Korhonen s problem Ratkaisuja Hannu Korhonen

Transkriptio

1 Korhonen s problem Ratkaisuja Hannu Korhonen Tehtävä ei ole ratkaistavissa laskemalla läheskään niin yksinkertaisesti kuin sen alkeisgeometrinen muoto antaa ymmärtää. Saattaa siksi olla viisainta tutkia tilanteita aluksi ja vielä pitkäänkin piirtelemällä tai dynaamisen mallin avulla. Jos et halua piirtää kuvioita alusta lähtien, voit käyttää liitteenä olevia dynaamisia Geogebra-matletteja. Kokonaisuudessaan tilanne on aika monimutkainen, sillä jokaisella janalla on säteen arvon erikoistapauksia lukuunottamatta kaksi mahdollisuutta. Kuviin on piirretty kaksi mahdollisuutta tapauksissa 12x ja 123x, missä x on säteen mukana muuttuva sivu. x x x x Läheskään kaikki näistä murtoviivoista nx eivät rajoita monikulmiota, koska murtoviiva leikkaa itseään, kuten alla olevan kuvien siniset vaihtoehdot. Siksi seuraavilla sivuilla on esitetty ratkaisuina vain sellaisia vaihtoehtoja, joissa aina seuraava kiinteä sivu "kulkee eteenpäin" ympyrän kaarta pitkin, toisin sanoen joissa uuden kiinteäpituisen sivun ja edellisen sivun välinen kulma on suurempi. Tällöin murtoviiva muodostaa aina monikulmion. Useimmissa tapauksissa sivun pituus x ei ole esitettävissä suljetussa muodossa. Siksi tehtävät 1 5 on ratkaistu "vain" geometrisesti piirtämällä. Tulokset ovat siis Geogebralla piirretyistä kuvista saatavia likiarvoratkaisuja.

2 1. r 0,5, kun n = 1 (janaksi supistuva triviaalitapaus) r 1, kun n = 2 r 1,5, kun n = 3 r 2,003, kun n = 4 r 2,72, kun n = 5 r 3,65, kun n = 6 r 4,75, kun n = 7 r 6,02, kun n = x < 3, kun n = 2, missä x on muuttuva sivu. 1,44 x < 6, kun n = 3 0 < x <, kun n 4 Jänneviisikulmio-1234x säteen arvolla 4,02. Muuttuvan sivun pituus on tällöin x 7,71 ja pinta-ala noin 14,0. 3. Ala kasvaa aluksi r:n kasvaessa ja sitten pienenee lähestyen hitaasti nollaa. 4. Suurin pinta-ala on 1, kun n = 2, r = noin 4,90, kun n = 3, r 2,06 noin 14,6, kun n = 4, r 3,33 noin 33,8, kun n = 5, r 4,92 noin 67,4, kun n = 6, r 6,82 noin 121,1, kun n = 7, r 9,05 noin 201,5, kun n = 8, r 11,59... Jänneviisikulmion-1234x alan suurin arvo on noin 14,6. Se saavutetaan, kun säde on noin 3,3. 5. Pinta-alalla ei ole pienintä arvoa, vaan se lähestyy nollaa, kun säde kasvaa rajatta. 6. Kuvion täytyy täyttää kaksi ehtoa. Ensiksi pisimmänkin jänteen pitää mahtua ympyrän sisään: 2r n. Toiseksi kaikkien jänteiden pitää mahtua "yhdelle kierrokselle", toisin sanoen määräpituisia jänteitä 1, 2, 3,... n vastaavien keskuskulmien summan pitää olla pienempi kuin 360 :, kun n 4.

3 Lausutaan tämä jänteiden pituuksien avulla: Ratkaisu ei ole esitettävissä suljetussa muodossa. Numeerisia ratkaisuja edellä kohdassa 1.. Kummankin epäyhtälön pitää siis olla voimassa. Edellinen rajoitus on tiukempi n:n arvoon 3 saakka ja jälkimmäinen siitä eteenpäin. Liitteet: Simo Kivelä on ystävällisesti tarkastellut eräitä ratkaisuja Mathematica-ohjelmalla. Tulokset ovat liitteinä seuraavilla sivuilla.

4 n Epäyhtälö k 1 arcsin k 2 r r tuntematon, n parametri In[86]:= Out[86]= Π, Funktio arcsin on kasvava, joten summan jokainen termi on vähenevä. Epäyhtälö on siis voimassa jostakin arvosta r lähtien ja tämä löytyy ratkaisemalla vastaava yhtälö. Funktion arcsin argumentin on oltava 1, joten tulee olla r n2. Epäyhtälön vasemman puolen määrittely: vp SumArcSink 2 r, k, 1, n n k 1 ArcSin k 2 r Arvoilla n 2 ja n 3 vastaavalla yhtälöllä ei ole ratkaisua ja epäyhtälössä kelpaa mikä tahansa r: In[139]:= arc vp. n 2 Out[139]= ArcSin 1 In[140]:= 2 r ArcSin 1 r Plotarc, Pi, r, 1, Out[140]= In[116]:= arc vp. n 3 Out[116]= ArcSin 1 In[117]:= 2 r ArcSin 1 r Plotarc, Pi, r, 1, 5 ArcSin 3 2 r Out[117]=

5 2 Hannu.nb Tapaus n 4 Asetetaan parametriarvo muuttujaan m ja jätetään n yleiseksi indeksiksi: In[99]:= m 4 Out[99]= 4 In[118]:= arc vp. n m Out[118]= ArcSin 1 2 r ArcSin 1 3 ArcSin r 2 r ArcSin 2 r In[120]:= Jotta arcusfunktioista päästään eroon, yhtälön molempiin puoliin sovelletaan sinifunktiota (jolloin juurten määrä saattaa kasvaa): alg Sinarc Out[120]= SinArcSin 1 2 r ArcSin 1 3 ArcSin r 2 r ArcSin 2 r In[121]:= Sievennys periaatteessa sinin yhteenlaskukaavalla ja lausumalla kosini sinin avulla: alg TrigExpandalg Out[121]= r r r 2 2 r r r 2 2 r In[122]:= r r r Tämä voidaan sieventää, mutta tällä tuskin mitään voitetaan: alg FullSimplifyalg, r m r r Out[122]= 1 4 r r2 6 1 r r 2 29 r 4 4 r r 2 21 r 4 4 r r r In[123]:= Kuvat sekä alkuperäisestä että muunnetusta vasemmasta puolesta verrattuna vastaavaan oikeaan puoleen: Plotarc, Pi, r, 1, 5, AxesOrigin 1, Out[123]=

6 Hannu.nb 3 In[124]:= Plotalg, r, 1, 5, AxesOrigin 1, Out[124]= In[126]:= Yksi juuri näyttäisi olevan. Algebrallinen ratkaiseminen ei auta, joten turvaudutaan numeeriseen (Newtontyyppiseen): arcnolla FindRootarc Pi, r, 2.5 Out[126]= In[127]:= Out[127]= In[128]:= Out[128]= r algnolla FindRootalg 0, r, 2.5 r Kummassakin tapauksessa oleellisesti sama tulos, joka toteuttaa yhtälöt laskentatarkkuudella: arc, alg. arcnolla , Tapaus n 5 Sama lasku kuin edellä vaihtaen vain parametrin m arvo ja numeerisen yhtälönratkaisun alkuarvo: In[129]:= m 5 Out[129]= 5 In[130]:= arc vp. n m Out[130]= ArcSin 1 2 r ArcSin 1 3 ArcSin r 2 r ArcSin 2 5 ArcSin r 2 r In[131]:= alg Sinarc Out[131]= SinArcSin 1 2 r ArcSin 1 3 ArcSin r 2 r ArcSin 2 5 ArcSin r 2 r

7 4 Hannu.nb In[132]:= alg TrigExpandalg Out[132]= r 2 4 r 5 4 r r r r 2 2 r r 2 8 r r 2 2 r r r r r r r 2 2 r r r r In[133]:= r r r Saadun tuloksen voisi sieventää kuten edellä, mutta laskenta kestää kauan eikä siitä ole apua. Plotarc, Pi, r, 1, 5, AxesOrigin 1, 0 2 r Out[133]= In[134]:= Plotalg, r, 1, 5, AxesOrigin 1, Out[134]= In[136]:= Out[136]= arcnolla FindRootarc Pi, r, 3 r

8 Hannu.nb 5 In[137]:= algnolla FindRootalg 0, r, 3 Out[137]= In[138]:= Out[138]= r arc, alg. arcnolla ,

9 Simo K. Kivelä, Jännekulmion ratkaisu Mathematicalla tapauksessa n=3 Ympyrä, jolla pisteet sijaitsevat (keskipiste Hp, ql, p=1ê2, q parametri, säde r = p 2 + q 2 ): In[1]:= p = 1ê2; In[2]:= In[3]:= Out[3]= r = Sqrt@p^2+q^2D; ymp = Hx pl^2+hy ql^2 r^2 êê Simplify x 2 2qy+y 2 x Huomaa: Jos syöte päättyy puolipisteeseen, se vain lasketaan, mutta tulosta ei näytetä. Kaksi ensimmäistä pistettä. Nämä sijaitsevat ympyrällä parametrista q riippumatta ja niiden välinen etäisyys on = 1. In[4]:= a = 80, 0<; b = 81, 0<; Seuraava piste C on etäisyydellä 2 pisteestä B, ts. ympyrällä In[5]:= ymp2 = Hx b@@1ddl^2+hy b@@2ddl^2 2^2 êê Simplify Out[5]= H 1+xL 2 +y 2 4 C saadaan kahden ympyrän leikkauspisteenä. Sievennetään tulos olettaen, että q>0: In[6]:= rtk = Simplify@Solve@8ymp, ymp2<, 8x, y<d, q > 0D Out[6]= ::x 3+4q2 4q 3+4q 2 1+4q 2, y 8q 2 3+4q2 1+4q 2 >, :x 3+4q2 +4q 3+4q 2 1+4q 2, y 2 4q+ 3+4q 2 1+4q 2 >> Ratkaisuja on luonnollisesti kaksi: In[7]:= c1 = H8x, y< ê. rtk@@1ddl Out[7]= : 3+4q2 4q 3+4q 2 1+4q 2, 8q 2 3+4q2 1+4q 2 > In[8]:= c2 = H8x, y< ê. rtk@@2ddl Out[8]= : 3+4q2 +4q 3+4q 2 1+4q 2, 2 4q+ 3+4q 2 1+4q 2 > Merkintä lsk/.uøv tarkoittaa, että lausekkeeseen lsk sijoitetaan u:n paikalle v. Valitaan näistä jälkimmäinen, koska sen y-koordinaatti on suurempi. Mitä tapahtuisi, jos valittaisiin edellinen? Seuraavan pisteen D tulee olla etäisyydellä 3 pisteestä C:

10 2 Hannu2.nb In[9]:= ymp3 = Hx c2@@1ddl^2+hy c2@@2ddl^2 3^2 êê Simplify Out[9]= 3 4q 2 4q 3+4q 2 1+4q 2 +x 2 2 4q+ 3+4q 2 + +y 1+4q In[10]:= Out[10]= rtk2 = Simplify@Solve@8ymp, ymp3<, 8x, y<d, q > 0D 1 ::x I1+4q 2 M q2 +4q 4 17q 3+4q 2 +4q 3 3+4q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2, y 2032q q 7 256q 4 3+4q 2 +32q 6 3+4q 2 +6q 2 3+4q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2 6q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2 6q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2 ì JI1+4q 2 M 2 I12 15q 2 +4q 4 MN>, :x 1 I1+4q 2 M 24 11q2 +4q 4 17q 3+4q 2 +4q 3 3+4q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2, y 2032q q 7 256q 4 3+4q 2 +32q 6 3+4q 2 +6q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2 + 6q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16 q 3 3+4q q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2 + 6q 2 3+4q I 2+q 2 M 12+65q 2 56q 4 +16q 6 +28q 3+4q 2 16q 3 3+4q 2 ì JI1+4q 2 M 2 I12 15q 2 +4q 4 MN>> Jälleen kaksi ratkaisua. Lausekkeet ovat pitkät, joten jätetään ne näyttämättä: In[11]:= d1 = 8x, y< ê. rtk2@@1dd; d2 = 8x, y< ê. rtk2@@2dd; Näiden etäisyydet origosta (jälleen pitkiä lausekkeita): In[12]:= dist1 = Sqrt@d1@@1DD ^2 + d1@@2dd ^2D; dist2 = Sqrt@d2@@1DD^ 2 + d2@@2dd^ 2D; Etäisyyksien kuvaajat (muuttujana pisteitä kantavan ympyrän keskipisteen y-koordinaatti):

11 Hannu2.nb 3 In[13]:= Plot@8dist1, dist2<, 8q, 1.3, 3<, GridLines Automatic, AxesOrigin 81, 0<, PlotStyle 8Blue, Red<D 5 4 Out[13]= Noin kohdassa q=1.6 oleva pystyviiva johtuu siitä, että pisteet vaihtavat paikkaa neliöjuurifunktion haaralta toiselle siirtymisen takia. Kohta, jossa pisteet yhtyvät: In[14]:= raja = Solve@dist1 dist2, qd Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. à Out[14]= 98q 1<, 9q 2 =, 9q 2 == Etäisyys origosta: In[15]:= Out[15]= dist = Hdist1 ê. raja@@3ddl êê Simplify In[16]:= Ja numeerisesti: dist êê N Out[16]= Vastaava ympyrän säde: In[17]:= Out[17]= r0 = r ê. raja@@3dd 3 2 In[18]:= Kaikkiaan: Jännenelikulmioita on kaksi, jos kantavan ympyrän säde on > 3. Tällä arvolla ratkaisut yhtyvät ja 2 sivun DA pituus on º Sivun pituuden vaihteluväli ympyrän säteen 3 muuttuessa saadaan raja-arvoista: Limit@8dist1, dist2<, q InfinityD Out[18]= 80, 6< Tämä on tietenkin nähtävissä geometrisestikin. Kuvat:

12 4 Hannu2.nb Tapaus r > 3 2 : In[19]:= Graphics@88Black, Thickness@0.01D, Line@8a, b, c2<d<, 8Blue, Thickness@0.01D, Line@8c2, d1, a<d<, 8Red, Thickness@0.01D, Line@8c2, d2, a<d<, 8Black, Circle@8p, q<, rd, PointSize@0.03D, Point@aD, Point@bD, Point@c2D, Point@d1D, Point@d2D, Point@8p, q<d<< ê. q 1.5, ImageSize 250D Out[19]= Tapaus r = 3 2 : In[20]:= Graphics@88Black, Thickness@0.01D, Line@8a, b, c2<d<, 8Blue, Thickness@0.01D, Line@8c2, d1, a<d<, 8Black, Circle@8p, q<, rd, PointSize@0.03D, Point@aD, Point@bD, Point@c2D, Point@d1D, Point@8p, q<d<< ê. raja@@3dd, ImageSize 250D Out[20]=