Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Transkriptio

1 Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

2 Copyright Isto Jokinen 01 PINT-LOJEN LSKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pintaalojen laskeminen keskeisin osa matematiikasta. Sitä tarvitaan mm: - Kun arvioidaan maalauskohteen ajan- ja materiaalien kulutusta - Kun lasketaan maalaustyöstä, jonka hinta perustuu maalattuun pinta-alaan - Kun lasketaan työntekijän palkkaa silloin kun palkkaan vaikuttaa maalattu pinta-ala - Kun lasketaan pinnoituksessa tarvittavaa sähkövirtaa. Pinta-ala on pituusmitta toisessa potenssissa. Yleisin käytettävä pinta-alan yksikkö on m eli neliömetri. Sitä käytetään mm. - Ilmoitettaessa asuintilojen pinta-aloja - Laskettaessa maalattavia pinta-aloja Muita yleisesti käytettäviä yksiköitä ovat dm, cm, mm ja km. Maapinta-aloista käytetään usein myös yksiköitä hehtaari ( ha ) ja aari ( a ). 1 ha = m ja 1 a = 100 m Yksiulotteisuus Pituusmitta on yksiulotteinen. Esim. kuvan viivan pituus on 0,08 metriä. MONIMUOTOISEN PINNN PINT-L Monimuotoisen pinnan pinta-alaa ei voida laskea laskukaavalla, vaan sen pinta pitää paloitella pieniin osiin ja laskea osien pintaalat yhteen. Esimerkki 1. Kaksiulotteisuus Pinta-ala on kaksiulotteinen. Pinta-alan suuruus riippuu siitä miten ison alan pinta peittää. Esim. kuvan laatikon sivun pinta-ala on 0,00 m. Pinta-ala voidaan laskea vain pienissä osissa, eikä koskaan täysin tarkkaan. Mitä pienempiin osiin ala paloitellaan, sitä tarkempi tulos saadaan. Käyttö opetuksessa tekijän luvalla

3 Copyright Isto Jokinen 01 SÄÄNNÖNMUKINEN PINT-L Säännönmukaisten pintojen pinta-alat voidaan laskea tarkasti laskukaavojen avulla. Säännönmukaisia pintoja ovat mm: neliö, suorakulmio, kolmio, suunnikas, puolisuunnikas, ympyrä, lieriö, kartio ja pyramidi MITTYKSIKÖT PINT- LLSKUISS Piirustuksissa mitat ilmoitetaan millimetreinä ellei toisin ole ilmoitettu. Pinta-alaa laskettaessa on millimetrimitat muutettava ennen pinta-alan laskemista siihen pituusyksikköön jonka neliönä pinta-alan tulos halutaan. Esimerkiksi jos mitat on annettu millimetreinä ja tulos halutaan neliömetreinä, niin millimetrimitat muutetaan ensin metreiksi ja tämän jälkeen pinta-ala lasketaan näistä metrimitoista. Taulukko. Mittayksiköistä toisiksi: MILLIMETREISTÄ METREIKSI 1 m = 1000 mm, joten millimetrimitta muutetaan metrimitaksi jakamalla se tuhannella. Esimerkkejä muunnoksista alla olevassa taulukossa. mm ,5, 1,8 15, 110 0,85 0,05 0,000 MITTYKSIKÖISTÄ TOISIKSI Pituusyksikköjä cm ja dm käytetään yleisesti, vaikka niiden käyttöä tulisi pyrkiä välttämään. Taulukossa.yleisimpiä mittayksikköjä muunnettuna metreiksi. m 1 km m dm cm mm um , ,0018 0,018 0, , 10-0,004 0,04 0,4 4, ,015 0,15 1, , 10-0, ,0015 1, , , Käyttö opetuksessa tekijän luvalla

4 Copyright Isto Jokinen 01 NELIÖN PINT-LN LSKEMINEN Neliössä kaikki sivut ovat saman mittaisia ja kulmat suoria. SUORKULMION PINT-LN LSKEMINEN Suorakulmiossa kulmat ovat suoria ja sivuparit keskenään samanmittaisia. Neliön pinta-ala lasketaan kaavalla: Suorakulman pinta-ala lasketaan kaavalla: a ab Esimerkki. Neliön sivun pituus on, metriä. Mikä on neliön pinta-ala? Esimerkki 5. Suorakulmaisen pihan mitat ovat Mikä on pihan pinta-ala?, m 10,4m 1,5m 8m 50m Esimerkki. Rakennuspiirustuksessa vaatehuone on neliön muotoinen ja sivujen mitta on 800. Mikä vaatehuoneen pinta-ala on yksikössä m? 0,8m 0,64m KOLMION PINT-LN LSKEMINEN Suorakulmaisessa kolmiossa on suorasta kulmasta alkavat kateetit ja niiden toisia päitä yhdistävä hypotenuusa. Esimerkki 4. Neliönmuotoisen pihavaraston pinta-ala voi olla 9,9 m. Mikä on varaston sivujen pituus? a 9,9m, 146m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 4

5 Copyright Isto Jokinen 01 Suorakulmaisen kolmion pinta-ala lasketaan kaavalla: Esimerkki 6. a b Suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet ovat 100 ja 800. mikä on kolmion pinta-ala? Suunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla: Esimerkki 8. a c b Suunnikkaan sivujen pituudet ovat: a=180, b=60 ja c= 60. Mikä on suunnikkaan pinta-ala? 1,m 0,8m Esimerkki 7. 0,48m 0,18m 0,6m 0,06m 0,01m 1,dm Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 18 m ja korkeus 1,5 m. Mikä on kolmion leveys? a b b a 18m b 4m 1,5m PUOLISUUNNIKKN PINT- LN LSKEMINEN Puolisuunnikkaassa sivut a ja c ovat samansuuntaisia. Sivu b on suorassa kulmassa sivuihin a ja c nähden. Kuva: Puolisuunnikas SUUNNIKKN PINT-LN LSKEMINEN Suunnikkaassa sivut a ja c ovat keskenään samansuuntaisia. Sivu b on sivujen a ja c etäisyys. Puolisuunnikkaan pinta-ala voidaan laskea kaavalla: bd ab tai a c : a b b Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 5

6 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 9. Puolisuunnikkaan mitat ovat: a=1500; b=800;c=1000. Mikä on puolisuunnikkaan ala? d a c ,8m 0,5m 1,5 m 0,8m 1m YMPYRÄN L Ympyrän pinta-ala voidaan laskea joko ympyrän halkaisijan tai säteen avulla. Ympyrän säde ( r ) on ½ ympyrän halkaisijasta ( d ). Esim. 10. Ympyrän halkaisija on 5 m. Mikä on sen pinta-ala? 5m 4 YMPYRÄN PIIRI Ympyrän piiri ( P ) on: P d 96m Esim. 11. Ympyrän ala on 10 m. Mikä on sen halkaisija ja piiri? d 4 d d 410m 4 1.6m P d 8, 8m Esim. 1. Ympyrän piiri on 400m. Mikä on ympyrän pinta-ala, säde ja halkaisija? d r r tai d 4 P d P d 400m d 17, m d 17,m r 6, 66m s r 6,66m 17m Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 6

7 Copyright Isto Jokinen 01 PINT-LYKSIKKÖJEN MUUNTMINEN Pinta-alaa laskettaessa on laskun tulos annettava siinä yksikössä missä se halutaan. Jos yksikköä ei erikseen mainita annetaan vastaus neliömetreinä. Metallipinnoitustöissä käytetään usein yksikköä dm. Muita käytetään hyvin harvoin. Muunnettaessa pinta-alayksikköä pilkku siirtyy aina kahden numeron yli. m dm cm mm 0,01, , , , , , , PINT-LN JKMINEN Usein pinta-alaa ei voida laskea suoraan koska se voi muodostua useasta osasta tai sitten ulkomitoista pitää vähentää pinnan osia. Esim. 1. Pinta jaetaan osiin jotka voidaan laskea erikseen. Piirustuksiin merkitään tarpeellinen määrä mittoja, mutta ei kaikkia. nnettujen mittojen avulla voidaan kuitenkin loput mitat laskea. Tässä tapauksessa 1 voidaan laskea suoraan annetuista mitoista. ja :n laskemiseen sen sijaan tarvitaan sivujen mittojen omaa laskemista. :n pystysuoramitta on,m-,8m. :n pystysuoramitta on,m-,8m ja vaakasuoramitta 4,5m-,7m. Lattian pinta-ala on: 1 1,5m,8m 1, 6 4 m,7m 0,4m 1, 08m 1,8 m0,4m : 0, 6m 1,6m 1,08m 0,6m 14,04m OSIEN VÄHENTÄMINEN PINT- LST Maalattavassa tuotteessa voi olla reikiä joita ei maalata. Huoneiden seinissä voi olla ovia ja ikkunoita joita ei lasketa maalattavaan pintaalaan. Tällöin on järkevää laskea ulkopintaala ja vähentää siitä pinnat joita ei maalata. Esim. 14. Laske kuvan levyn pinnoitettava pinta-ala. Musta osa on aukko pinnassa. Huoneen lattia jaetaan kolmeen osaan joiden pinta-alat voidaan laskea erikseen laskukaavojen avulla. Lopuksi osat summataan yhteen. Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 7

8 Copyright Isto Jokinen 01 ulkomitat aukko ulkmitat 0,m 0,5m 0,075m Esimerkki 15. Laske kuution pinta-ala yksiköissä m ja dm kun sen sivun pituus on 600. a) Yksikössä m : aukko 0,1 m 0,15m 0,015m 0,6m,16 6 m 0,075m 0,06m 6dm 0,015m b) Yksikössä dm : 6dm 16 6 dm Edellisissä esimerkeissä laskettavat pinta-alat olivat yhdessä tasossa ( tasogeometria ). KOLMIULOTTEISET KPPLEET Hyvin usein joudutaan laskemaan pinta-aloja kolmiulotteisista kappaleista. Näitä ovat mm. kuutio, suorakulmainen särmiö, kiila, pyramidi, pallo, puolipallo ja lieriö. Pintaaloja lasketaan usein myös profiileista joita ovat mm. lauta, lista, putki ja erilaiset palkit. KUUTION PINT-L Kuutiossa on kuusi pintaa jossa kaikki sivut ovat saman mittaisia: Esimerkki 16. Kuution pinta-ala on 1,15m. Mikä on kuution sivun pituus? kuutio kuutio 6a a 0, 45m 6 SUORKULMISEN SÄRMIÖN PINT-L Suorakulmaisessa särmiössä on kolme keskenään identtistä sivuparia ja yhteensä 6 sivua. Kuva. Suorakulmainen särmiö Kuva: Kuutio Suorakulmaisen särmiön sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on. Kuution sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on: 6a ab ac bc Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 8

9 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 16: Laske kuvan suorakulmaisen särmiön pinta-ala yksikössä dm. Esimerkki 18. Laske kuvan kiilan sivujen kokonaispinta-ala yksikössä dm. (1dm 0,4dm 1dm 1,5dm 1,5dm 0,4dm) 5dm Esimerkki 17: Laske kuvan suorakulmaisen särmiön pinta-ala yksikössä m. Kolmiosärmiö on kuvattu piirustuksessa yhdensuuntaisprojektioina. Sivuja vasemmalta, päältä ja alta on kutakin vain yksi. Sivut edestä ja takaa ovat keskenään samanlaisia. lat lasketaan erikseen : vasemmalta dm0,5dm 1,5 dm alta dm0,5dm 1dm (6m,5m 6m 10m,5m 10m) 00m KOLMIOSÄRMIÖN PINT-L Kolmiosärmiöllä tarkoitetaan suorakulmaista särmiötä joka on puolitettu kahteen osaan niin, että sivusta katsottuna se näyttää kolmiolta. Sillä on viisi pintaa, joista kolme on suorakulmion muotoisia ja kaksi kolmion muotoisia. Jos kolmion hypotenuusan mittaa ei ole annettu on se laskettava Pythagoraan - lauseen avulla, jotta yhden suorakulmio pinta saadaan laskettua. Kahden muun suorakulmion ja kolmioiden pinta-alat saadaan laskettua suoraan. edestä takaa dmdm 6dm päältä on hankalampi laskea, koska se on c0,5 dm. Mittaa c ei ole annettu. Se voidaan laske ainoastaan Pythagoraan lauseen avulla, joka on: c:ksi saadaan: c a b dm dm 1dm, dm c 6 päältä,6dm 0,5dm 1, 8dm yhteensä ( 1, ,8) dm 10,dm Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 9

10 Copyright Isto Jokinen 01 LIERIÖN PINT-L Kuva: Lieriö Vaipan pinta-ala lasketaan kaavalla: r h Esimerkki 0. Mikä on kartion vaipan pintaala kun sen halkaisija on 85 cm ja korkeus 1,15 m. 0,45m1,15m 1,54m PLLON PINT-L Kuva: Pallo d h Lieriön pituuden symbolina käytetään usein myös l:ää ja s:ää. Putken pinta-ala on sama kuin lieriön pinta-ala. Esimerkki 19. Putken ulkohalkaisija on 150 ja pituus 1 metriä. Mikä on putken pinta-ala? 0,15m1m 5,65m KRTION PINT-L Kuva. Kartio Pallon pinta-ala lasketaan kaavalla: 4 r Esimerkki 1. Mikä on pallon pinta-ala kun sen halkaisija on 1 m? 0,5m,14 4 m Esimerkki. Mikä on pallon säde jos sen pinta-ala on 00 m :ä? 4 r Kartiolla on vaippa ja pohja. Pohjan pinta-ala lasketaan ympyrän pinta-alana ( =r ). 00m r, 99m 4 4 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 10

11 Copyright Isto Jokinen 01 PROFIILIEN PINT-LT Profiilien pinta-ala lasketaan kertomalla niiden piiri profiilin pituudella. Usein piiri on annettu yksikössä mm ja pituus yksikössä m. Profiileilla on myös päät, joilla on oma pintaalansa. Päiden pinta-ala on kuitenkin sivuihin nähden niin pieni ettei sitä tarvitse laskea ellei erikseen pyydetä. Esimerkki. Kuvan lautoja on 5 kpl. Mikä on lautojen pinta-ala? Päitä ei tarvitse laskea. a = 50, b = 00, c = 8 0,5m 0,08m 0, m P 556 lauta 0,556m,m 1,848m I-PLKIN PINT-L Kuva: I-palkki I-palkin piiri voidaan laskea kaavalla: P 4 a b Laskutapa ei anna aivan tarkkaa tulosta, koska se ei ota huomioon palkin seinämän paksuutta. Jos tuloksesta vähennetään kertaa palkin seinämän paksuus on tulos tarkka. Yleensä edellinen laskukaava antaa maalaustai pinnoituspinta-alojen laskentaan riittävän tarkan tuloksen. Esimerkki 6. I-palkin korkeus on 00, leveys 150 ja pituus 6m. Mikä on palkin ala? Päiden alaa ei huomioida. P 40,15m 0,m 1m kok 51,848m 45,9m 1m 6m 6m Esimerkki 4. Putken ulkohalkaisija on 14 mm ja pituus 1 m. Mikä on putken pinta-ala yksikössä dm? 0,14dm10dm 5,8dm U-PLKIN PINT-L Kuva: U-palkki Esimerkki 5. Putken pinta-ala on 10m ja sen pituus on 50 metriä. Mikä on putken halkaisija? putki d l d putki l 10m 6,7mm 50m U-palkin piiri voidaan laskea kaavalla: P a 4b Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 11

12 Copyright Isto Jokinen 01 TILVUUSLSKENT Esineet ovat aina kolmiulotteisia. Kolmiulotteisuudesta johtuen niillä on tilavuus. Yksinkertaisten muotoisten esineiden tilavuus voidaan laskea laskukaavojen avulla. Monimuotoisten tilavuutta ei voida suoraan laskea. Tilavuuden yksiköt ovat pituusmittoja kolmannessa potenssissa; esim. m, dm, cm ja mm. Tilavuusyksikköjä joudutaan usein muuntamaan. Muunnoksissa pilkku siirtyy aina askelta. Esimerkiksi 00 dm on 0, m ja myös 00000cm. Kolmiulotteisia muotoja KUUTION TILVUUS Kuution tilavuus: V = a. Esimerkki 6. Kuution sivun pituus on 100. Mikä on sen tilavuus yksikössä m? Vastaus: Pituusmitta muutetaan yksikköön metri, jolloin vastaus saadaan suoraan yksikössä m. V=(1,m) =,197m Esimerkki 7. Kuution tilavuus on 400 litraa. Mikä on kuution sivun pituus. a 400dm 7, 7dm Tilavuusmittojen muuntaminen m 0,0015 dm ( l ) 000 1,5 cm ( ml ) mm ( µl ) SUORKULMISEN SÄRMIÖN TILVUUS 0, ,0049 4, Yleisimmin käytettyjä yksiköitä ovat m, l ja ml. Suorakulmaisen särmiön tilavuus lasketaan kertomalla sivujen pituudet keskenään, eli V abc Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

13 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 8. Laske suorakulmaisen särmiön tilavuus kun: a = 100, b = 600 ja c = 800 V 1,m 0,6m 0,8m 0,576m KOLMIOSÄRMIÖN TILVUUS Esimerkki 0. Lieriön korkeus on 800 ja halkaisija 400. Mikä on sen tilavuus yksikössä litra ( dm )? r dm; h 8dm V 100,5dm dm 100l 8dm PLLON TILVUUS Kolmiosärmiön tilavuus lasketaan kaavalla: V Lb h Esimerkki 9. Kuvan kolmiosärmiön mitat ovat: L = 0000,b = 8000,h = 4000 Mikä on sen tilavuus? V 0m8m 4m LIERIÖN TILVUUS 0m Pallon tilavuus lasketaan kaavalla: 4 r V pallo tai d V pallo 6 Esimerkki 1. Pallon halkaisija on 50 mm. Mikä on sen tilavuus litroina? V pallo 0,5dm 6 0,065dm Esimerkki. Pallon tilavuus on 100 l. Mikä on sen halkaisija? V pallo d V 6 d 6 Lieriön tilavuus lasketaan kaavalla V r h 100dm 6 d 5,76dm 576mm Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

14 Copyright Isto Jokinen 01 KRTION TILVUUS PINNOTTEIDEN TILVUUS Pinnassa olevan pinnoitteen tilavuus on sen V 8m 0,00m 0,04m 4l peittämä pinta-ala kerrottuna pinnoitteen paksuudella. Esimerkki 5. Lattian pinta-ala on 8 m. Lattian päälle levitetään mm tasoitetta. Mikä on tasoitteen tilavuus litroina? Kartion tilavuus saadaan laskukaavalla: V kartio d 1 h Esimerkki. Kartion korkeus on 800 ja halkaisija 600. mikä on sen tilavuus litroina? 6dm 8dm 75, dm V kartio 4 1 Esimerkki 4. Kartion tilavuus on 10 litraa ja halkaisija 0 cm. Mikä on sen korkeus? V kartio d h V 1 h 1 d 10dm 1 h 4,4dm 44mm dm Laskettaessa tasoitteiden kulutusta voidaan käyttää muistisääntöä. Kulutus ( l ) = (m) paksuus ( mm ) Esimerkki 6. Lattian ala on 1 m ja sille levitetään tasoitetta 4,5 mm. Paljonko tasoitetta kuluu litroina? V 1m 4,5mm 54l MLIKLVON TILVUUS V 80m 0,0000m 0,004m Pinnassa olevan maalikalvon tai metallipinnoitteen tilavuus on sen peittämä pinta-ala kerrottuna pinnoitteen paksuudella. Esimerkki 7. Teräslevyjen pinta-ala on 80 m. Niiden päälle levitetään 0 µm sinkkiä. Mikä on sinkin tilavuus litroina? Laskettaessa maalien ja metallipinnoitteiden kulutusta voidaan käyttää muistisääntöä. Kulutus ( l ) = (m) paksuus (µm )/1000 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 14

15 Copyright Isto Jokinen 01 Esimerkki 8. Lattian ala on 1 m ja sille levitetään tasoitetta 10 µm maalikerros. Paljonko maalia kuluu litroina? 1m 10m V 1, 44l 1000 Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 15