Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 1) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 1 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Mikä on probabilistinen malli? Kutsumme probabilistisiksi malleiksi kaikkia sellaisia malleja, joissa todennäköisyyksien laskeminen on keskeisellä sijalla. Rajoitumme vain pariin tärkeään probabilististen mallien alueeseen. Osa 1 Suurimman palkinnon ongelma Markovin ketjut Osa 2 Poissonin prosessit mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 2

Suurimman palkinnon ongelma Pöydällä on n korttia. Kunkin kortin kääntöpuolelle on kirjoitettu rahasumma, jota et tiedä ja joka on eri korteissa eri suuri. Pelin johtaja P kääntää ensimmäisen kortin ja tarjoaa siinä olevaa rahasummaa. Jos hyväksyt sen, niin saat rahat ja peli päättyy. Jos hylkäät sen, niin P kääntää toisen kortin ja tarjoaa siinä olevaa summaa. Näin jatketaan. Hylkäämäsi tarjoukset eivät pysy voimassa. Jos siis hylkäät ensimmäisen kortin ja toisen kortin palkinto on pienempi, niin sinun täytyy joko tyytyä siihen tai jatkaa peliä. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 3

Suurimman palkinnon ongelma (jatkoa) Tehtävä 1. a) Miten pelaat? b) Laske (tai arvioi) todennäköisyys sille, että saat suurimman palkinnon. Osaat varmasti (a):n, sillä siinä kysytään vain, kuinka sinä pelaat. Myös (b) on helppo, jos strategiasi on yksinkertainen. Arvostelussa otetaan huomioon strategian hyvyys. Kirjallisuudesta voi olla apua. Mahdolliset lähteet on ilmoitettava. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 4

Markovin ketju, esimerkki Yritykset Y 1 ja Y 2 kilpailevat eräillä markkinoilla. Vuoden alussa Y 1 :n markkinaosuus oli 44,6 % ja Y 2 :n 55,4 %. Tammikuussa Y 1 säilytti 96 % asiakkaistaan ja menetti 4 % Y 2 :lle. Vastaavat luvut Y 2 :lla olivat 99 % ja 1 %. Jos tuleva kehitys on sama, niin mitkä ovat markkinaosuudet a) tammikuun, b) helmikuun, c) vuoden lopussa, d) pitkän ajan kuluttua? mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 5

Markovin ketjun siirtymämatriisi ja tilavektori Esimerkin tehtävää mallintava Markovin ketju M on tilassa 1 tai 2 sen mukaan, onko tietty kuluttaja Y 1 :n vai Y 2 :n asiakas. Siirtymämatriisin P = Ê Ë Á 096, 004, ˆ 001, 099, alkio p ik on todennäköisyys, jolla M siirtyy tilasta i tilaan k (tai pysyy tilassa i, kun i = k). Alkutilavektori X 0 = (0,446 0,554) ilmoittaa tilojen alkuperäiset todennäköisyydet. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 6

Markovin ketjun tiladiagrammi Tiladiagrammi D 0,96 0,99 0,04 1 2 0,01 Solmuina ovat tilat ja kaarina tilojen väliset siirtymät. Kaaren i Æ k paino on p ik Koska P:n vaakarivisummat ovat 1, niin D:n kustakin solmusta lähtevien kaarien painojen summa on 1. Tiloja voi olla enemmän kuin kaksi, jolloin P:n kertaluku ja D:n solmujen määrä ovat vastaavasti suuremmat. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 7

Markovin ketjun puudiagrammi Puudiagrammi T Ensimmäisessä haarassa ovat X 0 :n alkiot ja toisessa P:n. Tilojen uudet todennäköisyydet 0,446 0,554 (uusi tilavektori) määritetään joko 1 2 T:n avulla tai laskemalla X 1 = 0,96 0,04 0,01 0,99 X 0 P. T:tä voidaan jatkaa eteenpäin. 1 2 1 2 Voidaan myös laskea seuraava tilavektori X 2 = X 1 P jne. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 8

Tilavektorin määrittäminen Markkinaosuuksien kehitys a) tammikuun lopussa X1 X0P 0, 446 0, 554 = = ( ) Ê Ë Á ˆ Y 1 43,4 %, Y 2 56,6 % b) helmikuun lopussa X2 X1P 0, 434 0, 566 = = ( ) Ê Ë Á ˆ Y 1 42,2 %, Y 2 57,8 % c) vuoden lopussa X 12 0 Y 1 33,3 %, Y 2 66,7 % 096, 004, = ( 0, 434 0, 566) 001, 099, 096, 004, = ( 0, 422 0, 578) 001, 099, 2 X = X P = ( X P) P = X P = º = X P t t -1 t -2 t -2 096 004 12 = X P = ( 0 446 0 554) Ê 0 333 0 667 Ë Á,, ˆ,, = (,, ) 001, 099, mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 9 12 0 t

Markovin ketjun tasapainovektori d) Entä pitkän ajan kuluttua? Vuoden lopun tilanne saattaa houkutella otaksumaan, että lim t Æ X t = (1/3, 2/3). Niin ei kuitenkaan käy: markkinaosuus (%) 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 60 Viiden vuoden kuluttua markkinaosuudet ovat 21,1 % ja 78,9 %. Kymmenen vuoden kuluttua ne ovat 20,1 % ja 79,9 %. Tämä taas houkuttelee otaksumaan, että rajavektori onkin (1/5, 4/5). Voidaan todistaa, että se on oikein. Y 2 Y 1 mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 10

Markovin ketjun stabiilius Markovin ketju M on stabiili, jos X t (= X 0 P t ) lähestyy X 0 :sta riippumatonta tasapainovektoria X, kun t Æ. Voidaan todistaa, että näin käy, jos P > 0 (alkioittain). Antamalla t Æ yhtälössä X t+1 = X t P saamme X:lle yhtälön X = XP. 096 004 ( x1 x2) Ê x1 x2 Ë Á,, ˆ = ( ) 001, 099, ( 096, x1 + 001, x2 004, x1 + 099, x2) = ( x1 x2) Ï096. x1 + 001, x2 = x1 Ì Ó004, x1 + 099, x2 = x2 Ï x1 = c Ì Óx2 = 4c Ï x1 = 15 Ì (koska x1 + x2 = 1) Óx2 = 45 mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 11

Markovin ketju ja ominaisarvot Jos M on stabiili ja (vaaka)vektori X on tasapainovektori, niin XP = X. Transponoimalla saamme P T X T = X T. Siis 1 on P T :n ominaisarvo ja tasapaino(pysty)vektori on vastaava ominaisvektori. Perronin lauseen mukaan (alkioittain) positiivisella neliömatriisilla on positiivinen ominaisarvo, joka on suurempi kuin muiden ominaisarvojen itseisarvot. Tästä seuraa Markovin ketjun stabiilius, kun P > 0. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 12

Absorboivat ja palautuvat tilat Entä jos P sisältää nollia? Tässä tila 1 on absorboiva. Jos M joutuu tähän tilaan, niin se jää siihen lopullisesti. Tasapainovektori on X = (1, 0), joten M on stabiili. Tässä kumpikin tila on palautuva, mikä tarkoittaa, että siitä lähdettäessä siihen palataan varmasti. Jos alkutilavektori X 0 = (u v), missä u π v, niin X 1 = (v u), X 2 = (u v),. Näin saatu jono ei lähesty mitään rajavektoria, joten M ei ole stabiili. 1 0,5 0 1 2 0,5. 0 0 1 1 2 mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 13 1

Kirjallisuutta H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear Algebra. Applications Version. 6th ed. John Wiley, 1991. F.R.Giordano, M.D.Weir, and W.P.Fox, A First Course in Mathematical Modeling. 2nd ed. Brooks/Cole, 1997. D.C.Lay, Linear Algebra and Its Applications. 2nd ed. Addison&Wesley, 1997. K.Nicholson, Elementary Linear Algebra. McGraw-Hill Ryerson, 2001. S.M.Ross, Introduction to Probability Models. 6th ed. Acad. Pr., 1997. mat. mallinnus, luento 12 osa 1 kalvo nro 14