Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Yleistä 1. Ratkaise yhtälöt. a) n n n n n 5 b) x 3 x 1 5 5 5 5 5 5 x 1 0 x c). Suureet x ja y ovat kääntäen verrannollisia. Kuinka monta prosenttia y kasvaa, jos x pienenee 30%? 3. Ratkaise yhtälö: x x. 4. Afrikan väkiluku oli 1999 lopussa 784 miljoonaa. Se on kasvanut vuosittain n.,3 %. Minä vuonna väkiluku sivuttaa 1000 miljoonan rajan, jos kasvu jatkuu samanlaisena? 5. Järven vesikerroksen läpi pyrkivän valon voimakkuus pienenee vesikerroksen paksuuden funktiona. Yhden desimetrin paksuinen vesikerros päästää lävitseen 85% valosta. Laske valon voimakkuus 9 dm:n syvyydessä, kun se järven pinnalla on 400 lx. Jos pimeys määritellään 1 lx valaistuksella, niin missä syvyydessä on pimeää? 6. Jaa polynomi 3x 7x 10 tekijöihin. 7. (V) Yhtälössä x 3 ax a x 0 vakio a on positiivinen ja x 1 on yksi juurista. Määritä muut juuret. 3 8. Ratkaise epäyhtälö: x 3x 0. 9. Kansainvälinen pysyvästi miehitetty avaruusasema ISS otettiin käyttöön marraskuussa 000. Asema kiertää Maata noin 400 kilometrin korkeudella. Kuinka kauan siltä kuluu yhteen kierrokseen maapallon ympäri, kun tiedetään, että Kuun kiertoaika on 7,3 vuorokautta ja sen keskietäisyys Maasta on noin 384 000 km? Maan säde on 6 370 km. Kiertoajat noudattavat Keplerin kolmatta lakia: T r, missä T = kiertoaika ja r = kiertoympyrän säde. T r 1 3 1 3 Geometriaa 10. Tasakylkisen suorakulmaisen kolmion kylki on. Kuinka suuriin osiin kantakulman puolittaja jakaa vastaisen kyljen? 11. Neliön, jonka sivun pituus on 8,0 cm, sivujen keskipisteet nimetään myötäpäivään A, B, C ja D. A keskipisteenään piirretään ympyräkaari BD ja C keskipisteenään piirretään ympyräkaari DB. Laske kaarten väliin jäävän alueen pinta-alan osuus koko neliön alasta. 1. Sadevesimittarina käytetään kärjellään seisovaa suoraa ympyräkartiota, jonka korkeus on 15 cm ja pohjan säde 0 cm. Sateen jälkeen mittarissa on vettä 7,0 cm:n korkeudella. Kuinka monta millimetriä oli sademäärä?
13. Kolmiossa 0 o ja 110 o kulmat, ja suurinta kulmaa vastaava sivu on 10. Laske kolmion ala. 14. (V) Moottori pyörittää säteeltään 3,0 cm hihnapyörää. Isomman hihnapyörän, jonka säde on 1, m, akseli on 1,5 m pienemmän hihnapyörän akselista. Hihna on pingotettu kummankin hihnapyörän ympäri (se ei kulje ristiin pyörien välissä). Moottori pyörii 3600 kierrosta minuutissa. Laske isomman hihnapyörän pyörimisnopeus ja hihnan pituus. Vektorioppi ja trigonometria 15. Ratkaise vektori x yhtälöstä x b 3a 4x b. 16. Onko u v, kun u a 3b ja v 3a 4b. 17. Osoita, että vektorit a i j k ja b j k ja c i k ovat samassa tasossa. 18. Tunnetaan vektorit a 3i 4j ja b i mj. Millä reaaliarvolla m on a) a b. b) a b. 19. Ratkaise yhtälö cos3 cos. 0. Perustele yksikköympyrän avulla, että sin x x, kun 0 x. 1. Missä pisteessä pisteiden A(6,4,7), B(0,-4,-7) ja C(-3,0,14) määräämä taso leikkaa x- akselin?. Suora L kulkee pisteiden A(-1,0,3) ja B(,,) kautta. Taso T kulkee pisteiden C(4,3,), D(1,8,3) ja E(7,5,15) kautta. Osoita, että suora L on kohtisuorassa tasoa T vastaan. Analyyttinen geometria 3. Osoita, että piste 3,7 on käyrällä 4. Suorien kulmakertoimet ovat 5. Käyräparven y x x 4. ja 3. Määritä suorien välinen suurempi kulma. 3 5 3a x ay 4y 4a 5 0 eri käyrät kulkevat kaikki saman pisteen kautta. Määritä yhteinen piste ja osoita, että se on ainoa yhteinen piste. 6. (V) Paraabeli y x x 1 erottaa suoralta y 4x 9 jänteen AB. Missä paraabelin pisteestä jänne AB näkyy suorassa kulmassa? Differentiaalilaskenta 7. Tutki, missä funktio 1 1 g( x) x x 100 6 6 on monotoninen reaalilukujoukossa. 8. Määritä funktion h( x) x 5 suurin ja pienin arvo. 9. Laske funktion f ( x) sin x 3sin x 0,. nollakohdat, ääriarvot ja suurin arvo välillä
30. Akvaarion tueksi rakennetaan alumiinikulmalistasta suorakulmaisen särmiön muotoinen kehikko. Akvaarion syvyys on puolet sen pituudesta. Mitkä ovat akvaarion mitat ja tilavuus, kun sen tilavuus on suurin? Alumiinikulmalistaa on käytettävissä 9,0 m. 31. Lammikkoon asennettu suihkulähde pumppaa vesisuihkun paraabelin muotoiselle radalle. Suihku ulottuu 5 metrin korkeudelle ja putoaa alas 4 metrin päässä lähtöpaikasta. Laske kulma, jonka lähtevä suihku muodostaa veden pinnan kanssa. 3. Missä pisteissä käyrät y x 1 ja y x 3x sivuavat toisensa? 4 7 33. (V) Olkoon f ( 0) 1 ja f ( 0) 3. Määritä lim h 0 f ( h) 1 h ja lim h 0 f (3h) 1. h 34. (V) Määritä käyrien y x ja x 10x 17 y yhteiset tangentit. 35. (V) Tiedetään, että f ( x) x 1. Määritä f (x), kun käyrälle f (x) piirretyn tangentin yhtälö on x 1y 13. 36. (V) Osoita, että funktio ( ) 1 1 y pisteeseen 1,1 k k k f x x kx x on kasvava, kun x 0 ja k. 37. (V) Kuution muotoisessa astiassa on pallonmuotoinen kivi. Astiaan kaadetaan vettä siten, että kivi juuri ja juuri peittyy. Minkä kokoisen kiven peittämiseen kuluu eniten vettä ja minkä verran vettä silloin kuluu? Kuution särmä on 1 m. Integraalilaskenta 38. Onko F( x) x 5 39. Määritä 3x 7 funktion f ( x) x 10 integraalifunktio? dx ja 4x t dt x 1 x dx. 3 40. Integroi 3 ja vielä summa 1 1 x dx x dx. 41. Määritä käyrän 3 y x 4x ja x-akselin rajaamien äärellisten alueiden pinta-alat. 4. Käyrät y x( p x) ja y x ( p x) rajaavat kumpikin erikseen x- akselin kanssa alueen, joiden pinta-alat ovat vastaavasti A ja B. Määritä parametrin p arvot, joilla alat ovat yhtä suuret: A = B. 43. (V) Paraabelit y x ja x y leikkaavat toisensa origossa ja pisteessä P. P:stä piirretään normaalit kumpaakin koordinaattiakselia vastaan. Osoita, että paraabelin kaaret jakavat muodostuvan suorakulmion kolmeen yhtä suureen osaan.
44. (V) Määritä käyrän pinta-ala. y x, kun x 0,, y-akselin ympäri pyörähtäessään rajaaman kappaleen Lukujonot 45. Laske 10 000 ensimmäisen kolmella jaollisen luvun summa. x x 3x 4x 46. (V) Millä muuttujan x arvoilla sarja 1 3 3 3 3... suppenee ja millä x:n arvolla sarjan summa on 9 8? 47. (V) Laina maksetaan takaisin neljässä vuodessa ja neljässä yhtä suuressa maksuerässä. Kuinka suuri tulee maksettavan erän olla, jotta laina ja siitä syntyvä korko tulee maksettua viimeisellä kerralla kokonaan? Lainan suuruus on 40 000 euroa ja korko on 7,5%. Todennäköisyyslaskenta 48. Oletetaan, että joka toisella ihmisellä on puhelin mukanaan. Millä todennäköisyydellä kolmella seuraavalla henkilöllä on ainakin yksi puhelin? 49. Jenkkipurukumityynyt valmistetaan liottamalla ja kuivaamalla ne vuorotellen niin kauan, että syntyy tunnusomainen muoto. Tapa synnyttää lukuisia valmistusvirheitä, jotka karsitaan punnitsemalla jokainen tyyny erikseen. Tyynyn paino on normaalisti jakautunut keskiarvolla 6,78 g ja keskihajonnalla 0,71 g. Jos lajittelija jättää kaikki painoltaan 5,93 g - 7,63 g, montako prosenttia jenkkityynyistä jää jäljelle? Millä hyväksyttävällä virhemarginaalilla hylkäysprosentti olisikin vain 10%? 50. Lentokoneeseen, jossa on tilat 70 matkustajalle, myydään tietyssä lentoyhtiössä jopa 74 lippua. Tiedetään, että lentomatkan varanneista 93% saapuu varaamalleen vuorolle. Millä todennäköisyydellä paikat riittävät kaikille saapuville? Funktiot 51. Olkoon f ( x) 3 x. Osoita, ettei f( x) 5. Määritä f g ja g f, kun f ( x) 3x ja g( x) x 1. ole sama kuin f ( x) f () ja että f ( x) f ( x). 53. Määritä funktion h x käänteisfunktio välillä,0 ( ) x 6. 54. (V) Miten olisi rajoitettava funktion aidosti kasvava käänteisfunktio? 1 f( x) x x määrittelyjoukkoa, että funktiolla olisi
Pitkä matematiikka - vastaukset Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) 1 1. n = 9 x = - x. 43% 3. x 1 4. 009 eli 10,7 vuotta 5. 93 lx, 36,866 dm eli 37 dm = 3,7 m 6. (3x + 10)(x - 1) 7. 8. x 3 tai 3 x 0 9. 1h 3 min 10. ja 11. 57 % 1. 0,5081 cm 5mm 13. 13,937 p. a. y. 14. 7,8 m ja 90 kier. min. 1 3 16. tu v... V: ei ole 15. x a b 17. c sa tb ja s = ja t = - V a b 3 4 m 0 m 1,5 18. a tb t 1,5 ja m 8 3 19. n 0. ei mahdu tähän 1. (3,0,0). AB CD 0 ja AB CE 0 3. Sijoita x = 3, y = 7 4. 105,3 o 5 5. 3, 6. 1, 7. Ei ole, koska monotoninen ainoastaan välillä,0 tai 0,. 8. Derivaatta > 0 aina, määritelty kun x 5, joten aidosti kasvava. Pienin arvo h(5) 0 eikä suurinta arvoa ole. 9. Nollakohdat tulon nollasäännöllä: x 0 tai x tai x. 3 Derivaatan nollakohdat: x tai x tai x 3,990 ja x 5,435. Suurin arvo, kun f sin 3 sin 5. 30. Mitat: 50 cm, 100 ja 75, tilavuus 375 lit. 31. 78,7 o 1 3 3., 33. 3 ja 9 4 1 3 34. Leikkauspiste:, ja derivaatat = 1 4 kyseisessä pisteessä, joten käyrät sivuavat. 35. x x x 1 4 1 7 5 1 1 6 36. Vinkki: Tutki derivaatan kulkua derivaatan derivaatasta. 37. r 40cm V 0,53m 3 F ( x) x 5 1 f ( x) x 10 38. 3 39. x 7x C, 4xt t C ja 1 3 3 x x x C. 1 1 x C 41. V: 8 1 3 40. Esim. 4 4. p = 43. y x 1 ja y 8x 16 3
44. p reli 4 3 A ydy 33,5 3 0 45. 150015000 46. x < 0, 1 3 3 9 x, x = - 47. Rekursiivinen kaava; 11 94,70 euroa 48. p = 0,5, P = 1 - P(ei puh) = 8 0,89 9 49. 77 %, 5,61 x 7,95 50. P = 0,76961 f ( x) x x 8x f ( x) x 51. 3 3 3 3 3 5. 53. y f g ( x) f g x 3 x 1 6x 3 x 6 tulee x y 6, joten 6, koska,0 h x x 1. 54. 0 < x < 1