2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki

2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka on F 12 = Gm 1m 2 ˆr r12 2 12, (61) on missä ˆr 12 = r 12 /r 12 = ( r 2 r 1 )/ r 2 r 1 on yksikkövektori ja missä gravitaatiovakio G = 6,67 10 11 N m 2 /kg 2. (62) Ohuen homogeenisen pallokuoren (massa M, säde R) voima pistemäiseen kappaleeseen (massa m) on F = G mm ˆr, r R (63) r2 F = 0, r < R. (64) 15

Homogeenisen pallon (massa M, säde R) voima pistemäiseen kappaleeseen (massa m) on F = G mm ˆr, r2 r R (65) F = G mm rˆr, R3 r < R. (66) 2.2 Kappaleen paino Kappaleen paino on kaikkien maailmankaikkeuden massojen yhteisvaikutus kappaleeseen. Lähellä maanpintaa muiden massojen kuin maan vaikutus on häviävän pieni, joten w = m g = G mm E R 2 E ˆr, (67) missä maan massa M E = 5,97 10 24 kg ja säde R E = 6,38 10 6 m. Painovoiman kiihtyvyys lähellä maanpintaa on g = GM E, (68) RE 2 joka on riippumaton kappaleen massasta. Etäisyydellä r R E ylöspäin maanpinnasta, m-massaisen kappaleen paino on w = GM Em r 2. (69) Koska maapallo pyörii eikä se ole täysin pyörähdyssymmetrinen, kappaleen näennäinen paino ei ole aivan sama kuin sen todellinen paino, vaan se riippuu siitä, millä leveysasteella kappale sijaitsee. Tähän kysymykseen palataan, kun tarkastellaan kiihtyvässä liikkeessä olevia koordinaatistoja. 16

2.3 Voimakentät Gravitaatiokentän voimakkuus määritellään Homogeeninen gravitaatiokenttä on g( r) = F ( r) m. (70) g( r) = g = vakio. (71) Kenttäviivat kuvaavat sitä, mihin suuntaan testihiukkanen (massa m) lähtisi liikkumaan, jos se vapautettaisiin levosta. Pistemäisen kappaleen muodostama (esimerkiksi homogeenisen pallon ulkopuolella, massa M) gravitaatiokenttä g( r) = G M ˆr. (72) r2 Kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta, eli mitä tiheämmässä kenttäviivoja on, sitä voimakkaampi kenttäkin on. 2.4 Potentiaalienergia Vakiokentän aikaansaama potentiaalienergia Homogeeniselle gravitaatiokentälle 17

W 12 = 2 1 F s = 2 1 mgĵ (dx î + dy ĵ) = mg(y 2 y 1 ) = U, (73) joten U = mg(y y 0 ). (74) Koska vain potentiaalienergian muutoksella on merkitystä, gravitaation potentiaalienergian nollakohta voidaan valita vapaasti. r 2 -kentän aikaansaama potentiaalienergia Lähellä maanpintaa, jolloin r = R E + h, missä h R E, gravitaatiovoiman kappaleeseen aiheuttama potentiaalienergia on lähes vakio U = mgh + U 0. (75) Kauempana maanpinnasta potentiaalienergia ei pysykään vakiona, vaan se muuttuu etäisyyden funktiona. Yleisesti gravitaatiovoiman tekemä työ W 12 = r2 r 1 = GmM E r 2 Fg d s = GmM E r2 r 1 dr r 2 GmM E r 1 = U. (76) 18

Potentiaalienergiaksi saadaan siis U(r) = GmM E, U = 0, kun r =. (77) r Potentiaalienergian nollakohta U( r 0 ) = 0 kannattaa valita siten, että voima häviää siinä, eli F ( r 0 ) = 0 Pallokuoren potentiaalienergia U(r) = G mm r, r R (78) U(r) = G mm R, r < R. (79) Homogeenisen pallon potentiaalienergia U(r) = G mm r, r R (80) U(r) = G mm ( 3 R 3 2 R2 1 ) 2 r2, r < R. (81) 19

Elastinen potentiaalienergia Jousen tekemä työ siirtymässä x 1 x 2 on W = x2 x2 F x dx = kx dx = 1 x 1 x 1 2 k(x2 2 x 2 a) = U, (82) joten jousen potentiaalienergia on U(x) = 1 2 kx2 ja U(0) = 0. (83) 2.5 Planeettaliike Ratojen luokittelu Systeemi on sidotussa tilassa, kun E mek < 0. Tällöin esimerkiksi komeetan rata auringon ympäri on ellipsi. Myös ympyräliike on mahdollinen. Systeemin sidosenergia on E mek, mikä tarvitaan hajoittamaan systeemi. Systeemi on avoin, jos E mek 0. Tällöin komeettaa ei sido mikään, jolloin se voi poistua vapaasti aurinkokunnasta. Komeetta on parabolisella radalla, jos E mek = 0, ja hyperbolisella radalla, jos E mek > 0. Tasainen ympyräliike Gravitaatiovoima pitää kappaleen ympyräradalla. Newton II: Tästä saadaan ratanopeus ja kiertoaika GMm r 2 = mv2 r. (84) GM v = r (85) T = 2πr r v = 2π 3 GM. (86) 20

Mekaaninen energia on E mek = K + U = 1 2 mv2 + = 1 2 mgm r GMm r ( GMm ) r = 1 GMm. (87) 2 r Elliptinen liike Yleisessä tapauksessa planeettaliikkeessä on kolme säilyvää suuretta. Mekaaninen energia säilyy E mek = K + U = 1 ( ) GMm 2 mv2 = vakio. (88) r Koska voima F ja planeetan paikka r ovat yhdensuuntaiset vektorit, niin voiman momentti M = r F = 0, joten kulmaliikemäärä säilyy L = m r v = vakio, (89) eli liike tapahtuu tasossa. Koska kahden vektorin muodostaman kolmion pinta-ala voidaan määrittää vektoritulon avulla, niin edellisestä seuraa, että da dt = 1 d r 2 r dt = 1 2 r v = L = vakio. (90) 2m Kolmas säilyvä suure on ns. Laplace Runge Lenz-vektori R = ( v L) GMmˆr = vakio. (91) 21

Tämän avulla voidaan johtaa planeetan radan yhtälö napakoordinaateissa (r, φ) α r(φ) = 1 ε cos φ, (92) missä α = L2 ja ε = R 1 + 2L2 E. GMm 2 GMm G 2 M 2 m 3 Saatu tulos on kartioleikkauksen yhtälö. ε on radan eksentrisyys (epäkeskisyys). Kun ε = 0, tuloksena on ympyrä, kun 0 < ε < 1, niin ellipsi, kun ε = 1, niin paraabeli ja kun ε > 1, niin tuloksena on hyperbeli. Elliptisessä liikkeessä isoakselin puolikas a = α ja pikkuakselin puolikas b = α 1 ε 2 1 ε 2. Radan kiertoaika on nyt T = rata dt = 2m L rata da = 2m L (πab) = 2π GM a 3/2. (93) Keplerin lait Keplerin 1. laki: Kaikki planeetat liikkuvat auringon ympäri pitkin elliptisiä ratoja, joiden toisessa polttopisteessä aurinko sijaitsee. (Yhtälö (92), kun 0 < ε < 1.) Keplerin 2. laki: Planeetan ja auringon välinen jana pyyhkäisee aina samansuuruisen pinta-alan samassa ajassa. (Yhtälö (90)) Keplerin 3. laki: Planeetan kiertoajalle on voimassa T 2 = Ca 3, jossa a on isoakselin puolikas ja C = vakio. (Yhtälö (93)) 2.6 Keskeisvoimakenttä Gravitaatio on esimerkki keskeisvoimakentästä. Yleisessä keskeiskentässä voima on F ( r) = f(r)ˆr (94) ja vastaava potentiaalienergia määritellään yhtälöllä f(r) = du(r). (95) dr 22

Konservatiivisessa keskeisliikkeessä mekaaninen energia säilyy. voidaan kirjoittaa napakoordinaateissa (r, φ) Mekaaninen energia E = K + U = 1 2 m(ṙ2 + r 2 φ2 ) + U(r). (96) Kulmaliikemäärä säilyy ja se voidaan nyt kirjoittaa napakoordinaattien avulla L = mr 2 φ. (97) Systeemin energia voidaan kirjoittaa kulmaliikemäärän avulla muotoon E = 1 2 mṙ2 + U eff (r), (98) missä efektiivinen potentiaalienergia on U eff (r) = U(r) + L2 2mr 2. (99) Yhtälöstä (98) voidaan ratkaista aika t = ±( 1 2 m)1/2 dr [E U eff (r)] 1/2 + t 0, (100) josta kääntämällä saadaan ratkaistua etäisyys r ajan funktiona. Sijoittamalla tämä yhtälöön (97) saadaan ratkaistua kulma φ ajan funktiona φ = Lm 1 dt [r(t)] 2 + φ 0. (101) Ratkaisuksi on siis saatu muodollisesti r(t) ja φ(t), mitkä antavat keskeisliikkeen yleisen ratkaisun. Usein ei kuitenkaan olla kiinnostuneita suureiden aikariippuvuudesta. Tällöin riittää ratkaista r:n ja φ:n riippuvuus toisistaan. Ketjusääntö antaa ṙ = dr dφ dφ dt = dr L dφ mr, (102) 2 joka voidaan sijoittaa yhtälöön (98). Tästä saadaan edelleen ratkaistua radalle yhtälö φ(r) = ±L(2m) 1/2 dr r 2 [E U eff (r)] 1/2 + φ 0. (103) Gravitaatiokentässä tästä saadaan integroitua radan yhtälö napakoordinaateissa r = α 1 + ε cos(φ φ 0 ). (104) 23

Saadaan siis sama tulos kuin aikaisemminkin, jolloin planeettaliike ratkaistiin Laplace Runge Lenz-vektorin avulla näennäisesti ilman integrointia. Laplace Runge Lenz-vektori säilyy vain, jos f(r) = Cr 2, missä C on vakio. Muilla keskeiskentillä R kiertyy liikkeen tasossa. Muiden planeettojen vaikutus tai yleisen suhteellisuusteorian korjaukset aiheuttavat planeettojen liikkeeseen perihelin prekession (aurinkoa lähinnä olevan radan pisteen kiertymän). 2.7 Redusoitu massa Tarkastellaan kahta vuorovaikuttavaa kappaletta (massat m 1 ja m 2 ). Systeemin massakeskipistevektori on R C valitun origon O suhteen ja r 21 = r 1 r 2 r on kappaleen 1 paikka suhteessa kappaleeseen 2. Kappaleiden vuorovaikuttaessaan keskenään niiden toisiinsa vaikuttavat voimat ovat yhtäsuuret mutta vastakkaissuuntaiset F 21 = F 12 F. (105) Kappaleiden liikeyhtälöt ovat Näistä saadaan ratkaistua yhtälöt suureille R C ja r m 1 d 2 r 1 dt 2 = F (106) m 2 d 2 r 2 dt 2 = F. (107) d 2 dt (m 1 r 2 1 + m 2 r 2 ) = 0 (108) m 1 m 2 d 2 r m 1 + m 2 dt 2 = F. (109) Edellisessä käytetään massakeskipisteen määritelmää ja jälkimmäisessä määritellään ns. redusoitu massa 24

µ = m 1m 2 m 1 + m 2, (110) jolloin saadaan V C = vakio (111) µ d2 r dt 2 = F. (112) Kahden kappaleen ongelma voidaan siis ratkaista tarkastelemalla erikseen massakeskipisteen ja sen suhteen tapahtuvaa liikettä. Liike-energiaksi saadaan K = 1 2 m 1v 2 1 + 1 2 m 2v 2 2 = 1 2 MV 2 C + 1 2 µv2, (113) missä v = v 1 v 2, eli massakeskipisteen liike-energiaan lisätään suhteellisen liikkeen liike-energia. Potentiaalienergia on U( r 1, r 2 ) = U(r), (114) koska voima vaikuttaa kappaleiden yhdysjanan suuntaisesti ja sen suuruus riippuu vain kappaleiden välisestä etäisyydestä. Mekaaninen energia on siis E = 1 2 MV 2 C + 1 2 µv2 + U(r). (115) Systeemin kulmaliikemäärä massakeskipisteen suhteen on vastaavasti L = µ r v. (116) Kahden kappaleen systeemi voidaan siis redusoida kahdeksi yhden kappaleen ongelmaksi siten, että (i) m 1 + m 2 -massainen kappale on paikassa R C ja liikkuu nopeudella V C ja (ii) µ-massainen kappale liikkuu keskeiskentässä, jonka potentiaalienergia on U(r). Aikaisemmin planeetaliikkeessä laskettiin liike käyttäen planeetan massaa, oikeampi tulos saadaan, kun planeetan massan tilalla käytetään planeetan redusoitua massaa. Samoin kaikissa kahden kappaleen välisissä vuorovaikutuksissa pitää tämä korjaus tehdä, kuten esimerkiksi vetyatomissa ja hiukkasten sironnassa. 25

2.8 Sironta Sirontakokeilla voidaan saada tietoa aineen rakenteesta ja vuorovaikutuksen luonteesta. Edellä keskeiskentän tapauksessa tarkasteltiin lähinnä attraktiivista vuorovaikutusta. Tällöin sironta tapahtuu, kun hiukkanen on hyperbolisella radalla. Myös repulsiivisessa vuorovaikutuksessa, kuten samanmerkkisten varattujen hiukkasten tapauksessa, tapahtuu sirontaa. Rata on myös hyperbeli, mutta mekanismi eroaa hiukan attraktiiviseen tapaukseen verrattuna, kuten kuvastakin näkee. Törmäävä tai siroava hiukkanen saapuu äärettömyydestä nopeudella v törmäysparametrilla b kohtiohiukkaseen tai sirontakeskukseen nähden. Sironnan jälkeen hiukkanen liikkuu sirontakulmaan θ kohtiosta poispäin. Törmäysparametria ei voida säätää tarkasti ja siksi kohtiota ammutaankin hiukkassuihkulla, jossa hiukkasilla on erilaisia törmäysparametreja. Kokeissa havaitaan kohtiosta sironneiden hiukkasten jakauma sirontakulman funktiona. Kohtion rakenne sekä törmäävien hiukkasten ja kohtion välinen vuorovaikutus määräävät sirontakulmajakauman, eli törmäysparametrin b ja sirontakulman θ välisen yhteyden. 26

Sirontaa kuvaava fysikaalinen suure on sirontavaikutusala, joka kertoo, millä todennäköisyydellä hiukkanen siroaa kohtiosta. Jos kohtion säde on R, niin geometrinen sirontavaikutusala on πr 2. Kuitenkin usein ollaan kiinnostuneita sironnan kulmajakaumasta. Lisäksi kun vuorovaikutus on isotrooppinen, niin törmäyskulmajakauma on aksiaalisymmetrinen. Tällöin avaruuskulmaksi saadaan dω = da = 2π sin θdθ. (117) R2 Differentiaalinen sirontavaikutusala kuvaa sironnan riippuvuutta sirontakulmasta θ, eli se antaa todennäköisyysjakauman hiukkasen sironnalle avaruuskulmaan dω. Differentiaalinen sirontavaikutusala määritellään dσ dω = 2πb db 2π sin θ dθ = b db sin θ dθ (118) missä itseisarvot pitävät huolen siitä, että differentiaalinen sirontavaikutusala on positiivinen suure. Yksiköt [ dσ ] = dω m2. Kokonaissirontavaikutusala on σ tot = dω dσ dω. (119) 27

Kovien pallojen sironnassa b = a cos( 1 θ). (120) 2 Differentiaalinen sirontavaikutusala on dσ dω = 1 4 a2, (121) mikä on vakio, eli törmäävät pallot siroavat tasaisesti joka suuntaan törmättyään kohtiopalloon. Kokonaissirontavaikutusala on joka on sama kuin pallon geometrinen sirontavaikutusala. σ tot = πa 2, (122) Rutherfordin sironnassa tutkitaan varattujen hiukkasten (varaus ze ja massa m) sirontaa varatuista ytimistä (varaus Ze ja massa M). Varausten välillä vallitsee Coulombin vuorovaikutus. Törmäysparametriksi saadaan b = k zz e2 µv 2 cot( 1 θ), (123) 2 missä Coulombin vakio k = 1/(4πɛ 0 ). Differentiaalinen sirontavaikutusala on ( ) dσ k zz e 2 2 dω = 4E sin 2 ( 1θ) (124) 2 ja konaissirontavaikutusala on σ tot =, (125) koska Coulombin vuorovaikutuksen kantama on äärettömän pitkä. Todellisessa aineessa, joka on neutraalia, elektronit varjostavat ytimen varausta siten, että vuorovaikutuksella on äärellinen kantama ja siten σ tot <. 28