7/ EEMENTTIMENETEMÄN PERSTEET SESSIO 7: Aksiaalinen sauvaelementti, osa. RATKAIS EEMENTIN AEESSA Verkon perusyhtälöstä [ K ]{ } = { F} saatavasta solmusiirtymävektorista { } voidaan poimia minkä tahansa elementin solmusiirtymävektori { u } e, josta solmuvoimavektori { } e voidaan laskea elementin perusyhtälön { } e = [ k] e { u} e avulla. Kun elementin solmusuureet tunnetaan, voidaan tuntemattomat suureet elementin alueessa laskea niiden avulla. Johdetaan kaava elementin mielivaltaisen poikkileikkauksen siirtymäkomponentille u(. Kinemaattisen yhtälön ja Hooken lain perusteella saadaan y u u e, E, A du σ = ε = ( d E Kuvan ja session FES6 yhtälön (5 perusteella voidaan kirjoittaa u( N( N E σ (u u = = = ( A A Kuva. Kenttäsuureiden määritys. Kaavoista ( ja ( seuraa du = (u u du = (u u d d u u ( Integroimalla saadaan tulokseksi u u = (u u u( = u + u ( Kaavassa ( siirtymän u( lausekkeen voidaan tulkita olevan muotoa (u N( u u ( = N + (5 u interpoloin- eli siirtymä u( saadaan lineaarisella interpoloinnilla solmuarvoistaan tiunktioiden ollessa u ja ( = N ( (6 N = Tässä tapauksessa tarkka siirtymäratkaisu elementin alueessa on löydettävissä ja se on
7/ sama kuin lineaarisella interpoloinnilla saatava ratkaisu. Siirtymää (5 vastaavat venymä ε ja jännitys σ ovat du dn dn ε u u (u = = + = u d d d (7 E σ E (u u = ε = (8 EKVIVAENTTISET SOMKORMITKSET Session FES6 kuvan 6 elementtiverkossa oli kuormituksena vain pistevoimia, jotka kohdistuivat elementtiverkon solmuihin. Elementtiverkon solmukuormitusvektori { F } voitiin tällöin muodostaa välittömästi. Yleisessä tapauksessa elementtiverkkoon vaikuttavista kuormituksista osa on elementin alueessa vaikuttavia jakaantuneita tai pistemäisiä kuormituksia. Näitä solmujen ulkopuolella olevia kuormituksia sanotaan elementtikuormituksiksi. Niiden vaikutus voidaan ottaa huomioon ekvivalenttisten solmukuormitusten avulla. Elementin ekvivalenttisilla solmukuormituksilla { r } tarkoitetaan sauva- ja palkkirakenteilla sellaisia solmukuormituksia, jotka aiheuttavat rakenteelle samat solmusiirtymät { } kuin kyseessä oleva elementtikuormituskin. Ekvivalenttisten solmukuormitusten lausekkeet voidaan johtaa yhteenlaskuperiaatteen avulla. Tarkastellaan kuvan mukaista aksiaalisen F R q( F S e- R e S e+ (a R S u u r q( r R e S (b R F S F r r R e S (c Kuva. Ekvivalenttiset solmukuormitukset.
7/ rakenteen elementtiverkon elementtiä e, jonka solmujen ja globaalinumerot ovat R ja S. Tutkittava tilanne (a on jaettu kahteen osatapaukseen (b ja (c. Tapaus (b sisältää pelkän elementtikuormituksen ja sen solmusiirtymät on estetty kiinnittämällä solmut. Tällöin elementin päihin syntyvät tukireaktiot r ja r. Tapaus (c sisältää solmukuormitukset F R ja F S solmusiirtymien ollessa tapauksen (a mukaiset. Solmukuormituksiin tarvitaan siis tapauksessa (c lisäykset, jotka määritelmän mukaan ovat juuri ekvivalenttiset solmukuormitukset r ja r. Yhteenlaskuperiaate (a = (b + (c toteutuu siis jos ja vain jos r r ja r = r = (9 Nähdään, että ekvivalenttiset solmukuormitukset ovat elementtikuormituksista syntyvien tukireaktioiden vastasuureet, kun solmumittauksen mukaisten siirtymien syntyminen on estetty. Edellä esitetty päättely pätee ilmeisesti muillekin sauva- ja palkkielementeille, kun vain yhteenlaskuperiaate on voimassa. ineaarisen lujuusopin tehtävissä yhteenlaskuperiaate on aina voimassa. Elementtikuormitusten ollessa mukana, muuttuu elementin solmuvoimavektorin { } laskukaava hieman toiseen muotoon. Kuvan (c mukaan { } sisältää edelleen solmusiirtymävektorista { u } johtuvan osuuden [ k ]{ u}, mutta yhteenlaskuperiaatteesta seuraa, että tähän on vielä lisättävä kuvan (b tukireaktioiden vektori { r} { r r } = {} r solmuvoimavektoriksi saadaan siis tässä tapauksessa =. Elementin {} = [ k]{ u} + {} r = [ k]{ u} { r} ( Kuvassa on vielä esitetty elementtiin e ja solmuihin R ja S kohdistuvat voimat, jolloin ku- k u = =. Solmuun kohdistuu solmukuormituksen lisäksi vassa on merkitty [ ]{ } { } { } siihen liittyvistä elementeistä niiden solmuvoimavektoreiden mukaiset komponentit. q( Elementistä e- R F R r e r r Kuva. Elementin e solmujen R ja S voimat. r Elementistä e+ S S F Elementtikuormitukset otetaan siis huomioon niin, että solmukuormitusvektoriin { F } lisätään ekvivalenttiset solmukuormitukset. Tämä voidaan tehdä systemaattisesti siten, että kullekin elementtikuormituksen alaiselle elementille lasketaan lokaalinumeroinnin mukainen ekvivalenttinen solmukuormitusvektori { r} e { r} e globaalinumeroinnin mukaisiin paikkoihin vektoriin { } konaiskuormitusvektori { R }, jonka lauseke on täten =, joka sitten sijoittelusummataan F. Näin saadaan elementtiverkon ko-
7/ M { R} = { F} + " " { r} e= e ( Yleinen elementtiverkon jäykkyysyhtälö on siis muotoa [ K ]{ } = { R} ( Kuvan solmujen vapaakappalekuvien perusteella on helppo päätellä, että yhtälöryhmän ( yhtälöt ovat solmumittausjärjestelmän mukaiset solmujen staattiset tasapainoyhtälöt. Kun yhtälö ( kirjoitetaan vielä tasapainoyhtälön asuun, saadaan { R } ( [ K]{ } = { } + ( Solmujen tasapainoyhtälöissä ( { R } edustaa ulkoisten kuormitusten (solmu- ja elementtikuormitusten osuutta ja [ K]{ } elementtien muodonmuutoksista johtuvien, elementeistä solmuihin vaikuttavien kimmovoimien osuutta solmujen tasapainoyhtälöistä. Kuvassa on muutaman aksiaalisen elementin elementtikuormitustapausten tukireaktiot r {} r. Niistä saadaan etumerkkiä vaihtamalla ekvivalenttiset solmukuormitukset {} q q q b F F a F a b EAα T T EAα T EA δ EA δ δ Kuva. Aksiaalisen elementin tukireaktioita { r }. Kun perusyhtälö [ ]{ } { R} { u } muodostaa ja edelleen laskea elementtien solmuvoimavektorit { } K = on ratkaistu, voidaan elementtien solmusiirtymävektorit kaavan ( avulla. Kun solmusuureet tunnetaan, voidaan elementin alueessa tuntemattomat suureet laskea näistä lähtien, kuten edellä esitettiin. askennassa on tietenkin otettava huomioon myös elementtikuormitusten vaikutus eli elementin alueessa tuntemattomia laskettaessa lähdetään liikkeelle kuvan mukaisesta kuormitustilanteesta.
7/5 ESIMERKKI FES7E {} r = { } = { } Tarkastellaan esimerkkinä ekvivalenttisista solmukuormituksista oheisen kuvan mukaista kuormitustapausta, jossa esimerkin FES6E rakenteeseen kohdistuu pistevoimien lisäksi elementtiin vaikuttava pitkittäissuunnassa tasan jakaantunut kuormitus. Verkon jäykkyysmatriisi muodostettiin esimerkissä FES6E ja sitä voidaan käyttää myös tämän kuormitustapauksen käsittelyyn. Elementin ekvivalenttinen solmukuormitusvektori on kuvan mukaan joka voidaan summata osoitenumeroidensa mukaisesti kokonaiskuormitusvektoriin { R }. Elementtiverkon perusyhtälöksi tulee 7 7 5 7 75 5 75 7 7 7 F = F josta voidaan ratkaista tuntemattomat solmusiirtymät ja tukivoimat. Ratkaisu on A A mm mm mm A = mm A = mm E = GPa /m 8 =,57mm =,986 mm F = 7,5 F =,75 Rakenteen vapaakappalekuvasta nähdään aksiaalisen voimatasapainon toteutuvan. A /m 7,5 8,75, m Elementtien solmuvoimavektorit ratkaistaan elementin perusyhtälöstä (, joka ottaa huomioon ekvivalenttiset solmukuormitukset. Tulokseksi saadaan seuraavat vektorit
7/6 7 = 7 7 7,5 7 =,57 7,5 5 = 5 7 = 7 5,57,75 5 =,986,75 7,986,75 7 =,75 Seuraavassa kuvassa on tasapainon toteamiseksi esitetty elementtien ja solmujen vapaakappalekuvat. Elementtien vapaakappalekuvien perusteella on vielä laadittu rakenteen normaalivoimakuva, jonka avulla voidaan laskea mm. elementtien suurimmat jännitykset. /m,75,75,75 7,5 7,5,75 7,5 7,5 7,5,75,75,75,75,75, m 8 7,5 + -,75,75 - σ = 7,5MPa σ = ma 5,75MPa σ = 7,5MPa,75 q E, A, q u( = ( EA Määritetään vielä elementin keskikohdan siirtymä. Se koostuu solmusiirtymien vaikutuksesta kaavan (5 mukaisesti ja lisäksi elementin alueella olevan tasaisen kuormituksen vaikutuksesta. Jälkimmäinen lasketaan kuvan (b tilanteesta ja tarkoittaa siis kuvassa esitettyä lujuusopin perustapausta. u(mm =,57mm +,986 mm ( + mm =,79 mm +,95 mm =,895 mm
7/7 HARJOITS FES7H Kuvan aksiaalisen rakenteen E = GPa, α = µ / oc, A = mm ja A = mm. Määritä rakenteen normaalivoimakuva ja osien normaalijännitykset, jotka syntyvät ohuemman osan lämpötilan A nousun T = o A C ja voiman vaikuttaessa samanaikaisesti. aske T vielä oikeasta tuesta etäisyydellä 5 mm olevan poikkileikkauksen siirtymä. mm mm mm Vast. =,95mm F = 5 F = 5 u5,9mm Vihjeet: HARJOITS FES7H /m A A T,8 m,8 m,8 m Oheisen kuvan mukaisen aksiaalisen rakenteen A = mm, E = GPa, ja α = µ / oc. Määritä rakenteen normaalivoimakuva ja sen osien normaalijännitysten suurimmat itseisarvot. Rakenteen kuormituksena on ohuemman osan lämpötilan nousu T = oc, voima ja tasainen aksiaalinen kuormitus /m. aske vielä oikeasta tuesta etäisyydellä, m olevan poikkileikkauksen siirtymä. Vast.,676 mm F 5,67 F = 5, u,5mm Vihjeet: