TN IIa yleistä keskustelua 10:29» Hei. Aloitin uuden keskustelun tälle vuodelle ja uudelle kurssille. Tervetuloa! 05:20» Nää laskariryhmät siis pidetään myös nyt ekalla viikolla? 11:14» 05:20: tällä viikolla ei ole laskuharjoituksia. Tämä virheellinen tieto oli jäänyt Oodiin, mutta nyt sen olisi pitäisi olla korjattuna. 11:16» Tällä hetkellä tieto näkyy vielä Courses-sivuilla, mutta pienen viiveen jälkeen sen pitäisi korjautua myös kurssisivulta. 12:52» Tuleeko luentodiat myöskin tuonne courses-sivulle näkyviin? 13:33» 12:52: kyllä tulevat 14:23» Onko tällä kurssilla Moodle ollenkaan käytössä? 14:53» 14:23: kuten varmaan olet huomannut, niin ei ole 00:25» Miten laskaritehtävät palautetaan? Mitä jos ei ehdi käydä laskareissa? 07:36» 00:25: mainio kysymys Laskaritehtäviä ei kurssilla varsinaisesti palauteta. Laitan ennen klo 10:tä kurssisivulle ohjetekstin (jota käyn läpi myös ensimmäisellä luennolla). Osana ohjetekstiä on tietoa laskarikäytänteistä ja kuinka eri tilanteissa voi toimia (tämä tekstikenttä on siihen hieman lyhyt ) 09:14» Miks muuten kokeeseen pitää erikseen ilmoittautua? 11:16» Saisiko luentoja striimattuna tai tallenteina? 14:12» 09:14: ja kiitos hyvästä kysymyksestä Luennolla tähän vastasinkin. Tämä ilmoittautuminen kurssikokeisiin koskee osaa matematiikan ja tilastotieteen kursseja (mukaanlukien esim. TN2a ja TN2b). Kyseessä on 1.8.2018 voimaan tullut muutos, joten siksi aiemmin ilmoittautumista ei tarvinnut, mutta nyt ilmoittautuminen tarvitaan. 1
14:15» 11:16: jonkinlaisia tallenteita liitutaulutekstistä kyllä (kalvot ja muut luonnollisesti), mutta tuota striimausta pohdin vielä ainakin hetken eli se menee mietintämyssyyn 19:00» Voiko laskaritehtävät paluttaa mailiin? 21:09» Tuolta courses-sivulta löytyy ekan luennon johdantokalvoista tieto, että jos ei pääse mihinkään laskariryhmään, niin oman laskariryhmän vetäjälle voi lähettää sähköpostilla 21:10» Ja lisäohjeita, että deadline on perjantaina, pitää olla pdf-tiedostona jne 21:37» 19:00: kuten 21:09 ja 21:10 kertoivatkin, niin kurssisivulta johdantokalvoista (Materiaalit - Ohjeet) tämä ja muita tietoja löytyy Kiitokseni 21:09 sekä 21:10 02:05» Olisiko mahdollista kirjoittaa jokaiseen tehtävä pdf:ään viimeinen palautushetki, jotta olisi helpompi aikatauluttaa sähköpostilla palautus. 07:48» 02:05: Pyytäisin sinua lukemaan laskuharjoituksia käsittelevän kohdan Materiaalit - Ohjeet - Johdanta (...) kalvosta. Kurssilla on varsinaiset laskuharjoitukset eikä laskuharjoitusratkaisuja normaalisti palauteta, eli tämä s-postipalautusmahdollisuus on tarkoitettu vain poikkeustilanteisiin. 14:00» Moikka, mistä näkee mitkä kohdat materiaalista pitää lukea viikon tehtäviä varten? Eli siis, mikä on siis ensimmäisen viikon, mikä toisen viikon, jne.. lukualue? 20:29» 14:00: moi vaan ja hyvä kysymys! Tätä ennen ei varsinaisesti (ainakaan suoraan) mistään. Ensimmäiset tehtävät kattavat koko periaatteessa koko luvun 1 (eli Luvun 1 kalvot ja/tai sivut 1-14 monisteesta). Lisään tiedon kurssisivulle kohtaan Tehtävät. Aikataulu -kohta antaa myös osviittaa siitä mitä tehtävät käsittelevät. 22:22» Hei, onko mahdollista saada kurssin materiaalit (ehkä jotkut kirjat) myös englanniksi? Pelkään, että minun suomen kielen taitoni on aika heikko. 2
07:38» 22:22: hei ja kiitos kysymyksestäsi (I ll continue in English). I have browsed through many e-books via Book-navigator and have found some that seem to cover at least some aspects nicely. I ll be adding more information of these the course website later today.... 07:38»... In addition, I ll add information of few older books on the topics but those are not available as e-books. However, there is no 1-1 correspondence even with these (the choices may not be exactly the same, books might be more elementary or more advanced in some parts). Furthermore, I m unfortunately not able to translate all the course material because of the current time constraints, but I hope those references would alleviate the problem at least a bit. 13:28» Onko kurssin aiheille pajaohjausta johonkin aikaan viikosta? En löytänyt kurssisivulta. Tässä en viitsisi kysymyksiäni kysyä kun voi tulla vähän liikaa spoilereita. 21:52» 13:28: tällaista ei ole varsinaisesti ollut suunnitteilla, yritän selvitellä, onnistuisiko jokin tätä vastaava järjestely. Mutta kysy vain täältä, ehkä kysyminen on mahdollista spoilaamattakin 09:43» Onko kurssilla tulossa minkään näköisiä esimerkkilaskuja missä olisi käytetty kaavoja? 14:33» 09:43: mainio kysymys ja kyllä on laitan näitä pikkuhiljaa kurssisivulle (kohtaan Materiaalit - Muu). 15:44» hei. monenko aikaan päivästä tiistaisin lisäät uudet tehtävät? 16:39» 15:44: noin klo 16:43 16:39»... siis tänään toivottavasti jatkossa heti aamusta. 12:08» Tästä on kysytty jo varmaan monta kertaa mutta en nyt löydä tietoa niin kysyn uudestaan, eli kenelle piti palauttaa harjoitukset nyt jos ei pääse laskareihin? Oman ryhmän vetäjälle? Mistä näen kuka se on? 3
13:23» 12:08: tämä tieto löytyy kurssisivulta johdantokalvoista (Materiaalit - Ohjeet), mistä muitakin tietoja löytyy Lisäksi kaikki presemossa esitetyt kysymykset vastauksineen löytyvät kurssisivulta kohdasta (Materiaalit - Muut - Presemo:...). 23:30» Ah kiitos! 15:22» Onko mahdollista saada tehtävien teksti (Viikko 3) myös englanniksi? 16:15» 15:22: pahoitteluni, unohdin lisätä ne. Nyt ne ovat kurssisivulla. 00:05» Voisiko luennolla avata vielä indikaattorin avulla merkittyjä tiheysfunkitoita? Esim. viikon 2 tehtävä 6 on laskarinkin jälkeen hyvin kryptinen (1/6)1{x 1, 0, 3} + (1/2)1{x = 1} 06:47» 00:05: voi kyllä. Jatkossa indikaattorien käyttö tulee yleistymään, joten yritän samalla hieman avata niitä. Pohja-ajatuksena on käyttää niitä osituksiin, eli jos funktion käytöstä voi helpommin kuvata erikseen eri osissa, niin on kätevää kuvata indikaattorien avulla. Samalla pääsemme käsiksi myös lineaarisuuteen, jota odotusarvojen kanssa rupeamme käyttämään enemmän ja enemmän apuna. Mutta yritän avata noita indikaattoreita lisää 20:26» Onko kurssikoetta 26.10. mahdollista suorittaa englanniksi, ja samalla saada kurssisuorituksen kieli englantina weboodiin? Tentti-ilmoittautumisessa annetaan vaihtoehdoiksi vain suomi ja ruotsi. 07:21» 20:26: kurssikoe on mahdollista suorittaa myös englanniksi. Selvittelen, kuinka sen voi ilmoittaa tuolla weboodissa. 13:29» Onko kenenkään muun mielestä tämän viikon tehtävät poikkeuksellisen tuskallisia? Itse kaipaisin paljon enemmän esimerkkejä. 13:46» Ite sain tehtyä puolet ja siihen tyssäs aika totaalisesti 17:58» 13:29: et varmasti ole yksin tämän kanssa. Pyytäisinkin, että laitatte tänne pyyntöjä esimerkeistä tyyliin haluaisin esimerkin tehtävää 4 vastaa- 4
vasta tilanteesta koska muuten en tiedä millaisia esimerkkejä kaivataan. 17:59» 13:46: 23:01» Oletaan olla siinä vaiheessa kurssia, että tuntuu, että olen täysin pihalla. Käyn kyllä luennoilla ja laskareissa yrittäen imeä kaiken mahdollisen tiedon, mutta jotenkin tehtävien tekeminen ei suju, enkä ymmärrä asiaa... 23:01»...Luentojen seuraaminen tuntuu haastavalta ja tehtävissä en osaa hyödyntää luennoilla käytyjä asioita. Onko luentoihin mitään mahdollisuutta ujuttaa enemmän esimerkkitehtäviä ja tarkastella niitä yhdessä? Toivoisin sen helpottavan ja selkeyttävän, etenkin kun kirjassa lauseet ja määritelmät ovat (itselleni) hyvin hankalasti ilmaistu. Alan olemaan jo peloissani kurssin läpäisemisestä. 23:38» 23:01: voitsiko kertoa esimerkin tehtävästä mikä tuntuu erityisen hankalalta, jotta voisin parhaiten auttaa sinua (ja muita jotka ovat samassa tilanteessa) esimerkiksi luennoilla käytävän esimerkin muodossa sekä kurssisivulle tulevien esimerkkien avulla. Yritän järjestää lisää tukea kurssia varten ja ilmoittelen siitä piakkoin. 06:50» 23:01: ja vielä kiitos valtavasti arvokkaasta palautteestasi. Palataan tähän kysymykseen seuraavalla luennolla ja lisään jatkossa enemmän esimerkkejä mukaan (aiemmista kohdista kurssisivulle ja uudemmista sekä että). Lisään pian myös luentojen taulutekstiä sivulle sekä kertaustehtäviä kurssilla tähän mennessä käsitellyistä asioista joista voidaan sitten keskustella Presemossa. 19:50» Täällä on muitakin joilla on vaikeuksia tehtävien kanssa, en pääse edes alkuun tehtävissä. Yritin kirjoittaa luvun 2 esimerkkejä puhtaaksi vihkooni, mutta ongelma on se että en osaa tulkita niitä, ts en saa kaikesta selvää kun on kirjoitettu paksulla tussilla, enkä pysty edes arvaamaan kun olen niin pihalla koko jutusta. 5
22:18» 19:50: onpa harmillista. Yritän kirjoittaa ne puhtaammiksi piakkoin, mutta ajattelin, että huomenna voisi katsoa luennon aluksi yhden esimerkin muuttujanvaihdosta, koska moni on sellaista pyytänyt. 09:09» 12:46, 18:32, 19:50 ja muut. Laitoin toivottavasti valaisevan esimerkin Lauseen 2.12. käytöstä (joka on lähellä harjoitusten 4 tehtävää 1). Käyn tämän myös osin lävitse kohta luennoilla, joten toivottavasti tämä auttaa hieman.... 09:09»... Tiedän, että muunnokset ovat kurssin varmasti hankalin osa, joten ymmärrän jos tuo asia tuntuu vaikealta. En ole sitä vielä avannut riittävästi, mutta ehkä tämä auttaa hieman. Lisäksi voitte kysyä, miksi teen siinä jotain tai voisiko tehdä jotain toisin, niin asiasta on helpompi puhua. 23:34» Sain tehtyä tuon ykköstehtävän tuon esimerkin avulla, mutta jäin miettimään, että miten laajasti noita asioita on merkattava tentissä? 09:23» 23:34: oikein mainiota, että sait tehtyä sen tehtävän Perusteluista lyhyesti: asiat tulee aina perustella. Tuossa esimerkissä yritin muistaa mainita kaiken ja tavalla, mikä kuvaa prosessia miten siihen päästään (tässä en ihan onnistunut, mutta lähes) eli siinä on hieman normaalia enemmän perusteluja ja taustoitusta mukana.... 09:30»... Normaalisti (kuten esim. kokeessa) riittää, että asiat perustelee niin tarkasti, että uskaltaa luottaa, että minä näen perusteluista, että mihin ollaan menossa ja miksi jotain tehtiin (pyrin lukemaan kaiken aina positiivisesti ja kannustavasti periaatteena palkitse onnistumisista, virheistä ei sakoteta, joten perustelujen lisäksi pohdin rivien välitkin hyvin tarkkaan, mutta joskus rivinvälejäkin on vähän).... 09:33»... Varsinaiseen lopputulokseen en kiinnitä huomiota kovinkaan paljoa, vaan merkittävintä on, kuinka lopputulokseen on päästy. Eli jos esim. numeerinen vastaus on oikein, mutta perustelu miten siihen on päästy puuttuu, niin en pääse palkitsemaan kovin monesta suorituksesta.... 6
09:36»...... Joskus taas vastaus ei mene ihan kohdalleen (pikku laskuvirhe jossain, vaikka tehtävänannon kopioinnissa), mutta kattava perustelu (esim. lasku välivaiheineen + lyhyet maininnat keskeisistä kohdista, kuten riippumattomuuden, luentojen tiedon ja vastaavan käytöstä joissakin välivaiheissa) on mukana... 09:38»... Pidän (tilanteesta riippuen) yleensä jälkimmäistä parempana suorituksena (koska mukana on enemmän suorituksia mistä voin palkita ) ja joskus ns. vikaan menneestä vastauksesta voi saada jopa arvostelussani täydet pisteet... 09:51»... Tämä tarkoittaa myös, ettei arvostelussani ole mallivastausta vaan ratkaisuehdotuksia, jotka kuvaavat hieman laajan ratkaisupuiden metsän piirteitä. Kukin vastauksista muodostaa yhden ainutkertaisen puun, jonka vahvuutta niiden piirteiden mukaan arvioin. Vastasikohan tämä 23:34? 09:52» Kyllä vastasi, kiitos! 11:51» 09:52 ja 11:43: ihan mainiota 13:38» Pitääkö kokeessa muistaa jakaumien pistetodennäköisyys-, tiheys- ja kertymäfunktioita vai ovatko ne tarvittaessa annettuja? 13:52» 13:38: hyvä kysymys eli sain vastikään tiedon (lisään tiedon kurssisivulle myös), että luntti kurssikokeessa on ok, joten kerron mitä jakaumia ja niihin liittyviä tunnuslukuja, ptnf:iä, tf:iä, MEF:ejä jne lunttiin on syytä kirjoittaa. Erilliskokeessa nämä ovat mukana (luntissa). Ulkoaopettelu ei siis ole tarpeen Mutta tasajakauma, normaalijakauma, Poissonin jakauma, binomijakauma, eksponenttijakauma ovat hyvinkin potentiaalisia. Kaikki harvinaisemmat kerron koepaperissa. 00:37» Olisi mukavaa, ettei jäisi arvailun varaan mitä lunttilappuun kirjoittaisi. Parempi olisi, että kaikki tarvittava (mukaanlukien tavallisetkin jakaumat) löytyisivät tenttipaperin takaa. 08:26» lunttilappu: yksi a4? saa sisältää mitä tahansa? pitääkö kirjata käsin vai 7
saako tulostaa ladottua? mitään sääntöjä? 09:33» 00:37 ja 08:26: laitan kurssisivulle tarkempaa tietoa tuosta luntista, sekä mitä jakaumia siihen on käytännössä välttämätöntä laittaa (ja mitä jakaumia tulen laittamaan tehtäväpaperiin). Mutta se tulee kirjoittaa käsin eli se ei saa olla tuloste/ladottu/valokuvua/valokopio jne. ja, se on a4 (molemmat puolet saa käyttää). Mutta laitan siis asiasta tarkemmin vielä tänään kurssisivulle sekä käydään näitä kysymyksiä myös ensi viikolla luennolla tarkemmin. 13:21» Petteri, huomasin, että olit kirjoittanut että lunttilapulla ei ole muita rajoituksia kuin sen koko. Voiko lunttiin siis kirjoittaa ihan mitä vaan? 15:38» 13:21: kyllä voi. Käytännössä on pari jakaumaa, joiden ptnf/tf:t, odotusarvot ja varianssit (ehkä myös MEF:it) olisi hyvä siihen kirjoittaa (ellei niitä sitten päätä opetella ulkoa, näistä laitan kurssisivulle ohjeistusta joko tänään tai viim. huomenna. Mutta muuten siihen voi kirjoittaa mitä vaan: luentojen lauseita, määritelmiä, esimerkkilaskuja jne. tai (halutessaan) siihen voi kirjoittaa vaikka Edith Södergranin tai Saima Harmajan runoja... 15:38»... Tarkoitus on siis, että siihen voi laittaa niitä asioita, mitä itse kokee tarvitsevansa. Vastasikohan tämä 13:21? Ehdot ovat: sen tulee olla käsinkirjoitettu (tästä en neuvottele, A4-kokoinen (ok, pienempi käy myös, ja molemmat puolet saa käyttää. 19:30» Kiitos, mahtavaa! t. 13:21 16:48» Jos tentissä johtaisi jonkun jatkuvan jakauman muunnoksen kertymäfunktion kertymäfunktiotekniikalla, jolloin pitäisi tarkistaa että kyseessä on todella jatkuvan jakauman kf, niin pitäisikö tällöin todistaa ensin että se on kf ja sitten tarkistaa että se on jatkuvan jakauman kf vai riittääkö jos tarkistaa vain suoraan että se on jatkuvan jakauman kf? 17:57» 16:48: hyvä kysymys. Eli kun on johtanut kf:n kertymäfunktiotekniikalla, eli aloittanut askeleesta F X (x) = P(X x) =... = jotain, niin tämä on 8
kf, kunhan kaikki on mennyt oikein, sillä kuvaus F (X) = P(X x) on aina kf (määritelmänsä mukaan Eli riittää tarkistaa suoraan, että se on jatkuvan jakauman kf. 18:01»... mutta lopuksi sen voi todeta kf:ksi, jos saatu tf on oikeasti tf (einegatiivinen ja integroituu 1:ksi). Mutta tämä on siis vain osa tarkistamista, mutta se ei siis ole mitenkään välttämätöntä 22:29» Jes kiitos vastauksesta! 10:16» Onko mahdollista yleistää mitenkään, minkä tason tehtäviä tentissä on? Kun tuntuu, että toiset harjoitukset ovat olleet helpompia ja toiset huomattavasti haastavampia? Vai kerrotko tästä huomenna luennolla? 16:30» 10:16: tästä kerron huomenna luennolla kyllä mutta taso on koetehtävissä helpompi kuin mitä harjoitustehtävissä, ja osa helpompia ja osa hieman haastavampia, eikä niitä ole järjestetty ajatuksella helpoin ensin vaikein viimeisenä, vaan järjestys noudattaa luennointijärjestystä. Mutta huomenna lisää 23:23» Tuleeko IIb osioon myös ohjausta? 10:40» Löytyykö toi läpikäytävä diaesitys kurssikokeesta kurssisivuilta? 10:53» Tuleeko tenttiin yhteispistetodennäköisyyksiä? 12:47» 23:23: kyllä tulee. 12:54» 10:40 ja 10:53: hyviä kysymyksiä. Eli 10:40 diaesitys on kurssisivulla Materiaalit - Ohjeet - Kertausluennon kalvot. Ja 10:53 hmm suoraan ei, epäsuorasti mahdollisesti Esim. tämän päivän kalvoilla en puhu niistä suoraan, vain välillisesti. 16:20» Tuleeko tenttiin gamma/beetafunktioista jotain? 18:42» 16:20: jos niistä jotain tulee, niin tehtävänannossa on kerrottu näihin jakaumiin liittyvät tarvittavat tiedot (tf ja/tai MEF). Aivan kuten kertausluennon kalvoilla mainitsin 0 9
19:30» En aivan ymmärrä että milloin käytetään monisteen sivulla 35 esiintyvää kaavaa (2.11) ja milloin vain derivoidaan jakauman kertymäfunktio kun halutaan muunnetun jatkuvan jakauman tiheysfunktio. Onko tähän olemassa jotain sääntöä? 22:02» 19:30: eli on siis kaksi tekniikkaa: kertymäfunktiotekniikka ja muuttujanvaihtokaava (eli Lause 2.12). Kumpaakin voi mukavasti käyttää. Kurssisivulla on kohdassa Materiaalit - Muu - Ratkaisuehdotuksia luennolla käytyyn kurssikokeeseen syksyltä 2016, missä käyn läpi molemmat tavat, joten siihen kannattaa tutustua... 22:03»... Kf-tekniikkaa käyttäessä et vain derivoi jakauman kf:ää vaan lisäksi varmistat, että kf on jatkuvan jakauman kf. Tuo muuttujanvaihtokaava takaa että jakauma on jatkuva (mutta siihen pitää siis varmistaa että muunnos on diffeomorfismi sopivilla väleillä A B). Eli voit käyttää kumpaa vain, kumpi tuntuu luontevammalta... 22:03»... mutta TN IIb:ssä osoittautuu, että vain tuo muuttujanvaihtotekniikka yleistyy järkevästi satunnaisvektoreille ja niiden muunnoksille. 22:04» Auttoikohan tämä 19:30? 08:11» Pitäisikö kurssisivulle ilmestyneessä laskaripistetaulukossa olla jokaisen ryhmän osalta myös viimeisen laskarikerran pisteet mukana? Itseni kohdalla niitä ei ole merkitty. Tämähän ei periaatteessa haittaa minua, sillä olen saanut jo 5. ensimmäisestä kerrasta täydet laskaripisteet kokeeseen 10:07» Miksi kertaustehtävien teht 1b) oltiin ratkaistu erilailla kuin a) kohta? 10:43» Mitä tarkoittaa lause Yhteiskertymäfunktio määrää jakauman ja missä tilanteessa tätä lausetta voisi hyödyntää? En ihan ymmärtänyt luentomonisteen selitystä. 13:49» Auttoi, kiitos. t 19:30 15:37» Onko perjantain kokeessa mitään kaavoja mukana valmiina vai pitääkö ne kirjoittaa omaan lunttiin? 10
16:47» 15:37: jos kaavoilla tarkoitat jakaumia, niin olen antanut ohjeet (Kertausluennon kalvot), mitkä jakaumat (ja mitä tietoja niistä) on käytännössä kirjoitettava lunttiin. Jakaumat, jotka eivät ole dioissa kerrottuna, on mukana, os niitä kokeessa käytetään. Mutta mitään muita kaavoja ei ole. Lisäsin kurssisivulle hieman suttuisen luonnokseni erilliskokeen luntistani, mutta tämä ei siis ole kurssikokeessa mukana. 16:53» 10:43: huh, tärkeä kysymys, sillä tämä liittyy kurssin keskeiseen kysymykseen Mikä on sm:n jakauma? Ja se että kf että ykf määrää jakauman on keskeinen teoreettinen tieto (eli jos tiedämme kf:n (tai ykf:n) niin jakauma on (ainakin periaatteessa) rakennettavissa tästä tiedosta. Tätä olemme käyttäneet useissa kohdissa teorian pohjalla. 16:55» 10:07: miksipä ei Teen asioita mielelläni eri tavoilla, koska koko kurssin keskeisiä ajatuksia on ei ole vain yhtä tapaa toimia. 16:56» 08:11: selvittelen asiaa. Voi olla että joitain puuttuu, joten jos laitat minulle s-postia, niin asia selviää nopeammin. 17:02» 13:49: mainiota 17:07» 10:43: jatkoa. Emme kurssilla valitettavasti kykene näyttämään, kuinka kf:n avulla voidaan rakentaa koko jakauma, mutta tämä kuitenkin mahdollistaa sen, että esim. voimme kertoa sm:sta kf:n (ilman, että kerromme suoraan mikä sen jakauma on). Hyötyä tästä on myöskin siinä, ettei ilman mittateoriaa jakaumasta voi matemaattisen tarkasti kunnolla puhua. Lisäksi kf-tekniikan käyttö perustuu täysin tälle tiedolle. 06:15» Onko mitään rajoituksia tentissä käytettävän laskimen ominaisuuksien suhteen? Pitää nimittäin hankkia uusi. 09:23» Hei, tällainen asia tuli mieleen kun flunssaa pukkaa: jos nyt illalla totean olevani liian sairas tenttiin niin seuraava mahdollisuus minulla on vasta helmikuun lopulla jolloin on yleistentti JOHON ehdin ilmoittautua 10 päivää ennen koetta? Eli olisi pitänyt ennakoida ja ilmoittautua myös tenttiin 31.10? Nyt vasta tajusin millainen huononnus tämä on. Vai olenko ym- 11
märtänyt väärin? Jääkö sairastuneella opiskelijalla opintopisteet saamatta syksyn puolella? 16:52» 09:23: yritän miettiä vaihtoehtoisia tapoja (esim. joulukuun erilliskoe). Ilmoittelen näistä hieman myöhemmin. 18:41» 16:52: aion osallistua huomenna. Mutta olisi se joulukuu tms hyvä jos joku muu on sairaana eikä pääse. 19:17» 18:41: yritän järjestellä 00:38» Jos joku aikoo nyt alkaa kirjoittaa lunttia kynällä, jonka jälki näkyy myös paperin toisella puolella, suosittelen harkitsemaan kynän vaihtoa. Harmittaa muuten, kun huomaa paperia kääntäessään, että toisesta puolesta tulee saamaan selvää huomattavasti huonommin, vaikka tässä vaiheessa kynänvaihdon suorittaisikin. 00:39» Mitä, saako/kandeeko kirjottaa lunttilappu? Kokeessa ei jaeta mitään defaultluntteja? 00:41» 00:39: kurssisivulta materiaalit kohdasta Kertausluennon kalvot löytyy infoa apuvälineistä/luntista 13:13» 00:39: toivottavasti huomasit 00:41:n kommentin, että default-lunttia kurssikokeessa ei ole ja että millaisia jakaumia lunttiin tulisi laittaa (ja mitä jakaumia ei tarvitse). 12
TN IIa yleistä keskustelua matematiikasta sekä tilastotieteestä 12:46» Miksi luvun 1. kalvon s. 40 esimerkissä P{2. kortti on ässä ehdolla että 1. kortti on ässä} = 4 3 4 51? Mistä nuo neloset saatiin? Sain kyllä saman vastauksen kun laskin ehdollisen tn-kaavalla, mutta haluaisin ymmärtää mitä tuossa on tapahtunut. 14:50» 12:46: tuo 4 3 4 51 tulee ajatuksesta käyttää tietoja, että P(A 1 ja A 2 ) = 4 3 52 51 sekä P(A 1 ) = 4 51 52 51. Nyt sujuvasti on supistettu jaettaessa nuo 52 51 -tulot pois, jolloin P(A 2 A 1 ) = P(A 1 A 2 ) P(A 1 ) = 4 3 4 51 (eli osoittajasta ja nimittäjästä oli näppärästi 52 51 jo supistettu).... 14:51»... Ihan yhtä hyvin neloset ja kolmosetkin olisi voinut supistaa eli 4 3 4 51 = 3 51 = 3 3 17 = 1 17, mutta kopioin tuon välivaiheen monisteesta suoraan Mutta minkä tahansa tavan pitäisi tuottaa sama vastaus. Esimerkin ajatuksena onkin näyttää kaksi tapaa päätellä/laskea vastaus. 18:53» Kiitos vastauksesta! -12:46 21:04» 18:53: ollos hyvä 11:28» Olisko kukaan tänään ke 12.9. laskemassa ekan viikon harjoitustehtäviä 3. krs:ssa? 13:26» 11:28: hieno avaus toivottavasti mahdollisimman moni huomaa viestisi. 13
09:09» 12:46, 18:32, 19:50 ja muut. Laitoin toivottavasti valaisevan esimerkin Lauseen 2.12. käytöstä (joka on lähellä harjoitusten 4 tehtävää 1). Käyn tämän myös osin lävitse kohta luennoilla, joten toivottavasti tämä auttaa hieman.... 09:09»... Tiedän, että muunnokset ovat kurssin varmasti hankalin osa, joten ymmärrän jos tuo asia tuntuu vaikealta. En ole sitä vielä avannut riittävästi, mutta ehkä tämä auttaa hieman. Lisäksi voitte kysyä, miksi teen siinä jotain tai voisiko tehdä jotain toisin, niin asiasta on helpompi puhua. 16:18» Miten tossa esimerkissä tiheysfunktion muunnoskaavan käytöstä ollaan päädytty tulokseen, että g on jva negatiivisesta äärettömyydestä pisteeseen 1 ja pisteestä 1 äärettömyyteen? Oliko niin, että jos funktiolta löytyy derivaatta niin se on myöskin jatkuva? Tai miten tutkittiinkaan funktion jatkuvuutta suljetulla välillä? 16:36» Aa ja vielä, että miksi funktiosta g(x) otetaan derivaatta x:n suhteen kun eikö se ole muutenkin yhden muuttujan funktio niin eihän sitä pysty derivoimaan kuin vaan x:n suhteen? Tai onko sillä joku isompi merkitys miksi se mainittiin tuossa erikseen? 17:26» (16:18 ja 16:36) Lisäkysymys tuohon esimerkkiin. Sivulla 4 Koska X on eksponenttijakautunut sillä X:n tf f(x) = 0 kaikilla x on pienempi kuin 0. Ymmärsinkö oikein, että X:n on aina positiivinen, sillä sen tf on 0 kaikilla x on pienempi kuin 0? Jos näin on niin miten ollaan päätetty että x ei saa negatiivisia arvoja? 18:04» 16:18, 16:36 ja 17:26: vastailen näihin kohta puoleen, mutta ensin tajusin, että hieman olen mokannut sivulla 6, joten vastauksista puuttui pari ehtoa: eli tf on muuten sama, mutta sen kantaja (alusta) onkin 1 < y < 2 eikä vain y > 1. Tämä muuttaa myös kf:n siten, että kf F Y (y) = 1, kun y > 2. Laitan tämän korjauksen kurssisivulle. No, tällaista sattuu 18:08» 16:18: tietyin lisäehdoin, mutta ei välttämättä. Jatkuvuus onkin päätelty seuraavasti: g (x) = 1/(x + 1) 2 joka on kahden jatkuvan (vakiot ovat jatkuvia ja polynomifunktiot myös) funktion osamääränä jatkuva väleillä, 14
joka ei sisällä kohtaa x = 1. 18:09» 16:36: tuolla ei ole suurempaa merkitystä, usein kirjoitan derivaattaoperaattorin näkyviin varsinkin jos yhdistettyä funktiota olen derivoimassa, mutta tuossa se vain tuli siihen 18:13» 17:26: sivulla neljä lukee siis (vähän huonosti tosin) X > 0 tn:llä 1 mikä on mukavampi tapa ilmoittaa tarkempi muotoilu P(X > 0) = 1. Tämä on lyhyesti päätelty tuon tf:n avulla siten että 1) koska f(x) = 0 kaikilla x < 0, 2) niin F X (x) = x f(u)du = 0 kaikilla x 0. 3) Siispä P(X 0) = F X (0) = 0, joten 4) P (X > 0) = 1 P (X 0) = 1 0 = 1. 18:22» 16:18: tuohon derivaatan jatkuvuuteen esimerkiksi f(x) = x 2 sin(1/x) 1{x 0} on jatkuva, sen derivaattafunktio f (x) = 2x sin(1/x) + x 2 cos(1/x) D(1/x) = 2x sin(1/x) cos(1/x), kun x 0 kun taas f (0) = lim x 0 x sin(1/x) = 0 (sillä x sin(1/x) x 0 ). Tämä funktio f ei ole jatkuva nollassa, vaikka f (0) olikin olemassa.... 18:22»... Tämä vaatii siis tiettyä pahaa käytöstä, joten helpoin onkin aina vain tarkistaa tuo. Käänteisfunktion derivaatan jatkuvuus kyllä (pienin varauksin) voidaan aika mukavasti päätellä funktion jatkuvasti derivoituvuudesta. 09:00» Mikä on TTL ja mistä se löytyy materiaalista? 09:43» 09:00: TTL tarkoittaa Tiedostamattoman Tilastotieteilijjän Lakia (eli se on Lause 4.5. (sekä kaava (4.5)). Pitääpä muuten lisätä tuo lyhenne kalvoihin Kiitos, että huomautit 09:49» Kiitos! 14:44» 09:49: eipä kestä 15:40» Tarkoittaako lause 4.11. sitä, että momenttifunktioiden tulisi olla samanarvoiset kun t 0 jotta satunnaismuuttujilla olisi sama jakauma? 15
16:53» Dioissa 1 sivulla 12-13 A B:n tulkinta on jos A sattuu, niin myös B sattuu eikö se pitäisi olla toisinpäin? 18:06» 16:53 mieti mitä osajoukko tarkoittaa joukko-opillisesti: jos x kuuluu A:han, niin x kuuluu myös B:hen. A:n sisältyminen B:hen tarkoittaa, että A on osa B:tä. Kaikki A:han kuuluvat ovat myös B:hen kuuluvia. 18:26» 15:40: lause 4.11 tarkoittaa seuraavaa: OLETUS: löytyy jokin h > 0, että M X (t) = M Y (t) jokaisella h < t < h. TÄLLÖIN: X ja Y on samoin jakautuneita.... 18:26»... Elikkä: jos esim. X olisi sm ja joku (vaikka minä) kertoisin, että M X (t) = e 2t välillä 0.2 < t < 0.2. Luennolla laskin että jos Y = vakio(= a), niin M Y (t) = Ee Y t = Ee at = e at kaikilla t. Huomaamme, että jos a = 2, niin M X (t) = M Y (t) ainakin kun 0.2 < t < 0.2. Lause 4.11 kertookin, että X = Y = 2 jakaumaltaan, ja siten tiedämmekin, että M X (t) = e 2t jokaisella t... 18:29»... Mutta lause 4.11 vaatii lisäksi, että M X ja M Y ovat olemassa (eli < ) jollain välillä h < t < h. Eli M X (t) = M Y (t) = ei vielä riitä. Satunnaismuuttujilla voi siis olla sama jakauma, vaikkei niillä olisi momenttiemäfunktioita äärellisinä olemassan kun t ei ole 0... 18:31»... Esimerkiksi jos X noudattaa Cauchyn jakaumaa, ja Y = X, niin X ja Y ovat samoin jakautuneita, mutta M X (t) = ja M Y (t) = kaikilla nollasta eroavilla t. Toisaalta Z = X + 2 ei ole samoin jakautunut kuin X, mutta M Z (t) = myös nollasta eroavilla t. Selvensiköhän tämä Lauseen 4.11 sisältöä, 15:40? 18:36» 16:53: aivain kuten 18:06 sanoikin, niin esim. jos A = {X < 5} ja B = {X < 10}, niin jos A sattuu, niin B sattuu tarkoittaisi jos X < 5, niin X < 10 (mikä lienee tuntuu uskottavalta). Joukkoina A = {ω; X(ω) < 5} ja B = {ω; X(ω) < 10}. Nyt jos ω A, niin X(ω) < 5 < 10, joten ω B. Siispä joukko-opin tietojemme nojalla A B. Selvensiköhän tämä tuota kielenkäyttöä, 16:53. Kiitos 18:06 hyvästä vertaistuesta 12:09» Olisiko mahdollista saada viikon 4 tehtävän 2 malliratkaisu myös kertymä- 16
funktio tekniikalla tehtynä? 15:36» 12:09: mainio ehdotus. Laitan sen kurssisivulle piakkoin. Petteri.. 15:43» Jes kiitos kovasti! Olisi mahtavaa osata molemmat tavat -12:09 07:16» 12:09 ja 15:43: lisäsin kf-tekniikkatavan harjoitusten 4 tehtävään 2 ja tavoistani poiketen kirjoitin sen puhtaaksi. Se on nyt osana ratkaisuehdotusta. 17
Harjoitus 1 Tehtävä 1 17:37» Onko 1. tehtävän a- ja b-kohdissa tarkoitus todistaa pelkästään vennin diagrammien avulla vai meneeks mulla joku ohi? 18:12» 17:37: hyvä kysymys Vihje on ehkä hieman heikohko, Vennin diagrammien avulla voi kuvasta tarkistaa mukavasti erillisyyden, mutta näiden tarkemman perustelun voi tehdä vaikka käyttämällä apuna alkeistapauksia tai joukko-operaatioiden laskutoimituksia. Mutta alkuun kannattaa piirtää Vennin diagrammi, jonka avulla todistus aukenee lähes itsestään. Selvensiköhän tämä, 17:37? 14:51» En ihan ymmärrä mitä ensimmäisessä tehtävässä on tarkoitus tehdä. Tuleeko a- ja b- kohtien kaavat siis todistaa siinä tapauksessa, että A ja B ovat erillisiä? Minun ymmärtääkseni kaavat pitävät paikkansa myös silloin kun A ja B eivät ole erillisiä. Onko tarkoitus siis osoittaa, että kaava pitää paikkansa kun A ja B ovat erillisiä ja sitten todistaa ne kaavan 1.2 avulla? 16:31» 14:51: hyvä että kysyit Ylipäätään on kaksi mahdollisuutta: 1) tapahtumat A ja B ovat erillisiä ja 2) tapahtumat A ja B eivät ole erillisiä. Tehtävänannossa sanotaan tapahtumat A ja B eivät välttämättä ole erillisiä. Tällä tarkoitan, että tehtävässä ei voi olettaa että tapaus 1) on aina voimassa eli kumpi tahansa tapauksista on mahdollinen, joten molemmat tulisi tarkistaa. Tosin tapauksen 2) todistus antaa tapauksen 1) erikoistapauksena. Selvensiköhän tämä, 14:51? 18:39» Mutta tapauksen 2) kohdalla kaavaa ei voi todistaa käyttämällä kaavaa 1.2, kuten tehtävänannossa ohjeistetaan. Tuleeko tehtävässä siis todistaa kaava vain tapauksessa 1)? 18:56» 18:39: luonnollisesti tapauksen(kin) 2) voi todistaa pyydetysti Mieti, löytyisiköhän joitain muita tapahtumia tapahtumien A ja B lisäksi/sijaan, jotka voit johtaa tapahtumista A ja B ja joihin (1.2):sta voisi soveltaa? Kannattaa piirtää kuva tapauksesta 2) sekä a että b -kohdissa ja miettiä kuvien avulla, mitkä tapahtumat tulisivat kyseesen ja mitä a ja b -kohdat 18
oikeastaan väittää. 17:45» Onko 1 tehtävän c kohdassa virhe? Yhteenlaskukaava tehtävänannon mukaan on eri mitä se on materiaalissa sivulla 6. 18:03» Ei ole virhe, vaan se on kirjoitettu eri tavalla 20:35» 17:45: aivan kuten 18:03 sanoikin, niin kyseessä ei ole varsinainen virhe. Tällaisia pieniä eroja tulee kurssilla varmasti jatkossa vastaan paljonkin: merkinnät voivat erota hieman verrattuna eri lähteisiin, jokin määritelmä saattaa olla ekvivalentti versio toisen lähteen määritelmästä jne Lisäksi, kiitos 18:03 mainiosta vertaistuesta Harjoitus 1 Tehtävä 6 16:42» Tarkoittaako tehtävässä 6 jompi kumpi sitä että vain toinen on 1 tai 2 vai voiko molemmat olla esim. 2 18:04» 16:42: jompi kumpi... tarkoittaa, että 1:llä tai 2:lla heitolla saadaan joko 1 tai 2. Ensimmäinen tai on inklusiivinen (eli ja/tai). Toinenkin voisi olla, mutta samalla heitolla on mahdotonta saada sekä 1 että 2. 18:05»... eli esim. pari (2 2) kävisi, kuten myös (1 5) ja (4 2). 19
Harjoitus 2 Tehtävä 1 16:28» H2 t.1: hahmotanko oikein, jos kokonaistodennäköisyydestä voi olla hyötyä? 19:53» 16:28: kokonaistodennäköisyyttä voi käyttää, mutta se ei välttämättä ole helpoin tapa. Tapoja on monia esim. 1) suoraviivainen ja työläs tapa 2) tn:n P(Y y) laskeminen ensin riippumattomuuden avulla (ja siitä ptnf:n selvittäminen 3) sopivan osituksen, äärellisen additiivisuuden sekä riippumattomuuden käyttäminen (tämä on käytännössä kokonaistodennäköisyyden johtaminen mutta tehtävään sopivammalla tavalla). Muitakin erilaisia tapoja löytyy eli kuten yleensä kurssilla, tapoja on useita. 20:06»... tuota viimeistä voin hieman avata Olkoon A = {Y = y}. Nyt löytyy sellainen mukava tapahtuma B että 2) tapahtuma {A ja B} voidaan kirjoittaa siten että ne ovat kumpikin muotoa X 1 D 1 ja X 2 D 2 sopivilla D 1 ja D 2. Tämän tapahtuman tn:n voikin laskea käyttämällä riippumattomuutta avulla mukavasti 3) apahtumalle {A ja B c } onnistuu sama temppu kuin tapahtumalle {A ja B}... 20:06»... 4) Lopuksi käytetään äärellistä additiivisuutta P(A):n laskemiseen eli vain lasketaan yhteen Ongelmaksi jää miettiä, mikä tämä mukava tapahtuma B voisi olla 20:54» Kiitos! 21:04» 20:54: eipä kestä 12:23» Mikä tossa viikon 2 tehtävässä 1 ratkaisuissa tuo k on? Ja miksi se kuuluu joukkoon {1,.., 7}? Ja mistä pääteltiin tuo kaava (7 k)/6? 15:03» 12:23: tuossa k on jokin kokonaisluku, joka on valittu siten että se kuuluu joukkoon {1, 2,..., 7} eli k = 1, k = 2,... tai k = 7. Olkoon X seuraavassa vaikka X 1. Kun k = 7, niin P(X 7) = 0 = (7 7)/6. Kun k = 6, niin P(X 6) = 1/6 = (7 6)/6, kun k = 5, niin P( 5) = P(X = 5) + P(X = 6) = 2/6 = (7 5)/2, jne... 20
15:04»... Tästä kaavan voi johtaa esim. 1) arvaamalla että kaava P(X k) = (7 k)/6 on voimassa, ja varmistamalla se induktiolla (joko k:n tai m = 7 k:n suhteen).... 15:05»... 2) esim kf:n avulla P(X k) = 1 P(X < k) = 1 F (k 1) = 1 (k 1)/6 = (7 k)/6. Tämä tietty vaatii, että tiedämme mikä X:n kf on... 15:10»... 3) kf:n saamme mukavasti, koska F (k) = P(X k) = P(X = 1)+...+ P(X = k) = k/6, kun k = 0, 1, 2,..., 6. Kaikilla x > 6 kf F (x) = P(X x) = 1 ja kaikilla x 0 on F (x) = P(X x) = 0. Lisäksi käytin 2):ssa tietoa, että P(X < k) = F (k ) = F (k 1) mikä on voimassa sillä tässä tapauksessa F (x) = P(X x) = P(X k 1) jokaisella k 1 x < k... 15:14» 4) myös voisimme laskea tämän suoraan ptnf:n avulla sillä tiedämme että P(X B) = f(x) jokaisella B (Lause 2.4). Siispä kun k = 1, 2,..., 6 niin P(X k) = 6 f(x) = 1/6 = 1/6 #{kokonaisluvut k,..., 6} = (7 k)/6 x k x=k. Tuossa #A on siis A:n alkioiden lukumäärä... 15:15»... 5) lisäksi tämän voi laskea symmetrisen tn:n avulla (koska kukin silmäluku on yhtä todennäköinen) P(X k) = #{k,..., 6}/6 = (7 k)/6 kunhan k = 1, 2,..., 6. Muut arvot tulee tarkistaa erikseen... 15:17»... kannattaa lisäksi huomata, että kaava ei ole voimassa millään muulla k:n arvoilla kuin k:n arvoilla {1, 2,..., 7}. Tämä on se syy, miksi ratkaisuehdotuksessa oletettiin sen kuuluvan tuon kyseiseen joukkoon. Vielä pari muutakin tapaa on tuo johtaa, mutta eiköhän tuossa ollut jo muutama 21:03» Kiitos avartavasta vastauksesta! Älysin nyt tuon jujun -12:23 xinb 21
21:19» 21:03: mainiota Harjoitus 2 Tehtävä 3 11:00» Toisen harjoituksen kolmosessa pitäisi varmaankin olla y > 0. Voisiko vastauksen kuitenkin ilmoittaa tuossa muodossa, siitähän kuitenkin näkee millä y:n arvoilla kf on määritelty? (eli voiko jättää tulkittavaksi, että nähtävän määr.joukon ulkopuolella kf on 0) 16:36» 11:00: kyllä, siinä olisi hyvä olettaa, että y > 0. Tapaus y 0 pitäisi miettiä erikseen, eli tyyliin: koska e 3X > 0, niin tapahtuma {e 3X y} on mahdoton tapahtuma jokaisella y 0. Siispä F Y (y) = 0 jokaisella y 0... 16:37»... suosittelisin kuitenkin, että vastaus ilmoitettaisiin vaikka muodossa F Y (y) = 1{y > 0} F X (log(y)/3), koska tämän voi vahvan nollan avulla ymmärtää mukavasti olevan 0, vaikka logaritmi ei olisi määriteltykään... 16:40»... mutta valtaisa kiitos tarkkaavaisuudesta käyn korjaamassa tuon kohdan ratkaisuehdotuksesta ja lisään tuon tärkeän huomautuksen. Harjoitus 2 Tehtävä 5 12:31» Kysymys tehtävästä 2.5: Kun lauseessa 2.7 sanotaan, että derivoituva paitsi äärellisessä määrässä pisteitä, tarkoittaako tämä sitä, että mahdollisissa breikkikohdissa täytyy löytyä molemmat toispuoliset derivaatat (ei välttämättä yhtäsuuret)? 14:30» 12:31: lauseen 2.7. derivoituva paitsi äärellisessä määrässä pisteitä tarkoittaa, että näissä pisteissä ei tarvitse tietää derivoituvuudesta mitään eli esim. f(x) = x 1{x 1/2} + (2x 1/2) 1{1/2 < x < 1} 22
on jatkuva kaikilla x, sillä ei ole derivaattaa kohdassa x = 1/2 (sillä on toispuoleiset derivaatat 1 vasemmalta ja 2 oikealta) ja derivaatta on jatkuva paitsi kun x = 1/2 (arvo f (x) = 1 kun x < 1/2 ja f (x) = 2 kun x > 1/2). Tämä ei tietenkään ole kertymäfunktio (miksi?)... 14:32»... Toisaalta esim. funktiolla f(x) = x 2 1{x 0} + x 1{x > 0} on myös nämä ominaisuudet (jatkuva, ei derivaattaa kun x = 0, derivaatta jatkuva, kun x < 0 ja x > 0. Mutta tuossa breikkikohdassa x = 0, funktiolla on vasemman puolinen derivaatta = 0, mutta oikeanpuolista ei ole (miksi?) 14:33»... kumpikaan näistä ei ollut kertymäfunktioita (mieti miksi, mutta on hieman muokkaamalla näistä saisi esimerkit kertymäfunktioista joilla on saman tyyppinen ongelmakohta. Selvensiköhän tämä 12:31? 14:39»... hups. 14:30:n vastauksessa f ei ole jatkuva kaikilla x, ellei esim f(x) = 3/2 kaikilla x 1. Ja tällöin derivaatta f (x) = 0, kun x > 1, f (x) = 2 kun 1/2 < x < 1 ja derivaattaa ei ole kun x = 1/2 ja x = 1. Harjoitus 2 Tehtävä 6 12:51» Toisen viikon harjoitustehtävissä t.6: mitä merkintä 1 1{x {1, 0, 3}} mahtaa 6 tarkoittaa? 13:06» 12:51: tarkoitan funktiolla g(x) = 1{x {1, 0, 3}} joukon {1, 0, 3} indikaattoria, eli g(x) = 1 jos x on jokin joukon {1, 0, 3} alkio ja g(x) = 0 muuten. Tämän merkinnän esittelin luentokalvoilla sivulla 3 (Määritelmä 2.2. ja sen huomautukset). Lopuksi vain kerron tämän luvulla 1 6. Selvensiköhän tämä, 12:51? Indikaattoreita tulemme käyttämään kurssilla paljon 13:07» Selvensi, kiitos. t. 12:51 23
13:25» 13:07: mainiota 11:57» Olisiko heittää mitään vinkkiä vkon 2 tehtävään 6? ei jotenkin aukea ollenkaan mitä pitäisi ensin edes miettiä :D 14:30» 11:57: katsotaanpa asiaa läheisen esimerkin avulla. Olkoon X diskreetti sm, jolle P(X = 2) = 1/3 ja P(X = 2) = 2/3 ja olkoon Y = 2X + 1 ja W = X 2 + 2. Havaitaan, että X:n arvojoukko on { 2, 2} joten Y :n arvojoukko on { 3, 5} ja W :n arvojoukko on yksiö {6}.... 14:31»... Voimme siten päätellä, että W :n ptnf on f W (w) = 1{w = 6} (eli W on vakiosm). Sm:n Y pntf saadaan laskemalla: P(Y = 3) = P(2X + 1 = 3) = P(X = 2) = 2/3 ja P(Y = 5) = P(2X + 1 = 5) = P(X = 2) = 1/3, joten f Y (y) = 1/3 1{y = 5} + 2/3 1{y = 3}. Lisäksi Materiaalit - Muut kohdassa on myös tähän liittyvä esimerkki. Auttoikohan tämä, 11:57? 14:33»... Lisäksi tätä voi miettiä Lauseen 2.10. avulla määräämällä kuvausten g ja h alkukuvat (tästä on esimerkki Materiaalit - Muut -kohdassa), kun Y = g(x) ja W = h(x). 10:57» Joo kiitos, sain tuosta jotain ajatusta kyllä, nyt katsotaan vielä saanko tehtävän ratkaistua! t. tehtävään 6 vinkkiä kysynyt 11:03» 10:57: mainiota 24
Harjoitus 3 Tehtävä 1 16:11» Hei. Tuo sekatyypin jakauma harjoituksessa 3 (teht. 1) hieman hämmentää. 16:11» 1) Voiko sekatyypin jakauman tiheysfunktion kirjoittaa siinä tapauksessa vain muodossa f(x) = g(x) + (1/16) δ(x), jossa tuo viimeinen viittaa Diracin deltafunktioon? 16:11» 2) olenko oikeassa, jos Lebesguen integraalinen tunteminen voisi auttaa tämän hämmennyksen vähentämisessä? Nyt tuntuu vaikealta hypätä yli ajatuksesta, että pistetodennäköisyys ei olekaan nolla, jolloin integraali (Lebesguen) antaisi eri tuloksen kuin Riemannin integraali (tai ainakin epäilen, että antaisi eri tuloksen)? 21:09» 16:11: mainiota pohdintaa No, tehtävänannossa pyysin tunnistamaan kertymäfunktiot. Ja lisäksi ne mitkä ovat diskreetin ja mitkä jatkuvien jakaumien kf:iä. Lisäksi diskreeteille pyysin ptnf:iä ja jatkuville tiheysfunktiota (mutta kf:ille mitkä eivät ole kumpaakaan, ei tällaisia tarvitse kirjoitella... 21:13»... ja aivan kuten huomasit, että mukana on jakauma joka ei ole diskreetti eikä jatkuva. Ptnf:n voi tälle tietty määrätä (koska sehän vasta kysymykseen P(X = x) =? ) Ja kuten huomasit, niin ptnf f(x) = 1/16 1{x = 0}. Tämä puolestaan osoittaa, ettei jakauma voi olla jatkuva, koska jatkuvan jakauman ptnf on nolla(funktio)... 21:23»... myöhemmillä kursseilla selviää, että ptnf on jatkuville satunnaismuuttujille 0 myös Lebesguen integraalienkin avulla. Se mitä kirjoitit Diracin delta funktiosta liittyy tähän, eli homman juju on, ettei Diracin delta ole funktio perinteisessä mielessä, vaan se on ns. yleistetty funktio tai ns. Schwartzin distribuutio.... 21:23»... Meidän kurssimme kielelläkin sille on nimi: se on vakiosatunnaismuuttujan Y = 0 jakauma, sillä voisimme myös osoittaa mukavasti, että Diracin delta voidaan myös tulkita todennäköisyysmittana 25
21:26»... mutta tätä ei siis tehtävässä kysytty eli 1) tiheysfunktioita ei kurssimme mielessä ole olemassa 2) Lebesguen integrointikaan ei tuollaista tf:ää tuottaisi vaan 3) tuo esittämäsi f(x) ei ole varsinainen funktio vaan se jakauma (yleistetty funktio), mitä en kauhean tarkkaan kurssilla määrittele 21:30»... mutta tehtävässä ei siis tuota f(x):ää tarvitse esittää tuolle kf:lle ollenkaan. 07:44» Tuosta tehtävän 3.1 Ensimmäisestä funktiosta F 1 : en ole ihan varma, miten tulkitaan oikealta jatkuva kohdan 0 vasemmalla puolella. Funktion arvo on 1/16, kun x = 0, mutta 0, kun x < 0. Osaisitko hieman avata tuota? 08:14» kiitos! t.16:11 07:44 : tarkastelet f(0) ja f(0 ) eli vasemmanpuoleista jatkuvuutta. Jos tarkastelet väitettä f(0) = f(0+), niin tutkit oikeianpuoleista jatkuvuutta, joka on eräs kertymäfunktion ominaisuus. 10:43» 07:44: aivan kuten 08:14 sanoikin, niin funktion f oikealta jatkuvuus kohdassa x = 0 tarkoittaa väitettä f(0) = f(0+) = lim x 0+ f(x). Jos funktio on jatkuva kohdassa x, niin silloin se on taatusti sekä oikealta että vasemmalta jatkuva kohdassa x... 10:43»... Mutta esimerkiksi funktio f(x) = x + 2, kun x 0 ja f(x) = 0, kun x < 0 on oikealta jatkuva, mutta ei vasemmalta jatkuva. Tämän havaitsee seuraavasti: f(0) = 2 (määritelmän mukaan). Vasemmanpuoleinen rajaarvo on f(0 ) = lim f(x) = lim 0 = 0, x 0 x 0 joten f(0) ei ole = f(0 ).... 10:44»... Oikeanpuoleinen raja-arvo puolestaan on f(0+) = lim f(x) = lim x + 2 = 2 = f(0), x 0+ x 0+ joten tämä esimerkkifunktio on oikealta jatkuva kohdassa x = 0. Avasiko- 26
han tämä lisää tuota ongelmaa? 11:02» 08:14: ilo oli kokonaan puolellani avaan asioita mielelläni jopa hieman yli kurssin sisällön aina tilanteen tullen Ja tuo huomautus vakiosatunnaismuuttajasta liittyy läheisesti kurssin lauseisiin 2.1 ja 2.3, sekä havaintoon, että vakiosm:n kf on (varmaankin tuttu) oikealta jatkuva Heavisiden funktio. 14:08» Miksi vko3/teht1 selvittäessä F 4 tiheysfunktiota asetettiin F (1) = 3 sen jälkeen kun todettiin että f(1) = 3? Onko tämä pakollista? Ja lisäksi F 4 tutkittaessa todettiin se suoraan jatkuvan jakauman kf:si mutta pitäisikö sitä tarkastella sitä myös niin että jos se olisikin diskreetin jakauman kf? Mitä jos sillä onkin myös sen ominaisuuksia ja se onkin sekajakauman kf? Jos näin on niin, vaaditaanko tällaista tentissä sitten myös että katsoo molemmat tapaukset? 14:22» 14:08: eli tiheysfunktio f 4 jäi määrittelemättä derivaatan F 4 avulla kohdassa x = 1, koska F 4 ei ole derivoituva. Kurssillamme tf on kuitenkin määritelty jokaisella x, joten tässä valittiin f 4 (1) = 3, kaikki muutkin valinnat olisivat olleet ok. En ole ihan varma, ymmärsinkö kysymystäsi pakollisuudesta (jos esim. olisi vain todennut, että erääksi tf:ksi f 4 kävisi f 4 (x) = 3x 2, kun 0 < x < 1 ja nolla muutoin, olisi asia ollut silloinkin ok... 14:25»... En ole ihan varma, että kuinka F 4 todettiin suoraan jatkuvan jakauman kf:ksi. Suoraan todettiin, että se on kasvava, oikealta jatkuva ja toteuttaa ehdot F 4 ( infty) = 0 ja F 4 (infty) = 1. Lisäksi pääteltiin, että se on jatkuva polynomifunktiona kun x < 0 tai x > 0 ja erikseen tarkastettiin että se on jatkuva myös kun x = 0... 14:26»... tästä voidaan silloin päätellä, että kyseessä ei voi olla diskreetin jakauman kf (koska ne eivät voi olla jatkuvia, koska jokaisessa kohdassa, missä ptnf > 0 on hyppy )... 14:28»... jos katsoo F 1 :tä niin huomaa, että siinä pääteltiin, ettei kyseinen jakauma voi olla jatkuvan eikä diskreetin jakauman kf. F 4 :sen kohdalla pääteltiin, 27
että se toteuttaa riittävät derivoituvuus ja derivaatan jatkuvuus -ehdot, jolloin luentojen lause 2.7. takaa, että kyseessä on jatkuvan jakauman kf... 14:31»... lyhyesti: kokeessa jos haluaa tarkistaa, että funktio F on jatkuvan jakauman kf, niin olisi näytettävä seuraavat 1) F on kf (tämä saattaa tulla suoraan, jos sen on esim laskenut siten että F (x) = P(X x). 2) F on jatkuva jokaisessa pisteessä (eli sillä ei saa olla hyppyjä) 3) ja poislukien muutama (äärellisen monta) poikkeuspistettä se on derivoituva ja tämä derivaatta on jatkuva (niillä väleillä, joissa ei ole poikkeuspisteitä)... 14:33»... eli esim: F 4 H3:n tehtävässä 1 on epäjatkuva (koska se hyppää kun x = 1), mutta se on jatkuva väleillä (, 1) ja (1, ) (se on polynomifunktio kummallakin välillä). 14:35»... diskreetin jakauman tunnistamiseen riittäisi näyttää 1) se on kf 2) ja toteaa, että se on paloittain vakio (ellei se ole vakio poislukien hyppykohdat, havaitaan, ettei ptnf määrää koko jakaumaa). Tuota (...) kohtaa ei siis tarvitse tarkistaa. 14:36» Toivottavasti tämä antoi valoa kysymyksiisi, 14:08. 14:39» Jes kiitos kiitos, selvensi! 14:40» 14:39: mainiota Harjoitus 3 Tehtävä 2 18:45» Onhan tehtävässä 2a) niin, että k:lle ei ole tarkoitus löytää numeerista arvoa, vaan jokin :sta riippuva arvo? 21:38» 18:45: koska :n tarkkaa numeerista arvoa ei ole kerrottu, niin parasta, mitä voidaan k:n arvosta sanoa, on että se on jokin luku, joka riippuu :sta (tai toisin sanoen, luku k on ymmärrettävissä :n funktiona). Eli olit ymmärtänyt aivan oikein 28
15:10» Viikon 3 tehtävästä 2b) jakauman kertymäfunktioksi saadaan x a kun 0 < x < 1. Eikös yhtenä kertymäfunktion ehtona ollut että sen pitää olla kasvava? Eikö x a ole ekponentiaalifunktiona ole vähenevä kun 0 < x < 1? 15:25» 15:10: harjoituksen 3 tehtävässä 2 oleva F (x) = x a on kasvava muuttujan x suhteen kun x > 0, sillä sen derivaatta f(x) = F (x) = ax a 1 on einegatiivinen. Kun x > 0, niin x a 1 > 0, oli a mikä vain. Derivaatan merkin määrää tuo a, ja se oli tehtävässä oletettu olevan > 0. Eli potenssifunktio F (x) = x a on siis kasvava, kun a > 0.... 15:26»... Mainitsemasi eksponettifunktio viittaa kuvaukseen g(a) = x a = exp(a ln x) (eli nyt x on kiinteä, ja a on se muuttuja). Ja aivan kuten sanoit, tämä kuvaus on vähenevä kun 0 < x < 1 ja kasvava kun x > 1, sillä g (a) = g(a)lnx 0 x 1. Erona oli siis vain kumman muuttujan suhteen kuvausta katsottiin Harjoitus 3 Tehtävä 4 11:13» Harjoitus 3 ja tehtävä 4: saan X:n kvantiilifunktion, ja sen pitäisi olla oikein. Ongelma on, että se on määritelty peräti välillä 0 < u < 7/6, eli en voi käyttää samaa lausetta kuin b-kohdassa. En oikein keksi, miten edetä tästä, koska mielestäni tuo väli ei ole virhe. 11:16» 11:13: tuohon tehtävään 4 on a) kohtaan lipsahtanut ikävä virhe (minun toimestani): tf:n lopussa oleva x 3 pitäisi olla x 4. Pahoittelen töppäystäni ja laitan korjatun tehtävän kurssisivulle. 11:17» okei! 11:18»... olet siis luultavasti tehnyt ihan oikein, korjattu tehtävä auttanee loppuun. 00:30» Hello! I m not totally clear on what we re looking for in exercise 4, part a. Are we simply supposed to find the quantile function? 29
09:09» 00:30: the hint about quantile function in ex 4a) refers to the idea that if U U(0, 1) is a uniformly distributed rv (like in ex 4) and F : (a, b) (0, 1) is some given cdf with inverse function F 1 : (0, 1) (a, b) ( = quantile function q), then q(u) is a rv with cdf F. So in short: yes that help, 00:30? Did 13:01» vko 3 t 4 tuntuu kyllä haastavalta, pääsen siihen asti kun pitäs alkaa integroimaan (käsittääkseni) mut en saa oikeen mitään järkevää siitä, enkä siten pääse muodostamaan kvantiilifunktiota. Joku siinä integrointivaiheessa ei onnistu, osaisitko sanoa mistä voisi siihen katsoa mallia tai onko siinä joku jippo? 13:29» Onko kenenkään muun mielestä tämän viikon tehtävät poikkeuksellisen tuskallisia? Itse kaipaisin paljon enemmän esimerkkejä. 13:46» Ite sain tehtyä puolet ja siihen tyssäs aika totaalisesti 17:46» 13:01: tarkoitatko 4a:ta (jälkimmäisessä on erilainen). Eli: tehtävässä on ajatus on tf:n f avulla ensin selvittää 1) mikä on kf F (eli laskea se integroimalla) 2) määrätä kvantiilifunktio q(u) = F 1 (u) ratkaisemalla yhtälö F (x) = u (kun 0 < u < 1)... 17:49»... ongelma on siis ilmeisesti tuo kohta 1). Kf F (x) saadaan siis integroimalla -äärettömästä x:ää ja funktio on nyt paloittain määritelty. Kun x < 0, niin Jos taas 0 < x < 1, niin x x f(y)dy = = 0 x 0dy = 0. x +... 0 joista ensimmäinen integraali on jo laskettu 0:ksi... 17:50»... tuo x f(u)du 0 on vakion integrointia (sillä f(u) = 2/3 kun 0 < u < x)... 30
17:51»... hankalin kohta on varmaankin kun x > 1. Tällöin x = 0 + 1 0 + (joista kaksi ensimmäistä integraalia on jo laskettu). Viimeinen integraali on muotoa cx 1/4 = cx a (kun a = 1/4)... 17:53»... potenssifunktion integraalifunktio (kun a ei ole 1) on x a+1 /a + 1, joten tästä pitäisi integroinnin onnistua. Alkuperäisessä tehtävänannossa oli tässä virhe, jolloin F (x):tä ei tullut kertymäfunktiota. 17:54»... eli lopulta saadaan paloittain määritelty kf, josta tiedetään, että 0 < F (x) < 2/3 kun 0 < x < 1 ja että 2/3 < F (x) < 1, kun x > 1... 17:56»... kvantiilifunktion selvittäminen onnistuu tällöin paloittain: (kannattaa ehdottomasti piirtää kuva). Kun 0 < u = F (x) < 2/3, niin tiedetään että 0 < x < 1, joten F (x) = vakio x = u. Tästä x:n ratkaiseminen kun 0 < u < 2/3 on varsin suoraviivaista. 17:58» 13:29: et varmasti ole yksin tämän kanssa. Pyytäisinkin, että laitatte tänne pyyntöjä esimerkeistä tyyliin haluaisin esimerkin tehtävää 4 vastaavasta tilanteesta koska muuten en tiedä millaisia esimerkkejä kaivataan. 17:59» 13:46: 00:49» Mahtavaa kun jaksat neuvoa täälläkin, kiitos! t. 13:01 01:29» Taisin jopa tajuta idean ja ennen kaikkea sen, mitä en aiemmin ollut ymmärtänyt! t. 13:01 06:55» 00:49: tämä on itselleni helpoiten seurattava kanava, joten neuvon täällä mielelläni Yritän avata asioita täällä lisää, sekä pystyn paremmin laatimaan räätälöityjä esimerkkejä myös kurssisivulle laajemmista kysymyksistä. Todella mainiota 01:29 (eli 13:01) että idea välittyi x 1... 31
Harjoitus 3 Tehtävä 5 18:03» Kun viikon 3 tehtävässä 6 etsittiin kriittisiä pisteitä kvantiilifunktion avulla, niin mitä kriittiset pisteet oikeastaan on? Tai miten kriittiset pisteet on määritelty? (Tuli vain mieleen kun eikö differentiaalilaskennassa ne ole maksimi-/minimiarvoja niin onko näissä samaa ideaa? Toivottavasti saa selvää mitä haen!) 18:07» Lisäkysymys tohon vk3/t6 niin sen ratkaisu alkaa sillä että Tehtävän oletusten nojalla pätee P(Y < y1) = P(Y y1) niin miten tämä on päätelty siis tehtävänannosta? 21:47» 18:03: tarkkaan emme tässä noita kriittisiä pisteitä kurssilla käsittele. Niistä löytyy lyhyt maininta monisteen sivulta 32 sekä kalvoilla Tilastollisessa päättelyssä määriteään testien kriittisiä pisteitä usein jakauman oikeanpuoleisen hännän avulla.... 21:48»... Nämä kriittiset pisteet viittavat tässä tilastolliseen testiteoriaan, ja testien kriittisiin alueisiin (testiteoriasta kerron mielelläni lisää Tilastollinen päättely II -kurssilla Eli ihan samasta asiasta kuin funktion maksimi- /minimikohdista ei tässä ollut kyse. Tällä kurssilla tuo toimii esimerkkinä kvantiilifunktion käyttämisestä. Vastasikohan tämä edes osittain kysymykseesi, 18:03? 21:53» 18:07: mainio kysymys Eli kf:n määritelmä antaa F Y (y 1 ) = P(Y y 1 ). Koska Y on jatkuvasti jakautunut (tehtävänannon mukaan), niin P(Y = y 1 ) = 0, eli P(Y < y 1 ) = P(Y y 1 ) P(Y = y 1 ) = P(Y y 1 ). Tämä yhtäsuuruus on siis seurausta oletuksesta Y on jatkuva sm. Jos Y olisikin diskreetti, tämä yhtäsuuruus ei yleisesti ole voimassa. 22:00» Oi jes vastasi kyllä! Jänniä asioita, eli siis odottelen nyt vaan Tilpä II -kurssia että saa tietää noista testiteorioista lisää hehe. Kiitos vastauksesta! T: 18:03/18:07 32