Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa
|
|
- Maija-Leena Rantanen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka
2 Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan ylioppilaskirjoituksissa keväästä 2012 alkaen. Symbolinen laskin eroaa graafisesta laskimesta toiminnoiltaan merkittävästi, joten tehtävien ratkaiseminen muuttuu. Symbolisissa laskimissakin on eroja, joten käytin tutkimiseen neljää erilaista laskinta. Käyttämäni laskimet olivat Casio ClassPad 330, HP 40gs, TI-Nspire CX CAS ja Microsoft Mathematics. Tutkin matematiikan ylioppilaskirjoitusten tehtävien merkityksen muuttumista ratkaisemalla vuoden 2011 kevään ja syksyn tehtävät. Katsoin myös malliratkaisut MA-FY Valmennus Oy:n Internet-sivuilta löytyvistä ratkaisuista. Tehtävien vaiheiksi laskin jokaisen merkittävän tehtävänosan. Kevään tehtävissä 1, 2, 3, 6 ja 10 sekä syksyn tehtävissä 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 14 laskin jokaisen yhtäsuuruusmerkin välisen osan. Muissa tehtävissä on yhdistetty joitakin peräkkäisiä laskimella ratkaistavissa olevia vaiheita, kuten yhtälön tai yhtälöparin ratkaiseminen. Vaiheeksi laskin myös mahdollisen tarvittavan yhtälön luomisen annetuista tiedoista. Vaiheeksi ei ole laskettu havainnollistavien kuvien piirtämistä, vaiheiden selittämistä eikä matemaattisen todistuksen johtopäätöksen kirjaamista. Näistä ratkaisuista laskin tehtävien vaiheiden lukumäärän. Tämän jälkeen katsoin, montako vaihetta symbolinen laskin tekee. Pitkän matematiikan alkupään tehtävien lähes kaikki vaiheet voidaan ratkaista symbolisella laskimella. Kaikki symboliset laskimet osaavat laskea derivaatat ja integraalit sekä ratkaista yhtälöt. Symbolinen laskin ei tuonut merkittävää lisäetua todistustehtäviin, todennäköisyyslaskentaan, numeriikkaan, geometriaan eikä analyyttiseen geometriaan. Jos kustakin kokeesta valitaan ne kymmenen tehtävää, joissa symbolisella laskimella voidaan suorittaa suurin osuus tehtävän suoritukseen vaadittavista välivaiheista, niin keväällä 2011 laskimella olisi voitu suorittaa 93,2 % kaikista ylioppilaskokeen välivaiheista ja syksyllä 77,8 %. Siten laskimen merkitys on todella merkittävä.
3 Sisällysluettelo 1. Johdanto Symboliset laskimet Symbolinen laskin yleisesti Casio ClassPad HP 40gs TI-Nspire CX CAS Microsoft Mathematics Tutkimusmenetelmä Matematiikan ylioppilastehtävät Pitkän matematiikan tehtävät Tulokset Pitkä matematiikka Esimerkkitehtäviä Johtopäätökset Lähdeluettelo Liite 1: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset kevät 2011 Liite 2: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset syksy 2011
4 1 1. Johdanto Ylioppilastutkintolautakunta sallii symboliset laskimet ylioppilaskirjotuksissa alkaen. Matematiikan ylioppilastehtävien luonnetta muutetaan aikaisintaan kolmen vuoden jälkeen, sillä tällä hetkellä lukiossa olevilla ei ole ollut mahdollisuutta käyttää symbolista laskinta koko lukioaikaa. (Kinnunen, 2011) Tämä uudistus vaikuttaa myös opetukseen, sillä opettajat joutuvat ottamaan huomioon laskimen käytön opettelemiseen menevän ajan. Oppikirjat ovat kuitenkin vielä ajalta ennen symbolista laskinta (Lappi & Lappi, 2011). Symbolinen laskin vaikuttaa matemaattisten tehtävien ratkaisemiseen. Symbolisesta laskimesta löytyvät lähes kaikki lukiotason matematiikassa tarvittavat toiminnot, joten oppilaan aivojen työmuistia ei kulu yhtälöjen ratkaisemiseen ja sieventämiseen (Lappi & Lappi, 2011). Joistain matematiikan ylioppilastehtävista saattaa tulla vain näppäilytaitoa vaativia tehtäviä, mutta osaan tehtävistä tämä uudistus ei vaikuta lainkaan. Symbolisten laskinten käytöstä Suomessa ei ole laajaa kokemusta, mutta keskustelua on syntynyt. Simo Kivelä on puhunut blogissaan niiden käyttöönotosta lukioihin ja ratkaissut kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset TI-Nspire CX CAS kämmenlaitteella, Wolfram Alpha-ohjelmistolla ja Mathematica-ohjelmistolla (Kivelä, 2011). Matematiikan opettaja Merja Vihtilä pohtii symbolisen laskimen tuoman uudistuksen seurauksia. Vihtilä miettii, mitkä ovat tarvittavat laskut ja vaiheet ratkaisuissa tämän uudistuksen jälkeen. Vihtilän mukaan laskin saattaa tuoda eriarvoisuutta, jos kaikkilla kouluilla ei ole varaa käyttää niin paljoa resursseja symbolisen laskimen köytön opiskeluun ja opettamiseen. (Vihtilä, 2011) Lenni Haapasalo on kirjoittanut artikkelin Dimensio-lehteen. Tässä artikkelissa Haapasalon mukaan uudistus on hyvä ja kannustaa opiskelijoita itsenäisempään opiskeluun, jos symbolisia laskimia osataan käyttää oikein. (Haapasalo, 2011) Tämän tutkielman tarkoituksena on arvioida perinteisten matematiikan ylioppilastehtävien vaikeustason ja luonteen muuttumista, kun symboliset laskimet sallitaan. Tutkimusmenetelmänä käytettään tehtävien laskemista ja arviointia laskimen tuovan avun määrästä. Lisäksi vertaillaan kolmea kilpailevaa laskinta ja ilmaista tietokoneohjelmaa.
5 2 2. Symboliset laskimet 2.1 Symbolinen laskin yleisesti Graafisen laskimen ja funktiolaskimen toimintojen lisäksi symbolinen laskin ratkaisee yhtälöt, derivaatat, integraalit ja monet muut laskut helposti. Osa symbolisista laskimista näyttää laskulle välivaiheet, jotta käyttäjä tietää mitä laskin on tehnyt. Arvioin symbolisia laskentavälineitä toimintojen ja käyttöönottokynnyksen perusteella. Casio, HP ja Texas Instrumental ovat laskimia ja Microsoft Mathematics on tietokoneelle ladattava ohjelma, jonka kuka tahansa voi ladata ilmaiseksi Internetistä ja asentaa erilaisiin laitteisiin. 2.2 Casio ClassPad 330 Casio ClassPadissa (kuva 1) on kosketusnäyttö, joka erottaa sen muista kokeilemistani symbolisista laskimista. ClassPad on hyvä valinta, jos tarvitsee helppokäyttöisen symbolisen laskimen. ClassPadissa on kaikki samat toiminnot kuin muissakin symbolisissa laskimissa. Joidenkin toimintojen syntaksi on katsottava käyttöohjeesta, mutta muuten sen käyttäminen on helppoa. ClassPad on helppo ottaa käyttöön ja sen mukana tulee suomenkielinen pikakäyttöpas. ClassPadiin ei saa suomea käyttökieleksi. 2.3 HP 40gs HP 40gs (kuva 1) on käyttöliittymältään kokeilemistani laskimista huonoin, sillä toiminnot olivat hanakala löytää ja vaativat ohjekirjan selailua. Välisievennykset saa näkyviin helpommin kuin Casiossa ja Texas Instrumentalissa. HP:n käyttämistä varten on hyvä perehtyä sen käyttöohjeisiin huolella. HP 40gs antaa myös funktion ääriarvojen ratkaisemista varten kaikki välivaiheet eli funktion derivaatan, funktion kulkukaavion ja ääriarvot. HP 40gs sisältää symbolisen laskimen perustoimintojen lisäksi myös kolmion ratkaisijan, joka ratkaisee kolmion kulmat ja sivujen pituudet. HP 40gs vaatii eniten ohjeisiin perehtymistä, joten sen käyttöönottokynnys on suurempi kuin muiden käyttämieni laskinten.
6 3 2.4 TI-Nspire CX CAS (Kuva 1) Casio ClassPad 330 ja HP 40gs Texas Instrumentalin TI-Nspire CX CAS kämmenlaite (kuva 2) sisältää tavalliset symbolisen laskimen toiminnot. Värinäyttö, suomen kieli ja laskujen tallentuminen tiedostoiksi ovat TI-Nspiren vahvuuksia. Pidin TI-Nspiressä erityisesti yhtälöryhmien ratkaisemisesta, sillä se oli yksinkertaista. Valitaan vain yhtälöiden määrä, ratkaistavat muuttujat ja kirjoitetaan yhtälöt ja enter-näppäintä painamalla saadaan muuttujat ratkaistuksi. TI-Nspiren näppäimistö on mielestäni parempi kuin muiden. TI-Nspiren käyttöönottokynnys on matala suomenkielisen ohjelmiston ansiosta. 2.5 Microsoft Mathematics Microsoft Mathematics on tietokoneohjelma, joten sitä ei voi ottaa ylioppilaskirjoituksiin mukaan, jos sitä ei asenna laskimen näköiseen päätelaitteeseen. Mathematicsissa on kaksi osaa, laskimen näköinen valikko ja laskentataulukko tai kaaviointi (kuva 3). Mathematics näyttää osalle tehtävistä ratkaisuvaiheet selityksineen, joten se auttaa eniten tehtävien ratkaisemisessa. Mathematicsissa on myös kolmion ratkaisija, joka ratkaisee kolmion kulmat, sivut ja pinta-alan.
7 4 (Kuva 2) TI-Nspire CX CAS (Kuva 3) Kuvakaappaus Microsoft Mathematicsista
8 5 3. Tutkimusmenetelmä Tutkin matematiikan ylioppilaskirjoitusten tehtävien merkityksen muuttumista ratkaisemalla vuoden 2011 kevään ja syksyn tehtävät. Luokittelin tehtävät laskimen tuoman edun, tehtävätyypin ja käytettyjen toimintojen perusteella. Tämän jälkeen luokittelin tehtävät. Tähän käytin apuna Arithmetic Complexity -järjestelmää, eli ovatko laskut yksivaiheisia vai monivaiheisia (Leung & Silver, 1997). Laskin kustakin tehtävästä montako vaihetta sen ratkaisemiseen tarvitaan. Tämän jälkeen katsoin, montako vaihetta symbolinen laskin tekee. 3.1 Matematiikan ylioppilastehtävät Matematiikan ylioppilaskokeessa on 15 tehtävää. Pitkässä matematiikassa kaksi viimeistä on haastavampia tehtäviä, jotka tunnetaan myös nimellä tähtitehtävä. Tehtävät ovat järjestyksessä likimain vaikeustason mukaisesti eli alkupuolen tehtävät ovat helpompia kuin loppupuolen. Syventävien kurssien tehtävät ovat yleensä vaikeustasosta riippumatta juuri ennen tähtitehtäviä. Ylioppilaskokeessa saa vastata enintään 10 tehtävään ja useampiosaisessa tehtävässä tulee vastata kaikkiin kohtiin. (Ylioppilastutkintolautakunta, 2011) 3.2 Pitkän matematiikan tehtävät Pitkän matematiikan tehtävistä tarkastelussa olivat vuoden 2011 kevään ja syksyn ylioppilaskirjoitukset. Tehtävät löytyvät liitteistä 1 ja 2. Ratkaisin tehtävät ja katsoin myös malliratkaisut MA-FY Valmennus Oy:n Internet-sivuilta löytyvistä ratkaisuista (MA-FY Valmennus, 2011). Näistä ratkaisuista laskin tehtävien vaiheiden lukumäärän. Tehtävien vaiheiksi laskin jokaisen merkittävän tehtävänosan. Kevään tehtävissä 1, 2, 3, 6 ja 10 sekä syksyn tehtävissä 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja 14 laskin vaiheiksi jokaisen yhtäsuuruusmerkin välisen osan. Muissa tehtävissä on yhdistetty joitakin peräkkäisiä laskimella ratkaistavissa olevia vaiheita, kuten yhtälön tai yhtälöparin ratkaiseminen. Vaiheeksi laskin myös mahdollisen tarvittavan yhtälön luomisen annetuista tiedoista. Vaiheeksi ei ole laskettu havainnollistavien kuvien piirtämistä, vaiheiden selittämistä eikä matemaattisen todistuksen johtopäätöksen kirjaamista. Taulukoissa 1 ja 2 tehtävät ovat luokiteltu tehtävän numeron, tehtäväntyypin, vaiheiden määrän, symbolisen laskimen tekemien vaiheiden ja symbolisen laskimen tuoman hyödyn mukaan. Lisäksi taulukoon on merkitty, jos graafinen laskin olisi tehnyt saman sekä
9 6 tarvitseeko tehtävän ratkaisemiseen oivalluksen. Taulukossa on käytetty lyhennettä MM, joka tarkoittaa Microsoft Mathematicsia. Taulukon loppuun on koottu yhteenveto kaikista kokeen tehtävistä. Tehtävän Tehtävän- Tehtävän Symbolisen Vaatii Graafinen Symbolisen numero tyyppi vaiheet laskimen oival- olisi tehnyt laskimen tuoma tekemät luksen saman hyöty vaiheet 1 Yhtälön ratkaisu (MM) 4 (muut) 15/15 (MM) 4/15 (muut) 2a Prosenttilasku 3 3 x 3/3 2b Kulmakerroin 3 3 x 3/3 2c Sievennys 3 2 (HP) 1 (muut) 2/3 (HP) 1/3 (muut) 3a Yhtälön ratkaisu 2 2 2/2 3b Derivointi 3 3 3/3 3c Integrointi 4 4 4/4 4 Polynomin määritys 5 3 3/5 5 Ääriarvojen määritys 6 6 6/6 6 Todennäköisyys x 10/10 laskenta 7 Geometria 8 8 x x 8/8 8 Vektorit 9 9 x 9/9 9 Lukujonot 7 4 4/7 10 Integraali 8 3(HP) 2(muut) x 3/8 (HP) 2/8 (muut) 11 Funktion 14 7 x 7/14 ominaisuudet 12 Lukuteoria 9 0 x 0/9 13 Tekijöihin jako 6 6 x 6/6 14 Funktion 20 7 x 7/20 ominaisuudet 15 Analyyttinen x 10/12 geometria YHTEENSÄ (MM) 94 (HP) 92 (muut) /147(MM) 94/147 (HP) 92/147 (muut) (Taulukko 1) Kevät 2011 pitkä matematiikka
10 7 Tehtävän numero Tehtäväntyyppi Tehtävän vaiheet Symbolisen laskimen tekemät Vaatii oivalluksen Graafinen olisi tehnyt saman Symbolisen laskimen tuoma hyöty vaiheet 1a, c Yhtälön ratkaisu 11 11(MM) 3(muut) 11/11(MM) 3/11(muut) 1b Geometria 2 1 x 1/2 2a Sievennys 3 1 1/3 2b Yhtälöparin ratkaisu 9 9(MM) 3(muut) 9/9(MM) 3/9(muuut) 2c Derivointi 3 3 3/3 3a, b Yhtälön ratkaisu 16 2 (muut) 2/16 MM ei osaa ilman lisäsievennys tä 3c Analyyttinen 2 1 x 1/2 geometria 4a Derivointi 2 2 2/2 4b Sievennys 2 2 (HP) 1 (muut) 2/2 (HP) 1/2 (muut) 4c Integrointi 4 3(HP) 2(muut) 3/4 (HP) 2/4 (muut) 5 Vektorit 5 5 5/5 6a Raja-arvo 4 1 x 1/4 6b Yhtälön ratkaisu 12 3(MM) 2(muut) 3/12 (MM) 2/12(muut) virhe (HP) 7 Verranto 8 4 4/8 8 Todennäköisyys 9 8 x x 8/9 laskenta 9 Funktion 10 5 x 5/10 ominaisuudet 10 Ääriarvot ja 6 2 x 2/6 nollakohdat 11a, b Osoita, että x 3/5
11 8 11c Raja-arvo 5 1 1/5 12a Derivointi 1 1 1/1 12b Jatkuvuus 3 2 x 2/3 12c Numeriikka 5 4 x 4/5 13 Todistus 9 0 x 0/9 14a Integrointi 3 3 3/3 14b Lukujonot 18 7 x 7/18 14c Raja-arvo 6 3 3/6 15 Geometrinen todistus 26 0 x 0/26 YHTEENSÄ (MM) 73 (HP) 70 (muut) /189(MM) 73/189(HP) 70/189(muut) (Taulukko 2) Syksy 2011 pitkä matematiikka 4. Tulokset 4.1 Pitkä matematiikka Kevään 2011 pitkän matematiikan ylioppilaskirjoituksissa symbolinen laskin olisi ratkaissut kokonaan tehtävät 1, 3, 5, 6, 7, 8 ja 13. Näistä graafinen laskin olisi ratkaissut kokonaan tehtävät 6 ja 7 sekä tehtävän 2 a- ja b-kohdan. Täydelliseen ratkaisuun olisi kuitenkin vaadittu myös vaiheiden selittämistä tehtävissä 7, 8, 10 ja 13. Syksyllä 2011 pitkän matematiikan tehtävistä suoraan ei olisi ratkennut mikään tehtävä kokonaan, mutta tehtävien 1, 4 ja 12 a- kohta ja tehtävän 2 b- ja c-kohta olisi ratkennut suoraan. Hyvin vähällä selityksellä tehtävistä 1b, 3c, 8 ja 12c olisi saanut täydellisen ratkaisun. Jos yhtälön ratkaisu tehtävissä tarvitaan kaikki välivaiheet, niin kevään tehtävässä 1 ja syksyn tehtävissä 1a, 1c ja 2b täydellistä ratkaisua ei olisi saatu suoraan ilman Microsoft Mathematicsia. Myös HP 40gs antoi osaan tehtävistä enemmän apua kuin muut laskimet. Osaan tehtävistä symbolinen laskin ei tuonut mitään hyötyä. Nämä tehtävät olivat kevään tehtävät 6, 7 ja 12 ja syksyn tehtävät 8, 13 ja 15. Tehtävissä 6, 7 ja 8 tämä johtui siitä, että graafinen laskin tekee kaikki samat vaiheet, joten sillä ei ole väliä kumpi laskin on käytössä. Tehtävät 12, 13 ja 15 olivat tyypiltään sellaisia, että laskimesta ei ole hyötyä tehtävän ratkaisemiseen. Esimerkiksi geometrian tehtäviin ja erityisesti geometriset todistustehtäviin symbolinen laskin ei vaikuta lainkaan. Osaan tavallista todistustehtävistä symbolinen laskin ei
12 9 vaikuta juuri lainkaan, sillä todistus- ja osoitustehtävistä ei ratkennut suoraan juuri mikään vaihe. Myös todistustehtävistä osasuoritus voi vaatia sieventämistä tai yhtälön ratkaisua, jotka saa suoraan laskimesta. Näitä tehtäviä olivat kevään tehtävä 12 ja syksyn tehtävä 13. Symbolinen laskin ei tuo myöskään lisäetua todennäköisyyslaskentaan, numeriikkaan, geometriaan eikä analyyttiseen geometriaan. Näiden tehtävien ratkaisemiseen ei vaikuttanut käytettävissä oleva laskin. Suurin osa näistä tehtävistä ratkeaa helposti taulukkokirjan avulla ja tarvittavat laskutoimitukset ovat hyvin yksinkertaisia. Näitä tehtäviä olivat kevään tehtävistä tehtävät 6 ja 7 sekä syksyn tehtävistä tehtävä 8 ja tehtävän 12 c-kohta. Syksyn ja kevään ylioppilaskokeen lopputulokset poikkeavat toisistaan. Kevään kokeessa symbolinen laskin olisi tehnyt noin 100/150 vaihetta, syksyllä tämä suhde olisi ollut noin 80/190. Kokeet olivat vaikeustasoltaan erilaiset, sillä on mahdotonta tehdä joka vuodeksi samantasoinen koe. Jos kustakin kokeesta valitaan ne kymmenen tehtävää, joissa symbolisella laskimella voidaan suorittaa suurin osuus tehtävän suoritukseen vaadittavista välivaiheista, niin keväällä 2011 laskimella olisi voitu suorittaa 93,2 % kaikista ylioppilaskokeen välivaiheista ja syksyllä 77,8 %. Siten laskimen merkitys on todella merkittävä. 4.2 Esimerkkitehtäviä Alla olevat tehtävät 1-4 ratkeavat suoraan symbolisella laskimella. 1 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte ( ) Ratkaisu 1 2 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte ( ) Ratkaisu 1
13 10 3 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte ( ) Tuloste 4 (Asteet/Reaaliluvut) Syöte Tuloste Desimaalituloste
14 11 (Kuva 4) Tehtävä 3 ratkaistuna käyttäen toimintoa näytä välivaiheet Seuraavat kaksi tehtävää eivät ratkea symbolisen laskimen avulla, vaan ne täytyy tehdä lähes kokonaan itse. Kevät 2011 tehtävä 12: Tutki, onko luku jaollinen viidellä. Syksy 2011 tehtävä 13: Osoita epäsuoraa todistusta käyttämällä, että lg 50 ei ole rationaaliluku. (lg = log 10 ) Syksyn 2011 pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa tehtävänä 10 oli funktion ääriarvojen määritys. HP 40gs ratkaisee ääriarvot lähes täydellisesti, sillä se kertoo välivaiheena derivaatan, antaa funktiosta kulkukaavion ja piirtää funktion halutessa. Kuvasta 5 nähdään HP 40gs:n antamat välivaiheet.
15 12 (Kuva 5) HP 40gs ratkaisee ääriarvotehtävän lähes täydellisesti 5. Johtopäätökset Microsoft Mathematicsista löytyy suurin piirtein samat toiminnot kuin kokeilemistani laskimista. HP 40gs:n lailla tässä on myös kolmion ratkaisija. Mathematicsista saa eniten välivaiheita suoraan näkyville. Mathematicsilla voi tallentaa ratkaisemansa laskut koneen tiedostoihin, joten ne saa tarvittaessa helposti takasin. Tämä ominaisuus on myös TI- Nspiressä. Microsoft Mathematics antoi eniten välivaiheita, joten se on paras yhtälön ratkaisemiseen. HP 40 gs antaa välivaiheita kanssa sieventämiseen ja yhtälön ratkaisuun, muttei selitä miksi näin on tehty. HP 40gs ratkaisee lähes täydellisesti ääriarvot, sillä se kertoo derivaatan, funktion kulun ja ääriarvo Casio ClassPad 330 on hyvä symbolinen laskin, jos ei halua mitään kovin erikoista. ClassPadilla saa kuitenkin ratkaistua paljon erilaisia asioita kuten pistetulon tai sarjan summan. TI-Nspiren ja Microsoft Mathematicsin saa suomen kielelle, mutta muut ovat englanniksi. Tämän takia olisi hyvä opettaa myös englanninkielistä matematiikkasanastoa.
16 13 Pitkän matematiikan alkupään tehtävien lähes kaikki vaiheet voidaan ratkaista symbolisella laskimella. Kaikki symboliset laskimet osaavat laskea derivaatat ja integraalit sekä ratkaista yhtälöt. Yhtälön ratkaisemiseen kaikkia välivaiheita tai määrittelyjoukkoja ei kuitenkaan saa näkyviin muuta kuin Microsoft Mathematicsilla. Ylioppilaskoetta ajatellen yhtälön ratkaisu - tehtäviä olisi hyvä muuttaa hiukan. Näin nekin saataisiin pysymään ylioppilaskokeessa, mutta ne eivät olisi aivan liian helppoja. Yhtälön ratkaisu -tehtävissä tulisi kiinnittää huomio määrittelyjoukkoihin ja muihin pieniin asioihin, jotka pitää itse tajuta. Funktion derivointi- ja integrointitehtäviä on hankala muuttaa, mutta ne voitaisiin laittaa osaksi jotain soveltavaa tehtävää. Ylioppilaskokeessa hankalammat tehtävät ovat lopussa. Näitä symbolinen laskin ei ratkaise suoraan, joten ne ovat hyviä tehtäviä myös tämän uudistuksen jälkeen. Todistustehtävät, geometrian todistustehtävät ja lukuteorian tehtävät säilyttävät asemansa haastavampina tehtävinä, sillä symbolisesta eikä graafisesta laskimesta ole merkittävää etua. Numeriikassa, todennäköisyyslaskennassa, analyyttisessä geometriassa ja geometriassa ei ole väliä onko käytettävä laskin graafinen vai symbolinen. Joskus jopa funktiolaskimella saa laskettua tarvittavat laskutoimitukset.
17 14 Lähdeluettelo MA-FY Valmennus. (2011). Noudettu osoitteesta Haapasalo, L. (2011). Laskinpanna poistuu - muuttuuko opetus ja arviointi. Dimensio, ss Kinnunen, J. (2011). Haettu osoitteesta MAOL: alusta-kaikki-laskimet/ Kinnunen, J. ( ). Ylioppilaskokeessa sallitaan kaikki laskime Haettu osoitteesta LUMA SANOMAT: Kivelä, S. (2011). Haettu osoitteesta Simo Kivelän blogi: Lappi, E.;& Lappi, M. (2011). Haettu osoitteesta Leung, S.;& Silver, E. (1997). The Role of Task Format, Mathematics Knowledge, and Creative Thinking on the Arithmeric Problem Posing of Prospective Elementary School Teachers. Shukkwan Leung; Edward Silver, 11. Vihtilä, M. ( ). Mikä muuttuu kun symboliset laskimet sallitaan ylioppilaskokeessa? Haettu osoitteesta LUMA sanomat: Ylioppilastutkintolautakunta. (2011). Matematiikan kokeen määräykse
18 Liite 1: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset kevät 2011
19
20
21
22 Liite 2: Pitkän matematiikan ylioppilaskirjoitukset syksy 2011
23
24
25
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotMATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE INFO JA PRELIMINÄÄRI
MATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE INFO JA PRELIMINÄÄRI KOKEESEEN VALMISTAUTUMINEN Testaa, että saat omat koneesi abittiin Jos käytät kokeessa omaa laskinta tai talukkokirjaa, tuo ne tarkistettaviksi ennen koetta
LisätiedotMATEMATIIKAN DIGITAALISEN YO-KOKEEN MÄÄRÄYKSET
MATEMATIIKAN DIGITAALISEN YO-KOKEEN MÄÄRÄYKSET Matematiikan kokeen määräykset koskevat ensimmäisen kerran kevään 2019 tutkintoa Riihimäen lukio Heini Eveli 9.1.2019 MATEMATIIKAN YLIOPPILASKOE Pitkän matematiikan
LisätiedotCasion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna
Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin
LisätiedotMika Setälä Lehtori Lempäälän lukio
LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.
LisätiedotSymbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa. Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo
Symbolinen laskenta ja tietokoneohjelmistot lukion matematiikassa Jussi Nieminen, Helsingin normaalilyseo Historiaa u Funktiolaskimet alkoivat yleistyä lukioissa 1970-luvun lopulla. u Graafiset laskimet,
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Teemme työstäsi helpompaa. Laske Laudatur ClassPadilla Pitkä matematiikka, syksy 2017 Casio Scandinavia Keilaranta 17 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä lukija, Kaksiosaiset matematiikan kokeet saivat jatkoa
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Pitkä matematiikka, syksy 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä Opettaja
LisätiedotLyhyen matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013
Lyhyen matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Arvoisa lukija,
LisätiedotMATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET
MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET 15.12.2017 Matematiikan digitaalisen kokeen määräykset sisältävät lukiolakiin, ylioppilastutkinnon järjestämisestä annettuun lakiin ja ylioppilastutkinnosta
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Lyhyt matematiikka, syksy 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä Opettaja
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
LisätiedotMATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET
MATEMATIIKAN DIGITAALISEN KOKEEN MÄÄRÄYKSET 5.10.2018 Matematiikan digitaalisen kokeen määräykset sisältävät lukiolakiin, ylioppilastutkinnon järjestämisestä annettuun lakiin ja ylioppilastutkinnosta annettuun
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Teemme työstäsi helpompaa. Laske Laudatur ClassPadilla Lyhyt matematiikka, syksy 2017 Casio Scandinavia Keilaranta 17 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä lukija, Kaksiosaiset matematiikan kokeet saivat jatkoa
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
Lisätiedot4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen
4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa
LisätiedotPitkän matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013
Pitkän matematiikan ylioppilaskoe ClassPadilla - kevät 2013 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Arvoisa lukija,
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Kevät 2017 pitkä matematiikka Pitkä matematiikka, kevät 2017 Casio Scandinavia Keilaranta 17 02150
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty
LisätiedotLASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS
LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS Yo-kokeessa käytettävät laskimet ja taulukkokirjat on tuotava aikuislukion kansliaan tarkistettavaksi viimeistään yo-koetta edeltävänä päivänä kello 18 mennessä. Jos
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotDigitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015
Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotEHDOTUS. EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden oppiainekohtaiset osat
EHDOTUS Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry 12.2.2015 Asemamiehenkatu 4 00520 HELSINKI Opetushallitus Hakaniemenranta 6 00530 Helsinki EHDOTUS Matematiikan opetussuunnitelmien perusteiden
LisätiedotLASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS
LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS Yo-kokeessa käytettävät laskimet ja taulukkokirjat on tuotava aikuislukion kansliaan tarkistettavaksi viimeistään yo-koetta edeltävänä päivänä kello 18 mennessä. Jos
LisätiedotCasion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna
Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin
LisätiedotArvoisat Matemaattisten aineiden opettajien liiton MAOL ry:n liittokokouksen edustajat,
28.11.2016 Arvoisat Matemaattisten aineiden opettajien liiton MAOL ry:n liittokokouksen edustajat, Ylioppilastutkintolautakunnan matematiikan jaokselle on saatettu tietoon MAOL ry:n liittokokouksen vetoomus
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotMAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014
0..0 MAOL-pistetsohje Matematiikka lht oppimäärä Kevät 0 Hvästä suorituksesta näk, miten vastaukseen on päädtt. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
LisätiedotClassPad kahvila. CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät. Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen
ClassPad kahvila CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen Matematiikan ainepedagoginen tutkimuspraktikum Itä-Suomen yliopisto kevät 2013 Esipuhe
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla
Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Lyhyt matematiikka, kevät 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä lukija,
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotVastaaminen sähköisissä kokeissa Tilannekatsausta (26.1.2015) matemaa5sten aineiden kannalta.
Vastaaminen sähköisissä kokeissa Tilannekatsausta (26.1.2015) matemaa5sten aineiden kannalta. Mitä tällä hetkellä 2edetään ohjelmistoista? Ohjelmistoja, jotka ovat käytössä: haps://digabi.fi/tekniikka/ohjelmistot/
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lisätiedot5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä
5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa
LisätiedotMAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti
MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
LisätiedotLASKE LAUDATUR CLASSWIZ- LASKIMELLA
LASKE LAUDATUR CLASSWIZ- LASKIMELLA Tiivistelmä Kevään 2019 yo-kokeiden ratkaisut ClassWiz-laskimella laskettuina. Katso lisää laskimista nettisivuiltamme www.casio-laskimet.fi Pepe Palovaara pepe.palovaara@casio.fi
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Johdanto. Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen
Talousmatematiikan perusteet: Johdanto Kurssin tavoitteet Käytännön järjestelyt Suosituksia suorittamiseen Kurssin tavoitteet Matematiikkaa hyödynnetään monilla kauppa- ja taloustieteen osaalueilla Esim.
LisätiedotI. Perusteita. Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa
Pohdin-projekti Symbolisen laskimen käyttö opetuksessa Laskimien käyttöön liittyvä YTL:n ohjeistus ja lähes kaikenlaisten laskinten salliminen 1 ylioppilaskirjoituksissa muuttaa sekä matematiikan että
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon
1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon., 4. ja 5. kurssit (II-osa) Geometrian osuus 6. 9. kurssit (III-osa) Analyysi: - Raja-arvo ja jatkuvuus - & derivointi - Integ.laskenta & integrointi Aloitusesimerkki
LisätiedotOppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:
9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8.9.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.
LisätiedotMATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen
MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin
LisätiedotSyksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.
LisätiedotLaske Laudatur ClassPadilla - syksy 2013
Laske Laudatur ClassPadilla - syksy 2013 Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä matemaatikko, Symbolinen
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotOPPIKIRJAT vanha ops Aine ja kurssi Oppikirja
OPPIKIRJAT 2017 2018 vanha ops Aine ja kurssi Oppikirja Äidinkieli 7 Särmä ja tehtävävihko 7 (Otava) 8-9 Särmä ja Ylioppilastekstejä 2017 SKS/ÄOL ISBN-10: 9522228869 11 Särmä Kielenhuolto (vihko) (Otava)
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
LisätiedotÄI08 ja ÄI09: ÄLY (sähköinen oppimisympäristö): rekisteröidy ja maksa (24,90/vuosi):
KUNINKAANTIEN LUKIO Lukuvuonna 2018-2019 käytettävät oppikirjat ÄIDINKIELI JA KIRJALLISUUS ÄI01 - ÄI06: Särmä: Suomen kieli ja kirjallisuus: 978-951-1-28914-2 Otava TAI SÄRMÄ: Suomen kieli ja kirjallisuus
Lisätiedot10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?
YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä
LisätiedotÄI01-ÄI09: SÄRMÄ: Suomen kieli ja kirjallisuus: 978-951-1-23436-4 Otava. Tai: Särmä: Suomen kieli ja kirjallisuus digikirja. 978-951-1-26988-5 Otava
KUNINKAANTIEN LUKIO Lukuvuonna 2015 2016 käytettävät oppikirjat ÄIDINKIELI JA KIRJALLISUUS Kaikilla kursseilla käytettävät kirjat: ÄI01-ÄI09: SÄRMÄ: Suomen kieli ja kirjallisuus: 978-951-1-23436-4 Otava
LisätiedotTVT tulee ylioppilaskirjoituksiin -mitä tehdä? Suomen Rehtorit ry kimmo.laitinen@hollola.fi
TVT tulee ylioppilaskirjoituksiin -mitä tehdä? Suomen Rehtorit ry kimmo.laitinen@hollola.fi CV? Tausta FM Oulun yliopisto ma, fy, tietotekniikka, aineenopettaja Matemaattisten aineiden (ma, fy, ke, at)
LisätiedotDigitaaliset kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen
Digitaaliset kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 19.3.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa ympäristössä
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut
Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotKursseilla ei käytetä tehtäväkirjoja. Sen sijaan opiskelijalla tulee olla oma kannettava.
KUNINKAANTIEN LUKIO Lukuvuonna 2017 2018 käytettävät oppikirjat ÄIDINKIELI JA KIRJALLISUUS Ykkösvuoden opiskelijat: ÄI01 - ÄI03: Särmä: Suomen kieli ja kirjallisuus: 978-951-1-28914-2 Otava TAI SÄRMÄ:
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotPeruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009
Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,
LisätiedotGeogebra -koulutus. Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen
Geogebra -koulutus Ohjelmistojen pedagoginen hyödyntäminen Geogebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelmisto osoitteessa http://www.geogebra.org Geogebra-sovellusversion voi asentaa tietokoneilla ja
LisätiedotTexas Instruments. Teknologiaa lukioon 2011-2012. Symboliset laskimet tulevat YO-kirjoituksiin. Texas Instruments -uutuudet
Texas Instruments Teknologiaa lukioon 2011-2012 Symboliset laskimet tulevat YO-kirjoituksiin Tämän lukuvuoden merkittävin uutinen laskinrintamalla on symbolisen laskennan salliminen YO-kirjoituksissa.
LisätiedotKommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta
Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotBIOLOGIA. painovuosi. vaihtoehtona digikirja 6 kk tai 48 kk lisenssillä
HANKASALMEN LUKION OPPIKIRJAT LV 2016-2017: 1. vuosiluokan osalt Sarake vsl: vuosiluokka, jonka aikana kurssi tavallisimmin opiskellaan Listalle on merkitty etupäässä vain 1. vuosiluokan kirjat, koska
LisätiedotLUKION OPPIKIRJAT KAKSOISTUTKINNOSSA OTSOLASSA LUKUVUONNA JAKSOITTAIN
LUKION OPPIKIRJAT KAKSOISTUTKINNOSSA OTSOLASSA LUKUVUONNA 2018 2019 JAKSOITTAIN Lukuvuonna 2018 2019 lukio-opinnoissa käytettävät oppikirjat ovat nähtävissä myös Joensuun lyseon lukion aikuislinjan verkkosivuilla
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit
LisätiedotApollon Yhteiskoulu, lukion oppikirjat
Apollon Yhteiskoulu, lukion oppikirjat 2018-2019 21.11.2018 Oppiaine Kurssi Kustantaja ISBN ja formaatti Äidinkieli ja kirjallisuus Särmä. Suomen kieli ja kirjallisuus (LOPS2016) 1 9 Otava painettu kirja
LisätiedotMb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2
Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotUUSI LOPS. Kauppilantie Jalasjärvi EI OLE PAKOLLINEN KURSSI, HUOMIOI Puh TEKEMÄSI VALINNAT JA NIIDEN TOTEUTUMINEN
JALASJÄRVEN LUKIO 1.-3. VUOSIKURSSI UUSI LOPS Kauppilantie 1 61600 Jalasjärvi EI OLE PAKOLLINEN KURSSI, HUOMIOI Puh. 040 560 2480 TEKEMÄSI VALINNAT JA NIIDEN TOTEUTUMINEN Oikea kirja valitaan TARKISTAMALLA
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
LisätiedotHANKASALMEN LUKION OPPIKIRJAT LV : vuosiluokka Sarake vsl: vuosiluokka, jonka aikana kurssi tavallisimmin opiskellaan BIOLOGIA
HANKASALMEN LUKION OPPIKIRJAT LV 2017-2018: 1. - 2. vuosiluokka Sarake vsl: vuosiluokka, jonka aikana kurssi tavallisimmin opiskellaan BIOLOGIA 1. BI1 BIOS 1 Elämä ja evoluutio Sanomapro 978-952-63-3437-0
LisätiedotOSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO
OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka
Lisätiedot