KVANTTIFYSIIKAN ILMIÖMAAILMA...1

Transkriptio

1 KVANTTIFYSIIKAN ILMIÖMAAILMA Historiaa Klassisen sähkömagnetismin perusideoita Mustan kappaleen säteily Valosähköinen ilmiö Sähkömagneettisen säteilyn sironta vapaista elektroneista Fotoni Stationääriset tilat Stationääristen tilojen kokeellinen havaitseminen Säteilyn vuorovaikutus väliaineen kanssa Kentät ja hiukkaset De Broglie aallonpituus Hiukkaset ja aaltopaketit Heisenbergin epämääräisyysperiaate paikalle ja liikemäärälle Ajan ja energian epämääräisyysyhtälö... 50

2 1.1 Historiaa 1 Kvanttifysiikan ilmiömaailma 1.1 Historiaa 1800-luvun lopussa ja 1900-luvun ensineljänneksen aikana tehtiin useita sähkömagneettisen säteilyn ja väliaineen vuorovaikutukseen liittyviä kokeellisia havaintoja, joita ei voitu selittää klassisen sähkömagnetismin avulla. Klassisen sähkömagnetismin teoriaa olivat 1800-luvulla kehittäneet mm. Ampere, Laplace, Faraday, Henry ja Maxwell. Klassinen sähkömagnetismi voidaan esittää Maxwellin yhtälöiden muodossa. Näissä yhtälöissä SM-kentän vuorovaikutus väliaineen kanssa kuvataan sähköisen permittiivisyyden, magneettisen suskebtibiliteetin ja sähkön johtavuuden avulla luvun alussa kehittyi myös aineen atomirakennetta käsittelevä teoria. Se tiivistyi vähitellen Bohrin atomimallin muotoon. Kolmas ilmiö, jonka kuvaamiseen klassisen fysiikan lait eivät riittäneet, oli elektronien sironta kiteisestä aineesta. Kokeellisesti mitattu intensiteettijakauma ei noudattanut Newtonin mekaniikan ennusteita, vaan sironneet elektronit muodostivat interferenssikuvioista sähkömagneettisten aaltojen tapaan. Näiden kokeellisten havaintojen selittämiseksi kehitettiin useita, lähinnä älykkääseen arvaukseen ja intuitioon perustuvia, malleja. Ajan kuluessa näistä aluksi ilman tarkkoja perusteluja esitetyistä ideoista kehittyi vähitellen aineen mikrorakenteen teoria, joka tunnetaan kvanttimekaniikan nimellä. Kvanttimekaniikan keskeisin idea on kuvata hiukkasia aineaaltokentällä, josta hiukkasten mitattavissa olevat ominaisuudet seuraavat luvulla (P. Dirac) kvanttimekaniikkaan kehitettiin yleistys, kvanttisähködynamiikkaa, joka yhdistää aineen mikrorakenteen ja sähkömagneettisten kenttien teoriat. Kvanttisähködynamiikassa kvanttimekaaniseen hiukkasten käyttäytymistä ja rakennetta kuvaavaan aineaaltomalliin liittyy kvantittuneen sähkömagneettisen kentän kuvaaminen fotonien avulla. Kvanttisähködynamiikan matemaattista perustaa täydensi myöhemmin mm. R. Feynman vuosina Tässä luvussa tarkastellaan aineen mikroraken-

3 Kvanttifysiikan ilmiömaailma teen ilmiömaailmaa. Tavoitteena on antaa taustatietoa myöhemmin käsiteltävien matemaattisten lähestymistapojen pohjaksi ja auttaa ymmärtämään, miten kokeellisten matemaattisten ja tieteellisen intuitioon perustuvien tutkimusmenetelmien yhdistäminen johti 1800-luvun lopussa ja luvun alussa kvanttifysiikan nopeaan läpimurtoon. Olemme liittäneet kvanttifysiikan ilmiöt mikroskooppisiin hiukkasiin tai hiukkassysteemeihin. Mikroskooppisia hiukkasia ovat esimerkiksi atomin ytimen muodostavat protonit ja neutronit sekä positiivista ydintä kiertävät elektronit. Hiukkassysteemejä ovat atomit, molekyylit ja kiteet. Yksinkertaistaen voimme sanoa, että kvanttifysiikan aineaaltoilmiöt määräävät atomien ja molekyylien elektronirakenteen. Atomien elektronitilat puolestaan määräävät sen, minkälaisen kiteen, nesteen tai kaasun atomit tietyssä lämpötilassa ja paineessa muodostavat. Aineen atominen rakenne määräytyy siis kvanttifysiikan lakien mukaan. Jos tunnemme atomien tai kiinteän aineen elektronirakenteen, voimme johtaa sen avulla makroskooppisiin kappaleisiin materiaaliominaisuudet, kuten sähkönjohtavuuden sekä optiset ja mekaaniset ominaisuudet. Näin voimme tehdä suoria aistihavaintoja makroskooppisen mittakaavan ilmiöistä, joiden selittäminen on mahdollista vain kvanttimekaniikan ja kvanttisähködynamiikan avulla. Vaikka esimerkiksi makroskooppisten kappaleiden väri määräytyy kvanttimekaniikan laeista, makroskooppiset kappaleet noudattavat klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä. Aineaaltoilmiöt vaikuttavat välittömästi vain mikroskooppisiin hiukkasiin, joihin liittyvän aineaallon pituus on suurempi, kuin hiukkasen liikettä rajoittavien potentiaaliesteiden ulottuvuus. Tästä syystä kvanttimekaaniset ilmiöt korostuvat atomien elektronirakenteessa ja molekyylien ja kiinteän aineen rakenteessa atomitasolla. Kuten myöhemmin tulemme oppimaan, makroskooppisten kappaleiden aallonpituus on hyvin pieni ja kvanttiefektit pieniä. Joidenkin kvanttimekaniikan yksityiskohtien kokeellinen tutkimus on tullut mahdolliseksi vasta viime vuosikymmenten aikana. Erityisesti kvanttimekaniikan ja klassisen fysiikan välistä raja-aluetta on tutkittu aktiivisesti. Näin on voitu mm. osoittaa, että atomeissa esiintyy korkeasti viritettyjä elektronitiloja, joissa elektroni käyttäytyy Keplerin lakien mukaisesti. Tällaisia viritettyjä atomeja kutsutaankin planetaarisiksi atomeiksi.

4 1. Klassisen sähkömagnetismin perusideoita 3 Planetaarisessa atomissa uloimman elektronin radan halkaisija voi olla tuhansia vetyatomin halkaisijoita. Viime vuosina on voitu osoittaa kokeellisesti, että klassinen fysiikka seuraa tietyissä olosuhteissa kvanttimekaniikasta, joka näin sisältää klassisen fysiikan erikoistapauksena! Vaikka kvanttimekaniikka voitanee katsoa teoreettisena tai matemaattisena rakenteena täysin ymmärretyksi, sen menestystarina jatkuu teknologisissa sovellutuksissa. Tietotekniikan läpimurto on synnyttänyt teollisuudenalan, jonka tavoitteena on yhä pienempien sähköisten ja optisten komponenttien (transistorit, laserit) valmistaminen. Viimeaikainen kehitys on johtanut nanoteknologiaan, jossa aktiivisten rakenteiden ulottuvuus on vain muutamia atomikerroksia. Kehitteillä oleva uusi komponenttisukupolvi tulee perustumaan kvanttiefektien hyödyntämiseen. Kvanttimekaniikkaan perustuen ollaan myös kehittämässä kokonaan uudentyyppistä kvantti-informaatioteknologiaa, jossa tiedon tallentaminen ja prosessointi perustuu elektronitilojen vaiheinformaation tallentamiseen ja lukemiseen. Näin kvanttimekaniikka on siirtymässä fyysikkojen työpöydältä elektroniikkasuunnittelijoiden työkaluksi.

5 4 Kvanttifysiikan ilmiömaailma 1. Klassisen sähkömagnetismin perusideoita Kahden varatun hiukkasen välistä sähkömagneettista vuorovaikutusta voidaan parhaiten ymmärtää näiden varausten muodostamien sähkö- ja magneettikenttien avulla. Kun varattu hiukkanen on levossa tarkkailijan suhteen, havaitaan vain varauksen luoma staattinen sähkökenttä (Kuva 1-1). Jos varaus on liikkeessä tarkkailijaan nähden havaitaan sekä sähkö- että magneettikentät (Kuva 1-). Hiukkasen muodostamat sähkö- ja magneettikentät riippuvat hiukkasen nopeudesta ja kiihtyvyydestä tarkkailijaan nähden. Koska varauksen muodostamat sähkö- ja magneettikentät riippuvat varauksen liiketilasta, puhutaankin yleisesti varatun hiukkasen muodostamasta sähkömagneettisesta kentästä. Vastaavasti, kun varattu hiukkanen liikkuu muiden hiukkasten muodostamassa kentässä, siihen kohdistuu voima, jonka saamme yhtälöstä F = q( E + v B ), missä E ja B ovat sähkökentän voimakkuus ja magneettivuon tiheys. Näiden vektorisuureiden lyhyempinä ilmaisuina olkoon sähkökenttä ja magneettikenttä vastaavasti. Newtonin liikeyhtälössä voima on yhtä suuri kuin massa kertaa se kiihtyvyys, jonka tietty tarkkailija havaitsee, kun tarkkailijan sähkö- ja magneettikentille saamat mittausarvot ovat E ja B, ja tarkkailijan havaitsema nopeus on v. Kuva 1-1 Staattinen varaus. Kuva 1- Liikkuva varaus.

6 1. Klassisen sähkömagnetismin perusideoita 5 Klassisesta sähkömagnetismista muistamme, että sähkömagneettinen kenttä sisältää energiaa. Energiatiheys on tyhjiössä 1 1 E = ε0e + B µ 0, (1.1) missä ε 0 ja µ 0 ovat tyhjiön permittiivisyys ja permeabiliteetti, vastaavasti. On luontevaa olettaa, että staattisen sähkömagneettisen kentän energiatiheys on ajasta riippumaton ja vastaavasti, jos kenttä on aikariippuva, niin myös kentän energiatiheys muuttuu ajan funktiona. Aikariippuva sähkömagneettinen kenttä on yhteydessä sähkömagneettisiin aaltoihin, jotka etenevät valon nopeudella c = 1/ εµ 3 10 ms (1.) Sähkömagneettiset aallot kuljettavat siis kentän energiaa; energiatiheys etenee valon nopeudella aaltojen mukana. Sähkömagneettista aaltoliikettä kutsutaan myös sähkömagneettiseksi säteilyksi. Paikallaan oleva varaus ei säteile sähkömagneettista energiaa, koska siihen liittyy ajasta riippumaton sähkökenttä. Edelleen voidaan osoittaa, että varaus, joka on tasaisessa liikkeessä laboratoriokoordinaatiston suhteen ei myöskään säteile sähkömagneettista energiaa. Jos varaus on kiihtyvässä liikkeessä, hiukkasen ympärilleen luoman sähkömagneettisen (SM) kentän energia muuttuu ajan funktiona. Kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus säteilee sähkömagneettista energiaa. Voidaan osoittaa, että varauksen q, joka liikkuu nopeudella v, kiihtyvyyden ollessa a, säteilemän sähkömagneettisen energian määrä aikayksikköä kohden on de dt = q a 3 6πε c. (1.3) 0 Yhtälössä (1.3) oletimme, että hiukkasen nopeus v on itseisarvoltaan pieni valon nopeuteen verrattuna. Kiihtyvässä liikkeessä oleva varaus säteilee energiaa, joten varaukselle on tuotava ulkoisella energianlähteellä lisää energiaa myös tämän energiahäviön korvaamiseksi. Varauksen energiahäviöiden kompensointi tapahtuu esimerkiksi antennissa sopivan kiihtyvyyden antavan jännite-eron avulla.

7 6 Kvanttifysiikan ilmiömaailma Energian säteilylaki (1.3) on voimassa myös silloin, kun varauksen nopeusvektorin itseisarvo pienenee eli varauksen liike hidastuu. Tällöin varattu hiukkanen menettää liikeenergiaansa ja osa liikeenergiahäviöstä emittoituu sähkömagneettisena säteilynä. Kun suureen nopeuteen kiihdytetty alkeishiukkanen, kuten elektroni Kuva 1-3 Jarrutussäteilyn muodostuminen röntgenputkessa. Elektronit emittoituvat kuumalta tai protoni, osuu tiiviistä hehkukatodilta ja kiihtyvät muutaman kilovoltin aineesta (neste, kide tai jännitteen yli törmäten metalliseen anodiin. Voimakkaan hidastumisen johdosta elektronit emittoivat intensiivistä amorfinen aine) tehtyyn kohtioon, se pysähtyy nopeasti ja hyvin suuri osa sen kokonaisliike-energiasta emittoituu sähkömagneettisena (SM) säteilynä. Tätä säteilyä kutsutaan jarrutussäteilyksi. Jarrutussäteily onkin pääasiallinen mekanismi, jolla röntgensäteily muodostuu kaupallisissa röntgenputkissa (Kuva 1-3). Elektronispektroskopian sovellutuksissa röntgensäteilystä hyödynnetään usein jarrutussäteilyn tasoa intensiivisemmät, mutta energialtaan kapeat anodimateriaalille ominaiset (karakteristiset) säteilyenergiat, joihin palaamme röntgenspektrien muodostumisen yhteydessä. Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kykyä emittoida SM-säteilyä hyödynnetään myös synkrotronisäteilylähteissä. Näissä suuri määrä varauksia kiihdytetään lähes valon nopeuteen ja johdetaan ympyrän muotoiseen magneettiseen koossapitoon perustuvaan ns. varastorenkaaseen. Kiertäessään ympyrärataa varaukset emittoivat intensiivistä SM-säteilyä, jota kutsutaan synkrotronisäteilyksi. Synkrotronisäteilyä käytetään laajalti aineen atomi- ja elektronirakenteen tutkimuksessa. Liikkeessä olevan varauksen emittoima sähkömagneettinen säteily voi edelleen vuorovaikuttaa muiden hiukkasten kanssa. Tästä syystä kahden varauksen välistä vuorovaikutusta voidaan kuvata sähkömagneettisen säteilyn emissiona ja sitä seuraavana säteilyn absorptiona. Samalla tapahtuu

8 1.3 Mustan kappaleen säteily 7 varausten välistä energianvaihtona sähkömagneettisen kentän välityksellä. Radiolähettimessä elektronien edestakainen liike antennissa muodostaa radioaallon. Radioaalto aiheuttaa vastaanottimessa elektronien kiihtyvän liikkeen, jota vahvistamalla voidaan muodostaa esimerkiksi langaton tiedonsiirtojärjestelmä. Klassisessa sähkömagnetismissa väliaineen ja sähkökentän välistä vuorovaikutusta kuvataan permittiivisyyden, permeabiliteetin ja johtavuuden avulla. Näiden materiaaliparametrien arvo voidaan määrätä kokeellisin mittauksin tai vaihtoehtoisesti johtaa teoreettisesti aineen mikrorakennetta kuvaavasta kvanttimekaanisesta mallista. Klassinen sähkömagneettinen teoria (Maxwellin yhtälöt) sisältää aineen mikrorakennetta kuvaavan tiedon muutaman parametrin kautta. Kun nämä parametrit tunnetaan voidaan klassisella mallilla kuvata esimerkiksi radioaaltojen emissiota ja absorptiota. On kuitenkin olemassa myös sellaisia sähkömagneettiseen säteilyyn liittyviä ilmiöitä, kuten laser (light emission by stimulated emission of radiation), joita klassinen teoria ei pysty kuvaamaan. Kvanttisähködynamiikasta lähtien voidaan osoittaa, että klassinen SM-kenttä saadaan aina riittävän tiheän ja ajan funktiona hitaasti muuttuvan fotonikentän raja-arvona. Mikroskooppisessa mittakaavassa gravitaatiovoimilla on niiden heikkouden takia vain vähän merkitystä. 1.3 Mustan kappaleen säteily Tarkastellaan kiteisestä aineesta valmistettuun kappaleeseen tehtyä kaviteettia (onteloa), jonka seinämät ovat vakiolämpötilassa. Kaviteetin seinämien atomit voivat absorboida sähkömagneettisten aaltojen energiaa. Tasapainotilassa atomit vastaavasti emittoivat saman määrän energiaa sähkömagneettisten aaltojen muodossa kaviteettiin. Näin muodostuu termodynaaminen tasapaino kaviteetin seinien ja kaviteetissa olevan sähkömagneettisen kentän välille. Kokeellisesti on voitu osoittaa, että kaviteettiin muodostuvan sähkömagneettisen kentän energiajakauma (energia säteilyn taajuuden funktiona) noudattaa aina tiettyä lämpötilasta riippuvaa, mutta ontelon materiaalista riippumatonta lakia.

9 8 Kvanttifysiikan ilmiömaailma Tarkastelemme lähemmin tiettyä sähkömagneettisen säteilyn taa- f, f + df. juusväliä [ ] Tälle energiavälille sijoittuvien sähkömagneettisen kentän osaaaltojen energiatiheys on g f on g( f ) df, missä ( ) energiatiheys taajuuden yksikköväliä kohden. Tämä energiatiheys on esitetty kuvassa 1-4 kolmessa eri lämpötilassa. Kuva 1-4 Mustan kappaleen säteilyn energiatiheys (tilavuuden ja taajuuden yksikköä kohden) eri lämpötiloilla taajuuden funktiona Nämä tulokset saatiin jo vuonna 1899 mittauksissa, jotka Lummer ja Pringsheim suorittivat. Kuvasta 1-4 havaitaan, että kussakin lämpötilassa energiatiheydellä on maksimiarvo tietyn taajuuden kohdalla. Intensiteetin maksimikohtaa vastaavan taajuuden arvo kasvaa lämpötilan kasvaessa, mikä selittää kappaleiden värinmuutoksen lämpötilan kohotessa. Kun teemme onteloon pienen aukon, osa siellä olevasta säteilystä pääsee vuotamaan ulos ja voimme analysoida säteilyn intensiteettiä energian funktiona. Oletamme aukon niin pieneksi, että sen kautta ulos vuotava säteily ei häiritse termodynaamista tasapainoa ontelon seinien ja SM-säteilykentän välillä. Kun kappaleen lämpötila on hyvin korkea, aukko vaikuttaa hyvin kirkkaalta (valkoiselta). Vastaavasti, jos lämpötila on alhainen, aukko vaikuttaa mustalta ja aukosta purkautuvan säteilyn intensiteetti on hyvin pieni, erityisesti näkyvällä sähkömagneettisen spektrin alueella. Ontelosta emittoituvaa säteilyä kutsutaan mustan kappaleen säteilyksi. Nimi johtuu siitä, että termodynamiikassa täysin musta kappale absorboi jokaisen sähkömagneettisen kentän kvantin eli fotonin, joka osuu kappaleen pinnalle. Viime vuosisadan loppuun mennessä kaikki pyrkimykset selittää kuvan 1-4 energiajakauma lähtien klassisen fysiikan käsitteistä olivat epäonnistuneet.

10 1.3 Mustan kappaleen säteily 9 Saksalainen fyysikko Max Planck ehdotti vuonna 1900, että säteilyn energiajakauman ja kaviteetin seinämän atomien energioiden välillä olisi tietty yhteys. Planck kuvasi kaviteetin atomeja mallilla, jossa atomien oletettiin käyttäytyvän harmonisten oskillaattoreiden tavoin siten, että kukin atomeista värähteli taajuudella f. Hän oletti edelleen, että kukin harmoninen oskillaattori saattoi absorboida ja emittoida säteilyä ainoastaan energiapaketteina eli fotoneina, joiden energian suuruus oli suoraan verrannollinen oskillaattorin värähtelytaajuuteen f. Merkitsemällä energiaa, jonka oskillaattori saattoi vaihtaa sähkömagneettisen kentän kanssa yhden vuorovaikutusprosessin aikana suureella E, Planck kirjoitti E = hf, (1.4) missä h on verrannollisuusvakio, jonka hän oletti samaksi kaikille oskillaattoreille. Yhtälö (1.4) tunnetaan Planckin fotonihypoteesina. Näin ollen oskillaattorin vuorovaikuttaessa kentän kanssa, sen energia kasvoi tai pieneni hyppäyksittäin määrällä hf. Tämä edellytti, että atomien muodostamien oskillaattoreiden energiatilat ovat kvantittuneet, toisin sanoen oskillaattorin energia voi saada vain arvoja 0, hf, hf, 3hf, jne. Näihin sallittuihin arvoihin voidaan energiatilojen erotusten muuttumatta lisätä vielä jokin vakiotermi, palaamme tähän lähemmin harmonisen oskillaattorin käsittelyn yhteydessä. Oskillaattorin sallitut energiat voidaan nyt esittää muodossa En = nhf + E0, missä n on positiivinen kokonaisluku ja E 0 tuntematon vakioenergia. Ajatus jonkin fysikaalisen systeemin energioiden kvantittumisesta oli selvässä ristiriidassa klassisen fysiikan lakien kanssa. Klassisessa fysiikassa kappaleen tai usean kappaleen muodostaman systeemin energia voi muuttua jatkuvasti. Sähkömagneettisen kentän amplitudi on itseisarvoltaan jatkuva suure ja näin ollen myös SM-kentän energiatiheys voi muuttua jatkuvasti. Klassinen sähkömagnetismi oli siis ristiriidassa Planckin fotonihypoteesin (1.4) kanssa. Kvanttisähködynamiikasta lähtien voidaan osoittaa, että klassinen SM-kenttä saadaan aina riittävän tiheän ja ajan funktiona hitaasti muuttuvan fotonikentän raja-arvona Tilastollisessa fysiikassa olemme osoittaneet, että tasapainossa olevan sähkömagneettisen kentän fotonien muodostaman kaasun energiajakauma on muotoa

11 10 Kvanttifysiikan ilmiömaailma E( f) = 3 8π hf 1 c e 3 hf / kt 1, (1.5) missä k on Boltzmannin vakio. Tämä intensiteettijakauma vastaa hyvin tarkkaan eri lämpötiloissa saatuja koetuloksia ja on nimeltään Planckin säteilylaki. Planckin säteilylaki johti useiden sähkömagneettisen kentän ja väliaineen vuorovaikutuksiin liittyvien uusien ideoiden syntymiseen. Yhtälössä (1.4) käyttöön otettu vakio h tunnetaan Planckin vakiona. Se on nykyään yksi tärkeimmistä ja tarkimmin tunnetuista luonnonvakioistamme ja sen likiarvona on h 34 = 6, Js. (1.6) Esimerkki 1.1. Wienin siirtymälaki Kuva 1-4 esittää energiatiheyttä (1.5) kolmella eri lämpötilan arvolla. Huomaamme, että jakauman maksimi siirtyy korkeampiin taajuuksiin lämpötilan kasvaessa. Energiatiheyden maksimia vastaava taajuus saadaan derivoimalla energiatiheys (1.5) taajuuden suhteen: ( ) de f df = 0. (1.7) Yhtälö (1.7) voidaan ratkaista vain numeerisesti, jolloin maksimikohtaa vastaavaksi taajuudeksi saadaan kt -1 fmax = 4,9651 s h. (1.8) Vastaavasti voidaan kirjoittaa yhtälö maksimi-intensiteettiä vastaavalle aallonpituudelle. Sijoittamalla fmax = c/ λmax saadaan λ max T = hc / k. (1.9) Maksimi-intensiteettiä vastaavan aallonpituuden ja lämpötilan tulo on siis (lämpötilasta riippumaton) vakio. Yhtälö (1.9) tunnetaan Wienin siirtymälain nimellä. Yhtälö (1.9) selittää miksi nuotiossa pidetty rautanaula hehkuu punaisena, kun taas paljon naulaa kuumempi hitsausliekki näyttää siniseltä. Hehkulampun langan lämpötila ( K) on paljon alhaisempi kuin auringon pintalämpötila (5000 K). Tästä johtuen hehkulampun valossa otetut diakuvat näyttävät keltaisilta tai punaisilta.

12 1.4 Valosähköinen ilmiö 11 Esimerkki 1.. Stefan-Boltzmanin laki Energian kokonaistiheys (integroituna yli fotonien taajuuden) saadaan yhtälöstä (1.5) integroimalla 8π h f Etot = E f df = df c e 1 3 ( ) 3. (1.10) hf kt 0 0 Tekemällä muuttujanvaihto x = hf kt saadaan df = ( kt h) dx, jolloin E tot 4 3 8π h kt x = dx 3 h. (1.11) x c e 1 0 Integraalin arvo on 6,4938 ja energiatiheys voidaan kirjoittaa Etot 4 = at, (1.1) missä laki a = 51,9504π k c h. Tulos (1.1) on nimeltään Stefan-Boltzmannin

13 1 Kvanttifysiikan ilmiömaailma 1.4 Valosähköinen ilmiö Tutkiessaan kahden elektrodin välistä sähkövirtaa Hertz havaitsi vuonna 1887, että elektrodien välinen sähkövirta kasvoi, kun toista elektrodeista valaistiin ultraviolettivalolla. Tämä viittasi siihen, että elektrodin pinnalta irtosi elektroneja valon vaikutuksesta. Myöhemmin Wilhelm Hallwachs havaitsi saman ilmiön eräille muille metalleille kuten sinkille, rubidiumille, kaliumille ja natriumille. Ilmiötä, jossa metallin tai aineen pinnalta irtoaa Kuva 1-5 Fotoelektronivirta metallin pinnalle osuvan sähkömagneettisen säteilyn taajuuden elektroneja sähkömagneettisen säteilyn vaikutuksesta kutsutaan va- funktiona. losähköiseksi ilmiöksi ja vastaavasti irronneita elektroneja fotoelektroneiksi. Elektronivirran havaittiin kasvavan sähkömagneettisen säteilyn intensiteetin funktiona. Fotoelektronivirta riippuu kuitenkin myös pinnalle osuvan sähkömagneettisen säteilyn taajuudesta eli sähkömagneettisen kentän fotonien energiasta. Kullekin metallille on olemassa tietty kynnystaajuus, jonka alapuolella fotoelektronivirtaa ei havaita, olipa sähkömagneettisen säteilyn intensiteetti kuinka suuri tahansa. Tämäkin on tosin approksimaatio: hyvin suurella SM-säteilyn intensiteetillä tulevat niin sanotut monen fotonin yhtäaikaiset absorptioprosessit mahdolliseksi ja tällöin kynnysenergia voidaan saavuttaa pienemmillä taajuuksilla. Tähän tarvitaan kuitenkin tähtiensotalaserin teho, joten jätämme monen fotonin yhtäaikaisen absorption tarkastelun jatkokursseihin. Metallin pinnalla on niin sanottuja johtavuuselektroneja, jotka voivat liikkua likimain vapaasti metallissa. Johtavuuselektroneilla ei ole normaalilämpötilassa niin suurta energiaa, että ne voisivat irrota metallista pinnalla olevan potentiaalikynnyksen takia. Voimme ajatella, että johtavuuselektronit ovat metallikappaleessa potentiaalikuopassa, jonka ulkopuolella elektronien potentiaalienergia on tyypillisesti muutamia elektronivoltteja korkeampi. Muistamme tilastollisesta fysii-

14 1.4 Valosähköinen ilmiö 13 kasta, että tietyssä lämpötilassa hiukkasen keskimääräinen lämpöenergia on suuruusluokkaa kt. Kun huoneenlämpötilassa kt on noin 5 mev, voimme päätellä, että vain hyvin harvoilla johtovyön elektroneilla on niin suuri terminen energia, että ne voivat paeta metallikappaleesta tämä potentiaalikynnyksen läpi. Elektronien irtoamista metallista voidaan edesauttaa kuumentamalla metallia. Tähän perustuukin elektronivirran muodostuminen elektroniputkessa. Lämpöliikkeen ohella emissiovirran muodostumiseen vaikuttaa kvanttifysiikalle ominainen tunneloitumisilmiö, johon tulemme palaamaan myöhemmin. Kuten edellä totesimme voidaan elektronien emissiota metallin pinnalta jouduttaa ultraviolettivalon avulla. Tarkastelemme seuraavaksi ehtoa, joka metallin pinnalle tulevien kvanttien on toteutettava, jotta tarvittava kynnysenergia saavutetaan yhden fotonin absorption yhteydessä. Merkitsemme tarvittavaa kynnysenergiaa suureella φ. Tämä on se energia, joka yhden elektronin on vähintään saatava, jotta se voisi irrota metallin pinnan muodostamasta potentiaalikuopasta. Jos fotonin energia on E jää elektronin liike-energiaksi irtoamisen jälkeen Ek = E φ. (1.13) Jos fotonin energia on pienempi kuin kynnysenergia φ, ei fotoelektronivirtaa voi muodostua. Vuonna 1905 Einstein yhdisti kyseisen kynnysehdon sähkömagneettisen kentän fotonien taajuuteen. Einstein ehdotti, että vuorovaikuttaessaan metallin pinnalle tulevan ultraviolettisäteilyn fotonien kanssa elektronit käyttäytyvät samaan tapaan kuin atomien muodostamat harmoniset värähtelijät mustan kappaleen seinämissä. Energia, jonka elektroni saa yhden elektroni-fotonitörmäyksen aikana, on yhtä suuri kuin absorboituneen fotonin energia. Voimme siis kirjoittaa E = hf ja sijoittamalla tämä yhtälöön 1.13 saadaan Ek = hf φ (1.14) Huomattakoon, että energia φ, joka tarvitaan johtovyön elektronin irrottamiseen metallista ei ole vakio. Ne johtovyön elektronit, jotka sijaitsevat ylimmillä energiatiloilla tarvitsevat vähemmän energiaa irrotakseen metallista. Merkitsemme ylimmillä energiatiloilla olevien (siis löyhimmin metalliin sidottujen) johtovyön elektronien energiaa φ 0. Suuretta φ 0 kut-

15 14 Kvanttifysiikan ilmiömaailma sutaan myös metallin työfunktioksi tai irrotustyöksi. Johtovyön ylimpien johtavuuselektronien kineettinen energia voidaan siis esittää muodossa Ek,max = hf φ0. (1.15) Asettamalla elektronin liike-energia nollaksi voimme ratkaista tästä yhtälöstä taajuuden kynnysarvon f 0. Kynnysarvoa f 0 pienemmillä sähkömagneettisen kentän taajuuksilla ei siis havaita fotoelektronivirtaa. Tämä johtuu siitä, että absorptiossa saatava energia ei riitä irrottamaan Kuva 1-6 Koejärjestely valosähköisen ilmiön mittaamiseksi. metallista edes johtovyön ylimpiä elektroneja. Näin Einsteinin ehdottama malli selittää fotoemission intensiteetin riippuvuuden metallin pinnalle tulevan sähkömagneettisen säteilyn taajuudesta. Voimme mitata kutakin fotonin taajuutta vastaavan fotoelektronin suurimman liikemäärän ja liike-energian kuvan 1-6 koejärjestelyllä. Levyjen A ja C välistä estojännitettä V 0 säätämällä voidaan hidastaa levyltä A irtoavia fotoelektroneja. Tietyllä jännitteen arvolla fotoelektronien etenemistä jarruttava sähkökenttä on niin suuri, että nopeimmatkin fotoelektronit pysähtyvät ennen levyä C. Kineettinen energia toteuttaa siis yhtälön Ek,max = ev0, ja yhtälöstä 1.15 saamme ev0 = hf φ0. (1.16) Muuttamalla levylle tulevan säteilyn taajuutta saamme sarjan fotonien taajuutta vastaavia estojännitteen arvoja. Mittaustulokset muodostavat kokeellisen tarkkuuden rajoissa suoran viivan (kuva 1-7). Tulos vastaa teorian mukaista käyttäytymistä (1.16). Mittaustuloksia keskimääräisesti ku- tan α = h e. Mittaamalla vaavan viivan kulmakerroin on teorian mukaan ( )

16 1.5 Sähkömagneettisen säteilyn sironta vapaista elektroneista 15 kulma α ja käyttämällä tunnettua alkeisvarauksen arvoa, voimme siis määrätä myös Planckin vakion arvon. Näin saatu arvo on sama kuin mustan kappaleen säteilylain avulla saatu Planckin vakion arvo. Tulosta voitiin näin ollen pitää Planckin kvanttihypoteesin lisävahvistuksena. Mittaustuloksista voidaan määrätä myös kynnystaajuus f 0 ja sen avulla metallin irroitustyö φ 0. Kuva 1-7 Estojännite fotonien taajuuden funktiona. 1.5 Sähkömagneettisen säteilyn sironta vapaista elektroneista Edellä tarkastelimme sähkömagneettiseen kenttään liittyvää energiatiheyttä. Klassisesta sähkömagnetismista tiedämme kuitenkin, että sähkömagneettisella kentällä on myös liikemäärää. Klassisen sähkömagnetismin mukaan sähkömagneettisen kentän liikemäärä ja energia toteuttavat yhtälön E = cp. (1.17) Erikoisessa suhteellisuusteoriassa osoitetaan, että lepomassallisen hiukkasen energia ja liikemäärä toteuttavat yhtälön E = c m c + p. (1.18) 0 Tästä voimme päätellä, että energian ja liikemäärän suhde on sähkömagneettisessa kentässä sama kuin nollalepomassaiselle hiukkaselle. Huomaa, että yhtälö (1.17) on yhtälön (1.18) raja-arvo lepomassalliselle hiukka-

17 16 Kvanttifysiikan ilmiömaailma selle, kun m c << p. Lähelle valon nopeutta kiihdytetty hiukkanen 0 noudattaa siis samaa energia-liikemäärä-yhtälöä kuin fotoni. Kun sähkömagneettisia aaltoja emittoituu, absorboituu tai siroaa, sähkömagneettisen kentän fotonit vaihtavat sekä energiaa että liikemäärää vuorovaikutuksen toisen osapuolen kanssa. Tarkasteltaessa sähkömagneettisen kentän ja väliaineen välistä vuorovaikutusta on aina otettava huomioon sekä energian että liikemäärän säilymislait. Näiden säilymislakien lisäksi meidän tulee tarkastella myös kulmaliikemäärän säilymistä vuorovaikutuksessa. Kulmaliikemäärän säilymiseen liittyviä ilmiötä tarkastellaan lähemmin kvanttifysiikan jatkokursseissa. Sähkömagneettisen kentän ja vapaiden elektronien vuorovaikutukseen liittyy tiettyjä rajoituksia säilymislakien toteutumisen suhteen. Tarkastellaan esimerkkinä sähkömagneettisen säteilyn absorptiota. Jos elektroni absorboi kentältä energiamäärän E, sen on myös otettava vastaan liikemäärä, itseisarvoltaan p = E c. Olettakaamme nyt, että elektroni on en- Kuva 1-8 Vapaasta elektronista Comptonsironneiden fotonien intensiteetti säteilyn nen absorptiota levossa laboratoriokoordinaatistossa. Tällöin SM- aallonpituuden ja sirontakulman funktiona. kentän energia siirtyy elektronin liike-energiaksi. Oletamme lisäksi, että elektroni on täysin vapaa eikä sen potentiaalienergia muutu absorption aikana. Erikoisen suhteellisuusteorian mukaan voimme kirjoittaa elektronin liike-energian muodossa

18 1.5 Sähkömagneettisen säteilyn sironta vapaista elektroneista 17 Ek Ek = c mec + pe mec. Jos sijoitamme tähän yhtälöön elektronin liikemääräksi pe = E c ja kineettiseksi energiaksi = E, kuten säilymislait edellyttävät, huomaamme että yhtälö ei mene tasan. Voimme siis päätellä, että vapaa elektroni ei voi absorboida sähkömagneettista säteilyä siten, että energian ja liikemäärän säilymislait voisivat toteutua yhtäaikaisesti. Palaamme tähän kappaleessa 1.6. Miksei liikemääränsäilymislakia otettu huomioon aiemmin valosähköisen ilmiön tarkastelun yhteydessä? Yksinkertaisella laskulla voidaan osoittaa, että valosähköisessä ilmiössä metallikappale (suuren massan takia) ottaa suurimman osan fotonin liikemäärästä. Metallikappaleen saama energia on kuitenkin merkityksettömän pieni elektronin saamaan energiaan verrattuna. Näin fotonin energia siirtyy käytännössä kokonaisuudessaan elektronille. Kokeellisesti on havaittu, että sähkömagneettisen säteilyn läpäistessä väliaineen, jossa tiedetään olevan likimain vapaita elektroneja, havaitaan alkuperäisen säteilyn lisäksi sironnutta säteilyä, jonka taajuus (ja energia ) poikkeaa alkuperäisen säteilyn taajuudesta. Tämä muuttuneen taajuuden omaava säteily on ilmeisestikin sironnut aineessa olevista vapaista elektroneista. Sironneen säteilyn taajuus on pienempi kuin tulevan säteilyn, ja aallonpituus vastaavasti pidempi kuin näytteeseen saapuvan säteilyn aallonpituus. Kuva 1-8 esittää sironneen säteilyn aallonpituuden riippuvuuden säteilyn alkuperäisen aaltovektorin ja sironneen säteilyn aaltovektorin välisen kulman, eli sirontakulman θ funktiona. SM-säteilyn sirontaa vapaista elektroneista kutsutaan Comptonin sironnaksi, amerikkalaisen fyysikon Comptonin mukaan. Compton havaitsi tämän ilmiön kokeellisesti 190-luvulla. Merkitsemme jatkossa alunperäisen eli sisään tulevan säteilyn aallonpituutta λ ja vastaavasti λ on sironneen säteilyn aallonpituus. Compton havaitsi, että aallonpituuden muutos λ λ riippuu ainoastaan sirontakulmasta θ. Kuva 1-9 esittää Comptonin sironnan mittaamisessa käytettävää koejärjestelyä. Alkuperäinen säteily oletetaan tasoaalloksi, joka saapuu näytteeseen vaakatasossa, vasemmalta oikealle. Sironneen säteilyn aallonpituus voidaan mitata sirontakulman θ funktiona. Ajattelemme, että vapaa elektroni

19 18 Kvanttifysiikan ilmiömaailma on aluksi likimain paikallaan kuvan osoittamassa pisteessä. Comptonin kokeellisten tuloksien mukaan sironneen säteilyn ja tulevan säteilyn aallonpituuksien erotus voidaan esittää yhtälönä c ( 1 cos ) λ λ = λ θ (1.19) missä λ c on vakio, jonka arvo on 1 λ c m =. Tätä vakiota kutsutaan elektronien Compton-aallonpituudeksi. Aallonpituudelle pätee λ = c ν, joten voimme kirjoittaa yhtälön (1.19) myös muodossa 1 1 λc = ( 1 cosθ ). (1.0) f ' f c Tarkastelemme nyt Comptonin sirontaa energian ja liikemäärän säilymislakien avulla. Voimme ajatella sähkömagneettisen kentän ja elektronin vuorovaikutusta sähkömagneettisen aallon ja elektronin välisenä törmäyksenä, johon liittyy energian ja liikemäärän vaihtoa. SM-aalto etenee valon nopeudella ja aallon energia on valon nopeus kertaa liikemäärä. Olkoon E ja E nollalepomassaisen hiukkasen energiat ennen ja jälkeen törmäyksen ja p = E c sekä p = E c vastaavat liikemäärät. Oletamme, että vapaan Kuva 1-9 Comptonin sironnan mittaamisessa käytetty geometria. elektronin liikemäärä ennen törmäystä on nolla ja merkitsemme elektronin liikemäärää p. Säilymislakien mukaan voimme nyt kirjoittaa yhtälöt e p = p + p e (1.1) E+ m c = E + c m c + p. (1.) e e e Yhtälöstä (1.1) saamme ratkaisemalla elektronin liikemäärän suhteen, p = p p. Neliöimällä tämän yhtälön saamme e

20 1.5 Sähkömagneettisen säteilyn sironta vapaista elektroneista 19 1 pe = p + p pp i = ( E + E EE cosθ ), c missä θ on nollalepomassaisen hiukkasen liikemäärävektorien välinen kulma, eli sirontakulma. Ratkaisemalla yhtälön (1.) elektronin liikemäärän neliön suhteen saamme vastaavasti ( E+ mec E ) 1 pe = m ec = E + E + ( E E ) mec EE c c. Asettamalla nyt yllä olevat elektronin liikemäärän neliön lausekkeet yhtä suuriksi ja eliminoimalla muutamia yhteisiä termejä saamme EE E E = ( 1 cosθ ). mc e Jakamalla molemmat puolet suureella EE saamme yhtälön = E E mc e ( 1 cosθ ). (1.3) Sovelletaan nyt yhtälöön (1.3) Planckin fotoniolettamusta, jonka mukaan sähkömagneettinen säteily koostuu fotoneista, joiden energia voidaan esittää muodossa Planckin vakio kertaa taajuus; E = hf. Vastaavasti sironneen fotonille E = hf '. Sijoittamalla nämä tulokset yhtälöön 1.3 saamme sen muotoon = ( 1 cosθ ) (1.4) hf ' hf mc e ja edelleen sieventämällä saamme yhtälön 1 1 h = ( 1 cosθ ). (1.5) f ' f mc e Käyttämällä lopuksi aallonpituuden lauseketta λ = c f, saamme vastaavasti yhtälön (1.5) muotoon ( hmc)( 1 cos ) λ λ = θ (1.6) e

21 0 Kvanttifysiikan ilmiömaailma Yhtälö (1.6) vastaa Comptonin kokeellista tulosta, jos yhtälössä (1.0) esiintyväksi vakioksi valitaan λ c = h mc e. Comptonin sironnan kuvaaminen SM-säteilyn kvanttien ja elektronin törmäyksenä vahvistaa jälleen Planckin hypoteesin oikeaksi. Edellisestä tarkastelusta huomataan myös, että fotonien ja väliaineen elektronien vuorovaikutus noudattaa klassisesta fysiikasta tunnettuja säilymislakeja. Yllä oleva tarkastelumme ei vastaa kysymykseen millä todennäköisyydellä fotonit siroavat tiettyyn kulmaan θ. Compton-sironneiden fotonien intensiteetin kulmajakauman johtaminen edellyttää säilymislakien lisäksi sähkömagneettisen säteilyn ja väliaineen välisen vuorovaikutuksen yksityiskohtaisempaa tuntemista. Tämä on mahdollista vain kvanttisähködynamiikan sirontayhtälöiden avulla. Nämä yhtälöt kuvaavat yhtäaikaisesti sekä kvantittunutta sähkömagneettista kenttää että aineen mikrorakenteeseen kuuluvia elektroneja ja näiden vuorovaikutusta. Vaikka kvanttisähködynamiikka on teoriana tämän alkeiskurssin ulkopuolella, tulemme kuitenkin lyhyesti myöhemmin palaamaan fotonien ja elektronien väliseen vuorovaikutukseen eräiden yksinkertaisten esimerkkien avulla.

22 1.6 Fotoni Fotoni Tarkastelemme nyt lähemmin Comptonin ilmiötä ja fotoni-käsitettä. Edellä esitetty tarkastelu perustui seuraaviin olettamuksiin: A) Voimme kuvata sähkömagneettisen säteilyn vuorovaikutusta elektronien kanssa törmäyksenä elektronin ja nollalepomassaisen hiukkasen välillä. B) Sähkömagneettinen säteily koostuu lepomassattomista hiukkasista, joilla on tietty energia ja liikemäärä ja joita kutsutaan fotoneiksi. C) Fotonin energia ja liikemäärä noudattavat yhtälöitä E = hf, p= h λ. Voimme havainnollistaa Compton efektiä kuvan 1-10 avulla. Tulevaan sähkömagneettiseen säteilyyn kuuluvaa fotonia havainnollistaa kuvan vasemmassa osassa oleva nuoli. Fotonin energia E = hf ja liikemäärä p = h λ. Elektroni on aluksi paikallaan, mutta saa törmäyksen seurauksena tietyn liikemäärän ja liike-energian. Merkitsemme elektronin saaman liikemäärän suuntaa suhteessa alkuperäiseen fotonin liikesuuntaan kul- Kuva 1-10 Fotonien liikemäärät ja energiat malla φ ja vastaavasti sironneen fotonin suuntaa suhteessa tulevan fotonin suuntaan kulmalla θ. Kvanttisähködynamiikassa osoitetaan, että Compton sirontaa tulisi tarkastella kaksivaiheisena prosessina. Voimme ajatella, että ensimmäisessä vaiheessa fotoni, jolla on energiaa E = hf, absorboituu ja elektroni saa tulevan fotonin energian ja liikemäärän. Myöhemmin elektroni vastaavasti emittoi uuden fotonin, jolla on energiaa E = hf '. Näin elektronille jää kineettistä energiaa määrä Ee = E E ja liikemäärää vastaavasti p e = p p. Elektronin saama liike-energia ja liikemäärä toteuttavat erikoisen suhteellisuusteorian mukaisen yhtälön E = c m c + p m c ja samalla toteutuu energian ja liikemäärän k säilymislaki. 0 e 0

23 Kvanttifysiikan ilmiömaailma Kuva 1-11 Kahden varauksen sähkömagneettinen vuorovaikutus fotoninvaihtona. Mustan kappaleen säteilyn ominaisuudet, fotosähköinen ilmiö ja Comptonin efekti osoittavat kaikki sähkömagneettisen säteilyn koostuvan energiakvanteista, fotoneista. Sähkömagneettisen säteilyn vuorovaikutus väliaineen kanssa tapahtuu fotonien absorption ja emission avulla. Tämä on uusi fysiikan peruslaki, jota ei voida johtaa klassisen mekaniikan tai klassisen sähkömagnetismin teorioista. Sen sijaan voimme osoittaa, että klassinen sähkömagneettinen kenttä edustaa tämän fotoneista koostuvan kvantittuneen sähkömagneettisen kentän erästä erikoistapausta. Fotonikäsitteen kehittyminen vuosisadan alussa oli modernin fysiikan kehityksen merkkipaaluja. Klassisessa sähkömagnetismissa ajattelemme, että kaksi varattua hiukkasta vuorovaikuttaa keskenään sähkö- ja magneettikenttien välityksellä. Fotoni-käsitteen avulla Kuva 1-1 Sähkömagneettinen spektri. voimme havainnollistaa tätä vuorovaikusta kuvan 1-11 mukaisella diagrammilla. Kuva esittää kahta varattua hiukkasta, joiden liikemäärät ennen fotoninvaihtoa ovat p 1 ja p,. Vastaavat suureet fotonin vaihdon jälkeen ovat p 1 ja p. Ajattelemme, että varattujen

24 1.7 Stationääriset tilat 3 hiukkasten ympärilleen luoma sähkö- ja magneettikenttä koostuu fotoneista, joita toinen varaus voi absorboida. Fotoninvaihto kahden varauksen välillä on tilastollinen ilmiö. Fotonien läsnäolo luo tietyn todennäköisyyden, että fotoni voi jonain tiettynä ajanhetkenä absorboitua. Klassisen sähkömagneettisen teorian mukaiset kahden varauksen välisen voiman lausekkeet voidaan johtaa fotonien siirtämän energian ja liikemäärän aikakeskiarvoina. Makroskooppisessa klassisessa maailmassa kokeellisesti havaittavissa olevat aikavälit ovat niin suuria, että niiden kuluessa tapahtuu suunnattoman monta fotonin vaihtoa kahden varauksen välillä. Klassisen fysiikan lait kahden varauksen vuorovaikutukselle voidaan täten johtaa fotonien absorptio- ja emissio-prosessien avulla. Kuva 1-1 esittää sähkömagneettisen säteilyn spektriä, sekä eri taajuuksia ja aallonpituuksia vastaaville sähkömagneettisen säteilyn lajeille yleisesti käytettyjä nimityksiä. 1.7 Stationääriset tilat Planckin säteilylain yhteydessä oletettiin, että elektroneilla, jotka vuorovaikuttavat säteilykentän kanssa, on tiettyjä, tässä tapauksessa tasavälein sijaitsevia, energiatiloja. Käytännössä sallitut energiatilat ovat niin lähellä tosiaan, että mustan kappaleen tapauksessa ne muodostavat energiatilajatkumon. Säteilykentän fotonien absorptio ja emissio on mahdollista, jos ontelon seinämässä olevan atomin muodostama harmoninen värähtelijä samalla siirtyy energiatilalta toiselle. Absorptio- ja emissio- todennäköisyys on suuri ainoastaan silloin, kun fotonin energia on yhtä suuri kuin oskillaattorin kahden sallitun energiatason energiaväli. Tämä energiaresonanssin esiintyminen on ominaista myös klassisille värähtelijöille. Tarkastellaan esimerkkinä harmonista värähtelijää. Tiedämme, että oskillaattori absorboi energiaa voimakkaasti, kun siihen kohdistuu ulkoinen voima, jonka taajuus yhtyy oskillaattorin perustaajuuteen. Myöhemmin tulemme havaitsemaan, että kvanttifysiikassa systeemeillä on (yleensä) lukuisia resonanssiabsorptioon liittyviä taajuuksia. Tämä liittyy läheisesti kaikille mikrosysteemeille ominaiseen energiatilojen kvantittumiseen. Kun systeemiä, jolla on tarkkaan määrätyt energiatilat häiritään sähkömagneettisella säteilyllä absorptio on voimakasta vain, jos sähkömagneettiseen kenttään sisältyy fotoneita, joiden energia on yhtä suuri kuin kahden sallitun energiatason energiaero. Nämä systeemin ominaisenergioiden eroja vastaavat

25 4 Kvanttifysiikan ilmiömaailma SM-säteilyn resonanssitaajuudet f 1, f, f 3,.., joilla voimakas absorptio havaitaan, muodostavat aineen absorptiospektrin. Usein voimme olettaa, että systeemi on ennen absorptiota alimmalla energiatasolla, jota kutsumme systeemin perustilaksi. Kun systeemi absorboi sähkömagneettista säteilyä se siirtyy korkeammalle ominaistilalle, jota kutsumme viritetyksi tilaksi. Klassisen harmonisen oskillaattorin tapauksessa korkeampaan energiatilaan siirtyminen tarkoittaisi värähtelijän värähdysamplitudin kasvua. Kun systeemi on viritetyssä tilassa, se voi palata perustilaan ja luovuttaa ylimääräisen energian sähkömagneettisena säteilynä. Näin muodostuva sähkömagneettinen säteily koostuu yleisesti diskreeteistä spektriviivoista ja säteilyä kutsutaan systeemin emissiospektriksi. Kokemus on osoittanut, että systeemin absorboidessa sähkömagneettista säteilyä havaitaan absorptiomaksimit samoilla taajuuksilla, kuin emissiospektrin diskreetit spektriviivat. Esimerkiksi natrium-atomit absorboivat valoa voimakkaasti taajuudella Hz eli aallonpituudella 589 nm. Tämä taajuus havaitaan 14 kirkkaana natriumkaasun emittoimassa valossa. Itse asiassa tämä natriumin emissioviiva aiheuttaa keltaisen (keltaoranssin) valon Suomessakin käytetyissä uusimmissa katuvalaisimissa. Tarkalleen määrättyjen taajuuksien esiintyminen atomien emissiospektrissä askarrutti fyysikkoja vuosisadan alussa. Ratkaistakseen ongelman Niels Bohr analysoi 1913 atomien emittoimaa säteilyä Planckin fotonihypoteesin (1.4) avulla. Oletetaan, että atomi, joka on energiatilassa E, absorboi säteilyä taajuudella f ja siirtyy Kuva 1-13 Sähkömagneettisten transitioiden perustyypit. viritettyyn tilaan E. Atomin energia muuttuu tällöin määrällä E = E E. Yksinkertaisin oletus on, että absorptioprosessissa absorboituu yksi fotoni, jonka energia Planckin hypoteesin mukaan on hf. Energian säilymislain mukaan

26 1.7 Stationääriset tilat 5 E E = hf. (1.7) Tämä yhtälö tunnetaan Bohrin kaavana. Vastaavasti, jos atomi siirtyy viritetystä tilasta E alempaan energiatilaan E, havaitaan tarkalleen sama taajuus emissiospektrissä. Se, että emissiospektrissä havaitaan vain taajuudet f 1, f, f 3,... johtuu siitä, että atomi voi olla vain tietyissä tarkalleen määrätyissä energiatiloissa, joita merkitsemme E 1, E, E 3,... Näitä kunkin alkuaineen atomille ominaisia energian arvoja kutsumme energiatasoiksi tai ominaisenergioiksi. Siksi emissio- ja absorptiospektreissä voi esiintyä vain niitä taajuuksia, jotka vastaavat atomin energiatasojen eroja. Toisin sanoen f = E E h. Tietyllä voimme kirjoittaa mahdolliset taajuudet muodossa ( i j) atomisella (mikroskooppisen pienellä) systeemillä, atomilla, molekyylillä tai ytimellä voi olla vain tietyt tälle systeemille ominaiset energian arvot, E 1, E, E 3,.. eli näiden systeemien energia on kvantittunut. Näihin energian arvoihin liittyviä systeemin tiloja kutsutaan stationäärisiksi tiloiksi. Kun systeemi absorboi sähkömagneettista säteilyä tai saa energiaa jonkin muun vuorovaikutusmekanismin kautta (esimerkiksi kahden atomin välinen törmäys kaasussa), se siirtyy tietyltä energiatasolta ylemmälle energiatasolle. Sähkömagneettisen säteilyn emission yhteydessä tapahtuu käänteinen ilmiö; systeemi siirtyy alemmalle energiatasolle. Molemmissa tapauksissa voimme esittää säteilyn taajuuden yhtälön (1.7) esittämässä muodossa. Kuvassa 1-13 olemme esittäneet skemaattisesti eräitä mahdollisia absorptio- ja emissiotapahtumia. Prosessia, jossa atomi on aluksi perustilassaan (A), ja absorboi fotonin siirtyen viritettyyn tilaan (A*), kutsumme fotoabsorptioksi A+ hf A*. Vastaava käänteinen prosessi, fotoemissio, voidaan esittää symbolisesti A* A+ hf. Energiatilojen jakauman epäjatkuvuus poikkeaa klassisen eli Newtonin mekaniikan periaatteista. Klassisessa mekaniikassa kappaleen liikettä kuvataan Newtonin toisen lain avulla. Tämän lain alkuehdot ovat periaatteessa vapaasti valittavissa. Täten hiukkasella voi olla alkuajankohtana mikä tahansa alkuehtojen, paikan ja nopeuden, yksikäsitteisesti määräämä

27 6 Kvanttifysiikan ilmiömaailma liiketila. Tämä pätee esimerkiksi satelliittien kiertoratoihin Maan ympärillä. Astronautit voivat muuttaa jatkuvasti avaruusaluksen rataa, ja näin ollen myös sen liike-energiaa, muuttamalla aluksen nopeutta. Saman periaatteen mukaan vetyatomin elektroneilla pitäisi voida olla mikä energia tahansa. Klassisen mekaniikan mukaan vetyatomin elektroni voisi saada energiaa jatkuvina annoksina ja siirtyä näin ylemmälle energiatilalle. Se voisi myös menettää energiaa mielivaltaisen suurina osina. Kokeellisten havaintojen mukaan Newtonin mekaniikan antamat ennusteet ovat virheellisiä mikroskooppisen pienille systeemeille. Stationääristen tilojen olemassaolo on luonnon peruslaki. Myöhemmin tulemme osoittamaan, että kvanttifysiikka pystyy selittämään tämän havainnon aineaaltomallin avulla. Stationääristen tilojen esiintymiseen kahden varauksen muodostamassa muusta ympäristöstä eristetyssä systeemissä, kuten vetyatomissa, liittyy toinenkin oleellinen ristiriita klassisen fysiikan, ensisijaisesti klassisen sähkömagnetismin kanssa. Kun elektroni kiertää ydintä, sillä on yleisesti sekä tangentiaalista että normaalikiihtyvyyttä. Klassisen sähkömagnetismin mukaan elektroni säteilee sähkömagneettista säteilyä ollessaan kiihtyvässä liikkeessä. Täten elektronin energia pienenisi jatkuvasti. Sidotussa kahden varatun hiukkasen muodostamassa systeemissä klassisessa mekaniikassa energia on tietenkin aina negatiivinen, ts. kun elektroni emittoisi sähkömagneettista säteilyä sen kokonaisenergia olisi yhä pienempi negatiivinen luku. Tämä on mahdollista vain jos elektronin potentiaalienergia jatkuvasti pienenee, ts. saa yhä suuremman negatiivisen arvon. Coulombin lain mukaan elektronin radan säteen eli keskimääräisen etäisyyden ytimestä on tällöin pienennyttävä. Tämän periaatteen mukaan stationäärisiä tiloja ei klassisessa mekaniikassa voisi lainkaan esiintyä. Viime kädessä elektronin kiertoliikkeen aikana emittoima energia johtaisi lopulta elektronin romahtamiseen atomin ytimeen. Tästä voimme päätellä, että elektronin liikettä kuvaa atomeissa jokin oleellisesti klassisen fysiikan ja klassisen sähkömagnetismin periaatteista poikkeava laki. Bohrin oletus stationääristen tilojen olemassaolosta perustui niin sanottuun älykkääseen arvaukseen. Bohrin hypoteesin menestyminen eräiden kokeellisten ilmiöiden tulkinnasta johti uusiin kokeisiin mallin yksityiskohtien testaamiseksi. Näiden kokeiden seurauksen havaittiin monia uusia odottamattomia piirteitä atomien absorptio- ja emissiospektreissä. Tämän

28 1.7 Stationääriset tilat 7 kaltainen tilanne on toistunut useita kertoja modernin tieteen historiassa. Yksittäisillä tutkijoilla on ollut voimakas intuitio ja rohkeutta ehdottaa uusia ideoita ja käsitteitä. Nämä ovat kannustaneet uusiin kokeisiin joiden seurauksena on avautunut odottamattomia kehitysnäkymiä ilmiöitä kuvaavien matemaattisten mallien edelleen kehittämiseksi. Stationääriset tilat eivät ole aina diskreettejä. Useimpien systeemien ominaisenergioiden joukko koostuu kahdesta osasta: (1) epäjatkuvista energiatasoista, jotka usein kuvaavat ns. sidottuja tiloja ja toiseksi () ominaisenergiajatkumosta, johon kuuluvissa tiloissa hiukkanen voi saada mitä tahansa tietyn kynnysenergian ylittäviä energian arvoja. Jälkimmäisissä energiatiloissa hiukkanen on usein ns. vapaassa tai ionisoituneessa tilassa. Tarkastellaan esimerkiksi vetyatomia. Kun elektroni on sidottu protoniin, tarvitsemme tietyn määrän energiaa sen irrottamiseksi protonista. Energiaa, joka tarvitaan elektronin irrottamiseksi protonista elektronin ollessa alimmalla energiatasollaan (perustilalla), kutsutaan vetyatomin ionisaatioenergiaksi. Jos elektroni on jollakin viritetyllä diskreettiin energiatasojoukkoon kuuluvalla tilalla, se on yhä sidottu protoniin. Kuitenkin se energia, joka tarvitaan elektronin irrottamiseksi atomista on pienempi kuin silloin jos elektroni on perustilallaan. Voimme yleisesti osoittaa, että sidottuihin tiloihin liittyvä energiatasojoukko on atomeilla diskreetti. Merkitsemme atomien energiatasoja alimmalta tasolta lukien usein symboleilla E K, E L, E M,... Näitä energiatasoja on havainnollistettu kuvassa 1-14 ja tulemme palaamaan vetyatomin energiatasojen yksityiskohtaisempaan tarkasteluun myöhemmin. Atomien elektroneilla on olemassa myöskin energian arvoja, jotka eivät ole kvantittuneet, ts. näissä tiloissa hiukkasella voi olla mikä energian arvo tahansa. Voidaan osoittaa, että näissä tiloissa hiukkanen ei ole sidottu systeemiin. Vetyatomin tapauksessa elektroni, joka on stationää- Kuva 1-14 Elektronitilojen välisten siirtymien mahdolliset alku- ja lopputilat atomissa.

29 8 Kvanttifysiikan ilmiömaailma risten energiatilojen jatkuvaan osaan kuuluvassa energiatilassa on vapaa irtoamaan ytimen vaikutuspiiristä. Tästä syystä on myös tapana valita energia-asteikon nollakohta siten, että diskreetit energiatilat, jossa hiukkanen on sidottu atomiin ovat negatiivisia ja vastaavasti jatkuvaan spektrin osaan kuuluvat energian ominaisarvot ovat positiivisia. Kuvassa 1-14 stationääristen tilojen väliset siirtymät ovat mahdollisia paitsi kahden diskreettiin spektrin osaan kuuluvien energiatasojen välillä, myös kahden jatkumoon kuuluvan energiatason välillä. Siirtymät ovat mahdollisia myös joltakin diskreetin spektrin tilalta jatkuvaan spektrin osaan kuuluvaan stationääriseen tilaan. Fotoionisaatio on esimerkki jälkimmäisestä prosessista. Esimerkki 1.3. Energian ja liikemäärän säilyminen fotoniemissiossa ja - absorptiossa. Ratkaisu: Tarkastellaan lähemmin yhtälöä (1.7). Johdamme seuraavassa tähän yhtälöön korjaustermin, joka aiheutuu atomin ytimen saamasta rekyylienergiasta fotonien absorption ja emission yhteydessä. Olemme aikaisemmin osoittaneet että fotoneilla on energian lisäksi liikemäärä, joka on suuruudeltaan p = E c. Absorptio- ja emissioprosessien yhteydessä toteutuvat sekä energian, että liikemäärän säilymislait. Tarkastellaan aluksi emissioprosessia. Kuvassa 1-15 virittynyt atomi on aluksi paikallaan. Ennen fotonin emittoitumista atomin liikemäärä on siis nolla. Emission jälkeen atomin ja emittoituneen fotonin Kuva 1-15 Rekyyliefekti fotoemissiossa. yhteinen liikemäärä on myös nolla, ts. voimme kirjoittaa liikemäärälle emission jälkeen 0 = p + p. atomi fotoni Liikemäärän säilyminen on mahdollista vain, jos emission jälkeen fotonin ja atomin liikemäärät ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset, ts. voimme kirjoittaa näiden vektoreiden itseisarvoille yhtälön p = p = hf c. (1.8) atomi fotoni Tarkastellaan seuraavaksi energian säilymistä. Aluksi atomi on levossa stationäärisessä tilassa E i. Fotoemission jälkeen atomin energia koostuu

30 1.7 Stationääriset tilat 9 stationäärisen tilan energiasta E f ja liike-energiasta p atomi M, missä M on atomin massa. Jälkimmäinen energiatermi johtuu atomin saamasta liikemäärästä, joka on välttämätön liikemäärän säilymislain toteuttamiseksi. Voimme siis kirjoittaa energian säilymislain muodossa p E atomi i Ef hf M = + +, (1.9) tai käyttämällä yhtälöä (1.8) muodossa hf Ei Ef = hf 1+ Mc. (1.30) Kun hf on hyvin pieni verrattuna tekijään Mc, on jälkimmäinen termi yhtälössä (1.30) hyvin pieni. Näin on yleisesti asian laita atomeissa ja molekyyleissä. Tällöin fotonin energia on tyypillisesti muutamia kymmeniä, enintään muutamia tuhansia elektronivoltteja. Vastaavasti tekijä Mc on kaksikertaisena koko atomin lepoenergia, joka jo vetyatominkin kohdalla on suuruusluokkaa GeV. Yleisesti voimme siis olettaa, että hf on paljon pienempi kuin Mc ja voimme kirjoittaa yhtälön (1.30) muodossa 1 hf hf hf = ( Ei Ef ) 1+ = ( Ei Ef ) 1, Mc Mc missä käytimme binomikehitelmää potenssitermin avaamiseksi. Lisäksi approksimoimalla hν :tä stationääristen tilojen energioiden erotuksella E E, saamme yhtälön i f hf Ei E f ( E ) i Ef =, (1.31) Mc missä jälkimmäinen termi on juuri atomin saama rekyylienergia. Tästä huomaamme, että emissioprosessissa fotonin saama energia on hieman pienempi kuin niiden stationääristen tilojen energiaero, joiden välillä elektronin siirtyminen tapahtuu. Tämä energiaero siirtyy rekyylienenergiana emittoivalle atomille. Tarkastellaan seuraavaksi absorptioprosessia (kuva 1-16). Oletamme jälleen, että atomi on paikallaan ennen absorptiota. Energian säilymislaki (1.9) on nyt kirjoitettava muodossa Ei hν Ef patomi M + = +, (1.3)

31 30 Kvanttifysiikan ilmiömaailma sillä tällä kertaa fotoni on olemassa alkutilanteessa muttei siirtymän tapahduttua. Yhtälössä (1.3) p on atomin liikemäärä absorption atomi jälkeen. Liikemäärän säilyminen edellyttää, että hν / c = patomi ja liikemäärien itseisarvoille pätee yhä yhtälö (1.8). Näin ollen voimme käyttää samoja approksimaatioita kuin yllä ja saamme yhtälön (1.3) muotoon tai 1 hf hf hf = ( Ef Ei) 1 = ( Ef Ei) 1+ Mc Mc ( E ) f Ei hf = E f Ei +. (1.33) Mc Voimme päätellä, että fotoabsorption yhteydessä fotonin energian on oltava hieman suurempi kuin energiaero elektronin alku- ja lopputiloissa. Tämä johtuu siitä, että absorption yhteydessä osa fotonin energiasta joudutaan antamaan rekyylienergiana absorboivalle atomille. Huomattakoon, että rekyylienergia annetaan lähes kokonaan atomin ytimelle, joka on tyypillisesti tuhat kertaa raskaampi kuin elektroni. Johtopäätöksenä voimme todeta, että kun atomi emittoi fotonin kahden stationäärisen tilan välisessä siirtymässä A B, ei tämä sama fotoni voi Kuva 1-16 Rekyyliefekti fotoeksitaatiossa. energiatasolta B A. Atomien absorptio- ja virittää paikallaan olevaa toista identtistä atomia emissiospektrit eivät siis ole aivan tarkkaan identtisiä niin kuin edellä oletimme. Tyypillisesti atomeissa ja molekyyleissä transitioenergia E f Ei on suuruusluokkaa muutama elektronivoltti ja Mc suuruusluokkaa 10 GeV. Näin ollen korjaustermi yhtälöissä (1.31) ja 9 (1.33) on suuruusluokkaa 10 ev ja merkityksettömän pieni. Toisaalta taas ytimissä tapahtuvissa transitioissa energiaero E f E i saattaa olla jopa 6 suuruusluokkaa 10 ev. Korjaustermin suuruudeksi saadaan tällöin noin 10 ev, joka voidaan havaita kokeellisesti.

32 1.8 Stationääristen tilojen kokeellinen havaitseminen Stationääristen tilojen kokeellinen havaitseminen Edellä olemme käsitelleet stationäärisiä tiloja lähinnä sähkömagneettisen säteilyn absorption ja emission yhteydessä. Myös atomien välisistä ja elektroni-atomi törmäyksistä on runsaasti kokeellista havaintomateriaalia, joka tukee stationääristen tilojen olemassaoloa. Erityisen havainnollisia ovat epäelastiset törmäykset, joissa hiukkanen menettää osan liike-energiastaan törmätessään maaliin, esimerkiksi atomiin. Tarkastellaan lähemmin törmäystä, jossa nopea hiukkanen q törmää toiseen systeemiin A, joka voi olla esimerkiksi atomi, molekyyli tai atomin ydin. Oletamme, että systeemi A on ennen törmäystä perustilassaan E 1. Törmäyksessä hiukkanen q menettää osan energiastaan systeemille A. Olkoon E systeemin A alin viritetty tila. Jos hiukkasen q energia on pienempi kuin E E1, hiukkasen q törmäys systeemiin A on välttämättä elastinen, ts. se ei voi johtaa energian menetykseen. Jos hiukkasen liike-energia on suurempi kuin E E1, törmäys voi olla epäelastinen ja voimme kuvata sitä symbolisesti yhtälöllä A+ q A* + q. nopea hidas Jos q on hyvin pieni verrattuna systeemiin A, kuten on asian laita esimerkiksi elektronin törmätessä atomiin, voimme unohtaa rekyylienergian ja kirjoittaa epäelastisen törmäyksen kynnysehdon missä Ek E E1, (1.34) Ek 1 = mv on ammuksen kineettinen energia ennen törmäystä. Vastaavasti voimme kirjoittaa ammuksen liike-energiaksi törmäyksen jälkeen E k = Ek ( E E1 ). Ammus on siis menettänyt törmäyksessä energiaa määrän E E 1. Tarkastelemme seuraavassa epäelastisia törmäyksiä Frankin ja Hertzin käyttämän koejärjestelyn avulla. Kokeessa elektroni, jolla on liike-energia E k, liikkuu elohopeakaasun läpi. Jos elektronin liike-energia ennen törmäystä on vain hieman suurempi kuin energiaero E E 1, jää elektronille epäelastisen törmäyksen jälkeen niin vähän liike-energiaa, ettei se riitä muiden elohopea -atomien virittämiseen perustilalta E 1 alimmalle virite-

33 3 Kvanttifysiikan ilmiömaailma tylle tilalle E. Näin ollen tämän elektronin myöhemmät törmäyksen elohopea-atomeihin tulevat olemaan elastisia. Jos taas elektronin liike-energia ennen törmäystä oli huomattavan paljon suurempi kuin energiaero E E1, sillä voi olla ensimmäisen epäelastisen törmäysprosessin jälkeenkin riittävästi energiaa yhden tai useamman elohopea-atomin virittämiseen. Ilmiön havaitsi ensimmäistä kertaa vuonna 1914 Frank ja Hertz. Heidän kokeensa järjestely on esitetty skemaattisesti kuvassa Kuumennettu johdin F emittoi elektroneita, jotka aluksi kiihdytetään sähkökentässä kohden hilaa G. Hilan ja hehkukatodin välistä jännitettä V voidaan säätää. Hilan ja Kuva 1-17 Frankin ja Hertzin koe. katodin välinen tila on täytetty elohopeakaa- Kuva 1-18 Elektronivirta kiihdytys-jännitteen funktiona Frankin ja Hertzin kokeessa. sulla. Hilan G ja keräilyanodin P välillä on pieni estojännite V, joka on likimain 0,5V. Tämän tarkoituksena on estää niitä elektroneita, jotka ovat menettäneet törmäyksessä lähes kaiken liike-energiansa saapumasta keräilylevylle P. Täten näistä elektroneista aiheutuvaa virtaa ei havaita galvanometrillä. Kun hilajännitettä V kasvatetaan, virta I muuttuu kuvan 1-18 esittämällä tavalla. Käyrässä havaitaan maksimeja ja minimejä 4,9 V välein. Ensimmäinen minimi virtakäyrässä liittyy siihen

34 1.8 Stationääristen tilojen kokeellinen havaitseminen 33 hilajännitteen arvoon, jolla elektronit menettävät yhdessä epäelastisessa törmäyksessä elohopea-atomin kanssa lähes kaiken liike-energiansa. Tämän jälkeen ne eivät enää kykene saapumaan keräilyanodille P estojännitteestä johtuen ja saamme virtakäyrään minimikohdan. Seuraava virtakäyrän minimi liittyy vastaavasti siihen hilajännitteen arvoon, jolla elektronit kykenevät virittämään kaksi elohopea-atomia perättäisissä epäelastisissa törmäyksissä jne. Viritetty elohopea-atomi palaa perustilaan fotoniemissiolla. Voimme merkitä tätä ilmiötä symbolisesti Hg* Hg + hf, missä hf = E E1. Virittämällä elohopeakaasua tiedämme toisesta yhteydestä, että se emittoi sähkömagneettista säteilyä taajuudella 7, m, joka vastaa fotonienergiaa 4,86 ev. Juuri tämän aallonpituuden ja energian omaavia fotoneita tulee myös Frankin-hertsin kokeessa käytetystä elohopeakaasua sisältävästä putkesta. Näin ollen tätä koetta voidaan pitää osoituksena stationääristen tilojen yleisemmästä olemassaolosta. Ne eivät liity ainoastaan ilmiöihin, joissa absorboituu tai emittoituu fotoneita. Ilmeisestikin aina systeemin vuorovaikuttaessa toisen systeemin kanssa energian vaihto johtaa siirtymisiin stationääristen energiatilojen välillä. Esimerkki 1.4. Liike-energian kynnysarvon määrääminen epäelastisessa törmäyksessä. Ratkaisu: Oletamme että ammus on pistemäinen hiukkanen, jonka massa on m. Kohtiona on systeemi, jonka kokonaismassa on M. Kohtion oletamme rakenteelliseksi systeemiksi, jolla voi massakeskipisteen liike-energian lisäksi olla sisäistä kvantittunutta energiaa. Oletamme, että kohtio on aluksi levossa laboratoriokoordinaatistossa. Jos ammuksen liikemäärä ennen törmäystä on p ja törmäyksen jälkeen p ja edelleen kohtion liikemäärä törmäyksen jälkeen on P, voimme kirjoittaa liikemäärän säilymislain muodossa p= p' + P. (1.35) Vastaavasti jos kohtio on aluksi stationäärisessä tilassa, jonka energia on E 1 ja epäelastisen törmäyksen tapahduttua stationäärisessä tilassa E, voimme kirjoittaa energian säilymislain muodossa 1 p + E = p + P + E. m m M Jos merkitsemme E = E E1, voimme kirjoittaa

35 34 Kvanttifysiikan ilmiömaailma p p P E m m M = + +. (1.36) Epäelastisessa törmäyksessä, jossa kohtio virittyy energiatilasta E 1 energiatilaan E, pienin mahdollinen ammuksen liike-energian arvo on E E1. Tällöin sekä ammus että kohtiona oleva systeemi olisivat törmäyksen jälkeen levossa massakeskipistekoordinaatistossa. Kaikki massakeskipistekoordinaatistossa käytettävissä oleva liike-energia olisi tällöin käytetty kohtion virittämiseen tilalta E 1 tilalle E. Tarkastelemme nyt lähemmin tätä pienimpään tarvittavaan energiaan liittyvää törmäystä. Tällöin sekä ammus että kohtio liikkuvat törmäyksen jälkeen laboratoriokoordinaatistossa samalla nopeudella joka on myös ammuksen ja kohtion muodostaman systeemin massakeskipisteen nopeus eli v cm. Voimme siis kirjoittaa p' = mv cm ja P = Mv cm. Toisaalta, jos tiedämme, että ammuksen nopeus ennen törmäystä on v, voimme kirjoittaa massakeskipisteen nopeuden lausekkeen muodossa mv v cm =. m + M Sijoittamalla tämä nopeuden liikemäärän arvoihin törmäyksen jälkeen saamme m v mp p' = = m + M m+ M, ja mmv Mp P = =. m + M m+ M Nämä yhtälöt ovat sopusoinnussa yhtälön (1.35) kanssa. Sijoittamalla nämä lausekkeet edelleen yhtälöön (1.36) saamme pienten laskutoimitusten jälkeen M 1 p = E m+ M m tai 1 m Ek = p = 1 E m + M. (1.37) Yhtälö (1.37) antaa pienimmän mahdollisen liike-energian arvon, jolla ammus voi nostaa kohtion ensimmäiselle viritetylle stationääriselle tilalle. Jos ammus on paljon kohtiota kevyempi, pätee likimain Ek E = E E1. Tämä vastaa likimain tilannetta epäelastisissa törmäyksissä, joissa elektroni törmää atomiin tai molekyyliin. Olemme hyödyntäneet aiemmin tätä likiarvoa analysoidessamme Frankin-Hertzin koetta. Toisaalta, jos tarkas-

36 1.9 Säteilyn vuorovaikutus väliaineen kanssa 35 tellaan epäelastisia törmäyksiä, joissa atomin ydin virittyy protonin törmätessä siihen, on käytettävä kynnysenergian laskemiseen yhtälöä (1.37). Tämä johtuu siitä, että protonien törmätessä kevyisiin ytimiin massasuhde m M ei ole pieni ykköseen verrattuna. 1.9 Säteilyn vuorovaikutus väliaineen kanssa Säteilyn vuorovaikutus väliaineen kanssa on luonnon tärkeimpiä perusilmiöitä. Esimerkiksi auringosta maahan saapuva sähkömagneettinen säteily tekee elämän maapallolla mahdolliseksi fotosynteesin avulla. Fotosynteesissä hiilidioksidista ja vedestä muodostuu hiilivetyjä sähkömagneettisen säteilyn kvanttien, eli fotonien ja kemiallisen yhdisteen, lehtivihreän vuorovaikuttaessa keskenään. Voimme kirjoittaa tämän kemiallisen prosessin muodossa 6 CO + 6 H O + nhf C H O + 6O Tähän kemialliseen reaktioon liittyvien fotonien lukumäärä ei ole kiinteä ja fotonien energia jakautuu näkyvän valon alueelle. Itse asiassa prosessi on paljon mutkikkaampi kuin yllä oleva yksinkertainen reaktioyhtälö antaa ymmärtää. Fotosynteesi on tärkeä, ei ainoastaan hiilivetyjen muodostamisen kannalta, vaan myös siksi, että se samalla vapauttaa happea ilmakehään. Fotosynteesi on vain yksi esimerkki monista säteilyn absorption aiheuttamista reaktioista. Näiden kemiallisten reaktioiden tutkimusta kutsutaan fotokemiaksi. Valokemiallinen reaktio edellyttää tietyn energian omaavien fotonien osallistumista prosessiin. Eräs näistä reaktioista on nimeltään fotodissosiaatio. Siinä molekyyli, jota merkitsemme symbolisesti AB, hajoaa absorboidessaan fotonin, jonka energia on hv. Tuloksena on kaksi erillistä atomia A ja B. Voimme kirjoittaa fotodissosiaation symbolisesti muodossa AB + hf A + B Eräs esimerkki fotodissosiaatiosta, jolla on huomattava ympäristöllinen merkitys on hapen hajoaminen ilmakehän ylemmissä kerroksissa ultraviolettivalon vaikutuksesta. O -molekyylin fotodissosiaation kynnysener-

37 36 Kvanttifysiikan ilmiömaailma gia on 5,eV, joka vastaa fotonin aallonpituutta 400 Å. Voimme kirjoittaa tämän fotodissosiaatioreaktion muodossa O + hf O + O Atominen happi voi yhdistyä O -molekyylin kanssa ja muodostaa otsonia O 3, joka sekin voi hajota valon vaikutuksesta. Tällä kertaa fotonien kynnysenergia on 3,4 ev vastaten aallonpituutta 3600 Å. Voimme kirjoittaa tämän reaktion muodossa O3 + hf O + O Nämä kaksi reaktiota absorboivat ultraviolettialueen sähkömagneettista säteilyä niin tehokkaasti, että ne estävät lähes kaiken ultraviolettivalon saapumisen maan pinnalle. Jos ultraviolettisäteily pääsisi esteettä saavuttamaan maan pinnan, se olisi hyvin tuhoisaa monille eläville organismeille, soluille, entsyymeille, jne.. Tästä johtuu, että viime vuosina on seurattu huolestuneina otsonikerroksen ohenemista ilmakehän ylimmissä kerroksissa. Toinen tärkeä fotonin ja väliaineen vuorovaikutuksen perusmekanismi on fotoionisaatio. Jos atomi tai molekyyli absorboi fotonin jolla on riittävästi energiaa, voi absorptioprosessin yhteydessä jokin atomin tai molekyylin elektroneista irrota eli ionisoitua. Merkitsemme tällaista ionisaatioprosessia yhtälöllä A+ hf A + + e. Tämä fotoionisaatioprosessi on perusilmiönä analoginen aiemmin tarkastellulle valosähköiselle ilmiölle metallien pinnalla. Ionisaatiosta johtuen ultravioletti, röntgen- ja gammasäteily vaimenevat kulkiessaan väliaineen läpi. Alkuperäisestä säteilykeilasta poistuu jatkuvasti yksittäisiä fotoneja niiden vuorovaikuttaessa väliaineen elektroneiden kanssa. Merkitsemme nyt sitä energiaa, joka tarvitaan elektronin irrottamiseen atomista tai molekyylista symbolilla I. Tätä energiaa kutsutaan ionisaatioenergiaksi. Voimme kirjoittaa ionisaatioprosessissa vapautuvan elektronin liike-energian lausekkeen muodossa

38 1.9 Säteilyn vuorovaikutus väliaineen kanssa 37 Ek = hf I. (1.38) Tämä on täysin analoginen yhtälön (1.13) kanssa. Tässä yhtälössä olemme tosin jättäneet huomiotta rekyylienergian, joka tarvitaan liikemäärän ja energian säilymislakien yhtäaikaiseen toteuttamiseen. Yhtälöstä (1.38) voidaan havaita, että fotonin energian on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin ionisaatioenergia I, jotta fotoni voisi aiheuttaa fotoionisaatioprosessin. Ilmakehän yläkerroksissa, eli ionosfäärissä, ionien ja vapaiden elektronien suuri konsentraatio aiheutuu auringosta tulevan ultravioletti- ja röntgensäteilyn aiheuttamasta fotoionisaatiosta, Tärkeitä ionosfäärin fotokemiallisia reaktiota ovat + + ( ) NO+ hf NO e N N e 5,3eV, + + hf + ( ) + hf O O e 7,4eV, + + ( ) He hf He e 5,1eV, ( ) 4,6eV. Olemme merkinneet sulkuihin kunkin prosessin ionisaatioenergian. Fotoionisaation käänteisilmiötä kutsutaan elektronikaappaukseksi. Säteilevässä kaappausprosessissa vapaa elektroni, jolla on liike-energia E, kiinnittyy ioniin samalla, kun energia vapautuu fotonin muodossa. Jos rekyylienergia jätetään sen pienuuden takia huomiotta, vapautuvan fotonin energia on ioniin kiinnittyvän elektronin energiatasojen erotus ennen kaappausta ja kaappauksen jälkeen. Voimme esittää elektronikaappausprosessin muodossa k A + + e A+ hf. Vastaavasti emittoituvan fotonin energia on E = hf = Ek + I. (1.39) Kun fotonin energia on hyvin suuri elektronin sidosenergiaan verrattuna, voidaan fotonin ja väliaineen vuorovaikutusta kuvattaessa olettaa, että elektroni on lähes vapaa. Tällöin Compton-sironnan todennäköisyys kasvaa. Jos fotonin energia on suurempi kuin kaksi kertaa elektronin lepoenergia, eli m c, voi fotoionisaation ja Compton-sironnan lisäksi tulla e kysymykseen myös parinmuodostus. Parinmuodostusprosessissa fotoni ab-

39 38 Kvanttifysiikan ilmiömaailma sorboituu ja samalla muodostuu elektroni-positroni pari. Parinmuodostusprosessi voidaan kirjoittaa symbolisesti hf + e + e. (1.40) Elektroni ja positroni ovat toisensa antihiukkasia. Niillä on vastakkainen varaus, joten varauksen säilymislaki on reaktiossa (1.40) taattu. Jos fotonilla on enemmän energiaa kuin m c, siirtyy ylijäämäenergia elektroni-positroniparin liike-energiaksi. Voidaan osoittaa, että liikemäärän ja energian säilymislakien toteutuminen parinmuodostusprosessissa edellyttää kolmannen hiuk- Kuva 1-19 Makroskooppiset vaikutusalat fotonien absorptiolle alumiinissa ja lyijyssä. Kiinteät viivat edustavat kasen, esimerkiksi atomin ytimen, läsnäoloa. kokonaisvaikutusaloja. Osittaisvaikutusalat on merkitty numeroilla (1) valosähköinen ilmiö () Compton-ilmiö ja (3) parin-muodostus. Ydin ottaa reaktiossa vastaan osan fotonin liikemäärästä. Vielä suuremmilla fotonienergioilla tulee mahdolliseksi myös sähkömagneettisen säteilyn suora vuorovaikutus atomien ytimien kanssa erilaisten ydinprosessien muodossa. Tällaisia reaktiota kutsutaan fotoydinreaktioksi. e Kun sähkömagneettinen säteily etenee väliaineen läpi, sen energia vähitellen absorboituu edellä kuvattujen törmäysilmiöiden seurauksena. Jos säteilyn intensiteetti kappaleen pinnalla on I 0, intensiteetti on säteilyn kuljettua matkan x kappaleessa I = I0e Σx, (1.41)

40 1.10 Kentät ja hiukkaset 39 missä Σ (jonka yksikkö on m 1 ) on kullekin aineelle ja vaimenemisprosessille ominainen vakio, jota kutsutaan lineaariseksi absorptiokertoimeksi tai myös makroskooppiseksi vaikutusalaksi. Makroskooppinen vaikutusala on fotonin energian funktio. Kullekin absorptio- ja sirontaprosessille, kuten esimerkiksi valosähköiselle ilmiölle, Compton- sironnalle, parinmuodostukselle, jne., on erillinen makroskooppinen vaikutusala. Lisäksi nämä erillisten törmäysprosessien vaikutusalat ovat erilaiset kullekin materiaalille. Aineen makroskooppinen kokonaisvaikutusala on kaikkien näiden osittaisvaikutusalojen summa. Kuvassa 1-19 on esitetty erillisten prosessien ja kokonaismakroskooppisen vaikutusalan käyttäytyminen fotonin energian funktiona alumiinille ja lyijylle. Huomaa, että matalilla energioilla valosähköinen ilmiö on tärkein, keskialueella Compton- ilmiö dominoi ja suurilla energioilla suurin makroskooppinen vaikutusala on parinmuodostuksella Kentät ja hiukkaset Edellä on lyhyesti mainittu, että mikroskooppisen pienet hiukkaset käyttäytyvät vuorovaikuttaessaan toisten hiukkasten kanssa aaltojen tavoin siten, että sironneiden hiukkasten liikemäärä- ja suuntajakaumat muodostavat interferenssikuvioita. Tästä voitiin päätellä, että mikroskooppisten pienten hiukkasten vuorovaikutusta toistensa kanssa ei voida kuvata perinteisen hiukkaskäsitteen avulla. Klassisessa fysiikassa hiukkasia voidaan tutkia koejärjestelyillä, joiden mittakaavassa ihminen voi saada välitöntä aistihavaintoihin perustuvaa tietoa ympärillä olevasta todellisuudesta. Tässä makroskooppisessa mittakaavassa esineellä on aistein havaittavissa oleva muoto, koko ja rajapinnat. Voimme myös ainakin periaatteessa määrätä hiukkasten, tai laajemmin esineiden sijainnin ja liiketilan jonkin koordinaatiston suhteen mielivaltaisella tarkkuudella vain teknisten apuneuvojen rajoittaessa kokeen tarkkuutta. Kun pidämme mielessä, että klassisen fysiikan käsitteet ja lait ovat syntyneet mittakaavassa, joka on tekijällä suurempi kuin mikroskooppisten hiukkasten ulottuvuus, voimme ennakoida, että makroskooppisen mittakaavan ilmiöitä kuvaavat käsitteet

41 40 Kvanttifysiikan ilmiömaailma ja lait eivät ole sellaisenaan käyttökelpoisia mikroskooppisille systeemeille. Kokeellisesti on havaittu, että mikroskooppisten hiukkasten käyttäytymistä on kuvattava ainekentän eli aineaaltojen avulla. Tulemme myöhemmin osoittamaan, että aineaallot toteuttavat samankaltaisen aaltoyhtälön kuin sähkömagneettiset aallotkin. Mikroskooppisten hiukkasten vuorovaikutukset toistensa ja ulkoisten SM-kenttien kanssa, samoin kuin hiukkasten energiatasot, voidaan laskea aineaaltokentän ominaisuuksista. Aineaallot ovat monilta ominaisuuksiltaan erilaisia kuin klassiset sähkömagneettiset aallot. Huomattakoon vielä tärkeä ero aineaaltokentän ja kvantittuneen sähkömagneettisen kentän, eli fotonikentän, välillä. Klassinen sähkömagnetismi on riittämätön kuvaamaan sähkömagneettisen säteilyn kytkentää väliaineeseen. Sähkömagneettisia aaltoja on kuvattava fotonien eli sähkömagneettisen kentän kvanttien avulla. Tällaisia kenttiä kutsutaankin kvanttimekaniikassa yleensäkin kvanttikentiksi. Aineaaltokenttä, johon olemme edellä viitanneet, ei välttämättä ole kvanttikenttä. Voidaan osoittaa, että kuvattaessa sellaisia fysikaalisia ilmiöitä, joissa hiukkasten lukumäärä muuttuu vuorovaikutusten seurauksena (syntyy uusia alkeishiukkasia), joudumme yleistämään myös aineaaltokentän aaltoyhtälön kvanttikenttäyhtälöksi. Kvanttikenttien kuvaamissa vuorovaikutusprosesseissa voi syntyä ja kadota hiukkasia samaan tapaan kuin sähkömagneettisen säteilyn ja väliaineen vuorovaikutuksessa syntyy tai katoaa fotoneita. Itse asiassa olemme jo edellä maininneet erään tällaisen ilmiön; elektroni-positroniparin muodostuminen fotonin absorptiossa. Tämän parinmuodostusprosessin kuvaaminen edellyttää elektronien ja positronien kuvaamista vastaavan kvanttikentän avulla.

42 1.11 De Broglie aallonpituus De Broglie aallonpituus Kun riittävän suuren liike-energian omaavien elektronien suihku läpäisee kiteen, havaitaan interferenssikuvioita, jotka johtuvat elektroneihin liittyvän aineaallon siroamisesta yksittäisistä kiteen atomeista. Diffraktion kokonaisintensiteetti on lukuisista atomeista sironneiden osittaisaaltojen summa ja diffraktiokuvion intensiteetin määrää näiden osa-aaltojen keskinäinen vaihesuhde. G.P. Thomson teki vuonna 197 sarjan kokeita, joissa hän tutki elektronisuihkun vuorovaikutusta väliaineen aineesta. Kuva 1-0 Elektronien diffraktio kiteisestä kanssa kiteisestä materiaalista valmistetuissa ohuissa kalvoissa. Elektronien läpäistyä kalvon ne osuivat valokuvauslevyyn kuvan 1-0 mukaisesti. Jos elektronit olisivat käyttäytyneet klassisen mekaniikan mukaan, ne olisivat muodostaneet leveähkön vaalean jäljen suihkun akselin ja valokuvauslevyn leikkauskohtaan. Kuvion leveyden olisi määrännyt lähinnä elektronien ja väliaineen atomien välisten vuorovaikutusten voimakkuudesta johtuva poikkeaminen tiettyyn kulmaan suihkun alkuperäisestä liikesuunnasta katsottuna. Valokuvauslevylle muodostui klassisen jakauman sijaan kuvan 1-1 kaltainen interferenssikuvio. Kuva 1-1 Elektronien diffraktio pulveriksi jauhetusta kiteestä. Kun elektronisuihku läpäisee erilliskiteen, muodostuu niin sanottu Laue-sirontakuvio, joka nähdään myös röntgensäteilyn läpäistessä kiteen. Tätä esittää kuva 1-. Näiden sirontakuvioiden rakenteesta voidaan käänteisesti laskea aineaallon aallonpituus, jos kidetasojen keskinäiset etäisyydet tunnetaan. Kääntäen,

43 4 Kvanttifysiikan ilmiömaailma jos aallonpituus tunnetaan, voidaan näistä kuvista tietyin edellytyksin laskea kiteen kiderakenne, ts. atomien sijainti toisiinsa nähden. Davissonin ja Germerin koejärjestelyssä saman liike-energian omaavien elektronien suihku saapuu tunnetussa kulmassa θ erilliskiteen pintaan. Erilliskiteen atomeista diffraktoituva elektronisuihku havaitaan Kuva 1-80 kv elektronien diffraktio detektorin avulla. Detektori on sijoitettu siten, että diffraktoituneen elektronisuihkun yhtenäisestä grafiittikiteestä. muodostama kulma kiteen pinnan kanssa on sama kuin elektronien ja pinnan välinen tulokulma. Koejärjestely on esitetty kuvassa 1-3. Samaa koejärjestelyä voidaan käyttää myös tutkittaessa röntgensäteiden tai neutronien diffraktiota. Detektorissa havaitaan maksimielektronivirta aina, kun diffraktiokulma toteuttaa Braggin ehdon d sinθ = nλ, missä d on kiteen vierekkäisten atomitasojen välinen etäisyys ja λ elektronin de Broglie aallonpituus. Braggin ehto on johdettu kuvassa 1-4. Myös neutroneiden ja röntgenfotonien on havaittu siroavan kiteestä Braggin ehdon mukaisesti. Braggin ehtoon sijoitetaan tällöin neutronin debroglie aallonpituus tai röntgensäteilyn aallonpituus vastaavasti. Kun aineen (tai mikroskooppisten hiukkasten) aaltoluonne oli havaittu, Kuva 1-3 Davissonin ja Braggin koejärjestely elektronin Braggin sironnan tarkastelemiseksi. kokeellisesti pyrittiin löytämään yhteys hiukkasten energian ja niiden aallonpituuden välillä. De Broglie postuloikin yhtälöt

44 1.11 De Broglie aallonpituus 43 λ = h p f = E/ h. (1.4) Tässä yhtälössä mainittu aallonpituus on nimeltään de Broglien aallonpituus. Jos määrittelemme vielä hiukkasen aaltovektorin k = π λ ja kulmataajuuden ω = π f, voimme kirjoittaa yhtälöt (1.4) muodossa h p= k π (1.43) h E = ω. π Määrittelemällä uuden vakion, jota merkitsemme ", 34 " = h π = 1, Js, Kuva 1-4 Vierekkäisistä atomitasoista heijastuneet aallot interferoivat konstruktiivisesti, jos niiden matkaero on aallonpituuden monikerta. Kuvan suorakulmaisten kolmioiden avulla matkaero on S = d sinθ. Asettamalla tämä yhtä suureksi, kuin aallonpituuden monikerta saadaan Braggin diffraktioehto d sinθ = nλ. saamme yhtälöille (1.43) esitysmuodon p= " k E = " ω. (1.44) Yhtälöiden (1.4) ja (1.43) mukaan mikroskooppisen hiukkasen vuorovaikuttaessa ympäristönsä kanssa muodostuu interferenssi- ja diffraktioilmiöitä samaan tapaan kuin klassisille elastisille tai sähkömagneettisille aalloille. Edellä kuvatut elektronien ja neutronien diffraktioilmiöt voidaan olennaiselta osin selittää de Broglie aallonpituuden (1.4) avulla, sillä diffraktiokuvion muodon määräävät aineaaltojen vaihesuhteet ja näiden vaihesuhteiden arvioimiseen riittävät usein yhtälöt (1.4) ja (1.43). Intensiteettijakauman tarkka laskeminen edellyttää yksittäisten atomien sironta-amplitudin tuntemista. Tämä on kvanttifysiikan jatkokurssien aihealuetta. Ennen kuin lähdemme tarkastelemaan lähemmin interferenssi- ja diffraktioilmiötä arvioimme de Broglie aallonpituuden elektronille, joka

45 44 Kvanttifysiikan ilmiömaailma on kiihdytetty jännite-eron V yli. Elektroni saa liike-energiaa potentiaalienergian muutosta vastaavan määrän eli E = p m = ev. Ratkaisemalla liikemäärän saamme p= m e ev. Sijoittamalla tähän lausekkeeseen alkeisvarauksen e, elektronin lepomassan m e ja Planckin vakion h arvot voimme esittää elektronin de Broglie aallonpituuden lausekkeen tietylle jännitteen arvolle muodossa k e 9 λ = h mev= 1,3 10 Vm (1.45) e jossa jännite on esitetty volteissa. Jos kiihdytysjännite on 10kV, joka on tyypillinen TV-kuvaputken kiihdytysjännite, saamme aallonpituudeksi m. Tämä on tyypillisesti röntgensäteilyn suuruusluokkaa. Elektroneista ei kuitenkaan aiheudu esimerkiksi säteilyriskejä, sillä ne absorboituvat kuvaputken paksuun lasikerrokseen. Esimerkki 1.5. Mikä on termisten neutronien de Broglien aallonpituus lämpötilassa 5 C #? Ratkaisu: Termisillä neutroneilla tarkoitetaan neutroneita, jotka ovat termisessä tasapainossa ympäröivän väliaineen kanssa tietyssä annetussa lämpötilassa. Tällöin neutronien keskimääräinen kineettinen energia on, kuten tilastollisen fysiikan kurssista olemme oppineet, yhtä liike-energian vapausastetta kohden (1/)kT, missä k on Boltzmannin vakio. Neutroneilla ei ole sellaisia sisäisiä liikelajeja jotka virittyisivät huoneenlämpötilassa. Keskimääräinen kineettinen energia ja samalla keskimääräinen terminen energia on siis neutroneille Eave = (3/) kt, missä lämpötila T on esitetty absoluuttisessa lämpötila-asteikossa. Muutamme nyt Celsius-asteissa ilmoitetun lämpötilan Kelvin-asteiksi, jolloin saamme T = 98 K ja neutronin keskimääräiseksi liike-energiaksi E ave = 3,85 10 ev. Vastaava 4-1 liikemäärän arvo on tietenkin p = m E = 4,55 10 mkgs. Käyttämällä tämän jälkeen de Broglie-aallonpituuden lauseketta (1.4) saamme de 10 Broglie-aallonpituudeksi λ = 1,85 10 m. Huomattakoon, että kidetasojen 10 etäisyys esimerkiksi natriumkloridi-kiteessä on d =,85 10 m, joten ensimmäinen diffraktiomaksimi neutroneille havaitaan tällä termisten neutronien aallonpituudella kulmassa θ = 19 n ave #.

46 1.11 Hiukkaset ja aaltopaketit Hiukkaset ja aaltopaketit De Broglie-aallonpituuden (1.4) avulla voimme kuvata vapaata ja tarkalleen määrätyn liikemäärän ja -energian omaavaa hiukkasta monokromaattisen tasoaallon (Kuva 1-5) avulla. Oletamme, että hiukkasen näkemä potentiaali on paikasta riippumaton, jolloin myös hiukkaseen liittyvän aineaaltokentän amplitudi on paikasta riippumaton vakio. Tällöin hiukkanen ei paikallistu mihinkään avaruuden osaan. Vapaan hiukkasen aineaaltokentän vaihenopeus on he E p f 1 p = λ f = = = = v. ph p m Aineaaltokentän vaihenopeus on vain puolet hiukkasen klassisesta nopeudesta. Tulemme myöhemmin osoittamaan, että kokeessa havaittava hiukkasen etenemisnopeus ei ole vaihenopeus, vaan tietty aineaaltokenttää kuvaava odotusarvo, joka on samalla aineaaltokentän ryhmänopeus. Luvussa tulemme osoittamaan, että vapaata hiukkasta kuvaava tasoaallon Aexp ik r. Aallon amplitudi on sama paikasta riippuva osa on muotoa ( ) kaikkialla avaruudessa. Koska hiukkasen todennäköisyystiheys on verrannollinen aaltokentän itseisarvon neliöön, vapaan hiukkasen aineaaltokenttä ei voi antaa tietoa siitä, missä hiukkanen sijaitsee. Toisaalta vapaata hiukkasta kuvaavan harmonisen tasoaallon liikemäärä on tarkalleen määrätty, sillä Kuva 1-5 Jos hiukkasen paikkaa ei tunneta, aaltofunktioon Aexp( ik r ) liittyy liikemäärä "k. sitä kuvaa harmoninen Aineaalloista muodostettujen aaltopakettien aineaalto ominaisuuksia voidaan ymmärtää tarkastelemalla analogiaa SM-kentän aaltopaketteihin. Jos hiukkanen on lokalisoitunut (paikallistunut) tietylle alueelle, jonka laajuus (x-akselilla) on x, hiukkasta kuvaavalla aineaaltokentällä täytyy olla suuri amplitudi juuri tällä alueella ja vastaavasti pieni amplitudi tämän alueen ulkopuolella. Sähkömagneettisten aaltojen tapaan voimme muodostaa monoenergeettisten hiukkasten tasoaalloista aaltopaketteja, joilla on suuri

47 46 Kvanttifysiikan ilmiömaailma amplitudi tietyssä halutussa avaruuden osassa. Aaltopaketit, joita esittää kuva 1-6, etenevät ryhmänopeudella v g = dω dk. Käyttämällä yhtälöä (1.43) ja yhtälöä E p m ryhmänopeuden lausekkeen muodossa =, voimme kirjoittaa tasoaallon aineaaltokentän vg = de dp = p m = v. Aaltopaketin kuvaaman hiukkasen kokeellisesti havaittava keskimääräinen nopeus on aaltopaketin ryhmänopeus. Kuva 1-6 Välille x rajoittunutta hiukkasta kuvaava aaltopaketti. 1.1 Heisenbergin epämääräisyysperiaate paikalle ja liikemäärälle Jotta hiukkasen sijainti voidaan määrätä, sitä kuvaavaan aineaaltopakettiin on koottava (integroitava) useita eri aaltovektorin arvoihin liittyviä tasoaaltoja. Tarkastellaan lähemmin x-akselia pitkin etenevää hiukkasta. Jos aaltopakettiin liittyvä amplitudi on suuri sellaisella x-akselin alueella, jonka ulottuvuus on x, on aaltopakettiin koottava useita eri aaltovektorin omaavia osa-aaltoja. Merkitsemme osa-aaltojen jakautuman leveyttä aaltovektoriavaruudessa suureella k. Fourier-analyysin avulla voidaan osoittaa, että aaltopaketin leveys x-akselilla ja k-avaruudessa toteuttavat yhtälön x k π.

48 1.1 Heisenbergin epämääräisyysperiaate paikalle ja liikemäärälle 47 Hiukkasen liikemäärä voidaan esittää aaltovektorin avulla muodossa p = " k. Derivoimalla p = " k ja voimme kirjoittaa paikan ja aaltovektorin jakaumien leveyden ilmaisevan yhtälön muodossa x p h. (1.46) Yhtälön (1.46) fysikaalinen tulkinta on seuraava: Jos hiukkanen on suurella todennäköisyydellä x-akselin pisteiden x 1 x ja x+ 1 x välissä, ts. jos x edustaa hiukkasen sijainnin epämääräisyyttä, niin vastaavasti kyseistä hiukkasta kuvaavassa aaltopaketissa liikemäärän jakauma on suurella todennäköisyydellä välillä p 1 p ja p+ 1 p. Suureet p ja x toteuttavat Heisenbergin yhtälön (1.46). Suure p on siis elektronia kuvaavaan aaltopakettiin liittyvä liikemäärän epämääräisyys. Yhtälön (1.46) mukaan mitä suurempi on paikan epämääräisyys x sitä pienempi on liikemäärän epämääräisyys p ja päinvastoin. Kun pyrimme luomaan aineaaltotiloja, joissa hiukkasen paikan epämääräisyys on hyvin pieni joudumme sekoittamaan aaltopakettiin hyvin laajalta alueelta aaltovektoriavaruudesta tasoaaltoja ja näin p, eli liikemäärän jakauma levenee. Mitä tarkempi on tietomme hiukkasen paikasta, sitä suurempi on epävarmuutemme hiukkasen liikemäärästä, ja päinvastoin. Monokromaattisen tasoaallon tapauksessa liikemäärän epämääräisyys on nolla, joten samalla menetämme täysin tietomme hiukkasen sijainnista paikka-avaruudessa, ts. x. Emme voi tarkasti määrätä mikroskooppisen hiukkasen liikemäärää ja paikkaa yhtäaikaisesti. Näistä suureista saatavan tiedon täytyy aina toteuttaa yhtälö (1.46), joka kertoo optimaalisen suhteen paikan ja liikemäärän epävarmuudelle silloin kun nämä suureet mitataan yhtäaikaisesti. Koska yhtälö (1.46) edustaa äärimmäistä ideaalista tarkkuutta, onkin tapana kirjoittaa yhtälö (1.46) muodossa p x h. Tätä yhtälöä kutsutaan Heisenbergin epämääräisyysperiaatteeksi, joka voidaan myös ilmaista seuraavasti: On mahdotonta mitata yhtäaikaisesti ja tarkasti mikroskooppisen hiukkasen paikkaa ja liikemäärää.

49 48 Kvanttifysiikan ilmiömaailma Heisenbergin epämääräisyysperiaate edellyttää aina paikan ja liikemäärän epämääräisyyden tarkkaa matemaattista määrittelyä. Epämääräisyyksien x ja p tarkasta määritelmästä riippuen voidaan Heisenbergin epäyhtälö esittää useammassa hieman erilaisessa muodossa. Usein edellä olevassa yhtälössä on Planckin vakion edessä jokin rationaaliluku, jonka arvo on tyypillisesti välillä 1. Näillä pienillä eroilla x :n ja p :n määritelmissä ei ole itse epämääräisyysperiaatteen kannalta merkitystä. Myöhemmin tulemme osoittamaan, että Heisenbergin epämääräisyysperiaate on suora seuraus aineaaltokenttää kuvaavan kenttäyhtälön ominaisuuksista. Esimerkkinä mikrohiukkasen paikan ja liikemäärän yhtäaikaisesta määräämisestä tarkastelemme nyt koetta joka on esitetty kuvassa 1-7. Pyrimme määräämään hiukkasen paikan ja liikemäärän hetkellä jolloin elektroni osuu kuvan rakoon, jonka leveys on b. Haluamme määrätä hiukkasen x- koordinaatin sinä hetkenä, kun hiukkanen saapuu rakolevylle. Paikan mittauksen tarkkuuden määrää tietenkin raon leveys. Paikan mittaustarkkuus on x b. Toisaalta rako häiritsee hiukkaseen liittyvää aineaaltokenttää, mikä havaitaan diffraktiokuviona varjostimella, joka sijaitsee raon alapuolella. Johdamme seuraavaksi varjostin-levylle muodostuvasta diffraktiokuviosta sen liikemäärän epämääräi-syyden, joka elektronilla on täytynyt olla sen läpäistessä estelevyssä olevan raon. Diffraktio-kuvion muodostuminen noudattaa klassisen säh-kömagnetismin mukaista diffraktioperiaatetta. Merkitään päädiffraktiomaksimin kulmaleveyttä suureella θ. Päämaksimin Kuva 1-7 Raon läpi kulkevan hiukkasen paikan ja leveydestä voidaan laskea hiukkasen liikemäärän yhtäaikainen määrääminen diffraktiojakaumasta. saaman

50 1.1 Heisenbergin epämääräisyysperiaate paikalle ja liikemäärälle 49 liikemäärän varjostinlevyn suunnassa. Klassisen sähkömagnetismin diffraktioperiaatteen mukaan kulma θ toteuttaa yhtälön sinθ = λ b, joten saamme liikemäärän epämääräisyydeksi varjostimen suunnassa h λ h p = psinθ = =. λ b b Tämä suure on samalla liikemäärän epämääräisyys x-akselin suunnassa. Paikan epämääräisyyden ja liikemäärän epämääräisyyden tulo toteuttaa siis Heisenbergin yhtälön x p h. Jotta voisimme parantaa hiukkasen paikanmäärityksen tarkkuutta meidän täytyy kaventaa estelevyssä olevaa rakoa. Mitä kapeampi rako, sitä suurempi on diffraktiomaksimin leveys ja näin ollen myös hiukkasen liikemäärän epämääräisyys varjostinlevyn suunnassa. Vastaavasti pienentääksemme liikemäärän x-komponentin epämääräisyyttä joudumme kaventamaan keskusmaksimin leveyttä. Tällöin on käytettävä laajempaa rakoa estelevyssä, mikä puolestaan johtaa suurempaan epätarkkuuteen x-koordinaatin määräämisessä. Yllä esitetty koe osoittaa, että aineaaltoihin liittyvä epämääräisyys on yhteydessä mittaamisen epätarkkuuteen. Kun mikroskooppisesta systeemistä tehdään mittauksia joudutaan itse systeemiä aina häiritsemään sillä mittalaitteen on kyettävä vuorovaikuttamaan mitattavana olevan systeemin kanssa. Tällaista ongelmaa ei ainakaan periaatteessa ole klassisessa mekaniikassa. Klassisessa makroskooppisessa maailmassa mittalaite voidaan suunnitella niin herkäksi, että sillä voidaan tutkia haluttua ilmiötä ilman, että mittalaite itse häiritsee tutkittava systeemiä. Epämääräisyysperiaatteesta seuraa ettemme voi koskaan määrätä mikroskooppisen hiukkasen rataa samalla (periaatteessa rajattomalla) tarkkuudella, jolla Newtonin toinen laki määrää hiukkasen radan klassisessa mekaniikassa. Heisenbergin epämääräisyysperiaatteeseen liittyen on keskusteltu siitä, mitä rajoituksia kvanttimekaniikka asettaa ihmisen mahdollisuudelle kuvata tajunnasta riippumatonta todellisuutta. Onko mikrohiukkasen aineaaltokenttään liittyvien fysikaalisten suureiden todennäköisyysluonne pikemminkin seurausta mittaustapahtuman aiheuttamista rajoituksista mittaustarkkuuteen, vai onko kyseessä syvällisemmin koko aineaaltoteoriaan liittyvä ominaisuus. Yksityiskohtainen kvanttimekaaninen tarkastelu osoittaa, että

51 50 Kvanttifysiikan ilmiömaailma epämääräisyysperiaate ei rajoitu mitattavuusongelmiin, vaan on aineaaltokentän ominaisuus. Kullekin mikrosysteemille on olemassa tietty joukko fysikaalisia suureita, joilla voi yhtäaikaisesti olla tarkka arvo. Esimerkiksi hiukkasen paikan y-koordinaatilla ja liikemäärän x- koordinaatilla voi olla yhtäaikaisesti tarkka arvo. Voimme siis kirjoittaa y p x = 0, vaikka Heisenbergin periaatteen mukaan x px h. Näitä aiheita käsitellään kvanttifysiikan jatkokursseissa Ajan ja energian epämääräisyysyhtälö Paikan ja liikemäärän epämääräisyyttä ilmaisevan yhtälön x p h lisäksi mikroskooppisen hiukkasen energian määräämiseen liittyy myös epätarkkuusyhtälö. Olettakaamme, että emme halua ainoastaan määrätä hiukkasen energiaa vaan tarkemmin hiukkasen energian tiettynä ajan hetkenä. Olkoon E tarkkuus, jolla voimme määrätä hiukkasen energian ja t energian mittaamiseen tarvittavan ajan pituus, jota samalla pidämme energian määrityshetken epätarkkuutena. Voimme tällöin osoittaa että suureet E ja t toteuttavat yhtälön t E h. (1.47) Voimme ymmärtää tämän yhtälön seuraavasti. Kuvitellaan, että haluamme määrätä vapaan hiukkasen energian mittaamalla sen ajan, jonka hiukkanen käyttää siirtyessään jostain x-akselin pisteestä x 1 tiettyyn x-akselin pisteeseen x. Jotta voisimme määrätä sen ajan, jonka hiukkanen tarvitsee kulkeakseen tämän välin, meidän on määritettävä, milloin hiukkanen tulee välin alkupisteeseen ja milloin se saapuu välin loppupisteeseen. Kuvaamme nyt hiukkasta aaltopaketin avulla. Koska aaltopaketilla on tietty äärellinen leveys, emme voi määrätä tarkalleen hetkeä, jolloin hiukkanen saapuu välin alkupisteeseen, vaan tämä saapumishetki riippuu selvästikin paketin leveydestä. Mitä kapeampi paketti on paikkaavaruudessa, sitä tarkemmin voimme ilmeisestikin määritellä saapumishetken. Tällöin meidän on kuitenkin vastaavasti sekoitettava laajempi kaista eri energian omaavia osa-aaltoja, jolloin aaltopaketti vastaavasti levenee energia-avaruudessa. Fourier-analyysin avulla voidaan osoittaa, että jos pidämme saapumishetken epämääräisyytenä sen ajanjakson

52 1.13 Ajan ja energian epämääräisyysyhtälö 51 pituutta, jolloin pääosa aaltopaketista ohittaa tarkkailupisteen on ajanjakson pituuden ja aaltopakettiin sisältyvien eri taajuuskomponenttien keskipoikkeaman välillä yhtälö ω t π. Kertomalla nyt yhtälön molemmat puolet vakiolla " ja käyttämällä osa-aallon taajuuden ja energian välistä yhtälöä E = " ω ja edelleen yhtälöä π " = h, saamme yhtälön (1.47). Yhtälö (1.47) esittää siis energian epämääräisyyden ja mittausajan pituuden välistä optimaalista suhdetta. Useimmiten kuitenkin ajan ja energian epämääräisyys on suurempi kuin tässä ideaalisessa tilanteessa. Siksi yhtälö (1.47) onkin ollut tapana kirjoittaa t E h. Ajan ja energian epämääräisyysperiaate (1.47) edellyttää stationäärisen tilan käsitteen tarkistamista. Tarkastellaan elektronia, joka on atomin viritetyllä stationäärisellä tilalla. Tietyn äärellisen ajan jälkeen elektroni palaa perustilaan emittoimalla fotonin. Tarkastellaan lähemmin viritetyn tilan energian määrittämistä. Voimme tietää hetken, jolloin elektroni siirtyi viritettyyn tilaan hyvinkin tarkasti, esimerkiksi suorittamalla virityksen nopealla pulssilaserilla. Tyypillisesti voimme tietää viritetyn tilan muodostumisen tarkkuuden noin muutaman sadan Kuva 1-8 Energiatasojen elinaikaleveneminen. femtosekunnin tarkkuudella. Viritämme atomin useita kertoja peräkkäin lyhytkestoisella laserpulssilla. Kunkin pulssiin jälkeen mittaamme ajanhetken, jolloin siirtyminen viritetystä tilasta perustilaan ja fotonin emittoituminen tapahtuvat. Havaitsemme, että aikaviive jolla fotoni emittoituu vaihtelee satunnaisesti. Energian mittaamiseen tarvittavan ajan pituutena voidaan pitää sen aikavälin leveyttä, jolle fotonin emittoituminen keskimäärin jakautuu. Näin saamme energian mittaamiseen käytetyn ajan epämääräisyyden.

53 5 Kvanttifysiikan ilmiömaailma Vastaavasti energian epämääräisyys saadaan yhtälöstä (1.47). Näin saatu energian epämääräisyys on samalla kyseisen viritetyn tilan energialeveys. Voimme ajatella, että tarkalleen määrätyn yhden energian tilan sijaan stationääriseen tilaan liittyykin energiajakauma, joka ulottuu 1 E verran todennäköisimmän energian E molemmin puolin. Suuretta t, joka kuvaa fotonin emittoitumishetken epämääräisyyttä, kutsutaan viritetyn tilan elinajaksi. Yhtälön (1.47) perusteella mitä suurempi t on, sitä kapeampi on stationäärisen tilan energian leveys. Perustila on poikkeusasemassa, sillä hiukkanen pysyy perustilassaan ellei sitä häiritä ulkoisesti. Näin ollen perustilan elinaika on ääretön ja vastaavasti energian leveneminen äärettömän pieni. Voimme siis kirjoittaa t = ja E = 0. Kuva 1-8 esittää elektronin siirtymistä viritetystä tilasta perustilaan. Huomaamme, että perustilan leveys on äärettömän elinajan takia likimain nolla. Viritetty tila koostuukin tosiasiassa energiatilojen jatkumosta, kuitenkin siten, että energiatilojen tiheys on suurimmillaan alkuperäisen stationäärisen tilan energian kohdalla. Kun viritämme laserpulssilla elektronin viritettyyn tilaan, emme koskaan voi varmuudella tietää mihin tähän jatkumoon kuuluvaan tilaan elektroni virittyy. Paluu perustilaan voi tapahtua joko energiatilan jatkumon alareunalta, jolloin energian on likimain E E 1 E, tai yläreunalta, 1 jolloin energia on E E + 1 E, tai joltakin tilalta näiden ääriarvojen 1 väliltä. Viritetyn tilan purkautuessa muodostuvalla emissiospektrillä on siis äärellinen leveys monokromaattisen viivan E E1 sijaan. Tätä kutsutaan spektrin elinaikalevenemiseksi. Tässä tarkastelussa olemme tietenkin jättäneet tietoisesti huomiotta rekyylienergian. Rekyylienergia lasketaan näille eri energian omaaville transitioille samalla tavalla kuin edellä on esimerkissä kuvattu. Tässä olemme tarkastelleet energiatilojen levenemistä, joka aiheutuu viritettyjen tilojen äärellisestä elinajasta. Jos mittaamme esimerkiksi kaasuista tulevaa sähkömagneettista säteilyä, spektriviivojen leveneminen johtuu osittain myös sähkömagneettisesta Doppler-efektistä. Kaasussa atomit ovat jatkuvassa liikkeessä. Atomien tilastollista käyttäytymistä kuvaa Boltzmannin jakauma. Kun atomi liikkuu suhteessa laboratoriossa paikallaan olevaan spektrometriin, tulee havaittuun fotonin taajuuteen tästä liikkeestä aiheutuva Doppler-siirtymä, joka lasketaan siten kuin

54 1.13 Ajan ja energian epämääräisyysyhtälö 53 klassisessa sähkömagnetismissa on osoitettu. Atomien nopeusjakauma on tilastollinen: jotkut atomit ovat liikkeessä kohden spektrometriä ja jotkut siitä poispäin. Mitattaessa emittoituvien fotonien energioita saadaan tilastollinen jakauma, joka koostuu eri nopeudella etenevien atomien emittoimista fotoneista. Tätä spektriviivan levenemistä kutsutaan Dopplerlevenemiseksi. Esimerkki 1.6. Resonanssiabsorption mahdollisuus atomeissa ja ytimissä tapahtuvissa transitioissa. Tarkastelemme transitioita kahden stationäärisen tilan E 1 ja E välillä. Esimerkissä 1.1 olemme osoittaneet että fotonin emittoituessa on fotonin saama energia stationääristen tilojen energiaero vähennettynä rekyylienergialla ( ) E E1 Mc. Jos tilojen E ja E 1 viivanleveys olisi pienempi kuin rekyylienergia, ei fotoni joka emittoituu elektronin siirtyessä tilalta E tilalle E 1 voi enää virittää elektronia tilalta E 1 tilalle E. Jos taas tilojen E ja E 1 yhteinen leveneminen on suurempi kuin kaksi kertaa rekyylienergia, voimme olettaa tällaisen resonanssiabsorptioilmiön olevan mahdollinen kohtalaisen suurella todennäköisyydellä. Kokeellisesti voimme osoittaa, että resonanssiabsorptio on kielletty ytimissä ja sallittu atomeissa ja molekyyleissä. Tarkastellaan esimerkkinä siirtymää elohopea-atomissa. Fotonin energia on 4,86 ev. Tämän elohopea-atomin viritetyn tilan elinaika 8 on likimain 10 s. Elohopea-atomin massa on noin atomimassayksikköä, josta saamme lepoenergiaksi 1,86 10 ev ja 11 vastaavasti rekyylienergiaksi 7,15 10 ev. Elohopea-atomin viritetyn tilan 7 4 elinaika antaa viritetyn tilan leveydeksi 4,14 10 ev. Tämä on 10 kertaa suurempi kuin rekyylienergia, joten voimme todeta, että rekyylienergialla ei ole käytännön merkitystä resonanssiabsorption kannalta. Vaikka joudumme käyttämään osan fotonin energiasta atomin rekyylienergiaksi, löytyy stationäärisen tilan energiajatkumosta yhä suuri joukko sellaisia tiloja joiden välinen transitio on mahdollinen rekyylienergiahäviöstä huolimatta. Toisena esimerkkinä tarkastelemme ytimessä tapahtuvaa 1,33MeV gammatransitiota 60 Ni ytimessä. Nikkeliatomin massa on atomimassayksikköä, mistä saamme lepoenergiaksi 5,61 10 ev. 6 Transitioenergia on 1,33 10 ev. Tästä saamme ytimen rekyylienergiaksi 15,8eV. Rekyylienergia on tässä tapauksessa paljon suurempi kuin atomien elektronitilojen välisessä transitiossa. Ytimen viritetyn tilan elinaika on 14 vastaavasti 10 s. Ajan ja energian epämääräisyys antaa nyt tilan leveydeksi 0,414eV, joka on paljon pienempi kuin rekyylienergia. Tästä syystä rekyylienergia on ytimien kohdalla ratkaisevan oleellinen resonanssiabsorptiota ajatellen. Kun transitioenergiasta vähennetään rekyylienergia, ei fotonille jää riittävästi energiaa saman systeemin virittämiseksi tilalta E 1 tilalle E, toisin sanoen näiden kahden tilan

55 54 Kvanttifysiikan ilmiömaailma energialevenemisestä huolimatta ei tilojen energiatiheys ulotu niin laajalle alueelle energia-avaruudessa että fotonin energia enää riittäisi viritykseen. Esimerkki 1.7. Mössbauer-ilmiö. Edellisessä esimerkissä olemme tarkastelleet energian epämääräisyyttä ydintransitiossa, ja todenneet, että tästä epämääräisyydestä aiheutuva energialeveneminen on paljon pienempi kuin ytimen rekyylienergia. Tämän takia sähkömagneettisessa siirtymässä emittoituva gammasädefotoni ei voi absorboitua samojen energiatilojen välisen siirtymän yhteydessä. Rekyylienergiaa voidaan pienentää oleellisesti jos sekä emittoiva, että absorboiva ydin ovat kiinni erilliskiteessä ja ytimen rekyylienergia jakautuu yksittäisen ytimen sijaan koko kiteen kesken. Tällöin massa, joka saa rekyylienergian on mittaamattoman suuri ja rekyylienergia jää hyvin pieneksi stationääristen tilojen energiaeroon E E 1 verrattuna. Tällöin resonanssiabsorptio tulee mahdolliseksi. Ilmiötä kutsutaan Mössbauer-ilmiöksi sen havaitsijan R. L. Mössbauerin mukaan. Mössbauerin ilmiötä on käytetty lukuisten tärkeiden fysikaalisten ilmiöiden tutkimiseen. Kuva 1-9 esittää koejärjestelyä, jolla mitataan ytimen tilan luonnollista viivanleveyttä. Gammasädelähde on kiinnitetty pyörivän kiekon reunaan. Kiekon pyörimisnopeutta, ja näin ollen myös gammalähteen nopeutta suhteessa absorboijaan, voidaan säätää. Lähteen ollessa asemassa A siitä emittoituvat gammasäteet pääsevät varjostuslevyn raon lävitse absorboijaan. Absorbaattori koostuu samoista atomeista kuin gammalähdekin, näin gammalähteessä muodostuvat gammakvantit voivat virittää absorbaattorissa ytimen saman transition ylempään tilaan. Sekä Kuva 1-9 Energiatason leveyden mittaaminen gammalähde, että absorbaattori ovat Mössbauer ilmiön avulla. kiteitä, jolloin rekyyliefektiä ei esiinny (tai sitä voidaan pitää hyvin pienenä). Jos lähde on levossa absorbaattoriin nähden, tapahtuu resonanssiabsorptio. Kun kiekko laitetaan liikkeeseen, resonanssiabsorptio tulee vähitellen mahdottomaksi. Tämä johtuu Doppler-siirtymästä gammalähteestä tulevassa röntgenfotonissa. Kuva 1-30 esittää absorbaattorin läpäisevän säteilyn intensiteettiä. Havaitsemme, että absorptio on merkittävä suhteellisen nopeuden ollessa likimain nolla. Myös tämän nopeusarvon lähiympäristössä absorptio on merkittävää johtuen transition alku- ja lopputilan äärellisestä elinajasta. Absorption puoliarvointensiteetti vastaa suhteellista nopeutta, joka on likimain ± 4cm s. Tätä vastaava Doppler-siirtymä on

56 1.13 Ajan ja energian epämääräisyysyhtälö 55 ν 1,33 10 ν 10 ja vastaavasti energian epämääräisyys 10 E 1,33 10 E. Jos oletamme, että alempi tarkasteltavana olevan transition energiatiloista on perustila, voimme pitää suuretta viritetyn ydintilan energianleveyden likiarvona. Yllä olemme tarkastelleet tilastollisia jakaumia ilman antamatta jakauman leveydelle täsmällistä Kuva 1-30 Ilmaisimen virta kiekon reunan matemaattista määritelmää. nopeuden funktiona. Kirjallisuudessa on tietenkin vakiintunut joukko erilaisia määritelmiä tilastollisten jakaumien leveydelle. Usein on asiayhteydestä perusteella ilmeistä, mitä jakauman leveydellä tarkoitetaan. Fotoabsorption ja emission yhteydessä puhutaan yleensä puoliarvoleveydestä. Tällä tarkoitetaan sen fotonin energia-alueen leveyttä, jonka ulkopuolella absorption tai emission todennäköisyys on alle puolet maksimiarvosta.