MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: A. Tässä tehtävässä vastaukseksi riittää tarkka murtolukuvastaus: a) Sekoitetusta korttipakasta nostetaan vain yksi kortti. Millä todennäköisyydellä se on kuvakortti ja hertta? b) Sekoitetusta korttipakasta nostetaan peräkkäin kaksi korttia. Millä todennäköisyydellä ensimmäinen ja toinen kortti on pata tai kuvakortti? A2. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 ja toinen desimaali on 9? b) Kiimingin päätepysäkille saapuu Koskilinjojen bussi noin 24 minuutin välein. Bussi seisoo päätepysäkillä noin 6 minuuttia, kunnes lähtee kohti Oulua. Jussi, joka ei tiedä bussin aikatauluja, saapuu satunnaiseen aikaan päätepysäkille. Millä todennäköisyydellä hän pääsee heti bussiin sisälle lämpimään? A3. Korissa on kymmenen palloa, joista viisi on valkeaa, 3 on punaista ja 2 on mustaa. Kannattaako lyödä vetoa siitä, että jos korista nostetaan sokkona 3 palloa, niistä ainakin kaksi on punaista? Perustele vastauksesi!
B-Osio. Saa käyttää laskinta. Valitse seuraavista viidestä tehtävästä neljä joihin vastaat. B4. Psykologi testasi opiskelijoiden opiskeluasennetta ja sai seuraavat pyöristetyt pistemäärät B5., 7, 8, 20, 20, 2, 25, 29, 30, 32, 34, 39, 40, 4, 4, 42, 42, 47, 50, 53 a) Määritä opiskelijaryhmän opiskeluasenteen keskiarvo b) Määritä ryhmän opiskeluasenteen mediaani c) Määritä ryhmän opiskeluasenteen keskihajonta Oppilasryhmästä, jossa oli 6 poikaa ja 8 tyttöä arvottiin 4 henkilön tiimi ryhmätyötä varten. Olkoon satun-naismuuttuja x = poikien lukumäärä tiimissä. Laske x:n odotusarvo. B6. a) Kolmen tytön ja viiden pojan joukko jaetaan satunnaisesti kahdeksi nelihenkiseksi ryhmäksi. Millä todennäköisyydellä kaikki tytöt joutuvat samaan ryhmään? b) Kolme pelaajaa pelaa shakkitietokonetta vastaan. Ensimmäinen pelaaja voittaa koneen todennäköisyydellä 60 %, toinen voittaa koneen todennäköisyydellä 70 % ja kolmas voittaa koneen todennäköisyydellä 80 %. Millä todennäköisyydellä heistä täsmälleen yksi voittaa? B7. Ikäluokkaan 20-24 vuotta kuuluvista suomalaisista miehistä 5,2% on naimisissa ja samaan ikäluokkaan kuuluvista naisista,9% on naimisissa. Opiskelijabileissä on koolla satunnainen ryhmä, jossa kaikki ovat iältään välillä 20-24 ja jossa on 8 miestä sekä 5 naista. Millä todennäköisyydellä ryhmän jäsenistä vähintään kaksi on naimisissa? B8. Seitsemänvuotiaiden poikien pituus noudattaa normaalijakaumaa. Keskiarvo on 22,7 cm ja keskihajonta 5,0 cm. Eräässä koulussa on 02 seitsemänvuotiasta. a) Arvioi normaalijakauman avulla kuinka monta alle 25 cm pituista poikaa tässä koulussa on? b) Määritä se pituusraja, jonka 90 % seitsemänvuotiasta pojista ylittää. Käyppä kattomassa osoitteessa http://jussityni.wordpress.com/ klo :30 jälkeen miten ne tehtävät olis pitäny laskea
Ratkaisut:. a) Pakassa on neljä herttakuvakorttia, jätkä, akka, kuningas ja ässä: P(Hertta ja kuva)= 4 52 b) P=pata, K=kuva P(P ja P tai P ja K tai K ja P tai K ja K)= 3 2 3 6 6 3 6 5 52 5 52 5 52 5 52 5 3 4 3 4 4 3 4 5 52 7 3 5 3 5 3 5 52 4 4 4 5 52 7 5 5 3 7 8 20 7 5 22 3 8 20 20 243 020 5 5 22 5 22 27 27 345 27 Eli muutaman supistamisen ja laventamisen jälkeen huomataan, että kysytty todennäköisyys on 345, eli karkeasti arvioiden noin /3 luokkaa. 27 2. a) Kyseessä on geometrinen tod. näk. Piirretään lukusuora ja merkataan väli 0, sille: 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Mahdollisuus, että eka desimaali on 2 on siis /0. Tän jälkeen on helppo ajatella vastaavasti, että missä tahansa kymmenesosien välissä 0,x0 0,x 0,x2 0,x3 0,x4 0,x5 0,x6 0,x7 0,x8 0,x9 0,x on /0 mahdollisuus, että sadasosa sattuu ysiksi. Nyt P(eka desim. on 2 ja toka on 9)= => % 0 0 00 Toisaalta koko homman olisi voinut ajatella niin, että jos ekan desimaalin pitää olla 2 ja tokan 9, niin koko luvun täytyy olla 0,29. Eli yksi suotuisa desimaali välillä [0,] ja kaikkiaan on 00 desimaalia välillä [0,]. Joten P(eka desim. on 2 ja toka on 9)= => % 00 b) Samaan tapaan kuin äsken: 24 6 24 6
Yhden tunnin aikana on 2 suotuisaa minuuttia ja 60 minuuttia kaikkineen, joten 3. todennäköisyys P(pääsee suoraan bussiin)= 2 2 20% 60 0 5 Ainakin kaksi punaista voi tulla seuraavilla tavoilla: PPV PPM PPP PVP PMP VPP MPP Kaikki variaatiot, missä on valkonen pallo, ovat tietenkin yhtä todennäköisiä, joten lasketaan yhden todennäköisyys ja kerrotaan kolmella. Sama variaatioille, missä on yksi musta pallo. P(PjaPjaV)= 3 2 5 5 3 2 0 9 8 0 9 8 2 3 4 24 P(PjaPjaM)= 3 2 2 2 3 2 0 9 8 0 9 8 5 3 4 60 P(PjaPjaP)= 3 2 2 3 0 9 8 0 9 8 5 3 8 20 5 6 22 P(tulee ainakin kaksi punaista)= 3 3 24 60 20 8 20 20 20 20 20 20 Todennäköisyys on noin /6 luokkaa, eli reilusti alle puolen. Ei kannata lyödä vetoa! 4. a) Keskiarvo = 32,6 b) Keskihajonta ( 32, 6) (7 32, 6) (8 32, 6) 2 (20 32, 6)... (50 32, 6) (53 32, 6) s 20,82 c) Mediaani on 32 ja 34 välissä, eli Mediaani= 32 34 33 2 5. Ratkaisu 2 2 2 2 2 2 P = 0 (8 4 ) ( 4 + ( 6 ) (8 3 ) 4 ) ( 4 6. a) 4 ) + 2 ( = 6 56+2 5 28+3 20 8+4 5 00 Vastaus:,7 6 2 ) (8 2 ) ( 4 4 ) + 3 ( 3 5 3 5 0,07=> 7, % 8 70 4 6 3 ) (8 ) ( 4 4 ) + 4 ( = 76 =,74...,7 00 6 4 ) ( 4 4 ) b) P(. voittaa ja 2. 3. häviää tai 2. voittaa. 3. häviää tai 3. voittaa ja. 2. häviää)
0,6 0,3 0,2 0,7 0,4 0,2 0,8 0,4 0,3 0,88 7. Kannattaa laskea ehdottomasti vastatapahtumalla. Jos A = Vähintään kaksi on naimisissa niin A = Vain 0 tai on naimisissa. Vain 0 tai on naimisissa = 0 miestä ja 0 naista naimisissa tai mies ja 0 naista naimisissa tai 0 miestä ja nainen naimisissa. Nyt 8 5 PA ( ) 0,948 0,88 0, 052 0,948 0,88 0,9 0,88 0,948 0,6 8 5 7 8 7 8 P( A) P( A) 0,39 39% 8. Ratkaisu a) 25 22, 7 Z 0, 46 (0, 46) 0, 67772. PX ( 25) 0,67772. 5,0 Täten poikia on 0,67772 02 69,0744 69. b) (,286) 0,90. Täten (,286) 0,0. Kaavan X 22,7,286 X 22,7,286 5,0 6,292 6 5,0 Vastaus a) 69 b) 6 cm Z X nojalla saadaan cm.