OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa olevasta mallista?
C. TRIGONOMETRIAA Muistellaan ensin, miten trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti määritellään suorakulmaisen kolmion avulla. sin α = cos α = kulman α vastaisen kateetin pituus hypotenuusan pituus kulman α viereisen kateetin pituus hypotenuusan pituus = a c = b c tan α = kulman α vastaisen kateetin pituus kulman α viereisen kateetin pituus = a b Esimerkki 1: Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 20 cm. Hypotenuusan ja lyhyemmän kateetin välinen kulma on 60. Mikä on lyhyemmän kateetin pituus? Ratkaisu: Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta muuttujalla x. Lyhyempi kateetti on 60 kulmalle viereinen kateetti, joten sen pituus voidaan ratkaista kosinia käyttäen. cos 60 = x 20 cm 20 cm x = cos 60 20 cm x = 1 20 cm 2 x = 10 cm
Tehtäviä 21. Bengtskärin luodolla sijaitseva majakka on pohjoismaiden korkein. Kuinka korkea majakka on, kun sen huippu näkyy 150 m päässä olevasta purjeveneestä 2,2 kulmassa merenpintaan nähden? Esimerkki 2: Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 6,0 m, 8,0 m ja 10,0 m. Laske kolmion kulmien asteluvut. Ratkaisu: Tehtävän tiedot kannattaa ensin merkitä sopivaan kuvaan. Kulma α voidaan ratkaista esimerkiksi siniä käyttäen. sin α = 8,0 m 10,0 m sin α = 0,8 α 5,1 Kulman β voi nyt ratkaista joko trigonometriaa käyttäen tai suoraan kolmion kulmien summan avulla: β = 180 90 5,1 = 6,9. Tehtäviä 22. Tasakylkisen kolmion kyljen pituus on 60 cm. Kuinka pitkä on kolmion kanta, kun huippukulman suuruus on 50? 2. Lattialle sijoitettava monitorikaiutin suuntaa äänen 5 vaakatasosta ylöspäin. Kuinka kauas laulajasta kaiutin kannattaa sijoittaa, jotta laulaja kuulisi äänen mahdollisimman hyvin, kun kaiuttimen korkeus lattiasta on 25 cm ja laulajan korvat ovat noin 160 cm korkeudella?
24. Suunnistusradan 2. rasti sijaitsee pohjoisesta etelään menevällä polulla 800 metriä 1. rastista itään. Kilpailija ottaa kompassisuunnan 1. rastilla ja etenee tämän suunnan mukaan kohti 2. rastia päätyen polulle 60 metriä 2. rastin eteläpuolella. Paljonko kilpailijan käyttämä suunta poikkesi tarkasta, 1. rastilta 2. rastille menevästä suunnasta? Kuinka paljon pidempi matka polulle oli kilpailijan käyttämällä suunnalla lyhimpään reittiin verrattuna? 25. Tasaisessa laskettelurinteessä pudotusta tulee viidesosa rinteen pituudesta. Mikä on rinteen kaltevuuskulma? Vaikka aiemmin trigonometriset funktiot määriteltiin suorakulmaista kolmiota käyttäen, trigonometrian avulla voidaan esittää yleisesti kaikkia kolmioita koskevia tuloksia. Eräs kaikille kolmioille pätevä trigonometrian tulos on sinilause, jonka mukaan kolmiossa sivun ja sivun vastaisen kulman sinin suhde on vakio. Alla olevan kolmion merkinnöin a sin α = b sin β = c sin γ. Toinen hyödyllinen trigonometrian tulos on Pythagoraan lausetta muistuttava, mutta kaikille kolmioille pätevä kosinilause. Yllä olevan kolmion merkintöjä käyttäen kosinilauseen mukaan c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Tehtäviä 26. Johda sinilause a = b. sin α sin β Vinkki: Aloita piirtämällä edellisen teoriaosan mukaiseen kolmioon korkeusjana h ja hyödynnä muodostuvia suorakulmaisia kolmioita.
27. Johda kosinilause c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Vinkki: Piirrä edellisen teoriaosan mukaiseen kolmioon korkeusjana h ja käytä Pythagoraan lausetta muodostuviin suorakulmaisiin kolmioihin. Esimerkki 1: Kolmion pisimmän sivun pituus on 4 ja lyhimmän sivun pituus 2. Pisimmän sivun vastaisen kulman asteluku on 104,4. Paljonko on lyhimmän sivun vastaisen kulman asteluku? Ratkaisu: Merkitään kysyttyä kulmaa muuttujalla α. Sinilauseen mukaan sin α = sin 104,4 4 sin α 0,484 α 29,0 2 sin α 2 = sin 104,4 4, josta Esimerkki 2: Laivan kapteeni havaitsee lähellään kaksi muuta laivaa. Toinen laiva näkyy 1,2 km päässä ja toinen 2, km päässä. Tähystyssuunnat laivoihin muodostavat 24 kulman. Kuinka kaukana kaksi muuta laivaa ovat toisistaan? Ratkaisu: Kuvassa tähystyspiste on A ja kahden muun laivan paikat pisteet B ja C. Kosinilauseen mukaan c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ c = a 2 + b 2 2ab cos γ c = (1,2 km) 2 + (2, km) 2 2 1,2 km 2, km cos 24 c 1, km Kahden muun laivan etäisyys toisistaan on siis noin 1, kilometriä.
Tehtäviä 28. Suunnistajan seuraavalle rastille on matkaa 1,4 km. Kuinka kaukana suunnistaja on rastista juostuaan 1,4 km, kun hänen kulkemansa suunta poikkeaa rastin suunnasta 5? 29. Frisbeegolf-väylällä voi korille edetä kahta vaihtoehtoista reittiä: kapeaa suoraa väylää, jonka pituus on 12 metriä, tai hieman leveämpää väylää, joka 85 metrin suoran osan jälkeen kääntyy vasemmalle ja jatkuu vielä tähän suuntaan 45 metriä. Kuinka jyrkästi leveämpi väylä kääntyy 85 metrin kohdalla? 0. Kolmion muotoisen metsäpalstan kaksi sivua ovat 400 metriä ja 550 metriä. 550 metrin sivun vastaisen kulman suuruus on 61. Mikä on metsäpalstan pinta-ala?
D. AVARUUSGEOMETRIAA Alla on kuvia keskeisimmistä avaruuskappaleista sekä niiden tilavuuksien ja pinta-alojen laskukaavoja. Tarvitset niitä laskiessasi tämän kappaleen tehtäviä. Lieriö: tilavuus V = A p h, missä A p on pohjan ala ja h on korkeus Usein esiintyviä lieriöitä: kokonaispinta-ala A = A v + A p, missä A v on vaipan ala. Suorakulmainen särmiö: V = abc ja A = 2bc + 2ac + 2ab. Ympyrälieriö: V 2 = πr h ja A = 2π r 2 + 2πrh.
1 Kartio: V = Aph. Usein esiintyviä kartioita: Suora ympyräkartio: V 1 = π 2 r h ja 2 A = π r + πrs, missä s on sivujanan pituus. Suora neliöpohjainen pyramidi: V 1 2 = a h ja A = a 2 + 2aht. Pallo: V 4πr = ja A 2 = π. 4 r
Tehtäviä 1. Pellistä halutaan valmistaa kannellinen laatikko, jonka mitat ovat 0 cm, 20 cm ja 15 cm. Paljonko peltiä tarvitaan, kun saumausten takia täytyy varata 10 % enemmän peltiä verrattuna valmiin laatikon tahkojen pinta-alaan? 2. Ympyrälieriön tilavuus on 0 cm ja korkeus on 8 cm. Mikä on pohjaympyrän säde?. Ympyräkartion muotoisen jäätelötuutin korkeus on 15 cm ja kannen säde 2 cm. a) Paljonko jäätelöä mahtuu tuuttiin? b) Paljonko paperia tarvitaan tuutin valmistamiseen (saumavaroja ei oteta huomioon)? 4. Perustele suoran neliöpohjaisen pyramidin vaipan alan kaava Av = 2aht (kuva edellisellä sivulla). 5. Kappale on katkaistun suoran neliöpohjaisen pyramidin muotoinen. Pohjaneliön sivu on 4 cm ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen katkaisupinnan sivu on 2 cm. Kappaleen korkeus on cm. Laske kappaleen tilavuus. VIHJE: Päättele katkaisemattoman pyramidin mitat esimerkiksi käyttäen apuna poikkileikkauspiirrosta. 6. Neliöpohjaisen pyramidin pohjaneliön sivun pituus on 10 cm ja pyramidin korkeus on 12 cm. Laske pyramidin tilavuus ja kokonaispinta-ala. VIHJE: Laske sivutahkon korkeus käyttäen Pythagoraan lausetta.
7. Miesten kuulantyönnössä käytetyn kuulan halkaisija on 12 cm. Paljonko tällainen kuula painaisi, jos se valmistettaisiin puhtaasta kullasta? Kullan tiheys on 19g / cm. 8. Kappaleen tilavuus on 1 litra. Mikä on a) pohjaneliön sivun pituus, jos kappale on neliöpohjainen pyramidi, jonka pohjaneliön sivu ja korkeus ovat yhtä suuret? b) kappaleen säde, jos kappale on pallo? VIHJE: Laskimen avulla voidaan laskea luvun a kuutiojuuri toteuttaa yhtälön x = a. x = a, joka 9. Tynnyri on sylinterin muotoinen, ja sen säde on 40 cm sekä korkeus 1,20 m. Tynnyri painaa 10 kg. Paljonko painaa tynnyri, joka on täynnä vettä? Veden tiheys on 1kg / l. 40. Kuution sivun pituus on 1 m ja kuution sisällä on mahdollisimman suuri pallo. Montako prosenttia kuution sisällöstä pallo täyttää?
E. YHTÄLÖPARI Yhtälö on matemaattisessa ongelmanratkaisussa käytetty perustyökalu. Ongelma, jossa kysytään yhtä asiaa, yksi ehto johtaa yhden muuttujan yhtälöön. Ongelmat, joissa huomioidaan kahden ehdon yhtäaikainen voimassaolo, johtavat kahden muuttujan yhtälöpariin. Tutkitaan yhtälöparin muodostamista ja ratkaisemista ongelman avulla, jossa oppilaan pitää vastata monivalintakokeeseen. Kokeessa oikeasta vastauksesta saa neljä pistettä ja väärästä vastauksesta menettää kaksi pistettä. Olli vastasi kokeessa kuuteen kysymykseen ja sai 12 pistettä. Kuinka monta oikeaa ja kuinka monta väärää vastausta Ollilla oli? Aloitetaan tehtävän ratkaisu määrittelemällä muuttujat. Olkoon x oikeiden vastausten lukumäärä ja y väärien vastausten lukumäärä. Koska Olli vastasi kuuteen kysymykseen, voidaan muodostaa ensimmäinen yhtälö x + y = 6. Toisaalta oikeista vastauksista Olli sai yhteensä 4x pistettä ja vääristä 2y miinuspistettä, joten saadaan toinen yhtälö 4 x 2y = 12. Yhtälöiden on oltava voimassa yhtä aikaa, joten muodostetaan yhtälöpari x + y = 6 4x 2y = 12. Edellä muodostettu yhtälöpari on ns. lineaarinen yhtälöpari, koska molemmat yhtälöt ovat lineaarisia ja esittävät koordinaatistoon piirrettyinä suoraa. Yksi tapa ratkaista tehtävä on piirtää suorat koordinaatistoon ja etsiä niiden leikkauspiste. Tämän pisteen koordinaatit ilmoittavat yhtälöparin ratkaisun. Tämä ratkaisutapaa kutsutaan yhtälöparin graafiseksi ratkaisemiseksi. Menetelmä antaa kuitenkin usein likiarvoratkaisun ja sitä saa käyttää vain, mikäli tehtävässä niin sanotaan. Tehtäviä 41. Piirrä edellä olevat suorat koordinaatistoon ja etsi niiden leikkauspiste. Ilmoita vastauksena Ollin oikeiden ja väärien vastausten lukumäärä.
42. Pohdi, millä ehdolla lineaarisella yhtälöparilla voi olla ratkaisuja. a) Kuinka monta ratkaisuja voi olla? b) Milloin ratkaisuja ei ole? Ratkaistaan seuraavaksi sama tehtävä algebrallisesti ja tarkastellaan tehtävän ratkaisua sekä sijoitus- että yhteenlaskumenetelmällä. Sijoituskeinoa käytettäessä ratkaistaan jommastakummasta yhtälöstä toinen muuttuja toisen avulla. Esimerkiksi yhtälöstä x + y = 6 ratkaistaan y x:n avulla ja saadaan: y = 6 x. Sijoitetaan tämä yhtälöön 4 x 2y = 12, jolloin saadaan: 4x 2(6 x) = 12 4x 12 + 2x = 12 6x = 24 x = 4. Lopuksi ratkaistaan y sijoittamalla saatu x:n arvo: y = 6 x = 6 4 = 2. Yhteenlaskukeinoa käytettäessä on yhtälöparissa järjestettävä jommankumman muuttujan kertoimet toistensa vastaluvuiksi, jolloin tuntematon häviää laskettaessa yhtälöt yhteen. Jos kerrotaan yhtälöparin ylempää yhtälöä luvulla kaksi, saadaan muuttujan y kertoimet vastaluvuikseen. x + y = 6 4x 2y = 12. 2x + 2 y = 12 4x 2y = 12. Nyt laskemalla yhtälöt allekkain yhteen, saadaan 6 x = 24, josta edelleen x = 4. Tämä x:n arvo voidaan esimerkiksi sijoittaa alkuperäisistä yhtälöistä ylempää, jolloin saadaan ratkaistua y:n arvo.
Tehtäviä 4. Ratkaise yhtälöpari sekä sijoitus- että yhteenlaskumenetelmällä. x y + = 0 2x 5y = 12. 44. Ratkaise yhtälöpari sekä sijoitus- että yhteenlaskumenetelmällä. 4x + y = 8 5x + 2y = 12. 45. Pohdi ja kerro omin sanoin, milloin sijoituskeinon käyttö yhtälöparin ratkaisemisessa on mielekkäämpää? Entä millaisissa tapauksissa voi olla parempi käyttää yhteenlaskukeinoa? 2 46. Missä pisteissä suorat x + 6y 4 = 0 ja y = x + 4 leikkaavat? 47. Autopesulan mainoksen mukaan auton hellävarainen käsinpesu maksaa 18 euroa ja perusteellinen tehopesu 25 euroa. Mainoksen jälkeisenä työpäivänä pesulayrittäjä laski asiakkaita käyneen yhteensä 6 kappaletta ja myyntituloja kertyneen yhteensä 795 euroa. Kuinka moni asiakas valitsi käsinpesun ja kuinka moni tehopesun? 48. Auliksen kalastuslautta kyyditsee ihmisiä joelle kalastamaan ja nauttimaan maukasta kalaruokaa. Menomatka kalastusretkellä myötävirtaan kesti,5 tuntia ja kotiinpaluu vastavirtaan 4 tuntia. Määritä lautan nopeus tyynessä vedessä ja virran nopeus, kun koko kalastusmatkan pituus oli 112 km. 49. Pohdi, kuinka monessa pisteessä suora ja paraabeli voivat leikata toisensa. Havainnollista tilannetta kuvan avulla. Ratkaise suoran y = 2 ja paraabelin y = 2x 2 6 leikkauspisteet graafisesti ja algebrallisesti. Hae ratkaisut myös graafisen laskimen avulla.
50. Lukujen summa on 24 ja tulo 128. Muodosta yhtälöpari ja ratkaise se. Joudut ratkaisussa käyttämään osiossa A opittua toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.