Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden joukon B alkion f (a) B, jota kutsutaan funktion f arvoksi pisteessä a tai a:n kuvaksi tai kuvapisteeksi kuvauksessa f. Joukkoa A kutsutaan funktion f määrittely- tai lähtöjoukoksi ja joukkoa B maalijoukoksi. Huomautus Kuvaus muodostuu kolmikosta (f,a,b). Kaksi kuvausta f : A B ja g : C D ovat samat, jos A = C, B = D ja f (x) = g(x) kaikilla x A = C. 1 / 14
Esimerkki 1 Yllä olevat kuviot esittävät relaatioita joukosta {a,b,c} joukkoon {1,2,3}. Mitkä niistä ovat funktioita? Vasemmanpuoleinen kuvio ei esitä funktiota, sillä alkio c ei kuvaudu miksikään toisen joukon alkioksi. Keskimmäinen kuvio ei esitä funktiota, sillä alkio b kuvautuu kahdeksi toisen joukon alkioksi. Oikeanpuolimmainen kuvio esittää funktiota, sillä jokainen alkio (a,b,c) kuvautuu täsmälleen yhdeksi toisen joukon alkioksi. 2 / 14
Esimerkki 2 Olkoot A = {a,b,c} ja B = {0,2,4,6,8}. Määritellään f : A B seuraavasti f (a) = 0, f (b) = 4, f (c) = 0. Tällöin f on kuvaus. Sekä a:n että c:n kuva on 0. Esimerkki 3 Olkoon f sääntö, joka liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän.tällöin f on kuvaus A N, missä A = {tammi-, helmi-, maalis-, huhti-, touko-, kesä-, heinä-, elo-, syys-, loka-, marras-, joulukuu}. Nyt f (tammikuu)= 31, f (helmikuu)= 28, f (huhtikuu)= 30= f (syyskuu). 3 / 14
Esimerkki 4 Olkoon P = {toisen asteen polynomit}. Määritellään kuvaus f : P R, f (P) = 1 Esimerkiksi, jos P(x) = x 2 + 1 P,niin f (P) = 1 0 (x 2 + 1) dx= Esimerkki 5 / 1 Määritellään kuvaus f : R 2 R 2 0 0 ( 1 3 x 3 + x)= 4 3. P(x) dx. f (x,y) = (2x y,x + y). Tällöin f (0,1)= (2 0 1,0 + 1) = ( 1,1) ja f (0,0)= (2 0 0,0 + 0) = (0,0). 4 / 14
Määritelmä 2 Olkoon f : A B kuvaus. Joukon U A kuvajoukko f (U) on joukon U alkioiden kuvapisteiden muodostama joukko: f (U) = {f (a) a U} = {b B on olemassa sellainen a U että b = f (a)} B. Joukon V B alkukuva f 1 (V ) on niiden joukon A alkioiden joukko, jotka kuvautuvat joukkoon V : f 1 (V ) = {a A f (a) V } A. Huomautus Määritelmän perusteella arvojoukko f (A) B ja yleensä f (A) B. 5 / 14
Esimerkki 6 Olkoot A = {a,b,c} ja B = {0,2,4,6,8}. Määritellään f : A B kuten Esimerkissä 2: f (a) = 0, f (b) = 4, f (c) = 0. Tällöin f ({a,b}) = {0,4}, f ({a,c}) = {0}, f 1 ({6,8})=, f 1 ({0})= {a,c}ja f 1 ({0,4})= {a,b,c} = A. Lisäksi f 1 (f ({a}))= f 1 ({0})= {a,c}, f (f 1 ({0,4,6}))= f ({a,b,c})= {0,4}, f (A\f 1 ({0}))= f (A\{a,c})= f ({b})= {4} ja f 1 (B f ({a,c})= f 1 (B {0})= f 1 ({0})= {a,c}. 6 / 14
Esimerkki 7 Olkoon A kuukausien muodostama joukko ja olkoon f : A N kuten Esimerkissä 3, ts. f liittää jokaiseen kuukauteen sen päivien lukumäärän. Tällöin f (A)= {28,30,31}, f 1 ({29})=, f 1 ({28})= {helmikuu}, f 1 ({30})= {huhti-, kesä-, syys-,marraskuu} ja f (A\f 1 ({30}))= {28,31}. 7 / 14
Esimerkki 8 Tarkastellaan kuvausta f : R R, f (x) = x 2 2. Olkoot U = [0,2[ ja V =] 1,1]. Mitä ovat f (U) ja f 1 (V )? Ratkaisu. f (U)= {f (x) x U}= {x 2 2 x [0,2[} = {x 2 2 x 2 [0,4[}= [ 2,2[ ja f 1 (V )= {x R f (x) V }= {x R x 2 2 ] 1,1]} = {x R 1 < x 2 2 1}= {x R 1 < x 2 3} = {x R 1 < x 3}= [ 3, 1[ ]1, 3]. 8 / 14
Esimerkki 9 Olkoon A X. Kuvausta χ A : X [0,1], χ A (x) = { 1, jos x A, 0, jos x / A, kutsutaan joukon A karakteristiseksi funktioksi. Nyt χ 1 A ({0})= X \ A, χ 1 A ({1})= A ja kaikilla 0 < y < 1 χa 1 ({y})=. 9 / 14
Esimerkki 10 Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan, että V 1 V 2 B. Osoita, että f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Oletus: f : A B on kuvaus ja V 1 V 2 B. Väite: f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. Olkoon x f 1 (V 1 ). Määritelmän perusteella f (x) V 1. Koska V 1 V 2, niin f (x) V 2. Siis määritelmän nojalla x f 1 (V 2 ). Näin ollen väite on totta. 10 / 14
Esimerkki 11 Olkoon f : A B kuvaus. Oletetaan, että V 1,V 2 B. Osoita, että f 1 (V 1 V 2 ) = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. (i) Väite 1: f 1 (V 1 V 2 ) f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), ts. jos x f 1 (V 1 V 2 ), niin x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Todistus. Olkoon x f 1 (V 1 V 2 ). Tällöin f (x) V 1 V 2, ts. f (x) V 1 ja f (x) V 2. Määritelmän nojalla x f 1 (V 1 ) ja x f 1 (V 2 ). Siis x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). Näin ollen Väite 1 on totta. 11 / 14
Todistus. (ii) Väite 2: f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ) f 1 (V 1 V 2 ), ts. jos x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), niin x f 1 (V 1 V 2 ). Todistus. Olkoon x f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ), ts. x f 1 (V 1 ) ja x f 1 (V 2 ). Määritelmän perusteella f (x) V 1 ja f (x) V 2, joten f (x) V 1 V 2. Siis x f 1 (V 1 V 2 ). Näin ollen Väite 2 on totta. Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että f 1 (V 1 V 2 ) = f 1 (V 1 ) f 1 (V 2 ). 12 / 14
Määritelmä 3 Olkoot g : A B ja f : B C kuvauksia. Yhdistetty kuvaus f g : A C määritellään seuraavasti: (f g)(a) = f (g(a)) kaikilla a A. Esimerkki 12 Olkoot f : R R, f (x) = 2x + 3 ja g : R R, g(x) = cos x.tällöin f g : R R, (f g)(x) = f (g(x))= f (cos x)= 2 cos x + 3, g f : R R, (g f )(x) = g(f (x))= g(2x + 3)= cos(2x + 3). Erityisesti f g g f. 13 / 14
Esimerkki 13 Olkoot f : R 2 R, f (x,y) = x + y ja g : R R 2, g(t) = (2 + t,t 2 ). Tällöin f g : R R, (f g)(t) = f (g(t))= f (2 + t,t 2 )= 2 + t + t 2 = t 2 + t + 2, g f : R 2 R 2, (g f )(x,y) = g(f (x,y))= g(x + y)= (2 + x + y,(x + y) 2 ) = (x + y + 2,x 2 + 2xy + y 2 ). Esimerkki 14 Olkoot f : R 2 R, f (x,y) = x + y ja g : R R, g(t) = sin t. Tällöin g f : R 2 R, (g f )(x,y) = g(f (x,y))= g(x + y)= sin(x + y). Yhdistettyä kuvausta f g ei ole olemassa, sillä kuvauksen g maalijoukko (R) ei ole sama kuin kuvauksen f lähtöjoukko (R 2 ). 14 / 14