Simo K. Kivelä Symbolinen laskenta ja koulumatematiikan tulevaisuus Graafisia laskimia on tiukoin ehdoin jo pitkään saanut käyttää ylioppilaskokeessa. Käyttöä on kuitenkin leimannut jonkinlainen vastahakoisuus: monia toimintoja on pidetty liian pitkälle menevinä eikä niiden käyttöä ole suosittu. Vuoden 202 alusta voimaan tullut uusi laskinohje muutti tilanteen: kaikki laskimet ovat sallittuja. Tilanne ei kuitenkaan ole niin selkeä, kuin voisi luulla. Laskimen ja tietokoneen ero on katoamassa, eikä laskinohjekaan viisaasti kyllä määrittele, mitä laskimella tarkoitetaan. Symboliset toiminnot tulivat sallituiksi, mutta aina ei ole selvää, mitä kaikkea voi käyttää enempää selittämättä. Seurauksena onkin ollut ajoittain kiivaankin keskustelun herääminen. On katsottu, että uudistus on viimeinen naula matematiikan opetuksen arkkuun. Mitään ei enää tarvitse osata, kun kaiken saa laskimesta mitään ymmärtämättä. Toisaalta kaikkien laskimien sallimista on pidetty ensimmäisenä askelena matematiikan opetuksen modernisoinnissa. Yritän seuraavassa hahmotella, mitä uudistus oikeastaan merkitsee ja millaisella tiellä olemme. Valmiita ratkaisuja en esitä, se ei ole vielä tällä hetkellä mahdollistakaan. Pikemminkin tarvitsemme keskustelua muokkaamaan omia mielikuviamme ja tuomaan uusia ideoita. Mistä olemme tulossa, mihin menossa? Alunperin tietokoneet olivat matemaatikolle numeerisen laskennan välineitä. 60-luvun loppuun mennessä ensimmäisten tietokoneiden numeeriset ominaisuudet mahdutettiin taskuun sopivaan laitteeseen. Syntyi funktiolaskin. Seuraavalla vuosikymmenellä kehittyivät tietokoneiden näyttöjen graafiset ominaisuudet ja nämäkin siirtyivät taskulaskimeen: syntyi graafinen laskin. Tietokoneohjelmilla on pyritty jo 60-luvulla käsittelemään lausekkeita, ts. tekemään symbolista laskentaa: ratkaisemaan yhtälöitä, derivoimaan, integroimaan, sieventämään. Ohjelmistoista on alettu käyttää myös nimitystä CAS, Computer Algebra System. Tätä voidaan pitää symbolisen laskennan synonyyminä, vaikka jonkinlainen näkökulmaero ehkä onkin. Myös symbolinen laskenta on löytänyt tiensä taskukokoisiin laitteisiin. Tämän päivän aika kohtuuhintaisesta laskimesta löytyy työkalut numeeriseen, graafiseen ja symboliseen laskentaan. Laskentaohjelmistojen kehitykseen kytkeytyy kuitenkin myös valtava tieto- ja viestintätekniikan kehitys. Omassa taskussa oleva laskin ei ole enää ainoa vaihtoehto
työvälineeksi. Selvää on, että tietokoneeseen on saatavissa ohjelmistot, joissa on vastaavat toiminnot ja enemmänkin. Oleellisesti samat toiminnot saadaan käyttöön myös verkon kautta, ilman että itse tarvitsee asentaa juuri mitään. Välineenä voi olla myös matkapuhelin tai tablettitietokone. Internetin ns. pilvipalvelut ovat lisääntymässä: omaan laitteeseen ei asenneta mitään eikä siihen välttämättä tallenneta edes omia tiedostoja, vaan kaikki sijaitsee joillakin palvelimilla jossakin Internetin syövereissä. Käyttö sujuu, kunhan käyttäjällä on verkkoyhteys. Asiaa ennestään tuntematon lukija voi aloittaa perehtymisen antamalla Googlelle hakusanoiksi symbolic computation (ranskaksi calcul formel ) tai computer algebra system. Symbolisen laskennan pilvipalveluista kelpaa esimerkiksi Wolfram Alpha[4]. Parin dollarin hinnalla lukija saa myös älypuhelimeensa tai tablettitietokoneeseensa pikkuohjelman, joka sovittaa näytön älypuhelimeen sopivaksi. Lisää pari dollaria ja näyttöön saadaan vaikkapa differentiaali- ja integraalilaskentaan keskittyvä laskin.[5] Edellä sanotun valossa symbolisten laskimien käyttöönotto lukiossa ei ole muuta kuin yksi askel jo kauan sitten aloitetulla tiellä. Eikä tie pääty tähän. Ellei maailmassa yllättäviä muutoksia tapahdu, Internetiä käytetään jonakin päivänä myös kokeissa normaalina työvälineenä kaikenlaisia pilvipalveluja hyödyntäen. Matematiikan opetuksen ja kokeiden tulee seurata maailman muuttumista. Jokaisella aikakaudella on laskentavälineensä ja niitä on jo koulussa opittava käyttämään. Emmehän käytä enää logaritmitaulujakaan emmekä yritä harjoittaa aritmetiikkaa roomalaisiin numeroihin perustuen. Jos koulumatematiikka eroaa liian paljon siitä, mitä matematiikan käyttö muualla elämässä on, se ei enää ole relevanttia eikä kiinnosta. Asia ei kuitenkaan ole niin suoraviivainen, kuin edellä esitetty tekniikkafriikin näkökulma näyttäisi osoittavan. Pelko, että mitään ei enää osata, kun kaiken saa laskimesta, ei kumpua tyhjästä. Totta on, että monet nykyisistä matematiikan tehtävistä voidaan ratkaista laskinta näpyttelemällä juuri mitään ymmärtämättä. Kuitenkin: Jo oikeiden toimintojen löytäminen laskimesta edellyttää kykyä jäsentää tilanne jollakin tavalla. Laskin saattaa myös antaa vastauksen, joka ei ole lainkaan sitä, mitä laskija odottaa, vaan jonka ymmärtäminen edellyttää paljon laajempia matematiikan taitoja. Puhumattakaan niistä tilanteista, joissa vastaus on eri syistä johtuen yksinkertaisesti väärä. Tietotekniikan laajeneva käyttö avaa myös mahdollisuuksia oppia enemmän ja monipuolisemmin, ehkä uudesta näkökulmasta. Edellytyksenä on, että mahdollisuus halutaan hyödyntää eikä vain tyydytä tavoittelemaan samaa kuin ennenkin. Tällaisen muutoksen aikaansaaminen varsinkaan kun ei edes tarkoin tiedetä, mitä se olisi ei ole yksinkertaista. Tielle kuitenkin pitää lähteä. Millaisia tehtäviä? Edellä sanotun konkretisoimiseksi tarkastelen joitakin viime vuosien ylioppilastehtäviä. Tarkoitus ei ole sanoa, että matematiikan opetuksessa pitäisi tähdätä vain 2
ylioppilaskokeeseen. Koe vain on varsin hyvä näyte siitä, millaisiin taitoihin nykyään tähdätään. Symbolilaskimet tuovat muutoksen näkökulmiin ja jossain määrin tavoitteena oleviin taitoihin, mutta kovin järkyttävästä asiasta ei ole kyse. En toista tehtävänantoja. Ne löytyvät esimerkiksi viitteestä [6]. Viime vuosina ylioppilaskokeen alussa on ollut pari tehtävää, joissa on pyydetty ratkaisemaan yksinkertaisia yhtälöitä, sieventämään lausekkeita, derivoimaan tai integroimaan. Kaikki voidaan ratkaista sangen suoraviivaisesti symbolisella laskimella. Taito ratkaista tällaiset kynällä ja paperilla on kuitenkin edelleenkin tarpeen. Ei niinkään siitä syystä, että käsinlasku sinänsä olisi tärkeätä, vaan käsitteiden ymmärtämisen ja niiden ominaisuuksien sisäistämisen takia. Tämä on tarpeen myös laskimia ja ohjelmistoja käytettäessä. Mitään DoWhatIHope-komentoa ei tunnetusti ole. Jotta perustehtäviä opitaan ratkaisemaan myös käsin, tarvittaneen kokeita, joissa apuvälineitä ei sallita. Yksinkertaisten perusoperaatioiden ohella on testattu tärkeiksi katsottuja algoritmeja: funktion suurimman ja pienimmän arvon etsimistä esimerkiksi tarkastelemalla polynomia x 3 4x + välillä [, 2], polynomin jakamista tekijöihin esimerkkinä 2x 4 x 3 + x 2 x, lukuteorian osaamista tutkimalla, onko 46 78 + 89 67 jaollinen viidellä. Kaikki ovat tehtäviä, joista voi suoriutua löytämällä laskimesta sopivan funktion, joka antaa suoraan vastauksen. Tehtävissä on oikeastaan kyse ääriarvojen ja polynomin ominaisuuksien sekä lukuteorian alkeiden osaamisen testaamisesta. Jos tehtävistä suoriudutaan, uskotaan, että kyseiset asiat ovat hallinnassa. Tehtävä toimii siten osaamisen indikaattorina. Tämä logiikka ei kuitenkaan enää päde, jos käytössä on symbolinen laskin. Luontevaa olisikin indikaattorin käyttämisen sijasta siirtyä kysymään sitä, mitä halutaan testata. Kysymykseen voisi tulla vaikkapa lyhyen esseen kirjoittaminen aiheesta ja sopivan esimerkin muodostaminen. Tällöin tehtävä on vaativampi, mutta pakottaa toisaalta hahmottamaan asian yleisemmin. Perinteisissä tehtävissäkin on myös monia, jotka eivät oikeastaan tarvitse mitään muutoksia. Esimerkkejä ovat Penrosen laatoituksia koskeva tehtävä (kevään 20 pitkä) ja trombin sijainti Helsingin edustalla (kevään 20 lyhyt). Edellisessä tosin olisi yhtä helppoa laskea myös tarkat arvot. Tällaiset ja monimutkaisemmatkin tehtävät testaavat kykyä pitää tehtävän rakenne hallinnassa, mikä on hyvinkin tarpeellinen taito. Kun päähuomio keskittyy tähän eikä yksinkertaisten laskuvirheiden välttämiseen, on siirrytty askel kohden matematiikan soveltamisessa tarvittavia taitoja. Uutena tehtävätyyppinä voisivat olla avoimet tutkimustehtävät: onko jokin asia totta tai esitettävä hypoteesi jossakin tilanteessa. Symbolinen laskenta voi toisinaan aiheuttaa yllätyksiä, joihin tulisi osata suhtautua. Esimerkiksi funktion cos 3 x sin 2 x maksimikohtien etsiminen ja yhtälön x a = x b ratkaiseminen TI-Nspire-laskimella johtaa vaikeasti hahmotettavaan vastaukseen. Tämä on sinänsä oikea, mutta sen esitys and- ja or-operaattoreineen on sen verran mutkikas, että tulkinta ei ole aivan helppoa.[7, 8] Symbolisessa laskennassa myös usein oletetaan toimittavan kompleksialueella, jolloin em. yhtälön ratkai- 3
susta tulee todella monimutkainen.[9] Käyttäjällä tulisi olla jonkinlainen näkemys kompleksitasosta. Samantapainen tilanne saattaa syntyä derivoitaessa tan-funktiota, jolloin vastauksena voi olla sec 2 x. Käyttäjä ei saisi säikähtää, vaan hänen tulisi lähteä hakemaan sekantin määritelmää, vaikkapa Internetistä. Pilvipalvelu Wolfram Alpha puolestaan antaa syötteeseen (a + b) 2 varsin pitkän vastauksen. Joukossa on toki sekin, mitä laskija ehkä odottaa, mutta myös paljon muuta, josta on osattava valita. Mitä sitten pitäisi opettaa? Jos laskimia tai tietokoneohjelmia ja yleisemmin tietotekniikkaa halutaan matematiikan opetuksessa todella hyödyntää, tulisi kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin näkökulmiin: Tietyt perustaidot ovat edelleen tarpeellisia myös käsin laskemisen tasolla. Tavoitteena on tällöin käsitteiden ymmärtäminen ja niiden ominaisuuksien sisäistäminen, kyky analysoida laskimelle tai ohjelmalle annettavia syötteitä ja saatavia tuloksia. Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn pohjautuva tiede eikä tämä muutu miksikään laskentavälineiden muuttuessa. Laskentavälineet edellyttävät usein aiempaa laajempaa tietämystä matematiikasta. Kaikkea ei tarvitse todistaa, mutta kyky hakea eri lähteistä tietoja on tarpeen. Jonkinlaiseen universaaliin nappulatekniikkaan tulisi oppia. Yksittäisen laskimen tai ohjelmiston ominaisuuksia ei ole syytä erityisesti opettaa. Detaljitieto on kaikkein nopeimmin vanhenevaa. Sen sijaan kyky selvittää asioita manuaalista ja yleinen näkemys tarjolla olevien toimintojen luonteesta on tarpeen. Soveltavat tehtävät voivat olla aiempaa monimutkaisempiakin, koska mekaaninen laskeminen ja yksinkertaisten laskuvirheiden välttäminen ei ole ongelma. Oleellista on oppia pitämään laskenta hallinnassa: mitä tehdään, miksi, missä järjestyksessä. Symboliset laskimet ja ohjelmat sisältävät yleensä mahdollisuuden ohjelmointiin. Kyse ei tällöin ole varsinaisista ohjelmointikielistä, vaan peräkkäin suoritettavien toimintojen pakkaamisesta yhdeksi mahdollisesti parametreista riippuvaksi kokonaisuudeksi. Ohjelmoinnin idean oppiminen avaisi uusia mahdollisuuksia sekä matematiikan opiskeluun että teknistyvän maailman ymmärtämiseen yleisemminkin. On selvää, että tietotekniikan ja laskentavälineiden ottaminen käyttöön matematiikan opetuksessa on pitkä prosessi eikä se edes välttämättä etene siten, kuin tällä hetkellä ajatellaan. Uusien ajatusten täytyy löytää tiensä opetussuunnitelmiin ja 4
oppikirjoihin, opettajakunnan täytyy pohtia niitä ja kouluttautua niihin. Prosessin askelmerkit voisivat olla seuraavat:. askel: Laskimia ja ohjelmia käytetään irrallisissa tehtävissä. Tyypillisiä esimerkkejä ovat yhtälön x 2 4x+ = 0 ratkaiseminen ja funktion cos 3 x sin 2 x derivointi. Yhtä hyvin kuitenkin voidaan ratkaista yhtälö x 3 + x 2 5x + = 0 tai laskea integraali 2 e x2 dx, vaikka nämä ovatkin jo laajennuksia vanhaan nähden: yhtälöä ei käsinlaskulla osattaisi ratkaista eikä integrointi alkeisfunktioiden avulla onnistu. Symboliset järjestelmät kuitenkin suoriutuvat niistä, mutta laskijan täytyy ymmärtää saatava tulos. 2. askel: Laskimesta tai mieluummin tietokoneohjelmasta tulee työskentely-ympäristö. Välitulokset talletetaan muistiin sopivalla (kuvaavalla!) nimellä ja niitä käytetään syötteinä laskun myöhemmissä vaiheissa. Tehtävän ratkaiseminen tapahtuu kokonaan laskimessa tai tietokoneohjelmassa. Tällöin korostuu tehtävän kokonaisuuden hahmottamisen tärkeys. Esimerkkinä on funktion f(x) = x 3 3x 2 + 2x + ääriarvojen etsiminen laskemalla derivaatan nollakohdat (työvälineenä lakentaohjelma Mathematica).[0] Alkeellinen ohjelmointi on työskentelytavalle luonteva jatko. 3. askel: Edellä kuvatusta tehtävän ratkaisusta muodostetaan dokumentti kirjoittamalla laskennan lomaan perusideat, selitykset ja tarkemmat perustelut. Edellytyksenä on, että laskin tai ohjelma riittävän hyvin tukee tekstien kirjoittamista laskusyötteiden lomaan. Paperille tulostettu dokumentti voidaan jättää vaikkapa kokeen tarkastajalle. Esimerkkinä on kevään 20 pitkän matematiikan kokeen kaarevuusympyröitä käsittelevä tehtävä 5 (ratkaistuna Mathematicalla).[] Millaisia laskimia tai ohjelmistoja on tarjolla? Tällä hetkellä olemme astumassa ensimmäistä askelta ja tarjolla olevat symboliset laskimet vastaavat tarpeisiin kohtalaisen hyvin. Ongelmat ovat kuitenkin nähtävissä: laskimen käyttö muistuttaa avaimenreiän kautta työskentelyä eikä anna kovin hyviä mahdollisuuksia toisen askelen ottamiseen. Pelkästään siirtyminen laskimen toimintoja vastaavan tietokoneohjelman käyttämiseen helpottaa tilannetta paljon. Onneksi tällainen ohjelma on yleensä saatavissa. Useiden laskimien ja vastaavien tietokoneohjelmien käyttöä vaikeuttaa kunnollisen dokumentaation puute. Toimintoja ja niiden ominaisuuksia ei ole helppoa löytää ja dokumentaatio voi olla niin huonosti käännetty, että suomenkielisen voi ymmärtää vain ajattelemalla, mitä se on mahtanut olla englanniksi. Tilannetta vaikeuttaa lisäksi, että suomenkielinen terminologia ei kaikilta osin ole vakiintunutta eikä kääntäjä ole jäänyt asiaa pohtimaan. Toisen askelen ottaminen edellyttänee tietokoneohjelmiin siirtymistä. Vaihtoehtoja on useita, mutta ideaalista ratkaisua on vaikeata löytää. Laskimien mukana tulevat ohjelmistot ovat hyvä alku, mutta niiden toivoisi kehittyvän rakenteeltaan ja käyttöliittymältään selkeämmiksi ja yksinkertaisemmiksi. Opiskelun kohteen tulee olla matematiikka, ei ohjelmiston erikoisuudet. Toisena vaihtoehtona voisivat olla 5
varsinaiset symboliset laskentaohjelmat. Ongelmana on, että ne ovat joko ilmaisia ja hieman vanhahtavia (kuten Maxima) tai moderneja ja aivan liian kalliita (kuten Mathematica). (En luettele eri vaihtoehtoja. Tarkemmin esimerkiksi viitteessä [].) GeoGebra on suurta suosiota saavuttanut dynaamisen geometrian ohjelma, johon on luvassa myös symbolisen laskennan osio. Tämän kehitysversioita on saatavissa, mutta ne antavat vaikutelman, että paljon työtä on vielä tehtävänä.[2] Oman kehityssuuntansa muodostavat verkko- ja pilvipalvelut, ehkä merkittävimpinä esimerkkeinä Wolfram Alpha ja Sage [4, 3]. Pyrkimyksenä on saada nämä toimimaan myös tablettitietokoneissa ja matkapuhelimissa. Aika näyttää, mihin kehitys vie. Kolmatta askelta, dokumentin laatimista tehtävän ratkaisusta, pitäisin tavoittelemisen arvoisena päämääränä. Sehän mahdollistaisi matematiikan ylioppilaskokeen kirjoittamisen tietokoneella, mutta tärkeämpää olisi vähitellen oppia kirjoittamaan raportiksi kelpaavaa tekstiä myös matematiikasta. Koulumaailmaan sopivia työskentely-ympäristöjä ei kuitenkaan toistaiseksi ole. Mathematica (jolla on laadittu edellä mainitut esimerkit) on sinänsä hyvä ympäristö, Maple on toinen, mutta kumpikin on varsin kallis eikä alkuunpääsykään ole aivan helppoa. Käyttökelpoisia ratkaisuja siis joudumme odottamaan, mutta ajan voi toki käyttää hyödyksi tutkimalla tarjolla olevia vaihtoehtoja ja kehittämällä omaa näkemystä. Uhat ja mahdollisuudet Kaikkiaan olemme jonkinlaisessa tienhaarassa. Jos symboliset laskimet tai tietokoneohjelmat otetaan käyttöön ja niillä ratkaistaan vain yksinkertaisia perustehtäviä, unohdetaan varsinainen matematiikan opiskelu. Matematiikasta jää jäljelle tällöin nappulatekniikan opettelu, ja skeptikoiden pelot ovat toteutuneet. Vaihtoehtona on ottaa vastaan tekniikan kehityksen tuomat mahdollisuudet ja pyrkiä näiden avulla opettamaan matematiikkaa hieman laajemmin ja syvemmin, vanhoista tottumuksista irroten. Tällöin matematiikasta ja sen merkityksestä voidaan myös antaa monipuolisempi kuva. Uuteen lähteminen ei koskaan ole helppoa, tässä se voi vielä olla tavallistakin hankalampaa, jos kehitys tai muutos, miten vain on yhtä nopeaa kuin se viime vuosikymmeninä on ollut. Aikaa tarvitaan, mutta haaste on otettava vastaan. Viitteet [] http://en.wikipedia.org/wiki/computer_algebra_system [2] http://www.geogebra.org/cms/ [3] http://www.sagemath.org/ [4] http://www.wolframalpha.com/ 6
[5] http://products.wolframalpha.com/mobile/ [6] http://intmath.org/other/yoteht/ [7] Maksimin TImax.png etsintä / TI-Nspire [8] TIabs.png [5] http://products.wolframalpha.com/mobile/ [9] Mabs.png [6] http://intmath.org/other/yoteht/ [0] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [] Mkaarevuus.pdf [8] Itseisarvoyhtälö TIabs.png / TI-Nspire [5] http://products.wolframalpha.com/mobile/ [9] Mabs.png [6] http://intmath.org/other/yoteht/ [0] Mmaxmin.pdf [7] TImax.png [] Mkaarevuus.pdf [8] TIabs.png [9] Itseisarvoyhtälö Mabs.png / Mathematica [0] Mmaxmin.pdf [] Mkaarevuus.pdf 7
[7] TImax.png [8] TIabs.png [9] Mabs.png [0] Ääriarvotehtävä Mmaxmin.pdf kokonaisuudessaan Mathematicalla laskettuna [] Mkaarevuus.pdf taso2esim.nb In[]:= f = x^3 3 x^2 + 2 x + Out[]= + 2 x 3 x 2 + x 3 In[2]:= Plot f, x,, 3 2.5 2.5 0.5-2 3-0.5 Out[2]= In[3]:= Graphics f = D f, x Out[3]= 2 6 x + 3 x 2 In[4]:= dernollat = Solve f 0, x Out[4]= x 3 3 3, x 3 3 + 3 In[5]:= funarvot = f. dernollat Out[5]= + 2 3 3 3 3 3 3 2 + 3 3 3, + 2 3 + 3 3 + 3 2 + 27 3 3 27 3 + 3 3 In[6]:= funarvot Simplify 2 Out[6]= + 3 3, 2 3 3 In[7]:= funarvot N Out[7]=.3849, 0.65 7
[8] TIabs.png [9] Mabs.png [0] Mmaxmin.pdf [] Kaarevuustehtävä Mkaarevuus.pdf Mathematicalla laskettuna ja selityksillä varustettuna taso3esim.nb In[]:= f x_ = x^2 Out[]= x 2 Kohta a) Yleinen ympyrän yhtälö: In[2]:= ympyra = x a ^2 + y b ^2 r^2 Out[2]= a + x 2 + b + y 2 r 2 Vaatimukset, että ympyrä kulkee pisteiden O, A ja B kautta: In[3]:= ehto = ympyra. x 0, y f 0 Out[3]= a 2 + b 2 r 2 In[4]:= ehto2 = ympyra. x t, y f t Out[4]= a t 2 + b + t 2 2 r 2 In[5]:= ehto3 = ympyra. x t, y f t Out[5]= a + t 2 + b + t 2 2 r 2 Ratkaistaan ehdoista kertoimet r, a ja b (t:n funktioina): In[6]:= kertoimet = Solve ehto, ehto2, ehto3, a, b, r Out[6]= r 2 t2, a 0, b 2 + t2, r 2 + t2, a 0, b 2 + t2 Valitaan positiivinen r: In[7]:= Out[7]= r t_ = r. kertoimet 2 2 + t2 7 Kohta b) Raja-ympyrän säde raja-arvona: In[8]:= Out[8]= r0 = Limit r t, t 0 2
taso3esim.nb 2 Kohta c) Raja-ympyrän yhtälö: In[9]:= ymp0 = ympyra. kertoimet 2. t 0 Out[9]= x 2 + 2 + y 2 4 Ratkaistaan tästä y ja valitaan se lauseke, joka antaa alapuolisen kaaren: In[0]:= rtk = Solve ymp0, y Out[0]= y 2 4 x2, y 2 + 4 x 2 In[]:= Out[]= g x_ = y. rtk 4 x 2 2 Kohta d) Toiset derivaatat: In[2]:= f'' 0 Out[2]= 2 In[3]:= g'' 0 Out[3]= 2 In[4]:= r0 Out[4]= 2 Kuvio: (seuraava sivu) 0
taso3esim.nb 3 In[5]:= fkuva = Plot f x, x,, 0.8 0.6 0.4 0.2 - -0.5 0.5 Out[5]= In[6]:= Graphics gkuva = Plot g x, x, 2, 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0. -0.4-0.2 0.2 0.4 Out[6]= In[7]:= Graphics Show fkuva, gkuva 0.8 0.6 0.4 0.2 - -0.5 0.5 Out[7]= Graphics