TEKNILLINEN TIEDEKUNTA, MATEMATIIKAN JAOS

Transkriptio

1 1. Suorakaiteen muotoisen lämmönvaraajan korkeus on K, leveys L ja syvyys S yksikköä. Konvektiosta ja säteilystä johtuvat lämpöhäviöt ovat verrannollisia lämmönvaraajan lämpötilan T ja ympäristön lämpötilan T a erotukseen: h c = k c A(T T a ) h r = k r A(T 4 T 4 a ) missä k c ja k r ovat tunnettuja vakioita ja A on varaajan pinta-ala. Varaajaan varastoitunut lämpöenergia on Q = kv (T T a ), missä k on vakio ja V varaajan tilavuus. Varaajan tulisi varastoida ainakin Q 0 yksikköä energiaa. Lisäksi lämpövaraajan dimensioille on voimassa koko rajoitteet: 0 L L 0, 0 K K 0, 0 S S 0. Muodosta optimointiongelma, jonka tavoitteena on imoida lämpöhäviöt. 2. Toimistohuonetta, jonka pituus on 20 metriä, leveys 12 metriä ja korkeus 3 metriä, valaistaan n:llä kattovalaisimella. Valaisimen i teho on w i wattia. Valaisimet asetetaan xykoordinaatistoon pisteisiin (x i,y i ) tietenkin 3:n metrin korkeudelle. Työpisteen valaistuksen on noudatettava voimassa olevaa työlainsäädäntöä. Tämän tarkistamiseksi valaistusteho mitataan pisteissä (α,β) = (4p,4q), missä p = 0,1,2,3,4,5 ja q = 0,1,2,3. Valaisimen i aiheuttama valaisuteho pisteessä (α,β) on E i (α,β) = k w i (α,β) (x i,y i ) (α,β,7) (x i,y i,0) 3, missä k on valaisimen tehokkuutta. Näin ollen kokonaisvaloteho pisteessä (α,β) on tällöin n E i (α,β). i Jokaisessa pisteessä valaisuteho tulisi olla 2.6:n ja 3.2:n yksikön välissä. Valaisimien teho on 40 W:n ja 300 W:n välillä. Muodosta matemaattinen malli, jossa imoit valaisimien lukumäärän, sijainnin ja sähkön kulutuksen olettaen, että kustannukset ovat verrannolliset valaisimien lukumäärään. 3. Olkoon S 1 = {x x 1 =, 0 x 2 1} ja S 2 = {x 0 x 1 1, x 2 = 0}. Määrää konveksit joukot S 1 + S 2 ja S 1 S Osoita, että epäyhtälösysteemillä Ax 0, c T x > 0 on ratkaisu, kun A = [ ] 1 1 1, c T = [ ]

2 Viikkotehtävä 1. Tarkastele seuraavaa optimointiongelmaa: (x 1 3) 2 + (x 2 3) 2 rajoittein 4x x x x 2 = 3 x 1 1 Piirrä hyväksyttävien ratkaisujen joukko ja joitain kustannusfunktion tasa-arvokäyriä. Ratkaise ongelma graafisesti (so. kuvasta katsomalla). Viikkotehtävän palautus klo 10

3 5. Osoita, että on olemassa hypertaso, joka separoi joukot S 1 = {x = (x 1,x 2 ) x 2 e x 1 } ja S 2 = {x = (x 1,x 2 ) x 2 e x 1 }. Onko olemassa hypertasoa, joka separoi joukot vahvasti? 6. Määrää joukkojen polaarit C i. C 1 = {(x 1,x 2 ) : 0leqx 2 x 1 }, C 2 = {(x 1,x 2 ) : x 2 x 1 } 7. Määrää joukon S = {(x 1,x 2,x 3 ) : x 2 x 2 1, x 1 +x 2 +x 3 1} ekstreemipisteet ja -suunnat. 8. Määrää rajoitejoukon U = {x 0 Ax = b} yksi kärkipiste, kun A = [ ] , b = [ ] Onko x T = [ ] kanonisen lineaarisen optimointitehtävän x 1 + x 2 + x 3 = 6 x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 x 1,x 2,x 3,x 4 0 7x 2 + 9x 3 kärkipiste? Anna tarkka perustelu. Palautettava viikkotehtävä 2. Määrää lineaarisen optimointitehtävän rajoitejoukon kärkipisteet x 1 + 2x 2 8 x 1 x 2 2 x 1,x 2 0 2x 1 3x 2 3. Ratkaise LP-ongelma x 1 + x x 1 + x 2 3 x 2 4 x 1,x 2 0 x 1 2x 2 graafisesti ja totea, että imi löytyy kärkipisteestä. Viikkotehtävät palautettava viimeistään to 2.10 klo 11.

4 10. Ratkaise käyttäen Simplex-menetelmää LP-tehtävä 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 9 3x 1 + x 2 + x 4 = 6 x 1,x 2,x 3,x 4 0 6x 1 2x Muunna Simplex-algoritmia siten, että sillä voidaan suoraan ratkaista maksimointitehtävä: max Ax = b x 0 v T x Käyttäen modifioitua algoritmia ratkaise ongelma: max x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 4 = 14 x 1 x 2 + x 5 = 3 x 0 3x 1 + 2x Ratkaise Simplex-algoritmilla max x 1 + x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 7 x 1 x 2 + x 3 x 4 x 6 = 2 3x 1 + x 2 + 2x 3 2x 4 = 5 x 0 x 1 2x 2 + 3x 4 + 3x Määrää LP-ongelman max 2x 1 + x 2 4 x 3 6 x 1 + x 2 + x 3 duaalitehtävä ja ratkaise se duaalisimplex-algoritmilla. 14. Formuloi optimointi-ongelman x 1 + x 2 1 x 1 x 2 0 x 1 3x 2 2 x 1 + 2x 2 0 x 1 2x 2 duaalitehtävä ja ratkaise se.

5 Palautettavat kotitehtävä 4. Muokkaa optimointiongelma 2x 1 x 2 4 x 1 2x 2 4 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 3x 1 + x 2 standardimuotoon lisäämällä pelivaramuuttujat ja ratkaise Simplex-algoritmilla. Palautetaan

6 15. Osoita, että funktio m 1 j=1 h j (x) on konveksi, jos funktiot h j(x) 0 ovat konkaaveja. 16. Olkoon f(x) = (at x) 2 b T x, missä a, b Rn. Näytä, että se on konveksi joukossa S 0 = {x R n b T x > 0}. 17. Määrää funktion f(x) = 1 2 xt Ax Hessen matriisi, kun Millä θ:n arvolla f on positiivisesti definiitti? A = θ 18. Tutki funktiota f(x 1,x 2 ) = e x2 1 +x2 2 5x1 +10x 2 pisteen x = [0 0] ympäristössä. Onko funktio positiivisesti definiitti? Palautettava kotitehtävät 5. Onko seuraava funktio konveksi 1 x R 3 2 xt Px + q T x + r, kun P = , q = 29 2, r = 1? Palautus To klo 11.00

7 19. Tutkitaan rajoittamatonta optimointiongelmaa x 2 1 2x 1 x 2 + x 2 2 2x 1 + e x 1+x 2. Määrää välttämätön optimaalisuusehto, ja sen avulla ongelman ratkaisu. 20. Määrää kvadraattisen funktion f(x 1,x 2 ) = x x 2x 2 + 3x 2 2 2x 1 + 4x 2 imiarvo. 21. Olkoon matriisi M = Määrää diagonaalimatriisi D = diag(d 1,d 2,d 3 ), d i > 0, siten, että matriisin DMD 1 Frobenius-normi 3 DMD 1 2 F = Mij 2 d 2 i d 2 j on mahdollisimman pieni. Muunna ongelma konveksiksi optimointiongelmaksi muuttujien vaihdolla x i = 2log(d i ). Määrää ongelman optimaalisuusehdot. 22. Tutki konveksi optimointiongelmaa i,j=1 c T x, x x2 2 1 kun c T = [1 1]. Määrää ongelman ratkaisu ja totea, että se on rajoitejoukon reunalla. Palautettava kotitehtävä 6. Määrää konveksin optimointiongelman (x 1 3) 2 + (x 2 3) 2 1 x 1,x 2 1 ratkaisu, ja totea, että ratkaisu löytyy rajoitejoukon reunalta.

8 23. Määrää rajoitetun optimointiongelman x 1 + x x 1, x 2 0 x x 2 2 ratkaisu KKT-ehtojen avulla. 24. Määrää rajoitetun optimointiongelman x 1 x 2 1 x 0 x 1 + 2x 2 ratkaisu KKT-ehtojen avulla. Onko kyseessä konveksi optimointitehtävä? 25. Ratkaise seuraava optimointiongelma: missä 0 π j 1, p j R n. max x 0: P n i x i=1 j=1 m π j log(p T j x), Palautettava kotitehtävä 7. Etsi optimointitehtävän (x 1 6) 2 + (x 2 3) 2 rajoittein x 2 1 x x 1 4 ratkaisu määräämäällä KKT-ehdot ja päättelemällä niiden avulla optimaalinen ratkaisu. Palautus Ma klo 10.

9 26. Määrää funktion f(x) = 1 + x x 3 imi välillä [0,1] Fibonacci-haulla. 27. Määrää Newtonin menetelmällä funktion f(x) = 2x 2 + e x imi välillä [0,1]. 28. Määrää funktion f(x) = xe x maksimi välillä [0,3] toleranssilla ǫ = 0.05 Fibonacci-haulla ja Newtonin menetelmällä. Palautettava kotitehtävä 8. Ratkaise funktion f(x) = x 4 14x x 2 70x imi välillä [5,7] interpolaatiomenetelmällä ja Newtonin menetelmällä. Arvioi, kumpi approksimaatioista on tarkempi kolmen iteraation jälkeen.

10 29. Ratkaise kvadraattinen optimointiongelma 3(x 1 4) 2 + 5(x 2 + 3) 2 + 7(2x 3 + 1) 2 gradienttimenetelmällä ja Newtonin menetelmällä. Aloita iteraatiot samasta lähtöpisteestä. Vertaile menetelmien suppenemisnopeutta. 30. Etsi funktion f(x 1,x 2 ) = 2x x 1x 2 + x x 1 x 2 imi konjugaattigradienttimenetelmällä. 31. Ratkaise konjugaattigradienttimenetelmällä kvadraattisen funktionaalin J(x) = 4x x x 2 3 2x 1x 2 2x 2 x 3 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 imikohta. Palautettava kotitehtävä 9. Etsi funktion f(x 1,x 2 ) = 1 2x 1 2x 2 4x 1 x x x 2 2 imi gradienttimenetelmällä ja konjugaattigradienttimenetelmällä.

11 32. Ratkaise sakkofunktiomenetelmällä 33. Ratkaise sakkofunktiomenetelmällä 34. Ratkaise estefunktio-menetelmällä x 1, x 2 0 x 1 + x 2 4 x 1 + x 2. x 2 1 +x2 2 1=0 1 x x 2 + (x 1 + x 2 ) x 1 + 2x 2 3 x 1, x 2 0 x 2 1 x Ratkaise lineaarinen optimointitehtävä 2x 1 + x 2 1 x 1 + 2x 2 1 x 1,x 2 0 x 1 x 2 estefunktiomenetelmällä käyttäen logaritmista estefunktiota.