Miki Salli PILARILAATAN TAIVUTUSMITOITUS KAISTAMENETELMÄLLÄ

Miki Salli PILARILAATAN TAIVUTUSMITOITUS KAISTAMENETELMÄLLÄ Rakennetun ypäristön tiedekunta Kandidaatintyö Taikuu 019

i TIIVISTELMÄ Miki Salli: Pilarilaatan taivutusitoitus kaistaenetelällä (Flexural Design of Flat Plates using the Strip Method) Kandidaatintyö Tapereen yliopisto Rakennustekniikan kandidaatin tutkinto-ohjela Taikuu 019 Tässä kandidaatintyössä tarkastellaan pilarilaatan rakenneanalyysiä kaistaenetelällä taivutusitoitusta varten. Taustatietoina esitellään pilarilaatan oinaispiirteet rakenneratkaisuna ja eurokoodien asettaat vaatiukset rakenneanalyysille ja raudoituksen suunnittelulle. Pilarilaatan keskeiset oinaisuudet runkoratkaisuna ovat rakenteen selkeys, uuntojoustavuus, vapaa geoetria ja tasainen, palkiton välipohjan alapinta. Jännevälin taloudellinen yläraja jännittäättöällä pilarilaatalla on 7,5 8,5 ja suositeltavia ovat säännölliset, neliöäiset pilarijaot. Eurokoodin ukaisessa taivutusitoituksessa käytetään rajatilaitoitusta osavaruusluvuin. Rakenteen varuus urtuista vastaan tarkistetaan urtorajatilassa ja pääraudoitus itoitetaan tään perusteella. Rakenneanalyysi voidaan perustaa plastisille enetelille, kuten kaistaenetelälle, jos rakenteella on riittävä plastinen uodonuutoskyky. Työssä esitellään, ihin kaistaenetelä perustuu ja tarkastellaan sen soveltaista pilarilaatan rakenneanalyysiin. Lopuksi käsitellään esierkkitapaus, jolle ääritetään itoitusoenttijakauat kaistaenetelällä. Kaistaenetelän ukaista oenttijakauaa vertaillaan lyhyesti eleenttieneteläohjeliston antaiin tuloksiin. Avainsanat: pilarilaatta, kaistaenetelä, pilarilaatan suunnittelu Tään julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin Originality Check -ohjelalla.

ii ALKUSANAT Tää opinnäytetyö on tehty Tapereen teknillisessä yliopistossa osana kandidaatinopintojani. Betonirakentainen ja -rakenteet ovat aina kiinnostaneet inua, joten aihepiirin valinta oli helppoa. Vaikka työssä käsitellään pilarilaattoja, tutustuin saalla yös uunlaisten laattojen analyysiin. Tästä on varasti hyötyä tulevaisuudessa. Kandidaatintyön tekeisen loassa olen kehittänyt oia taitojani erityisesti ajankäytön suunnittelussa, tutkiustavoitteiden asettaisessa, tieteellisessä kirjoittaisessa, tiedonhaussa ja oien tutkiustuloksien esittelyssä. Kiitän erityisesti ohjaajaani yliopistonlehtori Olli Kerokoskea antaastaan palautteesta, jonka yötä työstäni on tullut parepi. Kiitän yös kandidaatintyöseinaarin pienryhän jäseniä heidän antaastaan tuesta ja palautteesta kirjoitusprosessin aikana. Tapereella, 18. taikuuta 019 Miki Salli

iii SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO... 1. PILARILAATTA RAKENTEENA....1 Sovelluskohteet ja pilarilaattaratkaisun edut... 3. Tuotantoteknisiä näkökulia... 3.3 Suositellut rakenneitat... 4 3. LAATTOJEN MITOITUSSÄÄNNÖT EUROKOODISSA... 7 3.1 Erilaiset laattarakenteet... 7 3. Suunnittelun perusteet... 8 3.3 Kuoritukset ja kuoritusyhdistelät... 11 3.4 Pilarilaatan urtorajatilaitoitus... 14 3.5 Pilarilaatan käyttörajatilaitoitus... 15 3.6 Laattojen raudoitussäännöt... 15 4. PILARILAATAN RAKENNEANALYYSI... 17 4.1 Kaistaenetelän esittely... 18 4. Mihin kaistaenetelä perustuu... 19 4.3 Laatan kuoritusalueet ja -kaistat... 0 4.4 Keskiääräiset taivutusoentit ja laattaeleentit... 1 4.5 Mitoitusoenttien äärittäinen... 1 4.6 Kaistaenetelän soveltainen pilarilaattoihin... 5. ESIMERKKITAPAUS... 8 6. YHTEENVETO... 33 LÄHTEET... 35 LIITE A: YLEISIMPIÄ YKSISUUNTAISIA LAATTAELEMENTTEJÄ LIITE B: ESIMERKKI SIVUILTAAN TUETUSTA LAATASTA LIITE C: ESIMERKKITAPAUKSEN MITOITUSLASKELMAT

iv LYHENTEET JA MERKINNÄT CC1 seuraausluokka 1 CC seuraausluokka CC3 seuraausluokka 3 EQU EC EC0 EC1 EC STR staattisen tasapainon rajatila eurokoodi standardi SFS-EN 1990: Suunnitteluperusteet standardi SFS-EN 1991: Rakenteiden kuorat standardi SFS-EN 199: Betonirakenteiden suunnittelu kestävyyden rajatila As, in raudoituksen vähiäispinta-ala As, vaadittu vaadittu raudoituksen poikkipinta-ala c laattaeleentin sivun pituus d poikkileikkauksen tehollinen korkeus Ed kestävyyden itoitusarvo fcd betonin puristuslujuuden itoitusarvo fct betonin puristuslujuuden keskiarvo fyd betoniteräksen yötölujuuden itoitusarvo fyk betoniteräksen yötölujuuden oinaisarvo Gk,sup pysyvän kuoran suurin oinaisarvo Gk,inf pysyvän kuoran pienin oinaisarvo gk pysyvän kuoran oinaisarvo h laatan paksuus KFI kuorakerroin L pilareiden vapaa väli L1 itoitusoentin suurean arvon vaikutusalueen pituus 1 tukioentti tuella 1 tukioentti tuella Ed taivutusoentin itoitusarvo k keskiääräinen taivutusoentti Rd taivutuskestävyyden itoitusarvo x taivutusoenttitiheys y taivutusoenttitiheys xy vääntöoenttitiheys xs taivutusoentti tuella xf taivutusoentti kentässä Qk uuttuvan kuoran oinaisarvo p laatan kuoritus pd laatan kuorituksen itoitusarvo q hyötykuora sax, slabs laattojen raudoitustankojen aksiiväli Xd kuorien vaikutuksen itoitusarvo α itoitusoenttijakauan suhdeluku β tehollisen puristusvyöhykkeen suhteellinen korkeus η tehollisen lujuuden kerroin µ suhteellinen oentti

v µb tasapainoraudoituksen suhteellisen oentin raja-arvo ρ kuoran jakosuhde ψ0 yhdistelykerroin ψ1 tavallisen arvon yhdistelykerroin ψ pitkäaikaisarvon yhdistelykerroin ω ekaaninen raudoitussuhde

1 1. JOHDANTO Tässä kandidaatintyössä tarkastellaan taivutusoentin jakautuista jännittäättöässä pilarilaatassa. Laatan kuoritukset aiheuttavat laatassa sisäisen jännitysjakauan, jonka äärittäinen on lähtökohtana laatan pääraudoituksen itoittaiselle. Siten kyseessä on rakennesuunnittelun ja -analyysin ydinalueeseen kuuluva ongela, joka tulee vastaan aina, kun rakennuksen runkoratkaisuksi valitaan pilarilaatta. Työssä keskitytään laatan taivutusoenttien käsinlaskentaan soveltuvan kaistaenetelän soveltaiseen säännöllisiin pilarilaattoihin. Kaistaenetelään liittyvät ensiäiset tieteelliset artikkelit on julkaistu 1950-luvulla ja sitä laajasti käsitteleviä kirjoja ovat esierkiksi Strip Method of Design (1975) ja Strip Method Design Handbook (1996), jotka oleat ovat enetelän alun perin kehittäneen ruotsalaisen Arne Hillerborgin kirjoittaia. Kantavien rakenteiden ja siten yös teräsbetonilaattojen itoittaisen on Suoessa ja uissa Euroopan unionin jäsenaissa pohjauduttava kansallisella liitteellä täydennettyihin eurooppalaisiin standardeihin SFS-EN 1990 1999, joita kutsutaan lyhyein eurokoodeiksi. Kyseessä on 58 osaa ja tuhansia sivuja laaja kokonaisuus, inkä takia ukaan tähän työhön on otettu vain perusasiat ja pilarilaattoja koskevat kohdat. Eurokoodien esittelyn jälkeen selostetaan kaistaenetelän perusperiaatteet ja pilarilaattoja koskevat soveltaisohjeet. Lopuksi tutkitaan esierkkitapausta, joka on toiistorakennuksen oniaukkoinen välipohjalaatta. Kaistaenetelän perusteella laskettuja tuloksia vertaillaan lyhyesti eleenttienetelällä saatuihin tuloksiin.

. PILARILAATTA RAKENTEENA Runkojärjestelällä tarkoitetaan rakennuksen kantavien osien uodostaaa kokonaisuutta, joka uodostuu erilaisista rakenneosista, joita ovat esierkiksi laatat, palkit ja pilarit. Yleisiät runkojärjestelät koostuvat näistä rakenneosista. [1, s. 31.] Pilarien, palkkien ja laattojen uodostaaa runkojärjestelää sanotaan kehärungoksi. Kantavina pystyosina voivat pilarien ja palkkien aseesta olla yös kantavat seinät, pelkät pilarit tai seinien ja pilarien yhdistelä. Pilarilaataksi sanotaan runkoa, jossa laatta tukeutuu suoraan pilarien varaan. [1, s. 31 3.] Kuva 1 esittää pyöreillä ja nelikulaisilla pilareilla varustettuja pilarilaattoja. Kuva 1. Pilarilaatta, osa lähteen [, s. 10] kuvasta. Pilarilaatta voidaan toteuttaa jännittäättöänä tai jälkijännitettynä rakenteena. Jännittäinen ahdollistaa suureat jännevälit ja ohuean rakennepaksuuden verrattuna jännittäättöään rakenteeseen. Jännitetyssä rakenteessa yös taipuat ja halkeaat ovat pieniä ja laatta on vesitiivis. Jännitetyssä laatassa voi yös olla 3 4 pitkiä ulokeosia, jotka eivät ole ahdollisia jännittäättöällä laatalla. [3, s. 54, 105.] Pilarilaatan laattaosa on yleensä tasapaksu ja pilarien halkaisijat vakioita. Laatan paksuuden valinnassa kiinnitetään huoiota taloudellisuuteen, taipuiin, akustisiin oinaisuuksiin ja palonkestävyyteen. Pilarilaatan lävistyskapasiteetin perusteella ääräytyvä paksuus on kuitenkin yleensä itoituksessa ääräävä. [1, s. 94, 33 333.] Lävistyskapasiteettia voidaan parantaa laatan paksuntaisen ohella yös käyttäällä pilarin kohdalla vahvistuslaattaa tai erityistä lävistysraudoitusta. Pilarin tukivoia voidaan yös jakaa suurealle osalle laattaa pilarinhuippua kartioaiseksi uotoilealla eli käyttäällä niin kutsuttuja sienipilareita. Valuteknisien ja taloudellisien seikkojen takia

3 on kuitenkin edullisepaa käyttää joka kohdasta yhtä paksua laattaa ja vakiokokoisia pilareita. [1, s. 33.] Yksi ratkaisu on yös kasvattaa pilarin poikkileikkauksen kokoa, jolloin pilarin tukireaktio jakaantuu suurealle osalle laattaa..1 Sovelluskohteet ja pilarilaattaratkaisun edut Pilarilaattarunko soveltuu käytettäväksi asuinkerrostaloissa, liike-, toiisto- ja pienteollisuusrakennuksissa sekä julkisissa rakennuksissa. Kyseeseen tulevat siis rakennustyypit, joissa kuoritukset ja jännevälit ovat yleensä pilarilaatalle sopivia. [, s..][3, s. 9, 54.] Pilarilaatan valintaa puoltaa erityisesti tarve uuntojoustavalle runkoratkaisulle tai atalalle välipohjan rakennekorkeudelle ja saalla suurealle huonekorkeudelle. Pilarilaatan oinaisuuksiin kuuluvat vapaa reunojen uotoilu, pieni rakennekorkeus ja tasaiset laatan alapuoliset pinnat. Kantavia pystyrakenteita on yös vähän verrattuna uihin runkotyyppeihin, ikä ahdollistaa tilojen helpon uunneltavuuden. Rakenne on yös nopea suunnitella ja toteuttaa. [4, s. 405.] Rakennuksessa voi sijaita eri kerroksissa erilaisia toiintoja, jotka asettavat erilaisia vaatiuksia esierkiksi rakenteiden itoille ja kuorituksille [3, s. 9 13]. Rakentaisaikana kaikkien tilojen käyttötarkoitus ja erityisvaatiukset eivät välttäättä ole vielä selvillä. Toisaalta käyttötarkoitus voi uuttua rakennuksen elinkaaren aikana, jolloin pilarilaattarungon tarjoaasta uuntojoustavuudesta on etua. Väliseinien sijaintia voidaan uuttaa tarpeen ukaan toisin kuin esierkiksi kantavia seiniä sisältävässä rakennuksessa. [3, s. 3, 56.] Taloteknisten järjestelien vaatiien putkistojen, johdotusten ja uiden vastaavien osien sovittainen runkorakenteisiin vaakatasossa on helppoa, koska niiden asentainen ei vaadi läpivientejä kantavista rakenneosista, kuten palkistoista. Taloteknisten järjestelien pystysuuntaiset nousut sen sijaan vaativat suunniteltuja aukotuksia. [3, s. 56, 8.]. Tuotantoteknisiä näkökulia Pilarilaatan uottityö ja betonointi on yksinkertaisepaa ja nopeapaa kuin uiden runkorakenteiden, koska yksi työvaihe, palkkien tai kantavien seinien rakentainen, jää pois. Toistuvat ja tasapaksut laattakentät nopeuttavat rakentaista, ikä säästää kustannuksia verrattuna oniutkaisepaan ja paljon yksityiskohtia sisältävään rakenteeseen [3, s. 54, 86]. Pilareiksi soveltuvat pyöreät pilarit, joiden uotti- ja raudoitustyö on yksinkertaisepaa verrattuna uunlaisiin pilareihin [3, s. 60]. Rakenne- ja työaasuunnittelun huolellisuus ja yksityiskohtaisuus on edellytys rakentaisen eteneiselle aikataulussa. Valualueet suunnitellaan siten, että uottikalusto riittää niiden toteuttaiseen. Edellisen valualueen laatan kovettuessa uotitetaan, raudoitetaan

4 ja valetaan seuraavan valualueen pystyrakenteet. Työsauat on yös huoioitava suunnitelissa. [3, s. 86 88.] Raudoitus on syytä toteuttaa pääsääntöisesti esivalistettujen teollisten raudoitteiden avulla. Irtotankoja käytetään ainoastaan lisätankoina. Näin raudoittainen on nopeaa ja sujuvaa. Raudoituksen järkevä suunnittelu ja yhteensopivuus täytyy huoioida rakennesuunnitelissa. Raudoitteiden on sovittava yhteen ja niiden asennusjärjestys on suunniteltava etukäteen. [3, s. 86, 98.] Suunnittelussa on siis otettava huoioon yös tuotantotekniset asiat, jotta päästään taloudellisesti järkevään ratkaisuun. Toistuvat ja selkeät rakenneratkaisut alentavat suunnittelu- ja toteutuskustannuksia ja näiden vaiheiden kestoa..3 Suositellut rakenneitat Jännittäättöän pilarilaatan jännevälin taloudellinen yläraja on noin 8, kun taas jännitetyllä pilarilaatalla se on noin 10 ilan palkkikaistoja. Kuvassa esitetään pilarilaatan jännevälin ja paksuuden välinen riippuvuus sekä taloudellinen raja-alue, joka sijoittuu jännevälille 7,5 8,5. [, s..] Kuvan ukaan raja-alueen 7,5 8,5 alapuolella on järkevää käyttää jännittäätöntä laattaa, kun taas yläpuolella on perusteltua aloittaa jännitetyn laatan käyttö. Kuva. Taloudellisen jännevälin rajat [, s. 11].

5 Edullisin laattakenttien uoto on likiain neliö, utta jos käytetään suorakuliokenttiä, niiden sivusuhteiden tulisi olla 0,7 1,5. Pilari on edullista sijoittaa laatan reunasta vähintään etäisyydelle d, jossa d on laatan tehollinen korkeus. [4, s. 148 149, 405 407.] Pilarilaatan paksuus on Pilarilaattaohjeen [3] taulukoiden ukaan käytännössä 00 380. Paksuuden valintaan vaikuttavat taipuien rajoittainen ja lävistyskestävyys [3, s. 54 71]. Asuinkerrostaloissa yös akustiset seikat voivat tulla äärääviksi laatan paksuudelle [, s. ]. Pilareiden poikkileikkausitat valitaan kerrosten lukuäärän, pilarikenttien koon ja lävistyskapasiteetin perusteella. Pilareiden itat kannattaa valita saaksi koko rakennuksessa, sillä pilareiden kantokykyä voidaan uuttaa teräsääriä ja betonin lujuutta uuttaalla. Pilarilaattaohjeessa esitettyjen valintataulukoiden perusteella pilarin halkaisija voi olla 380 730, 50 askelin. [3, s. 60, 6 67.] Kuvassa 3 on esitetty aukkojen sijoitteluperiaate pilarilaattarungossa. Kuvasta nähdään, että pilareiden lähettyville ei tule sijoittaa suuria aukkoja, vaan ne on sijoitettava keskelle laattakenttää. Kuva 3. Aukkojen sijoittelu pilarilaatassa [, s. 4].

6 Suositeltuja vaihtoehtoisia runkotyyppejä rakennuksen syvyyssuunnassa on kuvassa 4. Voidaan todeta, että oniaukkoinen rakenne on neliökustannusten perusteella edullisepi kuin yksiaukkoinen. On yös huoattava, että pitkillä ulokkeilla varustettu laatta joudutaan toteuttaaan jännitettynä laattana. Koliaukkoista laattaa käytettäessä keskikentän pituudeksi suositellaan 0 % eneän kuin reunakenttien. [, s. 1.] Kuva 4. Pilarilaatan toteutusvaihtoehtoja [, s. 1].

7 3. LAATTOJEN MITOITUSSÄÄNNÖT EUROKOO- DISSA Eurokoodit ovat Euroopan unionin jäsenaissa käytössä olevia kantavien rakenteiden suunnittelua koskevia standardeja, joiden tavoitteena on yhdenukaistaa rakenteiden suunnitteluperiaatteet ja turvallisuusvaatiukset Euroopan talousalueella [5]. Eurokoodit sisältävät 10 standardia, joissa on yhteensä 58 osaa [6]. Betonirakenteiden suunnittelussa käytettävät standardit ovat [4, s. 19]: - SFS-EN 1990 Eurokoodi 0: Suunnitteluperusteet (EC0) - SFS-EN 1991 Eurokoodi 1: Rakenteiden kuorat (EC1) - SFS-EN 199 Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu (EC). Kaikkia ateriaaleja koskevissa standardeissa SFS-EN 1990 1991 [7, 8] ääritellään, illä periaatteilla ja vaatiuksilla rakenteiden kestävyys, luotettavuus ja käytettävyys varistetaan ja illaisia kuorituksia rakenteisiin kohdistuu. Esierkiksi lui-, tuuli- ja hyötykuorien laskenta on selostettu standardin SFS-EN 1991 eri osissa. 3.1 Erilaiset laattarakenteet Eurokoodin ukaan rakenne jaetaan erilaisiin rakenneosiin niiden tyypin ja toiinnan ukaan rakenneallin uodostaista varten. Laataksi ääritellään rakenneosa, jonka sivuitta on vähintään 5 kertaa laatan paksuus. [9, s. 57.] Laatat voidaan luokitella yhteen suuntaan tai kahteen suuntaan kantaviksi. Yhteen suuntaan kantava laatta käyristyy erkittävästi vain yhdessä suunnassa ja kuorituksien ajatellaan aiheuttavan taivutusoenttia vain yhden akselin suhteen. Kahteen suuntaan eli ristiin kantavassa laatassa taivutusoenttia on kahdessa pääsuunnassa ja oleat on huoioitava itoituksessa. Laatalla on yös erkittävästi vääntöjäykkyyttä, joten osan kuorituksesta välittää aina vääntöoentti. Pääosin tasaisesti kuoritettu laatta voidaan itoittaa yhteen suuntaan kantavana, jos sillä on kaksi yhdensuuntaista tukeatonta reunaa tai jos kyseessä on yhdessä suunnassa pitkän, neljältä reunaltaan tuetun laatan keskiosa [9, s. 57]. Muussa tapauksessa laatta on ristiin kantava ja sille on näin ollen ainakin tarkistettava pääraudoituksen tarve kahdessa suunnassa. Pilarilaatan osat kantavat kuoria useaassa kuin yhdessä suunnassa, joten sillä on pääraudoitus ainakin kahdessa, yleensä toisiaan vastaan kohtisuorassa, suunnassa. Lisäksi

8 siinä esiintyy paikallinen jännityskeskittyä pilarin kohdalla, joten yös lävistyskestävyys on tarkistettava taivutuskestävyyden lisäksi. Eurokoodissa on annettu joitakin erityisesti pilarilaattoja koskevia ääräyksiä, joita käsitellään yöhein tässä luvussa. 3. Suunnittelun perusteet Eurokoodien ukaisessa suunnittelussa käytetään rajatilaitoitusta, jossa rakenteen käyttäytyistä tutkitaan erilaisissa rajatiloissa. Tutkittavia rajatiloja ovat urto- ja käyttörajatilat. Murtorajatilassa oleva rakenne on enettänyt kantavuutensa tai stabiiliutensa esierkiksi ateriaalin urtuisen, väsyisen tai rakenteen tasapainon enettäisen seurauksena. Käyttörajatilaan joutunut rakenne puolestaan ei aiheuta välitöntä turvallisuusriskiä, vaan rakenteen toiintaan, säilyvyyteen ja ulkonäköön liittyviä haittoja. [10, s. 0.] Rajatilatarkasteluissa rakennetta tarkastellaan tietyssä itoitustilanteessa, joita ovat noraalisti vallitsevat ja tilapäiset olosuhteet sekä onnettouus- ja aanjäristystilanteet. Onnettouustilanteita ovat tulipalot, räjähdykset ja töräykset. [10, s. 1.] Rajatilatarkasteluissa sovelletaan osavaruuslukuenetelää, jossa kuorituksille, niiden vaikutuksille ja ateriaalien kestävyyksille on ääritelty oat osavaruuslukunsa. Näin varuus voidaan tietyssä itoitustilanteessa ja rajatilassa kohdentaa epävaruustekijöihin tilastollisesti perustellulla tavalla ja säätää rajatilan ylittyisen todennäköisyys riittävän pieneksi. [10, s. 1.] Rajatilaan liittyvä itoitusehto on uotoa [10, s. 1] X d E (3.1) d issä X d on kuorien vaikutuksen itoitusarvo ja E d on kestävyyden itoitusarvo. Kyseisten suureiden äärittäinen on selostettu hyvin yksityiskohtaisesti eurokoodeissa, utta betonirakenteiden taivutusitoituksen kannalta riittää yleensä tieto siitä, iten betonin puristuslujuuden itoitusarvo lasketaan. Puristuslujuuden itoitusarvo on f cd ja raudoituksen yötölujuuden itoitusarvo f yd f cd fc k = cc, (3.) c jossa cc on pitkäaikaisvaikutukset ja kuoran vaikuttaistavasta aiheutuvat epäedulliset tekijät huoioiva kerroin, f ck on betonin puristuslujuuden oinaisarvo ja c on betonin osavaruusluku [9, s. 35]. Suoen kansallisen liitteen ukaiset arvot ovat

9 = 0,85 cc ja = 1,5 c noraalisti vallitsevassa ja tilapäisessä itoitustilanteessa ilan pienennyksiä [11, s. 15]. Betoniteräksen yötölujuuden itoitusarvo on f yd = f yk s, (3.3) jossa f yk on betoniteräksen yötölujuuden oinaisarvo ja s on betoniteräksen osavaruusluku, jonka tavallinen arvo on 1,15 [11, s. 15]. Tyypillinen harjateräksen yötölujuuden oinaisarvo on 500 MPa, jota vastaava itoitusarvo on edellisen kaavan perusteella 434,8 MPa. Rajatilaitoitus osavaruusluvuin ei ota huoioon rakennuskohteen luonnetta, inkä takia käyttöön on otettu vielä kuorituksien suuruuteen liittyvät kuorakertoiet, joiden suuruus vaihtelee eri seuraauusluokkiin kuuluvissa rakennuksissa. Kuorakertoiet otetaan huoioon, kun uodostetaan rakenteille tulevia kuoritusyhdisteliä, jolloin seuraausluokkaan CC3 kuuluva rakennus saa suurean varuuden urtuista vastaan kuin tavanoainen luokan CC rakennus. [10, s. 3.] Taulukossa 1 on esitetty seuraausluokat rakennuksille Suoen kansallisen liitteen ukaan. Taulukossa on puolestaan esitetty seuraausluokkiin liittyvät kuorakertoiien arvot.

10 Taulukko 1. Rakennuksien seuraausluokat [1, s. 3]. Taulukko. Kuorakertoiien arvot [7, s. 138]. Seuraausluokka CC1 0,9 CC 1,0 CC3 1,1 Kuorakerroin KFI Rakenteiden suunnittelun ja toteutuksen laatu vaikuttavat yös saavutettavaan luotettavuuteen. Tään takia suunnittelutehtävät on jaettu eri vaativuusluokkiin, jotka vaikuttavat suunnittelijalta vaadittuun pätevyyteen. [10, s. 4.]

11 Betonirakenteiden toteutusstandardissa (SFS-EN 13670) on ääritelty kole eri toteutusluokkaa, jonka valintaan vaikuttavat seuraaus-, toleranssi- ja betoniluokka. Toleranssiluokka liittyy vaadittuun ittatarkkuuteen ja betoniluokka betonin lujuusluokkaan. Valittu toleranssi- ja toteutusluokka vaikuttavat osavaruuslukujen suuruuteen: vaativiassa toleranssi- ja toteutusluokassa voidaan käyttää pienennettyjä osavaruuslukuja. [10, s. 4 5.] Sallituista pienennyskertoiien arvoista on tarkein äärätty Suoen betonirakenteita koskevassa kansallisessa liitteessä. 3.3 Kuoritukset ja kuoritusyhdistelät Rakenteille tulevat kuorat voidaan luokitella onella eri tavalla. Kuoritukset voidaan jakaa vaikutusaikansa perusteella pysyviin kuoriin, uuttuviin kuoriin ja onnettouuskuoriin. Kuorat voivat olla luonteeltaan staattisia tai dynaaisia ja ne voivat olla liikkuvia tai kohdistua aina saaan paikkaan. Taulukossa 3 on esitelty erilaisia kuoria. [10, s. 6 7.] Taulukko 3. Kuorien luokittelu [10, s. 7] ukaan. Pysyvä kuora Muuttuva kuora Onnettouuskuora oa paino hyötykuora räjähdys esijännitysvoia luikuora tulipalo veden ja aan paino tuulikuora ajoneuvon töräys perustusten painuinen (epäsuora kuora) läpötilakuora (epäsuora kuora) Käytännössä kuorat eivät esiinny yksinään, vaan erilaisina yhdistelinä. Tiettyyn kuoritusyhdistelään otetaan ukaan kuorat, jotka voivat vaikuttaa saanaikaisesti. Kuorien yhdistäisessä uuttuvien kuorien suuruuksia kuitenkin uutetaan kertoiilla, koska on tilastollisesti epätodennäköistä, että kaikki kuorat vaikuttaisivat yhtä aikaa täysiääräisinä. Esierkiksi lui- ja tuulikuorien arvot on ääritelty niin, että aksiiarvot esiintyvät keskiäärin kerran 50 vuodessa. Kuoritusyhdistelien laskentakaavoissa näkyvät yös edellä selostettu kuorakerroin K FI ja kuoritusten osavaruusluvut. [10, s. 7.] Taulukossa 4 on esitetty uuttuvien kuorien yhdistelykertoiet Suoen kansallisen liitteen ukaan.

1 Taulukko 4. Muuttuvien kuorien yhdistelykertoiet [1]. Laatoille tulevista kuorista tavallisipia ovat hyötykuorat ja laatan tai uiden rakenneosien painoista aiheutuva kuora. Taulukossa 5 ovat Suoen kansallisen liitteen ukaiset rakennuksien hyötykuorat. Taulukko 5. Hyötykuorat rakennuksissa [13].

13 Murtorajatilassa rakennusten betonirakenteita koskevat rajatilat ovat staattisen tasapainon (EQU) ja kestävyyden (STR) rajatilat [10, s. 7]. Rakenneosien kestävyyden eli esierkiksi taivutus- ja leikkauskestävyyden osoittaisessa käytetään kestävyyden rajatilan ukaisia kuorien yhdistelysääntöjä. Kestävyyden rajatilassa kuoritusten arvot lasketaan lausekkeilla [1, s. 0] 1,15K G + 0,9G + 1,5 K Q + 1,5 K Q 1,35KFIGkj, sup + 0,9 Gkj, inf, FI kj, sup kj, inf FI k,1 FI 0, i k, i i 1 (3.4) joista rakenteelle epäedullisepi on ääräävä ja jossa K G G Q FI kj, sup kj, inf k,1 0, i Q ki, on kuorakerroin ovat epäedullisia pysyviä kuoria ovat edullisia pysyviä kuoria on ääräävä uuttuva kuora on uuttuvan kuoran yhdistelykerroin ja ovat uita uuttuvia kuoria. Käyttörajatilaa voidaan pitää ääritilana, jossa käyttökelpoisuusvaatiuksien täytyy vielä toteutua. Erilaisia käyttörajatiloja ovat esierkiksi taipua-, halkeilu-, yötö- ja värähtelyrajatila. [4, s. 18 19.] Käyttörajatilaitoituksessa käytetään erilaisia kuoritusyhdisteliä kuin urtorajatilassa. Pysyvät kuorat otetaan ukaan oinaisarvoisina ja uuttuville kuorille käytetään erilaisia yhdistelykertoiia sen ukaan, inkälaisesta käyttörajatilatarkastelusta on kyse. Kuoritusyhdistelät ovat oinaisyhdistelä, tavallinen yhdistelä ja pitkäaikaisyhdistelä. Taulukossa 6 on esitetty kuorien yhdistely käyttörajatilassa. [10, s. 30 31.] Taulukko 6. Kuorien yhdistäinen käyttörajatiloissa [10, s. 31] ukaan. Kuoritusyhdistelä Kuorien kertoiet Pysyvä kuora 1. uuttuva kuora Muut uuttuvat kuorat Oinaisyhdistelä 1,0 1,0 ψ 0 Tavallinen yhdistelä 1,0 ψ 1 ψ Pitkäaikainen yhdistelä 1,0 ψ ψ

14 Käytettävä kuoritusyhdistelä valitaan sen ukaan, illaisia vaikutuksia tarkastellaan. Esierkiksi jännittäättöien teräsbetonirakenteiden taipua- ja halkeaaleveysrajatilassa käytetään pitkäaikaista yhdistelää. [10, s. 31.] Kertoiien arvot saadaan taulukosta 4. 3.4 Pilarilaatan urtorajatilaitoitus Pilarilaatalle on tarkistettava urtorajatilassa taivutus-, leikkaus- ja lävistyskestävyys. Taivutusitoituksen perusteella ääritetään tarvittava pääraudoitus oleissa raudoitussuunnissa, jotka yleensä ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Leikkausitoitus tulee kyseeseen, jos laatta on tuettu viivaaisesti [14, s. 58], siis esierkiksi jos laatta tukeutuu joltakin kohtaa seinään. Lävistysurtuinen tarkoittaa paikallista laattarakenteen urtuista pisteäisen kuorituksen tai tukireaktion kohdalla [14, s. 64]. Tässä työssä ei käsitellä lävistysitoitusta, joka on oa erillinen kokonaisuutensa, vaan keskitytään taivutusitoitukseen. Pilarilaatalla lävistysurtuinen on kuitenkin aina tarkistettava pilarin ypäristössä. Taivutusitoituksen lähtötietoina tunnetaan seuraavat suureet [14, s. 48]: - itoitusoentti Ed rakenneanalyysin tuloksena - poikkileikkauksen tehollinen korkeus d - betonin puristuslujuuden itoitusarvo - tehollisen lujuuden kerroin. Tehollisen lujuuden kerroin liittyy korkealujuusbetoneiden käyttöön. Tässä työssä käsiteltyjä ja yöhein esiteltävällä kaistaenetelällä analysoituja laattoja ei valisteta korkealujuusbetonista. Lähtötietojen avulla saadaan laskettua suhteellinen oentti f cd = (3.5) f d Ed, b cd jossa b on tasapainoraudoituksen ukainen suhteellinen oentti. Ehdon täytyy toteutua, jotta poikkileikkauksesta ei tule yliraudoitettua. Tehollisen puristusvyöhykkeen suhteellinen korkeus saadaan yhtälöstä = 1 1. (3.6)

15 Mekaaninen raudoitussuhde on suuruudeltaan =. (3.7) Vaadittu raudoituksen poikkipinta-ala saadaan nyt yhtälöstä A f = d (3.8) f cd s, vaadittu, yd jossa f yd on teräksen yötölujuuden itoitusarvo. On vielä tarkistettava, että laskettu raudoitusäärä ei ole alle iniiraudoituksen. Kun vaadittu raudoituksen pinta-ala on selvillä, voidaan valita tangot. Tään jälkeen täytyy tarkistaa, että laatoille äärätty aksiitankoväli ei ylity. [14, s. 48 49.] Edellä kuvattu itoitus tehdään erikseen tuki- ja kenttäoenteille oleissa suunnissa. 3.5 Pilarilaatan käyttörajatilaitoitus Laattojen käyttörajatilassa kyseeseen tulevat yleisiät rajatilat ovat halkeaaleveyden ja taipuien rajoittainen. Halkeaaleveyksiä ei yleensä tarvitse erikseen tarkistaa rakennuksissa käytettävissä enintään 00 paksuisissa laatoissa, kun laattaan ei kohdistu erkittävää vetävää noraalivoiaa ja laatta on raudoitettu standardin raudoitussääntöjen ukaan. Taipuarajatila on laatoilla usein ääräävä rajatila ja sitä voidaan pienentää laatan paksuutta kasvattaalla. Taipuien laskenta on kuitenkin haastavaa. [14, s. 88 89.] Tässä työssä ei käsitellä tarkein halkeilu- ja taipualaskelia, utta käyttörajatilat täytyy ottaa huoioon pilarilaattojen itoituksessa urtorajatilojen ohella. Alustavaksi pilarilaatan paksuudeksi voidaan valita L/30 L/7, issä L on laataston suurin jänneväli [4, s. 405 406]. 3.6 Laattojen raudoitussäännöt Laattojen raudoittaisessa huoioitavia asioita ovat ainakin vähiäisraudoitus, jakoraudoitus, tankovälit, katkaisukohdat, ankkurointi tuille ja tukialueiden raudoitus sekä raudoituksen yksityiskohdat. Osa raudoitussäännöistä perustuu standardin SFS-EN 199 (EC) vaatiuksiin ja osa vakiintuneisiin käytäntöihin. [14, s. 79.]

16 Vähiäisraudoitusäärä on [14, s. 80] A s, in fct 0,6 d = f yk 0, 0013 d, (3.9) jossa f ct on betonin keskiääräinen vetolujuus. Ristiin kantavissa laatoissa iniivaatius koskee kenttäraudoitusta oleissa suunnissa. Yhteen suuntaan kantavissa laatoissa vaaditaan iniiäärän sijaan poikittaisessa suunnassa jakoraudoitus, joka on vähintään 0 % pääraudoituksen äärästä. [14, s. 80 81.] Standardissa EC on ääritelty laattojen raudoitustangoille suurin ahdollinen jakoväli jonka suuruus saadaan taulukosta 7. Tankovälin vähiäisarvo riippuu laatan s ax, slabs, paksuudesta ja siitä, istä raudoituksesta ja illä alueella on kyse. Taulukko 7. Tankovälien aksiiarvon ääräytyinen, uokattu lähteestä [14, s. 81]. Maksiioentin ja pistekuorien alueet Muut alueet Maksiioentin Pääraudoitus Jakoraudoitus in{ h, 50 } in{3 h, 400 } in{3 h, 400 } in{4 h, 600 } Raudoitustankojen ankkuroinnista ja katkaisupituuksista sekä tukialueiden raudoittaisesta on äärätty EC :ssa. Myös raudoituksen yksityiskohdista, kuten taivutuksista, jatkoksista ja tankonipuista on ääräykset standardissa. Laatan vapaalle reunalle tulee sijoittaa reunaraudoitus. Aukot tarvitsevat yös oanlaisensa raudoituksen. [14, s. 81 87.] Koska raudoituksen yksityiskohtien suunnittelu oa erillinen aiheensa, ei tässä kandidaatintyössä selosteta siihen liittyviä yksityiskohtia tään enepää.

17 4. PILARILAATAN RAKENNEANALYYSI Pilarilaatta eroaa ristiin kantavasta laatasta (ks. kohta 3.1) onella tavalla. Taivutusoentit jakautuvat pilarilaatassa eri tavalla, taipuat ovat suurepia ja lävistyskapasiteetti täytyy tarkistaa pilarien kohdalla. [15, s. 389] Toiinnallisesti pilarilaatta koostuu pilarija keskikaistoista, joista pilarikaista toiii tukikaistana ja kantaa suurian osan kuorasta [4, s. 148]. Eurokoodin opastavan liitteen I ukaan pilarilaattojen analyysissä voidaan käyttää ainakin seuraavia eneteliä [9, s. 1]: - kaistaenetelä - eleenttienetelä - yötöviivaenetelä ja - ekvivalenttien kehien enetelä. Tässä työssä keskitytään kaistaenetelän soveltaiseen erityisesti pilarilaattoihin. Seuraavassa luvussa on esierkkilaskelan lopuksi vertailun vuoksi yös esitelty eleenttieneteläohjeliston antaia tuloksia käsiteltävästä pilarilaatasta. Eurokoodin luvussa 5 esitetyt betonirakenteiden rakenneanalyysiä koskevat ääräykset koskevat yös pilarilaattojen analyysiä. Yleisissä vaatiuksissa ainitun periaatesäännön ukaan selvitetään joko voiasuurejakauat tai jännitysten, uodonuutosten ja siirtyien jakauat koko rakenteessa tai rakenteen osassa. [9, s. 53.] Kaistaenetelällä saadaan selville taivutusoenttijakaua (voiasuurejakaua), jolle pääraudoituksen itoitus voidaan suoraan perustaa. Esierkiksi eleenttieneteläohjelistolla saadaan puolestaan selville rakenteen jännitys-, uodonuutos- ja siirtyäkentät halutulla tarkkuudella käytettävän analyysityypin rajoissa. Tulosten tulkinnassa tarvitaan niin kutsuttua jälkiprosessointia, koska betonirakenteiden itoitus on perinteisesti tehty poikkileikkauksessa vallitsevien jännitysjakauien resultanttien perusteella. Esierkiksi poikkileikkauksen taivutusjännitysjakauan resultantti on taivutusoentti. Tään takia yös itoitusohjeet on uotoiltu ja todettu käytännössä toiiviksi nienoaan näiden resultanttien pohjalta. Toisaalta raudoituksen äärää ei voida yöskään uuttaa rakenteessa jatkuvasti. Teräsbetonin halkeilu ja uut betonin epälineaariset iliöt eivät yöskään ole helppoja allintaa. Eurokoodissa on yös periaatesääntö, jonka ukaan rakenneanalyysissä tulee idealisoida sekä rakenteen toiinta että geoetria tarkasteltavan ongelan kannalta tarkoituksenukaisella tavalla [9, s. 53]. Mikä on illoinkin tarkoituksenukaista, on ielenkiintoinen kysyys.

18 Plastisten enetelien käyttäisen ehdot on esitetty eurokoodin EC kohdassa 5.6.1, jossa ainittujen periaatesääntöjen ukaan plastisia eneteliä käytetään ainoastaan urtorajatilojen tarkistaiseen, ääräävillä poikkileikkauksilla tulee olla riittävä sitkeys ja uodonuutoskyky ja että analyysissa käytettään joko plastisuusteorian alarajalausetta tai ylärajalausetta [9, s. 61]. Eurokoodin kohdassa 5.6. annetaan palkkien, kehien ja laattojen analyysiä koskeva periaatesääntö, jonka ukaan plastista analyysiä voidaan käyttää ilan suoraa kiertyiskyvyn tarkistusta, ikäli ääräävien poikkileikkausten sitkeys on riittävä tarkasteltavien ekanisien uodostuiselle [9, s. 61]. Eurokoodissa on yös annettu ohjeita, illoin sitkeysvaatiusten voidaan katsoa täyttyvän. Näitä vaatiuksia ei tarkastella yksityiskohtaisesti tässä työssä, utta lähteen [16] ukaan vähän raudoitetuilla, uilla kuin korkealujuusbetonista valetuilla laatoilla yleensä on riittävä kiertyiskyky, kun käytetään kaistaenetelää ja siihen liittyviä suositeltuja itoitusoenttijakauia, jotka on esitetty pilarilaatalle yöhein. Eurokoodin luku 9 koskee rakenteiden yksityiskohtien suunnittelua ja erityisiä sääntöjä. Luku 9.4 koskee erityisesti pilarilaattoja. Kohdan (1) ukaan raudoitus on järjesteltävä pilarilaatoissa käyttötilan ukaan, ikä yleensä johtaa raudoituksen keskittyiseen pilareiden kohdalle. Kohdissa () ja (3) annetaan ohjeita raudoituksen sijoitteleisesta pilarilaatassa välipilareiden kohdalla. Kohta 9.4. koskee raudoitusta, jota tarvitaan oentin siirtäiseksi reuna- ja nurkkapilareille. Kohta 9.4.3 koskee lävistyisleikkausraudoituksen järjestelyä. [9, s. 157 159.] Raudoituksen suunnittelussa täytyy ottaa huoioon nää ohjeet. Laajuuden takia näitä ohjeita ei ole ahdollista esitellä tässä työssä yksityiskohtaisesti. 4.1 Kaistaenetelän esittely Hillerborgin kaistaenetelä on plastinen laattojen itoitusenetelä, joka näin ollen soveltuu laatan urtorajatilan tarkasteluun. Menetelällä saadaan laskettua laatan taivutusoenttijakauat, joiden perusteella pääterästen itoitus on ahdollista. Yksinkertaisessa kaistaenetelässä (engl. siple strip ethod) laatta jaetaan pintansa suunnassa vaaka- ja pystysuuntaisiin kaistoihin, jotka välittävät kuoria tuille vain yhdessä suunnassa. Laatan kuorat voidaan periaatteessa jakaa näille kaistoille issä suhteessa tahansa. Yksinkertainen ja toiiva valinta on kuitenkin sijoittaa tietyssä osassa laattaa vaikuttava kuora aina vain toiselle alueen läpi kulkevista kaistoista. [16, s. 10.] Yksinkertaisipia laattaeleenttejä enetelässä ovat yhteen suuntaan kantavat laattaeleentit, joita käsitellään seuraavissa aliluvuissa kaistaenetelän idean esitteleiseksi. Pilarilaatan analyysiin tarvitaan oniutkaisepi laattaeleentti. Menetelän soveltainen pilarilaattaan on yös onivaiheisepi kuin tavanoaiseen reunoiltaan tuettuun laattaan.

19 4. Mihin kaistaenetelä perustuu Jos löydetään rakenteelle tasapainoyhtälöt toteuttava taivutusoenttijakaua, jossa taivutusoentit ovat jokaisessa kohdassa rakennetta plastista oenttia pienepiä, ei rakenne plastisuusteorian alarajalauseen ukaan ole vielä saavuttanut rajakuoraansa [4, s. 111]. Hillerborgin kaistaenetelän ideana on löytää tällainen tasapainoehdot toteuttava taivutusoenttijakaua ja suunnitella rakenteen pääraudoitukset näiden taivutusoenttien ukaisesti. Menetelää voidaan käyttää, jos teräsbetonirakenteella on riittävä plastinen uodonuutoskyky. Yleensä tavanoaisesti raudoitetut laatat täyttävät tään vaatiuksen. Jos laatan raudoitussuhde on korkea ja se on valistettu korkealujuusbetonista, on plastinen kiertyiskyky rajoittunut ja enetelän käyttäinen ei välttäättä ole turvallista. [16, s. 1 3.] On huoattava, että kaistaenetelällä voidaan itoittaa vain urtorajatilassa tapahtuvaa taivutusurtoa vastaan. Erilaiset käyttörajatilatarkastelut ja esierkiksi lävistysitoitus on tehtävä erikseen. Kaistaenetelän ukaiseen itoittaiseen liittyy useita suosituksia, jotka vaikuttavat lopputuloksena saataviin taivutusoenttijakauiin. Näiden suositusten ukaan toiittaessa laatan toiinta yös käyttörajatilassa on yleensä järkevä. Halkeilun ja uodonuutosten kannalta kioteorian ukaista itoitusoenttien jakautuaa jäljittelevä ratkaisu on suositeltava. Kioteorian ukaista jakauaa ei kuitenkaan tarvitse seurata tarkasti, vaan keskiääräisten oenttien ukainen yhteensopivuus riittää. [16, s. 5 7.] Laatta-alkion tasapainoyhtälö on uotoa [4, s. 143] x xy y + + = p (, ), z x y x x y y (4.1) jossa, ovat taivutusoenttitiheydet ja x xy y on vääntöoenttitiheys. Hillerborgin kaistaenetelässä valitaan vääntöoenteiksi xy = 0 ja oletetaan, että osa kuorituksesta jakaantuu x-akselin suuntaisille kaistoille ja loppuosa 1 y-akselin suuntaisille kaistoille. Tällöin saadaan yhtälöt x y x y = p( x, y) = (1 ) p( xy, ), (4.)

0 joissa 0 1 ja p( x, y ) on laatan kuoritusfunktio [4, s. 143]. 4.3 Laatan kuoritusalueet ja -kaistat Kuoritusalueiden äärittäisessä käytettävä periaate on, että kuorat siirtyvät aina lähipänä niitä sijaitsevalle tuelle. Myös laatan reunojen kiinnitysasteella on erkitystä kuorien jakautuiselle, joten on suositeltua noudattaa seuraavia sääntöjä [16, s. 11 1]: - Jos nurkassa kohtaavat kaksi kiinnitettyä reunaa, jakoviiva puolittaa nurkkakulan. - Jos reunat ovat vapaasti tuetut, jakoviiva uodostaa pieneän kulan laatan lyhyeän sivun kanssa. - Jos toinen reunoista on vapaasti tuettu ja toinen kiinnitetty, jakoviiva uodostaa pieneän kulan vapaasti tuetun reunan kanssa. Kuvassa 5 on esitetty suorakulion uotoinen laatta, joka on jaettu neljään osaan. Kuvaan on erkitty, issä suunnassa kukin alue välittää kuoria. Kuvassa on esitetty yös eräät vaaka- ja pystysuuntaiset kaistat, joille kohdistuvat tuennetun alueen kuoritukset. Koko laatan alue saadaan katetuksi, kun tällaisia kaistoja on oleissa suunnissa koko laatan leveydellä riittävä äärä. Kuva 5. Laatan jakoviivat ja erisuuntaiset kaistat. Kuoritusalueiden rajaviivat otaksutaan leikkausvoian nollaviivoiksi, joiden kohdalla sijaitsevat kenttäoenttien aksiiarvot. Kuvan 5 kaistat voidaan analysoida palkkeina, jotka on tuettu päistään jäykästi. [16, s. 1 14.] Vaakakaistan taivutusoenttijakaua vaihtelee pystysuunnassa, koska kaistan kuoritetun osan pituus uuttuu. Kun tarkastellaan vaakakaistojen taivutusoentin aksiiarvoa, pienin arvo saadaan luonnollisesti laatan yläreunalla sijaitsevalla vaakakaistalla

1 ja suurin keskellä, koska tällöin kaistalla on eniten kuoritusta. Taivutusoentin poikittainen jakaua ei siis yleensä ole tasainen, vaan riippuu laatan kuoritusfunktiosta ja siitä, inkä uotoisia kuoritusalueet ovat. 4.4 Keskiääräiset taivutusoentit ja laattaeleentit Laatan taivutusoenttijakauan tarkan poikittaisen vaihtelun selvittäiseksi kuoritusalueella joudutaan integroiaan rajaton äärä kaistoja. Käytännössä raudoitusta ei voida itoittaa tällaiselle jatkuvalle vaihtelulle. Tään takia kaistaenetelän ukaisessa analyysissä käytetään tällaisten epätasaisten poikittaisjakauien keskiääräisiä taivutusoentteja apuna itoitusoenttien äärittäisessä. [16, s. 1.] Keskiääräiset taivutusoentit on laskettu valiiksi uodoltaan erilaisille ja eri tavoin kuoritetuille alueille, joita kutsutaan laattaeleenteiksi. Yksinkertaisipia laattaeleenteistä ovat yhteen suuntaan kuoria välittävät eleentit, jotka on tuettu yhdeltä reunaltaan. [16, s. 1 13.] Esierkiksi kuvassa 5 laatta on jaettu leikkausvoian nollaviivoin neljään laattaeleenttiin, joista kaksi on kolion ja kaksi puolisuunnikkaan uotoisia. Taulukoista saadaan kyseisten laattaeleenttien keskiääräiset taivutusoentit, joiden avulla laatan raudoituksen itoitusoentit ääritetään. Liitteessä A on esitetty tavallisiin esiintyviä yksisuuntaisia laattaeleenttejä ja niiden keskiääräisiä taivutusoentteja. 4.5 Mitoitusoenttien äärittäinen Moenttien suhteen on otettava huoioon kaksi jakauaa [16, s. 7]: 1. Tuki- ja kenttäoenttien jakautuinen toisiinsa nähden eli raudoituksen suuntainen jakautuinen ja. poikittainen jakautuinen raudoitusta vastaan kohtisuorassa suunnassa. Mitoitusoenttien äärittäinen laatan eri alueille tehdään laatalle laskettujen keskiääräisten oenttien perusteella. Periaatteessa oentit voidaan jakaa iten tahansa, utta tiettyjä sääntöjä noudattaen raudoituksesta tulee kustannuksiltaan kohtuullinen, riittävän yksinkertainen toteuttaa ja käyttörajatilassa toiiva. [16, s. 7.] Raudoitus toiii aktiivisiin alueilla, joilla laatan kaarevuus raudoitteen suunnassa on suuri. Toisaalta tukien kanssa yhdensuuntaiset ja lähellä tukia sijaitsevat raudoitteet eivät ole kovin aktiivisia. Yleensä järkevintä on jakaa taivutusoentti laatan alueelle siten, että teoreettisesti suuren taivutusoentin vaikutusalueelle ääritellään tasainen, keskiääräistä korkeapi itoitusoentti ja tään alueen ulkopuolelle ääritellään tasai-

nen, keskiääräistä pienepi itoitusoentti. [16, s. 8.] Periaatteessa siis yleensä valitaan raudoitussuunnassa kaksi eri itoitusoentin arvoa sopiville alueille ja itoitetaan pääraudoitus kyseissä suunnassa näille oenteille ja alueille. Kuva 6. Mitoitusoenttien äärittäinen, perustuu lähteeseen [16, s. 9]. Kuvassa 6 on esitetty itoitusoentit k. Kun on päätetty suhdeluvut kaavalla [16, s. 8] L / 1 L ja 1 ja 1 /, ja keskiääräinen taivutusoentti saadaan itoitusoentti 1 laskettua 1 = k L 1 L 1. + 1 L L 1 (4.3) Liittessä B on esitetty kahdelta reunaltaan kiinnitetyn ja kahdelta reunaltaan vapaasti tuetun laatan taivutusoenttien laskenta Hillerborgin kaistaenetelällä. Esierkissä on käytetty kolio- ja puolisuunnikaseleenttejä ja valittu / 1 = 0,5. 4.6 Kaistaenetelän soveltainen pilarilaattoihin Jotta kaistaenetelää voitaisiin soveltaa pilarilaattoihin, tarvitaan uudentyyppinen laattaeleentti, joka on tuettu yhdestä nurkastaan. Eleentin reunat ovat leikkausvoiien ja vääntöoenttien nollaviivoja. Nurkasta tuettu eleentti kantaa useaan suuntaan ja sen alueella täytyy olla raudoitus ainakin kahteen suuntaan. Tavallisin nurkasta tuettu eleentti on suorakulion uotoinen ja tasaisesti kuoritettu. Tällainen eleentti on esitetty kuvassa 7. Kaistaenetelään on kehitetty yös vinokulaisia ja kolion uotoisia eleenttejä. [16, s. 9 30.]

3 Kuva 7. Nurkasta tuettu eleentti, perustuu lähteeseen [16, s. 30]. Kuvassa 7 esiintyvän, kokoa c x c on keskiääräinen taivutusoentti ja reunalinjalla keskiääräinen taivutusoentti. xf y olevan ja tasaisesti kuoritetun eleentin tukilinjalla xs Arvot sijoitetaan etuerkkeineen, siis taivutusoentti Eleentti on tasapainossa y-akselin suhteen, kun xs on negatiivinen. xf qcx xs =, (4.4) jossa q on tasainen neliökuora. [16, s. 31.] Taivutusoentit jaetaan vaakasuunnassa pilari- ja palkkikaistoille, joiden leveydet ovat ja (1 c. Määritellään yksikötön kerroin c y ) y = xf xs, (4.5) jossa on keskikaistan taivutusoenttien itseisarvojen sua. Mitoitusoenttien jakauan on täytettävä ehto 0,5(1 ) 0, 7, jossa 0,5. Ehto liittyy nurkastaan tuetun eleentin toiintaan ja varistaa sen, että pilarikaistalle keskittyy eneän raudoitusta. Soveltaisen kannalta riittää, että käytetty itoitusoenttien jakaua täyttää ehdon. [16, s. 30 33.] Käytännössä pilarilaatan analyysi alkaa sillä, että laatta jaetaan osiin. Kuvassa 8 on esitetty, iten laatan ositus tehdään. Nuolten suunnista nähdään, issä suunnassa kunkin osan oletetaan toiivan. [15, s. 393.]

4 Kuva 8. Pilarilaatan jakainen osiin [15, s. 393]. Varsinaiset itat a x ja a y saadaan tarkastelealla laatan pääkaistojen tasapainoa, kun jakoviivat ovat leikkausvoian nollaviivoja. Pääkaista x-akselin suunnassa on ääritelty kuvassa 9. Pääkaista y-akselin suunnassa ääritellään vastaavalla tavalla. Pääkaistoja voidaan pitää tukien yli jatkuvana palkkina. Kuvassa 10 on havainnollistettu taivutusoenttien jakautuista pääkaistoilla. [15, s. 393.] Kuva 9. Pää- ja reunakaistat pilarilaatassa [15, s. 39].

5 Kuva 10. Palkkikaistojen oenttijakauat, poistettu kuvasta laatan nueeriset itat, lähteestä [17, s. ]. Jos tiedetään tukioentit jollakin osavälillä, esierkiksi tukioentit kuten kuvassa 10 on erkitty, niin kyseistä kenttää koskeva itta nollakohdan ja taivutusoentin aksiikohdan etäisyys tuelta lausekkeesta [16, s. 40] c xs1 xs x, pl d c x xs1 ja, xs eli leikkausvoian xs1 saadaan laskettua L = (4.6) jossa L p xs1 xs d on jänneväli, on tukioentti tuella 1, on tukioentti tuella ja on kuoritusfunktio.

6 Leikkausvoian nollakohtaa vastaava kenttäoentin arvo lausekkeesta [16, s. 40] xf saadaan tään jälkeen pc = + (4.7) d x. xf xs1 Kaavoja (4.6) ja (4.7) voidaan käyttää kaikkien jännevälien kenttäoenttien ja leikkausvoian nollakohtien laskentaan. Taulukossa 8 on esitetty tukioenttien suositeltavat arvot. Jos tukioentiksi tuen eri puolilla saadaan eri arvot, käytetään tukioenttina niiden keskiarvoa [15, s. 394]. Taulukko 8. Käytettävät tukioentit [15, s. 394]. Tapaus 1. Vastakkainen tuki kiinnitetty jäykästi. Vastakkainen tuki vapaasti tuettu 3. Vastakkainen tuki pilari, jonka yli laatta jatkuu Tukioentin arvo p L /16 d p L /10 d p L /14 d Kun on saatu ääritettyä tukioentit, kenttien itat ja kenttäoentit, ääritetään itoitusoenttijakauat, joiden perusteella pääraudoitukset olepiin suuntiin lasketaan. Tätä varten pääkaista jaetaan pilari- ja keskikaistaan, joille ääritetään erilaiset itoitusoenttien jakauat. [15, s. 395.] Kuvassa 11 on esitetty eräs tapa laskea tukiraudoituksen itoitusoentit keskiääräisen oentin xs avulla. Raudoitus itoitetaan pilarikaistalla oentille xs ja keskikaistalla pieneälle oentille 0,5 xs [15, s. 396]. Kuva 11. Tukiraudoituksen itoitusoenttijakaua [15, s. 396]. Kuvassa 1 on puolestaan esitetty tapa jakaa kenttäraudoituksen itoitusoentit keskiääräisen kenttäoentin xf avulla pilari- ja keskikaistoille. Raudoitus itoitetaan pilarikaistalla oentille 4 xf / 3 ja keskikaistalla oentille xf / 3 [15, s. 396].

7 Kuva 1. Kenttäraudoituksen itoitusoenttijakaua [15, s. 396]. Pilarilaatan analyysi kaistaenetelällä voidaan siis jakaa seuraaviin edellä läpikäytyihin vaiheisiin [15, s. 39 393]: 1. Jaetaan laatta reuna- ja pääkaistoihin.. Valitaan tukioenttien arvot. 3. Jaetaan laatta osiin, joiden reunoilla leikkausvoia on nolla. 4. Lasketaan kenttäoentit. 5. Määritetään itoitusoentit kaistoille poikittaisessa suunnassa. Lisätietoja kaistaenetelän soveltaisesta erityyppisiin laattoihin on teoksessa [16]. Kaistaenetelän teoriaa on käsitelty yksityiskohtaisesti kirjassa [17].

8 5. ESIMERKKITAPAUS Tään esierkkilaskelan tarkoituksena on esitellä pilarilaatan taivutusitoitusta kaistaenetelän avulla. Kuva 13 esittää itoitettavaa pilarilaattaa, joka koostuu 700 x 6000 ja 700 x 700 laattaruuduista. Ruutujen sivusuhteet ovat näin ollen suositelluissa rajoissa. Laatta on toiistorakennuksen välipohjalaatta ja sen oletetaan olevan seuraausluokan CC rakenne. Laatta itoitetaan toiistorakennuksen välipohjan hyötykuoralle, jonka oinaisarvo on q k =,5 kn/. Laatan alustavaksi paksuudeksi on arvioitu 40 ja pilarien alustavaksi kooksi 480 x 480. Rakenteen rasitusluokka on sijaintinsa perusteella XC1 ja betonin lujuusluokaksi voidaan valita C0/5. Kaistaenetelän soveltaiseksi laatta voidaan jakaa osiin edellisessä luvussa esitettyjen sääntöjen ukaisesti, esierkiksi kuvan 14 osoittaalla tavalla. Kuva 13. Laatan itat.

9 Kuva 14. Laatan jako osiin. Liitteessä C on esitetty esierkkitapaukseen liittyvät itoituslaskelat. Esitetään seuraavaksi taulukoituna saadut tulokset. Laattaa tarkastellaan oleissa suunnissa erikseen. Tavoitteena on ensin äärittää taivutusoenttien keskiääräiset jakauat rakenteessa. Kuvassa 14 näkyvät laattakenttien itat ax, bx,..., f x ja ay, by,..., d y saadaan sen perusteella, että viivat kulkevat leikkausvoiien nollakohdassa eli taivutusoenttien aksiikohdissa. Laskennassa valitaan ensin tukioenteille sopivat arvot ja lasketaan tään jälkeen edellä ainitut kenttien itat ja keskiääräiset kenttäoentit edellisen luvun kaavoilla (4.6) ja (4.7). Tukioenttien suuruudet valitaan edellisen luvun taulukosta 8. Taulukoissa 9 on esitetty saadut keskiääräiset taivutusoentit laatan eri kentissä. Arvot x-suunnassa tarkoittavat taivutusoentteja y-akselin ypäri ja arvot y-suunnassa x-akselin ypäri. Suunnalla tarkoitetaan siis kyseisiin taivutusoentteihin liittyvän raudoituksen suuntaa.

30 Taulukko 9. Keskiääräiset tuki- ja kenttäoentit x- ja y-suunnassa. Tukioentit Kenttäoentit x-suunta A A-B B B-C C C-D D xs [kn/] -4,9-41, -41, -4,9 xf [kn/] +38,4 +18,9 +38,4 y-suunta 1 1- -3 3 Tukioentit ys [kn/] -4,9-33,4-4,9 Kenttäoentit yf [kn/] +,7 +41,8 Taulukko 10. Laattakenttien itat. Kenttien itat, suunta x Kenttien itat, suunta y a = = a = 960 x b c x x f x 850 = e = 3870 b = 3760 x = d = 3360 c = 340 x y y y d y = 80 Seuraava vaihe on laskea itoitusoenttien jakauat. Laskennassa käytetään edellä saatuja keskiääräisiä taivutusoentteja ja laattakenttien ittoja. Mitoitusoenttijakauat lasketaan erikseen jokaisessa kentässä pilari- ja keskikaistoille, joiden korkeudet tai leveydet ääräytyvät käytettävän itoitusoenttijakauan ukaan. Tässä esierkissä on käytetty edellisen luvun kuvissa 11 ja 1 esitettyjä tuki- ja kenttäoenttien jakauia. Näiden perusteella saadaan tuki- ja kenttäoenttien jakauille erilaiset pilari- ja keskikaistat. Kuvissa 15 ja 16 on esitetty saadut tuki- ja kenttäoenttien itoitusjakauat sekä pilari- ja keskikaistojen itat. Suurepi taivutusoentin arvo liittyy aina pilarikaistaan ja pienepi keskikaistaan. Jakauien suunnat on piirretty siten, että se osoittaa kyseiselle taivutusoentille tulevan raudoituksen suunnan. Pääraudoitus lasketaan tään jälkeen itoitusjakauien ukaisesti oleille raudoitussuunnille. Raudoituksen ulottuista on EC :ssa oat sääntönsä ja näiden ukaan ääräytyy, iten pitkälle kenttä- ja tukiraudoitukset ulotetaan. Liitteessä C on laskettu alliksi suurinta tukioenttia vastaava pääraudoituksen äärä.

31 Kuva 15. Tukioenttien itoitusjakauat. Kuva 16. Kenttäoenttien itoitusjakauat.

3 Kuvassa 17 on vertailun vuoksi esitetty laatan taivutusoentit y-akselin ypäri Autodesk Robot Structural Analysis -ohjelalla laskettuna. Laatta on kuvassa ylösalaisin eli pystysuunnassa suurepi jänneväli on ylepi jänneväleistä. Eleenttieneteläpohjainen analyysi on tehty lineaarisena staattisena analyysinä. Kuvasta voidaan todeta, että pilarien kohdille näyttää uodostuvan suuret jännityskeskittyät. Kuvaavapia ovat arvot, joita saadaan pilarien lähiypäristön ulkopuolella. Todellisuudessa jännitys jakautuu pilareiden kohdalla suurealle alueelle kuin itä analyysissä oletetaan, joten raudoitus voidaan itoittaa pieneälle taivutusoentille kuin kuva antaa yärtää. Kuva 17. Esierkkilaskelan laatan taivutusoentit y-akselin ypäri. Kun vertaillaan esierkiksi kenttäoentteja y-akselin ypäri, huoataan että tulokset ovat saansuuntaisia. Pieneässä 6,0 jännevälin kentässä suuriat taivutusoentit ovat FEMin ukaan noin 5 kn/ keskittyen pilarikaistoille. Kaistaenetelän ukaan on raudoitusten itoitusoenteiksi vastaavalle pilarikaistalle saatu noin 30 kn/. Keskikaistojen oentiksi on kaistaenetelällä saatu noin 15 kn/, joka vastaa eleenttienetelän ukaisia arvoja hyvin. Jos taas tarkastellaan pideän jännevälin 7, ukaisia kenttäoentteja jälleen y- akselin ypäri, on FEMillä saatu pilarikaistoille arvoksi noin 40 kn/ ja keskikaistojen alueelle noin 30 kn/. Kaistaenetelän ukaiset itoitusarvot ovat noin 55 kn/ ja 8 kn/. Kuvia tarkastelealla voidaan todeta, että yös tukioenttien jakauat ovat saankaltaiset, kun tarkastellaan tilannetta pilarien kohdan ulkopuolella. Näin ollen vaikuttaa siltä, että tulokset tukevat toisiaan.

33 6. YHTEENVETO Tässä työssä on tarkasteltu pilarilaattaa onelta eri kannalta. Aluksi käsiteltiin sitä, illainen rakenneratkaisu pilarilaatta on. Vaikka pilarilaatalla voidaan periaatteessa toteuttaa onipuolisesti erilaisia rakennusrunkoja, on kuitenkin tehokkainta sekä aikataulun että kustannusten kannalta, jos suositaan geoetrialtaan toistuvia ja yksinkertaisia ratkaisuja. Eurokoodit asettavat pilarilaatan analyysille ja raudoitukselle vaatiuksia, joiden pitää toteutua. Osa säännöistä koskee kaikkia teräsbetonilaattoja, osa pelkästään pilarilaattoja. Näistä säännöistä osa on velvoittavia, osa opastavia. Eurokoodit uodostavat laajan kokonaisuuden, eikä ole välttäättä helppoa käsittää, itkä säännöt koskevat inkäkin rakenteen itoitusta ja itkä eivät. Kaistaenetelän käyttö on sallittu eurokoodin SFS-EN 1991-1-1 (EC) opastavassa liitteessä I, utta juuri itään uuta tietoa ei sen soveltaisesta ole annettu. Toisaalta EC :ssa vaaditaan, että raudoituksen järjestelyn tulee noudattaa toiintaa käyttötilassa. Tään takia kaistaenetelässä on käytettävä itoitusoenttijakauia, joissa raudoitus keskittyy pilarikaistoille. On kuitenkin huoattava, että kaistaenetelä on plastinen laattojen itoitusenetelä ja näin ollen sen tarkoitus on varistaa, että rakenteella on riittävä varuus urtuista vastaan urtorajatilassa. Tarvittaessa on käyttörajatilan taipua- ja halkeaatarkistuksissa käytettävä uita eneteliä kaistaenetelän lisäksi. Vaikka tässä kandidaatintyössä ei tarkasteltu lävistysitoitusta, täytyy lävistyskapasiteetti pilarilaatan itoituksessa aina tarkistaa taivutusitoituksen lisäksi. Moentinsiirto laatan ja pilarin välillä täytyy yös ottaa huoioon, vaikka kaistaenetelän ukaisessa rakenneanalyysissä reunapilari oletettiin esierkkilaskelassa yläpäästään oenttivapaasti tuetuksi. Rakenneanalyysin kulku kaistaenetelällä on periaatteessa selkeä. Kuitenkin erilaisia taivutusoentteja saadaan paljon. Pilari- ja keskikaistojen leveydet ja korkeudet yös vaihtelevat eri kentissä ja ovat erilaisia tuki- ja kenttäoenteille. Tään takia saadaan enetelän tuloksena vaihtelevat itoitusoenttijakauat eri alueiden raudoituksille. Raudoituksen itoituksessa on tästä syystä tärkeää järkeistää laatalle tuleva raudoitus ja tarvittaessa käyttää suurepia yhtenäisiä raudoitusalueita. Toisaalta kaistaenetelällä saadaan suoraan ääritettyä itoitusoentit laatan eri alueille. Muilla enetelillä ei välttäättä saada selville käyttökelpoisia itoitusoenttien jakauia tai saadaan vain yksittäinen arvo, jonka perusteella koko laatan raudoitus on ääritettävä. Tää johtaa suureen äärään raudoitusta yös laatan väheän taivutetuilla osilla, joilla riittäisi pienepikin äärä.

34 Kaistaenetelä on plastisuusteorian alarajalauseen ukainen enetelä, joten periaatteessa sillä saatavat ratkaisut ovat varalla puolella. Betonirakenteella täytyy kuitenkin olla riittävä sitkeys ja uodonuutoskyky, jotta plastisuusteorian ukainen jännitysjakaua voi urtorajatilassa kehittyä ennen rakenteen urtuista. Jos urtuinen tapahtuu aiein kuin on itoituksessa oletettu, on varuus urtuista vastaan urtorajatilassa pienepi kuin sen pitäisi olla. Esierkkilaskelan lopussa kaistaenetelällä saatuja tuloksia verrattiin lyhyesti Autodesk Robot Structural Analysis -ohjelan antaiin tuloksiin. Tarkasteltavana olivat taivutusoentit pystyakselin suhteen. Kuvia vertailealla todettiin, että tulokset tukevat toisiaan. Kuvista nähdään yös selkeästi, että suuriat taivutusoentit todella keskittyvät pilarikaistoille. Koska käytettiin lineaarisesti staattista analyysiä, pitäisi ohjelan tuloksien yös kuvata hyvin oenttien jakautuista käyttötilassa. Voidaan siis todeta, että kaistaenetelässä valittu itoitusoenttijakaua on yös käyttötilan kannalta järkevä ainakin esierkkilaskelan tapauksessa. Epäsäännöllisen uotoisten tai aukkoja sisältävien laattojen itoitusta ei käsitelty työssä lainkaan. Varsinkin erilaiset aukot ovat kuitenkin tavallisia välipohjalaatoissa, joten yös niihin liittyvät asiat olisivat olennaisia pilarilaatan suunnittelussa. Aiheesta kiinnostunut lukija voi tutustua lähteeseen [16], jossa käsitellään laajasti kaistaenetelän soveltaista erilaisiin laattoihin. Ruotsinkielisessä teoksessa [17] puolestaan on käsitelty kaistaenetelän teoriaa ja siitä on saatavilla yös englanninkielinen käännös Strip Method of Design (1975).

35 LÄHTEET [1] Teräsbetonirakenteet, Suoen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry, RIL 15, 1986, 438 s. [] Paikallavaletut betonirunkorakenteet, Rakennustietosäätiö, RT 8-10814, 004, 15 s. [3] Pilarilaattaohje, Suoen betoniteollisuuden keskusjärjestö ry, Helsinki, 1989, 119 s. [4] BY 10 Betonirakenteiden suunnittelu ja itoitus 008, Suoen betoniyhdistys ry, Helsinki, 008, 711 s. [5] About the EN Eurocodes, Joint Research Centre, verkkosivu. Saatavissa (viitattu 15.11.018): https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu/showpage.php?id=1. [6] EN Eurocode Parts, Joint Research Centre, verkkosivu. Saatavissa (viitattu 15.11.018): https://eurocodes.jrc.ec.europa.eu/showpage.php?id=13. [7] Eurokoodi. Rakenteiden suunnitteluperusteet, Suoen standardoiisliitto, SFS- EN 1990 + A1 + AC, Helsinki, 006, 186 s. [8] Eurokoodi 1: Rakenteiden kuorat. Osa 1-1: Yleiset kuorat, tilavuuspainot, oat paino ja rakennusten hyötykuorat, Suoen standardisoiisliitto, SFS- ISO 1991-1-1 + AC, Helsinki, 00, 73 s. [9] Eurokoodi : Betonirakenteiden suunnittelu. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt, Suoen standardisoiisliitto, SFS-ISO 199-1-1 + A1 + AC, Helsinki, 015, 0 s. [10] BY 11 Betonirakenteiden suunnittelun oppikirja Osa 1, Suoen betoniyhdistys ry, Helsinki, 013, 51 s. [11] Suoen rakentaisääräyskokoela, Rakenteiden lujuus ja vakaus, Betonirakenteet, Ypäristöinisteriö, 016, 35 s. Saatavissa (viitattu 17.1.018): http://www.y.fi/download/nonae/%7b3f5de41-f74b-4ea0-9f0e- 18B81A7C0EC3%7D/15119. [1] Suoen rakentaisääräyskokoela, Rakenteiden lujuus ja vakaus, Kantavien rakenteiden suunnitteluperusteet, Ypäristöinisteriö, 016, 4 s. Saatavissa (viitattu 0.11.018): http://www.y.fi/download/nonae/%7bc3547f- E7C4-4653-BF44-1AB47FB50CB0%7D/13717.

36 [13] Ypäristöinisteriön asetus rakenteiden tilavuuspainoa, oaa painoa ja rakennusten hyötykuoria koskevista kansallisista valinnoista sovellettaessa standardia SFS-EN 1991-1-1, A 1.1.017/4/16, 017. Saatavissa: https://www.finlex.fi/fi/viranoaiset/nori/700001/48. [14] BY 11 Betonirakenteiden suunnittelun oppikirja Osa, Suoen betoniyhdistys ry, Helsinki, 015, 15 s. [15] BY 0 Betonirakenteiden suunnittelun oppikirja Osa, Suoen betoniyhdistys ry, Helsinki, 1983, 5 s. [16] A. Hillerborg, Strip Method Design Handbook, E & FN Spon, London, 1996, 30 p. [17] A. Hillerborg, Diensionering av arerade betongplattor enligt strileetoden, Alqvist & Wiksell, Stockhol, 1974, 37 s.

LIITE A: YLEISIMPIÄ YKSISUUNTAISIA LAATTAELEMENTTEJÄ Taivutusoentit etuerkkeineen, tukioentit 0. 1 Suorakulioeleentti xs xf qc xs = Kolioeleentti xf qc xs = 6 3 Puolisuunnikaseleentti 1 xf = xs qc l + l1 ( ) 6l 4 Monikulioeleentti q xf xs = ( c1 l1 + ( c1 + c1c + c ) l + c l3) 6l 5 Puolisuunnikaseleentti q xf xs = ( c1 + c1c + c ) 6 Kuvat ja niihin liittyvät kaavat ovat teoksesta A. Hillerborg: Strip Method Design Handbook, E. & F.N. Spon, 1996, lähteissä [16].