä 1.14. Olkoot G ja G ryhmiä. Funktio f : G G on (ryhmä)homomorfismi, jos kaikilla x, y G on voimassa yhtälö f(xy) = f(x)f(y). Homomorfismin ydin Ker f = {x G f(x) = 1 G } 6

on tällöin ryhmän G aliryhmä, ja kuva Im f = {f(x) x G} ryhmän G aliryhmä. Jos f on bijektio, niin sitä kutsutaan isomorfismiksi. Sanotaan, että ryhmät G ja G ovat keskenään isomorfisia, jos on olemassa jokin isomorfismi f : G G. Esimerkki 1.15. Kiinnitetään kokonaisluku n. Kokonaisluvun kuvaaminen sen jäännösluokaksi modulo n f : a a on homomorfismi ryhmästä Z ryhmään Z n. Tämä homomorfismi on surjektio, eli Im f = Z n. Sen ydin on aliryhmä nz. Esimerkki 1.16. Kuvaus f(x) = e x on homomorfismi additiiviselta ryhmältärmultiplikatiiviseen ryhmään R. Tuttu sääntö e x+y = e x e y on juurikin homomorfiaehto. Esimerkki 1.17. Jos K on mikä tahansa kunta, niin neliömatriiseja koskeva sääntö det(ab) = det A det B tarkoittaa, että determinantin laskeminen on homomorfismi yleisestä lineaarisesta ryhmästä GL n (K) ryhmään K. Tämän homomorfismin ytimenä saadaan erikoinen lineaarinen ryhmä SL n (K). Esimerkki 1.18. Palautetaan mieleen permutaation pariteetin käsite. Jos σ S n, ja i, j J n, niin sanotaan, että (i, j) on permutaation σ käännetty pari, jos i < j ja σ(i) > σ(j). Merkitään käännettyjen parien lukumäärää l(σ):lla. Permutaatiota σ sanotaan parilliseksi tai parittomaksi sen mukaan, onko l(σ) parillinen vai pariton. PK II:lla osoitettiin, että kuvaus sgn : σ ( 1) l(σ) on homomorfismi ryhmästä S n multiplikatiiviseen ryhmään {1, 1} R. Tämän homomorfismin ydintä kutsutaan alternoivaksi ryhmäksi A n = {σ S n σ on parillinen}. Muistisääntö: jos α on r-sykli, niin sgn(α) = ( 1) r 1, eli parillisen mittainen sykli on pariton ja päinvastoin. 1.2 Generointi, sivuluokat, normaali aliryhmä, tekijäryhmä Määritelmä 1.19. Oletetaan, että G on ryhmä, ja S G jokin osajoukko. Pienintä aliryhmää H, joka sisältää joukon S kutsutaan joukon S generoimaksi aliryhmäksi, H = S. Jos S = {c} sisältää vain yhden alkion, niin ryhmää c kutsutaan sykliseksi ryhmäksi. Huomautus 1.20. PK I:llä näimme, että aliryhmän S muodostavat tulot x 1 x 2 x l, missä l 0, ja tekijät x i ovat kaikki joko joukon S alkioita tai S:n alkioiden käänteisalkioita. 7

Esimerkki 1.21. Ryhmä Z on syklinen, generoijana luku 1. Kun n > 0, niin ryhmä Z n on syklinen, generoijana 1. Jokainen syklinen ryhmä on isomorfinen jonkin luetellun ryhmän kanssa. Esimerkki 1.22. Ryhmä Z 8 = {1, 3, 5, 7} ei ole syklinen. Jos nimittäin x on sen mielivaltainen alkio, niin x 2 = 1. Tällöin {1, x} on aliryhmä, ja aliryhmässä x on näin enintään kaksi alkiota. Määritelmä 1.23. Oletetaan, että G on ryhmä, ja H G sen jokin aliryhmä. Jos x G, niin joukkoa xh = {xh h H} G kutsutaan aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi. Vasempien sivuluokkien joukosta käytetään merkintää G/H = {xh x G} Vastaavasti joukkoa Hx = {hx h H} G kutsutaan aliryhmän H oikeaksi sivuluokaksi, ja oikeiden sivuluokkien joukosta käytetään merkintää H\G. Sanotaan, että H on ryhmän G normaali aliryhmä, jos xh = Hx kaikilla x G, merkitään H G. Huomautus 1.24. Aliryhmän H vasemmat sivuluokat muodostavat ryhmän G partition. Jos x, y G, niin joko xh = yh (näin käy sjvsk xy 1 H) tai sitten xh yh =. Jos H on äärellinen, niin jokaisessa sen sivuluokassa on yhtä monta alkiota. Tämän seurauksena saatiin Lagrangen lause: aliryhmän H alkioiden lukumäärä (= H:n kertaluku = H ) on koko ryhmän G kertaluvun G tekijä. Vastaavat faktat ovat voimassa myös oikeille sivuluokille. Esimerkki 1.25. Osoitetaan, että permutaatiot α = (123) ja β = (23) yhdessä generoivat symmetrisen ryhmän S 3. Ratkaisu. Merkitään H = {α, β}. Tavoitteena on perustella, miksi H = S 3. Alkion α potenssit α 0 = 1 S3, α ja α 2 = (132) kuuluvat ilman muuta aliryhmään H. Kuten myös β, joka ei ole mikään mainituista α:n potensseista. Näin ollen aliryhmässä H on vähintään neljä alkiota. Koska S 3 = 3! = 6, niin H on luvun 6 tekijä. Näin ollen on pakko olla H = 6 = S 3. Siis H ei voi olla aito aliryhmä. Määritelmä 1.26. Oletetaan, että G on ryhmä, ja N G normaali aliryhmä. Tällöin sivuluokkien joukosta G/N tulee ryhmä, kun määritellään siellä kertolasku (xn)(yn) = (xy)n ( ) kaikille sivuluokille xn, yn G/N. Tämän ryhmän neutraalialkio on sivuluokka 1N = N. Sivuluokan xn käänteisalkio on x 1 N. Huomautus 1.27. Yllä aliryhmän normaalisuutta tarvittiin siihen, että sääntö ( ) antaa hyvinmääritellyn laskutoimituksen. Vastauksena saatava sivuluokka (xy)n voisi muutoin riippua sivuluokkien xn ja yn edustajien x ja y valinnasta. Asia selvitettiin PK:lla tarkistamalla, että jos xn = x N ja yn = y N, niin tällöin myös (xy)n = (x y )N. Jos N ei ole ryhmän G normaali aliryhmä, niin tämä sääntö ei pidä paikkaansa kaikissa tapauksissa. 8

Esimerkki 1.28. Hyvin luonnollisella tavalla Z/nZ = Z n kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n. Esimerkki 1.29. Koska suuntakulmat α ja α + n2π edustavat samaa suuntaa (ja samaa yksikköympyrän kehäpistettä) kaikilla kokonaisluvun n arvoilla, niin voimme ajatella suuntia tekijäryhmän R/2πZ alkioina. Tässä 2πZ = {n2π n Z} on ryhmän R syklinen aliryhmä, jonka luku 2π generoi. Lause 1.30. (Homomorfialause) Oletetaan, että f : G G on ryhmähomomorfismi. Tällöin N := ker f G ja sääntö F : xn f(x) antaa isomorfismin tekijäryhmältä G/N kuvaryhmään Im f. Todistus. Käsiteltiin PK:lla. Esimerkki 1.31. Näimme aiemmin, että det : GL n (K) K on ryhmähomomorfismi, jonka ydin on ker det = SL n (K). Jos x K on mielivaltainen, niin diagonaalimatriisin D = diag(x, 1, 1,..., 1) determinantti on det D = x. Näin ollen det on surjektio, ja Im det = K. Homomorfialauseen nojalla determinantin laskeminen antaa isomorfismin GL n (K)/SL n (K) K. 1.3 Vapaa ryhmä, generaattorit ja relaatiot Tarkastellaan pintapuolisesti tapaa määritellä ryhmä generaattorien ja relaatioiden avulla. Määritelmä 1.32. Olkoon X = {x 1, x 2,..., x n } äärellinen joukko muuttujia. Tuotetaan näille "käänteisalkiot"esittelemällä symbolit X 1 = {x 1 1, x 1 2,..., x 1 n }. Merkitään S = X X 1. Aakkoston S sana on mikä tahansa nollan tai useamman (kuitenkin äärellisen monen) symbolin merkkijono. Tällainen sana on redusoitu, jos siinä ei missään kohtaan ole peräkkäin symbolia ja sen käänteistä symbolia. Jokainen sana voidaan redusoida poistamalla siitä tarpeellinen määrä tällaisia kahden toisilleen käänteisen peräkkäisen symbolin pareja. Käytetään redusoitujen sanojen joukosta merkintää F(X). Joukosta F(X) saadaan ryhmä, kun määritellään sanojen kertolasku operaationa, jossa ensin kirjoitetaan sanat peräkkäin, ja sitten redusoidaan näin saatu sana. Joukko F(X) muodostaa ryhmän kuvaillun operaation suhteen. Ryhmän neutraalialkio on ns. tyhjä sana ε, jossa ei ole yhtään merkkiä. Sanojen kirjoittaminen peräkkäin on selvästi assosiatiivinen operaatio, ja helposti nähdään, ettei redusointi muuta tätä. Sanan s = c 1 c 2 c 3 c l, c i S kaikilla i, käänteisalkioksi tulee sana s = c 1 l c3 1 c 1 2 c 1 1, sillä sekä tulosta ss että tulosta s s voidaan redusoida kaikki l merkkiparia yksi kerrallaan. Muodostuvaa ryhmää kutsutaan n:n generaattorin vapaaksi ryhmäksi. Käytetään myös merkintää F(n) tarkoittaa mitä tahansa n:n symbolin generoimaa vapaata ryhmää. 9

Huomautus 1.33. Selvästi F(X) on joukon X generoima. Tässä "vapaus"tarkoittaa lähinnä sitä, ettei joukon X alkioita sido toisiinsa mikään "salattu"yhtälö. Edes joukon S alkioita ei sido toisiinsa mitkään muut relaatiot kuin ilmeiset x i x 1 i = ε = xi 1 x i. Tämä vapaus ilmenee kohta kuvattavassa ryhmän F(X) universaalisuusominaisuudessa. Vapaus on jossain määrin analogista vektorien lineaarisen riippumattomuuden kanssa lineaarisesti riippumaton vektorijoukkohan ei toteuta mitään ei-triviaalia vektoriavaruusoperaatioiden avulla määritelty yhtälöä. Esimerkki 1.34. Jos n = 1, X = {x}, niin joukon F(X) alkiot ovat sanoja xx x tai sanoja x 1 x 1 x 1, joissa kummassakin on äärellinen määrä (nolla tai useampi) tekijöitä. Jos nimittäin sanassa esiintyy sekä symboli x että symboli x 1, niin jossakin kohtaa ne esiintyvät peräkkäin, ja tällöin ne voidaan poistaa: xxx 1 xx 1 x = xx(x 1 x)(x 1 x)x = x 2 ε 2 x = x 3. Lopulta jää jäljelle vain sana, jossa on jäljellä jompaa kumpaa symbolityyppiä. Näin saatu ryhmä on isomorfinen äärettömän syklisen ryhmän C Z kanssa. Jos taas n > 1, niin ryhmä F(X) ei ole Abelin ryhmä, nimittäin x 1 x 2 ja x 2 x 1 ovar eri sanoja. Lause 1.35. (Vapaan ryhmän universaalisuusominaisuus) Olkoot X = {x 1, x 2,..., x n } ja G jokin ryhmä. Olkoon f : X G mikä tahansa funktio. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sellainen homomorfismi F : F(X) G, jolle F(x i ) = f(x i ) kaikille i = 1, 2,..., n. Huomautus 1.36. Vertaa tätä lineaarialgebran tulokseen, jonka mukaan minkä tahansa kannan vektorit voidaan kuvata toiseen vektoriavaruuteen mielivaltaisella tavalla, ja täydentää näin saatu funktio lineaarikuvaukseksi. Todistus. Selvästi on määriteltävä F(x i ) = f(x i ) kaikille i = 1, 2,..., n, sekä F(ε) = 1 G. Jotta F olisi ryhmähomomorfismi, on määriteltävä F(x 1 i ) = f(x i ) 1 kaikille i = 1, 2,..., n. Edelleen, jos s = c 1 c 2 c m, m 0, on jokin sana, missä c j S kaikilla j:n arvoilla, niin homomorfismitavoite pakottaa meidät määrittelemään F(s) = F(c 1 )F(c 2 ) F(c m ). Jos sana s ei ollut redusoitu, niin siinä jollakin indeksin j arvolla c j+1 = c 1 j. Näin ollen aiemmin tehtyjen valintojen perusteella F(c j+1 ) = F(c j ) 1 joten tulo F(c j )F(c j+1 ) = 1 G. Tästä seuraa, että sanan redusointi ei muuta kaavan ( ) antamaa kuvaa F(s). Näin ollen F on hyvinmääritelty funktio. Homomorfiaehto seuraa helposti. ( ) Esimerkki 1.37. Näimme, että vapaa ryhmä F(x) on isomorfinen ryhmän Z kanssa, ja isomorfismissa x 1, x n n, x n n. Jos G on mielivaltainen ryhmä ja g G mielivaltainen alkio, niin universaalisuusominaisuus tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että funktio f : Z G, f(n) = g n 10

on ryhmähomomorfismi, eli f(n 1 + n 2 ) = f(n 1 )f(n 2 ). Tässä Im f = g, ja ker f = mz, missä m on alkion g kertaluku eli pienin positiivinen kokonaisluku, jolle g m = 1 G, jos sellainen on olemassa, ja m = 0 muulloin (jos g:n kertaluku on ääretön). Esimerkki 1.38. Esimerkissä 1.25 näimme, että alkiot ťα = (123) ja β = (23) generoivat ryhmän S 3. Lause 1.35 kertoo nyt, että on olemassa homomorfismi f : F(2) S 3, jolle f(x 1 ) = (123) ja f(x 2 ) = (23). Koska S 3 = α, β, niin Im f = S 3. Homomorfialauseen nojalla sitten S 3 F(2)/ ker f. Edellisen esimerkin tulos yleistyy tulokseski: Jos ryhmä G on n:n alkion generoima, niin G voidaan esittää vapaan ryhmän F(n) tekijäryhmänä. Pohdimme tätä hieman tarkemmin. Homomorfismin f : F(n) G ydin N on vapaan ryhmän normaali aliryhmä. On useinkin helppoa kuvailla joitakin ytimen N alkioita. Edellisessä esimerkissä esimerkiksi α 3 = 1, joten koska f(x 1 ) = α, niin x 3 1 N. Samoin x 2 2 N koska β 2 = 1. Laskemalla näemme myös, että βαβ 1 = (132) = α 1, joten x 2 x 1 x 1 2 x 1 N. Tulkitsemme nämä havainnot siten, että jokainen generaattorien toteuttama relaatio (tai yhtälö) vastaa tällaisen homomorfismin ytimen alkiota. Tämä johtaa ideaan määritellä ryhmä generaattoreiden ja relaatioiden avulla. Määritelmä 1.39. Olkoon S jokin joukko symboleita. Olkoon R jokin joukko relaatioita, eli vapaan ryhmän F(S) sanoja. Olkoon N = N(R) F(S) pienin normaali aliryhmä, joka sisältää kaikki joukon R sanat. Tällöin tekijäryhmää G = F(S)/N kutsutaan generaattoreiden S ja relaatioiden R määrittelmäksi ryhmäksi. Käytetään merkintää G = S R. Esimerkki 1.40. Ääretön syklinen ryhmä Z C F({a}) on yhden alkion generoima vapaa ryhmä. Tässä N on triviaali aliryhmä, joten relaatioiden joukko R on tyhjä. Voidaan siis kirjoittaa C = a, missä merkintä kertoo, että ko. ryhmällä on yksi generaattori, joka ei toteuta mitään relaatioita. Tyhjä relaatioiden joukko voidaan jättää pois, ja kirjoittaa lyhyesti C = a. Esimerkki 1.41. Kertalukua n oleva syklinen ryhmä C n saatiin tekijäryhmänä F({x 1 })/ x n 1. Näin ollen C n = a a n. Huomautus 1.42. Yllä generaattorien toteuttamat relaatiot kirjoitettiin sellaiseen muotoon, jossa toisella puolella oli ykkösalkio. Esimerkiksi ryhmän S 3 relaatio βαβ 1 = α 1 kirjattiin muodossa βαβ 1 α = 1, mistä oli helppo lukea ytimen alkio. Usein on tarkoituksenmukaisempaa jättää generoivien alkioiden väliset yhtälöt alkuperäiseen muotoon. Tällöin tulee G = S R merkinnässä kirjoittaa kaikki relaatiot yhtälöinä. Esimerkiksi C n = a a n = 1. 11

Määritelmä 1.43. Olkoon S = {x 1, x 2,..., x n } ja s = c 1 c 2 c k F(S) jokin sana, missä c i = x ei f(i), e i {±}, f(i) {1, 2,..., n}. Olkoon G jokin ryhmä. Sanotaan, että ryhmän G alkiot a 1, a 2,..., a n toteuttavat relaation s, jos a e1 f(1) ae2 f(2) a f(k) = 1 G. Huomautus 1.44. Erityisesti siis ryhmän G = S R alkiot x 1 N, x 2 N,..., x n N toteuttavat kaikki joukon R relaatiot. Lemma 1.45. Olkoot S = {x 1, x 2,..., x n } joukko generaattoreita, ja R F(S) joukko relaatioita. Olkoot edelleen G jokin ryhmä, ja a 1, a 2,..., a n G alkioita, jotka toteuttavat joukon R relaatiot. Tällöin on olemassa sellainen homomorfismi F : S > R G, jolle F(x i N) = a i kaikille i = 1, 2,..., n. Todistus. Vapaan ryhmän universaalisuusominaisuuden nojalla on olemassa homomorfismi f : F(S) G, jolle f(x i ) = a i kaikille i = 1, 2,..., n. Koska alkiot a 1, a 2,..., a n toteuttavat joukon R relaatiot, niin kaikille s R on f(s) = 1 G. Siis R ker f F(S). Koska N = N(R) on pienin ryhmän F(S) normaali aliryhmä, joka sisältää kaikki joukon R sanat, niin voimme päätellä, että N ker f. Näin ollen kuvaus f : F(S)/N G, f(sn) = F(S) on hyvinmääritelty. Se on selvästi myös homomorfismi (viittaus sopivaan aiempaan lemmaan). Esimerkki 1.46. Osoitetaan, että S 3 a, b a 3 = 1 = b 2, bab 1 = a 1. Ratkaisu. Olkoon G = a, b a 3 = 1 = b 2, bab 1 = a 1. Aiemmin jo näimme että ryhmän S 3 generoivat permutaatiot α = (123) ja β = (23) toteuttavat luetellut relaatiot. Näin ollen Lemman 1.45 nojalla on olemassa ryhmähomomorfismi f : G S 3, jolle f(a) = α ja f(b) = β. Koska α ja β generoivat ryhmän S 3 (Esimerkki 1.25), niin f on surjektio. Osoitamme, että f on myös injektio. Tämä seuraa, jos voimme päätellä, että ryhmässä G on enintään kuusi alkiota. Kirjoitetaan viimeinen relaatio muodossa ba = a 1 b. Käytämme tätä sanojen s F({a, b}) muokkaamiseen seuraavalla tavalla. Jos sanassa s on jossakin kohtaa b ja a peräkkäin, b ensin, niin korvaamme merkkijonon ba merkkijonolla a 1 b. Väite on, ettei tämä operaatio muuta vastaavaa ryhmän G alkiota. Perustelu on seuraava, Jos s = s 1 bas 2, missä s 1, s 2 F(s), ja vastaavasti s = s 1 a 1 bs 2, niin tällöin ss 1 = (s 1 bas 2 )(s 1 2 b 1 as 1 1 ) = s 1(bab 1 a)s 1 1 on relaation bab 1 a konjugaatti, ja näin ollen aliryhmän N = N(R) alkio. Näin ollen sn = s N, eli sanat s ja s määräävät edustavat samaa ryhmän G = F({a, b})/n alkiota. Soveltamalla tätä operaatiota toistuvasti nähdään helposti, että ryhmän G jokainen alkio voidaan kirjoittaa muodossa a i b j, missä i, j Z. Ideana on yksinkertaisesti siirtää kaikki b:n esiintymät kaikkien a:n 12

esiintymien jälkeen korvaamalla aina symbolipari ba parilla a 1 b. Huomaa, että koska ryhmässä G on voimassa b 2 = 1, niin b = b 1, ja samoin a 1 = a 2, joten emme tarvitse lisärelaatioita käänteisalkioiden käsittelemistä varten. Esimerkiksi a 1 ba 2 b = a 1 (ba)ab = a 1 (a 1 b)ab = a 2 (ba)b = a 2 (a 1 b)b = a 3 b 2, mikä itse asiassa on ryhmän G neutraalialkio, näetkö miksi? Loppu on helppoa. Koska a 3 = 1, alkiolla a on enintään kolme erisuurta potenssia. Koska b 2 = 1, alkiolla b on eri potensseja enintään kaksi. Näin ollen muotoa a i b j olevia alkioita on enintään kuusi kappaletta. Huomaa, ettemme ole vielä perustelleet, että nämä kuusi alkiota ovat kaikki eri alkioita! Näimme kuitenkin, että ryhmältä G on surjektiivinen homomorfismi f ryhmälle S 3. Koska S 3 = 6, voimme päätellä, että ryhmässä G on oltava ainakin kuusi alkiota. Siis G = 6 jolloin f on bijektio, siis isomorfismi, ja G S 3. 13

Luku 2 Ryhmän toiminta joukossa 2.1 Toiminta, peruskäsitteet Useat ryhmien sovellukset liittyvät siihen, miten ryhmä permutoi jonkin muun joukon alkioita. Tämä tarjoaa myös tavan tutkia ryhmän rakennetta. Ideana on tällöin, että meillä on käytössämme laskutoimituksen luonteinen funktio : G X X, jossa syötteenä on pari (g, x), ja tuloksena joukon X alkio. Tästä käytetään usein merkintää g x Määritelmä 2.1. Olkoon G ryhmä ja X joukko, X. Sanotaan, että funktio : G X X määrittelee ryhmän G toiminnan joukossa X, jos säännöt (i) 1 x = x, ja (ii) g (h x) = (gh) x ovat voimassa kaikille x X ja kaikille g, h G. Huomautus 2.2. Ensimmäinen aksiooma tarkoittaa, että neutraalialkio toimii triviaalista (=ei liikuta mitään joukon X alkioita), ja jälkimmäinen aksiooma puolestaan on eräänlainen assosiatiivilaki, ja sitoo ryhmän laskutoimituksen ja sen toiminnan toisiinsa. Esimerkki 2.3. Ryhmä Sym(X) toimii joukossa X luonnollisella tavalla: σ x = σ(x). Erityisesti siis permutaatio ryhmä S n toimii joukossa J n. Toiminta tapahtuu aina joukon X permutaatioiden välityksellä. Seuraava tulos kirjaa tämän ja muitakin perusajatuksia. Lemma 2.4. Oletetaan, että ryhmä G toimii joukossa X. Kiinnittämällä alkio g G saadaan funktio ρ(g) : X X, x g x. Funktio ρ(g) on tällöin välttämättä bijektio. Funktio ρ(g 1 ) on sen käänteiskuvaus. Lisäksi kuvaus ρ : G Sym(X) on ryhmähomomorfismi. Kääntäen, jos meillä on annettu ryhmähomomorfismi ρ : G Sym(X), 14

niin sääntö g x = ρ(g)(x) määrittelee tällöin ryhmän G toiminnan joukossa X. Todistus. Tutkitaan yhdistettyä kuvausta ρ(g 1 ) ρ(g). Olkoon x X mielivaltainen. Tällöin (ρ(g 1 ) ρ(g))(x) = ρ(g 1 )(ρ(g)(x)) = ρ(g 1 )(g x) = g 1 (g x) = (g 1 g) x = 1 x = x. Näin ollen yhdistetty kuvaus ρ(g 1 ) ρ(g) on joukon X identiteettikuvaus id X. Soveltamalla tätä alkioon g 1 nähdään, että myös yhdistetty kuvaus ρ(g) ρ(g 1 ) = id X. Näin ollen ne ovat toistensa käänteiskuvauksia ja siten bijektioita. Kuvauksen g ρ(g) homomorfisuus seuraa suoraan toiminta-aksioomista. Käänteinen versio jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki 2.5. Ryhmä G voi toimia joukossa X monella eri tavalla. Aina on mahdollista määritellä ns. triviaali toiminta, jossa g x = x kaikilla g G, x X. Esimerkki 2.6. Jos ryhmä G toimii joukossa X, ja H G, niin rajoittamalla toimintakuvaus aliryhmään H saadaan ryhmän H toiminta joukossa X. Erityisesti siis jokainen ryhmän S n aliryhmä toimii joukossa J n. Määritelmä 2.7. Oletetaan, että ryhmä G toimii joukossa X. Kiinnitetään alkio x X. Joukkoa Stab G (x) = {g G g x = x} kutsutaan alkion x stabilisaattoriksi. Helposti nähdään, että Stab G (x) G. Joukkoa O G (x) = {g x g G} X kutsutaan alkion x radaksi. Lause 2.8. (Rata stabilisaattori -lause) Oletetaan, että äärellinen ryhmä G toimii joukossa X. Kiinnitetään x X. Merkitään H = Stab G (x). Tällöin kaikilla a, b G on voimassa a x = b x silloin ja vain silloin, kun a bh. Erityisesti O G (x) = G H. Todistus. Toiminta-aksioomista seuraa, että a x = b x silloin ja vain silloin, kun (b 1 a) x = x eli, joss b 1 a H. Tämä on yhtäpitävää ehdon a bh kanssa (PK I). Näin ollen radan O G (x) alkiot vastaavat bijektiivisesti aliryhmän H sivuluokkia ryhmässä G. Näiden lukumäärä on G / H. Huomautus 2.9. Erityisesti näemme, että radan alkioiden lukumäärä on äärellisen ryhmän tapauksessa aina ryhmän kertaluvun tekijä. Esimerkki 2.10. Ryhmä G operoi itsellään (X = G) seuraavilla tavoilla: Vasemmalta kertomalla, kun määritellään g x = gx. Tähän liittyvää toimintahomomorfismia ρ : G Sym(X) kutsutaan Cayleyn toiminnaksi (tai homomorfismiksi). Sitä käytettiin peruskurssilla osoittamaan, että G on isomorfinen symmetrisen ryhmän aliryhmän kanssa. Tässä toiminnassa on vain yksi rata, O G (x) = G kaikilla x G. Stabilisaattorit ovat triviaaleja, sillä ehdosta gx = x seuraa g = 1. 15

Oikealta kertomalla, kun määritellään g x = xg 1. Tässä käänteisalkion käyttö on välttämätöntä. Toiminta-aksioomat seuraavat säännöstä (gh) 1 = h 1 g 1. Konjugoimalla, kun määritellään g x = gxg 1. Tämän toiminnan ratoja kutsutaan konjugaattiluokiksi [x] = {gxg 1 g G}. ja stabilisaattoreja kutsutaan sentralisaattoreiksi C G (x) = {g G gx = xg}. Rata stabilisaattori -lauseen nojalla [x] = G / C G (x). Esimerkki 2.11. Jos G on abelin ryhmä, niin sen jokainen alkio muodostaa yksinään konjugaattiluokan, [x] = {x}. Sentralisaattori on tällöin koko G. Yleisemminkin, jos alkio x kuuluu ryhmän G keskukseen Z(G) = {x G gx = xg kaikilla g G}, niin jälleen [x] = {x}. Esimerkki 2.12. PK II:n mukaan ryhmän S n permutaatiot ovat samassa konjugaattiluokassa silloin ja vain silloin, kun ne ovat samaa tyyppiä. Esimerkiksi ryhmässä S 4 2-syklin α = (12) konjugaattiluokka muodostuu kaikista 2-sykleistä: [α] = {(12), (13), (14), (23), (24), (34)}. Esimerkiksi (34) = βαβ 1 kun valitaan β = (13)(24). Konjugaattiluokassa [α] on kuusi alkiota, joten rata stabilisaattori -lauseen nojalla alkion α sentralisaattorissa on oltava S 4 /6 = 4 alkiota. Pienen kokeilun jälkeen huomaammekin, että C S4 (α) = {1, (12), (34), (12)(34)}. Seuraava tulos valaisee samaan rataan kuuluvien alkioiden stabilisaattorien välistä suhdetta. Lause 2.13. Oletetaan, että ryhmän G toimii joukossa X. Oletetaan, että g x = y joillekin x, y X, g G. Tällöin g 1 Stab G (y)g = Stab G (x), eli alkioiden x ja y stabilisaattorit ovat konjugaattialiryhmiä. Todistus. Jos h Stab G (y) on mielivaltainen, niin tällöin (g 1 hg) x = g 1 (h (g x)) = g 1 (h y) = g 1 y = x, joten g 1 hg Stab G (x). Näin ollen g 1 Stab G (y)g Stab G (x). Soveltamalla samaa faktaa relaatioon g 1 y = x saadaan käänteisen sisältymisrelaation kanssa ekvivalentti tulos g Stab G (x)g 1 Stab G (y). Väite seuraa tästä. 16

Usein törmätään tilanteeseen, jossa ryhmä G luonnollisesti toimii joukossa X, mutta meitä kiinnostaakin funktiojoukko F(X, M) = {f : X M f on funktio} tai funktiojoukko F(M, X). Tässä M on jokin toinen joukko. Seuraavan havainnon nojalla G toimii myös tällaisessa funktiojoukossa. Lause 2.14. Oletetaan, että ryhmä G toimii joukossa X. Olkoon ρ : G Sym(X) vastaava toimintahomomorfismi. Olkoon M jokin toinen joukko. Tällöin (i) G toimii joukossa F(M, X) säännön (g f)(m) = g f(m) mukaisesti. Tässä f F(M, X) ja m M ovat mielivaltaisia. (ii) G toimii joukossa F(X, M) säännön (g f)(x) = f(g 1 x) mukaisesti. Tässä f F(X, M) ja x X ovat mielivaltaisia. Todistus. Todistuksen idea tullee selkeämmäksi, kun kirjoitamme toimintasäännön uudellee toimintahomomorfismin ρ avulla. Ensimmäisessä tapauksessa toimintasääntö voidaan kirjoittaa muodossa g f = ρ(g) f. Koska kuvausten yhdistäminen on assosiatiivista, niin toiminta-aksioomat seuraavat helposti. 1 f = ρ(1) f = id X f = f, ja (gh) f = ρ(gh) f = (ρ(g) ρ(h)) f = ρ(g) (ρ(h) f) = g (h f) kaikilla g, h G, f F(M, X). Jälkimmäisessä tapauksessa, kun G toimiikin lähtöjoukossa, sääntö voidaan kirjoittaa muodossa g f = f ρ(g 1 ). Tällöin (gh) f = f ρ((gh) 1 ) = f ρ(h 1 ) ρ(g 1 ) = g (h f). Käänteisalkion käyttö on tässä tarpeen samasta syystä kuin ryhmän toimiessa itsellään oikealta kerrottaessa käänteisalkion käyttö kääntää tulon tekijöiden järjestyksen. 17

2.2 Luokkayhtälö, Cauchyn lause Tutkitaan tarkemmin tarkemmin, mitä rata stabilisaattori -lause sanoo äärellisen ryhmän G konjugointitoiminnasta itsellään. Valitaan jokin konjugaattiluokkien edustajisto D, eli ryhmän G sellainen osajoukko, jossa on mukana jokaisesta konjugaattiluokasta tarkalleen yksi alkio. Koska jokainen keskuksen Z(G) alkio on konjugaattiluokkansa ainoa edustaja, niin välttämättä Z(G) D. Jos x D, niin konjugaattiluokassa [x] on kaavan G / C G (x) osoittama määrä alkioita. Koska konjugaattiluokissa on yhteensä G alkiota, olemme perustelleet ns. luokkayhtälön. Lause 2.15. (Luokkayhtälö) Ryhmän G, sen keskuksen, ja konjugaattiluokkien alkioiden lukumääriä sitoo toisiinsa yhtälö G = Z(G) + Tässä summalausekkeen jokainen termi on > 1. x D\Z(G) G C G (x). Luokkayhtälöstä seuraa yllättävän monia tuloksia.ťtarkastelemme niistä ensimmäisenä Cauchyn lausetta, joka sanoo, että jos jokin alkuluku p jakaa äärellisen ryhmän G kertaluvun, niin ryhmästä G löytyy ainakin yksi kertalukua p oleva alkio. Todistamme tämän ensin äärellisille Abelin ryhmille, ja sitten luokkayhtälön avulla yleisesti. Lemma 2.16. Oletetaan, että G on äärellinen Abelin ryhmä, ja että p G. Tällöin on olemassa alkio x G, jonka kertaluku on p. Todistus. Todistamme tämän induktiolla ryhmän kertaluvun n = G suhteen. Induktion lähtökohtana on tapaus n = p. Tällöin Lagrangen lauseen nojalla ryhmän G minkä tahansa alkion x 1 kertaluku on väistämättä p, ja väite pitää paikkansa tässä tapauksessa. Oletetaan sitten, että G on mielivaltainen. Valitaan alkio x 1. Koska G on äärellinen, ord G (x) = m on jokin äärellinen luku. Jos tässä p m, niin tällöin m = pl, missä l on luonnollinen luku. Peruskurssin syklisiä ryhmiä koskevan tuloksen perusteella alkio x l on kertalukua m/ syt(m, l) = m/l = p. Väite on siis todistettu tässä tapauksessa. Jos taas m ei ole jaollinen luvulla p, niin tällöin m G (Lagrange), ja G /m on p:llä jaollinen. Merkitään H = x. Tällöin tekijäryhmän G/H alkioiden lukumäärä on G /m < G. Lisäksi p G / H. Voimme soveltaa induktio-oletusta tekijäryhmään G/H, joten on olemassa sivuluokka ah, jonka kertaluku ryhmässä G/H on p. Tutkitaan alkiota a G. Oletuksemme tarkoittaa, että pienin ehdon a n H toteuttava eksponentti n = p. Jos k = ord G (a), niin tietenkin myös a k H. Bezout n identiteetin nojalla myös a syt(p,k) H, joten voimme päätellä, että p k. Kuten yllä, tästä seuraa, että alkio a k/p on kertalukua p. Lause 2.17. (Cauchyn lause) Oletetaan, että G on äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on jaollinen alkuluvulla p. Tällöin on olemassa alkio x G, jolle ord G (x) = p. 18

Todistus. Todistamme väitteen induktiolla ryhmän G kertaluvun suhteen. Jos G = p, niin väite seuraa Lagrangen lauseesta. Muussa tapauksessa päättelemme seuraavasti. Jos p Z(G), niin väite seuraa Lemmasta 2.16. Keskus Z(G) on selvästi Abelin ryhmä. Muutoin tutkimme luokkayhtälöä G = Z(G) + x D\Z(G) G C G (x). Siinä vasen puoli on jaollinen luvulla p. Oikealta puolelta tiedämme, ettei Z(G) ole jaollinen luvulla p. Näin ollen summalausekkeessa on oltava ainakin yksi sellainen termi, joka ei ole p:llä jaollinen. Olkoon G / C G (x) eräs tällainen. Tässä siis osamäärä ei ole jaollinen p:llä, mutta osoittaja on. Voimme päätellä, että p C G (x). Koska tässä x / Z(G), niin C G (x) on aito aliryhmä, jonka kertaluku on p:llä jaollinen. Induktio-oletuksen nojalla aliryhmässä C G (x) on kertalukua p oleva alkio y. Tämä y on vaadittu alkio. Esimerkki 2.18. Ryhmän S 3 kertaluku on jaollinen alkuluvuilla 2 ja 3. Vaadittuja kertalukuja olevia alkioita on useita, (12) on kertalukua kaksi, ja (123) kertalukua kolme. Jos p on alkuluku, niin ryhmän S p jokainen p- sykli on kertalukua p. Harjoitustehtävänä voit perustella, miksi kaikki ryhmän S p kertalukua p olevat alkiot ovat p-syklejä. Toisena luokkayhtälön seurauksena esittelen seuraavan tuloksen. Määritelmä 2.19. Olkoon p jokin alkuluku. Sanotaan, että äärellinen ryhmä G on p-ryhmä, jos p on sen kertaluvun ainoa alkutekijä. Väistämättä tällöin G = p n jollekin kokonaisluvulle n > 0. Esimerkki 2.20. Harjoitustehtävänä voit osoittaa, että affiinissa ryhmässä Aff(4) on kahdeksan alkiota. Koska 8 = 2 3, niin Aff(4) on 2-ryhmä. Lause 2.21. Olkoon p jokin alkuluku, ja G jokin p-ryhmä. Tällöin sen keskus Z(G) ei ole triviaali. Todistus. Tutkitaan ryhmän G luokkayhtälöä G = Z(G) + x D\Z(G) G C G (x). Jälkimmäisessä summassa kaikki termit ovat suurempia kuin yksi ja lisäksi kertaluvun G = p n tekijöitä. Erityisesti ne ovat siis kaikki jaollisia luvulla p. Koska luokkayhtälön vasen puoli on sekin jaollinen luvulla p, voimme päätellä, että vimmeinenkin termi, Z(G), on sekin jaollinen luvulla p. Erityisesti siis Z(G) > 1. 2.3 Peittoryhmistä Klassinen tilanne, jossa ryhmiin törmätään on tasokuvion tai 3-ulotteisen kappaleen K (kyseessä voi olla myös korkeampiulotteisen avaruuden objekti) symmetrioiden muodostama joukko. Objektin K symmetrioita ovat sellaiset ympäröivän avaruuden R n (yleensä siis n = 2 tai n = 3) sellaiset etäisyyden säilyttävät kuvaukset ρ : R n R n, joille lisäksi on voimassa ehto ρ(k) = K. 19

Yleensä objektilla K on jokin keskipiste, joka kaikissa symmetrioissa pysyy paikallaan. Kun ajatellaan origo siirretyksi tuohon keskipisteeseen, niin geometrinen päättely osoittaa, että etäisyydet säilyttävä kuvaus on välttämättä lineaarikuvaus ρ : R n R n. Tyydymme tässä lyhyesti perustellen luetellemaan tarvittavia faktoja, ja tarkastelemme lähemmin muutamien geometristen objektien symmetrioita. Lemma 2.22. Lineaarikuvaus ρ : R n R n säilyttää pisteiden väliset etäisyydet silloin ja vain silloin, kun sen matriisi M avaruuden R n luonnollisen kannan (tai minkä tahansa ortonormaalin kannan suhteen) on ortogonaalinen, eli toteuttaa ehdon MM T = I n. Tällöin väistämättä det M = ±1. Erityisesti ρ on aina säännöllinen lineaarikuvaus. Todistus. Oletetaan, että kaikille x R n on voimassa ρ(x) = x. Koska kaikille x, y R n on voimassa x + y 2 = x 2 + 2(x, y) + y 2, näemme, että vektorien pituudet säilyttävä lineaarikuvaus säilyttää myös niiden väliset sisätulot, ja edelleen siis niiden väliset kulmat. Jos ajattelemme vektoreita x, y pystyvektoreina, niin niiden sisätulo voidaan kirjoittaa matriisikertolaskuna (x, y) = x T y. Koska oletamme, että kertominen matriisilla M säilyttää sisätulot, niin yhtälö (M x, M y) = (x, y) on voimassa kaikille vektoreille. Sen seurauksena yhtälö xm T My = (Mx) T (My) = (Mx, My) = (x, y) = x T y on sekin voimassa kaikille vektoreille. Kun annamme tässä x:n ja y:n käydä läpi luonnollisen kannan vektorit, saamme matriisiyhtälön M T M = I n. Determinanttia koskeva väite seuraa tästä. Jos det M = 1 sanotaan, että ρ on avaruuden R n (aito) rotaatio. Jos det M = 1 puhutaan epäaidosta rotaatiosta. Helposti nähdään, että ehdon M T M = I n toteuttavat reaalikertoimiset matriisit muodostavat ryhmän. Tätä ryhmää kutsuttan ortogonaalisten lineaarikuvausten ryhmäksi, ja siitä käytetään merkintää O n (R). Aidot rotaatiot muodostavat sen aliryhmän SO n (R) = {M O n (R) det M = 1}. Lemma 2.23. Tason R 2 aito rotaatio on rotaatio! Tason epäaito rotaatio on peilaus jonkin origon kautta kulkevan suoran suhteen. Todistus. Tutkitaan ensin epäaito tapaus. Oletetaan, että M O 2 (R) ja det M = 1. Tällöin det(i 2 + M) = det(mm T + M) = det(m(m T + I 2 )) = det M det(m T + I 2 ) = det(i 2 + M), mistä voimme päätellä, että det(i 2 + M) = 0. Näin ollen λ 1 = 1 on matriisin M ominaisarvo. Olkoon x tähän ominaisarvoon kuuluva ominaisvektori, jonka voimme rajoituksetta olettaa olevan yksikkövektori. Olkoon y vektoria x vastaan kohtisuorassa oleva vektori. Koska M säilyttää kulmat, niin M x M y. Tästä seuraa, että myös y on M:n ominaisvektori. Koska matriisin determinantti on sen ominaisarvojen tulo, niin toinen ominaisarvo λ 2 = +1, ja siis My = y. Tämä tarkoittaa juurikin sitä, että M pitää y:n generoiman aliavaruuden (=origon kautta kulkeva suora L) pisteet paikallaan, ja kuvaa sitä vastaan kohtisuorat vektorit vastavektoreikseen. Näin ollen M on peilaus suoran L suhteen. 20

Jos M onkin aito rotaatio, niin tutkitaan vektoreita M i ja M j. Molemmat ovat yksikkövektoreita. Näin ollen on olemassa sellaiset kulmat α ja β, että Mi = (cos α, sin α) T ja Mj = (cos β, sin β) T. Koska Mi Mj, niin β = α ± π/2. Valinta β = α π/2 johtaa siihen, että det M = 1, joten β = α + π/2. Näin ollen M on kierto kulman α verran. 3-ulotteisessa avaruudessa peilaus origon kautta kulkevan tason suhteen on tällainen etäisyydet säilyttävä det = 1 kuvaus. Epäaidot rotaatiot ovat siinä mielessä epäfysikaalisia, että ne edellyttävät kappaleen purkamista atomeiksi, koska ne muuttavat avaruuden kätisyyden. Lemma 2.24. Oletetaan, että M SO 3 (R). Tällöin λ = 1 on sen ominaisarvo. Jos x R 3 on vastaava ominaisvektori, niin tällöin M on kierto vektorin x määräämän suoran ympäri. Todistus. Kuten Lauseen 2.23 todistuksessa, näemme, että det(i 3 M) = 0. Yksityiskohdat harjoitustehtävänä. Koska M säilyttää vektorien väliset kulmat, niin M kuvaa vektoria x vastaan kohtisuoran tason T pisteet tasoon T. Näin ollen lineaarikuvauksen M rajoittuma tasoon T on sen etäisyydet säilyttävä lineaarikuvaus. Lauseen 2.23 nojalla kyseessä on tason T kierto. Väite seuraa tästä. Ympäröivän avaruuden R n identiteettikuvaus on minkä tahansa objektin K symmetria. Jos ρ 1 ja ρ 2 ovat objektin K symmetrioita, niin tällöin selvästi myös ρ 1 ρ 1 2 on symmetria, joten objektin K symmetriat muodostavat lineaarikuvausten ryhmän aliryhmän, jota kutsumme objektin K peittoryhmäksi. Esimerkki 2.25. Määrätään tason säännöllisen n-kulmion symmetrioiden ryhmä, eli diedriryhmä D n, kun n > 2. 3 B 2 C A 4 1 D F 5 E 6 Kuva 2.1: Säännöllisen 6-kulmion osien nimilaput 21

Ratkaisu. Kaikki alla sanottu yleistyy jokaisella n:n arvolla. Kuvaan 2.1 viitattaessa kuitenkin oletetaan, että n = 6. Säännöllisen n-kulmion kärjet ovat tarkalleen ne pisteet, jotka ovat kauimpana sen keskipisteestä (jonka asetamme origoon yllä kuvatuista syistä). Näin ollen kaikki symmetriat permutoivat kärkien joukkoa. Oletamme lisäksi n-kulmion oleva sellaisessa asennossa, että yksi kärjistä on x-akselilla. Koska origosta kärkiin osoittavat vektorit generoivat koko avaruuden R 2, niin kuvien tunteminen määrää lineaarikuvauksen täysin. Näin ollen peittoryhmän D n alkio määräytyy yksikäsitteisesti, kun tiedämme, miten se permutoi kärkien joukkoa. Numeroimme kärjet, jolloin niitä esittää joukko X 1 = J n, jossa D n toimii. Rajoituksetta voimme olettaa, että kärki numero 1 on x-akselilla. Itse asiassa jo origosta kärkiin 1 ja 2 osoittavat vektorit generoivat koko avaruuden R 2, joten ρ D n määräytyy täysin, kun tunnemme kärjet ρ(1) ja ρ(2). Tason rotaatio ( cos 2π r = n sin 2π n sin 2π n permutoi kärkiä n-syklin r = (123 n) mukaisesti. Selvästi r D n. Koska sopiva rotaation r potenssi kuvaa kärjen 1 miksi tahansa halutuksi kärjeksi, niin näemme, että joukossa X 1 ryhmällä D n on vain yksi rata. Näin ollen rata stabilisaattori -lauseen nojalla D n = n Stab Dn (1). cos 2π n ) Koska n-kulmiomme symmetriat säilyttävät kärkien väliset etäisyydet, niin vierekkäiset kärjet kuvautuvat välttämättä vierekkäisiksi. Näin ollen kärjellä ρ(2) on vain kaksi vaihtoehtoa, jos olemme ensin kiinnittäneet kärjen ρ(1). Erityisesti, jos ρ(1) = 1, niin ainoat vaihtoehdot ovat ρ(2) = 2 ja ρ(2) = n. Näin ollen stabilisaattorin Stab Dn (1) kertaluku on enintään kaksi. Kuitenkin peilaus x-akselin suhteen on sekin selvästi peittoryhmän D n alkio, ja lisäksi pitää kärjen 1 paikallaan. Käytämme tästä peilauksesta nimeä s. Näin ollen Stab Dn (1) = s on kertalukua kaksi, ja D n = 2n. Ryhmässä D 6 peilaus s toimii kärkien joukossa X 1 permutaationa s = (26)(35). Rotaation r generoimassa aliryhmässä r on selvästi n alkiota. Koska peilauksen determinantti on 1 ja rotaation +1, niin ryhmän D n muut alkiot ovat sivuluokassa s r = {sr i i = 0, 1, 2..., n 1}. Laskujen helpottamiseksi johdamme vielä säännön, jonka avulla laskut diedriryhmissä helpottuvat. Tarvitsemamme sääntö on visuaalisesti perusteltavissa seuraavasti: jos tason pistettä x R 2 kierretään kulman α verran positiiviseen kiertosuuntaan pisteeseen r(x), niin sen peilikuva s(x) kiertyy saman verran negatiiviseen kiertosuuntaan. Siis sr(x) = r 1 s(x) kaikille x R 2. Yhtälö sr = r 1 s voidaan ekvivalentista kirjoittaa muodossa srs 1 = r 1. Tässä muodossa kirjoitettuna näemme, että itse asiassa konjugoimme alkiota r alkiolla s. Koska konjugointi on ryhmähomomorfismi, tästä seuraa heti relaatiot sr i s 1 = r i sr i = r i s 22

kaikille eksponentin i arvoille. Kuvan tapauksessa n = 6 voimme vielä tarkistaa relaation käyttämällä alkioiden r ja s sykliesityksiä: srs 1 = (26)(35)(123456)(62)(53) = (165432) = r 1. Peittoryhmän D n alkiot toimivat myös monikulmiomme sivujen joukossa X 2 = {A, B, C,...}. Kuvan perusteella tällöin r = (ABCDEF) ja s = (AF)(BE)(CD). Peilauksen s syklirakenne on tässä hieman erilainen kuin sen toimiessa joukossa X 1. Tässä ei tietenkään ole mitään hämmentävää, koska toiminta on siirtynyt eri joukkoon. Alkioita sr i, i = 0, 1, 2,..., n 1, vastaavien lineaarikuvausten determinantit ovat kaikki = 1. Lemman 2.23 nojalla ne ovat kaikki peilauksia. Pohditaan tätä hetki. Suoralla laskulla näemme, että sr = (26)(35)(123456) = (16)(25)(34). Kuvan 2.1 perusteella näyttää siltä, että sr on peilaus sivujen C ja F keskipisteitä yhdistävän janan suhteen. Samaan havaintoon päästään tekemällä sama lasku ryhmässä Sym(X 2 ): sr = (AF)(BE)(CD)(ABCDEF) = (AE)(BD), millä on alkiot C ja F kiintopisteinä. Edellisen kappaleen havainto yleistyy seuraavasti (mieti sitä harjoitustehtävänä). Kun n on parillinen, peilauksista sr i puolet on peilauksia kahta vastakkaista kärkeä yhdistävän janan suhteen, ja puolet peilauksia kahden vastakkaisen sivun keskipisteitä yhdistävän suoran suhteen. Kun n on puolestaan pariton, jokainen peilaussuora yhdistää yhden kärjen ja sille vastakkaisen sivun keskipisteen. Esimerkki 2.26. Selvitetään millaisia symmetrioita kuutiolla on. Ratkaisu. Valitaan koordinaatisto siten, että kuution keskipiste on origossa, ja kärjet pisteissä (±1, ±1, ±1). Olkoon G O 3 (R) kuution symmetrioiden ryhmä. Kuutiolla on kahdeksan kärkeä, joita symmetriat selvästi permutoivat. Helposti (esimerkiksi käyttämällä alla kuvattuja kiertoja) nähdään, että ryhmän G toiminnassa kärkien joukossa on vain yksi rata. Sanomme, että kaksi kärkeä ovat naapureita, jos niitä yhdistävä jana on kuution särmä. Kuten Esimerkissä 2.25, symmetriat säilyvät kärkien naapuruussuhteen, ja jos tunnemme yhden kärjen ja sen kahden naapurin kuvat symmetriassa ρ, niin ρ määräytyy yksikäsitteisesti. Jokaisella kärjellä on 3 naapuria, joita voidaan permutoida enintään 3! = 6 eri tavalla. Näin ollen kärjen stabilisaattorissa on enintään 6 alkiota, ja siis G 8 6 = 48. Tulemme näkemään, että itse asiassa G = 48, eli kaikki kuusi naapurikärkien permutaatiota voidaan realisoida koko kuution symmetrioina. Aloitetaan selvittämällä millaisia rotaatiosymmetrioita SO 3 (R). Lemman 2.24 nojalla rotaatiolla on jokin akseli. Olkoon G + = G SO 3 (R) rotaatiosymmetrioiden ryhmä. Symmetria-akseleita on kolmea eri tyyppiä. Käyn ne läpi geometriseen havaintoon vedoten (luentokalvoissa vastaavat kierrot on animoitu). Eräs ilmeinen symmetria-akseli, Kuva 2.2, yhdistää kahden vastakkaisen tahkon keskipisteet. Tällaisia 23

Kuva 2.2: Kertalukua neljä olevan kiertosymmetrian akseli symmetria-akseleita kuutiolla on 3 kappaletta, yksi kutakin vastakkaisten tahkojen paria kohti. Kuutio kuvaa itselleen, kun sitä kierretään tällaisen akselin ympäri minkä tahan 90 asteen monikerran verran. Tällainen 90 asteen kierto on kertalukua neljä. Sen käänteisalkio on kierto vastakkaiseen suuntaan. Sen neliö on 180 asteen kierto saman akselin ympäri, mikä on oma käänteiskuvauksensa. Kaiken kaikkiaan kuutiolla on siis 6 kappaletta 90 asteen kiertosymmetrioita ja 3 kappaletta 180 asteen kiertoja tällaisten akselien ympäri. Vähemmän ilmeinen symmetria-akseli, Kuvassa 2.3, yhdistää kahden vastakkaisen särmän keskipisteet. Kuutio kuvautuu itselleen, kun sitä kierretään tämän akselin ympäri 180 astetta. Nämä kierrot ovat siis Kuva 2.3: Kertalukua kaksi olevan kiertosymmetrian akseli ryhmän G + kertalukua kaksi olevia alkioita. Särmiä on kaiken kaikkiaan 12 kappaletta, ja ne jakautuvat 24

kuuteen vastakkaisten särmien pariin. Tällaisia kiertoja on ryhmässä G + siis 6 kappaletta. Kuution avaruuslävistäjä on sekin symmetria-akseli, joka yhdistää kaksi vastakkaista kärkeä, Kuva 2.4. Tällaisen akselin päissä kohtaa kolme kuution särmää, ja 120 asteen kierto tämän akselin ympäri on kuution Kuva 2.4: Kertalukua kolme olevan kiertosymmetrian akseli symmetria. Ilman animaatiota sen hahmottaminen voi olla vaikeaa, joten kerron, että vastaava lineaarikuvaus, kun akselin päätepisteet ovat ±(1, 1, 1) on ρ : (x, y, z) (y, z, x). Tämän kuvauksen perusteella on ilmeistä, että ρ kuvaa kuution [ 1, 1] [ 1, 1] [ 1, 1] itselleen, ja että se on kertalukua kolme. Tällaisia avaruuslävistäjiä on neljä kappaletta, kahdeksan kärkeä jakautuvat neljäksi pariksi, ja tällaisia kiertosymmetrioita on siten 8 kappaletta. Kun otamme huomioon identiteettikuvauksen, olemme löytäneet kaikkiaan 1 + 6 + 3 + 6 + 8 = 24 symmetriaa SO 3 (R). Selvästi peilaus tason z = 0 suhteen, eli kuvaus s : (x, y, z) (x, y, z) on sekin kuution symmetria. Sen determinantti on 1, joten kyseessä on epäaito rotaatio. Näin ollen olemme löytäneet 48 symmetriaa, G + sg +, joten tässä on kaikki. On suhteellisen helppo osoittaa, että samaa kertalukua olevat samantyyppisen akselin ympäri tehtävät kierrot ovat samassa konjugaattiluokassa. Eräs huomionarvoinen asia on, että kaikkien näiden symmetriakuvaukset ovat muotoa (x 1, x 2, x 3 ) (±x σ(1), ±x σ(2), x σ(3) ), missä kaikki kahdeksen merkkikombinaatiota, ja kaikki koordinaattien permutaatiot σ S 3 ovat mahdollisia. Tämä tarjoaa toisen tavan päätellä, että kuution peittoryhmässä G on 48 alkiota, joista tasan puolet on kiertoja. 25

2.4 Sovellus kombinatoriikkaan, Burnsiden lemma Kun G toimii joukossa X, merkitään ratojen joukkoa X/G. Tietyn tyyppisissä kombinatorisissa sovelluksissa tarvitaan menetelmä ratojen lukumäärän X/G laskemiseksi. Sanomme, että x X on alkion g G kiintopiste, jos g x = x. Käytetään alkion g kiintopisteiden joukosta merkintää X g = {x X g x = x}. Kaava ratojen lukumäärälle perustuu ryhmän kaikkien alkioiden kiintopisteiden lukumäärien laskemisella. Tulos tunnetaan Burnsiden lemmana, mutta se oli ainakin Burnsiden itsensä mukaan tunnettu jo aikaisemmin. Esimerkki 2.27. Oletetaan, että äärellinen ryhmä G toimii joukossa X. Jos M on jokin äärellinen joukko, niin Lauseessa 2.14 näimme, miten G toimii funktiojoukossa F(X, M) = {f : X M}. Oletetaan, että g G, ja että syklisellä ryhmällä H = g on k rataa joukossa X. Tällöin alkion g kiintopisteitä joukossa F(X, M) ovat ne funktiot f, jotka saavat saman arvon jokaisella aliryhmän H radalla O H (x). Jos nimittäin g f = f, niin f(x) = (g f)(x) = f(g 1 x) kaikille x X. Radan O H (x) mielivaltainen alkio nimittäin saadaan toimimalla pisteeseen x alkiolla g 1 riittävän monta kertaa. Koska jokaista rataa O H (x) kohti voidaan valita mielivaltainen kuva joukosta M, niin kiintopistefunktioiden lukumääräksi saadaan F(X, M) g = M X/ g. Lause 2.28. (Burnsiden lemma) Oletetaan, että ryhmä G toimii joukossa X ratojen lukumäärän ja kiintopisteiden lukumäärien välillä on yhteys Todistus. Tutkitaan joukkoa S G X X/G = 1 G X g, g G S = {(g, x) G X g x = x}. Siis (g, x) S silloin ja vain silloin, kun g Stab G (x tai yhtäpitävästi x X g. Laskemme joukon S alkioiden lukumäärän kahdella eri tavalla. Ensimmäisessä laskutavassa kiinnitämme ensin alkion g G. Käytämme sitten havaintoa, että (g, x) S tarkalleen X g :lla eri x:n valinnalla, nimittäin g:n kiintopisteille. Näin ollen S = X g. g G Toisessa laskutavassa kiinnitämme ensin alkion x X, ja toteamme sitten sen esiintyvän joukon S alkiossa (g, x) tarkalleen Stab G (x) kertaa. Rata stabilisaattori -lauseen nojalla saamme tuloksen S = x X Stab G (x) = x X G O G (x). ( ) 26