4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void lske esim. kehittämällä. srkkee suhtee: det(a) + Huom. merkit. +....+ Yleisesti: Alidetermitti ij o determitti jok sd poistmll lkuperäisestä determitist i. rivi j j. srke. Alkio ij liittotekijä (cofctor) o ij (-) i+j ij. -mtriisi A [ ij ] determitti void lske kehittämällä se mikä ths rivi ti srkkee suhtee. Kehittämie rivi i suhtee: det(a) i i + i i + + i i () ( ) k i+ k ik Kehittämie srkkee j suhtee: ik det(a) j j + j j + + j j () k ( ) k+ j kj kj
Esimerkki 4.. sket seurv determitti ) kehittämällä. srkkee suhtee + [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] b) kehittämällä. rivi suhtee + [ ( ) ( ) ] + [ ( ) ( ) ] [ ]. Kehittämisee ktt vlit se rivi ti srke, joss o eite olli. Korkempisteiset determitit plutet peräkkäisillä kehittämisillä lempisteisiksi, lopult -determiteiksi. Erikoislskusäätö -determiteille (Srrus-säätö): Kirjoit kksi esimmäistä srkett viimeise vieree. Summ kikkie kolme päälävistäjä (ylävsemmlt loikelle) lkioide tulot j väheä kolme vstkkissuutise lävistäjä (lvsemmlt yläoikelle) lkioide tulot. Esimerkki: ( ) + + ( ) ( ) ( ) 4. Determiti perusomiisuuksi j lskusäätöjä use 4.. Olkoo A ( ij ) -mtriisi j c vkio. () Jos A: yksi rivi ti srke kerrot vkioll c, ii sdu mtriisi determitti o c det(a). () det(ca) c det(a). () Jos A: kksi riviä vihdet keskeää, ii sdu mtriisi determitti o det(a). (4) det(a T ) det(a). () Jos A o kolmiomtriisi, ii det(a) lävistäjälkioide tulo. (6) Jos A j B ovt smkokoisi eliömtriisej, ii det(ab) det(a) det(b).
() A: srkkeet ovt lierisesti riippumttomt det(a). A: srkkeet ovt lierisesti riippuvt det(a). 8 Sm pätee riveille. (8) Jos mtriisi muuet lisäämällä joki rivi toisee kerrottu vkioll c, ii se determitti ei muutu. Smoi srkkeille. Viimeise omiisuude vuoksi determitti void kehittämistä vrte muutt helpomp muotoo ollmll lkioit Gussi elimioii tp. Esimerkki 4.. ) ( ) Aluss lisättii. rivii esimmäie rivi kerrottu -:ll j sitte kehitettii. srkkee suhtee. b) Aluss. srkkeesee lisättii. srke jolloi huomt, että kksi viimeistä srkett ovt smt, siis lierisesti riippuvt. Arvo äkee viimeistää viimeisestä muodost: jos determitiss o -rivi ti srke, se suhtee kehittämällä sd rvoksi. c) 9 6 eli lävistäjälkioide tulo, kosk kyseessä kolmiomtriisi. 8 8 ieriste yhtälöryhmie rtkisu rmeri sääöllä Jos : yhtälö j : tutemttom yhtälöryhmä + K + + K + + K + b b b eli A b (4) kerroimtriisi determitti D det(a), A: rivit (j srkkeet) ovt lierisesti riippumttomt rk(a) ryhmällä o yksikäsitteie rtkisu. Rtkisu o silloi
9 D D,, K, D D D D missä D j o determitti, jok sd D:stä korvmll j:s srke vektorill b. Todistus: Kreyszig, s. -4. Huom: rmeri säätö o työläämpi rtkisumeetelmä kui Gussi elimioiti; sillä o lähiä teoreettist merkitystä. Esimerkki 4.. Rtkise rmeri sääöllä yhtälöryhmä ) + (vrt. Esim...) 4 + b) 4 + 4. Kääteismtriisi Trkstell eliömtriisej. Olkoo A -mtriisi. A: kääteismtriisi A - o mtriisi jolle pätee AA - A - A I () Jos mtriisill A o kääteismtriisi, sot, että A o epäsigulrie ti sääöllie. Jos mtriisill A ei ole kääteismtriisi, sot, että A o sigulrie. Jos rk A, eli A: srkkeet (j rivit) ovt lierisesti riippumttomt, sot että A o täysisteie. use 4.. A o epäsigulrie eli sääöllie jos j vi jos rk A eli A o täysisteie. Siis A:ll o kääteismtriisi rk A det A. use 4.. Olkoot seurvt mtriisit -mtriisej. () Kääteismtriisi o yksikäsitteie () Jos A epäsigulrie, ii (A - ) - A () (AB) - B - A - (4) Jos rk A j AB A, ii B. () Jos rk A j AB, ii B. (6) Jos A o sigulrie, ii myös AB j BA ovt sigulrisi. Seurus: Jos rk A j AB I, ii B A -. Jos rk A j BA I, ii B A -. Esim. jos AB I, ii kertomll oikelt A:ll, sd ABA A AI, jote edellise lusee kohdst (4) seur, että myös BA I. Siis tulo lskemie toisi päi riittää osoittm B: kääteismtriisiksi.
4.4 Kääteismtriisi lskusäätöjä Kääteismtriisi lskemie Gussi-Jordi elimioiill use 4.4. Jos [A I] [I K], ii K A -. Perustelu: Kääteismtriisi X A - lsket rtkisemll yhtälöryhmät AX I, jotk void kirjoitt srkkeitti A i e i i,, missä i o kääteismtriisi i:s srke j e i i:s ktvektori eli yksikkömtriisi i:s srke (i:s lkio, muut olli). Tämä rtkist Gussi elimioiiss käsittelemällä ljeettu mtriisi [A e i ]. Kosk Gussi elimioii riviopertiot ovt smt kikille tällisille yhtälöryhmille i,,, e void rtkist simultisesti, kirjoittmll kikki oike puole vektorit rikki: e e (jost muodostuu yksikkömtriisi). Kolmiomuodo sijst redusoiti jtket yksikkömtriisiksi, jolloi rtkisut,, eli kääteismtriisi srkkeet void luke suor oikelt puolelt. Oletet, että A o epäsigulrie. GAUSS-JORDAN-EIINOINTI. Redusoi ljeettu mtriisi [A I] muotoo [U H], missä U o yläkolmiomtriisi.. Kerro rivit sellisill vkioill, että lävistäjälkiot. Elimioi päälävistäjä yläpuoliset lkiot olliksi, viimeisestä srkkeest lke tksepäi. Redusoitu mtriisi o tällöi muoto [I K], missä kääteismtriisi void luke oikelt: A - K. Kute Gussi lgoritmi, tätäkää ei trvitse käsi lskettess sovelt systemttisesti, kuh joteki lkeisriviopertioide vull päädytää muotoo [I K]. Esimerkki 4.4. ske kääteismtriisi A -, ku A 4 [A I] 4
jote A - Trkist! Kääteismtriisi lskemie liittotekijöide vull eli djugti vull: rmeri säätö Plutet mielii ikisempi määritelmä: Alkio ij liittotekijä o ij (-) i+j ij, missä ij o determitti jok sd poistmll lkuperäisestä determitist i. rivi j j. srke. Tällöi kääteismtriisi void lske determittie vull kvll A - [ ] det( A) ij T det( A) O (6) triisi [ ij ] T kutsut A: djugtiksi (Huom. s trkoitt myös mtriisi kompleksikojugti trspoosi). Esimerkiksi -mtriisi kääteismtriisi: A b c d A - d det( A) b c d d bc b c () Kv (6) o vrsi työläs suurille mtriiseille! Esimerkki 4.4. ske esimerki 4.4. mtriisi A kääteismtriisi liittotekijöide vull. det A 4 4 4 4 4
A - T Kääteismtriisi muit omiisuuksi Jos A o epäsigulrie eliömtriisi, ii yhtälöryhmä A b rtkisu o A - b (8) triisi käätämie o kuiteki lskellisesti työläämpää kui yhtälöryhmä rtkisemie Gussi elimioiill. Jos A o epäsigulrie, ii det(a - ) ) det( A (9) Olkoo A -digolimtriisi, merk. A dig(,,, ) O () A o epäsigulrie jos j vi jos kikki ii. Silloi A - dig(/, /,, / ) / / / O ()