MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018

MAT21020 Vektorianalyysi II (5op) Syksy 2018 Ville Tengvall Matematiikan ja tilastotieteen osasto Helsingin yliopisto

MAT21020 Vektorianalyysi II Syksy 2018 1 Kurssin perustiedot: Opettajat: Ville Tengvall (B315) (ville.tengvall@helsinki.fi) Antti Kujanpää (A422) (antti.kujanpaa@helsinki.fi) Miika Tuominen (miika.tuominen@helsinki.fi) Kurssin suoritustavat: Kurssikoe tai erilliskoe Luennot: Luentoja yhteensa: 13 luentokertaa Harjoitukset: Harjoituksia yhteensä: 6 harjoituskertaa Luentomateriaali: Luennot seuraavat pääosin Ritva Hurri-Syrjäsen Vektorianalyysi II:n luentomonistetta. Kyseisen monisteen Riemannin integraalia käsittelevät luvut 16 17 jätetään kurssissa kuitenkin vähälle huomiolle, sillä niiden sisältö käsiteltiin pääosin jo kurssin ensimmäisessä osassa. Luentojen pohjamateriaalina on käytetty myös Veikko T. Purmosen luentomonisteita Euklidiset avaruudet, Differentiaalilaskentaa 1, Differentiaalilaskentaa 2, Integraalilaskentaa 1 ja Integraalilaskentaa 2. Osaamistavoitteet: Kurssin osaamistavoitteet ovat seuraavat: (1) Opiskelija ymmärtää opintojakson suoritettuaan euklidisen avaruuden pinnan, ja sen tangentti- ja normaalivektorien käsitteet. (2) Opiskelija osaa tutkia funktion (lokaalia) kääntyvyyttä, sekä ymmärtää mitä tarkoitetaan kriittisillä pisteillä. (3) Opiskelija hallitsee käyrä- ja pintaintegraalien perusteorian, ja ymmärtää kuinka nämä Greenin ja Stokesin kaavojen välityksellä liittyvät toisiinsa. Sisältö: Opintojakson keskeisiä sisältöjä ovat kriittisten pisteiden luokittelu, Käänteiskuvauslause ja Implisittifunktiolause. Lisäksi perehdytään pintojen teorian alkeisiin sekä todistetaan kurssilla Vektorianalyysi I tutuksi tullut Lagrangen kertoimien menetelmä. Edelleen, määritellään polku- ja pintaintegraalit, sekä tutustutaan Greenin ja Stokesin kaavoihin.

2 Kurssin rakenne: Kurssin voi karkeasti jakaa kahteen osaan. Ensimmäinen osa käsitellee vektorifunktioiden differentiaalilaskentaa euklidisissa avaruuksissa. Toisessa osassa perehdytään integraalilaskentaan euklidisten avaruuksien käyrillä ja pinnoilla. Tarkempi kurssirakenne on seuraava: OSA I: Differentiaalilaskentaa VKO 44: Luento 1 (To 1.11.): Luento 2 (Pe 2.11.): VKO 45: Luento 3 (To 8.11.): Luento 4 (Pe 9.11.): VKO 46: Luento 5 (To 15.11.): Luento 6 (Pe 16.11.): VKO 47: Luento 7 (To 22.11.): Luento 8 (Pe 23.11.): Kuvauksien differentioituvuudesta: Kertausta lineaarikuvauksista ja kuvauksien differentioituvuus Lisää kuvauksien differentioituvuudesta: Perusominaisuuksia ja esimerkkejä Diffeomorfismit ja käänteiskuvauslause Implisiittifunktiolause Parametripinnat Pinnan tangentti- ja normaalitasot Tasa-arvopinnat ja kriittisten pisteiden luokittelu Lokaalit ja sidotut ääriarvotehtävät OSA II: Integraalilaskentaa VKO 48: Luento 9 (To 29.11.): Luento 10 (Pe 30.11.): VKO 49: Huom. (To 6.12.): Luento 11 (Pe 7.12.): VKO 50: Luento 12 (To 13.12.): Luento 13 (Pe 14.12.): Yhden muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset Reaaliarvoisen funktion käyräintegraali Itsenäisyyspäivä - Ei luentoa Reaaliarvoisen funktion pintaintegraali Vektorikentän käyrä- ja pintaintegraali Greenin lause, Stokesin lause ja Gaussin lause Harjoitukset: Kurssilla on kuudet harjoitukset. Kullakin harjoituskerralla pyritään pääasiassa harjoittelemaan edellisen viikon luennoilla opittuja asioita sekä syventämään aihepiiriin liittyvää

ymmärrystä. Harjoitustehtäviä tekemällä voi kerätä lisäpisteitä 17.12.2018 järjestettävään kurssikokeeseen ja 9.1.2019 järjestettävvän erilliskokeeseen. Lisäpisteet eivät ole voimassa näiden kokeiden jälkeen järjestettävissä kokeissa. 3 1) Harjoitusryhmät: Kurssilla on kolme harjoitusryhmää: Ryhmä 1: Torstaisin 8.11. 13.12., klo 14:15 16:00 (Exactum, C321) Ryhmä 2: Tiistaisin 6.11. 11.12., klo 14:15 16:00 (Exactum, B321) Ryhmä 3: Keskiviikkoisin 7.11. 12.12., klo 14:15 16:00 (Exactum, B322) Lisäksi kurssin ilmoittautumissivulle on luotu ylimääräinen Ryhmä 99, johon voi ilmoittautua siinä tapauksessa, että kaikki harjoitusryhmät ovat jo täynnä. Harjoitusryhmään 99 ilmoittautuneet voivat valita yhden harjoitusryhmistä 1 3, jonka tunneille osallistuvat. 2) Tehtävien kirjallinen palauttaminen: Kirjallisia palautuksia otetaan vastaan ainoastaan silloin, kun opiskelija on hyvä syy olla osallistumatta harjoituksiin. Kirjalliset palautukset tulee toimittaa harjoituksen pitäjälle viimeistään tiistaina klo 14:15. 3) Harjoituksista jaettavat lisäpisteet: Harjoitustehtävistä voi saada lisäpisteitä 17.12.2018 järjestettävään kurssikokeeseen sekä 9.1.2019 järjestettävään erilliskokeeseen seuraavan taulukon mukaisesti: P := Tehdyt tehtävät Kaikki tehtävät P 0.2 0.4 0.6 0.8 HYV 1p 2p 3p 4p Hyvityspisteitä saa merkitsemällä tehtävän tehdyksi harjoituksien alussa. Jos opiskelija merkitsee tehtävän harjoituksissa tehdyksi, niin hänen tulee olla valmis esittämään ratkaisunsa taululla pyydettäessä. Tentti: Kurssikoe järjestetään 17.12.2018 klo 12:00 14:30. Harjoituksista kerätyt lisäpisteet ovat voimassa myös 9.1.2019 klo 10:00 13:00 järjestettävässä erilliskokeessa. Harjoituksien lisäpisteet eivät ole voimassa muissa tenteissä.

OSA I: DIFFERENTIAALILASKENTAA

Luento 1: Kuvauksien differentioituvuus

6 1. Kertausta lineaarikuvauksista Tässä luvussa kerrataan tämän kurssin kannalta keskeisimpiä lineaarialgebran käsitteitä. Luvussa esiintyvien käsitteiden hallitseminen auttaa erityisesti kuvauksen differentioituvuuden ymmärtämisessä ja siksi niiden sisäistämiseen kannattaa käyttää aikaa. Euklidinen avaruus. Jatkossa pisteelle x R n käytetään esitystä n x = (x 1,..., x n ) = x i e i kanonisessa kannassa i=1 e 1 := (1, 0,..., 0),..., e n := (0, 0,..., 1). Euklidinen avaruuden R n karakterisoi sisätulo ( ) : R n R n R, n (x y) := x i y i, x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) i=1 ja sitä vastaava normi : R n [0, ), x := ( n ) 1/2. (x x) = x 2 i Lineaarikuvauksien vastinmatriisit. Olkoon e 1,..., e n kanoninen kanta avaruudessa R n ja olkoon ē 1,..., ē m kanoninen kanta avaruudessa R m. Tällöin lineaarikuvausta i=1 L = (L 1,..., L m ) : R n R m vastaa yksikäsitteinen m n-matriisi a 11 a 1n mat L := [a ki ] ki :=.., a m1 a mn missä a ki = L k e i = (Le i ē k ). Kääntäen, jokainen m n-matriisi [a ik ] ik määrittelee yksikäsitteisesti lineaarikuvauksen L = (L 1,..., L m ) : R n R m, jonka komponenttifunktioille pätee n n L k (x) = L k (x 1,..., x n ) = x i L k (e i ) = x i a ki, eli i=1 ( n L(x) = x i a 1i,..., i=1 n i=1 x i a mi ). Lineaarikuvauksien yhdistäminen. Lineaarikuvausten L : R n R m ja K : R m R l yhdistetty kuvaus K L : R n R l on lineaarinen ja tämän kuvauksen vastinmatriisille on voimassa mat(k L) = (mat K) (mat L). i=1

Lineaarikuvauksen kääntyvyys ja käänteiskuvauksen matriisi. Lineaarikuvaus L : R n R n on bijektio jos ja vain jos det L := det(mat L) 0. Tällöin sääntö L L 1 = L 1 L = id määrää käänteiskuvauksen L 1 : R n R n yksikäsitteisesti. Lisäksi myös L 1 on lineaarikuvaus ja sen vastinmatriisille on voimassa mat(l 1 ) = (mat L) 1. Lineaariaffiini kuvaus. Kuvausta T : R n R m kutsutaan lineaariaffiiniksi, jos se voidaan kirjoittaa muodossa T (x) = L(x) + b, missä L : R n R m on lineaarikuvaus ja b R m. Normiavaruus L(R n, R m ). Lineaarikuvaukset R n R m muodostavat reaalisen lineaariavuuden L(R n ; R m ) := {L : R n R m : L on lineaarinen}. Tähän avaruuteen voidaan määritellä normi asettamalla L : = sup { Lu : u R n, u = 1} { } Lu = sup u : u Rn \ {0}. Normia : L(R n ; R m ) [0, ) kutsutaan kuvausnormiksi tai operaattorinormiksi. 7 0 1 L 0 L Kuva 1. Kuvausnormin geometrinen tulkinta Parametrista riippuva lineaarikuvaus. Olkoon G R n joukko ja liitetään jokaiseen pisteeseen x G lineaarikuvaus L(x) : R n R m asettamalla mat L(x) := [a ki (x)] ki, missä kertoimet a ik R (i = 1,..., m, k = 1,..., n) riippuvat nyt siis pisteestä x R n. Tällöin voidaan määritellä kuvaus asettamalla L : G L(R n ; R m ) L(x) = L(x).

8 Toisin sanoen kuvaus L liittää annettuun pisteeseen x G kyseiseen pisteeseen liitetyn lineaarikuvauksen L(x) L(R n ; R m ). Erityisesti mat(l(x)) mat(l(y)) = mat(l(x) L(y)) = [a ki (x) a ki (y)] ki kaikilla x, y G. Tallaista kuvausta sanotaan jatkuvauksi pisteessä x 0 G, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ := δ x0,ε > 0 siten, että L(x 0 ) L(x) < ε aina kun x G ja x x 0 < δ. Koska ( ) 1/2 a ki (x) a ki (y) L(x) L(y) a ki (x) a ki (y) 2, niin kuvaus L on jatkuva joukossa G jos ja vain jos kaikki kerroinfunktiot a ki : G R ovat jatkuvia. k,i

2. Kuvauksien differentioituvuus Kuvauksen f : U R m differentioituvuus pisteessä x 0 U kertoo kuvauksen käyttäytyvän tarkastelupisteen x 0 pienissä ympäristöissä lähestulkoon kuten lineaariaffiini kuvaus x Df(x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ), missä Df(x 0 ) L(R n ; R m ) vastaa jotakin (yksikäsitteistä) linearikuvausta. Eli toisin sanoen f(x) Df(x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ), kun ja δ > 0 on hyvin pieni. x B(x 0, δ) := {x R n : x x 0 < δ} Määritelmä 2.1. (Kuvauksen differentioituvuus) Olkoon U R n avoin joukko. Kuvaus f : U R m on differentioituva pisteessä x 0 U, jos on olemassa lineaarikuvaus A L(R n ; R m ) siten, että ( ) f(x 0 + h) f(x 0 ) = Ah + h ε(h) kaikille h R n, joille x 0 + h U, ja missä kuvaukselle on voimassa ( ) ε := ε f,x0 : R n R m ε(h) 0, kun h 0. Kuvaus f : U R m on differentioituva, jos se on differentioituva jokaisessa pisteessä x U. Lisäksi lineaarikuvausta A, joka toteuttaa ehdon ( ) kutsutaan kuvauksen f derivaataksi pisteessä x 0. Huomautus 2.2. Kurssilla Vektorianalyysi I todistettiin, että jos kuvaus f : U R m on differentioituva pisteessä x 0 U, niin sen derivaatta tässä pisteessä on yksikäsitteinen. Tästä lähtien tälle yksikäsitteiselle lineaarikuvaukselle käytetään merkintää Määritelmä 2.3. (ε-funktio) Kuvausta Df(x 0 ) L(R n ; R m ). ε : R n R m, joka toteuttaa määritelmän 2.1 ehdon ( ) kutsutaan ε-funktioksi. Esimerkki 2.4. (Esimerkkejä differentioituvista kuvauksista) (1) Avoimen joukon U R n vakiokuvaus f : U R m, on differentioituva. Lisäksi kaikilla x U: f(x + h) f(x) }{{}}{{} =c =c f c R m Df(x) = 0 L(R n ; R m ) = 0 = Df(x) h + h 0 }{{} =0 }{{} =ε(h), x 0 + h U. 9

10 (2) Olkoon A : R n R m lineaarikuvaus. Tällöin A on differentioituva ja kaikilla x 0 R n : DA(x 0 ) = A A(x 0 + h) A(x 0 ) = Ah + h }{{} 0. =ε(h) Huomautus 2.5. Funktio f : R R on differentioituva pisteessä x R, jos ja vain jos f on derivoituva pisteessä x 0. Tällöin Df(x 0 )h = f (x 0 )h, h R. Lause 2.6 (Differentioituva kuvaus on jatkuva). Olkoon f : U R m avoimen joukon U R m kuvaus. (1) Jos f on differentioituva pisteessä x 0 U, niin se on jatkuva pisteessä x 0. (2) Jos f on differentioituva, niin se on jatkuva. Todistus. Laskuharjoitus 1.

Luento 2: Lisää kuvauksien differentioituvuudesta

12 3. Kuvauksien suuntais- ja osittaisderivaatat Toisinaan kiinnostuksen kohteena on tarkastella kuvauksen muutosnopeutta ainoastaan siinä tapauksessa, kun tarkastelupistettä x 0 U lähestytään jotakin kyseisen pisteen kautta kulkevaa suoraa pitkin. Tämä lähestymistapa johtaa suuntaisderivaatan ja osittaisderivaatan käsitteisiin. On hyvä pitää mielessä, että suuntaisderivaattojen olemassaolo on välttämätön, mutta ei riittävä ehto kuvauksen differentioituvuudelle pisteessä. Määritelmä 3.1. (Suuntaisderivaatta) Olkoon U R n avoin joukko, x 0 U ja e R n \ {0}. Olkoon lisäksi f : U R m kuvaus. Jos raja-arvo e f(x 0 ) := lim ( f x0 + t e t 0 e ) f(x0 ) t on olemassa, niin vektoria e f(x 0 ) R m kutsutaan kuvauksen f suunnatuksi derivaataksi eli suuntaisderivaataksi pisteessä x 0 vektorin e suuntaan. Määritelmä 3.2. (Osittaisderivaatta) Olkoon U R n avoin. Jos funktiolla f : U R m on suuntaisderivaatta kantavektorin e i R n suuntaan, niin vektoria i f(x) := xi f(x) := f(x) := ei f(x) R m x i kutsutaan funktion f (ensimmäisen kertaluvun) osittaisderivaataksi muuttujan x i suhteen pisteessä x. Huomautus 3.3. (a) Jos e f(x 0 ) on olemassa ja c = λe, λ 0, niin { fe (x 0 ), jos λ > 0 c f(x 0 ) = f e (x 0 ), jos λ < 0. (b) Avoimen joukon U R n kuvauksella f = (f 1,..., f m ) : U R m on suuntaisderivaatta e f(x 0 ) jos ja vain jos sen jokaisella komponenttifunktiolla on vastaava suuntaisderivaatta f k : U R (k = 1,..., m) e f k (x 0 ) R. Tällöin e f(x 0 ) = ( e f 1 (x 0 ),..., e f m (x 0 ) ). Erityisesti, ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatojen tapauksessa pätee tällöin i f(x 0 ) = ( i f 1 (x 0 ),..., i f m (x 0 ) ) (i = 1,..., n). (c) Esimerkiksi funktiolla f : R 2 R, f(x) = { x1 x 2 x 2 1 +x4 2, kun x 0 0, kun x = 0 on suuntaisderivaatat origossa kaikkiin suuntiin. Tästä huolimatta funktio f ei ole jatkuva origossa. Erityisesti se ei ole differentioituva origossa.

(d) Kohdan (c) nojalla osittaisderivaattojen i f(x 0 ) olemassaolo ei riitä myöskään takaamaan kuvauksen f differentioituvuutta pisteessä x 0. Esimerkki 3.4. Kuvauksen f : R 2 R 3, f(x) = ( x 2, log(1 + x 2 ), cos x 1 ) osittaisderivaatat ovat ( 2x ) 1 1 f(x) = 2x 1, 1 + x, sin x 2 1 Siispä pisteessä a = (0, 1) saadaan ja 2 f(x) = 1 f(a) = (0, 0, 0) ja 2 f(a) = (2, 1, 0). ( 2x ) 2 2x 2, 1 + x, 0. 2 13

14 4. Derivointisääntöjä Kerrataan kurssilta Vektorianalyysi I tutut keskeisimmät differentiaalilaskennan derivoimissäännöt seuraavaksi. Lause 4.1 (Differentiaalioperaattorin lineaarisuus). Olkoon U R n avoin joukko ja λ 1, λ 2 R. Oletetaan, että kuvaukset f, g : U R m ovat differentioituvia pisteessä x 0 U. Tällöin kuvaus on derivoituva pisteessä x 0 ja Todistus. Suora lasku kehitelmää käyttäen. h := λ 1 f + λ 2 g : U R m Dh(x 0 ) = λ 1 Df(x 0 ) + λ 2 Dg(x 0 ). Lause 4.2 (Tulofunktioiden differentioituvuus, Leibnizin kaava). Olkoon U R n avoin, sekä ϕ : U R ja f : U R m differentioituvia pisteessä x 0 U. Tällöin kuvaus ϕf : U R m, on differentioituva pisteessä x 0 ja (ϕf)(x) = ϕ(x)f(x), D(ϕf)(x 0 )h = (Dϕ(x 0 )h)f(x 0 ) + ϕ(x 0 )Df(x 0 )h = ( ϕ(x 0 ) h)f(x 0 ) + ϕ(x 0 )Df(x 0 )h, missä ϕ(x 0 ) := ( 1 ϕ(x 0 ),..., n ϕ(x 0 )) R n on funktion ϕ : R n R gradientti pisteessä x 0. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 4.3 (Ketjusääntö). Olkoot U R n ja V R m avoimia joukkoja. Oletetaan lisäksi, että kuvaus g : U V on differentioituva pisteessä x 0 U ja kuvaus f : V R l on differentioituva pisteessä g(x 0 ) V. Tällöin yhdistetty kuvaus on differentioituva pisteessä x 0 U ja Todistus. Harjoitustehtävä. f g : U R l D(f g)(x 0 ) = Df(g(x 0 )) Dg(x 0 ) L(R n ; R l ).

5. Jacobin matriisi ja Jacobin determinantti Lause 5.1 (Derivaatan matriisiesitys (Tärkeä!)). Olkoon U R n avoin joukko ja f : U R m differentioituva pisteessä x 0 U. Tällöin: (a) Kuvauksella f on pisteessä x 0 derivaatta jokaiseen suuntaan R n \ {0} ja e f(x 0 ) = Df(x 0 ) e e Rm. (b) Erityisesti kuvauksella f on olemassa kaikki osittaisderivaatat pisteessä x 0 ja (c) kaikilla i = 1,..., n. Df(x 0 )h = i f(x 0 ) = Df(x 0 )e i n h i i f(x 0 ), h = (h 1,..., h n ) R n. i=1 (d) Derivaattamatriisille Df(x 0 ) L(R n ; R m ) pisteessä x 0 on voimassa esitys 1 f 1 (x 0 ) n f 1 (x 0 ) f 1 (x 0 ) ( ) mat(df(x 0 )) =.. =. 1 f m (x 0 ) n f m (x 0 ) f m (x 0 ) Todistus. (a) Merkitään h t := t e e Rn (t R). Tällöin kuvauksen f differentioituvuuden nojalla f(x 0 + h t ) f(x 0 ) h t Mistä saadaan, että f(x 0 + t e e ) f(x 0) t = Df(x 0 ) ht h t + ε(h t). ( te ) t = Df(x 0 ) e + ε e e t, misä väite seuraa, kun t 0 yhtälön molemmin puolin. (b) Seuraa suoraan kohdasta (a). (c) Derivaattakuvauksen Df(x 0 ) : R n R m lineaarisuuden ja (b)-kohdan nojalla saadaan Df(x 0 )h = n i=1 (d) Käytetään matriisimerkintää Tällöin riittää siis osoittaa, että h i Df(x 0 )e i (b) = n h i i f(x 0 ). i=1 mat(df(x 0 )) =: [a ki ] ki. a ki = i f k (x 0 ). Luvussa 1 esiintyneitä vastinmatriiseihin liittyviä esitietoja soveltaen saadaan, että a ki = (Df(x 0 )e i ē k ) (b) = ( i f(x 0 ) ē k ) Huom.3.3 = i f k (x 0 ), 15

16 mistä väite seuraa. Määritelmä 5.2. (Jacobin matriisi) Edellisessä määritelmässä kohdassa ( ) esiintyvää matriisia kutsutaan kuvauksen f Jacobin matriisiksi. Määritelmä 5.3. (Jacobin determinantti) Jos U R n on avoin, niin pisteessä x 0 U differentioituvan kuvauksen f : U R n Jacobin matriisin mat Df(x 0 ) determinanttia J f (x 0 ) := det(mat Df(x 0 )) R kutsutaan kuvauksen f Jacobin determinantiksi pisteessä x 0. Huomautus 5.4. (Jacobin determinantin geometrinen tulkinta) Jacobin determinantti J f (x 0 ) kertoo intuitiivisesti sen kuinka kuvaus f muuttaa pienten pallojen tilavuutta. Eli pienille δ > 0. B(x 0, δ) (δ > 0 hyvin pieni) J f (x 0 ) tilavuus(f(b(x 0, δ))) tilavuus(b(x 0, δ)) Lause 5.5 (f differentioituva f j :t differentioituvia (Tärkeä!)). Olkoon U R n avoin joukko. Tällöin kuvaus f = (f 1,..., f m ) : U R m on differentioituva pisteessä x 0 U jos ja vain jos sen kaikki komponenttifunktiot f k : U R (k = 1,..., m) ovat differentioituvia pisteessä x 0. Tällöin n Df(x 0 )h = ( f j (x 0 ) h)e j. Todistus. Harjoitustehtävä. j=1 Esimerkki 5.6. Olkoon g : R n 1 R (n 2) differentioituva funktio. Määritellään f : R n R n asettamalla f(x) = ( x 1,..., x n 1, x n + g(x 1,..., x n 1 ) ). Tällöin kuvauksen f komponenttifunktiot ovat differentioituvia, joten lauseen 5.5 nojalla myös f on differentioituva ja lauseen 5.1 nojalla (5.1) mat(df(x)) = 1 0 0 0 0 1. 0 0....... 0 0 1 0 1 g(x 1,..., x n 1 ) 2 g(x 1,..., x n 1 ) n 1 g(x 1,..., x n 1 ) 1,.

17 Lisäksi J f (x) = 1 kaikilla x R n. Lisäksi f on injektio: x i = y i x 2 = y 2 f(x) = f(y) =. x n 1 = y n 1 x n + g(x 1,..., x n 1 ) = y n + g(y 1,..., y n 1 ) = x 1 = y 1 x 2 = y 2. x n 1 = y n 1 x n = y n

Luento 3: Diffeomorfismit ja käänteiskuvauslause

6. Jatkuvasti differentioituvat kuvaukset Seuraavaa määritelmää varten on hyvä kerrata parametrista riippuvan lineaarikuvauksen jatkuvuus luvun 1 lopusta. Määritelmä 6.1 (Jatkuvasti differentioituva kuvaus). Olkoon U R n avoin joukko. Differentioituvaa kuvausta f : U R m kutsutaan jatkuvasti differentioituvaksi tai C 1 -kuvaukseksi, jos sen derivaattakuvaus on jatkuva Df : U L(R n ; R m ), x Df(x) Kuvauksen jatkuvan differentioituvuuden todentaminen käy yleensä helpoiten seuraavaa lauseen avulla. Kyseinen tulos sanoo, että annettu kuvaus on C 1 -kuvaus täsmälleen silloin, kun sen kaikki komponenttifunktiot ovat C 1 -funktioita: Lause 6.2 (Tärkeä!). Olkoon U R n avoin. Tällöin kuvaus f : (f 1,..., f m ) : U R m on jatkuvasti differentioituva jos ja vain jos kaikki komponenttifunktioiden osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia joukossa U. i f j (i = 1,... n ja j = 1,..., m) Lauseita 6.2 ja 5.5 kannattaa verrata toisiinsa. Seuraavan esimerkin tarkoituksena on valaista lukijalle sitä kuinka lausetta 6.2 voidaan käyttää: Esimerkki 6.3. Tarkastellaan kuvausen f : R 2 \ {0} R 3, f(x) = ( x, e x 2 + x 1 cos x 2, sin x ) differentioituvuutta. Kuvauksen f komponenttifunktiot ovat f 1 (x) = x, f 2 (x) = e x 2 + x 1 cos x 2 ja f 3 (x) = sin x. Tällöin osittaisderivaatat joukossa U := R 2 \ {0} voidaan selvittää Jacobin matriisista: mat Df(x) = x 1f 1 (x) 2 f 1 (x) 1 x 2 x x 1 f 2 (x) 2 f 2 (x) = cos x 2 e x 2 x 1 sin x 2. x 1 f 3 (x) 2 f 3 (x) 1 cos x x 2 cos x x x Koska Jacobin matriisissa esiintyvät komponenttifunktiot (jotka vataavat siis kuvauksen f komponenttifunktioiden osittaisderivaattoja) ovat jatkuvina olemassa joukossa U, niin f on jatkuvasti differentioituva joukossa U. 19

20 7. Käänteiskuvauslause Määritelmä 7.1 (Diffeomorfismi). Olkoot U, V R n avoimia joukkoja. Bijektiota f : U V kutsutaan diffeomorfismiksi, jos se ja sen käänteiskuvaus f 1 : V U ovat molemmat jatkuvasti differentioituvia. Lause 7.2 (Käänteiskuvauslause). Olkoon f : U R n avoimen joukon U R n kuvaus siten, että (i) f on jatkuvasti differentioituva ja (ii) J f (x 0 ) 0 pisteessä x 0 U. Tällöin löytyy pisteen x 0 avoin ympäristö W U siten, että rajoittumakuvaus f W : W }{{} W, f W (x) = f(x) kaikilla x W, :=f(w ) on diffeomorfismi (ja J f (x) 0 kaikilla x W ). Todistus. Voidaan todistaa esimerkiksi soveltamalla differentiaalilaskennan väliarvolausetta yhdessä niin kutsutun Banachin kiintopistelauseen kanssa. Tarkempi todistus sivuutetaan. Huomautus 7.3 (Käänteiskuvauslause takaa ainoastaan lokaalin kääntyvyyden). Käänteiskuvauslauseen oletuksin voidaan taata ainoastaan kuvauksen lokaali kääntyvyys. Tämä nähdään esimerkiksi tarkastelemalla kuvausta f : ]0, [ ]0, 2π[ R 2 \ {0}, f(t, θ) = (r cos 2θ, r sin 2θ), }{{} =:U joka on jatkuvasti differentioituva kuvaus ja jonka Jacobin determinantille on voimassa J f (r, θ) = cos 2θ 2r sin 2θ sin 2θ 2r cos 2θ = 2r 0, kaikilla (r, θ) U. Kuitenkin esimerkiksi f(r, θ) = f ( r, θ + π ) kaikilla (r, θ) ]0, [ ]0, π[, joten f ei ole injektio, eikä näin ollen myöskään (globaali) diffeomorfismi. Jos oletamme kuvauksen injektiivisyyden kuitenkin tunnetuksi, niin tällöin jatkuvastidifferentioituva kuvaus, jonka Jacobin determinantti ei häviä kuvauksen määrittelyjoukossa, on (globaali) diffeomorfismi: Lause 7.4 (Globaali diffeomorfisuus). Olkoon U R n avoin joukko ja jatkuvasti differentioituva injektio. Jos f : U R n J f (x) 0 kaikille x U, niin f(u) R n on avoin ja f : U f(u) on diffeomorfismi. Todistus. Seuraa käänteiskuvauslauseesta. Esimerkki 7.5 (Napakoordinaattikuvauksen diffeomorfisuus). Napakoordinaattikuvaus f : ]0, [ ]0, 2π[ R 2, f(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) }{{} =:U

on jatkuvasti differentioituva injektio ja J f (r, θ) = cos θ sin θ kaikilla (r, θ) U. Siispä lauseen 7.4 nojalla on diffeomorfismi. r sin θ r cos θ = r 0 f : U f(u) = R 2 \ {(x, 0) R 2 : x 0} Esimerkki 7.6 (Sylinterikoordinaattikuvauksen diffeomorfisuus). Avaruuden R 3 Sylinterikoordinaattikuvaus h : ]0, [ ]0, 2π[ R R 3, h(r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) }{{} =:U on jatkuvasti differentioituva injektio ja cos θ r sin θ 0 J h (r, θ) = sin θ r cos θ 0 0 0 1 = r 0 kaikilla (r, θ, z) U. Siispä lauseen 7.4 nojalla on diffeomorfismi. h : U h(u) = R 3 \ {(x, 0, z) R 3 : x 0} Esimerkki 7.7 (Pallokooridinaattikuvauksen diffeomorfisuus). Avaruuden R 3 pallokoordinaattikuvaus g : ]0, [ ]0, 2π[ ] π, π[ R 3, g(r, θ, φ) = (r cos θ cos φ, r sin θ cos φ, r sin φ) 2 2 }{{} =:U on jatkuvasti differentioitva injektio ja cos θ cos φ r sin θ cos φ r cos θ sin φ J g (r, θ, φ) = sin θ cos φ r cos θ cos φ r sin θ sin φ sin φ 0 r cos φ = r2 cos φ 0 kaikilla (r, θ, φ) U. Siispä lauseen 7.4 nojalla on diffeomorfismi. g : U g(u) = R 3 \ {(x, 0, z) R 3 : x 0} Käsitellään tämän luvun lopuksi vielä tulos jonka mukaan diffeomorfisen kuvauksen Jacobin determinantti ei pysty muuttamaan merkkiään avoimessa ja yhtenäisessä joukossa. Kerrataan tätä varten topologian kurssilta joukon yhtenäisyyden käsite: Määritelmä 7.8 (Epäyhtenäinen ja yhtenäinen joukko). Joukko D R n on epäyhtenäinen, jos on olemassa avoimet joukot U R n ja V R n siten, että (1) D U V, (2) D U ja D V, ja (3) D U V =. Joukko D R n on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen. Joukon yhtenäisyys on topologinen ominaisuus, joka säilyy jatkuvalla kuvauksella kuvattaessa. Tämä hyvin pieneltä tuntuva huomio kertoo jatkuvien kuvauksien käyttäytymisestä paljon enemmän kuin mitä aluksi saattaisi luulla. Erityisesti tämän havainnon pohjalta voidaan kertoa jotakin hyvin oleellista diffeomorfisten kuvauksien käyttäytymisetä. 21

22 Lause 7.9 (Jatkuvat kuvaukset säilyttävät yhtenäisyyden). Olkoon D R n yhtenäinen joukko ja kuvaus f : D R m jatkuva. Tällöin myös kuvaujoukko f(d) R m on yhtenäinen. Todistus. Katso topologian kurssit. Seuraus 7.10 (Bolzanon lause). Olkoot a < c < b. Oletetaan, että yhtenäisen joukon D R n jatkuvalle reaaliarvoiselle funktiolle f : D R on voimassa joillekin x a D ja x b D. Tällöin jollekin x c D. f(x a ) = a ja f(x b ) = b f(x c ) = c Todistus. Seuraa suoraan edellisestä lauseesta havaitsemalla, että avaruuden R jokainen yhtenäinen joukko on joko piste tai avaruuden R väli. Lause 7.11 (Diffeomorfismin Jacobin determinantin merkki). Olkoot U ja V avaruuden R n avoimia ja yhtenäisiä joukkoja. Olkoon lisäksi f : U V diffeomorfismi. Tällöin joko J f (x) > 0 kaikilla x U tai J f (x) < 0 kaikilla x U. Todistus. Tulos seuraa osoittamalla ensin, että diffeomorfismin Jacobin determinantti on kaikkialla nollasta poikkeavaa. Tämä voidaan todistaa differentioimalla ensin molemmin puolin yhtälöä id = f f 1 ja soveltamalla näin saatuun uuteen yhtälöön lineaarialgebraa sopivalla tavalla väitteen det Df(x) 0, kaikilla x U, osoittamiseksi. Tämän jälkeen väite seuraa soveltamalla Bolzanon lausetta reaaliarvoiseen funktioon J f : U R. Tarkempi todistus annetaan harjoituksien 2 tehtävässä 3.

Luento 4: Implisiittifunktiolause

24 8. Implisiittifunktiolause Tässä luvussa tarkastellaan implisiittifunktiolausetta. Implisiittifunktiolauseeseen päädytään esimerkiksi silloin, kun tarkastellaan R n m -arvoisen yhtälön F (x, y) = (0,..., 0) }{{}, (x, y) R m R n m, n m komponenttia muotota y = g(x) olevia lokaaleja ratkaisuita. Implisiittifunktiolause voidaan todistaa käänteiskuvauslauseen avulla melko vähällä vaivalla. Nämä kaksi tulosta on mahdollista todistaa myös päinvastaisessa järjestyksessä. Tällöin implisiittifunktiolauseen todistuksen eteen joudutaan tekemään enemmän työtä, kun taas käänteiskuvauslause seuraa tässä tapauksessa vähemmällä vaivalla implisiittifunktiolauseesta. Merkintöjä. Tässä kappaleessa oletetaan, että Lisäksi merkinnällä takoitetaan, että n 2 ja m {1,..., n 1}. (x, y) R m R n m x = (x 1,..., x m ) R m and y = (y 1,..., y n m ) R n m. Lisäksi määritellään avoimen joukon U R n differentioituvalle kuvaukselle x-derivaatta ja y-derivaatta asettamalla ja f = (f 1,..., f n m ) : U R n m D x f(x, y) L(R m, R n m ) ja D y f(x, y) L(R n m, R n m ) x1 f 1 (x, y) xm f 1 (x, y) mat(d x f(x, y)) =.. x1 f n m (x, y) xm f n m (x, y) 1 f 1 (x, y) m f 1 (x, y) =... 1 f n m (x, y) m f n m (x, y) y1 f 1 (x, y) yn m f 1 (x, y) mat(d y f(x, y)) =.. y1 f n m (x, y) yn m f n m (x, y) m+1 f 1 (x, y) n f 1 (x, y) =... m+1 f n m (x, y) n f n m (x, y) Näillä merkinnöillä implisiittifunktiolause ja implisiittinen derivointikaava voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa: Lause 8.1 (Implisiittifunktiolause). Olkoon f : U R n m

avoimen joukon U R n jatkuvasti differentioituva kuvaus, jolle on pisteessä ( x }{{} 0, y 0 ) U }{{} R m R n m voimassa seuraavat kaksi ehtoa (1) f(x 0, y 0 ) = 0, (2) det D y f(x 0, y 0 ) 0, eli rank [ mat(df(x 0, y 0 )) ] = n m. Tällöin on olemassa pisteen x 0 R m avoin ympäristö W R m ja pisteen y 0 R n m avoin ympäristö W R n m ja täsmälleen yksi jatkuvasti differentioituva funktio siten, että W W U ja ( 1) ( 2) g : W W f(x, g(x)) = 0 kaikilla x W. det D y f(x, g(x)) 0 kaikilla x W. Todistus. Voidaan todistaa käänteiskuvauslauseen avulla. Tarkempi todistus sivuutetaan. Implisiittifunktiolause on olemassaolotulos, eikä sen avulla voi konstruoida itse implisiittifunktiota g. Funktion g derivaatan määrittäminen tarkastelupisteessä onnistuu kuitenkin implisiittisellä derivoinnilla ja näin ollen ratkaisulle saadaan lineaariaffiini approksimaatio. Lause 8.2 (Implisiittinen derivointi). Lauseen 8.1 implisiittiunktiolle on voimassa Dg(x) = D y f(x, g(x)) 1 Df x (x, g(x)) kaikille x W. Erityisesti lauseen 8.1 pisteessä x 0 on voimassa Tällöin esimerkiksi Dg(x 0 ) = D y f(x 0, g(x 0 )) 1 Df x (x 0, g(x 0 )). Todistus. Seuraa oletuksesta f(x, g(x)) = 0, sekä ketjusäännöstä sovellettuna kuvaukseen f h, missä h : U R n : x (x, g(x)). Huomaa, että ketjusääntöä soveltaessa on tiedettävä jo, että kuvaus g on differentioituva. Tämä tieto saadaan implisiittifunktiolauseesta. Huomautus 8.3. Nimitys Implisiittifunktiolause saa nimensä siitä, ettei lauseen 8.1 antamaa funktiota g ole yleensä mahdollista antaa eksplisiittisesti. Tiedämme ainoastaan, että sellainen on olemassa, eli tunnemme sen implisiittisesti. Huomautus 8.4. Implisiittifunktiolauseen ehto (2) ei ole välttämätön. Tämän osoittamiseksi tutki esimerkiksi funktiota f : R 2 R, pisteessä a = (0, 0). f(x, y) = x 9 y 3 25

26 Esimerkki 8.5 (Esimerkki 1 implisiittifunktiolauseen käytöstä). Tarkastellaan yhtälön ( ) x cos y + y cos z + z cos x = 0, (x, y, z) R 3, ratkaisuja pisteen a := (π, 0, π) ympäristössä. Funkio f : R 3 R, f(x, z, y) = x cos y + y cos z + z cos x. on selvästi jatkuvasti differentioituva, f(a) = 0 ja f(a) = [(cos y, cos z, cos x) (z sin x, x sin y, y sin z)] (x,y,z)=(π,0,π) = (1, 1, 1). Siispä implisiittifunktiolauseen nojalla yhtälöllä ( ) on origon ympäristössä seuraavat C 1 - ratkaisut: x = g 1 (y, z), y = g 2 (x, z) ja z = g 3 (x, y). Lisäksi implisiittinen derivointi antaa g 1 (0, π) = (1, 1), g 2 (π, π) = (1, 1) ja g 3 (π, 0) = (1, 1). Esimerkki 8.6 (Esimerkki 2 implisiittifunktiolauseen käytöstä). Tarkastellaan yhtälöparin { x + y 2 + z 3 = 0 x 2 + y 3 + z 4 = 0 ratkaisuja pisteen a = (0, 1, 1) ympäristössä. Funktio f : R 3 R 2, f(x, z, y) = (x + y 2 + z 3, x 2 + y 3 + z 4 ) on jatkuvasti differentioituva, f(a) = 0 ja [ ] 1 2y 3z 2 mat(df(a)) = 2x 3y 2 4z 3 x=0, y= 1, z= 1 = [ 1 2 3 0 3 4 Implisiittifunktiolauseen perusteella löytyy lokaali ratkaisufunktio muodossa (y, z) = g 1 (x) ja (x, z) = g 2 (y) ja (x, y) = g 3 (z). Tällöin esimerkiksi implisiittifunktiolle (x, y) = g 3 (z) pätee mat(dg 3 ( 1)) = 1 [ ] [ ] 3 2 3 = 1 3 0 1 4 3 [ 1 4 ]. ].

Luento 5: Parametripinnat

28 9. Parametripinnat Euklidisen avaruuden k-ulotteiselle pinnalla tarkoitetaan intuitiivisesti euklidisen avaruuden R n osajoukkoa, joka voidaan ainakin lokaalisti samaistaa avaruuden R k joukon W kanssa siistillä, avaruuden R k struktuurin säilyttävällä bijektiolla. Esimerkiksi maapallon pintaa mallintava avaruuden R 3 yksikköpallon pinta S 2 := {x R 3 : x = 1} on hyvä esimerkki 2-ulotteisesta avaruuden R 3 pinnasta. Lokaalisti tämä joukko muistuttaa monella tapaa euklidista tasoa R 2, mutta isommassa skaalassa se poikkeaa ominaisuuksiltaan euklidisesta tasosta. Jotta pinnalle voitaisiin antaa tarkka matemaattinen määritelmä, niin on löydettävä tapa jolla ilmaista milloin kaksi joukkoa D R n ja D R m muistuttavat toisiaan ja milloin eivät. Tämä johtaa tarkastelemaan homeomorfisia kuvauksia, joiden avulla joukkojen (topologinen) samankaltaisuus voidaan ilmaista: Määritelmä 9.1 (Homeomorfismi). Olkoon D R n ja D R m joukkoja. Bijektiota ϕ : D D kutsutaan homeomorfismiksi, jos se ja sen käänteiskuvaus ϕ 1 : D D ovat jatkuvia. Lisäksi joukkojen D ja D sanotaan olevan topologisesti ekvivalentteja tai keskenään homeomorfisia, jos niiden välille löytyy homeomorfismi ϕ : D D. Esimerkki 9.2 (Keskenään homeomorfisia joukkoja). Kaikki seuraavista tason joukoista ovat topologisesti ekvivalentteja: (1) Ellipsit (2) Suorakulmiot E(r 1, r 2 ) = { x R 2 : x2 1 + x2 2 r1 2 r2 2 } < 1 (r 1 > 0 ja r 2 > 0). Q(0, r 2 ) = {x R 2 : x 1 < ˆr 1 ja x 2 < ˆr 2 } (ˆr 1 > 0 ja ˆr 2 > 0). Yksikään edellisistä joukoista ei kuitenkaan ole topologisesti ekvivalentti esimerkiksi (3) annuluksen kanssa. A( r 1, r 2 ) = {x R 2 : r 1 < x < r 2 } (0 < r 1 < r 2 ) Kuvauksen homeomorfisuuden todentamisessa seuraavasta melko yksinkertaisesta tuloksesta on hyvin usein apua: Lause 9.3 (Kompaktin joukon jatkuva injektio on homeomorfismi). Olkoon K R n kompakti joukko ja ϕ : K R m jatkuva injektio. Tällöin on homeomorfismi. ϕ : K ϕ(k) Todistus. Katso topologian kurssit.

29 Määritelmä 9.4 (Parametripinta). Olkoon n 2 ja k {1,..., n 1}. Epätyhjää joukkoa S R n kutsutaan k-ulotteiseksi pinnaksi tai k-ulotteiseksi parametripinnaksi, jos jokaiseen pisteeseen y S on liitettävissä (i) pisteen y avoin ympäristö W y R n, (ii) avoin joukko W y R k, sekä (iii) homeomorfismi ϕ y : W y W y S, eli niin kutsuttu pinnan S lokaali parametriesitys. S R 3 y W y S ϕ y : W y W y S R 2 W y Kuva 2. Kaksiulotteinen parametripinta Määritelmä 9.5 (Parametripintaan liittyviä käsitteitä). (a) Jos S R n on (n 1)-ulotteinen pinta, niin sitä kutsutaan hyperpinnaksi. (b) Jos pinta S voidaan saada esille yhdellä (globaalilla) parametriesityksellä ϕ : W S, niin sitä kutsutaan alkeispinnaksi. (c) Pintaa S kutsutaan C 1 -pinnaksi, jos sen lokaalit parametriesitykset ϕ y : W y S W y voidaan valita siten, että ne ovat jatkuvasti differentioituvia. Jos lisäksi parametriesitykset ϕ y voidaan valita siten, että niille on myös voimassa rank Dϕ y (w) = k kaikilla w W y, niin pintaa S kutsutaan sileäksi k-ulotteiseksi pinnaksi.

30 (d) Määritelmän 9.4 joukkoa S W y kutsutaan kartaksi ja kuvausta karttakuvaukseksi. ϕ 1 y : S W y W y Huomautus 9.6 (Käyrät ja monistot). Toisinaan k-ulotteisille pinnoille käytetään seuraavaa jaottelua: (i) Jos k = 1, niin k-ulotteista pintaa kutsutaan käyriksi. (ii) Jos k 2, niin k-ulotteista pintaa kutsutaan pinnaksi. (iii) Yleinen nimitys (eli jos k 1) on tällöin k-ulotteinen monisto. Esimerkki 9.7 (Graafipinta). Olkoon f : U R n m jatkuvasti differentioituva kuvaus avoimessa joukossa U R m. Tällöin graafi G f := {y R n : y = (z, f(z)), z U} on sileä m-ulotteinen alkeispinta, jonka (globaali) parametriesitys on ϕ : U G f, ϕ(x) = (x, f(x)). Kuvaus ϕ on selvästi jatkuva ja niin on myös sen käänteiskuvaus ϕ 1 : G f U, ϕ 1 (y 1,..., y m, y m+1,..., y n ) = (y 1,..., y m ), joka on itseasiassa avaruuden R n projektio avaruudelle R m. R f(x) (x, f(x)) x R 2 Kuva 3. Osa funktion f : R 2 R graafipintaa Lisäksi ϕ on myös selvästi C 1 -kuvaus ja jokaisessa pisteessä x R m lineaarikuvauksen Dϕ(x) L(R m ; R n )

matriisille on voimassa mat Dϕ(x) = 1 0 0 0 1 0...... 0 0 1 1 f 1 (x) 2 f 1 (x) m f 1 (x)...... 1 f n m (x) 2 f n m (x) m f n m (x) Tämän matriisin m ensimmäistä rivivektoria ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia, joten rank Dϕ(x) = m kaikilla x U. Siispä G f on myös sileä. Esimerkki 9.8 (Hypertaso). Olkoot Merkitään Avaruuden R n hypertaso λ 1,..., λ n R ja λ i 0, jollekin i {1,..., n}. λ := (λ 1,..., λ n ). T = {x R n : λ 1 x 1 + + λ n x n = c} { = x = z + c } λ λ : (z λ) = 0 2 on sileä (n 1)-ulotteinen alkeispinta, jonka globaalin parametriesityksen antaa kuvaus ϕ : R n 1 T, ( ϕ(x) = x 1, x i 1, c λ 1x 1 λ i 1 x i 1 λ i+1 x i+1 λ n x ) n, x i+1,..., x n. λ i... 31

Luento 6: Pinnan tangenttitasot ja normaalitasot

10. Tangentti- ja normaalitasot Jokaisen k-ulotteisen sileän parametripinnan S R n lokaalia käyttäytymistä voidaan approksimoida pisteeseen y 0 S liittyvän lokaalin parametriesityksen differentiaalikuvauksen määräämällä affiinilla k-ulotteisella tasolla T y0 := y 0 + Dϕ(ϕ 1 (y 0 ))(R k ), eli niin kutsutulla tangenttitasolla. Tähän joukkoon nähden (pisteen y 0 suhteen) kohtisuorassa olevaa (n k)-ulotteista affiinia tasoa N y0 := y 0 + [Dϕ(ϕ 1 (y 0 ))(R k )] kutsutaan pisteeseen normaalitasoksi. Normaalitasoa pitkin liikuttaessa pinnasta S loitotaan lokaalisti pisteestä y 0 lähdettäessä kaikkein nopeiten. Määritelmä 10.1 (Tangenttiavaruus ja normaaliavaruus). Olkoon S R n sileä k-ulotteinen pinta, jolla on pisteen y 0 S ympäristössä lokaali parametriestitys ϕ : W S W siten, että ϕ on C 1 -kuvaus, jolle Merkitään Tällöin: (W R k ja W R n avoimia) rank Dϕ(w) = k kaikilla w W. x 0 := ϕ 1 (y 0 ). (1) Pisteeseen y 0 liittyvä pinnan S tangenttiavaruus on joukko T y0 := Dϕ(x 0 )(R k ) = span ( 1 ϕ(x 0 ),..., k ϕ(x 0 ) ) R n ja vektoreita τ T y0 kutsutaan tangenttivektoreiksi. (2) Pisteeseen y 0 liittyvä pinnan S normaaliavaruus on joukko N y0 = T y 0 := {ν R n : (ν τ) = 0 kaikille τ T y0 } R n ja vektoreita ν N y0 kutsutaan normaalivektoreiksi. (3) Kantapisteen y 0 S kautta kulkevaa joukkoa T y0 := y 0 + T y0 := {y R n : y = y 0 + τ, τ T y0 } R n kutsutaan pinnan S tangenttitasoksi. (4) Kantapisteen y 0 S kautta kulkevaa joukkoa N y0 := y 0 + N y0 := {y R n : y = y 0 + ν, ν N y0 } R n kutsutaan pinnan S normaalitasoksi. 33 Huomautus 10.2 (Tangentti- ja normaaliavaruuden dimensiot). Olkoon S sileä k-ulotteinen pinta ja y 0 S. Tällöin ja dim T y0 = dim T y0 = k dim N y0 = dim N y0 = n k.

34 N y0 y 0 + span ( 2 ϕ(ϕ 1 (y 0 )) ) y 0 y 0 + span ( 1 ϕ(ϕ 1 (y 0 )) ) T y0 ϕ ϕ 1 (y 0 ) Kuva 4. Pinnan tangenttitaso ja normaalisuora Huomautus 10.3 (Tangentti- ja normaaliavaruuden yksikäsitteisyys). Määritelmän 10.1 joukot T y0, T y0, N y0 ja N y0 eivät riipu pinnan S lokaaleiden parametriesityksien valinnasta. Todistuksen idea huomatutukselle 10.3: Jos ϕ : W y W y S ja ϕ : Wy W y S ovat pinnan kaksi lokaalia parametriesitystä siten, että y W y W y S, niin voidaan osoittaa (haastavin osa tarkkaa todistusta), että kuvaus on C 1 -kuvaus, jolle ϕ 1 ϕ : ϕ 1 (S W y W y) ϕ 1 (S W y W y) det[d( ϕ 1 ϕ)(x)] 0, missä y = ϕ(x) = ϕ( x). Tästä seuraa, että D( ϕ 1 ϕ)(x)(r k ) = R k.

35 Erityisesti ketjusääntö antaa tällöin Dϕ(x)(R k ) = D ( ϕ ( ϕ 1 ϕ ) (x))(r k ) = D ϕ( x) ( D( ϕ 1 ϕ)(x) ) (R k ) }{{} =R k = D ϕ( x)(r k ). Esimerkki 10.4 (Esimerkki 1 tangenttitason ja normaalitason selvittämisestä). Joukko S = {x R 3 : x 1 = x 2, x 3 = x 2 2} on sileä 1-ulotteinen alkeispinta, globaalina parametriesityksenään ϕ : R R 3, ϕ(z) = (z, z, z 2 ), jolle Dϕ(z) = (1, 1, 2z). Tällöin esimerkiksi pisteelle y 0 := ϕ(2) = (2, 2, 4) saadaan ja T y0 = {y R 3 : y = y 0 + Dϕ(2)t, t R} = {y R 3 : y = (2, 2, 4) + t(1, 1, 4), t R} N y0 = {y R 3 : (y y 0 Dϕ(2)) = 0} = {y R 3 : y 1 + y 2 + 4y 3 = 20}. Esimerkki 10.5 (Esimerkki 2 tangenttitason ja normaalitason selvittämisestä). Olkoon Tällöin S = ϕ(r 2 ), missä ϕ : R 2 R 3, S = {y R 3 : y 3 = y 2 1 + y 2 }. ϕ(x) = (x 1, x 2, x 2 1 + x 2 ), mat Dϕ(x) = 0 1 1 0 2x 1 1 joten S on kaksiulotteinen, sileä alkeispinta. Tällöin esimerkiksi pisteessä y 0 := ϕ(1, 1) = (1, 1, 2) saadaan ( ) T y0 = (1, 1, 2) + span (1, 0, 2), (0, 1, 1). }{{} =y 0 }{{} = 1 ϕ(1,1) }{{} = 2 ϕ(1,1), Tason T y0 esitys tasa-arvojoukko-muodossa: Nyt y T y0 y y 0, (1, 0, 2) ja (0, 1, 1) ovat lineaarisesti riippuvia y 1 1 1 0 0 = y 2 1 0 1 y 3 2 2 1 = 2(y 1 1) (y 2 1) + (y 3 2) 2y 1 y 2 + y 3 = 1. Eli etsitty tasa-arvojoukko-muoto on T y0 = {y R 3 : 2y 1 y 2 + y 3 = 1}.

36 Normaalisuoran N y0 esitys: Tangenttitason tasa-arvoesitystä etsittäessä havaittiin, että ( y y0 ( 2, 1, 1) ) = 0 kaikille y T y0. Siispä ( 2, 1, 1) N y0 ja koska N y0 on nyt 1-ulotteinen, niin N y0 = span ( ( 2, 1, 1) ). Tämän avulla normaalitasolle saadaan esitys N y0 = y 0 + N y0 = (1, 1, 2) + span ( ( 2, 1, 1) ) = {y R 3 : y = (1, 1, 2) + t( 2, 1, 1), t R}. Esimerkki 10.6 (Esimerkki graafipinnan tangenttitason selvittämisestä). Avoimen joukon U R n m jatkuvasti differentioituvalle kuvaukselle graafin f : U R m G f = {y R n : y = (x, f(x)), x U} tangenttitaso pisteessä y 0 = (x 0, f(x 0 )) G f on T y0 = {y R n : y = y 0 + (x, Df(x 0 )x), x R n m }.

Luento 7: Tasa-arvopinnat ja kriittisten pisteiden luokittelu

38 11. Sileät tasa-arvopinnat Implisiittilauseen yhteydessä havaittiin, että jos avoimen joukon U R n jatkuvasti differentioituvalle kuvaukselle f : U R n m pisteessä (x 0, y 0 ) R m R n m on voimassa f 1 (x 0, y 0 ) = 0 ja rank D y f(x 0, y 0 ) = n m, niin tällöin joukko f 1 (0) voidaan esittää lokaalisti jonkin C 1 -kuvauksen g : W R n m graafipintana G g = {(x, y) R n : x R m ja y = g(x)}. Toisin sanoen joukko S = f 1 (0) määrittelee lokaalisti pisteen (x 0, y 0 ) S ympäristössä sileän m-ulotteisen graafipinnan. Tämä johtaa seuraavaan tulokseen: Lause 11.1 (Sileä tasa-arvopinta). Olkoot Olkoon n 2 ja m {1, 2,..., n 1}. f = (f 1,..., f n m ) : U R n m avoimen joukon U R n jatkuvasti differentioituva kuvaus. Jos tasa-arvojoukon jokaisessa pisteessä y S pätee S := f 1 (0) = {y U : f(y) = 0} R n rank Df(y) = n m, niin S on sileä, m-ulotteinen pinta. Erityisesti, jokaiselle y 0 S on voimassa (1) T y0 = {τ R n : Df(y 0 )τ = 0} = ker Df(y 0 ). (2) (3) (4) T y0 = {y R n : Df(y 0 )(y y 0 ) = 0}. N y0 = span ( f 1 (y 0 ),..., f n m (y 0 ) ). N y0 = y 0 + span ( f 1 (y 0 ),..., f n m (y 0 ) ). Todistus. Voidaan todistaa soveltamalla implisiittifunktiolausetta ja lineaarialgebrasta tuttua dimensiolausetta. Tarkempi todistus sivuutetaan. Määritelmä 11.2 (Tasa-arvopinta / implisiittisesti määritelty pinta). Pintaa S, joka saadaan avoimen joukon U R n kuvauksen f : U R k alkukuvana S = f 1 (c) pisteestä c R k kutsutaan tasa-arvopinnaksi tai implisiittisesti määritellyksi pinnaksi. Esimerkki 11.3. Jatkuvasti differentioituvalle kuvaukselle f : R 3 R, on voimassa Täten lauseen 11.1 nojalla f(x) = x 2 f(x) = 2x 0 kaikilla x f 1 (17). S := f 1 (17)

39 on avaruuden R 3 hyperpinta. Esimerkiksi pisteessä y 0 = (3, 2, 2) on Siispä lause 11.1 antaa ja f(y 0 ) = (6, 4, 4). T y0 = {y R 3 : ( f(y 0 ) y y 0 ) = 0} = {y R 3 : 6y 1 + 4y 2 + 4y 3 = 34} N y0 = (3, 2, 2) + span ( 6, 4, 4 ). Esimerkki 11.4. Kuvaukselle f : R 4 R 2, f(x) = (x 1 + x 2, x 3 x 4 + x 3 ) =:c {}}{ on pisteessä y 0 = (1, 0, 3, 2) voimassa f(y 0 ) = (1, 9) ja [ 1 1 0 0 mat Df(y 0 ) = 0 0 3 3 Siispä lauseen 11.1 nojalla pisteellä y 0 on avoin ympäristö W R 4 siten, että S := f 1 (c) W ]. on sileä kaksiulotteinen avaruuden R 4 pinta. Lisäksi lause 11.1 antaa ja T y0 = {y R 4 : Df(y 0 )(y y 0 ) = 0} = {y R 4 : y 1 + y 2 = 1, 3y 3 + 2y 4 = 15} N y0 = (1, 0, 3, 2) = span ( (1, 1, 0, 0), (0, 0, 3, 3) ).

40 12. Ääriarvot, kriittiset pisteet ja kriittisten pisteiden luokittelu Globaaleissa ääriarvotehtävissä tavoitteena on määrätä joukossa A R n määritetylle reaaliarvoiselle funktiolle f : A R arvot inf A f ja sup f, A sekä selvittää missä joukon A pisteissä (jos missään) f saavuttaa kyseiset arvot. Globaaleille ääriarvotehtäville toimii pohjana lokaaleiden ääriarvotehtävien tarkastelu. Funktion ääriarvoille käytetään seuraavaa luokittelua: Määritelmä 12.1 (Ääriarvot ja ääriarvopisteet). Olkoon A R n. Funktiolla on pisteessä a A f : A R (1) lokaali minimi f(a), jos on olemassa r > 0 siten, että f(x) f(a) kaikilla x ( B(a, r) A ) \ {a}. (2) lokaali maksimi f(a), jos on olemassa r > 0 siten, että f(x) f(a) kaikilla x ( B(a, r) A ) \ {a}. (3) (globaali) minimi f(a), jos f(x) f(a) kaikilla x A \ {a}. (4) (globaali) maksimi f(a), jos f(x) f(a) kaikilla x A \ {a}. Lisäksi: (5) Pistettä a A, joka toteuttaa ainakin yhden ehdoista (1) (4), kutsutaan ääriarvopiseeksi. (6) Ääriarvopisteen a arvoa f(a) kutsutaan (lokaaliksi / globaaliksi) ääriarvoksi. (7) Jos ääriarvon f(a) määräämä epäyhtälö on aito, niin ääriarvoa kutsutaan aidoksi. Kurssilla Vektorianalyysi I opittiin, että differentioituvalle funktiolle funktion gradienttivektori f : U R f(x) R n ilmaisee pisteessä x R n funktion nopeimman kasvun suunnan. Tämä johtaa seuraavaan huomioon ääriarvopisteitä tarkasteltaessa: Lause 12.2 (Differentioituvan funktion ääriarvopiste on kriittinen piste). Olkoon f : U R avoimen joukon U R n differentioituva funktio. Jos a U on lokaali ääriarvopiste, niin f(a) = 0. Todistus. Harjoitus 4. Lauseen 12.2 nojalla funktion f : U R lokaalit ääriarvopisteet löytyvät (silloin, kun niitä on olemassa) joukosta K f := {x U : f(x) = 0}.

Tästä johtuen kyseisen joukon piteitä kutsutaan jatkossa kriittisiksi pisteiksi. Jokaisen kriittisen pisteen ei kuitenkaan tarvitse olla ääriarvopiste. Niitä kriittisten pisteiden joukon K f pisteitä, jotka eivät ole ääriarvopisteitä, kutsutaan satulapisteiksi. Tämä nimitys johtuu siitä, että funktion f : R 2 R graafipinnan G f muoto muistuttaa satulapisteissä etäisesti satulaa (vrt. huomautus 12.4). Määritelmä 12.3 (Kriittinen piste). Olkoon f : U R avoimen joukon U R n differentioituva funktio ja a A. Jos f(a) = 0, niin pistettä a kutsutaan kriittiseksi pisteeksi. Huomautus 12.4 (Jokainen kriittinen piste ei ole ääriarvopiste). Kriittisen pisteen ei tarvitse aina olla ääriarvopiste! Tämän voi huomata esimerkiksi tarkastelemalla funktiota f : R 2 R, f(x) = x 2 1 x 2 2 kriittisessä pisteessä x = 0. Määritelmä 12.5 (Satulpiste). Kriittistä pistettä, joka ei ole lokaali ääriarvopiste, kutsutaan satulapisteeksi. 41

42 13. Neliömuodot Riittävän säännölliselle funktiolle f : U R voidaan kriittisen pisteen a U ympäristössä johtaa Taylorin lauseen avulla esitys f(a + u) f(a) = =0 {}}{ Df(a)u + 1 2! D2 f(a)(u, u) + u 2 ε(u) = 1 2! D2 f(a)(u, u) + u 2 ε(u), missä ε on jokin ε-funktio. Jos nyt toisen asteen homogeeniselle polynomille n Q(u) := D 2 f(a)(u, u) := i j f(a)u i u j pätee (i) Q(u) > 0 kun u 0, niin tällöin myös Q(u) c u 2 jollakin c > 0. (ii) Q(u) < 0 kun u 0, niin tällöin myös jollakin c < 0. Q(u) c u 2 i,j=1 kaikille u R n kaikille u R n Tapauksessa (i) piste a vaikuttaisi olevan lokaali miniimipiste ja vastaavasti tapauskessa (ii) se vaikuttaisi olevan lokaali maksimipiste. Tämä lähestymistapa johtaa tarkastelemaan niin kutsuttuja neliömuotoja: Määritelmä 13.1 (Neliömuoto). Kuvausta Q : R n R kututaan neliömuodoksi avaruudessa R n, jos kaikille u R n on n Q(u) = a i,j u i u j = u T Au, i,j=1 missä A = [a i,j ] on symmetrinen n n-matriisi. Kriittisten pisteiden tyypin määrittelemiseen päästään neliömuotojen avulla käsiksi tarkastelemalla neliömuodon D 2 f(a) : R n R tyyppiä, missä apuna toimii lineaarialgebran kursseilla opitut tulokset ja tekniikat: Määritelmä 13.2 (Neliömuodon tyyppi). Neliömuoto Q : R n R on tyypiltään (1) positiivisesti / negatiivisesti definiitti, jos Q(u) > 0 / Q(u) < 0 kaikille u 0. (2) positiivisesti / negatiivisesti semidefiniitti, jos ja (3) indefiniitti, jos Q(u) 0 / Q(u) 0 kaikille u R n Q(u) = 0 jollekin u 0. Q(u) > 0 ja Q(v) < 0 joillekin u R n ja v R n.

Koska neliömuotoa Q(u) = n a i,j u i u j i,j=1 vastaava matriisi A = [a i,j ] n i,j=1 on symmetrisenä matriisina ortogonaalisesti diagonalisoituva, niin voidaan kirjoittaa A = C T DC missä C on ortogonaalimatriisi (jolloin siis C T = C 1 ) ja D on diagonaalimatriisi siten, että D = diag[λ 1,..., λ n ], missä λ 1,..., λ n R ovat matriisin A ominaisarvot. Merkitsemällä v := Cu saadaan mikä johtaa seuraavaan tulokseen: Q(u) = u T C T DCu = (Cu) T D(Cu) = v T Dv, Lause 13.3 (Neliömuodon tyypin selvittäminen ominaisarvojen avulla). Olkoon A = [a i,j ] symmetrinen matriisi ja olkoon λ 1,..., λ n R sen ominaisarvot. Olkoon Q(u) = n a i,j u i u j i,j=1 matriisia A vastaava neliömuoto. Tällöin Q on (i) positiivisesti / negatiivisesti definiitti jos ja vain jos 43 λ i > 0 / λ i < 0 kaikilla i {1,..., n}. (ii) positiivisesti / negatiivisesti semidefiniitti jos ja vain jos λ i 0 / λ i 0 kaikilla i {1,..., n} ja λ i = 0 (iii) indefiniitti jos ja vain jos jollekin i {1,..., n}. λ i > 0 ja λ j < 0 joillekin i, j {1,..., n}. Todistus. Seuraa edellä käydyistä huomioista. Neliömuodon tyyppi voidaan yrittää selvittää myös seuraavan determinanttiehdon avulla: Lause 13.4 (Neliömuodon tyypin selvittäminen determinanttiehdolla). Olkoon A = [a i,j ] n i,j=1 neliömuotoa Q vastaava symmetrinen matriisi. Merkitään A k := [a i,j ] k i,j=1. Tällöin Q on (i) positiivisesti definiitti jos ja vain jos det A k > 0 kaikilla k {1,..., n}. (ii) negatiivisesti definiitti jos ja vain jos ( 1) k det A k > 0 kaikilla k {1,..., n}. (iii) indefiniitti, jos det A 0 ja kumpikaan ehdoista (i) (ii) ei ole voimassa. Todistus. Seuraa esimerkiksi lausetta 13.3 soveltamalla. Tässä apuna voi käyttää myös huomiota, että matriisit A k ovat myös symmetrisiä.

44 Esimerkki 13.5 (Esimerkki determinanttiehdon soveltamisesta). Neliömuoto Q : R 3 R, Q(u) = u 2 1 + 3u 2 2 + 3u 2 3 + 2u 1 u 2 + 2u 1 u 3 = [u 1, u 2, u 3 ] 1 1 1 1 3 0 u 1 u 2 1 0 3 u 3 on lauseen 13.4 nojalla positiivisesti definiitti, sillä 1 > 0, 1 1 1 3 = 2 > 0 ja 1 1 1 1 3 0 1 0 3 = 3 > 0.

Luento 8: Lokaalit ja sidotut ääriarvotehtävät

46 14. Lokaaleiden ääriarvotehtävien ratkaisemisesta Edellisessä luvussa esitettyjä neliömuotojen tarkasteluun tarkoitettuja tekniikoita voidaan soveltaa avoimessa joukossa U R n määritellyn C 2 -funktion f : U R toisen kertaluvun derivaattaan D 2 f(x), jota vastaavaa symmetristä matriisia kutsutaan Hessen matriisiksi. Hessen matriisin symmetrisyys seuraa Schwarz-Claurentin lauseesta, jonka nojalla jokaiselle C 2 -funktiolle f. i j f(x) = j i f(x), kaikilla x U, Määritelmä 14.1 (Hessen matriisi). Olkoon f : U R C 2 -funktio avoimessa joukossa U R n. Tällöin matriisia 1 1 f(x) n 1 f(x) Hes f (x) =.. n 1 f(x) n n f(x) kutsutaan funktion f Hessen matriisiksi pisteessä x U. Funktion f : R R toisen kertaluvun derivaatta f (x) pisteessä x R antaa informaatiota funktion f kaareutumisesta pisteessä x. Erityisesti toisen kertaluvun derivaatan avulla voidaan selvittää tässä tapauksessa funktion kriittisten pisteiden tyyppi. Myös korkeammissa ulottuvuuksissa toisen kertaluvun derivaatta D 2 f(x) antaa informaatiota funktion lokaalista kaareutumisesta. Erityiesti Hessen matriisin avulla funktion kaareutumista pisteessä voidaan mitata. Koska toisen kertaluvun derivaatta D 2 f(x) on neliömuoto, jota vastaava symmetrinen matriisi on Hessen matriisi Hes f (x), niin edellisessä luvussa esiteltyjä neliömuotoja koskevia tuloksia voidaan soveltaa neliömuodon D 2 f(x) tyypin selvittämiseksi. Tämän jälkeen seuraavan lauseen avulla voidaan yrittää analysoida Hessen matriisin tyypin avulla annetun kriittisen pisteen laatua: Lause 14.2 (Kriittisten pisteiden tyypin määrittäminen Hessen matriisilla). Olkoon a U avoimessa joukossa U R n määritellyn C 3 -funktion kriittinen piste. Jos neliömuoto on u u T Hes f (a)u = f : U R n j=1 1=1 n j i f(a)u i u j, u R n, (i) positiivisesti definiitti, niin a on lokaali aito minimipiste. (ii) negatiivisesti definiitti, niin a on lokaali aito maksimipiste. (iii) indefiniitti, niin a on satulapiste. Todistus. Seuraa Taylorin lauseesta luvun 13 alussa esitetyllä tavalla. Huomautus 14.3 (Entä, jos Hessen matriisi on semidefiniitti?). Lause 14.2 ei sisällä semidefiniittejä tapauksia ja ne on tutkittava aina erikseen!!!

Lause 14.4 (Determinanttiehto Hessen matriisille). Oletetaan, että lauseen 14.2 ehdot ovat voimassa ja merkitään k (x; f) := det[ i j f(x)] k i,j=1, k {1,..., n}. Olkoon a U funktion f kriittinen piste. Tällöin: (i) Jos k (a; f) > 0, kaikilla k {1,..., n}, niin a on lokaali aito miniimipiste. (ii) Jos ( 1) k k (a; f) > 0,, kaikilla k {1,..., n} niin a on lokaali aito maksimipiste. (iii) Jos det n (a; f) 0, mutta kumpikaan ehdoista (i) (ii) ei ole voimassa, niin a on satulapiste. Todistus. Seuraa suoraan lauseista 14.2 ja 13.4. Esimerkki 14.5. Esimerkiksi C 3 -funktion (itse asiassa C -funktion) f : R 3 R, f(x) = 3x 2 1 6x 1 x 2 3x 2 2 x 3 1 + 3x 2 x 2 3, gradientti on f(x) = (6x 1 6x 2 3x 2 1, 6x 1 6x 2 + 3x 2 3, 6x 2 x 3 ), ja Hessen matriisi Hes f (x) = 6x 1 + 6 6 0 6 6 6x 3. 0 6x 3 6x 2 Tällöin esimerkiksi joukossa funktion f kriittiset pisteet ovat U = {x R 3 : x > 2} a 1 = (4, 4, 0), a 2 = (2, 0, 2) ja a 3 = (2, 0, 2), joiden laadut saadaan selvitetty seuraavasti: (a) 18 6 0 Hes f (a 1 ) = 6 6 0, 0 0 24 (b) joten lauseen 14.4 nojalla a 1 = (4, 4, 0) on lokaali aito maksimipiste, sillä ( 1) 1 1 (a 1 ; f) = 18 > 0, ( 1) 2 2 (a 1 ; f) = 72 > 0 ja ( 1) 3 3 (a 1 ; f) = 24 72 > 0. Hes f (a 2 ) = 6 6 0 6 6 12 0 12 0 joten lauseen 14.4 nojalla a 2 = (2, 0, 2) on satulapiste, sillä, 1 (a 2 ; f) = 6 ja 3 (a 2 ; f) = 6 12 2. 47

48 (c) Vastaavalla tavalla kuten (b)-kohdassa nähdään, että a 3 = (2, 0, 2) on satulapiste.

49 15. Sidottujen ääriarvotehtävien ratkaisemisesta Annetaan seuraavaksi todistus kurssilla Vektorianalyysi I esiintyneelle Lagrangen kertojien menetelmälle. Tämä tulos seuraa vähällä vaivalla lauseesta 11.1, joka voidaan todistaa implisiittifunktiolauseen avulla. Lagrangen kertojien menetelmä on monipuolinen apuväline sidottujen ääriarvotehtävien ratkaisemisessa. Kyseisen tuloksen sisäistämiseen kannattaa käyttää aikaa ja sen soveltamista on myös hyvä harjoitella paljon. Lause 15.1 (Lagrangen kertojien menetelmä). Olkoot Olkoon U R n avoin joukko, ja olkoot n 2 ja m {1,..., n 1} f : U R ja h = (h 1,..., h n m ) : U R n m jatkuvasti differentioituvia. Oletetaan, että funktiolla f rajoitettuna tasa-arvojoukkoon S h (0) := h 1 (0) = {x U : h 1 (x) = 0,..., h n m (x) = 0} on lokaali ääriarvopiste a siten, että Tällöin on olemassa vakiot siten, että λ 1,..., λ n m R rank Dh(a) = n m. f(a) = n m k=1 (Lagrangen kertojat) λ k h k (a). Todistus. A) Lauseen 11.1 nojalla pisteellä a S h (0) on avoin ympäristö W R n siten, että joukko S := S h (0) W muodostaa sielän m-ulotteisen alkeispinnan, jolla on parametriesitys missä W R m on avoin joukko siten, että ϕ : W S, a = ϕ(x 0 ) jollekin x 0 W. Tällöin pinnan S tangenttiavaruudeksi pisteessä a saadaan T a = {y R n : y = Dϕ(x 0 )u, u R m } = {y R n : Dh(a)y = 0}, ja vastaavaksi normaaliavavaruudeksi saadaan N a = span ( h 1 (a),..., h n m (a) ). B) Koska piste a S h (0) on rajoittumafunktion f Sh (0) lokaali ääriarvopiste, niin piste x 0 = ϕ 1 (a) W on funktion f ϕ : U R lokaali ääriarvopiste. Erityisesti kaikille h R m on voimassa 0 = D(f ϕ)(x 0 )h = Df(a) Dϕ(x 0 )h = ( f(a) Dϕ(x 0 )h). Tästä saadaan yhdessä A-kohdan kanssa, että ( f(a) x) = 0 kaikilla x T a.

50 Toisin sanoen f(a) N a. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset kertoimet siten, että λ j R, j {1,..., n m} f(a) = n m j=1 λ j h j (a). Esimerkki 15.2 (Pisteen etäisyys joukosta). Määritetään tasojen ja leikkauksen S 1 = {x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 1} S 2 = {x R 3 : x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1} S = S 1 S 2 = {x R 3 : x 1 + x 2 + x 3 1 = 0, x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 1 = 0} etäisyys origoon. Tämän ratkaisemiseksi minimoida funktiota f : R 3 R, side-ehdoilla f(x) = x h 1 (x) := x 1 + x 2 + x 3 1 = 0 ja h 2 (x) := x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 1 = 0. Funktion f sijasta voidaan minimoida funktiota g : R 3 R, samoilla side-ehdoilla. Koska vektorit g(x) = x 2 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 h 1 (x) = (1, 1, 1) ja h 2 (x) = (1, 2, 3) ovat lineaarisesti riippumattomia, niin Lagrangen kertojien menetelmää voidaan soveltaa. Ratkaistaan yhtälöryhmä 2x 1 = λ 1 + λ 2 g(x) = λ 1 h 1 (x) + λ 2 h 2 (x) 2x 2 = λ 1 + 2λ 2 h 1 (x) = 0, eli 2x 3 = λ 1 + 3λ 2 h 2 (x) = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1. Yhtälöryhmän ratkaisuksi saadaan (λ 1, λ 2 ) = ( 20 3 ja (x 1, x 2, x 3 ) = ( 11 6 6 6). Koska g on jatkuva funktio, jolle lim g(x) =, x niin g saavuttaa (globaalin) miniiminsä, joten min g = g ( 11, 2, ) 7 174 S 6 6 6 = 6. 2 Tällöin siis joukon S etäisyydeksi origosta saadaan min S f = f ( 11 6, 2 6, 7 6 ) = 1 6 174.

OSA II: INTEGRAALILASKENTAA

Luento 9: Yhden muuttujan vektoriarvoiset kuvaukset

16. Polut ja käyrät Tällä kurssilla keskitytään yksinkertaisuuden vuoksi ainoastaan suljetulla välillä I := [a, b] R määriteltyihin polkuihin. Polut voitaisiin määritellä yleisesti myös avoimille ja puoliavoimille väleille. Tällä kurssilla riittää kuitenkin tarkastella ainoastaan suljetilla väleillä määriteltyjä polkuja. Tästä johtuen kaikki polkuihin liittyvät käsitteet on myös muotoiltu ainoastaan suljetuilla väleillä määritellyille poluille. Määritelmä 16.1 (Polku ja käyrä). Olkoon I := [a, b] R ja A R n. Jatkuvaa kuvausta γ : I A kutsutaan (joukon A) poluksi ja kuvajoukkoa γ(i) käyräksi (joukossa A) tai polun γ jäljeksi. Huomautus 16.2 (Parametriesitys). Polkua γ : I R n kutsutaan käyrän γ(i) parametriesityksesksi. Jos η : Î Rn on jokin toinen polku, jolle on voimassa η(î) = γ(i), niin tällöin myös η on käyrän γ(i) parametriesitys. Määritelmä 16.3 (Umpinainen polku ja käyrä). Polkua γ : I R n (I = [a, b]) kutsutaan umpinaiseksi poluksi, jos γ(a) = γ(b). Tällöin joukkoa γ(i) kutsutaan umpinaiseksi käyräksi. Esimerkki 16.4 (Esimerkkejä erilaisista poluista). (a) Kuvaus γ : [0, 2π] R 2, γ(t) = (cos t, sin t) määrittelee tason R 2 umpinaisen polun, jonka jälki on yksikköympyrä. 53 γ 0 2π Kuva 5. Polku γ ja sen jälki

54 (b) Kuvaus η : [0, 2π] R 2, η(t) = ( cos 2t cos t, cos 2t sin t ) määrittelee tason R 2 umpinaisen polun, jonka jälki muistuttaa neliapilaa. η 0 2π Kuva 6. Polku η ja sen jälki (c) Kuvaus ν : [ π, ] 9π 2 2 R 3, ν(t) = (cos t, sin t, t) määrittelee avaruuden R 3 polun. ν π 2 9π 2 Kuva 7. Polku ν ja sen jälki

Määritelmä 16.5 (Jordan-polku). Injektiivistä polkua γ : I R n kutsutaan Jordanpoluksi ja sen kuvajoukkoa γ(i) Jordan-käyräksi. 55 Ei ole Jordan-käyrä On Jordan-käyrä Kuva 8. Jordan-käyrä ei voi leikata itseään Määritelmä 16.6 (Umpinainen Jordan-polku ja -käyrä). Jos umpinaisen polun γ : [a, b] R n rajoittumakuvaus γ [a,b[ : [a, b[ R n on injektio, niin sitä kutsutaan umpinaiseksi Jordan-poluksi ja käyrää γ(i) umpinaiseksi Jordan-käyräksi. Lause 16.7 (Jordanin käyrälause). Umpinaisen Jordan-käyrä γ(i) jakaa tason pistevieraisiin osiin siten, että R 2 \ γ(i) = A B missä A on rajoitettu (yhdesti yhtenäinen) alue ja B rajoittamaton alue siten, että A = γ(i) = B. Todistus. Syvällinen tulos. Todistus sivuutetaan. B γ(i) A Kuva 9. Jordanin käyrälauseen mukaan umpinainen Jordan-käyrä jakaa tason kahteen yhtenäiseen osaan

56 Määritelmä 16.8 (Vastapolku). Polun γ : [a, b] R n vastapolku on polku γ : [a, b] R n, γ (t) = γ(b (t a)). Määritelmä 16.9 (Yhdistetty polku). Olkoot γ : [a, b] R n ja η : [c, d] R n polkuja siten, että γ(b) = η(c). Tällöin polkujen γ ja η yhdistetty polku γ η : [a, b + d c] R n on { γ(t), kun t [a, b] (γ η)(t) = η(c + t b), kun t [b, b + d c]. Esimerkki 16.10 (Esimerkki vastapoluista ja yhdistetystä polusta). Olkoot ja γ : [0, π] R 2, γ(t) = (cos t, sin t) η : [ 1, 1] R 2, η(t) = (t, 0). γ η 0 π 1 1 Näiden polkujen vastapolut γ : [0, π] R 2 ovat muota ja Kuva 10. Polut γ ja η ja η : [ 1, 1] R 2 γ (t) = γ(π t) = ( cos(π t), sin(π t) ) η (t) = η( t) = ( t, 0), ja yhdistetty polku γ η : [0, π + 2] R 2 muotota { (cos t, sin t), kun t [0, π] (γ η)(t) = (t π 1, 0), kun t [π, π + 2].

57 γ η 0 π 1 1 Kuva 11. Polkujen γ ja η vastapolut γ η 0 π π + 2 Kuva 12. Polkujen γ ja η yhdistettypolku Määritelmä 16.11 (Janapolku ja murtoviivapolku). (a) Olkoon x, y R n eri pisteitä. Tällöin polkua ( γ : [a, b] R n, γ(t) = 1 t a b a kutsutaan janapoluksi) ja käyrää janaksi. J(x, y) := γ([a, b]) ) x + ( t a ) y b a

58 (b) Polkua, joka voidaan esittää äärellisen monen janapolun yhdistettynä polkua kutsutaan murtoviivapoluksi. Murtoviivapolun jälkeä kutsutaan murtoviivaksi. (c) Jordan-polkua, jonka jälki koostuu ainoastaan koordinaattiakseleiden kanssa yhdensuuntaisista janoista, kutsutaan yksinkertaiseksi murtoviivapoluksi. Kuva 13. Yksinkertaisen murtoviivapolun jälki

17. Jatkuvasti differentioituvat polut ja sileät polut Jatkuvasti derivoituvilla poluilla ja paloittain jatkuvasti derivoituvilla poluilla on tärkeä rooli käyräintegraalin määrittelyssä. Käyräintegraali voitaisiin määritellä myös hieman yleisemmälle perheelle polkuja, mutta tämän kurssin kannalta C 1 -polkujen perhe on riittävä. On hyvä huomata, että kurssilla esitetyssä määritelmässä polun käyrä voi leikata itseään. Tällöin kyseinen käyrä ei ole välttämättä ole homeomorfinen joukon R välin kanssa. Tässä tapauksessa käyrä ei muodosta yksiulotteista pintaa. Vastaavasti käy silloin, kun käyrä on hyvin tiheässä avaruudessa R n (vrt. esimerkiksi Peanon käyrä). Jokainen riittävän siisti Jordan-käyrä voidaan kuitenkin tulkita (reunalliseksi) parametripinnaksi. Määritelmä 17.1 (C 1 -polku). Polkua γ = (γ 1,..., γ n ) : I R n (I = [a, b]) kutsutaan jatkuvasti derivoituvaksi tai C 1 -poluksi, jos sen derivaatta kuvaus γ := (γ 1,..., γ n) : I R n on jatkuva, missä välin mahdollisissa alku- ja päätepisteissä a ja b derivaattakuvaus määritellään toisenpuoleisina derivaattoina: γ (a) := γ +(a) γ(a + t) γ(a) := lim t 0 + t ja γ (b) := γ (b) γ(b + t) γ(b) := lim. t 0 t Määritelmä 17.2 (Sileä polku). Jatkuvasti derivoituvaa polkua γ : I R n (I = [a, b]) kutsutaan sileäksi, jos γ (t) 0 kaikilla t I, missä umpinaisen polun tapauksessa vaaditaan lisäksi, että γ (a) = γ (b). Määritelmä 17.3 (Paloittain jatkuvasti derivoituvat polut ja sileät polut). Polkua γ : I R n kutsutaan paloittain jatkuvasti derivoituvaksi (vast. paloittain sileäksi), jos on olemassa välin I jako äärellisen moneen osaväliin I 1,..., I N siten, että kaikilla j = 1,..., N. Esimerkki 17.4. γ Ij : I j R n on jatkuvasti derivoituva (vast. sielä) (a) Esimerkin 16.4 kohtien (a) ja (c) polut ovat sileitä. Kohdan (b) neliapilapolku on ainoastaan paloittain sileä. (b) Murtoviivapolku (joka ei kuitenkaan ole janapolku) ei ole sileä polku, mutta se silti paloittain sileä polku. 59

Luento 10: Polkuintegraalit

18. Parametrinvaihto Määritelmä 18.1 (Ekvivalentit polut ja parametrinvaihto). Kahden C 1 -polun γ : I R n ja η : J R n sanotaan olevan ekvivalentteja, jos on olemassa jatkuvasti derivoituva bijektio u : I J, jolle on voimassa seuraavat kaksi ehtoa: (1) u (t) 0 kaikilla t I. (2) γ = η u. Tällöin merkitään γ η. Tällaista funktiota u kutsutaan polun η parametrinvaihdoksi. Määritelmä 18.2 (Parametrinvaihdon suunnistus). Parametrinvaihdon u : I J sanotaan olevan (i) suunnan säilyttävä, kun (ii) suunnan kääntävä, kun u (t) > 0 kaikille t I. u (t) < 0 kaikille t I. 61 γ = η u η u I J Kuva 14. Parametrinvaihto Esimerkki 18.3 (Esimerkki ekvivalenteista poluista). Poluille γ : [0, 2π] R 2, γ(t) = (cos t, sin t) ja η : [0, 1] R 2, η(t) = ( cos(2πt), sin(2πt) ) η γ, sillä γ u = η parametrinvaihdolle u : [0, 1] [0, 2π], u(s) = 2πs.

62 Lause 18.4. Sileille Jordan-poluille γ : I R n ja η : J R n pätee γ(i) = η(j) jos ja vain jos γ η. Todistus. Harjoitus 6.

63 19. Polun pituus Yleisesti polun γ : [a, b] R n pituus määritellään kirjallisuudessa lukuna l(γ) = sup k γ(t k ) γ(t k 1 ), missä supremum otetaan kaikkien välin [a, b] mahdollisten osajakojen a = t 0 t 1 t m 1 t m, m N, yli. Tällä kurssilla rajoitutaan kuitenkin tarkastelemaan ainoastaan paloittain jatkuvasti derivoituvia polkuja, mistä johtuen seuraava (yllä olevasta yleisestä määritelmästä johdettavissa oleva tulos) voidaan asettaa meidän tapauksessa polun pituuden määritelmäksi: Määritelmä 19.1 (C 1 -polun pituus). Jatkuvasti derivoituvan polun γ : [a, b] R n pituus l(γ) määritellään asettamalla b l(γ) := γ := γ (t) dt, missä I γ (t) = γ 1(t) 2 + + γ n(t) 2. Määritelmä 19.2 (Paloittain jatkuvasti derivoituvan polun pituus). Paloittain jatkuvasti derivoituvan polun γ : I R n pituus on m l(γ) := l(γ k ), missä polut γ k := γ Ik : I k R n ovat jatkuvastiderivoituvia ja I 1,..., I m ovat välin I osavälejä siten, että m I = I k ja int I j int I k = kaikilla j k. k=1 Esimerkki 19.3 (Esimerkkejä polun pituuden laskemisesta). (a) Olkoon m N. Tällöin polun pituus on (b) Janapolun pituus on (c) Polun pituus on l(γ) = l(t) = k=1 γ : [0, mπ] R 2, γ(t) = (cos t, sin t) l(t) = γ : [0, 1] R 2, 1 0 mπ 0 γ (t) dt = a 1 dt = mπ. γ(t) = (1 t) + ty 1 0 x y dt = x y. γ : [ 1, 1] R 2, γ(t) = (t 2, t 2 ) 1 1 (2t, 2t) dt = 2 2 1 1 t dt = 2 2.

64 Huomautus 19.4 (Käyränpituus). Polun γ : I R n pituus ei aina vastaa käyrän γ(i) geometrista pituutta. Esimerkiksi Jordan-poluille näin kuitenkin on. Tässä tapauksessa polun γ pituutta kutsutaan myös käyrän γ(i) pituudeksi. Huomautus 19.5 (Polun parametrisointi pituuden mukaan). Jatkuvasti derivoituvan polun γ : [a, b] R n pituusparametri on funktio s : [a, b] [0, l(γ)], s(t) = t 0 γ (t) dt. Jos γ on sileä, niin s 1 : [0, l(γ)] [0, 1] on parametrinvaihto ja polulle σ := γ s 1 : [0, l(γ)] R n pätee σ (t) = 1 kaikilla t [0, l(γ)]. Tällöin σ on pituuden säilyttävä parametriesitys (ns. polun γ parametriesitys pituusparametrin avulla).

20. Reaaliarvoisen funktion käyräintegraali Määritelmä 20.1 (Reaaliarvoisen funktion käyräintegraali C 1 -polun yli). Olkoon γ : [a, b] A joukon A R n jatkuvasti derivoituva polku. Jos funktiolle yhdistetty funktio f : A R f γ : I R on Riemann-integroituva, niin funktion f käyräintegraali polun γ suhteen on b f ds := (f γ) γ := f(γ(t)) γ (t) dt. γ I Huomautus 20.2 (Käyräintegraali paloittain jatkuvasti derivoituville poluille). Määritelmä 20.1 ja sitä koskevat tarkastelut yleistyvät luonnollisella tavalla paloittain jatkuvasti derivoituville poluille, kun (määritelmän 19.2 merkinnöin) asetetaan m f ds := f ds, γ γ k k=1 jokaiselle funktiolle f : A R, jolle jokainen funktioista on Riemann-integroituva. a f γ k : I k R Esimerkki 20.3 (Esimerkkejä reaaliarvoisen funktion käyräintegraaleista). (a) Olkoon ja Tällöin kaikilla t [0, 3π]. Siispä (b) Olkoon ja Tällöin kaikilla t [0, 1]. Siispä γ : [0, 3π] R 3, γ(t) = ( cos t, sin t, t ) f : R 3 R, f(x, y, z) = x 2 + y 2. γ (t) = 2 ja (f γ)(t) = 1, γ f ds = 3π 0 2 = 3π 2. γ : [0, 1] R 3, γ(t) = ( t 2, t 2, t 2) f : R 3 R, f(x, y, z) = x. γ (t) = 2 3 t = 2 3 t ja (f γ)(t) = t 2, γ f ds = 2 3 1 0 t 3 dt = 3 2. 65

66 Lause 20.4 (C 1 -polun uudelleenparametrisointi ei muuta käyräintegraalia). Olkoon A R n ja oletetaan, että C 1 -poluille γ : I A ja η : J A pätee γ η. Jos funktion f : A R integraali f ds on olemassa, niin silloin myös f ds on olemassa ja η f ds = Todistus. Harjoitus 6. γ γ η f ds. Seuraus 20.5. Olkoot γ : I A ja η : J A joukon A R n jatkuvasti differentioituvia polkuja ja oletetaan, että funktiolle f : A R yhdistetyt funktiot f γ : I R ja f η : J R ovat Riemann-integroituvia. Tällöin: (1) Jos γ η on olemassa, niin f ds = f ds + f ds. γ η γ η (2) Jos γ ja η ovat sileitä Jordan-polkuja siten, että γ(i) = η(j), niin f ds = f ds. γ η Toisin sanoen funktion f integraali ei riipu käyrän γ(i) parametriesitykseksi valitusta sileästä Jordan-polusta. Todistus. Harjoitus 6.

Luento 11: Reaaliarvoisten funktioiden pintaintegraalit

68 21. Ristitulo Ma a ritelma 21.1 (Ristitulo). Kahden vektorin x, y R3 va linen ristitulo (tai vektoritulo, ulkoinen tulo) on e 1 x1 y 1 x 2 y 2 x3 y 3 x1 y 1 x y := e2 x2 y2 :=.,, x3 y 3 x1 y 1 x2 y 2 e3 x3 y3 Huomautus 21.2. Ristitulolla on voimassa seuraavat ominaisuudet: (i) (x x y) = 0 = (y x y). (ii) kx yk2 = kxk2 kyk2 (x y)2. (iii) erityisesti kohdasta (ii) seuraa, etta kx yk = kxkkyk sin α, missa α [0, π] on vektoreiden x R3 ja y R3 va linen kulma. (iv) Silloin, kun (x y) = 0, niin kx yk = kxkkyk. Kohtien (i) ja (iii) nojalla ristitulolle ja sen normille saadaan seuraavat geometriset tulkinnat: Ristitulon geometrinen tulkinta: Ristitulo x y R3 on vektoreiden x ja y viritta ma n vektoriavaruuden normaalisuoran viritta ja vektori. Vektoreiden x, y ja x y suunnat (toistensa suhteen) saa pa a teltya ka ytta ma lla niin kutsuttua oikean ka den sa a nto a (ks. kuva 15). x y x y Kuva 15. Oikean ka den sa a nto