Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Roolit Verkostoissa: HITS. Idea.
|
|
- Heidi Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Roolit Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology
2
3 J. Kleinberg kehitti -algoritmin (Hypertext Induced Topic Search) hakukoneen osaksi. n taustalla on ajatus siitä, että solmulla on kaksi pääasiallista tehtävää tai roolia: informaation lähde osoittaa muihin informaation lähteinä toimiviin solmuihin Solmua pidetään auktoriteettina, jos se tarjoaa relevanttia informaatiota tietystä aiheesta. Hubiksi kutsumme solmua, joka osoittaa solmuihin, jotka ovat hyviä auktoriteetteja aiheessa. -algoritmi on iteratiivinen algoritmi, joka on kehitetty web-sivun auktoriteetti- ja hub-arvojen kvantifioimiseksi.
4 Olkoon I i solmuun v i osoittavien solmujen joukko, ja O i niiden solmujen joukko johon v i osoittaa. Solmun v i auktoriteetti-arvo a i määritellään siihen osoittavien solmujen hub-arvojen h j, j I i summana a i = c j I i h j = c N b ji h j, j=1 missä b ji on sosiomatriisin B alkio ja c vakio. Vastaavasti solmun v i hub-arvo määritellään niiden solmujen auktoriteetti-arvojen summana, joihin v i osoittaa h i = d j O i a j = d N b ij a j j=1 jollekin vakiolle d.
5 Kerätään solmujen auktoriteetti- ja hub-arvot vektoreihin a ja h. Huomataan, että a = cb T h h = dba Yhdistämällä ylläolevat saadaan missä λ = 1 cd a = cdb T Ba λa = B T Ba h = cdbb T h λh = BB T h
6 Aloitetaan jostain alkuarvauksesta a (0) ja h (0). a (k) = B T h (k 1) h (k) = Ba (k) Normalisoidaan ja toistetaan tarvittaessa. Jos tämä menetelmä suppenee, on a matriisin B T B suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori ja vastaavasti h matriisin BB T suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori
7 Välittömästi huomataan ongelmaksi tapaukset, joissa kyseiseten matriisien suurinta ominaisarvoa vastaa useampi kuin yksi ominaisvektori. -algoritmi voi myös antaa auktoriteetti-arvoksi nollan solmuille, joiden tuloaste on positiivinen. Näissä tapauksissa sanomme, että -algoritmi on huonosti käyttäytyvä.
8 : esimerkki
9 : esimerkki a 1 = (0, 0, 0, 0, 0, 1) a 2 = (0, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 0) h 1 = (0, 1 4, 1 4, 1 4, 1 4, 0) h 2 = (1, 0, 0, 0, 0, 0)
10 Jotta voisimme identifioida verkostot, joille -algoritmin antaa yksikäsitteisiä ja järkeviä ratkaisuja, määrittelemme auktoriteettigraafin seuraavasti. : Olkoon G = (V, E) suunnattu graafi. auktoriteettigraafi G = (V, E ) on suuntaamaton graafi, jonka solmut V ovat ne V :n solmut, joiden tuloaste on positiivinen. Kaaret E määritellään siten, että (v i, v j ) E, jos on olemassa v k V siten, että < v k, v i > E ja < v k, v j > E.
11 : esimerkki Alkuperäinen graafi G:
12 : esimerkki Alkuperäinen graafi G: auktoriteettigraafi G : 2 3 4
13 -algoritmi on huonosti käyttäytyvä, jos ja vain jos auktoriteettigraafi G on ei-yhtenäinen. Olkoon B sosiomatriisi ja C = B T B, jos järjestetään solmut siten, että tuloasteen nolla solmut laitetaan viimeiseksi, niin [ ] C 0 C = 0 0 Jos suurin ominaisarvo ei ole yksinkertainen, on C redusoituva. Huomataan, että C on redusoimaton, jos ja vain jos G on yhtenäinen.
14 Alkuperäinen graafi G: a = (0, 0.20, 0.44, 0.36) h = (0.36, 0.44, 0.20, 0)
15 Exponentiated Input Sosiomatriisin B alkiot kertovat yhden askeleen polkujen lukumäärän solmujen välillä. Vastaavasti B m kertoo m askeleen polkujen lukumäärän. Farahat et al. esittivät algoritmista muunnoksen, jossa otetaan huomioon myös pidemmät polut. Ajatus on, että lyhyemmät polut ovat kuitenkin merkityksellisempiä kuin pitkät, joten päädyttiin käyttämään seuraavaa matriisia sosiomatriisin sijaan. B + B 2 /2! + B 3 /3! + = e B I Tällä on tiettyjä etuja, mutta periaate on sama. Kunhan vain muutettiin algoritmin sisääntuloa.
16 Yhtä lailla voisimme käyttää esimerkiksi matriiseja: B + B 2 /2! tai B + B 2 /2! + + B k /k! jollekin k > 2.
17 Osoittautuu, että käytettäessä -modifikaatiota, algoritmi käyttäytyy hyvin yhdistetyille verkostoille. Sama pätee myös, jos käytetään matriisia B + B 2 /2. Miksi?
18 käyttöasteen mukaan -algoritmista on myös muunnos, jossa sosiomatriisin sijaan käytetään painotettua sosiomatriisia, jossa painot määräytyvät sen mukaan kuinka monta kertaa käyttäjät tiettyä nuolta ovat seuranneet. Tätä varten tarvitaan tietysti menetelmä, jolla kerätä tällaista tietoa helposti. Näin saadun sosiomatriisin ei tarvitse vastata verkon rakennetta täydellisesti. Nollaasta poikkeavia alkioita on vain niiden nuolien kohdalla, joita käyttäjät ovat tarkasteluaikana seurailleet.
19 Samalla tavoin kuin PageRank-algoritmin yhteydessäkin, voidaan -algoritmi pakottaa antamaan yksikäsitteisiä ratkaisuja. Mikä tahansa verkosto voidaan muuttaa yhtenäiseksi lisäämällä pienipainoiset yhteydet kaikista solmuista kaikkiin solmuihin. Muunnettu sosiomatriisi olisi tällöin B = B + ɛu, jollekin pienelle ɛ, ja U = 1 N eet sekä e ykkösvektori.
20 a G = (0, 0.20, 0.44, 0.36) a Exp = (0, 0.16, 0.38, 0.45) a G2 = (0, 0.16, 0.39, 0.44) a G*,1% = (0.001, 0.20, 0.44, 0.36) h G = (0.36, 0.44, 0.20, 0) h Exp = (0.46, 0.38, 0.16, 0) h G2 = (0.44, 0.39, 0.16, 0) h G*,1% = (0.36, 0.44, 0.20, 0.001)
21 a Exp = (0.44, 0.14, 0.14, 0.14, 0.14, 0) a G2 = (0.44, 0.14, 0.14, 0.14, 0.14, 0) a G*,1% = (0.33, 0.17, 0.17, 0.17, 0.17, 0.001) h Exp = (0, 0.14, 0.14, 0.14, 0.14, 0.44) h G2 = (0, 0.14, 0.14, 0.14, 0.14, 0.44) h G*,1% = (0.001, 0.17, 0.17, 0.17, 0.17, 0.33)
22 [1] J. M. Kleinberg, Authoritative sources in a hyperlinked environment, JOURNAL OF THE ACM, vol. 46, no. 5, [2] A. Farahat, T. Lofaro, J. C. Miller, G. Rae, and L. A. Ward, Authority rankings from hits, pagerank, and salsa: Existence, uniqueness, and effect of initialization, SIAM JOURNAL ON SCIENTIFIC COMPUTING, vol. 27, no. 4, [3] J. C. Miller, G. Rae, F. Schaefer, L. A. Ward, T. LoFaro, and A. Farahat, Modifications of kleinbergs hits algorithm using matrix exponentiation and web log records, in Proceedings of the 24th annual international ACM SIGIR conference on Research and development in information retrieval, ser. SIGIR 01., [4] L. Li, Y. Shang, and W. Zhang, Improvement of hits-based algorithms on web documents, in Proceedings of the 11th international conference on World Wide Web, ser. WWW 02., 2002.
Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology. Arvostus Verkostoissa: PageRank. Idea.
Arvostus Tommi Perälä Department of Mathematics, Hypermedia Laboratory Tampere University of Technology 8..0 in idea on määrittää verkoston solmuille arvostusta kuvaavat tunnusluvut. Voidaan ajatella
LisätiedotEtsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen
Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Heikki Mannila, Jouni Seppänen 12.12.2007 Webin lyhyt historia http://info.cern.ch/proposal.html http://browser.arachne.cz/screen/
LisätiedotEtsintä verkosta (Searching from the Web) T Datasta tietoon Jouni Seppänen
Etsintä verkosta (Searching from the Web) T-61.2010 Datasta tietoon Jouni Seppänen 13.12.2006 1 Webin lyhyt historia 2 http://info.cern.ch/proposal.html 3 4 5 http://browser.arachne.cz/screen/ 6 7 Etsintä
LisätiedotLuku 9. Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa
1 / 31 Luku 9. Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa T-61.2010 Datasta tietoon, syksy 2011 professori Heikki Mannila Tietojenkäsittelytieteen laitos, Aalto-yliopisto 1.12.2011
LisätiedotTämän luvun sisältö. Luku 9. Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa. Webin lyhyt historia 1992: ensimmäisiä selaimia
Tämän luvun sisältö Luku 9. Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa T-6.200 Datasta tietoon, syksy 20 professori Heikki Mannila Tietojenkäsittelytieteen laitos, Aalto-yliopisto.2.20
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 9 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 9 Ti 7.2.2017 Timo Männikkö Luento 9 Graafit ja verkot Kaaritaulukko, bittimatriisi, pituusmatriisi Verkon lyhimmät polut Floydin menetelmä Lähtevien ja tulevien kaarien listat Forward
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotHarjoitus 3 (31.3.2015)
Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 27. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 62 Luku 2 Yhtenäisyys 2.1 Polku 2.2 Lyhin painotettu polku 2.3 Yhtenäinen graafi 2.4 Komponentti 2.5 Aste
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
LisätiedotRakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys
1 Hypermedian jatko-opintoseminaari 2008-2009 Rakenteellinen tasapaino ja transitiivisyys 20.2.2009 Seppo Pohjolainen 2 Rakenteellinen tasapaino Käsitteitä: Arvotettu graafi (signed graph) (+ tai - ) Suuntaamaton
LisätiedotA ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.
Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =
LisätiedotHarjoitus 3 (3.4.2014)
Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotLuku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä
Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko
LisätiedotJohdatus graafiteoriaan
Johdatus graafiteoriaan Syksy 2017 Lauri Hella Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta 126 Luku 3 Puut 3.1 Puu 3.2 Virittävä puu 3.3 Virittävän puun konstruointi 3.4 Minimaalinen virittävä puu
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 10 / vko 48
MS-C134 Lineaarialgebra, II/017 Ratkaisuehdotukset LH 10 / vko 48 Tehtävä 1: Olkoot A R n n symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi. Näytä, että (i T A n (λ iα i (ii A n (λ i α i jossa α i on siten,
LisätiedotIteratiiviset ratkaisumenetelmät
Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
LisätiedotGraafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria
Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Lisätiedotv 8 v 9 v 5 C v 3 v 4
Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotJoonas Haapala Ohjaaja: DI Heikki Puustinen Valvoja: Prof. Kai Virtanen
Hävittäjälentokoneen reitin suunnittelussa käytettävän dynaamisen ja monitavoitteisen verkko-optimointitehtävän ratkaiseminen A*-algoritmilla (valmiin työn esittely) Joonas Haapala 8.6.2015 Ohjaaja: DI
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
LisätiedotYleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi
Yleinen paikallinen vakautuva synkronointialgoritmi Panu Luosto 23. marraskuuta 2007 3 4 putki 1 2 α α+1 α+2 α+3 0 K 1 kehä K 2 K 3 K 4 Lähdeartikkeli Boulinier, C., Petit, F. ja Villain, V., When graph
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotKurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotOlkoon seuraavaksi G 2 sellainen tasan n solmua sisältävä suunnattu verkko,
Tehtävä 1 : 1 a) Olkoon G heikosti yhtenäinen suunnattu verkko, jossa on yhteensä n solmua. Määritelmän nojalla verkko G S on yhtenäinen, jolloin verkoksi T voidaan valita jokin verkon G S virittävä alipuu.
LisätiedotV. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
LisätiedotLineaarinen optimointitehtävä
Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot10. Painotetut graafit
10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:
5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 205 / 3 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton;
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan
LisätiedotA274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT
A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin
LisätiedotImageRecognition toteutus
ImageRecognition toteutus Simo Korkolainen 27 kesäkuuta 2016 Projektin tarkoituksena on tehdä ohjelma, joka opettaa neuroverkon tunnistamaan kuvia backpropagation-algoritmin avulla Neuroverkon opetuksessa
Lisätiedotj n j a b a c a d b c c d m j b a c a d a c b d c c j
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-38.115 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 12 29.2.2008 D12/1 Tarkastellaan verkkoa, jossa on solmua ja linkkiä.
LisätiedotJANNE LIUTTU ARVOSTUSALGORITMIT VERKOSTOANALYYSISSA. Diplomityö
JANNE LIUTTU ARVOSTUSALGORITMIT VERKOSTOANALYYSISSA Diplomityö Tarkastajat: Prof. Seppo Pohjolainen (TTY) ja tutkija Jukka Huhtamäki (TTY) Tarkastaja ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden ja ympäristötekniikan
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot0 v i v j / E, M ij = 1 v i v j E.
Vieruspistematriisi Graafi esitetään tietokoneessa useimmiten matriisin avulla. Graafin G = (V, E), V = {v 1, v 2,..., v n } vieruspistematriisi (adjacency matrix)on n n matriisi M = (M ij ), missä n on
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät
Lisätiedot4.6 Matriisin kääntäminen rivioperaatioilla
Vaasan liopiston julkaisuja 9 kuva.plot(,n, k-o,,n, k-s,,n3, k-d ); kuva.set_label( kausi ); kuva.set_label( lkm ); kuva.ais([,,,8]); kuva = fig.add_subplot(); kuva.plot(,tulo, k-o ); kuva.set_label( kausi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotInduktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.
Väite: T (n) (a + b)n 2 + a. Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m. Huomaa että funktion x x 2 + (m 1 x) 2 kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten funktio saavuttaa suurimman
Lisätiedot58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, , vastauksia
58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 2, 652013, vastauksia 1 [6 pistettä] Vastaa jokaisesta alla olevasta väittämästä onko se tosi vai epätosi ja anna lyhyt perustelu Jokaisesta kohdasta
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
LisätiedotEsimerkki: Tietoliikennekytkin
Esimerkki: Tietoliikennekytkin Tämä Mathematica - notebook sisältää luennolla 2A (2..26) käsitellyn esimerkin laskut. Esimerkin kuvailu Tarkastellaan yksinkertaista mallia tietoliikennekytkimelle. Kytkimeen
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot14. Luennon sisältö. Kuljetustehtävä. Verkkoteoria ja optimointi. esimerkki. verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 14. Luennon sisältö Kuljetustehtävä esimerkki Verkkoteoria ja optimointi verkkoteorian optimointitehtäviä verkon virittävä puu lyhimmät polut kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti
LisätiedotAlgoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:
Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot