Matemaattiset menetelmät II

Matemaattiset menetelmät II 5. helmikuuta 214

Esipuhe Tämä on 1. versio Matemaattiset menetelmät II-kurssin opetusmonisteesta, joka perustuu Vaasan yliopistossa luennoimaani vastaavan nimiseen kurssiin. Sisältö noudattaa pitkälti aiempien luentomuistiinpanojeni mukaista esitystä. Esitän kiitokseni H.L. Wietsma:lle sekä Marko Moisiolle (Vaasan yliopisto, matemaattisten tieteiden laitos), joista ensinmainittu on suorittanut tekstin puhtaaksikirjoituksen LaTeX-muotoon ja piirtänyt monisteessa esiintyvät kuvat ja jälkimmäinen puolestaan esittänyt parannusehdotuksia ja täydennyksiä monisteessa olevaan materiaaliin. Vaasassa 15 tammikuuta 214 Seppo Hassi

v Sisältö Esipuhe Sisältö iii v 1 Usean muuttujan funktiot 1 1.1 Vektoriavaruus R n................................... 1 1.2 Usean muuttujan reaalifunktiot............................ 4 1.3 Derivaatta ja differentioituvuus............................ 8 1.4 Funktion ääriarvoista.................................. 14 2 Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa 17 2.1 Käyräintegraali..................................... 17 2.2 Tasointegraali...................................... 2 2.3 Avaruusintegraali.................................... 24 2.4 Muuttujien vaihto integraalissa............................ 25 3 Vektorianalyysiä 29 3.1 Vektoritulo eli ristitulo................................. 29 3.2 Skalaarikolmitulo.................................... 3 3.3 Divergenssi ja roottori................................. 31 3.4 Potentiaali........................................ 33 3.5 Greenin lause...................................... 35 3.6 Pintaintegraali..................................... 39 3.7 Stokesin lause...................................... 41 3.8 Gaussin divergenssilause................................ 42 Kirjallisuutta 45

1 Luku 1: Usean muuttujan funktiot 1.1 Vektoriavaruus R n Tarkastellaan n-ulotteiseen vekoriavaruuteen R n liittyviä peruskäsitteitä. Joukko R n on karteesinen tulo R n = } R R {{... R } ja sen alkioina ovat järjestetyt n-alkioiset reaalilukujonot n kpl x = (x 1,..., x n ), x i R, i = 1,..., n, joita kutsutaan vektoreiksi (lyhyesti myös R n :n pisteiksi). Vektorit x R n ja y R n ovat samoja jos niiden kaikki komponentit ovat samoja: x = y x 1 = y 1, x 2 = y 2,..., x n = y n. Vektoreiden yhteen- ja skalaarikertolasku määritellään kaavoilla Yhteenlasku noudattaa seuraavia sääntöjä: (1) vaihdannaisuus: x + y = y + x; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ); ax = (ax 1, ax 2,..., ax n ). (2) liitännäisyys: (x + y) + z = x + (y + z); (3) on olemassa nollavektori = (,..., ) R n ; ts. x + = x, x = (x 1,..., x n ) R n ; (4) jokaisella vektorilla x = (x 1,..., x n ) R n on olemassa vastavektori y = x = ( x 1,..., x n ) R n, jolle pätee x + y =. Tällä yhteenlaskulla verustettuna R n muodostaa ns. Abelin ryhmän eli kommutatiivisen ryhmän. Skalaarilla kertominen noudattaa seuraavia sääntöjä: (5) skalaarikertolaskun liitännäisyys: a(bx) = (ab)x, a, b R, x R n ; (6) skalaarikertolaskun osittelulaki: a(x + y) = ax + ay; (7) skalaarikertolaskun osittelulaki: (a + b)x = ax + bx; (8) lisäksi luku 1 on skalaarikertolaskun neutraalialkio: 1x = x, x R n.

2 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Näillä yhteen- ja skalaarikertolaskulla varustettuna R n muodostaa reaalikertoimisen vektoriavaruuden. Ne määräävät R n :n algebralliset ominaisuudet. Vektoriavaruuden R n geometriset ominaisuudet määräytyvät vektoreiden x, y R n sisätulosta (eli skalaaritulosta tai pistetulosta): x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n ( R). Sisätulo liittää kahteen vektoriin yhden reaaliluvun eli sitä voi pitää kuvauksena R n R n R. Sisätulolla on seuraavat ominaisuudet: x, y, z R n ja a R pätee: (1) vaihdantalaki: x y = y x; (2) osittelulaki: (x + y) z = x z + y z; (3) skalaarin siirtosääntö: (ax) y = a(x y). Sisätulon avulla voidaan määritellä R n :n vektorin x normi, merk. x, ei-negatiivisena reaalilukuna kaavalla x = x x = x 2 1 + x2 2 +... + x2 n. Normin avulla voidaan puolestaan määritellä R n :n vektoreiden eli pisteiden x, y R n välinen etäisyys lausekkeena x y. Etäisyyskäsite määrää R n :n ns. topologiset ominaisuudet, joihin mm. raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät voidaan perustaa. Tarkastellaan lyhyesti R n :n sisätulon määräämiä geometrisia ominaisuuksia. Vektoreiden x, y R n, x ja y, välinen kulma määritellään kaavalla cos (x, y) = x y x y, missä kulma rajoitetaan välille [, π]: (x, y) π. Jos (x, y) = π/2, vektoreiden x ja y sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan eli x ja y ovat orthogonaaliset, merk. x y. Määritelmän mukaan (1.1) x y x y =, (x y). Nollavektorilla R n ei ole määrättyä suuntaa, mutta sovimme, että x, x R n. Tällöin siis (1.1) pätee kaikille x, y R n. Huom.: Jos x y, niin (x, y) π/2 ja jos x y, niin π/2 (x, y) π. Erityisesti vektorit x ja y ovat samansuuntaiset jos Θ = (x, y) = eli cos Θ = 1, kun taas x ja y ovat vastakkaissuuntaiset jos Θ = (x, y) = π eli jos cos Θ = 1. Vektorin x kohtisuora eli ortogonaalinen projektio vektorille y ( ), merk. P y x, määritellään kaavalla cos Θ x P y x = y, Θ = (x, y). y

1.1. Vektoriavaruus R n 3 x x θ θ P y x y P y x y (a) Kohtisuora projekti Θ π/2 (b) Kohtisuora projekti π/2 < Θ π Kun x ja y ovat yksikkövektoreita eli x = 1 = y, saadaan jolloin siis x y = cos Θ, Θ = (x, y) P y x = cos Θ y = x y y = (x y)y, x y Kuva 1.1: Vektoriavaruus R 3. R 3 :n vektoreita havainnollistetaan usein 3-ulotteisessa koordinaatistossa, missä kantavektoreina ovat i = (1,, ), j = (, 1, ) ja k = (,, 1), katso Kuva 1.1. Tällöin x = x 1 i + x 2 j + x 3 k ja esim. P j x = cos Θ j x j = (x j)j. Lukuja x 1, x 2 ja x 3 sanotaan x:n koordinaateiksi kannan {i, j, k} suhteen. Koska cos Θ 1, saadaan sisätulolle epäyhtälö (1.2) 1 cos Θ = x y x y x y x y, jota kutsutaan Cauchy-Schwarzin epäyhtälöksi. Sisätulon määräämään normiin x = x x liittyy seuraavat tyypilliset ominaisuudet: (1) x x R n ja x = x = ; (2) ax = a x a R ja x R n ; (3) x + y x + y (Kolmioepäyhtälö).

4 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Ominaisuudet (1) ja (2) ovat ilmeisiä. Perustellaan vielä kohdan (3) kolmioepäyhtälö: x + y 2 = (x + y) (x + y) = x x + x y + y x + y y = x 2 + 2x y + y 2 }{{} x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. Cauchy-Schwartz Normin avulla voimme määritellä vektorin (pisteen) x R n ϵ-säteisen (avoimen) palloympäristön eli ϵ-ympäristön R n :ssä: B ϵ (x ) = {x R n : x x < ϵ} (ϵ > ). Kun n = 1, 2, 3 on ϵ-ympäristö B ϵ (x ) jana (n = 1), ympyrä (n = 2) ja pallo (n = 3) säteenä luku ϵ >. Olkoon A R n jokin R n osajoukko. Pistettä x A sanotaan A:n sisäpisteeksi jos on olemassa ϵ > siten, että x :n ϵ-ympäristö B ϵ (x ) A, ts. ϵ < s.e. x x < ϵ x A. Joukkoa A R n sanotaan avoimeksi joukoksi, jos sen jokainen piste on sen sisäpiste. Joukko A R n on suljettu joukko, jos sen komplementti R n \A on avoin joukko. Esim. yhdestä pisteestä muodostuva joukko {x } on suljettu. Joukkoa A R n sanotaan rajoitetuksi, jos se sisältyy johonkin origokeskiseen palloon: A B r (), jollakin r >. Pistettä x R n sanotaan joukon A R n kasaantumispisteeksi, jos sen jokainen aito ϵ- ympäristö B ϵ(x ) = B ϵ (x ) \ {x } = {x R n : < x x < ϵ} sisältää joukon A pisteitä; ts. ϵ > : B ϵ(x ) A. Piste x R n sanotaan joukon A R n reunapisteeksi, jos sen jokainen ϵ-ympäristö B ϵ (x ) sisältää sekä joukon A että sen komplementtijoukon R n \ A pisteitä; ts. ϵ > : B ϵ (x ) A ja B ϵ (x ) (R n \ A). Siten joukoilla A ja R n \A on samat reunapisteet l. reuna. Joukon A R n reunaa merkitään A. Siis A = (R n \A). Esimerkki 1.1.1. Olkoon A = B 1 () = {x R n : x < 1}. Tällöin A on avoin joukko, sillä jos x A on mielivaltainen, niin B (1 x )(x ) A. A:n komplementti R n \A = {x R n : x 1} on suljettu. Joukon A kasaantumispisteiden joukko on {x R n : x 1}. Tämä joukko on suljettu, sillä sen komplementti on avoin joukko. Joukon A reuna on R n \ {x R n : x 1} = {x R n : x > 1} A = {x R n : x = 1}. 1.2 Usean muuttujan reaalifunktiot Kuvausta f : A R, missä A R n sanotaan n:n reaalisen muuttujan reaalifunktioksi. Kuten yhden reaalisen muuttujan tapauksessa käytetään seuraavia eri esitymuotoja: (1) Eksplisiittinen esitys: y = f(x) = f(x 1, x 2,..., x n );

1.2. Usean muuttujan reaalifunktiot 5 (2) Implisiittinen esitys: F (x, y) =, x = (x 1, x 2,..., x n ); (3) Parametri esitys: x 1 = u 1 (t 1, t 2,..., t n );. x n = u n (t 1, t 2,..., t n ); y = v(t 1, t 2,..., t n ). Funktion määrittelyjoukoksi M f muuten määrätty. valitaan laajin mahdollinen R n :n osajoukko, jos sitä ei ole Esimerkki 1.2.1. Funktion f(x, y) = x y määritellyjoukko on M f = {(x, y) R 2 : x y}. Esimerkki 1.2.2. Yhtälö F (x, y, z; r) = x 2 + y 2 + z 2 r 2 = kiinteällä r:n arvolla antaa implisiittisen esityksen origo-keskiselle r-säteiselle pallolle. Siitä saadaan funktiot z = f(x, y) = r 2 x 2 y 2, z = r 2 x 2 y 2 (x 2 + y 2 r 2 ) eksplisiittisinä esityksinä (ylempi ja alempi puolipallo). Pallokoordinaatisto: Reaalilukutason R 2 ja kompleksitason C vektorien napakoordinaattiesitystä vastaava esitys vektoriavaruudessa R 3 on pallokoordinaatistoesitys, joka voidaan määritellä seuraavilla yhtälöillä: (1.3) x = r sin Θ cos ϕ y = r sin Θ sin ϕ z = r cos Θ ( ϕ < 2π, θ π). Arvot θ π/2 vastaavat ylempää puolipalloa ja arvot π/2 θ π vastaavat alempaa puolipalloa; katso Kuva 1.2. k z a θ r y φ u j x i Kuva 1.2: Vektorin a = (x, y, z):n pallokoordinaatit. Kuvassa u on a:n ortogonaalinen projektio xy-tasoon.

6 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Raja-arvon määritelmä: Olkoon f : A R n muuttujan funktio (A R n ). Oletetaan, että f on määritelty jossakin pisteen x R n aidossa palloympäristössä B (x ). Tällöin funktiolla f on raja-arvo a pisteessä x, merk. lim x x f(x) = a, jos ϵ > δ(= δ ϵ ) > s.e. < x x < δ = f(x) a < ϵ. Funktion raja-arvo voidaan määritellä myös pisteissä x, jotka ovat f:n määrittelyjoukon M f kasautumispisteitä: Olkoon x M f :n kasautumispiste. Tällöin lim x Mf x f(x) = a jos ϵ > δ ϵ > s.e. < x x < δ ja x M f = f(x) a < ϵ. Lause 1.2.3. Jos funktiolla f on raja-arvo pisteessä x, niin se on yksikäsitteisesti määrätty; ts. jos lim x x f(x) = a ja lim x x f(x) = b, niin a = b. Todistus. Olkoon ϵ >. Oletuksen nojalla f(x) a < ϵ ja f(x) b < ϵ, kun < x x < δ(= min{δ(a), δ(b)}). Tällöin a b = (f(x) b) (f(x) a) }{{} f(x) b + f(x) a < ϵ + ϵ = 2ϵ. Kolmioepäyhtälö Koska ϵ > oli mielivaltainen, on oltava a b = eli a = b. Raja-arvon olemassaoloa voidaan tutkia myös seuraavan lauseen avulla. Lause 1.2.4. Olkoon x funktion f määrittelyjoukon A ( R n ) kasautumispiste. Funktiolla f on raja-arvo a pisteessä x jos ja vain jos jokaiselle jonolle (x n ) n=1 joukon A pisteitä pätee: Todistus. Harjoitustehtävä. lim x n = x = lim f(x n) = f(x ). n n Seuraavat esimerkit havainnollistavat raja-arvon määräämistä ja sen olemassaolon selvittämistä R n :ssä. Esimerkki 1.2.5. Osoitetaan, että lim (x,y) (1,2) (3x + y) = 5 yo. määritelmään perustuen. Merkitään f(x, y) = 3x + y. Olkoon ϵ > mielivaltainen. Tällöin f(x, y) 5 = 3x + y 5 = 3(x 1) + (y 2) }{{} 3 x 1 + y 2 Kolmioepäyhtälö = 3 (x 1) 2 + (y 2) 2 3 (x 1) 2 + (y 2) 2 + (x 1) 2 + (y 2) 2 = 4 (x, y) (1, 2). } {{ } =δ Valitaan δ = ϵ/4: Tällöin (x, y) (1, 2) < δ f(x, y) 5 < 4δ = ϵ.

1.2. Usean muuttujan reaalifunktiot 7 Esimerkki 1.2.6. Tutkitaan onko funktiolla f(x, y) = xy raja-arvoa pisteessä (, ) eli origossa. x 2 +y 2 Jos origoa lähestytään pitkin suoraa y =, saadaan x lim f(x, ) = lim x x x 2 + 2 = lim =. x Toisaalta, jos origoa lähestytään pitkin suoraa y = x, saadaan xx lim f(x, x) = lim x x x 2 + x 2 = lim 1 x 2 = 1 2. Nähdään, että f:n raja-arvo origossa riippuu lähestymissuunnasta. Tästä johtuen f:llä ei ole raja-arvoa origossa. Lause 1.2.7. Olkoot lim x x f(x) = a ja lim x x g(x) = b. Tällöin: (i) lim x x (cf(x) + dg((x))) = ca + db, c, d R; (ii) lim x x f(x)g(x) = ab; (iii) lim x x f(x) g(x) = a b jos b. Todistus. Kuten yhden muuttujan reaalifunktioille. Jatkuvuus: Funktion jatkuvuus määritellään raja-arvon avulla: f on jatkuva pisteessä x M f R n jos lim x x f(x) = f(x ) eli jos ϵ > δ ϵ > s.e. x x < δ ja x M f = f(x) f(x ) < ϵ tai yhtäpitävästi: ϵ > δ ϵ > s.e. f(b δϵ (x ) M f ) B ϵ (f(x )). Kuvaus f on jatkuva joukossa A M f, jos se on jatkuva jokaisessa A:n pisteessä. Lauseesta 1.2.7 seuraa, että jatkuvien funktioiden f : A R ja g : A R summa f +g : A R, tulo fg : A R ja osamäära f/g : A R (g ) ovat jatkuvia funktioita joukossa A. R n :n polynomit ovat muotoa f : R n R, f(x 1,..., x n ) = a α x α 1 1 xα 2 2 xα n n, α m missä α = (α 1, α 2,..., α n ) ja a = α 1 + α 2 +... + α n, α i N, sekä m N on polynomin aste. R n :n rationaalifunktiot f : R n R ovat kahden polynomin osamääriä. Polynomit ovat jatkuvia funktioita koko R n :ssä, rationaalifunktiot määrittelyjoukossaan eli nimittäjän nollakohtia lukuunottamatta. Kuten yhden muuttujan funktioilla, jatkuvuus säilyy jatkuvia funktioita yhdistettässä. Lause 1.2.8. Olkoon n:n muuttujan funktio f jatkuva pisteessä x ja yhden muuttujan funktio g jatkuva pistessä f(x ). Silloin yhdistetty funktio g f on jatkuva pisteessä x.

8 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Todistus. Sovelletaan kahteen kertaan Lausetta 1.2.4. Esimerkki 1.2.9. Funktiot sin f, cos f ja exp f ovat jatkuvia, jos f on jatkuva. Funktio ln f on jatkuva niissä pisteissä joissa f on jatkuva ja positiivinen. Lause 1.2.1. (Weierstrassin lause) Jos A( R n ) on suljettu ja rajoitettu joukko ja f on jatkuva A:ssa, niin f saa suurimman (pienimmän) arvonsa jossakin A:n pisteessä. 1.3 Derivaatta ja differentioituvuus Osittaisderivaatta: Yhden muuttujan funktion derivaatan käsite voidaan yleistää R n :ään usealla eri tavallla. Kun erotusosamäärä muodostetaan yhden muuttujan suhteen pitämällä muita muuttujia vakioina päädytään osittaisderivaatan määritelmään. Funktiolla f on pisteessä x = (x 1,..., x n ) osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen, jos raja-arvo f(x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) lim h h on olemassa. Tätä raja-arvoa eli osittaisderivaattaa merkitään f x i, D i f, D xi f, f i, f xi, jne. Osittaisderivaatta voidaan laskea kuten yhden muuttujan tapauksessa pitämällä muita muuttujia vakioina. Esimerkki 1.3.1. Olkoon f(x, y) = xy 2. Tällöin f x = y2 ja f y = 2xy. Funktiolle voidaan muodostaa myös korkeamman kertaluvun osittaisderivaattoja. Esim. funktion (x, y) f(x, y) toisen kertaluvun derivaattoja voidaan muodostaa neljä kappaletta: ( ) ( ) f xx = f x x = 2 f f x 2 yy = f y y = 2 f ( ) ( ) y 2 f xy = f y x = 2 f x y f yx = f x y = 2 f y x. Näille käytetään myösmerkintöjä D 11 f = D 1 (D 1 f), D 22 f = D 2 (D 2 f), D 12 f = D 2 (D 1 f) ja D 21 f = D 1 (D 2 f). Esimerkki 1.3.2. Olkoon f(x, y) = e x+y2. Tällöin f x (x, y) = e x+y2 ; f y (x, y) = 2ye x+y2 ; f xy (x, y) = ( e x+y2) = 2ye x+y2 ; y f yx (x, y) = ( 2ye x+y2) = 2ye x+y2. x

1.3. Derivaatta ja differentioituvuus 9 Esimerkin tapauksessa f xy = f yx. Yleisesti tämä yhtäsuuruus ei päde, vaan derivointijärjestys saattaa olennaisesti vaikuttaa lopputulokseen. Seuraava lause antaa riittävän ehdon derivoimisjärjestyksen vaihtamiselle. Lause 1.3.3. Jos osittaisderivaatat f xy ja f yx ovat jatkuvia pisteen u = (x, y ) eräässä ympäristössä, niin f xy (u ) = f yx (u ). Lause 1.3.3 voidaan todistaa väliarvolauseen avulla. Sillä on ilmeinen vastineensa korkeamman kertaluvun sekaderivaatoille. R n :n polynomeilla on kaikkien kertulukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Samoin R n :n rationaalifunktioilla on määritellyjoukossaan kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat. Gradientti: Olkoon f : A R (A R n ) funktio, jolla on osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen pisteessä x A. Funktion f gradientti, merk. grad f(x) tai f(x), pisteessä x on vektori grad f(x) = f(x) := ( x 1 f(x), x 2 f(x),..., ) f(x). x n Gradientti määrittelee kuvauksen grad f = f : A R n (kun x i f(x) on olemassa x A ja i = 1,..., n). Symbolia kutsutaan nablaksi ja se määritellään muodollisesti lausekkeella = n e i D i, e i = (,...,, }{{} 1,,..., ), i i=1 missä e i, i = 1,..., n, on R n :n standardi kantavektori. Nablalla operointi muuttaa reaaliarvoisen funktion f eli ns. skalaarikentän vektoriarvoiseksi funktioksi eli vektorikentäksi f = grad f. Esimerkki 1.3.4. Olkoon f(x, y, z) = xy + 2xz y 2 + z 2 (polynomi). Lasketaan f:n gradientti pisteessä u = (1, 2, 1), f x (x, y, z) = y + 2x, f y (x, y, z) = x 2y ja f x (x, y, z) = 2x + 2z, joten f x (u ) =, f y (u ) = 5 ja f z (u ) = 4. Siten missä j = (, 1, ) = e 2 ja k = (,, 1) = e 3. grad f(u ) = (, 5, 4) = 5j + 4k, Differentioituvuus: Yhden muuttujan funktiolle derivoituvuus oli yhtäpitävää differentiaalikehitelmän olemassaolon kanssa: f(x + h) f(x ) = f (x )h + hϵ(h), lim ϵ(h) =. h Erityisesti funktion f lisäystä f(x ) pisteessä x voidaan approksimoida differentiaalilla f (x )h, joka on lisäyksen h suhteen lineaarinen funktio (f:n tangentti pisteessä x ). Differentiaalimerkinnöin: df = f (x)dx.

1 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Yleistämme differentiaalikehitelmän usean muuttujan funktioille. Tarkastellaan ensin kahden muuttujan funktiota f(x, y). Funktiolla f(x, y) on differentiaalikehitelmä pisteessä (x, y ), jos on olemassa reaaliluvut a ja b siten, että f(x + h 1, y + h 2 ) f(x, y ) = ah 1 + bh 2 + h ρ(h), missä ρ(h), kun h = h 2 1 + h2 2. Tällöin sanotaan, että f on differentioituva pisteessä (x, y ). Differentioituvan funktion lisäystä f voidaan määritelmän nojalla approksimoida kahden muuttujan h = (h 1, h 2 ) lineaarisella funktiolla ah 1 + bh 2 eli f:n differentiaalilla pisteen (x, y ) läheisyydessä. Lause 1.3.5. Jos f on differentioituva pisteessä (x, y ), niin f on jatkuva pisteessä (x, y ) ja sillä on pisteessä (x, y ) osittaisderivaatat, joille pätee: x f(x, y ) = a ja y f(x, y ) = b. Todistus. Jatkuvuus saadaan seuraavasta lausekkeesta: ( ) lim f(x + h) f(x ) lim a h + b h + ρ(h) h =. h }{{} h epäyhtälö Osittaisderivaatat: Valitsemalla differentiaalikehitelmässä h 2 = saadaan ( f(x + h 1, y ) f(x, y ) lim = lim a + h ) 1 ρ((h 1, )) = a. h 1 h 1 h 1 h 1 Siis f:n erotusosamäärällä x:n suhteen on raja-arvo pisteessä (x, y ), kun h 1 ; ts. x f(x, y ) = a. Vastaavasti todistetaan, että y f(x, y ) = b. Lauseen 1.3.5 nojalla f:n differentiaali pisteessä (x, y ) voidaan esittää muodossa df = f x (x, y )h 1 + f y (x, y )h 2. Edelleen käyttämällä gradienttia grad f = f saamme df = f h ja korvaamalla lisäys h = (h 1, h 2 ) differentiaaleilla dx ja dy voimme kirjoittaa df(x, y ) = f x (x, y )dx + f y (x, y )dy. Differentiaalikehitelmän geometriseksi tulkinnaksi saadaan: funktiota f voidaan approksimoida pisteen (x, y ) läheisyydessä f:n tässä pisteessä olevalla ns. tangenttitasolla. Siis f(x, y ) df(x, y ) = f x (x, y ) x + f y (x, y ) y. Pelkkä osittaisderivaattojen olemassaolo pisteessä (x, y ) ei takaa f:n differentioituvuutta pisteessä (x, y ). Sen sijaan, jos f:n osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä (x, y ), saadaan Lauseelle 1.3.5 seuraava käänteinen tulos.

1.3. Derivaatta ja differentioituvuus 11 Kuva 1.3: Tangenttitaso pisteessä (x, y ), jossa f on differentioituva. Lause 1.3.6. Jos f:llä on pisteen (x, y ) ympäristössä osittaisderivaatat, jotka ovat jatkuvia pisteessä (x, y ), niin f on differentioituva pisteessä (x, y ). Todistus. Väliarvolauseen avulla (yksityiskohdat sivuutetaan). Yleistetään differentiaalikehitelmä R n :n reaaliarvoisille funktioille. Funktio f(x), missä x = (x 1,..., x n ) R n, on differentioituva pisteessä x R n, jos sillä on x :ssa differentiaalikehitelmä: f(x + h) f(x ) = a h + h ρ(h), lim ρ(h) =, h missä a = (a 1,..., a n ) ja h = (h 1,..., h n ). Lauseet 1.3.5 ja 1.3.6 yleistyvät suoraan R n :ään. Erityisesti differentioituvuus takaa osittaisderivaattojen f f f x 1, x 2,..., x n ja siten myös f:n gradientin grad f = f olemassaolon pisteessä x ja lisäksi grad f(x ) = f(x ) = a: f(x + h) f(x ) = f(x ) h + h ρ(h), lim ρ(h) =. h Sisätulo f(x ) h on f:n differentiaali pisteessä x, merk. df(x ) = f(x ) h tai df = f dx eli df = f dx 1 + f dx 2 +... + f dx n. x 1 x 2 x n Differentioituvuuden sisältö on siinä, että funktiota f voidaan pisteen x läheisyydessä approksimoida lineaarisella funktiolla, jonka differentiaali f(x ) h määrää: f(x ) = f(x + x) f(x ) df(x ) = f(x ) x (tangenttitaso pisteessä x ).

12 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Tätä voidaan käyttää hyväksi virhearvioinnissa: Jos x = ( x 1, x 2,..., x n ) kuvaa muuttujien x 1, x 2,..., x n virhettä, niin funktioon f syntyvälle absoluuttiseille virheelle saadaan arvio ja suhteelliselle virheelle arvio f f x f f f f x. Esimerkki 1.3.7. Ympyrälieriön muotoisen säiliön säde on r =, 5 ±.1m ja korkeus 2, ±.1m. Lasketaan säiliön tilavuus ja tehdään virhearvio tilavuudelle. V = V (r, h) = πr 2 h = π(, 5) 2 2 1, 57m 3. V :n osittaisderivaatat ovat V r = 2πrh ja V h = πr 2. Absoluuttinen virhe on siten: ja suhteellinen virhe on: V V V 2πrh r + πr 2 h = π(, 2 +, 25), 7m 3 (= 7l) V r V r + V h 2πrh πr2 h = V πr 2 r + h πr 2 h = 2 r h r + h 1, 1 = 2, + =, 45 (eli 4, 5%). h.5 2 Suunnattu derivaatta: Osittaisderivaatat kuvaavat funktionmuutosta koordinaattiakselien suunnassa. Suunnattuun derivaattaan päädytään, kun erotusosamäärän raja-arvo muodostetaan missä tahansa suunnassa. Funktion f(x) suunnattu derivaatta a f(x ) pisteessä x R n suuntaan a = (a 1,..., a n ), a 2 = n i=1 a2 i = 1, määritellään raja-arvona: f(x + ha) f(x ) a f(x ) = lim, h h mikäli se on olemassa. Kun a on jonkin koordinaattiakselin suuntainen yksikkövektori, suunnattu derivaattaa yhtyy ko. osittaisderivaattaan. Esimerkki 1.3.8. Lasketaan funktion f(x, y) = x 2 y derivaatta suuntaan a = ( 4, 3) pisteessä x = (1, 2). Normeerataan a ensin yksikkövektoriksi: a 2 = ( 4) 2 +3 2 = 25 eli a = 5. Tällöin a = ( 4 5, 3 5 ) on yksikkövektori. Nyt ( f(x + ha ) f(x ) (1 4 5 a f(x ) = lim = lim h)2 (2 + 3 5 h) ) 12 2 h h h h ( = lim 13 h 5 + 8 25 h + 48 ) 125 h2 = 13 5. Lause 1.3.9. Jos funktio f on differentioituva pisteessä x, niin f:llä on suunnattu derivaatta a f(x ) mielivaltaiseen suuntaan a, a = 1, ja lisäksi a f(x ) = f(x ) a. Todistus. Kuten osittaisderivaattojen tapauksessa (vrt. Lause 1.3.5).

1.3. Derivaatta ja differentioituvuus 13 Esimerkki 1.3.1. Lasketaan Esimerkin 1.3.8 suunnattu derivaatta Lauseen 1.3.9 avulla. Nyt f f x = 2xy ja y = x2 ovat jatkuvia. f(x ) = (2 1 2, 1 2 ) = (4, 1) ja siten (f differentioituva) a f(x ) = (4, 1) ( 4 5, 3 5 ) = 16 5 + 3 5 = 13 5. Huomaa, että f:n differentioituvuus, joka vaaditaan Lauseessa 1.3.9 seuraa osittaisderivaattojen jatkuvuudesta pisteessä x, vrt. Lause 1.3.6. Useissa sovelluksissa (esim. funktion maksimin ja minimin löytäminen numeerisilla optimointimenetelmillä) on tärkeää löytää suunta, jossa funktio kasvaa voimakkaimmin. Soveltamalla sisätulon lauseketta a b = a b cos (a, b) Lauseessa 1.3.9 olevaan suunnatun derivaatan kaavaan saadaan a f(x ) = f(x ) a cos α = f(x ) cos α, missä α on gradienttivektorin ja vektorin a vähinen kulma. Koska cos α 1 ja cos α = 1, kun α = ja cos α =, kun α = π/2, sekä cos α = 1, kun α = π, saamme seuraavan tuloksen. Lause 1.3.11. Pisteessä x differentioituvan funktion suunnattu derivaatta a f(x ) saavuttaa suurimman arvonsa f(x ), kun a on gradienttivektorin f(x ) suuntainen ja pienimmän arvonsa f(x ), kun a on f(x ):n suunnalle vastakkainen. Jos a f(x ) (eli α = π/2), niin a f(x ) =. Yhdistetyn funktion derivointi: Tarkastellaan yhdistetyn kuvauksen derivointisäännön D(f g)(x) = f (g(x))g (x) yleistämistä usean muuttujan funktioille. Olkoot g : A R n (A R m ) ja f : R n R. Tällöin f g : A R. Oletetaan, että f ja g ja että myös niiden (komponenttien) osittaisderivaatat ovat jatkuvia, jolloin f ja g ja siten ilmeisesti myös f g ovat differentioituvia. Jos m = 1 (A R), f g : R R ja f(y):n differentiaalina on f = f y 1 y 1 + f y 2 y 2 +... + f y n y n. Toisaalta y = (y 1,..., y n ) = g(x) = (g 1 (x),..., g n (x)), joten y j (x) = g j (x) eli y j = g j (x) x, j = 1,... n. Saadaan f x = f g y 1(x) + f g 1 y 2(x) +... + f g 2 y n(x) n eli f (x) = n (D j f(g(x)))g j(x) = j=1 n (D j f(g(x)))dg j (x). Kun m > 1 ja x = (x 1,..., x m ) R m, niin (f g)(x):n osittaisderivaatta D i ((f g)(x)) (i = 1,..., m) saadaan pitämällä muita x-muuttujia x k, k i, vakioina: j=1 Lause 1.3.12. Ketjusääntö differentioituville kuvauksille on D i (f g)(x) = n (D j f(g(x)))d i g j (x), i = 1,..., m. j=1

14 Luku 1. Usean muuttujan funktiot Esimerkki 1.3.13. Olkoon f(x, y, z) = x 2 y 4yz z 2, x = sin t, y = cos t ja z = 2t. Lasketaan (f g), missä g(t) = (x, y, z). Ketjusääntö antaa: t eli f x ((f g)(t)) = t x t + f y y t + f z z t D((f g)(t)) = (2x(t)y(t))(cos t) + (x(t) 2 4z(t))( sin t) + ( 4y(t) 2z(t)) 2 = 2 sin t cos 2 t sin 2 t + 8t sin t 8 cos t 8t. 1.4 Funktion ääriarvoista Lokaalit ääriarvot määritellään kuten yhden muuttujan tapauksessa korvaamalla väli (x δ, x + δ) pisteen x R n palloympäristöllä. Lause 1.4.1. Olkoon f:llä 1. kertaluvun osittaisderivaatat pisteessä u R n. Jos f:llä on ääriarvo pisteessä u, niin f x i (u ) = kaikilla i = 1,..., n, ts. f(u ) =. Todistus. Olkoon u = (u 1,..., u i,..., u n ) ja määritellää yhden muuttujan funktiot ϕ i (x) = f(u 1,..., x,..., u n ), i = 1,..., n. Jos u on f:n ääriarvopiste, niin se on myös ϕ i (x):n ääriarvopiste. Nyt ϕ i on derivoituva pisteessä x = u i, joten välttämättä = ϕ i (u i) = D i f(u ). Esimerkki 1.4.2. Olkoon f : R 2 R; f(x, y) = (1 + y 2 )x 2 + (2x + 1)y 2 + 1. Ääriarvot: f:llä on osittaisderivaatat koko R 2 :ssä: f x (x, y) = 2(x + xy 2 + y 2 ) ja f y (x, y) = 2y(x 2 + 2x + 1). Suora lasku antaa { fx (x, y) = ; f y (x, y) = ; { x = ; y =. Siis (, ) on ainoa mahdollinen f:n ääriarvopiste. Itse asiassa selvästi f(x, y) 1 ja f(, ) = 1. Eli f:llä on globaali minimi origossa. Tarkastellaan nyt kahden muuttujan funktioita f(x, y). Otetaan käyttöön 2. kertaluvun osittaisderivaattoihin liittyvän 2 2-matriisin determinantti: ( ) fxx (x, y) f D = D f (x, y) = det xy (x, y) = f f yx (x, y) f yy (x, y) xx (x, y)f yy (x, y) f xy (x, y)f yx (x, y). Lause 1.4.3. Olkoot f(x, y):n 1. ja 2. kertaluvun osittaisderivaatat jatkuvia pisteen (x, y ) jossakin ϵ-ympäristössä ja oletetaan, että f x (x, y ) = = f y (x, y ). Tällöin: (i) jos D (= f xx (x, y)f yy (x, y) f xy (x, y)f yx (x, y)) >, niin f:llä on lokaali ääriarvo pisteessä (x, y ). Jos lisäksi f xx (x, y ) <, niin (x, y ) on lokaali maksimipiste ja vastaavasti jos f xx (x, y ) >, niin (x, y ) on f:n lokaali minimipiste; (ii) jos D <, niin f:llä ei ole ääriarvoa pisteessä (x, y ).

1.4. Funktion ääriarvoista 15 (x,y ) Kuva 1.4: Satulapiste. Huom.: a) Tapauksessa D = Lause 1.4.3 ei anna mitään informaatiota: piste (x, y ) voi olla f:n minimi- tai maksimipiste, tai ei kumpaakaan. b) Tapauksessa D < piste (x, y ) on f:n ns. satulapiste ; katso Kuva 1.4. Esimerkki 1.4.4. Olkoon f : R 2 R; f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy. Ääriarvot? f x (x, y) = 3x 2 + 3y ja f y (x, y) = 3y 2 + 3x. Nyt { fx (x, y) = ; f y (x, y) = ; Koska, { x = ; y = ; tai { x = 1; y = 1. f xx (x, y) = 6x, f xy (x, y) = 3 = f yx (x, y) ja f y y(x, y) = 6y. nyt D f (, ) = 3 2 = 9 < pisteessä (, ) ei ääriarvoa. Toisaalta D f ( 1, 1) = ( 6)( 6) 3 2 = 27 > ja lisäksi f xx ( 1, 1) = 6 <, joten f:llä on lokaali maksimi pisteessä ( 1, 1): f( 1, 1) = 1. Globaalit ääriarvot: Lauseen 1.3.3 mukaan, jos f on jatkuva funktio, joka on määritelty suljetussa ja rajoitetussa osajoukossa A R n, niin f saa suurimman ja pienimmän arvonsa jossakin A:n pisteessä. Jos f x ja f y ovat olemassa kaikissa A:n sisäpisteissä, niin suurin ja pienin arvo saavutetaan joko (a) A:n sellaisessa sisäpisteessä, jossa f x = = f y tai (b) jossakin joukon A reunapisteessä.

16 Luku 1. Usean muuttujan funktiot

17 Luku 2: Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa 2.1 Käyräintegraali Käyräintegraali antaa erään yleistyksen määrätylle integraalille b a f(x)dx, kun integroitavana on usean muuttujan funktio. Käyräintegraalissa x-akselin väli [a, b] korvataan käyrällä, jota pitkin integrointi suoritetaan. Tarkastellaan ensin tapausta R 2. Olkoon C R 2 :n käyrä, joka on suljetun R 1 :n välin [a, b] kuva jatkuvassa kuvauksessa r : [a, b] R 2. Oletamme, että r on injektio, ts. C ei leikkaa itseään; tällöin C:tä kutsutaan kaareksi. r = r(t) y r(t) a t 1 t 2 t n 1 b t r(a) r(t 1 ) r(t 2 ) r(t n 1 ) x Kuva 2.1: Kaari R 2 :ssa. Piste r(a) on C:n alkupiste ja r(b) C:n loppupiste. Olkoon nyt f = (f 1, f 2 ) : C R 2, missä f 1 ja f 2 ovat rajoitettuja reaalifunktioita. Muodostetaan C:n jako D osakaariin C k C:n jakopisteillä r(t k ), missä t = a < t 1 < t 2 <... < t n = b. Valitaan jokaiselta osakaarelta C k mielivaltainen piste z k ja muodostetaan summa Z D := n k=1 f(z k ) (r(t k ) r(t k 1 )). } {{ } r k Jos Z D :llä on raja-arvo, kun jaon D normi D := max k r k, joka ei muuten riipu jaosta D eikä pisteiden Z k valinnasta, kutsutaan ko. raja-arvoa funktion f käyräintegraaliksi pitkin kaarta C ja merkitään n f(t) dr := lim f(z k ) r k. C D k=1

18 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Käyräintegraalille saadaan koordinaattiesitys, kun C esitetään parametrimuodossa r(t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j: C f(t) dr = lim D t k=1 n [f 1 (r(η k )) x k + f 2 (r(η k )) y k ], missä r(η k ) = z k, x k = x(t k ) x(t k 1 ) ja y k = y(t k ) y(t k 1 ). Tällöin f:n käyräintegraali yli C:n voidaan kirjoittaa muodossa f(r) dr = (f 1 dx + f 2 dy). C C Käyrä C oletetaan yleensä säännölliseksi kaareksi, ts. oletetaan, että r(t) tai yhtäpitävästi x(t) ja y(t) ovat jatkuvasti derivoituvia t:n suhteen (ja että r (t) kaikilla t [a, b]). Lause 2.1.1. Olkoon C säännöllinen kaari R 2 :ssa parametriesityksenään r(t), t [a, b], ja olkoon f : C R 2 jatkuva. Tällöin f(t) dr on integroituva yli kaaren C ja C f(r) dr = b Todistus. Perustuu väliarvolauseeseen. a f(r(t)) r (t)dt = b a [ f1 (r(t))x (t) + f 2 (r(t))y (t) ] dt. Esimerkki 2.1.2. Olkoon C R 2 :n pisteestä (2, 4) pisteeseen (, ) kulkeva paraabelin kaari y = x 2 ja olkoon f(x, y) = (x + 1)i + xyj. Lasketaan f:n käyräintegraali yli C:n. C:n parametriesitys on x = t, y = t 2, jolloin r(t) = ti+t 2 j. Selvästi r on jatkuvasti derivoituva ja r (t) = i + 2tj. Koska r() = (, ) ja r(2) = (2, 4), antaa t = 2 alkupisteen ja t = loppupisteen. Lauseen 2.1.1 nojalla saadaan [ f(r) dr = (t + 1) 1 + (t t 2 ) (2t) ] ( 2 dt = (2t 4 +t+1)dt = 2 5 t5 + 1 ) 2 t2 + t = 84 5. C 2 Kuten esimerkki osoittaa käyräintegraalia laskettaessa etenemissuunta on olennainen; jos kulkusuunta vaihdetaan käänteiseksi (loppupiste alkupiste), käyräintegraalin arvo muuttaa merkkiään. Lauseesta 2.1.1 saadaan myös seuraavat käyräintegraalin ominaisuudet: a) C (af + bg) dr = a C f dr + b C g r, missä a, b R; b) C f dr = C 1 f dr + C 2 f dr, kun kaari C 1 on käyrän C alkuosa ja C 2 sen loppuosa. Ominaisuutta b) voidaan käyttää apuna, kun halutaan laskea käyräintegraali yli paloittain säännöllisen käyrän C: Jaetaan C peräkkäisiin osakaariin C 1,..., C p, jotka ovat säännöllisiä ja lasketaan C i f dr, i = 1,..., p, käyttämällä Lausetta 2.1.1, jolloin C f dr = p i=1 C i f dr kohdan b) nojalla. Käyräintegraali voidaan ilmeisin muutoksin yleistää R n :ään. Lauseen 2.1.1 vastine säännölliselle kaarelle C R n :ssä ja jatkuvalle funktiolle f = (f 1,..., f n ) : C R n on C f dr = b a 2 f(r(t)) r (t)dt = n k=1 b a f k (r(t))x k (t)dt,

2.1. Käyräintegraali 19 missä r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) on jatkuvasti derivoituva (ja r (t) kaikilla t [a, b]). Käyräintegraalille voidaan antaa fysikaalinen tulkinta: Jos f on voima, joka vaikuttaa kappaleeseen sen kulkiessa pitkin käyrää C, niin voiman suorittama työ käyrällä C on W = f dr. C Integrointi kaarenpituuden suhteen: Olkoon C säännöllinen kaari r(t), t [a, b], tasossa (tai yleisemmin R n :ssä) parametriesityksenä r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin osaväliä [a, t ], a < t b, vastaavan C:n osakaaren pituus S saadaan integraalina S = t a t x (t) 2 + y (t) 2 dt = r (t) dt, missä r (t) = (x (t), y (t)) ja r (t) = x (t) 2 + y (t) 2 (vrt. Mat. men. I). Tällöin S = S(t) on t:n suhteen kasvava funktio ja S(b) = L on kaaren C pituus. Lisäksi S (t) = r (t). Funktion f : C R integraalilla kaarenpituuden suhteen pitkin kaarta C tarkoitetaan integraalia b b fds = f(r(t)) r (t) dt = f(x(t), y(t)) x C a } {{ } (t) 2 + y (t) 2 dt. a =ds Jos C R n ja r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), kaava saa muodon C fds = b a f(x 1 (t),..., x n (t)) (x 1 (t))2 +... + (x n(t)) 2 dt. Vastaavasti vektoriarvoisen funktion f = (f 1,..., f m ) : C R m integraali kaarenpituuden suhteen pitkin kaarta C määritellään komponenttien f i : C R, i = 1,..., m, avulla: ( ) fds := f 1 ds,..., f m ds. C C C Esimerkki 2.1.3. Lasketaan C (2+x2 y)ds, kun C on R 2 :n yksikköympyrän x 2 +y 2 = 1 ylempää puoliskoa vastaava kaari (suunnistettuna vastapäivään): y a C t 1 1 x Kuva 2.2: Integrointi puoliympyrän kehän yli.

2 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Parametriesitys: x = cos t, y = sin t, t [, π]. Siten C (2 + x 2 y)ds = π (2 + cos 2 t sin t) ( sin t) 2 + (cos t) 2 dt = π } {{ } = 2π 1 3 ( 1)3 =1 ( 1 ) = 2π + 2 3 3. ( 2t 1 ) 3 cos3 t Integraalia kaarenpituuden suhteen voidaan käyttää esim. kaaren painonpisteen määrittämiseksi. Jos C on R n :n kaari r(t), t [a, b], jolla on pisteessä r(t) tiheys ρ(r(t)), niin C:n painopiste on C r = rρ(r)ds C ρ(r)ds. 2.2 Tasointegraali Olkoon T = {(x, y) R 2 : a x b, c y d} R 2 suljettu suorakulmio tasossa ja olkoon f : T R rajoitettu funktio. Määritellään f:n integraali yli suorakulmion T. Kuva 2.3: Funktion f integraali yli suorakulmion T. Integraalin muodostamiseksi jaetaan integrointialue T osasuorakulmioihin T ij välien [a, b] ja [c, d] jaoilla a = x < x 1 <... < x m = b ja c = y < y 1 <... < y n = d. Ko. jakojen avulla määritellään T ij seuraavasti: T ij = {(x, y) R 2 : x i 1 x x i, y j 1 y y j }, i = 1,..., m, j = 1,..., n.

2.2. Tasointegraali 21 Olkoon T ij :n ala A ij = x i y j. Valitaan kustakin osasuorakulmiosta mielivaltainen piste (s i, t i ) T ij ja muodostetaan T :n jakoa D vastaava summa S D = m n f(s i, t j ) A ij, i=1 j=1 joka approksimoi suorakulmion T ja f:n määräämän pinnan rajoittaman kappaleen tilavuutta. Jos S D :llä on raja-arvo, kun jako D tihenee rajatta (d(a ij ) ) sanotaan funktiota f integroituvaksi suorakulmiossa T ja ko. raja-arvoa f:n tasointegraaliksi yli suorakulmion T ; merk. f = f(x, y) dxdy. T T Jos f(x, y), antaa tämä kaksoisintegraali T :n ja f:n rajoittaman kappaleen tilavuuden. Tasointegraali on Riemannin integraalin vastine kahden muuttujan funktioille. Kuten yhden muuttujan tapauksessa pätee: Lause 2.2.1. Jos f : T R on jatkuva, niin f on integroituva yli T :n. Tasointegraali voidaan helposti yleistää R 2 :n rajoitetuille joukoille A ja funktiolle f : A R. Tätä varten määritellään joukon A karakteristinen funktio 1 A : { 1, jos (x, y) A; 1 A (x, y) =, jos (x, y) / A. Merk. lisäksi f A = 1 A f, jolloin f A voidaan tulkita koko R 2 :ssa määritellyksi rajoitetuksi funktioksi: { f(x, y), jos (x, y) A; f A (x, y) =, jos (x, y) / A. Valitsemalla nyt suorakulmio T A saadaan f:n (taso)integraali määriteltyä yli joukon A kaavalla f = f A = f A (x, y) dxdy edellyttäen, että ko. integraali on olemassa. Tasointegraalilla on seuraavat ominaisuudet: a) A (af + bg) = a A f + b A g, missä a, b R; A b) jos joukot A 1 ja A 2 ovat pistevieraita eli A 1 A 2 =, niin f = A 1 A 2 f + A 1 f. A 2 Huom. Joukon A R 2 pinta-ala saadaan tasointegraalina: A:n pinta-ala = 1 A = dxdy. T A T A

22 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa y y = h(x) A y = g(x) a x b x Kuva 2.4: Integrointialue Lauseessa 2.2.2. Lause 2.2.2. Olkoon A = {(x, y) R 2 : a x b, g(x) y h(x)}, missä g, h : [a, b] R ovat jatkuvia. Tällöin jatkuvan funktion f : A R integraali yli A:n on olemassa ja ( b ) h(x) f = f(x, y) dy dx. A a g(x) Perustelu: A(x) = h(x) g(x) f(x, y) dy on poikkileikkauksen pinta-ala pisteessä x. Joten kappaleen tilavuus on : b ( b ) h(x) A(x) dx = f(x, y) dy dx. a a g(x) Kuva 2.5: Lauseen 2.2.2 integraalin geometrinen havainnollistus.

2.2. Tasointegraali 23 Esimerkki 2.2.3. T = {(x, y) R 2 : 2 x 4, 1 y 2}. T (x 2 + y 2 ) dxdy = 4 2 ( 2 ) (x 2 + y 2 ) dy dx = 1 = 4 1 2 3 x3 + 7 3 x = 231 3. Esimerkki 2.2.4. A = {(x, y) R 2 : x 1, x 2 y x}. 4 2 ( 21x 2 y + 13 y3 ) dx = 4 2 ( x 2 + 7 ) dx 3 A y 2 dxdy = 1 = 1 3 1 ( ) x y 2 dy dx = x 2 ( 2 5 x5/2 1 ) 7 x7 = 1 3 1 ( ( 2 5 1 7 x 1 x 2 3 y3 ) ) dx = 1 3 = 3 35. 1 (x 3/2 x 6 ) dx y y = x 2 y = x 1 1 x Kuva 2.6: Esimerkin 2.2.4 integrointialue. Huom.: Lauseessa 2.2.2 muuttujien x ja y roolit voidaan vaihtaa: A = {(x, y) R 2 : c y d, p(y) x q(y)}. Huomaa, että tällöin myös integrointijärjestys muuttujien x ja y suhteen vaihtuu: A f(x, y)dxdy = d c ( ) q(y) f(x, y)dx dy. Pintaintegraali tasossa voidaan yleistää samalla tavalla kuin määrätty integraali yleistettiin reaaliakselin väliltä käyräintegraaliksi. Tällöin tasoalue A korvataan 2-parametrisella pinnallla ja integrointi suoritetaan yli tälläisen pinnan. Asiaan palataan seuraavassa luvussa. p(y)

24 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa 2.3 Avaruusintegraali Tasointegraali voidaan helposti yleistää avaruusintegraaliksi. Korvataan R 2 :n suorakulmio T suorakulmaisella särmiöllä R 3 :ssa: T = {(x, y, z) R 3 : a 1 x a 2, b 1 y b 2, c 1 z c 2 } ja määritellään funktion f : T R, joka on rajoitettu, (Riemann-)integroituvuus yli T :n käyttämällä T :n jakoon D liittyvän summan S D = m n q f(s i, t j, u k ) x i y j z k i=1 j=1 k=1 raja-arvon olemassaoloa, kun jako D tihenee rajatta eli D. Jos ko. raja-arvo on olemassa, sitä sanotaan f:n avaruusintegraaliksi yli särmiön T, merk. f = f(x, y, z) dxdydz. T T Jos f on jatkuva kuvaus T R, niin ko. integraali (raja-arvo) on olemassa. Avaruusintegraali suorakulmaista särmiötä yleisemmän R 3 :n kappaleen V yli määritellään ottamalla jälleen käyttöön f:n nollajatko (nyt R 3 :ssa): { f(x, y, z), jos (x, y, z) V ; f V (x, y, z) =, jos (x, y, z) / V. Valitaan suorakulmainen särmiö T V ja asetetaan f = f V = f V (x, y, z) dxdydz. V T Avaruusintegraalilla on vastaavat ominaisuudet kuin tasointegraalilla. Erityisesti V :n tilavuus saadaan kolmoisintegraalina V 1 V = V dxdydz (tässä 1 V on V :n karakteristinen funktio). Esimerkki 2.3.1. Kappaleen V R 3, jonka massatiheys pisteessä (x, y, z) V on ρ(x, y, z), paino saadaan integraalina m V = ρ(x, y, z) dxdydz ja painopiste r = (x, y, z ) kaavalla r = 1 m V V V T rρ(r) dxdydz, missä r = (x, y, z) on vektoriarvoinen funktio, jonka avaruusintegraalit lasketaan komponenteittain. Lause 2.2.2 voidaan yleistää avaruusintegraaleille esim. seuraavasti: Olkoon V = {(x, y, z) R 3 : a 1 x a 2, b 1 (x) y b 2 (x), c 1 (x, y) z c 2 (x, y)},

2.4. Muuttujien vaihto integraalissa 25 missä b 1 (x), b 2 (x), c 1 (x, y) ja c 2 (x, y) ovat jatkuvia funktioita. Tällöin jatkuvan funktion f : V R avaruusintegraali on [ a2 ( b2 (x) ) ] c2 (x,y) f = f(x, y, z)dz dy dx. V a 1 b 1 (x) c 1 (x,y) Esimerkki 2.3.2. V = {(x, y, z) R 3 : x 1, y x, z xy} ja f(x, y, z) = 8xyz. Lasketaan V f yllä annetun säännön nojalla seuraavasti: V f = = 1 1 [ x ( xy [ x ] 4x 3 y 3 dy dx = ) ] 8xyz dz dy dx = 1 1 [ x ] ( xy 4xyz2) dy dx [ x x 3 y 4] 1 dx = x 7 dx = 1 8. 2.4 Muuttujien vaihto integraalissa Kuten yhden muuttujan tapauksessa hankalat integraalit voidaan usein palauttaa yksinkertaisemmiksi sijoituskeinolla eli muuttujan vaihdolla. Usean muuttujan funktioiden tapauksessa muuttujan vaihto vaatii ns. Jacobin (funktionaali-)determinantin käyttöönottoa. Tarkastellaan kolmen muuttujan funktion f(x, y, z) tapausta. Otetaan käyttöön uudet muuttujat (u, v, t): x = x(u, v, t), y = y(u, v, t) ja z = z(u, v, t). Nämä oletetaan yleensä kerran/kaksi kertaa jatkuvasti derivoituviksi funktioiksi ja edelleen, että (u, v, t, ) (x, y, z) on bijektio. Vastaava Jacobin determinantti on (x, y, z) (u, v, z = Tehdyistä oletuksista seuraa, että (x,y,z) (u,v,t). x u y u z u Lause 2.4.1. Muuttujanvaihdossa (x, y, z) (u, v, t) jatkuvan funktion f : V R integraali yli V :n saadaan kaavalla f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, t) (x, y, z) (u, v, z dudvdt, V S missä f(u, v, t) = f(x(u, v, t), y(u, v, t), z(u, v, t)) ja S on V :n kuvajoukko muunnoksessa (x, y, z) (u, v, t). Vastaava tulos pätee myös R n :ssä. Esimerkki 2.4.2. Napakoordinaatit R 2 :ssa: x = r cos ϕ ja y = r sin ϕ. Tällöin (x, y) (r, ϕ) = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r cos2 ϕ + r sin 2 ϕ = r. x v y v z v x t y t z t.

26 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Jos nyt alue A R 2 esitetään (x, y)-koordinaattien asemasta napakoordinaateissa ja f : A R on jatkuva, niin f(x, y) dxdy }{{} = f(r cos ϕ, r sin ϕ) r drdϕ, A Ã r missä Ã on alue A ilmaistuna napakoordinaateissa. Jos A on esimerkiksi napakoordinaattien avulla määritellyn käyrän C = {r(ϕ) : ϕ π} ja säteiden ϕ 1 ja ϕ 2 rajaama alue, niin sen pinta-ala on: A 1 = ϕ2 r(ϕ) ϕ 1 1 r drdϕ = ϕ2 ϕ 1 ( r(ϕ) 1 2 r2 ) dϕ = 1 2 ϕ2 ϕ 1 r 2 (ϕ) dϕ. φ = φ 2 C A φ = φ 1 Kuva 2.7: Napakoordinaateissa olevan käyrän ja kahden kulman väliin jäävän alueen pinta-ala. Esimerkki 2.4.3. Pallokoordinaatit R 3 :ssa (vrt. sivu 5 ja Kuva 1.2): Nyt (x, y, z) (r, θ, ϕ) = = cos θ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ x = r sin θ cos ϕ, r ; y = r sin θ sin ϕ, θ π; z = r cos θ, ϕ < 2π. r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ ( r sin θ) sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ = cos θ r 2 (cos θ sin θ cos 2 ϕ + cos θ sin θ sin 2 ϕ) + r 2 sin θ(sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ) = r 2 [cos 2 θ sin θ + sin θ sin 2 Θ] = r 2 sin θ. Huomaa, että r 2 sin θ, koska θ π.

2.4. Muuttujien vaihto integraalissa 27 Esimerkki 2.4.4. Lasketaan I := B r () (x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz. Siirrytään pallokoordinaatteihin: I = r 2 (x, y, z) B r () (r, θ, ϕ) drdθdϕ = r 2 r 2 sin θ drdθdϕ B r () 2π [ π ( r ) ] 2π [ π ] = r 4 1 sin θ dr dθ dϕ = 5 r5 sin θ dθ dϕ = r5 5 2π [ π cos θ] dϕ = r5 5 2π 2 dϕ = 4 5 πr5.

28 Luku 2. Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

29 Luku 3: Vektorianalyysiä 3.1 Vektoritulo eli ristitulo Vektoreiden a ja b vektoritulo eli ristitulo määritellään seuraavasti: a b := a b sin (a, b)e, missä e on yksikkövektori ( e = 1), joka on kohtisuorassa a:n ja b:n määräämää tasoa vastaan R 3 :ssa niin, että kolmikko (a, b, c) muodostaa ns. oikeakätisen järjestelmän: kun oikean käden peukalo osoittaa a:n suuntaan ja etusormi b:n suuntaan, niin keskisormi osoittaa e:n eli a b:n suuntaan. a b b (a,b) a Kuva 3.1: Oikeakätinen järjestelmä. Jos a b, niin a b =. Samoin a = = b. Huom.: a b = a b sin (a, b) ( ), sillä (a, b) 18. Vektorin a b pituus voidaan siten geometrisesti tulkita vektoreiden a ja b määräämän suunnikkaan pinta-alana. Lause 3.1.1. Olkoot a, b, c vektoreita ja p, q R. Tällöin (i) a b = b a (antikommutatiivisuus); (ii) (pa) (qb) = (pq)(a b) (skalaarin siirto); (iii) a (b + c) = a b + a c (osittelulaki); (iv) (a + b) c = a c + b c (osittelulaki).

3 Luku 3. Vektorianalyysiä Todistus. Suora lasku määritelmään nojautuen. R 3 :n kantavektoreille saadaan: i i = j j = k k = ; i j = k, j k = i, k i = j; j i = k, k j = i, i k = j. Yhdistämällä tämä Lauseeseen 3.1.1 saadaan vektoreiden vektoritulolle a b seuraava koordinaattiesitys: a = a x i + a y j + a z k ja b = b x i + b y j + b z k a b = (a x b x )i i + (a x b y )i j + (a x b z )i k + (a y b x )j i + (a y b y )j j + (a y b z )j k + (a z b x )k i + (a z b y )k j + (a z b z )k k = (a y b z a z b y )i + (a z b x a x b z )j + (a x b y a y b x )k = a y a z b y b z i a x a z b x b z j + a x a y b x b y k i j k = a x a y a z b x b y b z. Siis a b saadaan muodollisesti yo. 3-rivisenä determinanttina. Esimerkki 3.1.2. a = i j + 2k ja b = i j + 3k. i j k a b = 1 1 2 1 1 3 = ( 1 3 2 ( 1))i (1 3 2 ( 1))j + (1 ( 1) ( 1)2 )k = i 5j 2k. a b = ( 1) 2 + ( 5) 2 + ( 2) 2 = 3 (suunnikkaan pinta-ala). 3.2 Skalaarikolmitulo Kolmen vektorin ns. skalaarikolmitulo a (b c) voidaan laskea 3-rivisenä determinanttina: a x a y a z a (b c) = b x b y b z c x c y c z. Lause 3.2.1. Skalaarikolmitulolle pätee mm. (i) a (b c) = b (c a) = c (a b) = a (c b) = b (a c) = c (b a); (ii) a (b c) = (b c) a;

3.3. Divergenssi ja roottori 31 (iii) a (b c) = (a b) c. Todistus. (i) saadaan determinantin kehityssäännöistä, (ii) seuraa vektoreiden sisätulon vaihdannaisuudesta ja (iii) saadaan yhdistämällä (i) ja (ii). Huom.: a (a b) = = b (a b). Myös skalaarikolmitulolle saadaan geometrinen tulkinta: b c on b:n ja c:n määräämän suunnikkaan ala. Särmiön tilavuus on korkeus pohjan ala = h A: missä ϕ = (a, b c). cos ϕ a b c = a (b c), Kuva 3.2: Skalaarikolmitulon geometrinen tulkinta. Voimme myös muodostaa kolmen vektorin ristitulon, ns. vektorikolmitulon a (b c) tai (a b) c. Nyt sulkuja ei voida jättää pois, sillä vektoritulo ei ole liitännäinen (vrt. Lause 3.1.1 (i)): Lause 3.2.2. (i) a (b c) = (a c)b (a b)c; (ii) (a b) c = (a c)b (b c)a; Todistus. Todetaan suoralla laskulla. 3.3 Divergenssi ja roottori Usean muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskennassa käytetään f:n gradientin grad f = f ( = nabla = D x i + D y j + D x k) ohella usein divergenssiä ja roottoria (eli curlia). Olkoon f : A R 3, missä A R 3, differentioituva ja merk. f = (f 1, f 2, f 3 ) (f 1, f 2 ja f 3 reaaliarvoisia). Tällöin funktion f divergenssi on reaaliarvoinen kuvaus A R, joka määritellään seuraavasti: div f = f = D x f 1 + D y f 2 + D z f 3.

32 Luku 3. Vektorianalyysiä Vastaavasti f:n roottori (eli curli) on vektoriarvoinen kuvaus A R 3, joka määr. seuraavasti: rot f = f = i j k D x D y D z f 1 f 2 f 3 Esimerkki 3.3.1. f(x, y, z) = xy 2 i + 2y 2 zj 2xk. = (D yf 3 D z f 2 )i + (D z f 1 D x f 3 )j + (D x f 2 D y f 1 )k. div f = f = D x (xy 2 ) + D y (2y 2 z) + D z ( 2x) = y 2 + 4yz; rot f = f i j k = D x D y D z xy 2 2y 2 z 2x = [D y ( 2x) D z (2y 2 z)]i + [D z (xy 2 ) D x ( 2x)]j + [D x (2y 2 z) D y (xy 2 )]k = 2y 2 i + 2j + 2xyk. Lause 3.3.2. Olkoot f, h : A R 3 ja u : A R, A R 3, differentioituvia sekä a, b R vakioita. Tällöin (i) (ag + bh) = a g + b h; (ii) (ag + bh) = a g + b h; (iii) (ug) = u g + u g; (iv) (ug) = u g + u g; (v) (g h) = h ( g) = g ( h); (vi) (g h) = (h )g h( g) (g )h + g( h); (vii) (g h) = (h )g + (g )h + h ( g) + g ( h). Todistus. Kaavat voidaan johtaa suoralla laskulla käyttämällä komponenttiesityksiä g = (g 1, g 2, g 3 ) ja h = (h 1, h 2, h 3 ) sekä annettuja määritelmiä. Lause 3.3.3. Olkoot g : A R 3 ja f : A R, A R 3, kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita. Tällöin (i) ( f) = ; (ii) ( g) = ; (iii) ( g) = ( g) 2 g, missä 2 g = ( )g = (D 2 x + D 2 y + D 2 z)g.

3.4. Potentiaali 33 Todistus. Osoitetaan esim. kohta (i): ( f) = (D y D z f D z D y f)i + (D z D x f D x D z f)j + (D x D y D y D x f)k =, koska 2. kertaluvun derivaatat ovat jatkuvia, jolloin derivointijärjestys voidaan Lauseen 1.3.3 nojalla vaihtaa. Huom.: Symbolia 2 = kutsutaan Laplacen operaattoriksi. Yhtälöä 2 f = sanotaan Laplacen yhtälöksi, joka on siis osittaisdifferentiaaliyhtälö. Esimerkki 3.3.4. Olkoon f(x, y, z) = xyi + yzj + zx 2 k. Lasketaan ( f): joten Lause 3.3.3 (iii):n nojalla f(x, y, z) = y + z + x 2 ( f) = (2x, 1, 1); 2 f(x, y, z) = (D 2 x + D 2 y + D 2 z)f = (,, 2z), ( f(x, y, z)) = (2x, 1, 1 2z). 3.4 Potentiaali Potentiaali on integraalifunktion vastine usean muuttujan funktioille. Olkoon A R n ja u : A R n vektorifunktio eli vektorikenttä. Jos on olemassa reaaliarvoinen kuvaus f : A R eli skalaarikenttä, jolle f = u sanotaan, että f on u:n (skalaari)potentiaali, ts. u on f:n gradientti. Jos u:lla on potentiaali, se on vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätty. Esimerkki 3.4.1. Vektorikenttä F = c r 3 r, missä c on vakio, kuvaa kappaleiden välistä gravitaatiovetovoimaa etäisyydellä r = x 2 + y 2 + z 2. Helposti todetaan, että F = ( c joten funktio F (x, y, z) = c r = c x 2 +y 2 +z 2 toteuttaa Laplacen yhtälön 2 f =, ts. r ), on F :n potentiaali. Mainittakoon, että potentiaali f (D 2 x + D 2 y + D 2 z)f =. Potentiaalin yhteys käyräintegraaliin on samankaltainen kuin integraalifunktion yhteys määrättyyn integraaliin. Oletamme jatkossa, että A on alue R n :ssä, ts. A on avoin ja yhtenäinen joukko, jolloin mielivaltaiset kaksi A:n pistettä voidaan yhdistää joukkoon A kuuluvalla kaarella. Lause 3.4.2. Olkoon u : A R n jatkuva funktio ja f sen potentiaali. Jos r ja r ovat alueen A pisteitä, niin f(r) = f(r ) + u dr, C missä C A on mielivaltainen paloittain säännöllinen käyrä pisteestä r pisteeseen r.

34 Luku 3. Vektorianalyysiä Todistus. Olkoon r(t) : [a, b] R n C:n (paloittain) jatkuvasti derivoituva parametriesitys. Tällöin (vrt. Lause 2.1.1) C u dr = b a u(r(t)) r (t) dt = }{{} f=u b = f(r(b)) f(r(a)) = f(r) f(r ). a f(r(t)) r (t) dt = }{{} ketjusääntö b a (f r) (t) dt Lause 3.4.2 osoittaa erityisesti, että jos u:lla on potentiaali, niin käyräintegraalin C u dr arvo ei riipu lainkaan pisteitä r ja r yhdistävän käyrän C valinnasta. Tämä ns. käyräintegraalin riippumattomuus polun valinnasta antaa itse asiassa kriteerin potentiaalin olemassaololle. Lause 3.4.3. Olkoon u : A R n alueessa A R n jatkuva vektorifunktio. Tällöin u:lla on potentiaali, jos ja vain jos kaikki sen käyräintegraalit C u dr ovat riippumattomia polun valinnasta (ts. päätepisteitä yhdistävästä käyrän C valinnasta). Todistus. Ehdon välttämättömyys saatiin Lauseen 3.4.2 seurauksena. Kääntäen oletetaan, että u:n käyräintegraalit ovat riippumattomia polun valinnasta. Valitaan kiinteä piste r A ja määritellään funktio f : A R asettamalla f(r) := u dr, missä C on jokin paloittain säännöllinen käyrä pisteestä r pisteeseen r. Tällöin f on u:n potentiaali, ts. f = u. Perustellaan esimerkkinä yhtälö D x f = u 1 : ( f(r + hi) f(r) = 1 r+hi ) r u dr u dr = 1 r+hi u dr. h h r h r missä integrointi r r + hi suoritetaan pitkin yhdysjanaa r(t) = r + ti, t [, h]. Tällöin r (t) = i, joten 1 h r+hi r 1 u dr }{{} = h Lause 2.1.1 h C u 1 (r(t))dt }{{} = u 1 (r(t 1 )), väliarvolause r missä < t 1 < h. Kun h, u 1 (r(t 1 )) u 1 (r) u 1 :n jatkuvuuden nojalla. Niinpä f(r) x r A. = u 1 (r) Potentiaalin olemassaolon toteaminen Lauseen 3.4.3 nojalla on hankalaa. Ehdon voi yhtäpitävästi muotoilla yli suljettujen käyrien otetuilla käyräintegraaleilla: u:lla on potentiaali u dr = kaikilla suljetuilla palottain säännöllisillä käyrillä C. C Perustelu: Olkoon C = C 1 C 2 kuten alla olevassa kuvassa. u dr = u dr+ u dr = u dr u dr }{{} = u dr u dr =. C C 1 C 2 C 1 C 2 C Lauseen 3.4.3 ehto voimassa 1 C 1

3.5. Greenin lause 35 P2 C2 C1 P1 Kuva 3.3: Potentiaalin olemassaolo: käyräintegraali häviää yli suljettujen käyrien. Jos u itse on jatkuvasti derivoituva, saadaan Lauseen 3.3.3 (i) seuraava välttämätön ehto potentiaalin olemassa ololle: u = f u =. Siis u:n roottori u = eli yhtäpitävästi D i u j = D j u i, i, j. Tälläista vektorikenttää sanotaan pyörteettömäksi. Osoittautuu, että vektorikentän pyörteettömyys on myös riittäävä ehto potentiaalin olemassaololle. Tämä seuraa Stokesin lauseesta, joka esitetään jatkossa. Ehdon u = toteaminen on käyttökelpoinen tapa tarkistaa potentiaalin olemassaolo. 3.5 Greenin lause Greenin lause liittää toisiinsa tasoalueen A R 2 yli otetun pintaintegraalin ja A:n reunaa A pitkin otetun käyräintegraalin. A A A Kuva 3.4: Reunakärien positiivinen suunnistus. Olkoon A R 2 suljettu rajoitettu alue, jonka reuna A koostuu äärellisestä määrästä kaaria, joiden pituus on äärellinen. Suunnistetaan reunakäyrät positiivisesti, ts. niin, että alue A jää vasemmalle tähän suuntaan kuljettaessa.