2. luku - Talousmatematiikan alkeita

Transkriptio

1 Tämä dokumentti sisältää kauppatieteiden valintakokeen matematiikan tehtäviä vuosilta. Tuona aikana tehtävät ovat perustuneet Johdatus kvantitatiiviseen analyysiin taloustieteissä -kirjaan. Tehtävien ryhmittely on tehty pääsykoekirjan kappalejaon mukaan. Vuosina 2010 ja 2011 valintakokeessa ei ollut matematiikan osiota. Tehtävien oikeat vastaukset löytyvät dokumentin viimeiseltä sivulta. 2. luku - Talousmatematiikan alkeita 2.1 Potenssifunktio, eksponenttifunktio ja logaritmifunktio 2002/38. Mikä on lukujen a = 2 1/2, b = 3 1/3 ja c = 5 1/5 suuruusjärjestys? 1. a > b > c 2. a > c > b 3. b > a > c 4. c > a > b 2008/43. TietoEnatorin liikevaihto vuonna 2007 oli 1 772, 4 MEUR (miljoona Euroa). Mikä alla olevista vaihtoehdoista on lähimpänä vuoden 1999 liikevaihtoa, kun liikevaihdon keskimääräinen vuotuinen muutosprosentti kahdella desimaalilla on ollut 3, 96%? Keskimääräinen muutosprosentti on luku, joka ilmaisee kuinka paljon liikevaihto olisi vuosittain prosentuaalisesti kasvanut, jos prosentuaalinen kasvu olisi ollut vakio ,1 MEUR ,0 MEUR ,9 MEUR ,6 MEUR 2.2 Differentiaalilaskentaa ja 2.3 Funktion maksimi- ja minimikohdat 2004/33. Tarkastellaan funktioita f(x) = x 3 + 3x 2 6x 8. Mikä seuraavista väittämistä on tosi? 1. Kun 1,5 < x < 2, niin funktio f on aidosti konkaavi. 2. Kun 0 < x < 4, niin funktio f on aidosti konveksi. 3. Kun 0 < x < 2, niin funktio f on kasvava. 4. Kun x < 1, niin funktio f ei ole konkaavi eikä konveksi. Yksityisopetus.net

2 2009/43. Yritys tuottaa tiettyä tuotetta 6 e yksikkökustannuksilla. Yritys arvioi, että se saa myytyä (20 x) määrän kyseistä tuotetta yksikköhintaan x e (1 x 20). Oletetaan, että tuotetta tuotetaan myytävä määrä. Oletetaan edelleen, että nettotuottofunktio, joka ilmaisee kokonaisnettotuoton yksikköhinnan funktiona, on derivoituva yksikköhinnan suhteen kun 1 < x < 20 (nettotuotto per yksikkö = yksikköhinta - yksikkökustannukset). Mikä seuraavista väittämistä pitää paikkansa? 1. Nettotuottofunktion lauseke on (x 6)(20 x). 2. Nettotuottofunktio maksimoituu pisteessä x = Nettotuottofunktion lauseke on x(20 x). 4. Nettotuottofunktio maksimoituu äärettömyydessä. 2006/33. Yritysten lukumäärän kehitystä toimialalla G Tukku- ja vähittäiskauppa vuosien lopussa kuvataan polynomilla: f(x) = 27,167x x ,8x , missä argumenttina oleva vuosi x annetaan muodossa 1, 2, 3, 4. Mikä seuraavista väittämistä ei ole tosi? 1. Funktiolla f(x) on minimi tarkasteluvälillä: 1 x Funktio f(x) on aidosti konveksi välillä: 1 x Funktio f(x) ennustaa yritysten lukumäärän ko. toimialalla edelleen kasvavan vuoden 2004 jälkeen ainakin vuoden 2005 aikana. 4. Funktio f(x) on konkaavi, kun 4 x /45. Tarkastellaan funktiota f(x) = x x 2 joka on määritelty kaikilla + 9 reaaliluvuilla x. Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Funktiolla on ainakin kaksi äärellistä ääriarvokohtaa. 2. Funktio on konkaavi välillä 4 x 4 3. Funktiolla on vain äärellisiä ääriarvokohtia. 4. Toisella derivaatalla f (x) on nollakohta pisteessä x = /33. Tuotteen kysyntä d riippuu hinnasta p kaavan d = 4 p mukaisesti. Valmistuksen kiinteät kustannukset ovat C F = 2 ja rajakustannukset ovat MC = 3. Millä tuotantomäärällä saadaan suurin nettovoitto?

3 2003/33. Yhtä tuotetta valmistavan monopoliyrityksen kuukauden tarjontamäärän ollessa q (yks/kuukausi) on tuotteen hinta p (euroa/yks) annettu hintafunktiolla p = 100 q. Kun kyseessä on monopoli, yritys määrää markkinahinnan p valitsemalla tuotantomäärän q, jolloin hinta määräytyy hintafunktion mukaisesti. Yrityksen tuotantokustannukset c(q) (euroa/kuukausi) tuotantomäärän q funktiona ovat c(q) = q, kun q 15, ja c(q) = q, kun q 15. Yrityksen voitto pq c(q) saavuttaa maksimiarvonsa, kun 1. q = q = q = q = /33. Janojuoman keskimääräinen päivämyynti on d (pulloa/päivä) ja hinta p = 1,00 (e/pullo), jolloin päivämyyntitulo on m = dp (e/päivä). Välittömät yksikkötuotantokustannukset c eivät riipu määrästä eivätkä hinnasta ja ovat suuruudeltaan c = 0,60 (e/pullo), jolloin keskimääräinen myyntikate on k = d(p c) (e/päivä). Markkinatutkimuksella on todettu, että Janojuoman keskimääräisen päivämyynnin d jousto hinnan suhteen on 2,0. Jos hinta laskee 2% tasosta p, niin keskimääräisen päivämyyntitulo m ja myyntikate k muuttuvat siten, että 1. m kasvaa ja k kasvaa 2. m kasvaa ja k pienenee 3. m pienenee ja k kasvaa 4. m pienenee ja k pienenee 2007/41. Monopoliyrityksellä erään tuotteen myyntimäärä q (yks/kk) ja hinta p (e/yks). riippuvat toisistaan hintafunktion p = aq e mukaisesti, missä a = 0,05 ja e = 0,5. Muuttuvat yksikkökustannukset c = 100 (e/yks) ovat valmistusmäärästä riippumattomia. Myyntikatteen maksimoinnista seuraa myyntihinta ja -määrä. Jos kysyntä kasvaa siten, että parametri a saa arvon 0,06, niin myyntihinta kasvaa 1. 20% %. 3. 0% %.

4 2007/42. Yrityksen tuotteesta saama hinta p (e/yks) määräytyy myynnin q (yks/v) funktiona siten, että p = p 0 2q, missa p 0 = 2800 (e/yks). Tuotteen muuttuvat yksikkökustannukset ovat c = 800 (e/yks), jolloin myyntikate on m = (p c)q. Myynnin ollessa q = 600 (yks/v) on myyntikatteen jousto ɛ m (p) hinnan p suhteen 1. 0, , , , /35. Vakiofunktion f(x) = 2 jousto on ääretön 2009/48. Oletetaan, että tuotteen kysyntäfunktio on muotoa x = 10 5p, missä p kuvaa tuotteen hintaa ja x tuotteen kysyttyä määrää (0 < p 2). Laske tuotteen kysynnän hintajouston arvo, kun p = 1. Mikä seuraavista väittämistä pitää paikkansa? 1. Jouston arvo = 1, kun p = Jouston arvo on = 1, kun p = Jouston arvo on vakio välillä 0 < p Jouston arvoa ei voida laskea, koska kysyntäfunktio on lineaarinen. 2009/45. Tarkastellaan funktiota f(x) = x r (x > 0, r 0). Millä r:n arvoilla funktio on aidosti konkaavi? 1. r > 1 tai r < < r < 1 3. r < r > 1

5 2001/34. Funktiosta f(x) tiedetään, että pisteessa x = a funktion ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat molemmat nollia eli f (a) = 0 ja f (a) = 0. Tällöin pisteessä x = a funktiolla f(x) 1. ei ole ääriarvoa. 2. on samassa pisteessä sekä minimi että maksimi. 3. saattaa olla ääriarvo, mutta välttämättä ääriarvoa ei ole. 4. on ääriarvo, mutta annettujen tietojen perusteella ei voida päätellä onko kyseessä maksimi vai minimi. 2000/33. Erään tuotteen kysyntämäärä d (yksikköä) riippuu yksikköhinnasta p (mk/yksikkö) funktion d = 5000p 1,5 mukaisesti. Tuotteen yksikkökustannukset ovat vakio 15 mk/yksikkö. Suurin nettotuotto saadaan tällöin hinnalla mk mk mk mk 2000/34. Mikä seuraavista väitteistä ei pidä paikkaansa? 1. Jos funktiolla f(x) on maksimi kohdassa x 0, niin funktion derivaatta f (x 0 ) = Logaritmifunktio on konkaavi. 3. Jos funktion f(x) toinen derivaatta f (x) 0 kaikkialla, niin funktio on konveksi. 4. Konveksilla funktiolla ei välttämättä ole minimikohtaa. 2002/39. Oletetaan, että funktio f(x) sekä sen derivaatta f (x) ovat kaikkialla derivoituvia aidosti konvekseja funktioita. Tällöin 1. funktiolla f(x) ei voi olla ääriarvoja. 2. funktiolla f (x) ei voi olla ääriarvoja. 3. funktiolla f(x) on aina yksi minimi. 4. funktiolla f (x) on aina yksi minimi.

6 2004/34. Tuotteen kysyntä q riippuu sen hinnasta p funktion q = ae bp mukaisesti (a > 1 ja b > 0 ovat vakioita). Oletetaan, että tuotteen tuotantomäärä on kysynnän suuruinen. Olkoon tuotteen yksikkötuotantokustannus c vakio. Mikä seuraavista vaihtoehdoista on tosi? 1. On olemassa äärellinen hinta p 0, p < c, jolla myyntitulon ja tuotantokustannusten erotus on Kun hinta putoaa nollaan, niin kysyntä q on ääretön. 3. Myyntitulon ja tuotantokustannusten erotus ei ole nolla millään äärellisellä hinnalla (0 p < ). 4. Kysynnän jousto hinnan suhteen on pb. 2.4 Lineaariset yhtälöt ja epäyhtälöt 2009/41. Tarkastellaan seuraavia funktioita f(x 1, x 2 ): a) f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 2 b) f(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 3x 2 + ln 7 c) f(x 1, x 2 ) = 5x 1 3x 2 d) f(x 1, x 2 ) = ln x 1 + ln x 2 e) f(x 1, x 2 ) = ax 1 + b 2 x 2, jossa a ja b ovat vakioita. Mitkä yllä olevista funktioista ovat lineaarisia? 1. a, b, c 2. a ja e pelkästään 3. b, c, e 4. b, d, e

7 2.5 Lineaarisen ohjelmoinnin ongelma ja 2.6 LP-ongelman duaali 2005/34. Eräs yritys valmistaa kahta tuotetta, joiden valmistusmäärät (yks/kk) ovat x 1 ja x 2. Tuotteen 1 myyntikate on 6 (e/yks) ja tuotteen 2 myyntikate on 3 (e/yks). Yksinkertaistettu tuotannonsuunnitteluongelma on etsiä kuukauden ei-negatiiviset tuotantomäärät siten, että kokonaiskate maksimoituu huomioiden käytettävässä olevat tuotantoresurssit. Kokonaiskatetuoton z maksimoimiseksi yritys päätyy lineaarisen ohjelmoinnin ongelmaan: Maksimoi z = 6x 1 + 3x 2 ehdoin 3x 1 + 8x x 1 + x x x 1, x 2 0 Optimaaliselle katetuotolle z pätee e < z e < z e e < z e 4. z 8 000e 2009/47. Ratkaise graafisesti seuraava lineaarisen ohjelmoinnin tehtävä: maksimoi z = x 1 + x 2 ehdoilla: 2x 1 + x x 1 + x 2 80 x 1 35 x 1, x 2 0 Mikä seuraavista yllä olevaa tehtävää koskevista väittämistä pitää paikkansa? 1. Optimiratkaisu on pisteessä (x 1, x 2 ) = (35, 30). 2. Optimiratkaisu ei ole yksikäsitteinen. 3. Optimiratkaisu on pisteessä (x 1, x 2 ) = (0, 0). 4. Jos rajoitusehdon x 1 35 epäyhtälön suunta käännetään (toisin sanoen, tarkastellaan rajoitusta x 1 35 alkuperäisen sijasta), optimiratkaisu ei muutu.

8 2000/38. Yritys, joka pyrkii maksimoimaan myyntikatteensa, tuottaa kahta tuotetta A ja B. Tuotteen A myyntikate on 2 mk/yksikkö ja tuotteen B 2,50 mk/yksikkö. Tuotantoa rajoittaa kaksi kapasiteettirajoitetta: Yrityksellä on käytössä komponenttien valmistukseen tuntia vuodessa ja kokoonpanoon tuntia vuodessa. Tuotteen A komponenttien valmistukseen kuluu 2 tuntia/yksikkö, ja tuotteen B komponenttien valmistukseen kuluu 1 tunti/yksikkö. Kokoonpanoon kuluu tuotteen A osalta 1 tunti/yksikkö ja tuotteen B osalta 2 tuntia/yksikkö. Kokonaismyyntikatteen maksimoiva vuosituotantosuunnitelma on yksikköä tuotetta A ja yksikköä tuotetta B yksikköä tuotetta A ja yksikköä tuotetta B yksikköä tuotetta A ja yksikköä tuotetta B yksikköä tuotetta A ja yksikköä tuotetta B. 2003/35. Tarkastellaan lineaarisen ohjelmoinnin ongelmaa maksimoi z = x 1 + 2x 2 ehdoin 3x 1 + 2x x 1 + x x x 2 3. Optimaalinen kohdefunktion arvo z on 1. 7,0 2. 5,5 3. 4,5 4. 3,5 2004/35. Tarkastellaan kahden muuttujan LP-ongelmaa: min z = 2x 1 + x 2 s.t. x 1 + x 2 2 2x 1 3 2x 2 3 x 1 + x 2 4 x 1 0 x 2 0 Tavoitefunktion z optimaalinen arvo on 1. 2, ,

9 2008/46. Par Oy on golftarvikkeita valmistava yritys, joka on päättänyt ryhtyä valmistamaan kahta mailakassimallia (x 1 = standardimallin valmistusmäärä ja x 2 = deluxe-mallin valmistusmäärä). Valmistamisessa on seuraavia keskeisiä vaiheita: a. Leikkaus ja värjäys b. Ompelu c. Viimeistely d. Tarkastus ja pakkaus Yhden standardimallin valmistamisessa leikkaukseen ja värjäykseen tarvitaan 7/10 tuntia, ompeluun 1/2 tuntia, viimeistelyyn 1 tunti ja tarkastukseen ja pakkaukseen 1/10 tuntia. Vastaavasti deluxe-mallin valmistamiseen tarvitaan 1 tunti leikkaukseen ja värjäykseen, 5/6 tuntia ompeluun, 2/3 viimeistelyyn sekä 1/4 tarkastukseen ja pakkaukseen. Kuhunkin vaiheeseen on käytettävissä kapasiteettia seuraavasti: 630 tuntia leikkaukseen ja värjäykseen, 600 tuntia ompeluun, 708 tuntia viimeistelyyn ja 135 tuntia tarkastukseen ja pakkaukseen. Standardimallin myynnistä saadaan voittoa 10 e/kassi ja deluxemallista 9 e/kassi. Tavoitteena on valita valmistusmäärät siten, että voitto maksimoituu. Ongelman ratkaisemiseksi formuloidaan seuraava malli: Maksimoi 10x 1 + 9x 2 ehdoin (7/10)x 1 + x (leikkaus ja värjäys) (1/2)x 1 + (5/6)x (ompelu) x 1 + (2/3)x (viimeistely) (1/10)x 1 + (1/4)x (tarkastus ja pakkaus) x 1, x 2 0 Mikä seuraavista yllä olevaa mallia koskevista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Tavoitefunktion arvo optimissa on e. 2. Optimiratkaisussa tarkastukseen ja pakkaukseen varattua kapasiteettia jää käyttämättä. 3. Optimiratkaisussa 10, 3% kassien kokonaismäärästä on deluxe-mallia. 4. Ompeluun tarvittavalla kapasiteettirajoituksella ei ole vaikutusta optimointiongelman käypään joukkoon.

10 2001/40. Tarkastellaan kahta LP-ongelmaa. Ongelma A: Maksimoi z = x 1 + x 2 ehdoin 2x 1 + x 2 1 x 1 + 2x 2 1 x 1, x 2 0 Ongelma B: Minimoi w = y 1 + y 2 ehdoin 2y 1 + y 2 1 y 1 + 2y 2 1 y 1, y 2 0 Tällöin 1. Ongelmalla A on äärellinen ratkaisu z ja ongelmalla B on äärellinen ratkaisu w. Ratkaisut toteuttavat ehdon z = w. 2. Ongelmalla A on äärellinen ratkaisu z ja ongelmalla B on äärellinen ratkaisu w. Ratkaisut toteuttavat ehdon z < w. 3. Ongelmalla A on äärellinen ratkaisu z ja ongelmalla B ei ole äärellistä ratkaisua. 4. Kummallakaan ongelmalla ei ole äärellistä ratkaisua. 2007/43. Yritys valmistaa kahta tuotetta, joiden valmistusmäärät (yks/kk) ovat x 1 ja x 2. Tuotteen 1 yksikkökate on 2 (e/yks) ja tuotteen 2 yksikkökate on 3 (e/yks). Yksinkertaistettu tuotannonsuunnitteluongelma on etsiä kuukauden ei-negatiiviset tuotantomäärät siten, että kokonaiskate maksimoituu huomioiden käytettävissä olevat koneistus- ja kokoonpanoresurssit. Kokonaiskatetuoton maksimoimiseksi yritys päätyy lineaarisen ohjelmoinnin ongelmaan maksimoi 2x 1 + 3x 2 (katetuotto ehdoin) x 1 + 2x (koneistuskapasiteetti) x 1 + x (kokoonpanokapasiteetti) x 1, x 2 0 Onnettomuuden takia koneistuskapasiteetti pienenee 50%. Yllä olevan alkuperäisen ongelman duaaliongelman optimiratkaisusta seuraa, etta onnettomuudesta johtuvalle optimaalisen katetuoton muutokselle pätee e e 3. = 1500e 4. = 2000e

11 2002/40. Tarkastellaan LP-ongelman yleistä muotoa koskevia väitteitä: A. Tehtävänä on maksimoida tavoitefunktio. B. Rajoitteet ovat epäyhtälöitä. C. Muuttujien arvoilla on alaraja. Väitteistä ovat tosia 1. A, B ja C. 2. A ja B. 3. vain A. 4. Kaikki väitteet ovat vääriä. 2009/46. Tarkastellaan lineaarisen ohjelmoinnin tehtävää, jossa tavoitefunktion arvoa pyritään maksimoimaan. Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävällä voi olla nollasta poikkeavia alarajoja muuttujien arvoille. 2. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtavä voi sisältää =, tai tyyppisiä rajoituksia. 3. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävällä ei aina ole yksikäsitteistä ratkaisua. 4. Lineaarisen ohjelmoinnin tehtävän käypien ratkaisujen joukko ei voi koskaan jatkua rajatta. 2008/44. Mikä seuraavista lineaarista optimointia koskevista yleisistä väittämistä pitää paikkansa? 1. Jos optimiratkaisu maksimointitehtävässä on nolla, niin päätösmuuttujien arvot ovat aina nollia. 2. Maksimointitehtävässä rajoitukset muuttujien ei-negatiivisuusrajoitusta lukuun ottamatta ovat tyyppiä 3. Jos duaalilla on äärellinen optimiarvo, niin primaalin optimiarvo voi olla ääretön. 4. Päätösmuuttujalla voi optimiratkaisussa olla myös negatiivinen arvo. 3. luku - Tilastotieteen perusteita Mitä tilastotiede on

12 3.2 - Havaintoaineiston käsitteitä ja esittämistapoja 2002/36. Perusjoukko koostuu 1. niistä yksilöistä, jotka eivät ole olennaisesti muista poikkeavia. 2. kaikista yksilöistä, joista voidaan saada mittaustuloksia. 3. niistä yksilöistä, joista on käytettävissä mittaustuloksia. 4. kaikista yksilöistä, jotka ovat mittauksen kohteena. 2001/36. Tarkastellaan kahta havaintomatriisiin liittyvää väitettä. A. Kukin havaintomatriisin sarake sisältää aineiston yhden yksittäisen muuttujan tiedot. B. Kukin havaintomatriisin rivi sisältää aineiston yhden havainnon muuttujan tiedot. Mikä seuraavista pitää paikkansa? 1. sekä A että B ovat tosia 2. A on tosi, B on epätosi 3. A on epätosi, B on tosi 4. sekä A että B ovat epätosia Muuttujien mittaaminen Havaintoaineiston kuvaaminen Havaintoaineiston tunnusluvut 2001/37. Tarkastellaan seuraavia kolmea väitettä. A. Tunnusluku yksilöi havainnon. B. Tunnusluvut ovat aina positiivisia kokonaislukuja. C. Tunnuslukuja käytetään aineiston kuvailussa. Mitkä väitteistä pitävät paikkansa? 1. A, B ja C 2. vain A ja B 3. vain C 4. vain A

13 2005/35. Seuraavassa sarjassa on 17 yrityksen yhden vuoden tuottoprosentit suuruusjärjestyksessä: 5, 5, 6, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 13, 15, 17, 18. Olkoon e tuottoprosenttien mediaanin ja aritmeettisen keskiarvon erotus ja h mediaanin ja moodin erotus. Parametreille e ja h pätee 1. 0 < e 1 ja h < e ja h 1 3. e 1 ja h < e 0 ja h /42. Seuraavassa on lueteltu 10 henkilön kuukausipalkat euroissa: 500, 2100, 2100, 2400, 20000, 2900, 2300, 500, 1750, 500. Mikä seuraavista väittämistä pitää paikkansa? 1. Kuukausipalkkojen moodia ei voi määrittää, koska moodi ei ole yksikäsitteinen yllä olevassa aineistossa. 2. Kuukausipalkkojen aritmeettinen keskiarvo > mediaani > moodi yllä olevassa aineistossa. 3. Kuukausipalkkojen mediaani = 1925 e yllä olevassa aineistossa. 4. Kuukausipalkkojen mediaani on suurempi kuin kuukausipalkkojen aritmeettinen keskiarvo yllä olevassa aineistossa. 2008/48. Seuraavassa taulukossa on kahdesta osa-aineistosta ilmoitettu erikseen naisista ja miehistä lukumäärät, keskiarvot ja varianssit. Naiset Miehet Lukumäärä Keskiarvo 3 6 Varianssi 4 9 Mikä alla olevista vaihtoehdoista on lähinnä oikea yllä olevien tietojen pohjalta koko aineistolle laskettu varianssi? 1. 5, , , ,44

14 2004/37. Alla olevassa taulukossa on identtisesti luokiteltuna neljän eri kokeen arvosanajakauma. Jokaisessa kokeessa osallistujia oli 100. Koe 1 Koe 2 Koe 3 Koe 4 Arvosanaluokka Lukumäärä Lukumäärä Lukumäärä Lukumäärä Yhteensä Kun päätelmät tehdään yllä annetuista jakaumista, niin mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Kokeen 4 mediaani on suurempi kuin kokeen keskiarvo. 2. Kokeen 1 keskiarvo oli alhaisin. 3. Kokeen 3 keskiarvo ylitti kokeen mediaanin yli 15 pisteellä. 4. Kokeen 2 mediaaniluokka on arvosanaluokka [40, 49]. 2005/36. Merkitään havaintoaineiston tunnuslukuja seuraavasti: a = keskipoikkeama, b = standardipoikkeama ja c = variaatiovälin leveys. Mille tahansa kahden havainnon havaintoaineistolle (havaintojen lukumäärä n = 2) on 1. a b c 2. b a c 3. a c b 4. a < b < c 2000/36. Mikä seuraavista tilastoaineistoa koskevista väitteistä ei pidä paikkaansa? 1. Varianssi on aina suurempi kuin keskihajonta. 2. Standardoidun muuttujan arvojen keskiarvo on aina 0 ja varianssi Keskipoikkeama on aina Positiivisen muuttujan x variaatiokerroin on aina suurempi kuin muuttujan y = x + c, mikäli c > 0.

15 2007/44. Havaintoaineistossa muuttujan x arvot ovat x i, i = 1, 2,..., n. Olkoon x muuttujan x aritmeettinen keskiarvo. Muuttujan x logaritmin aritmeettinen keskiarvo on z = ( ) 1 n i ln x i ja muuttujan x geometrinen keskiarvo on ȳ = e z. Mikä seuraavista pitää paikkansa mille tahansa aineistolle x i > 0, i = 1, 2,..., n? 1. x ȳ 2. x > ȳ 3. x ȳ 4. x < ȳ Todennäköisyyslaskennan perusteita 2001/39. Tutkija haluaa selvittää, mikä on todennäköisyys sille, että heittäessä nasta päätyy kantansa päälle piikki ylöspäin. Kokeessa heitetään nastaa kertaa, joista heittoa päätyy piikki ylöspäin. Kokeen perusteella päätellään, että todennäköisyys sille, että heittäessä nasta päätyy piikki ylöspäin, on p = = 0,321. Näin laskettuna kyseessä on klassinen todennäköisyys. 2. suotuisa todennäköisyys. 3. tilastollinen todennäköisyys. 4. subjektiivinen todennäköisyys. 2004/38. Autokauppias Mustonen myy autoja. Tyypillisenä lauantaipäivänä kaupaksi menevien autojen lukumäärä on satunnaismuuttuja X, joka voi saada viisi arvoa. Myytyjen autojen todennäköisyysjakauma on annettu alla olevassa taulukossa. Myytyjen autojen lukumäärä (kpl) Todennäköisyys P (x j ) 0 0,2 1 0,1 2 0,2 3 0,4 4 0,1 Mustosen myymien autojen odotusarvo on 1. 2, , , ,5.

16 2005/37. Yritys Y toimii kaupungissa, jonka väestöstä on 55% naispuolisia ja 45% miespuolisia. 10% miespuolisista ja 2% naispuolisista on Y :n asiakkaita. Satunnaisesti valittu kaupungin asukas on yrityksen Y asiakas todennäköisyydellä p, jolloin 1. p 4% 2. 4% < p 5% 3. 5% < p 6% 4. 6% < p 2007/45. Monialayrityksen johto arvioi asiakkaitaan käyttäen kahta kriteeriä: kannattavuus ja myynti. Näiden perusteella asiakkaat on jaettu kannattavuuden mukaan kategorioihin hyvä (h), tyydyttävä (t) ja välttävä (v). Vastaavasti myynnin mukaan kategoriat ovat Hyvä (H), Tyydyttävä (T ) ja Välttävä (V ). Seuraava taulukko antaa asiakkaiden prosenttijakautuman kannattavuus-myyntipareittain. Myynti H Myynti T Myynti V Kannattavuus h Kannattavuus t Kannattavuus v Esimerkiksi pari Kannattavuus h ja Myynti T tarkoittaa kategoriaa, jossa asiakkaan kannattavuus on hyvä, myynti Tyydyttävä ja johon kuuluu 15% asiakkaista. Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Kategoriassa h H on 65% asiakkaista. 2. Kategoriassa h H on 20% asiakkaista. 3. Kategoriassa (h T ) c on 40% asiakkaista. 4. Kategoriassa (h T ) c on 85% asiakkaista. 2008/42. Kulhossa on 50 eriväristä palloa, joista 5 on punaista, 10 sinistä, 15 keltaista ja 20 vihreää. Pallojen yksilöimiseksi pallot on väreittäin numeroitu juoksevasti, eli punaiset pallot 1,..., 5, siniset 1,..., 10, jne. Kulhosta nostetaan aluksi satunnaisesti kaksi palloa, joista toinen on vihreä 4 ja toinen sininen 6. Palloja ei laiteta kulhoon takaisin. Tämän jälkeen kulhosta nostetaan satunnaisesti vielä yksi pallo. Tarkastellaan seuraavia tapahtumia: A = viimeksi nostetun pallon numero on 4 tai 6 ja B = viimeksi nostettu pallo on vihreä tai sininen. Mikä on tapahtuman A B todennäköisyys kahdella desimaalilla ilmaistuna? 1. 0, , , , 62

17 2009/44. Kosmetiikka-alan yritys suunnittelee uuden hajuveden tuomista markkinoille. Tuotepäällikkö on arvioinut seuraavan kumulatiivisen todennäköisyysjakauman ensimmäisen vuoden myynnille (merkitään X:llä) ilmaistuna miljoonissa pulloissa: X Kumulatiivinen tn. 0,01 0,10 0,20 0,30 0,50 0,75 0,85 0,95 1,00 Mikä seuraavista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. P (2 X 3) = 0, P (X 6) = 0, P (X 1) = 0, P (X < 3) = 0, /34. Käsitellään seuraavia väitteitä. A. Alkeistapahtumat ovat aina toisensa poissulkevia. B. Tapahtumat ovat aina toisensa poissulkevia. C. Tapahtuma ja tapahtuman komplementtitapahtuma ovat aina toisensa poissulkevia. Väitteistä ovat tosia 1. A, B ja C. 2. vain A. 3. vain A ja C. 4. vain C. 2003/36. Eräässä henkilön ryhmässä tiedetään 100 henkilöllä olevan Tauti. Testillä voidaan selvittää onko kyseessä tautitapaus vai ei, mutta testi ei ole täysin luotettava. Mikäli testattavalla on Tauti, on testitulos positiivinen (viitaten Tautiin) 99 tapauksessa sadasta, mutta testi on positiivinen myös yhdessä tapauksessa sadasta, vaikka testattavalla ei olekaan Tautia. Jos henkilön testitulos on positiivinen, on tilastollinen todennäköisyys sille, että henkilöllä on Tauti, 1. 0, , , ,98.

18 2003/37. Erään kaupungin aikuisesta väestöstä 50 % lukee sanomalehteä A, 70 % lukee kilpailevaa sanomalehteä B ja 20 % ei lue kumpaakaan lehteä. Kun kaupungista valitaan satunnaisesti yksi aikuinen, on todennäköisyys sille, että hän lukee kumpaakin lehteä, 1. 0, , , , /36. Jokainen myyntihenkilö yrityksessä nimeltä Vipu Oy on luokiteltu saavutusten perusteella kolmeen luokkaan: alle keskitason, keskitasoa, yli keskitason. Heidät on myös luokiteltu potentiaalisen kyvykkyyden mukaan luokkiin: kohtalainen, hyvä ja erinomainen. Näitä luokkia käyttäen 500 myyntihenkilöä on ristiintaulukoitu seuraavasti: Saavutusluokka kohtalainen hyvä erinomainen alle keskitason keskitasoa yli keskitason Oletetaan, että tuosta 500 myyntihenkilön joukosta valitaan satunnaisesti yksi henkilö. Mikä seuraavista todennäköisyyksistä ei ole tosi? 1. Todennäköisyys on 1/10, että henkilö on saavutukseltaan alle keskitason. 2. Todennäköisyys on 149/250, että henkilön potentiaalinen kyvykkyys on kohtalainen tai hyvä. 3. Todennäköisyys on 73/100, että henkilö ei ole potentiaaliselta kyvykkyydeltään erinomainen eikä saavutuksiltaan yli keskitason. 4. Todennäköisyys on 4/121, että henkilö on saavutuksiltaan alle keskitason ja potentiaaliselta kyvykkyydeltään kohtalainen.

19 2008/41. Tuotteen X valmistaminen voidaan jakaa suunnitteluun ja tuotteen konstruointiin. Tuotteen valmistumisaikojen arvioimiseksi 50 tuotteen valmistamisesta on kerätty historiatietoa sekä suunnittelusta että konstruoinnista. Sekä suunnitteluun että konstruointiin käytettävä aika vaihtelee alla olevan taulukon mukaisesti. Kun suunnitteluun on käytetty aikaa 2 kk (kuukautta), konstruointiin on mennyt aikaa 4 kk tai 8 kk. Vastaavat luvut 3 kk kestäneelle suunnittelulle ovat 3 kk ja 6 kk. Taulukossa oleva määrä ilmoittaa, kuinka usein kyseinen aika esiintyy historiatiedoissa. Suunnittelu Konstruointi Aika Määrä Aika Määrä 4 kk 18 kpl 2 kk 20 kpl 8 kk 2 kpl 3 kk 15 kpl 3 kk 30 kpl 6 kk 15 kpl Annettujen tietojen perusteella arvioidaan tulevaa kehitystä. Mikä seuraavista yllä olevaa tilannetta koskevista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Todennäköisyys, että tuotteen valmistamiseen menee aikaa 6 kk, on 0, Tuotteen valmistamisajan odotusarvo on 7,06 kk. 3. Tuotteen valmistamisajan odotusarvo on 6,67 kk silloin, kun suunnitteluun käytetään 2 kk. 4. Tuotteen suunnitteluajan odotusarvo on 2,6 kk. 4. luku - Päätösongelmien systeemianalyysi Päätösongelmien piirteitä 2002/37. Opiskelija harkitsee lähtöä syksyllä 2002 vaihto-oppilaaksi Saksaan suorittamaan kolmen vuoden tutkintoa. Päätösongelma on tällöin 1. deterministinen ja dynaaminen 2. deterministinen ja staattinen 3. stokastinen ja dynaaminen 4. stokastinen ja staattinen

20 4.2 - Yksinkertainen valintaongelma 2004/40. Piensijoittajan rahavarat r vuoden alussa ovat e, ja ne kasvavat korkoa vuotuisen korkotekijän R = 1,04 mukaisesti. Vuoden lopussa korko lisätään pääomaan, ja seuraavana vuotena vuotuinen korkotekijä on R = 1,10. Korkotuotto kahdelta vuodelta on (lähimpään kokonaislukuun pyöristettynä) e e e e Monitavoitteinen päätösongelma 2004/39. Mikä seuraavista väittämistä on oikein? Monitavoitteinen valintaongelma tarkoittaa, että valintatilanteessa 1. vaihtoehtoja on enemmän kuin kaksi. 2. valintaongelmaa tarkastellaan vähintään kahden periodin yli. 3. vaihtoehdot määritellään usean rajoituksen avulla. 4. vaihtoehtoja verrataan usean eri kriteerin näkökulmasta. 2003/38. Oletetaan, että 2-tavoitteisen päätösongelman käypien tavoitepisteiden (g 1, g 2 ) joukko G muodostuu seuraavasta kahdeksasta pisteestä: ( 8, 8), (9, 0), (4, 6), (8, 4), (6, 4), (5, 5), (9, 2) ja (4, 9). Kummankin tavoitteen arvo halutaan mahdollisimman suureksi, jolloin G:n Pareto-optimaaliset eli tehokkaat pisteet ovat 1. kaikki kahdeksan pistettä. 2. (4, 9), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (8, 4) ja (9, 2). 3. (4, 9), (5, 5), (8, 4) ja (9, 2). 4. (4, 9), (8, 4) ja (9, 2). 2005/38. Määritellään käypien ratkaisujen joukko X siten, etta se käsittää kaikki pisteet (x 1, x 2 ), jotka toteuttavat ehdot 1 x 1 2 ja 0 x 2 2 ja sekä x 1 että x 2 ovat kokonaislukuja. Määritellään maksimoitavat tavoitteet g 1 ja g 2 siten, että g 1 = 2x 1 x 2 ja g 2 = 2x 1 + 3x 2. Määrittelemällä a = (0, 4), b = (2, 2), c = (4, 4), d = (2, 2), e = (1, 1) ja f = (3, 1) Pareto-optimaalisten pisteiden (g 1, g 2 ) joukko muodostuu 1. janoista ad ja cd. 2. pisteistä a, c, d ja e. 3. janoista ab ja bc. 4. pisteistä a, b, c ja f.

21 2008/47. Yritys Plan Oy on kartoittanut kuusi mahdollista alla olevassa taulukossa esitettyä suunnitelmaa seuraavalle vuodelle. Suunnitelmaa arvioidaan kahdella tavoitteella: kokonaiskustannus (minimoidaan) ja kate (maksimoidaan). Alla olevassa taulukossa kokonaiskustannus ilmaistaan vastalukuna, jolloin ongelmaa voidaan tarkastella molempien tavoitteiden maksimointitehtävänä. Kokonaiskustannuksen vastaluku Kate A -2 3 B -3 6 C -5 5 D -7 8 E F Suunnitelmista A ja E voidaan muodostaa uusi suunnitelma G kertomalla suunnitelmien A ja E tavoitesuureiden arvot ei-negatiivisilla painoilla (w 1 0 ja w 2 0), jotka summautuvat ykkoseen (w 1 + w 2 = 1) : G = w 1 A + w 2 E. Painot maaritetaan suunnittelun aikana. Suunnitelmia vastaaviin tavoitepisteisiin viitataan samoilla symboleilla kuin itse suunnitelmiin. Mikä seuraavista yllä olevia suunnitelmia koskevista väittämistä ei pidä paikkaansa? 1. Suunnitelma B dominoi suunnitelmaa C. 2. Suunnitelman G painot voidaan määrittää siten, että suunnitelma G dominoi suunnitelmaa D. 3. Suunnitelman G painot voidaan määrittää siten, että suunnitelma B dominoi suunnitelmaa G. 4. Suunnitelma G dominoi suunnitelmaa F aina, jos painojen summan sallitaan olevan enintään 1,02 (w 1 + w 2 1,02).

22 2007/46. Sijoittaja arvioi investointivaihtoehtojen tuottoa kahden tavoitteen näkökulmasta: g 1 = vuosituoton odotusarvo (%) ja g 2 = vuosituoton standardipoikkeama (%). Tavoitesuureen g 1 hän haluaisi mahdollisimman suureksi ja tavoitesuureen g 2 mahdollisimman pieneksi. Kahdeksan vaihtoehtoisen sijoitussuunnitelman osalta hän on päätynyt seuraaviin tavoitesuureiden arvoihin: Sijoitussuunnitelma Odotusarvo g 1 (%) Standardipoikkeama g 2 (%) Näiden kesken määräytyy Pareto-optimaalisten pisteiden joukko sijoitussuunnitelmista 1. 2, 4, 5, 6, , 4, 6, , 5, , Dynaaminen tarkastelu Epävarmuuden huomiointi 2000/37. Eräässä monivalintakokeessa, jossa kussakin kysymyksessä on viisi vaihtoehtoa, saa oikeasta vastauksesta +5 pistettä, väärästä vastauksesta 2 pistettä ja vastaamatta jättämisestä +1 pistettä. Jos henkilö käyttää valinnassaa odotusarvokriteeriä, niin pienin subjektiivinen todennäköisyys, jolla hänen vielä kannattaa vastata yksittäiseen kysymykseen, on 1. 1/5 2. 1/4 3. 2/5 4. 3/7

23 2005/39. Yrityksellä on valittavana yksi neljästä projektista A j, j = 1, 2, 3, 4. Kustakin projektista saatava voitto eli tulos riippuu markkinoiden kehityksestä, jota yritysjohto kuvaa mahdollisilla skenaarioilla S i ja todennäköisyyksillä p i, i = 1, 2, 3. Jos projekti A j valitaan, on tulos skenaarion S i tapauksessa v ij (1 000 e). Lukuarvot parametreille v ij ja todennäköisyydet p i, kaikille i ja j, on annettu seuraavalla taulukolla: A 1 A 2 A 3 A 4 p i % S , 25 S , 25 S , 50 Riskineutraali valinta perustuu tuloksen odotusarvon maksimointiin ja äärimmäisen riskiä karttava valinta huonoimman tuloksen maksimointiin. Muodostetaan kombinoitu valintakriteeri painotettuna keskiarvona näistä kahdesta kriteeristä antamalla sama paino 0, 5 kummallekin. Optimivalinta kombinoidulla kriteerillä on 1. A 1 2. A A A /39. Yrityksellä on valittavana yksi neljästä projektista A j, j = 1, 2, 3, 4. Kustakin projekteista saatava voitto riippuu markkinoiden kehityksestä, jota yritysjohto kuvaa kolmella mahdollisella skenaariolla S i, i = 1, 2, 3. Jos projekti A j valitaan, on voitto skenaarion S i tapauksessa v ij (1 000 euroa). Lukuarvot parametreille v ij, kaikille i ja j, on annettu seuraavalla taulukolla: A 1 A 2 A 3 A 4 S S S Paras valinta max-min-kriteerin nojalla on 1. A 1 2. A A A 4.

24 2007/47. Yritys on järjestämässä rock-festivaalia tulevan vuoden kesällä. Säätilastot osoittavat, että festivaalipäivinä ilma on lämmintä (L) todennäköisyydellä 0, 8 ja viileää (V ) todennäköisyydellä 0, 2. Jos L sattuu, on sää poutainen (P ) todennäköisyydellä 0, 75 ja sateinen (S) todennäköisyydellä 0, 25. Vastaavasti jos V sattuu, on poutaista (P ) todennäköisyydellä 0, 5 ja sateista (S) todennäköisyydellä 0, 5. Yrityksen voitto festivaalista riippuu säätilasta seuraavasti: Lämpötila L Lämpötila V Sateisuus P 300 te 0 te Sateisuus S -100 te -200 te Yritys harkitsee sadevakuutusta, joka korvaa puolet tappiosta siinä tapauksessa, että S sattuu (ts. festivaalisää on sateinen). Voiton odotusarvoa maksimoivan yrityksen kannattaa maksaa vakuutuksesta korkeintaan 1. 5 te te te te Kilpailuongelmat 2005/40. Tarkastellaan täydellisen kilpailun markkinatilannetta, jossa erään tuotteen kokonaistarjonnan ollessa v (yks/v) määräytyy markkinahinta hintafunktion p = 100 5v (e/yks) mukaan. Markkinoilla kilpailevat kaksi yritystä A ja B. Niiden tuotantomääriä merkitään x A ja x B (yks/v), jolloin kokonaistarjonta on v = x A + x B. Keskimääräisiä tuotantokustannuksia merkitään vastaavasti symboleilla c A ja c B (e/yks). Nämä kustannukset kasvavat tuotantomäärien mukana siten, että c A = x A ja c B = , 5x B. Hinnalla p olisi tällöin yrityksen A voitto (p 40 5x A )x A ja yrityksen B voitto (p 60 2,5x B )x B. Näiden perusteella määräytyvät optimaaliset tuotantomäärät x A (p) ja x B (p) hinnan p funktioina sekä kokonaistarjonta v(p) = x A (p) + x B (p). Kysynnän ja tarjonnan tasapaino määrää täydellisen kilpailun tasapainohinnan p, joka on e/yks e/yks e/yks e/yks.

25 2007/48. Kuvitteellisessa valtiossa sähkön hinta p (e/kwh) riippuu sähkön kulutuksesta q (TWh/v) funktion p = 0,30 0,002q mukaan. Sähkön tarjonnasta huolehtivat kaksi kilpailevaa yritystä i, joiden tuotantomäärät ovat q i (TWh/v), i = 1, 2. Olkoon c i yrityksen i sähkön tuotannon rajakustannus (eli tuotetusta sähkön lisäyksiköstä aiheutuva muuttuvien yksikkökustannusten lisäys) tuotannon tasolla q i. Rajakustannus nousee tuotantomäärän kasvaessa siten, että yrityksellä 1 se on c 1 = 0,10 + 0,001q 1 (e/kwh) ja yrityksellä 2 se on c 2 = 0,06 + 0,002q 2 (e/kwh). Sähkön hinta sekä määrät q 1, q 2 ja q määräytyvät täydellisen kilpailun markkinatasapainossa. Ilmastonmuutoksen hillitsemiseksi valtio asettaa yritysten maksettavaksi hiilidioksidin päästöveron, joka nostaa sähköntuotannon rajakustannuksia yrityksellä 1 määrän 0,03 e/kwh ja yrityksellä 2 määrän 0,01 e/kwh. Päästövero muuttaa täydellisen kilpailun markkinatasapainoa ja sen myötä sähkön hinta nousee noin 1. 10% 2. 12% 3. 14% 4. 16% 2000/40. Tarkastellaan tilannetta, jossa erään tuotteen markkinoilla kilpailee kaksi yritystä A ja B. Yrityksen A tarjonta on X A ja yrityksen B tarjonta X B (yksikköä vuodessa). Tarjonta määräytyy markkinatasapainohinnan p perusteella seuraavasti: X A = 5(p 200), kun p 200, muulloin 0 ja X B = 2(p 400), kun p 400, muulloin 0. Tuotteen hinta p määräytyy funktion p = 500 0,1V perusteella, missä V = X A + X B on tuotteen kokonaistarjonta. Markkinatasapainohinta on tällöin mk mk mk mk.

26 2003/40. Markkinoilla kuluttajien kysynnän q (yks/päivä) ja tuotteen hinnan p (euroa/yks) välillä vallitsee hintafunktio p = 100 q. Näillä kuvitteellisilla markkinoilla toimii kaksi yritystä A ja B. Kun tuotantomääriä merkitään muuttujilla x A ja x B (yks/päivä), ovat tuotantokustannukset euroissa c A (x A ) = x A ja c B (x B ) = x B, jolloin A:n voitto on px A c A (x A ) ja B:n voitto on px B c B (x B ). Täydellisen kilpailun markkinatasapainossa kysyntä on kokonaistarjonta eli q = x A +x B, tuotteen hinta on hintafunktion mukainen ja kummallakin yrityksellä tuotanto on valittu siten, että voitto maksimoituu, jolloin 1. tuotteen hinta on 50 euroa/yks. 2. yritys A tuottaa enemmän kuin yritys B. 3. yrityksen A voitto on suurempi kuin yrityksen B voitto. 4. yritys B tuottaa yli puolet kokonaistarjonnasta Yhteistyöongelmat

27 Vuosi 2000 Tehtävä Vastaus , Vuosi 2001 Vuosi 2002 Vuosi 2003 Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Vuosi 2004 Vuosi 2005 Vuosi 2006 Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus , Vuosi 2007 Vuosi 2008 Vuosi 2009 Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus Tehtävä Vastaus