S-11446 Fysiikka IV (Sf), II Välikoe 15 1 H vetyioi perustila eergia (ytimie välimatka 1,6 Å) verrattua systeemii, jossa perustilassa oleva vetyatomi ja H -ioi ovat äärettömä kaukaa toisistaa o,65 ev Laske a) H : eergia verrattua systeemii H H e (kaksi protoia ja elektroi äärettömä kaukaa toisistaa) b) H e : eergia H H atomie suhtee c) H : ioisaatioeergia, ku tiedetää se dissosiaatioeergia oleva 448 ev d) Ytimie Coulombi repulsio osuus H : perustilaa eergiasta e) Elektroie ja ytimie välie vuorovaikutuseergia H : perustilassa Huom A B tarkoittaa osat A ja B äärettömä kaukaa toisistaa a) H ioi hajoitetaa esi protoiksi ja cetyatomiksi, joka jälkee vetyatomi ioisoidaa Koska elektroi oletetaa oleva perustilassa se ioisaatioeergia o 13,6 ev: H = H H,65eV = H e 136eV H,65eV = H H e 16,5eV b) Vetyioi hajoitetaa esi protoiksi ja eutraaliksi vedyksi, joka jälkee vapaa elektroi aetaa protoille Viimeisessä vaiheessa saadaa takaisi elektroi sideoseergia perustilassa: H e= H H,65eV e= H H 13,6eV,65eV = H H 1,95eV c) Neutraali vetymolekyyli dissosioidaa, toie vetyatomeista ioisoidaa, joka jälkee protoi ja vetyatomi aetaa muodostaa vetymolekyyli-ioi: H = H H 4,48eV = H H e 136eV 448eV = H,65eV e 13,6eV 4,48eV = H e 15,43eV d) Ytimie coulombi repulsio saadaa yhtälöstä ( r = 1,6 Å) e E p = = 13,6eV 4πεr Tämä ei ole tarkkaa sama kui vetyatomi perustila eergia itseisarvo
e) Kohdasta d) saadaa H = H H 13,6eV Kohdasta a) saadaa H = H H e 16,5eV, josta edellee : H H = H 13,6eV e 16,5eV = e 9,85eV Tarkastellaa yksiatomista lieaarista hilaa Atomie massa o M ja atomie väliste sidoste voimavakio β Osoita, että hilavärähtelyje omiaistaajuudet saadaa yhtälöstä 1 ω = β / M si ka, missä a o hilavakio Ohje hilapaikassa olevaa atomii kohdistuu voima o ( ) ( ) β ξ ξ β ξ ξ 1 1 missä ξ o atomi poikkeama alkuperäisestä hilapaikastaa Oleta, että omiaisvärähtelyy liittyy Yksiatomie hila, joka koostuu sama alkuaiee atomeista, i tasoaalto ( t ka ξ ) Atomie välie lähiaapurietäisyys a ξe ω = ja johda tästä yhteys aaltovektorille k ja kulmataajuudelle ω Ks kirja esimerkki 73 Oletamme että idettiset atomit ovat lepotilassa etäisyydellä a toisistaa Atomi koordiaatti x-akselilla voidaa tällöi esittää muodossa x = a Merkitää luvulla ξ atomi siirtymää tasapaioasemastaa Alimmassa approksimaatiossa voimme olettaa että kuki atomi vuorovaikuttaa aioastaa kahde aapurisa kassa Tällöi atomi ja atomi ( 1) välie etäisyys kasvaa määrällä ξ 1 ξ Jos merkitsemme atomie välise voima voimavakiota β atomii kohdistuvat atomi ( 1) aiheuttama voima o tällöi β( ξ 1 ξ) Tässä yhtälössä olemme tieteki olettaeet että atomie välie voima o harmoie, mikä oki alimmassa kertaluvussa hyvä approksimaatio 1 atomii kohdistama voima o Vastaavasti voimme osoittaa että atomi ( ) vastaavasti muotoa β( ξ ) ξ 1 Nyt voimme kirjoittaa atomille klassise mekaiika mukaise liikeyhtälö muodossa
d ξ M dt ( ) ( ) ( ) = β ξ ξ β ξ ξ = β ξ ξ ξ (71) 1 1 1 1 Jos oletamme että ketju o äärettömä pitkä, voimme jättää kaikki reuaefektit huomiotta ja etsimme liikeyhtälö 71 ratkaisua tasoaaltomuodossa i( t ka e ω ξ = ξ ) (7) Tässä vaihetekijä ka muistuttaa tasoaallo vaihetekijää kx jatkuvassa aieessa eteevässä tasoaallossa Sijoittamalla yrite 7 yhtälöö 71 ja elimioimalla yhteiset tekijät saamme ika ika ( ) 4 si 1 Mω = β e e = β ka, mistä ratkaisemalla taajuude aaltovektori k fuktioa 1 ω = β M si ka (73) Tämä yhtälö kertoo atomiketjussa eteevä Kuva 7-1 Hilavärähtelyje taajuus aaltovektori värähtely taajuude se aallopituude k fuktioa fuktioa Taajuude maksimiarvo saavutetaa ku k = π a Kulmataajuude riippuvuus aaltovektorista o esitetty kuvassa 7-1 3 Alla oleva kuva esittää HBr molekyyli yhdistettyä rotaatio-vibraatio absorptiospektriä Arvioi kuvasta molekyyli voimavakio harmoisessa approksimaatiossa, sekä tasapaioetäisyys ioie H ja Br välillä Arvioi myös kaasuäyttee lämpötila, josta absorptio o mitattu Kertauksea tilastollisesta fysiikasta todettakoo, että rotaatiotila miehitystodeäköisyys o verraollie Boltzmai tekijää EL / kt P (L 1) e, missä L
EL o rotaatiotila eergia Määrää siis esi se L : arvo joka o todeäköisi ja siitä lämpötila HBr molekyyli suhteellie massa o 97 amu R- ja P-spektrie puoliväli vastaa värähtely perustaajuutta Kuvasta saadaa ω = 317meV Jousivakio o MHMBr k µω = ( ) r = M M ω = 374N/m H Br Rotaatiosiirtymie viivoje ero o dipolitrasitioille,3 mev Tästä saadaa tasapaioetäisyydeksi r = =,137 m µ E rot µr Kuvasta arvioidaa välimatkaksi Absorptio voimakkuus o verraollie rotaatiosiirtymä alkutila miehitystodeäköisyytee Kuvasta huomataa, että kolmas ja eljäs absorptiopiikki ovat voimakkaimmat Näitä vastaa alkutilat L = ja 3 Toisaalta miehitysluvu maksimiksi saadaa derivoimalla (tässä sijoitetaa rotaatioeergia lauseke miehitystodeäköisyytee, hitausmometti o 47 µr / = 151 1 kgm ) ( L ) dp L d ( 1) / ( 1)/ 1 LL IkT LL IkT (L 1) e e = = = dl dl IkT 1 4IkT Lm = 1 =tai3 ( L m 1) Tästä voimme ratkaista lämpötila T = =333K jos L = ja 6535 K jos L =3 4kI Lämpötila tarkka määräämie spektristä o siis vaikeaa 4 Todista Blochi teoreema eli osoita, että elektroi aaltofuktio hilassa, joka periodi o a ikx tulee olla muotoa k( x) e uk( x) u ( x a) u ( x) k k φ =, missä s atomie Blochi tila u k o hilaperiodie ts = Opastus: vaadi, että todeäköisyystiheyde tulee olla hilaperiodie (ks kirja esimerkki 75) Tarkastellaa kidehilaa jossa atomie välimatka o a Elektroie äkemä potetiaali toteuttaa tällöi periodisuusehdo Ep( x) = Ep( x a) Koska hilassa elektroiraketee täytyy toistua muuttumattomaa siirryttäessä hilakopista
toisee, o elektroii aaltofuktioo liittyvä todeäköisyystiheyde toteutettava sama periodisuusehto, kui elektroi äkemä potetiaalieergia, toisi saoe ψ ( x) ψ ( x a) = (1) Yhtälöstä 1 seuraa että ψ ( x a) Cψ ( x) =, missä C o suure joka toteuttaa ehdo C = 1 Näi olle voimme kirjoittaa C = e, missä k o mielivaltaie parametri Ratkaisemalla yt edellä olevasta yhtälöstä aaltofuktio pisteessä x saamme ψ ika ( x) e ψ( x a) = ika Kertomalla molemmat puolet vaihetekijällä ikx e, saamme ikx ik( x a e ψ x = e ) ψ x a ( ) ( ) Tästäseuraaettä uk ( x) e ikx ψ ( x) ollessa a Kirjoittamalla yt ( x) e u ( x) = o periodie fuktio muuttuja x suhtee, periodi ikx k ψ =, olemme todistaeet Blochi teoreema 5 Uloimpie π elektroie käyttäytymistä orgaaiste molekyylie hiiliketjuissa (esim CH 4 6 ) kuvataa usei yksiulotteisella potetiaalilaatikolla Laatiko pituus arvioidaa site, että se o molekyyli pituus, lisättyä puolet sidospituudesta molemmissa päissä Butadiii molekyylissä CH 4 6 keskimmäiste hiiliatomie etäisyys o 146 pm ja uloimpie 135 pm Molekyyli perustilassa elektroit miehittävät tilat = tilaa saakka Laske = = 3 siirtymä eergia ja vertaa sitä 17 m aallopituudella esiityvää voimakkaasee absorptioo CH 4 6 molekyylissä Hiiliatomit muodostavat CH 4 6 molekyylissä ketju, jota voidaa pitää likimai lieaarisea Valessielektroit voivat liikkua lähes vapaasti pitki hiiliketjua Ketju päissä - puole sidokse päässä uloimmista hiiliatomeista - e kohtaavat vakuumipotetiaali, joka o tyypillisesti muutamaa elektroivolttia korkeampi Voimme aproksimoida elektroitiloja 1- ulotteise laatiko avulla, joka pituus o 1 a= S1 S S = S1 3S = 551 pm Tässä S1 o keskimmäiste hiiliatomie keskiäie etäisyys ja S etäisyys keskimmäisistä Trasitioeergioiksi saadaa ulompie hiiliatomie
h E = E E = ( 1) 8 1 1 ma e missä = Sijoittamalla E3 = 6,3 ev josta aallopituudeksi saadaa: hc λ = = m E mikä o varsi lähellä kokeellista arvoa 17 m VAKIOITA 31 7 7 7 e = p = = = m 9,191 1 kg m 1,675 1 kg m 1,6748 1 kg amu 1,665 1 kg 19 8 34 4 1 c µ B e = 1,61 1 C =,9979 1 m/s = 1,545 1 Js = 9, 73 1 JT 1-1 - 6 = Ke = = Km = ε 8,8544 1 C N m 1/ 4πε µ 1, 566 1 mkgc µ / 4π 11 3 1-1 -1-3 1 A γ = 6,67 1 Nm kg N = 6,5 1 mol R = 8,3143 JK mol k=1,385 1 JK