Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike : 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7. a) Gaitaatiooia aikuttaa kaikkien kappaleiden älillä. Gaitaatiooian uuuu iippuu kappaleiden aoita ja niiden älietä etäiyydetä. Newtonin gaitaatiolaki ääitellään kaaalla F = γ, joa γ on gaitaatioakio, ja oat kappaleiden aat ja on kappaleiden painopiteiden älinen etäiyy. b) Keplein kole lakia kuaa planeettojen liikkeet uingon ypäi:. Planeetat liikkuat ellipiatoja pitkin. Ratojen toiea polttopiteeä on uinko.. uingota planeettaan piietty jana pyyhkäiee yhtä pitkinä aikaäleinä yhtä uuet pinta-alat.. Planeettojen kietoaikojen neliöt oat eannolliet niiden ja uingon äliten etäiyykien kuutioihin T = eli T T = k joa k on akio., c) Geotationääinen atelliitti pyyy paikoillaan Maahan nähden päiäntaaajan yläpuolella noin 6 k:n kokeudella. Tietoliikenne- ja ääatelliitit iedään geotationääielle adalle. d) Kappaleen liike on taainen, jo kappaleen nopeu on akio. e) Kappaleen liike on taaieti kiihtyä, en kiihtyyy on akio. f) Kappale on taaiea ypyäliikkeeä, jo e kulkee pitkin ypyäataa akio auhdilla. Kappaleella ei ole tangenttikiihtyyyttä, utta illä on noaalikiihtyyyttä. 7. Putoaikokeu on h= y = 5, aakauoa alkunopeu =, putoaikiihtyyy g = 9,8, kyytään lentoaikaa t =? ja lentoatkaa x =?. a) Valitaan x-akeli heiton uuntaan ja y-akeli alapäin. Koka ilanatu on ekityketön, putoaiaika oidaan lakea taaieti kiihtyän liikkeen allin aulla y = gt (poitiiinen uunta ala). y 5 Putoaiaika t = = =, 576,. g 9,8 / Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike b) Liike on taaita aakauunnaa, joten x = xt =,576 = 4,86 5. Vatau: a) Kien lentoaika on,. b) Kii on lentänyt 5 :n päähän. 7. Peäpallon lähtökula on α = 48, peäpallon lentoaika t l =,8, kyytään alkuauhti =? ja lakikokeu h =?. Valitaan nollahetkeki pallon itoaihetki ja oigoki pallon itoaikohta. Valitaan x-akelin uunta aakauoaan eteenpäin ja y-akelin uunta ylöpäin. Koka ilanatuta ei oteta huoioon, takatellaan pallon liikettä aakauunnaa taaien liikkeen allin aulla ja pytyuunnaa taaieti kiihtyän liikkeen allin aulla. Kiihtyyy pytyuoaa uunnaa on putoaikiihtyyy a = g. lkunopeuden koponentit oat x = coα y = in α. jan t kuluttua pallon nopeu on x = x = coα y = y gt = in α gt. tl,8 a) Lentoaika t l =,8, joten nouuaika on t n = = =, 4. Lakipiteeä, Ratkaitaan tätä alkuauhti, 4 9,8 tg n = = inα in 48 = 8, 489 8. y = joten = α gtn in. b) Pallon nouukokeu aadaan taaieti kiihtyän liikkeen paikan lauekkeeta h = y = ytn gtn = inα tn gtn = 8,489 in48,4 9,8,4 = 9,68 9,6. Vatau: a) Pallon alkuauhti oli 8 /. b) Pallo käi 9,6 :n kokeudella. ( ) y Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike 7.4 Kuuoduulin etäiyy Kuun pinnalta on h = 86 k, Kuun aa M = 7,48, Kuun äde R = 94 k, N gaitaatioakio on γ = 6,674 ja kyytään nopeu =?, kietoaika T =?. Newtonin II lain ukaan kuuoduulin liikeyhtälö on F = a. M Kuuoduuliin aikuttaa gaitaatiooia F = γ. Kuuoduuli on taaiea ypyäliikkeeä, joten en kiihtyyy on noaalikiihtyyyttä an =. Kuuoduulin adan äde on = 86 k + 78 k = 94 k. M Moduulin nopeu aadaan liikeyhtälötä γ =, jota N 6, 674 7,48 γ M k = = = 596,547,6. 94 Moduulin kietoadan pituu = π. Kuuoduuli etenee adallaan akio auhdilla, joten =, jota t =. t Moduulin kietoaika on π T = = π 94 = 596,547 = 7 57,87 = 6,97 in 7 in. Vatau: Kuuoduulin nopeu on,6 k/ ja kietoaika on 7 in. 7.5 Luotaien etäiyy aanpinnata on h = 79 k, Maan aa 4 M = 5,974, gaitaatioakio kyytään kietoaikaa T =?, kiihtyyyttä a =?. γ N = 6,674 ja a) Luotaieen aikuttaa gaitaatiooia, joka pitää luotaien ypyäadalla. Luotain on taaiea ypyäliikkeeä, joten en noaalikiihtyyy on an =. Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino 4() 7. Gaitaatiooia ja heittoliike Newtonin II lain F = a ukaan luotaien liikeyhtälö on γ M ( R + h ) = R + h, joa M on Maan aa, R aapallon äde ja h atelliitin adan kokeu. b) Ratkaitaan luotaien nopeu = γ M R+ h N 4 6, 674 5,974 k = = 7 46,56 7,5. 6 7 + 79 Radan pituu on = π ( R+ h), joten kietoajaki oidaan lauekkeeta = atkaita t π( R+ h) π(67 + 79) k T = = = k 7, 465 = 6 8,699, 477 in in Noaalikiihtyyy aadaan nopeuden ja äteen aulla a (7 46,56 ) = 7, 7775 7,8. R+ h = 67 + 79 = n Vatau: b) Luotaien kietoaika on in ja en noaalikiihtyyy 7,8 /. N 7.6 Gaitaatioakio on γ = 6,674, tihey ρ = ja kyytään kietoaika T =? Takatellaan ateoidin pinnalla ekaattoilla olean kiilohkaeen ypyäliikettä. Oaeen aikuttaat oiat oat gaitaatiooia F ja tukioia N. Newtonin II lain F = a ukaan liikeyhtälö on F N = a n M γ N =. R R Rajatapaukea, kun oahiukkanen on juui itoaaa ateoidin pinnata, kulanopeu on uuin ahdollinen ja tukioia N =. Sijoitetaan yhtälöön atanopeu π R =, T M 4π R jolloin γ =. R T R 4π R Ratkaitaan kienlohkaeen kietoaika T =. γ M Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino 5() 7. Gaitaatiooia ja heittoliike Sijoitetaan tähän ateoidin aa 4 M V R = ρ = ρ π, jolloin aadaan T 4π R = = 4 γρ π R π γρ π ja T = = 84,74, h. N 6, 674 Vatau: teoidin pienin ahdollinen pyöähdyaika on, h. 7.7 Keihään lentoatka on x L = 6,5 ja lähtökula α = 48. Kyytään keihään lentoaikaa t L =?, lähtönopeutta =? ja lakikokeutta h =?. Takatellaan keihään lentoa heittoliikkeen allin aulla niin, että ilanatu on ekityketön. Takatellaan heittoliikkeen aakauuntaita (x-akeli) ja pytyuuntaita (y-akeli) koponenttia. Vaakauunnaa liike on taaita ja pytyuunnaa taaieti kiihtyää. Oigo on heittopaikalla. lkunopeuden koponentit oat x = coα y = in α. a) Lentoajan t L kuluttua pallon nopeu ja pallon paikka oat xl = x = coα yl = y gtl = in α gtl. xl = xtl = coα tl yl = ytl gtl = in α tl gtl. Yhtälöiä on kaki tunteatonta, alkunopeu ja lentoaika. Ratkaitaan paikan yhtälötä xl = coα tl alkunopeu xl = coα t L ja ijoitetaan tää paikan y-koodinaatin lauekkeeeen. Huoataan, että lentoajan t L kuluttua y =, jolloin = inα t gt L L in gt = α t L L x gt = inα t co gtl = xl tan α. L L L α tl Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino 6() 7. Gaitaatiooia ja heittoliike Ratkaitaan lentoaika o xl tanα 6,5 tan48 tl = = g 9,8 =,75,7. b) Ratkaitaan euaaaki lähtönopeu x 6,5 4, 66 5. co co 48, 75 = L α t = = L c) Syetian peuteella nouuaika on puolet lentoajata. Käytetään nouuaikaa heiton tl,75 lakikokeuden lakua t N = = =,866 h = inα tn gtn = = 7,84 7. ( ) o 4, 66 in 48,866 9,8 /,866 Vatau: a) Keihään lentoaika oli,7. b) Kehään lähtönopeu oli 5 /. c) Keihä noui 7 :n kokeudelle. 7.8. Moukain alkunopeu on = 7 ja lähtökula α = 5. Valitaan nollahetkeki oukain itoaihetki ja oigoki oukain itoaikohta. Valitaan x-akelin uunta aakauoaan eteenpäin ja y-akelin uunta ylöpäin. Koka ilanatu on ekityketön, takatellaan oukain liikettä aakauunnaa taaien liikkeen allin aulla ja pytyuunnaa taaieti kiihtyän liikkeen allin aulla. Kiihtyyy pytyuoaa uunnaa on putoaikiihtyyy ay = g. lkunopeuden koponentit oat = coα x = in α. y Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino 7() 7. Gaitaatiooia ja heittoliike jan t kuluttua kuulan nopeu on x = x = coα y = y gt = in α gt. a) Lakipiteeä y =, joten oukailla on nopeutta pelkätään aakauunnaa = x = x = 7 co 5 = 6, 49 6. Koka ilanatuta ei oteta huoioon, kiihtyyy pytyuunnaa on putoaikiihtyyyttä a = ay = g = 9,8 (uunta alapäin). b) Kun kiihtyyy jaetaan nopeuden uuntaieen ja nopeutta ataan kohtiuoaan koponenttiin, aadaan kuiota tangenttikiihtyyydeki at = ain α. Kuiota huoataan, että a t > lakipiteen jälkeen ja että tangenttikiihtyyy on uuiillaan juui ennen oukain ouita aahan, jolloin α = 5. Tangenttikiihtyyyden uuin ao on a tax = 9,8 in( 5 ) = 7,846 7,8. Vatau: a) Lakipiteeä oukailla on nopeutta aakauunnaa 6 / ja kiihtyyy pytyuunnaa on putoaikiihtyyyttä 9,8 /. b) Tangenttikiihtyyyden uuin ao on 7,8 /. 7.9 Kuulan lähtökula on α = 5, aa =, lähtötilanteen liike-enegia E = 4 kj ja tykin kokeu eenpinnata h =. k a) Oletetaan, että ilanatu on ekityketön. Laketaan kuulan auhti en ouea eteen ekaanien enegian äilyien peiaatteen ukaan E = EL, jota Ek + Ep = EkL + EpL. Sijoitetaan liike-enegia ja potentiaalienegian lauekkeet Ek + gh = L ja atkaitaan auhti Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino 8() 7. Gaitaatiooia ja heittoliike L = ( Ek + gh ) = + = 9, 87 9. (4 J 9,8 b) Ratkaitaan alkunopeu alkuenegian peuteella E = k Ek 4 J = = = 79, 6. Kuulan nopeu lakipiteeä on yhtä uui kuin alkunopeuden aakauuntainen koponentti x = x = coα = 79, 6 co 5 = 9, 4. Laketaan lakikokeu enegian äilyien lain peuteella E = E L,ylä Ek + Ep = EkL,ylä + EpL,ylä + gh = + gh x ax jaetaan g:llä ja atkaitaan lakikokeu h ax hax = x + h g g ( = x ) + h g = + 9,8 = 6,959,6 k. ((79, 6 ) (9, 4 ) ) c) Laketaan aluki nouuaika t ja lakuaika t eikeen, jolloin lentoaika on t = t+ t. Nouuaika t aadaan taaieti kiihtyän liikkeen kaaan = + at peuteella. Lakipiteeä y =, joten = y gt 79, 6 in 5 y inα t = = = = 6,484. g g 9,8 Putoaiaika t aadaan taaieti kiihtyän liikkeen atkan lauekkeeta, kun h ax = 6,959. Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino 9() 7. Gaitaatiooia ja heittoliike h = gt ax t hax 6,959 8,789. = = = g 9,8 Kantana taaien liikkeen allin ukaan = ( t + t ) x = 9, 4 (6, 484 + 8,789 ) = 798, 4 = 7, 9 k. Vatau: a) Vauhti een taalla on 9 /. b) Lakikokeu on,6 k. c) Kuula lentää 7,9 k. 7. Tähtien aat oat =,8M ja =, M, kun äliatka 4,. Kyytään kietoaikaa T =?. B M =,99, tähtien Laketaan kakoitähtien yhteien aakekipiteen etäiyy tähdetä x i i + B = =, jota + i B = = = + B,8M +, M B, M (,78 ). Moleilla tähdillä on aa kietoaika T ja tähden noaalikiihtyyy on a n =. Tähti etenee adallaan akio auhdilla, joten π = =. T T Gaitaatiolain ja Newtonin II lain F = a, joa a = an, ukaan tähden liikeyhtälö on γ = B 4π 4π 4π γ = = = T T T T B B + B B 4π 4π = = + γ γ( + ) B B B Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät
Phyica 9. paino () 7. Gaitaatiooia ja heittoliike T = π π γ ( + ) = 4, 6 79789, 457,8 = = =,77 d d. Vatau: Tähtien kietoaika on d. B 4, N 6,674 (,8 +,),99 Tekijät ja WSOY Oppiateiaalit Oy, 7 Piioket: Pekka Könönen ja tekijät