POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Korkeamman asteen polnomifunktio Määritelmä: Jos polnomifunktion asteluku n, niin funktiota sanotaan korkeamman asteen polnomifunktioksi, P: P = a n n + a n 1 n 1 +... +a + a 1 +. Kuvaajien karkeat hahmotelmat (eli saadaan idea minkälaisesta kuvaajasta on kse) ovat seuraavanlaiset: n = ja n = ja a n > 0 a n < 0 vasemmalta alhaalta oikeelle lös vasemmalta lhäältä oikeelle alas n = 4 ja a n > 0 n = 4 ja a n < 0 vasemmalta lhäältä oikeelle lös vasemmalta alhaalta oikeelle alas n = 5 ja a n > 0 n = 5 ja a n < 0 vasemmalta alhaalta oikeelle lös vasemmalta lhäältä oikeelle alas 1
Huomautus 1 Kaikki polnomifunktiot ovat jatkuvia, derivoituvia ja integroituvia! Eli ns. hvin kättätviä funktioita. Polnomifunktiot ovat mukavia funktioita ja niillä approksimoidaan eli arvioidaan/mallinnetaan vaikeita funktioita (Talorin approksimaatiomenetelmä). Tarkempi tarkastelu MAA 7, MAA 10 ja MAA 1. Huomautus Jokainen polnomifunktio voidaan esittää tulomuodossa nollakohtiensa (jotka ovat kompleksilukuja!) suhteen. Tämän sanoo tekijälause. Lisäksi pätee: Algebran peruslause: Jokaisella polnomifunktiolla ( vakio) on ainakin 1 nollakohta ja nollakohtien kertaluvut huomioiden nollakohtia on hteensä polnomin asteen ilmoittama lukumäärä. Esimerkki Polnomilla P: P = 7 6 + 1 on korkeintaan 7 eri nollakohtaa. Korkeamman asteen htälö Määritelmä: Korkeamman asteen htälö on sellainen polnomihtälö, jossa tuntemattoman (= ) asteluku n on vähintään. Yhtälön perusmuoto on a n n + a n 1 n 1 +... +a + a 1 + = 0. Tavoite on lötää htälön ratkaisut (siis ne :ät eli luvut, jotka toteuttavat htälön) muokkaamalla lauseke ensin tulomuotoon, eli jakamalla lauseke tekijöihin ja sitten tulon nollasääntöä kättämällä määrittää nollakohdat. Muista: Esimerkki 1 Yhtälö ensin perusmuotoon mikäli se ei jo ole sitä! Jaa tekijöihin a) 18 b) 1 + 1 c) 8 4 4 ja ratkaise htälö POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA a) 18 = 0 b) 1 + 1 = 0 c) 8 4 4 = 0.
a) 18 = 9 1 = 1 + 1 18 = 0 1 + 1 = 0 = 0, 1 = 0, + 1 = 0 b) = 1, = 1 1 + 1 = 4 + 4 = 1 + 1 = 0 = 0 = 0, = Huom! Juuri = on kaksinkertainen c) 8 4 4 = 4 1 = 4 + 1 1 Huom. Ratkaisukaavasta saadaan 1 = + 1/ 1. 8 4 4 = 0 4 + 1 1 = 0 = 0, + 1 = 0, 1 = 0 Esimerkki (rhmittelkeino) = 1, = 1 Jaa tekijöihin a) 16 b) + + 8 + 4 ja ratkaise htälö a) 16 = 0 b) + + 8 + 4 = 0
a) 16 = 16 = + 4 4 16 = 0 + 4 4 = 0 = 4, = 4, = b) + + 8 + 4 = + 1 + 4 + 1 = + 4 + 1 + + 8 + 4 = 0 + 4 + 1 = 0 = 1/ Huomaa, että tekijä + 4 > 0 kaikilla R. Huom! Kompleksiset juuret = ±i lötvät Esimerkki bikvadraattinen htälötppi Ratkaise htälöt a) 4 4 = 0 b) 6 = 6 + 16 a) Merkitään =, jolloin alkuperäinen htälö tulee muotoon Ratkaisukaava antaa 4 = 0. = ± 9 4 1 4 1 = ± 5 = ± 5 Nt on saatu ratkaistua. Lopuksi pitää vielä ratkaista. Siis = 4 = 1. = Ratkaisu = ±. 4 = 1 = = ± 4 = ± = ± 1 eli R b) Merkitään =, jolloin alkuperäinen htälö tulee muotoon 6 16 = 0. 4
Ratkaisukaava antaa = 6 ± 6 4 1 16 1 = 6 ± 100 = 6 ± 10 Nt on saatu ratkaistua. Lopuksi pitää vielä ratkaista. Siis = 1,59. Muista, pariton juuri on mää- Ratkaisu = tai = ritelt kaikilla R. = 8 =. 8 = = = 8 = = 1,59 Esimerkki 4 Ratkaise htälö 1 8 = 1. 1 8 = 1 1 8 1 1 = 0 8 1 1 = 0 rhmittel 9 = 0, 1 = 0 = ± = ±1 Esimerkki 5 (tpillinen koeteht.) Määritä vakio k siten, että htälön k 10 7 + 1 + k = 0 eräs ratkaisu on =. Mitkä ovat tällöin muut ratkaisut? Yhtälöä vastaa polnomifunktio P: P = k 10 7 + 1 + k. Tekijälause antaa (koska eräs ratkaisu = juuri on ) P = 0. Siis P = k 10 7 + 1 + k = 0 54 k 9 + 10 9 1 + 1 + k = 0 54 18k + 90 8 + k = 0 17k = 16 k = 16 17 = 8 5
Yhtälö saadaan nt muotoon (sijoitetaan k = 8) kun on eräs juuri: 8 10 7 + 1 + 8 = 0 6 7 + 1 = 0 7 = 0 rhmittel 7 = 0 7 = 0, = 0 = 7, = = ± 7/ = Ratkaisu juuret ovat Vakion k arvo 8 (kun = on eräs juuri). Tällöin muut = ± 7/. 6