Binauraalinen äänentoisto kaiuttimilla

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Binauraalinen äänentoisto kaiuttimilla"

Transkriptio

1 Binauraalinen äänentoisto kaiuttimilla Ville Kuvaja TKK Tiivistelmä Tässä työssä esitellään kolmiulotteisen äänen renderöinnin perusteita kaiutinparilla. äpi käydään binauraalisessa äänentoistossa kaiuttimilla tarvittava ristiinkuulumisenpoiston tekniikka. isäksi käsitellään ongelmia ja rajoitteita, joita on binauraalisessa äänentoistossa kaiuttimilla. Ongelmista suurimpia ovat kuuntelualueen rajallinen koko, äänen värittyminen, akustiset ongelmat, ihmisen kuuloon liittyvät ongelmat ja signaalinkäsittelyn vaativuuden ongelmat. Ongelmista yhteen, kuuntelualueen rajalliseen kokoon, esitellään steredipoliksi kutsuttu ratkaisu ja sen fysikaalinen perusta käydään 1 JODANTO Binauraalinen äänentoisto kaiuttimilla tarkoittaa tässä työssä erityistä tekniikkaa, jolla kuuntelijan korviin tuodaan ääntä kahdella kaiuttimella, tavoitteena luoda uskottava kolmiulotteinen (3D) vaikutelma kuuntelijalle. Jotta tavoitteeseen päästäisiin täytyy hallita tekniikka, jolla eri korviin voidaan tuoda eri äänet. Jos korviin tulevia ääniä pystyttäisiin hallitsemaan täydellisesti, pystyttäisiin periaatteessa vapaasti luomaan halutunlainen kolmiulotteinen äänimaisema. Toistettaessa ääntä kahdella kaiuttimella tapahtuu ristiinkuulumista. istiinkuuluminen tarkoittaa kuuntelijan oikeaan korvaan tarkoitetun signaalin kuulumista oikean korvan lisäksi myös vasemmassa korvassa ja vastaavasti vasempaan korvaan tarkoitetun signaalin kuulumista oikeassa korvassa. Jotta pystyttäisiin luomaan tyydyttävää 3D-ääntä, täytyy ristiinkuuluminen poistaa. istiinkuulumisen poisto on keskeinen tehtävä, kun halutaan toistaa 3D-ääntä kahdella kaiuttimella. istiinkuulumisen poistoa käsitellään kappaleessa kaksi. Binauraalisen äänentoiston ongelmia kaiutinparilla käsitellään kappaleessa kolme. Ongelmista kuuntelualueen koon rajallisuuteen esitellään ratkaisuna stereodipoli. Stereodipolin fysikaalinen periaate esitellään kappaleessa neljä siten, kuin se on esitetty alkuperäisissä teksteissä. opuksi kappaleessa viisi tehdään yhteenveto 1

2 käsitellyistä asioista. Ensimmäistä kertaa ristiinkuulumisesta poistettua binauraalista ääntä kaiuttimilla toisti Schroeder ja Atal vuonna 1966 (uopaniemi, 1999). Tekniikan teorian oli jo aiemmin muotoillut B. Bauer vuonna Binauraalinen äänentoisto on multimedian leviämisen myötä tällä hetkellä yleisempää kuin koskaan aikaisemmin. Erilaisia 3D-kaiuttimia on tarjolla runsaasti. Niiden ominaisuuksissa ja niiden luomissa 3D-vaikutelmissa on kuitenkin suuria eroja. 2 ISTIINKUUUMISEN POISTO Binauraalinen synteesi ja ristiinkuulumisen poisto ovat operaatiot, jotka suoritetaan, kun toistetaan binauraalista ääntä kuuntelijan korviin. Binauraalinen synteesi tarkoittaa äänen syntetisoimista binauraaliseksi, eli sellaiseksi että se voidaan toistaa kuuntelijan eri korvissa siten, että syntyy kolmiulotteinen vaikutelma. Binauraalisen äänen toisto kaiuttimilla vaatii myös ristiinkuulumisen poiston suorittamisen. istiinkuulumista poistetaan erityisillä suotimilla. istiinkuulumisen poiston teoriaa esitellään tässä työssä yleisen asymmetrisen kuuntelutilanteen ristiinkuulumisen poiston tapauksessa. Esitys perustuu Gardnerin väitöskirjaan (Gardner, 1997). Binauraalinen synteesi suoritetaan kertomalla herätesignaalia vasemman ja oikean ulkokorvan ja korvakäytävän akustisella siirtofunktiolla, eli TF:llä (ead elated Transfer function): x = hx (1) x x =, h = (2) x Missä x on herätesignaali, x on binauraalisten signaalien muodostama pystyvektori ja h on binauraalisen synteesin TF-parin pystyvektori. Jotta binauraalinen signaali voitaisiin tuoda kuuntelijalle kaiuttimien kautta, täytyy binauraalinen signaali suodattaa ristiinkuulumisenpoistosuodattimella C: y = Cx (3) y C11 C12 y =, C = (4) y C21 C22 Missä y on binauraalinen kaiutinsignaali ja suodatin C on ristiinkuulumisenpoistosuodatin. 2

3 Kuva 1: Akustiset siirtofunktiot kaiuttimien ja kuuntelijan korvien välillä (Gardner, 1997). Kuva 2: ohkokaavio binauraalisesta äänentoistojärjestelmästä, johon kuuluu binauraalinen syntetisaattori, ristiinkuulumisenpoistojärjestelmä ja akustinen siirto kuuntelijalle (Gardner, 1997). Kahden kanavan kuuntelutilanne on esitetty kuvassa 1. Korviin tulevat korvasignaalit ovat seuraavan yhtälön mukaisessa suhteessa kaiuttimista tuleviin kaiutinsignaaleihin: e = Ay (5) e A A e =, A = (6) e A A missä e on korvasignaalien muodostama pystyvektori, A on akustinen siirtomatriisi ja y on kaiutinsignaalien muodostama pystyvektori. 3

4 Korvasignaalien ajatellaan olevan mitattu ideaalisella mittarilla jostain kohtaa korvakäytävää, siten että kaikki pään vasteen suunnasta riippuvat ominaisuudet on saatu otettua huomioon. A:n siirtofunktiot sisältävät kaiuttimen taajuusvasteen, ilmassa etenemisen ja pään vasteen. A voidaan osittaa seuraavalla tavalla: A = S (7) S A 0 =, S = (8) 0 S A missä on pään siirtofunktioiden, eli TF:ien, matriisi, jossa jokainen TF on normalisoitu suhteessa vapaan kentän vasteeseen pään keskipisteessä, ilman että päätä on huomioitu. TF:ien mittauspiste, joka voi olla esimerkiksi korvakäytävän suu, ja samalla myös korvasignaalin e määritelmä, on yksinkertaisuuden takia jätetty ottamatta huomioon. S on kaiuttimien taajuusvasteiden ja ilman siirtofunktioiden muodostama diagonaalimatriisi. Taajuusvasteet S X ja siirtofunktiot A X ovat kaiuttimesta kuuntelijan pään keskipisteeseen, ilman pään vaikutusta. Yksinkertaisuuden takia on tehty oletus, että kukin kaiutin vaikuttaa ipsilateraaliin (samalla puolella olevaan) ja kontralateraaliin (vastakkaisella puolella olevaan) korvaan yhtä suuruisesti. Binauraalinen äänentoistojärjestelmä on esitetty kuvassa 2. Jotta binauraalinen signaali tulisi toistettua oikein, valitaan ristiinkuulumisenpoistosuodatin C siten, että se on akustisen siirtomatriisin A käänteismatriisi: 1 C = A = S (9) Tässä on pään siirtofunktiomatriisin käänteismatriisi ja käänteissuodattimen kuhunkin kaiuttimeen: S yhdistää 1/( S ) 0 A S = (10) 0 1/( S A ) missä 1/ S X -termit kompensoivat kaiuttimen taajuusvasteet ja 1/ S A -termit kompensoivat ilmassa etenemisen vaikutuksen. Käytännössä tämä taajuuskorjausvaihe voidaan jättää pois, jos kuuntelija on yhtä kaukana molemmista kaiuttimista, jotka ovat hyvälaatuisia ja hyvin sovitettuja. Kuitenkin, jos kuuntelija on sivussa kaiuttimien keskiakselilta, täytyy lähempänä olevaa kaiutinta viivästää ja vaimentaa, niin että signaalit saapuvat kuuntelijalle samaan aikaan ja samalla amplitudilla. Tämä signaalin viivästys ja vaimennus tapahtuu 1/ A -termien avulla. X eaaliaikaisessa toteutuksessa täytyy ristiinkuulumisenpoistosuotimeen lisätä mallinnusviivettä, jotta voidaan luoda kausaalinen järjestelmä. Kun yhtälöön 9 lisätään diskreettiaikaista mallinnusviivettä m :n näytteen verran, saadaan seuraavanlainen yhtälö: 4

5 m C ( z) = z S ( z) ( z) (11) Mallinnusviiveen määrä m riippuu toteutuksesta. Pään siirtofunktioiden matriisin käänteismatriisi on: 1 1 = (12) D D = (13) missä D on pään siirtofunktioiden matriisin determinantti. 1/D on yhteinen kaikille termeille ja määrittää käänteissuotimen stabiliteetin. Koska se on yhteinen kaikille termeille, niin se vaikuttaa taajuuskorjaukseen kokonaisuudessaan mutta ei vaikuta ristiinkuulumisen poistoon. Kun determinantti on nolla jollain taajuudella, on pään siirtofunktioiden matriisi singulaarinen ja käänteismatriisia ei ole määritelty. Kuva 3: Yhden lähteen binauraalinen syntetisaattori kaskadissa ristiinkuulumisenpoistosuotimen kanssa. Kun yhtälön 12 osoittaja ja nimittäjä jaetaan termillä seuraavaan muotoon:, saadaan yhtälö 1/ 0 0 = (14) 1/ 1 ITF ITF ITFITF missä ITF = ITF =, (15) 5

6 ovat interauraaliset siirtofunktiot (interaural transfer function, ITF). Yhtälöä 14 tarkastelemalla saadaan käsitys, kuinka ristiinkuulumisenpoisto prosessi toimii. istiinkuuluminen poistuu oikeanpuoleisen matriisin -ITF-termien ansiosta. Nämä termit ennustavat ristiinkuulumista ja lähettävät vastakkaisvaiheisen poistosignaalin vastakkaiseen kanavaan. Yhteinen termi 1/(1 ITF ITF ) kompensoi korkeamman asteen ristiinkuulumista, eli sitä että ristiinkuulumisenpoistosignaali kulkeutuu itsekin molempiin korviin. Vasemmanpuolinen matriisi yhdistää ipsilateraalin käänteissuotimen 1/ vasempaan kaiutinlähtöön ja 1 / vastaavasti oikeaan kaiutinlähtöön. Nämä ovat olennaisesti korkeampien taajuuksien korjausta, joka mahdollistaa kuuntelijan takaa tulevien äänten havainnoinnin edessä olevista kaiuttimista. Yhtälön 14 avulla voidaan kuvan 3 piiri kirjoittaa muotoon: y y x / = / x ITF 1 1 ITF ITF ITF (16) Yhtälöä 16 tarkastelemalla paljastuu, että se koostuu pelkästään TF:ien suhteista, jotka vastaavat joko ITF:iä tai vapaan kentän mukaan ekvalisoituja TF:iä. Tämä on tärkeää siksi, että jokainen kerroin, joka on yhteinen TF:ille kumoutuu. Käytännön TF-mittaukset voidaan siis tehdä mistä kohtaa korvakäytävää tahansa ja voidaan käyttää joko vapaan kentän tai diffuusin kentän mukaan ekvalisoituja TF:iä. Ainoa rajoitus on että TF:t, joita on käytetty binauraaliseen synteesiin, ovat samat kuin TF:t, joita on käytetty ristiinkuulumisen poistossa.. 3 ONGEMAT JA AJOITTEET Kaksi suurinta ongelmaa ristiinkuulumisen poistavien järjestelmien toteutuksessa ovat uopaniemen (uopaniemi, 1999) mukaan toimivan kuuntelualueen koko ja äänen epätoivottu värittyminen ristiinkuulumisenpoistosuotimissa. Perustavaa laatua olevat rajoitukset ja nykyisen teknologian puutteet johtuvat signaalinkäsittelyn vaatimuksista, akustiikan huomioonottamisesta, ihmisen kuulon ominaisuuksista ja kuuntelijan liikkeestä (Kyriakakis, 1998). Tarkka TF:ien mittaaminen tuntuu olevan perustavan laatuinen vaatimus, jotta voitaisiin toistaa uskottavaa 3D-ääntä. TF:ien tärkeys johtuu ihmisen fysiologiasta ja kognitiivisista ominaisuuksista, jotka ovat ihmisen korvan ja aivojen välissä olevassa rajapinnassa. TF:ien erilaisuus eri kuulijoilla, varsinkin korkeilla taajuuksilla, on aiheuttanut sen, etteivät TF:ien mallintamiseen perustuvat 3D-äänentoistojärjestelmät ole levinneet laajalle. Koska TF:ien henkilökohtaisuus on ollut ongelma, on nykyään tutkimuksen painopistealueena hyvä äänen suunnan lokalisointi TF:illä, jotka ovat saatu keskiarvoistamalla, mallintamalla tai perustuvat hyvien lokalisoijien TF:iin. iittävän realismin tuntu 3D-ääneen saadaan, kun kuuntelijan TF:t ja äänentoistojärjestelmässä käytettävä TF-malli poikkeavat toisistaan enintään ± 1dB. Uusi keino saavuttaa parempi vastaavuus henkilökohtaisen TF:n ja mallin TF:n 6

7 välillä on kerätä tietokantaa erilaisista TF:istä ja niitä vastaavista korvanlehdistä (Kyriakakis, 1998). Kuuntelijan korvanlehteä parhaiten vastaava tietokannan korvalehti on se johon liittyvä TF valitaan kuuntelijan TF:ksi. Korvalehden tunnistamiseen ja oikeanlaisen TF:n valintaan käytetään kameran tuottamaa kuvaa ja erityistä algoritmia, joka tunnistaa kuvan korvanlehden. Kuuntelutilan akustiikka aiheuttaa myös vaikeita ongelmia. Jos suoran ja heijastuneen äänen äänipainetason ero on alle 15 db ensimmäisten 15 ms:n aikana syntyy pahoja vääristymiä äänen sävyyn (Kyriakakis, 1998). Ongelma tulee esille varsinkin pienissä huoneissa. atkaisuksi on esitetty lähikenttäkuuntelua (near-field monitoring), eli kaiuttimet sijoitetaan niin lähelle kuuntelijaa, että suora ääni on hallitseva. Jos ajatellaan että kuuntelija istuu tietokoneen ääressä, tulee vahvoja heijastumia näytöstä ja pöydästä. Nämä heijastumat aiheuttavat keskibassojen korostumista. atkaisuna tähän ongelmaan kaiuttimet pyritään sijoittamaan riittävän kauas heijastavista pinnoista. Tämä ratkaisu ratkaisee ongelman vain keskitaajuuksien ja korkeiden taajuuksien osalta. Matalien taajuuksien moodit eivät riipu niinkään paikallista pinnoista, vaan huoneen fyysisestä koosta. Nämä moodit tuottavat seisovia aaltoja, jotka aiheuttavat suuria muutoksia taajuusvasteeseen. Tällaiset amplitudi- ja vaihevääristymät voivat kokonaan tuhota huolellisesti suunnitellun 3D-äänentoiston. Seisovat aallot voivat aiheuttaa ± 15 db:n äänipainetason vaihtelun matalilla taajuuksilla tyypillisessä huoneessa. Jos kuuntelija istuu tietokoneen ääressä, voidaan tietoa kuuntelijan sijainnista käyttää hyväksi signaalin käsittelyssä, joka korjaa matalien taajuuksien vääristymiä. Nämä vääristymät voidaan kuitenkin korjata vain pieneltä alueelta. Kun halutaan tehdä taajuuskorjaus suuremmalle alueelle, jotta kuuntelijan liike ei tuhoaisi hänen kokemaansa 3D-vaikutelmaa, voidaan käyttää kuuntelijan liikkeitä seuraavia laitteita ja adaptiivisia signaalinkäsittelymenetelmiä, jotka sallivat reaaliaikaisen taajuuskorjauksen. 4 STEEODIPOI N:llä kaiuttimella on periaatteessa mahdollista hallita äänikenttää N:ssä pisteessä (Kirkeby, Nelson, 1998). Siten kahdella kaiuttimella on mahdollista tuottaa mitkä tahansa kaksi signaalia kuuntelijan kahteen korvaan. Käytännössä on kuitenkin parempi, jos signaalit pystytään toistamaan oikein myös kuuntelijan korvien läheisyydessä, silloin kuuntelijan pään liikkeet eivät tuhoa äänivaikutelmaa. istiinkuulumisenpoistojärjestelmien tarkoitus on tuottaa haluttu signaali haluttuun korvaan siten, ettei mitään kuulu toiseen korvaan. Suuri osa työstä, jota tehdään ristiinkuulumisen poistamiseksi, keskittyy tilanteeseen, jossa kaiuttimien välinen kulma on 60 astetta kuuntelijasta nähtynä. Jos kaiuttimien välistä kulmaa pienennetään, saavutetaan suurempi kuuntelualue, jossa uskottava 3D-vaikutelma säilyy (Kirkeby, Nelson, 1998). Kirkeby ja Nelson ovat ehdottaneet kaiuttimien väliseksi kulmaksi kymmentä astetta. Tätä asetelmaa he kutsuvat stereodipoliksi. Stereodipolin toiminnasta saadaan käsitys tarkastelemalla kuinka kaiuttimien välinen kulma vaikuttaa kaiuttimien impulssivasteisiin ristiinkuulumisen poistamisen yhteydessä. 7

8 Seuraavassa kappaleessa esitetään ristiinkuulumisen poistaminen, kun halutaan toistaa äänipulssi vain kuuntelijan vasemmassa korvassa. Pulssi on d (t), ja d ( t) << t, t on aika, joka kuluu kun ääni kulkee pään halki toiseen korvaan. Pulssin kesto on huomattavasti lyhyempi kuin ajan t, eli d ( t) << t. Aluksi vasen kaiutin lähettää pulssin, joka kuuluu kuuntelijan vasemmassa korvassa. Ajan t kuluttua pulssi kuuluu myös oikeassa korvassa. Koska pulssin ei pitänyt kuulua oikeassa korvassa, pitää pulssi kumota lähettämällä oikeasta kaiuttimesta negatiivinen pulssi. Tämä negatiivinen pulssi saavuttaa vasemman korvan ajan 2t kuluttua ensimmäisestä vasemman korvan kuulemasta pulssista. Nyt tämä negatiivinen pulssi pitää kumota lähettämällä toinen positiivinen pulssi vasemmasta kaiuttimesta, mikä taas johtaa jälleen yhteen epätoivottuun pulssiin oikeassa korvassa ja niin edelleen. opputuloksena on se, että vasen kaiutin lähettää sarjan positiivisia pulsseja ja oikea kaiutin lähettää sarjan negatiivisia pulsseja. Kumpikin pulssijono lähettää pulsseja "soimistaajuudella" (ringing frequency) f 0. Pulsseja lähetetään kaiuttimista ajan 1.2t välein. Jos yksittäiset pulssit olisivat pitkiä verrattuna t : hen menisivät pulssit päällekkäin. Kuva 4 esittää pulssijonot erilaisilla kaiuttimen välisillä kulmilla. Kuuntelijan etäisyys kaiuttimista on 0.5 m. Pään läpimitta on 180 mm. Signaali on anning-pulssi, joka määritellään seuraavasti: (1 cosω ) / 2, d( t) = 0t 0, 0 t 2π / ω0 muulloin (17) Kuva 4: istiinkuulumisen täydellisen poiston kuuntelijan oikeassa korvassa aikaansaavien kahden kaiutin signaalin aikavasteet eri kaiuttimien välisellä kulmalla. Ohut viiva on vasemman kaiuttimen signaali, paksu oikean. (a) 60. (b) 20. (c) 10. (Kirkeby, Nelson, 1998). 8

9 missä ω 0 :n arvoksi on valittu 2 π kertaa 3.2 kz (tämän pulssin spektrin ensimmäinen nolla on 6.4 kz:ssä). Kolmelle kaiutin kulmalle 60, 20 ja 10 astetta, vastaavat soimistaajuudet ovat 1.9, 5.5 ja 11 kz. Soimistaajuus f 0 lähestyy ääretöntä, kun kaiuttimien välinen kulma lähestyy nollaa. Pystytään osoittamaan, että rajatilanne vastaa monopolia ja dipolia, kun molemmat on sijoitettu koordinaattijärjestelmän origoon. istiinkuulumisenpoistojärjestelmä on tällöin periaatteessa optimaalinen, koska äänikenttä ei sisällä minkäänlaista "soimista". Kuvasta 4 huomataan, että kun f 0 kasvaa, lisääntyy samalla myös pulssien meneminen päällekkäin. Tämä päällekkäisyys tekee pulssijonoista sileämpiä ja voidaan helposti kuvitella että suurella f 0 : lla soimistaajuus häviää kokonaan ja pulssijonot ovat enää vaimenevia eksponentiaaleja. Kuitenkin samalla kun f 0 kasvaa, kasvaa myös molempien pulssijonojen matalataajuinen sisältö. Tästä johtuen, jotta kaiutinparilla saavutettaisiin täydellinen riistiinkuulumisenpoisto, tarvitaan erittäin suuri matalataajuinen toisto. Kuva 5 esittää äänikenttiä, jotka on tuotettu neljällä eri kaiuttimien välisellä kulmalla. Äänikentät, jotka on kuvattu kuvissa 5(a)-(c) ovat ne kentät, jotka on tuotettu kuvan 4 syötteillä. Kun kaiuttimin välistä kulmaa pienennetään, suurenee samalla kuuntelualue. uonoina puolina on, että mitä pienempi kulma on, sitä vaikeampaa on saavuttaa hyvää ristiinkuulumisen poistoa matalilla taajuuksilla ja että vaaditaan enemmän tehoa matalilla taajuuksilla (Kirkeby, Nelson, amada, 1998). 5 YTEENVETO Binauraalinen äänentoisto kaiuttimilla on edelleen kehittyvä tekniikan ala. Tilanteet, joissa binauraalinen äänentoisto on ollut menestys, ovat olleet 3D-äänentoisto tietokoneiden yhteydessä ja virtuaalisen kotiteatterijärjestelmän luominen. Syy siihen, miksi juuri tietokoneiden 3D-äänentoistossa on ollut suosittua käyttää binauraalista äänentoistoa kaiuttimilla, on umseyn (umsey, 2001) mukaan ollut se, että kuuntelijan pään sijainti on niin hyvin ennustettavissa. Tämä ennustettavuus on helpottanut ristiinkuulumisenpoistosuotimien suunnittelua. Tietokoneiden kanssa ei myöskään yleensä ole niin suuria laatuvaatimuksia äänelle, vaan yleensä riittää karkeat äänen suunnan lokalisoivat äänivihjeet. Äänen värittyminenkään ei ole esimerkiksi tietokonepeleissä välttämättä erityisen häiritsevää. Kuuntelualueen laajentamiseksi on tehty paljon työtä. Stereodipoli on mielenkiintoinen tekniikka kuuntelualueen laajentamiseksi ja sen mahdollisuuksia eri toteutuksissa on vielä vaikea arvioida. Kuuntelijan pään seuranta on myös yksi lisä binauraalisiin järjestelmiin, kun halutaan laajentaa kuuntelualuetta. 9

10 Kuva 5: Äänikentät, jotka on tuotettu erilaisilla kaiuttimien välisillä kulmilla siten että kuuntelijan oikeassa korvasta on ristiinkuuluminen täydellisesti poistettu. (a) 60. (b) 20. (c) 10. (d) 0, eli niin sanottu monopoli-dipoli yhdistelmä. (Kirkeby, Nelson, 1998). ÄTEET Gardner, W. G D Audio Using oudspeakers. Väitöskirja. MIT Media ab. 153 s. uopaniemi, J Virtual Acoustics and 3-D Sound in Multimedia Signal Processing. Väitöskirja. Teknillinen Korkeakoulu. 189 s. Kirkeby, O., Nelson, P. A The Stereo Dipole -A Virtual Source Imaging System Using Two Closely Spaced oudspeakers. J. Audio Eng. Soc.. Vol. 46. No. 5. S

11 Kirkeby, O., Nelson, P. A., amada, ocal sound field reproduction using two closely spaced loudspeakers. J. Acoust. Soc. Am. Vol No. 4. S Kyriakis, C Fundamental and Technological imitations of Immersive Audio Systems. Proceedings of the IEEE. Vol. 86. No. 5. S umsey, F Spatial Audio. Focal Press. 240 s. 11

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava:

1 Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Olkoon suodattimen vaatimusmäärittely seuraava: Päästökaistan maksimipoikkeama δ p =.5. Estokaistan maksimipoikkeama δ s =.. Päästökaistan rajataajuus pb = 5 Hz. Estokaistan rajataajuudet sb = 95 Hz Näytetaajuus

Lisätiedot

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus Luento 8 Lineaarinen suodatus Ideaaliset alipäästö, ylipäästö ja kaistanpäästösuodattimet Käytännölliset suodattimet 8..006 Suodattimien käyttötarkoitus Signaalikaistan ulkopuolisen kohinan ja häiriöiden

Lisätiedot

KÄYTTÖOHJE. Forvoice 7.7

KÄYTTÖOHJE. Forvoice 7.7 KÄYTTÖOHJE Forvoice 7.7 Onnittelemme sinua Forvoice 7.7 -kaiuttimien hankkimisen johdosta. 7.7 on pitkällisen kehittelytyön tulos. Sen suunnittelussa on hyödynnetty Forvoicen ja SEASin kehittämää koaksiaalielementtiä

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

3D-äänitystekniikat ja 5.1-äänentoisto

3D-äänitystekniikat ja 5.1-äänentoisto 3D-äänitystekniikat ja 5.1-äänentoisto Oskari Mertalo omertalo@cc.hut.fi Tiivistelmä Tässä paperissa käydään läpi ensin erilaisia mikrofonityyppejä, jonka jälkeen tarkasetellaan erilaisia mikrofiniasetelmia

Lisätiedot

Demo 1: Simplex-menetelmä

Demo 1: Simplex-menetelmä MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x

Lisätiedot

KOLMIULOTTEISEN TILAN AKUSTIIKAN MALLINTAMINEN KAKSIULOTTEISIA AALTOJOHTOVERKKOJA KÄYTTÄEN

KOLMIULOTTEISEN TILAN AKUSTIIKAN MALLINTAMINEN KAKSIULOTTEISIA AALTOJOHTOVERKKOJA KÄYTTÄEN KOLMIULOTTEISEN TILAN AKUSTIIKAN MALLINTAMINEN KAKSIULOTTEISIA AALTOJOHTOVERKKOJA KÄYTTÄEN Antti Kelloniemi 1, Vesa Välimäki 2 1 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio, PL 5, 15 TKK, antti.kelloniemi@tkk.fi

Lisätiedot

Mono- ja stereoääni Stereoääni

Mono- ja stereoääni Stereoääni 1 Mitä ääni on? Olet ehkä kuulut puhuttavan ääniaalloista, jotka etenevät ilmassa näkymättöminä. Ääniaallot käyttäytyvät meren aaltojen tapaan. On suurempia aaltoja, jotka ovat voimakkaampia kuin pienet

Lisätiedot

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET

FYSP105 / K3 RC-SUODATTIMET FYSP105 / K3 R-SODATTIMET Työn tavoitteita tutustua R-suodattimien toimintaan oppia mitoittamaan tutkittava kytkentä laiterajoitusten mukaisesti kerrata oskilloskoopin käyttöä vaihtosähkömittauksissa Työssä

Lisätiedot

Mikrofonien toimintaperiaatteet. Tampereen musiikkiakatemia Studioäänittäminen Klas Granqvist

Mikrofonien toimintaperiaatteet. Tampereen musiikkiakatemia Studioäänittäminen Klas Granqvist Mikrofonien toimintaperiaatteet Tampereen musiikkiakatemia Studioäänittäminen Klas Granqvist Mikrofonien luokittelu Sähköinen toimintaperiaate Akustinen toimintaperiaate Suuntakuvio Herkkyys Taajuusvaste

Lisätiedot

HRTFN MITTAAMINEN SULJETULLA VAI AVOIMELLA KORVA- KÄYTÄVÄLLÄ? 1 JOHDANTO 2 METODIT

HRTFN MITTAAMINEN SULJETULLA VAI AVOIMELLA KORVA- KÄYTÄVÄLLÄ? 1 JOHDANTO 2 METODIT SULJETULLA VAI AVOIMELLA KORVA- KÄYTÄVÄLLÄ? Marko Hiipakka, Ville Pulkki Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakoulu Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos PL 1, 7 AALTO Marko.Hiipakka@aalto.fi, Ville.Pulkki@aalto.fi

Lisätiedot

Äänen eteneminen ja heijastuminen

Äänen eteneminen ja heijastuminen Äänen ominaisuuksia Ääni on ilmamolekyylien tihentymiä ja harventumia. Aaltoliikettä ja värähtelyä. Värähtelevä kappale synnyttää ääntä. Pistemäinen äänilähde säteilee pallomaisesti ilman esteitä. Käytännössä

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ 1 JOHDANTO 2 VIRTUAALISEN AALTOKENTTÄSYNTEESIN TEORIA

HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ 1 JOHDANTO 2 VIRTUAALISEN AALTOKENTTÄSYNTEESIN TEORIA HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ Samuel Siltanen ja Tapio Lokki Teknillinen korkeakoulu, Mediatekniikan laitos PL 50, 02015 TKK Samuel.Siltanen@tml.hut.fi 1 JOHDANTO Huoneakustiikan

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

2.1 Ääni aaltoliikkeenä

2.1 Ääni aaltoliikkeenä 2. Ääni Äänen tutkimusta kutsutaan akustiikaksi. Akustiikassa tutkitaan äänen tuottamista, äänen ominaisuuksia, soittimia, musiikkia, puhetta, äänen etenemistä ja kuulemisen fysiologiaa. Ääni kuljettaa

Lisätiedot

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa

V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa o n jänniteläh d e V sarjassa Antennit osana viestintäjärjestelm ää Antennien pääk äy ttö tark o itu s o n to im inta v iestintäjärjestelm issä. V astaano ttav aa antennia m allinnetaan k u v an 2-1 8 m u k aisella piirillä, jo ssa

Lisätiedot

Käänteismatriisi 1 / 14

Käänteismatriisi 1 / 14 1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella

Lisätiedot

aktiivikaiuttimet Profel Nuovo Gamba aktiivinen High End subwoofer vallankumouksellisella bassoäänen automaattisella huonetilasäädöllä

aktiivikaiuttimet Profel Nuovo Gamba aktiivinen High End subwoofer vallankumouksellisella bassoäänen automaattisella huonetilasäädöllä Profel aktiivikaiuttimet Profel Nuovo Gamba aktiivinen High End subwoofer vallankumouksellisella bassoäänen automaattisella huonetilasäädöllä PROFEL aktiivikaiuttimet www.profel.fi Aktiivinen High End

Lisätiedot

ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT. Erkki Björk. Kuopion yliopisto PL 1627, 70211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO

ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT. Erkki Björk. Kuopion yliopisto PL 1627, 70211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT Erkki Björk Kuopion yliopisto PL 1627, 7211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO Melun vaimeneminen ulkoympäristössä riippuu sää- ja ympäristöolosuhteista. Tärkein ääntä

Lisätiedot

AUTOJEN SISÄTILOJEN AKUSTIIKAN JA ÄÄNENTOISTON ANALYY- SI TILAIMPULSSIVASTEILLA

AUTOJEN SISÄTILOJEN AKUSTIIKAN JA ÄÄNENTOISTON ANALYY- SI TILAIMPULSSIVASTEILLA AUTOJEN SISÄTILOJEN AKUSTIIKAN JA ÄÄNENTOISTON ANALYY- SI TILAIMPULSSIVASTEILLA Sakari Tervo, Jukka Pätynen ja Tapio Lokki Aalto-yliopisto Tietotekniikan laitos PL 154, FI-76 Aalto sakari.tervo@aalto.fi

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Puheen akustiikan perusteita Mitä puhe on? 2.luento. Äänet, resonanssi ja spektrit. Äänen tuotto ja eteneminen. Puhe äänenä

Puheen akustiikan perusteita Mitä puhe on? 2.luento. Äänet, resonanssi ja spektrit. Äänen tuotto ja eteneminen. Puhe äänenä Puheen akustiikan perusteita Mitä puhe on? 2.luento Martti Vainio Äänet, resonanssi ja spektrit Fonetiikan laitos, Helsingin yliopisto Puheen akustiikan perusteita p.1/37 S-114.770 Kieli kommunikaatiossa...

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

Radioamatöörikurssi 2014

Radioamatöörikurssi 2014 Radioamatöörikurssi 2014 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 4.11.2014 Tatu, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus, db Jännitevahvistus

Lisätiedot

REUNAEHTOJEN TOTEUTUSTAPOJA AALTOJOHTOVERKOSSA

REUNAEHTOJEN TOTEUTUSTAPOJA AALTOJOHTOVERKOSSA Antti Kelloniemi, Lauri Savioja Teknillinen Korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio PL 54, 215 TKK antti.kelloniemi@hut.fi, lauri.savioja@hut.fi 1 JOHDANTO Aaltojohtoverkko (digital

Lisätiedot

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta.

3 Ääni ja kuulo. Ihmiskorva aistii paineen vaihteluita, joten yleensä äänestä puhuttaessa määritellään ääniaalto paineen vaihteluiden kautta. 3 Ääni ja kuulo 1 Mekaanisista aalloista ääni on ihmisen kannalta tärkein. Ääni on pitkittäistä aaltoliikettä, eli ilman (tai muun väliaineen) hiukkaset värähtelevät suuntaan joka on sama kuin aallon etenemissuunta.

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu, Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan laboratorio PL 3000, 02015 TKK, Espoo Henri.Penttinen@hut.fi

Teknillinen korkeakoulu, Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan laboratorio PL 3000, 02015 TKK, Espoo Henri.Penttinen@hut.fi KITARAEFEKTEJÄ KAIKUKOPPAMALLEILLA Henri Penttinen 1, Vesa Välimäki 1,2 ja Matti Karjalainen 1 1 Teknillinen korkeakoulu, Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan laboratorio PL 3000, 02015 TKK, Espoo Henri.Penttinen@hut.fi

Lisätiedot

Surround. Äänitys ja miksaus LFE-kanava 5.1. Mitä tarvitaan? 5 pääkaiutinta aktiivikaiuttimet passiivikaiuttimet + surround-vahvistin

Surround. Äänitys ja miksaus LFE-kanava 5.1. Mitä tarvitaan? 5 pääkaiutinta aktiivikaiuttimet passiivikaiuttimet + surround-vahvistin 5.1 Viisi pääkanavaa Surround Left (L), Center (C), Right (R), Left Surround (LS), Right Surround (RS) täysi taajuuskaista (20 Hz - 20 khz) Äänitys ja miksaus LFE-kanava Low Frequency Effects taajuuskaista

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Vahvistimet. A-luokka. AB-luokka

Vahvistimet. A-luokka. AB-luokka Vahvistimet A-luokka A-luokan vahvistimen molemmat päätevahvistin tarnsistorit johtavat, vaikke vahvistinta käytettäisi. Vahvistinta käytettäessä jatkuva lepovirta muuttuu ja näin vältytään kytkentäsäröltä

Lisätiedot

Ch4 NMR Spectrometer

Ch4 NMR Spectrometer Ch4 NMR Spectrometer Tässä luvussa esitellään yleistajuisesti NMR spektrometrin tärkeimmät osat NMR-signaalin mittaaminen edellyttää spektrometriltä suurta herkkyyttä (kykyä mitata hyvin heikko SM-signaali

Lisätiedot

Johdanto tieto- viestintäteknologian käyttöön: Äänitystekniikka. Vfo135 ja Vfp124 Martti Vainio

Johdanto tieto- viestintäteknologian käyttöön: Äänitystekniikka. Vfo135 ja Vfp124 Martti Vainio Johdanto tieto- viestintäteknologian käyttöön: Äänitystekniikka Vfo135 ja Vfp124 Martti Vainio Akustiikka Äänityksen tarkoitus on taltioida paras mahdo!inen signaali! Tärkeimpinä kolme akustista muuttujaa:

Lisätiedot

Elektroniikka, kierros 3

Elektroniikka, kierros 3 Elektroniikka, kierros 3 1. a) Johda kuvan 1 esittämän takaisinkytketyn systeemin suljetun silmukan vahvistuksen f lauseke. b) Osoita, että kun silmukkavahvistus β 1, niin suljetun silmukan vahvistus f

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Radioamatöörikurssi 2015

Radioamatöörikurssi 2015 Radioamatöörikurssi 2015 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 5.11.2015 Tatu Peltola, OH2EAT 1 / 25 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus,

Lisätiedot

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Enso Ikonen, Oulun yliopisto, systeemitekniikan laboratorio 2/23 Säätöjärjestelmien suunnittelu 23 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki Tehtävänä on suunnitella säätö prosessille ( ) = = ( +)( 2 + )

Lisätiedot

M2A.1000. Suomenkielinen käyttöohje. www.macrom.it

M2A.1000. Suomenkielinen käyttöohje. www.macrom.it M2A.000 Suomenkielinen käyttöohje www.macrom.it Vahvistimen säätimet ja liitännät 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 2 Ω 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 7 6 8 RCA-tuloliitäntä matalatasoiselle signaalille Kaiutintasoinen

Lisätiedot

KOHINA LÄMPÖKOHINA VIRTAKOHINA. N = Noise ( Kohina )

KOHINA LÄMPÖKOHINA VIRTAKOHINA. N = Noise ( Kohina ) KOHINA H. Honkanen N = Noise ( Kohina ) LÄMÖKOHINA Johtimessa tai vastuksessa olevien vapaiden elektronien määrä ei ole vakio, vaan se vaihtelee satunnaisesti. Nämä vaihtelut aikaansaavat jännitteen johtimeen

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

PSYKOAKUSTINEN ADAPTIIVINEN EKVALISAATTORI KUULOKEKUUNTELUUN MELUSSA

PSYKOAKUSTINEN ADAPTIIVINEN EKVALISAATTORI KUULOKEKUUNTELUUN MELUSSA PSYKOAKUSTINEN ADAPTIIVINEN EKVALISAATTORI KUULOKEKUUNTELUUN MELUSSA Jussi Rämö 1, Vesa Välimäki 1 ja Miikka Tikander 2 1 Aalto-yliopisto, Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos PL 13000, 00076 AALTO

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS

RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS 466111S Rakennusfysiikka, 5 op. RAKENNUSAKUSTIIKKA - ILMAÄÄNENERISTÄVYYS Opettaja: Raimo Hannila Luentomateriaali: Professori Mikko Malaska Oulun yliopisto LÄHDEKIRJALLISUUTTA Suomen rakentamismääräyskokoelma,

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy

Lisätiedot

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama ESY Q16.2/2006/4 28.11.2006 Espoo Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 28.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti

Lisätiedot

M2A.2000. Suomenkielinen käyttöohje. www.macrom.it

M2A.2000. Suomenkielinen käyttöohje. www.macrom.it M2A.2000 Suomenkielinen käyttöohje www.macrom.it Vahvistimen säätimet ja liitännät 2 3 5 6 7 8 9 0 2 3 5 6 7 8 9 2 3 5 6 7 8 9 0 2 3 5 6 7 8 9 RCA-tuloliitäntä matalatasoiselle signaalille High Level -kaiutintasoinen

Lisätiedot

Digitaalinen audio

Digitaalinen audio 8003203 Digitaalinen audio Luennot, kevät 2005 Tuomas Virtanen Tampereen teknillinen yliopisto Kurssin tavoite Johdanto 2 Tarjota tiedot audiosignaalinkäsittelyn perusteista perusoperaatiot, sekä niissä

Lisätiedot

Yleistä. Digitaalisen äänenkäsittelyn perusteet. Tentit. Kurssin hyväksytty suoritus = Harjoitustyö 2(2) Harjoitustyö 1(2)

Yleistä. Digitaalisen äänenkäsittelyn perusteet. Tentit. Kurssin hyväksytty suoritus = Harjoitustyö 2(2) Harjoitustyö 1(2) Yleistä Digitaalisen äänenkäsittelyn perusteet Jouni Smed jouni.smed@utu.fi syksy 2006 laajuus: 5 op. (3 ov.) esitiedot: Java-ohjelmoinnin perusteet luennot: keskiviikkoisin 10 12 12 salissa β perjantaisin

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI 1 JOHDANTO. Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2

ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI 1 JOHDANTO. Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2 ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2 1 Jyväskylän yliopisto PL 35 (Agora), 40014 Jyväskylän yliopisto tuomas.a.airaksinen@jyu.fi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Kuulohavainnon perusteet

Kuulohavainnon perusteet Kuulohavainnon ärsyke on ääni - mitä ääni on? Kuulohavainnon perusteet - Ääni on ilmanpaineen nopeaa vaihtelua: Tai veden tms. Markku Kilpeläinen Käyttäytymistieteiden laitos, Helsingin yliopisto Värähtelevä

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

Pianon äänten parametrinen synteesi

Pianon äänten parametrinen synteesi Pianon äänten parametrinen synteesi Jukka Rauhala Pianon akustiikkaa Kuinka ääni syntyy Sisält ltö Pianon ääneen liittyviä ilmiöitä Pianon äänen synteesi Ääniesimerkkejä Akustiikan ja äänenkäsittelytekniikan

Lisätiedot

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds

Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) E a 2 ds Suuntaavuus ja vahvistus Aukkoantennien tapauksessa suuntaavuus saadaan m uotoon (luku 7.3.1 ) Täm ä olettaa, että D = 4π λ 2 S a E a ds 2. (2 40 ) S a E a 2 ds Pääkeila aukon tasoa koh tisuoraan suuntaan

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Luento 15: Ääniaallot, osa 2

Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Luento 15: Ääniaallot, osa 2 Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Aaltojen interferenssi Doppler Laskettuja esimerkkejä Aaltojen interferenssi Samassa pisteessä vaikuttaa

Lisätiedot

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo.

Kuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo. KUORMAAJAN OHJAAMON ÄÄNIKENTÄN MALLINNUS KYTKETYLLÄ ME- NETELMÄLLÄ Ari Saarinen, Seppo Uosukainen VTT, Äänenhallintajärjestelmät PL 1000, 0044 VTT Ari.Saarinen@vtt.fi, Seppo.Uosukainen@vtt.fi 1 JOHDANTO

Lisätiedot

Kokemuksia 3D-tulostetuista ääntöväylämalleista

Kokemuksia 3D-tulostetuista ääntöväylämalleista Kokemuksia 3D-tulostetuista ääntöväylämalleista Puheentutkimuksen kansallinen professoriseminaari, Fiskars Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Signaalinkäsittelyn ja akustiikan laitos

Lisätiedot

Luento 6: 3-D koordinaatit

Luento 6: 3-D koordinaatit Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004

Lisätiedot

OPERAATIOVAHVISTIN. Oulun seudun ammattikorkeakoulu Tekniikan yksikkö. Elektroniikan laboratoriotyö. Työryhmä Selostuksen kirjoitti 11.11.

OPERAATIOVAHVISTIN. Oulun seudun ammattikorkeakoulu Tekniikan yksikkö. Elektroniikan laboratoriotyö. Työryhmä Selostuksen kirjoitti 11.11. Oulun seudun ammattikorkeakoulu Tekniikan yksikkö Elektroniikan laboratoriotyö OPERAATIOVAHVISTIN Työryhmä Selostuksen kirjoitti 11.11.008 Kivelä Ari Tauriainen Tommi Tauriainen Tommi 1 TEHTÄVÄ Tutustuimme

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

aurelia aniara Käyttöohje

aurelia aniara Käyttöohje aurelia aniara Käyttöohje Jalustan ja seinäkiinnikkeen asentaminen Onnittelemme erinomaisen kaiutinvalintasi johdosta! Toivotamme Sinulle iloisia kuunteluhetkiä Aurelia Aniara- kaiuttimiesi parissa vuosiksi

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait

1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka, Otatieto 2003. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Sähkötekniikka ja elektroniikka, sivut 5-62. Versio 3..2004. Kurssin Sähkötekniikka laskuharjoitus-,

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Historiaa musiikillisten äänten fysikaalisesta mallintamisesta

Historiaa musiikillisten äänten fysikaalisesta mallintamisesta Äänilähteiden fysikaalinen mallintaminen uusin äänisynteesimetodi simuloi soittimen äänentuottomekanismia käyttö musiikillisissa äänissä: -jäljitellään olemassaolevia akustisia instrumentteja -mahdollistaa

Lisätiedot

Y Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. = K K K M. s 2 3s 2 KK P

Y Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. = K K K M. s 2 3s 2 KK P Säädön kotitehtävä vk3 t. 1 a) { Y =G K P E H E=R K N N G M Y Yhtälöparista ratkaistiin vuorotellen siirtofunktiot laittamalla muut tulot nollaan. G R s = Y R = GK P s 1 = KK 1 GK P K N G P M s 2 3s 2

Lisätiedot

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet.

1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. 1 1 Määrittele seuraavat langattoman tiedonsiirron käsitteet. Radiosignaalin häipyminen. Adaptiivinen antenni. Piilossa oleva pääte. Radiosignaali voi edetä lähettäjältä vastanottajalle (jotka molemmat

Lisätiedot

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006 Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien

Lisätiedot

Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002.

Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed.) DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002. Dynamiikan hallinta Lähde: Zölzer. Digital audio signal processing. Wiley & Sons, 2008. Zölzer (ed. DAFX Digital Audio Effects. Wiley & Sons, 2002. Sisältö:! Johdanto!! Ajallinen käyttäytyminen! oteutus!

Lisätiedot

Ääni, akustiikka Lähdemateriaali: Rossing. (1990). The science of sound. Luvut 2-4, 23.

Ääni, akustiikka Lähdemateriaali: Rossing. (1990). The science of sound. Luvut 2-4, 23. Ääni, akustiikka Lähdemateriaali: Rossing. (1990). The science of sound. Luvut 2-4, 23. Sisältö: 1. Johdanto 2. Värähtelevät järjestelmät 3. Aallot 4. Resonanssi 5. Huoneakustiikka 1 Johdanto Sanaa akustiikka

Lisätiedot

Linkkitekstit. Kaikkein vanhin WWW-suunnitteluohje:

Linkkitekstit. Kaikkein vanhin WWW-suunnitteluohje: Linkit Linkit ovat hypertekstin tärkein osa. Niiden avulla sivut liitetään toisiinsa ja käyttäjille tarjoutuu mahdollisuus liikkua muille kiinnostaville sivuille. Linkit Linkkejä on kolmea eri tyyppiä:

Lisätiedot

Ennakkotehtävän ratkaisu

Ennakkotehtävän ratkaisu Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Digitaalinen audio & video, osa I. Johdanto. Digitaalisen audion sovellusalueet. Johdanto. Taajuusalue. Psykoakustiikka. Johdanto Digitaalinen audio

Digitaalinen audio & video, osa I. Johdanto. Digitaalisen audion sovellusalueet. Johdanto. Taajuusalue. Psykoakustiikka. Johdanto Digitaalinen audio Digitaalinen audio & video, osa I Johdanto Digitaalinen audio + Psykoakustiikka + Äänen digitaalinen esitys Digitaalinen kuva +JPEG Petri Vuorimaa 1 Johdanto Multimediassa hyödynnetään todellista ääntä,

Lisätiedot

Helsinki University of Technology

Helsinki University of Technology Helsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology S-38.11 Signaalinkäsittely tietoliikenteessä I Signal Processing in Communications ( ov) Syksy 1997. Luento: Pulssinmuokkaussuodatus

Lisätiedot

Digitaalinen audio & video I

Digitaalinen audio & video I Digitaalinen audio & video I Johdanto Digitaalinen audio + Psykoakustiikka + Äänen digitaalinen esitys Digitaalinen kuva + JPEG 1 Johdanto Multimediassa hyödynnetään todellista ääntä, kuvaa ja videota

Lisätiedot

Monikanavaäänen perusteet. Tero Koski

Monikanavaäänen perusteet. Tero Koski Monikanavaäänen perusteet Tero Koski Lähtökohdat Monikanavaääni tarkoi6aa äänital8ota, jossa on toiste6avia kanavia enemmän kuin kaksi 2.1 ; 3.0 ; 3.1 ; 4.0 ; 4.1 ; 7.2 ; 10.2 ; 22.2 ; Monikanavaääntä

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Radioamatöörikurssi 2013

Radioamatöörikurssi 2013 Radioamatöörikurssi 2013 Polyteknikkojen Radiokerho Radiotekniikka 21.11.2013 Tatu, OH2EAT 1 / 19 Vahvistimet Vahvistin ottaa signaalin sisään ja antaa sen ulos suurempitehoisena Tehovahvistus, db Jännitevahvistus

Lisätiedot

LOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi

LOPPURAPORTTI 19.11.2007. Lämpötilahälytin. 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi LOPPURAPORTTI 19.11.2007 Lämpötilahälytin 0278116 Hans Baumgartner xxxxxxx nimi nimi KÄYTETYT MERKINNÄT JA LYHENTEET... 3 JOHDANTO... 4 1. ESISELOSTUS... 5 1.1 Diodi anturina... 5 1.2 Lämpötilan ilmaisu...

Lisätiedot

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus

YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus YHTÄLÖ kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus Ensimmäisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 1 + 5 = 4( 3) Toisen asteen yhtälö: :n korkein eksponentti = 3 5 + 4 = 0 Kolmannen asteen yhtälö: :n korkein

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

aurelia cerica Käyttöohje

aurelia cerica Käyttöohje aurelia cerica Käyttöohje Onnittelemme erinomaisen kaiutinvalintasi johdosta! Toivotamme Sinulle iloisia kuunteluhetkiä Aurelia Cerica- kaiuttimiesi parissa vuosiksi eteenpäin! Suosittelemme että luet

Lisätiedot