Binomi Jacob Bernoulli ( ), Bayes ( ) Normaali de Moivre ( ), Laplace ( ), Gauss ( )
|
|
- Ida Hanna-Mari Mattila
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli ( ), Bayes ( ) Normaali de Moivre ( ), Laplace ( ), Gauss ( ) Poisson Poisson ( ) Exponential, Double exponential Laplace ( ) Slide 2
2 Binomimalli Data y 1,..., y n, joista jokainen on 0 tai 1 Luonnollinen malli kun tehdään keskenään vaihtokelpoisia (exchangeable) toistokokeita tai poimintoja suuresta populaatiosta, joissa jokaisen kokeen tulos voi olla yksi kahdesta vaihtoehdosta (usein success ja failure ) Esimerkkejä Slide 3 - Bernoullin koe, missä laatikosta poimitaan kahdenvärisiä palloja - pussista poimitaan kahdenvärisiä nappuloita - tyttö- ja poikavauvojen suhde Binomimalli ja vaihtokelpoisuus Oletetaan tapahtumien vaihtokelpoisuus - tapahtumien järjestyksellä ei ole merkitystä - jos järjestyksellä ei ole väliä, riittää tietää montako kertaa kumpikin tapahtuma tapahtui esim. montako tyttöä ja montako poikaa Slide 4 Vaihtokelpoisuus-termistä tarkemmin luennolla 6
3 Binomimalli Aloitetaan reilusta kolikosta, klaavan tn. 0.5 Reilu kolikko, n klaavan tn. 0.5,...,0.5 = 0.5 n Painotettu kolikko, n heittoa, y klaavaa, jossakin järjestyksessä θ (1 θ)... = θ y (1 θ) n y Slide 5 Mikä tahansa järjestys, eli summataan yhteen eri permutaatioiden tn:t p(y θ, n, M) = ( n) y θ y (1 θ) n y - data voidaan esittää kertomalla toisen vaihtoehdon määrä y ja kokonaismäärä n Binomi-malli Olettamalla binomi-malli ja onnistumistodennäköisyyttä kuvaava parametri θ, voidaan toimia aivan kuin kokeiden tulokset olisivat riippumattomia (independent) ja identtisesti jakautuneita ehdolla malli M ja parametri θ Slide 6 p(y θ, n, M) = Bin(y n, θ) = ( ) n θ y (1 θ) n y y missä n oletetaan tunnetuksi ja osaksi koesuunnittelua (eli ei parametri)
4 Binomi-malli: θ :n posteriori Bayesin kaavan mukaan p(θ y, n, M) = p(y θ, n, M)p(θ n, M) p(y n, M) Yksinkertaistuksen vuoksi aloitetaan helpolla priorilla Slide 7 Jolloin p(θ y, n, M) = p(θ n, M) = p(θ M) = 1, kun 0 θ 1 ( n ) y θ y (1 θ) n y 1 ( n ) 0 y θ y (1 θ) n y dθ = 1 Z θ y (1 θ) n y Lasketaan normalisointitermi Z Z = 1 0 θ y (1 θ) n y dθ Jakaumista ja normalisoinnista Sen sijaan, että merkittäisiin p(θ y, n, M) = 1 Z θ y (1 θ) n y usein merkitään p(θ y, n, M) θ y (1 θ) n y Slide 8 Normalisoimattomia jakaumia käytetään usein - normalisointi voidaan laskea lopuksi - tai käytetään menetelmiä jotka toimivat normalisoimattomalle jakaumalle kuten monet Monte Carlo-menetelmät Jakaumien nimitykset - jos π(θ)dθ =, π(θ) on ei-aito (improper) - jos q(θ)dθ = Z = 1, q(θ) on normalisoimaton - jos p(θ)dθ = 1, p(θ) on aito (proper) ja normalisoitu
5 Binomi-malli: θ :n posteriori Lasketaan normalisointitermi Z Z = p(y n, M) = 1 0 θ y (1 θ) n y dθ = Ŵ(y + 1)Ŵ(n y + 1) Ŵ(n + 2) Slide 9 Normalisointitermi on muotoa Beta function - kun integroidaan koko θ:n avaruuden yli (0, 1) on lopputulos lähes mukavaa muotoa, eli esitettävissä Gamma-funktioilla - jos lisäksi y ja n kokonaisulukuja, vielä siistimpi muoto, koska Gamma on kokonaisluvuille kertoma Ŵ(n) = (n 1)! - isoille luvuille tämäkin tuottaa ongelmia, joten yleensä lasketaan log(ŵ( )) ilman, että lasketaan suoraan Ŵ( ) Binomi-malli: θ :n posteriori Saadaan posteriorijakaumaksi p(θ y, n, M) = joka on nimetty Beta-jakaumaksi Ŵ(n + 2) Ŵ(y + 1)Ŵ(n y + 1) θ y (1 θ) n y, Slide 10 θ y, n Beta(y + 1, n y + 1)
6 Matlab demonstraatio: Beta-jakauma Slide 11 disttool - n = 2, y = 1 Beta(2, 2) - n = 5, y = 3 Beta(4, 3) - n = 20, y = 12 Beta(13, 9) - n = 100, y = 60 Beta(61, 41) - n = 1000, y = 600 Beta(601, 401) Esimerkki: tyttövauvojen suhteellinen osuus Pariisissa syntyi tyttöä ja poikaa vuosina Posteriori Beta(241946, ) = ! !251528! θ (1 θ) Slide 12 Laplace halusi laskea p(θ > 0.5, y, n, M) = p(θ y, n, M)dθ Integraali x 0 θ y (1 θ) n y dθ on muotoa incomplete Beta function - Bayesille tuotti ongelmia, ja vain rajoitettu ratkaisu - nykyisin löytyy useita sarja- ja ketjumurtolukuesityksiä - Laplace käytti normaalijakauma-approksimaatiota (luento 5)
7 Esimerkki: tyttövauvojen suhteellinen osuus Pariisissa syntyi tyttöä ja poikaa vuosina Posteriori Beta(241946, ) = ! !251528! θ (1 θ) Slide 13 Laplace halusi laskea p(θ > 0.5, y, n, M) = p(θ y, n, M)dθ Laplace kehitti normaalijakauma-approksimaation (luento 5) ˆθ = σ = ( ) p(θ 0.5 y, n, M) = Laplace kirjoitti olevansa morally certain, että θ < 0.5 Ennustaminen Laplace laski (Laplace s law of succession) Slide 14 p(ỹ = 1 y, n, M) = = = y + 1 n + 2 p(ỹ = 1 θ, y, n, M)p(θ y, n, M)dθ θp(θ y, n, M)dθ Ääritapaukset p(ỹ = 1 y = 0, n, M) = 1 n + 2 p(ỹ = 1 y = n, n, M) = n + 1 n + 2 Vrt. maximum likelihood
8 Posteriorijakaumien esittäminen Posteriorijakauma sisältää kaiken sen hetkisen informaation parametrista θ Ideaalitapauksessa voisi raportoida koko posteriorijakauman Usein käytettyjä yhteenvetoesityksiä paikalle (location) joskus näitä nimitetään myös piste-estimaateiksi (point estimate) - keskiarvo (mean) Slide 15 - mediaani - moodi(t) Usein käytettyjä yhteenvetoesityksiä variaatiolle (variation) - hajonta (standard deviation) - kvantiilit - intervallit Posteriorijakaumien esittäminen: piste-estimaatit Keskiarvo on parametrin posterioriodotusarvo - optimaalinen valinta neliösummavirheen perusteella Mediaanin molemilla puolilla yhtä paljon todennäköisyysmassaa - optimaalinen valinta absoluuttivirheen perusteella Moodi on yksittäinen todennäköisin arvo Slide 16 - optimaalinen valinta 0-1-virheen perusteella Päätösanalyysin mukainen piste-estimaatti - valitaan sovelluskohtainen kustannusfunktio - sovellus voi olla myös tieteellinen kommunikaatio
9 Posteriorijakaumien esittäminen: laskenta Kun posteriorijakaumalla on suljettu muoto voidaan keskiarvo, mediaani ja hajonta usein saada myös suljetussa muodossa esim. Beta(y + 1, n y + 1):n keskiarvo on y+1 n+2 Jos suljettua muotoa ei ole, voidaan käyttää normaalijakauma-approksimaatiota tai numeerista integrointia Slide 17 - esim. Monte Carlossa approksimoidaan odotusarvo posteriorijakaumsta vedettyjen näytteiden (θ (t) ) avulla E(g(θ)) 1 N T g(θ (t) ) t=1 eli lasketaan Monte Carlo näytteiden keskiarvo Hajonta Hajonta kuvaa normaalijakauman leveyden, joten kuvaa hyvin myös lähellä normaalijakaumaa olevia jakaumia - perusjakaumille helppo laskea (ks. esim. kirjan liite A) - lisää hajonnasta normaalijakauman yhteydessä luennoilla 3 5 Slide 18
10 Posterioriväli / Luottoväli Posterioriväliä kutsutaan myös - luottoväliksi (credible interval) - tai bayesilaiseksi luottamusväliksi (Bayesian confidence interval) - vrt. frekventistit: luottamusväli (confidence interval) Slide 19 Posterioriväli sisältää tietyn osuuden (esim. 95%) todennäköisyysmassasta - tietyn osuuden sisältäviä väli ei ole yksikäsitteisesti määritelty Yleisimmät vaihtoehdot - central posterior interval välin ylä- ja alapuolella yhtä paljon massaa - highest posterior density (HPD) interval lyhyin mahdollinen väli - lowest posterior loss (LPL) interval* välin sisällä pienin kustannus - näistä kaksi ensimmäistä voidaan yksiulotteisille laskea kumulatiivisten jakaumien (CDF) avulla Kumulatiivinen jakauma Cumulative density function (CDF) - kuinka paljon kumulatiivista todennäköisyysmassaa - jos < θ < p(θ a ) = a p(θ )pθ Slide 20 - vain yksiulotteisille - perusjakaumille Matlabissa valmiina (disttool)
11 Keskiposterioriväli Central posterior interval - välin ylä- ja alapuolella yhtäpaljon posteriorimassaa - helppo laskea - inavariantti yksi-yhteen estimoitavan muunnoksille - huono jos posteriorin huippu parametriavaruuden laidassa Slide 21 - huono jos multimodaalinen - ei yleisty useampaan ulottuvuuten Suurimman posterioriodennäköisyyden väli Highest posterior density (HPD) interval - välin ulkopuolella kaikkialla pienempi tiheys kuin välin sisällä - melkein yhtä helppo laskea kuin keskiväli - ei inavariantti yksi-yhteen estimoitavan muunnoksille - hyvä myös jos posteriorin huippu parametriavaruuden laidassa Slide 22 - yleistyy useampaan ulottuvuuten
12 Pienimmän posterioritappion väli* Lowest posterior loss (LPL) interval - välin ulkopuolella kaikkialla suurempi tappio kuin välin sisällä - laskentaan mukaan päätösanalyysi, joten voi olla vaikeampi - inavariantti yksi-yhteen estimoitavan muunnoksille - hyvä myös jos posteriorin huippu parametriavaruuden laidassa Slide 23 - yleistyy useampaan ulottuvuuten Todennäköisyydet Todennäköisyydet, bayesilaiset p-arvot (eri kuin frekventistinen p-arvo) - paljonko todennäköisyysmassaa jollakin alueeella A p(θ A y, M) = θ A p(θ y, M)dθ Slide 24 - yksiulotteisille helppoa jos cdf tiedossa - esim. Laplace halusi laskea p(θ 0.5) = = p(θ y, n, M)dθ ! !251528! θ (1 θ) dθ mutta Laplacella ei ollut Beta-jakauman cdf-tiedossa, sen sijaan osasi sen normaalijakaumalle
13 Ongelmallisia Multimodaaliset jakaumat Moniulotteiset jakaumat Slide 25 Priorijakaumista Populaatioon perustuvat - eli populaation perustuva posteriorijakauma priorina Tietämyksen tilaan perustuvat - helppoa jos tietämyksen epävarmuus pieni (informatiiviset) - vaikeaa jos tietämyksemme on epävarmaa (ei-informatiiviset) Slide 26 - esitettävä myös epävarmuus
14 Priorijakaumista Priorijakauman pitäisi kattaa kaikki edes jotenkin mahdolliset parametrin arvot - jos priori on 0, myös posteriori on 0 - jos dataa riittävästi, likelihood voi dominoida posteriorijakaumassa ja priorin muodolla ei niin paljon väliä - jos dataa vähän, voi priorijakauman muoto vaikuttaa paljon Slide 27 Perustelu aiemmin käyttämällemme priorille Uniformi priori θ:lle, jolloin prioriprediktiivinen jakauma uniformi p(y n) = 1 n + 1, y = 0,..., n Slide 28 Bayesin perustelu ilmeisesti perustui tähän - mukava perustelu, koska se voidaan esittää pelkästään havaittavien suureiden y ja n avulla Laplacen perustelu ilmeisesti suoraan θ:lle indifference periaatteen mukaisesti
15 Konjugaattipriorit Virallinen määritelmä jos p( y) P kaikille p(y ) F ja p( ) P missä P ja F jakaumien joukkoja. tämä kuitenkin liian väljä määritelmä jos valitaan, että P on kaikkien jakaumien joukko Slide 29 Kiinnostavampia ovat luonnolliset konjugaattipriorit, jolloin priori ja posteriori samasta funktioperheestä (samat parametrit) Laskennallisesti mukavia Voidaan tulkita prioridatana Beta-priori Binomi-mallille Priori Beta(θ α, β) θ α 1 (1 θ) β 1 Slide 30 Posteriori p(θ y, n, M) θ y (1 θ) n y θ α 1 (1 θ) β 1 = θ y+α 1 (1 θ) n y+β 1 = Beta(θ α + y, β + n y) Voidaan tulkita, että (α 1) ja (β 1) priorinäytteitä Uniformipriori kun (α 1) = 0 ja (β 1) = 0
16 Beta-priori Binomi-mallille Posteriori p(θ y, n, M) = Beta(θ α + y, β + n y) Slide 31 Posteriorikeskiarvo E[θ] = - kompromissi priorista ja datasta - kun n, E[θ] y/n α + y α + β + n Posteriorivarianssi - pienenee kun n kasvaa - kun n, Var[θ] 0 Var[θ] = E[θ](1 E[θ]) α + β + n + 1 Konjugaattiprioreista Konjugaattipriorit mukavia kuten myös standardimallitkin - tulkinnan helppous - jakaumat suljettua muotoa - laskennallinen mukavuus - tärkeitä rakennuspalikoita monimutkaisemmissakin malleissa Slide 32 - mixturepriorit ja -mallit laajentavat mahdollisuuksia Ei-konjugaattiset käsitteellisesti yhtä helppoja - laskenta vaikeampaa, mutta ei mahdotonta - ei tarvetta tehdä kompromissia tietämyksen esittämisessä
17 Esimerkki priorin vaikutuksesta Eteisistukkatapauksissa 437 tyttövauvaa ja 543 poikavauvaa - poikkeaako tyttövauvan todennäköisyys yleisestä (0.485)? Slide 33 Uniformipriorilla (α = 1, β = 1) posteriori on Beta(438, 544) - keskiarvo ja hajonta % posterioriväli [0.415, 0.477] - p(θ < 0.485) = 0.99 Matlab-demot: esim2_1.m, esim2_2.m Esimerkki Monte Carlo -laskennasta Eteisistukkatapauksissa 437 tyttövauvaa ja 543 poikavauvaa - entä jos haluamme laskea posteriorijakauman tyttöjen ja poikien suhteelle φ = (1 θ)/θ - p(φ y, n, M) =? Slide 34 Voidaan poimia helposti näytteitä tästä jakaumasta - poimitaan ensin näytteitä θ (t) posteriorijakaumasta p(θ y, n, M) - lasketaan φ (t) = (1 θ (t) )/θ (t) - φ (t) ovat näytteitä jakaumasta p(φ y, n, M) - histogrammi, kvantiilit ja intervallit helppo laskea näytteistä - Matlab-demo: esim2_3.m
18 Esimerkki ei-konjugaattisen priorin käytöstä Eteisistukkatapauksissa 437 tyttövauvaa ja 543 poikavauvaa - konjugaattipriorilla posteriori helppo laskea Ei-konjugaattinen priori - posteriori ei helppoa muotoa - Monte Carlolla approksimointi silti helppoa Slide 35 - yksiulotteiselle esim. hilapoiminta Matlab-demo: esim2_4.m - tämä on myös inverse-cdf demo
Luento 2. Yksiparametrisia malleja. Binomi-malli. Posteriorijakauman esittämisestä. Informatiivisista priorijakaumista. Konjugaattipriori.
Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli (1654-1705), Bayes (1702-1761) Normaali
LisätiedotS Bayesilaisen mallintamisen perusteet
S-114.2601 Bayesilaisen mallintamisen perusteet Laajuus: 5 op, L Opettajat: TkT Aki Vehtari, DI Simo Särkkä Slide 1 Sisältö: Bayesilainen todennäköisyysteoria ja bayesilainen päättely. Bayesilaiset mallit
Lisätiedotexp Luento 3 Normaalijakauma (Gaussian) Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli
Luento 3 Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli Exponentiaalinen malli Slide Cauchy-jakauma Ei-informatiivisista priorijakaumista *-merkatut kalvot
Lisätiedotexp p(y θ) = 1 2πσ θ)2 2σ 2(y y N(θ, σ 2 ) Luento 3 Normaalijakauma (Gaussian) Normaalijakauma tunnetulla varianssilla
Luento 3 Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-malli Exponentiaalinen malli Slide 1 Cauchy-jakauma Lisää konjugaattiprioreista Ei-informatiivisista priorijakaumista
Lisätiedot- voidaan käyttä lisämään tieteellistä ymmärrystä ilmiöstä. - joidenkin havaittavien suureiden vaikutus voi olla paljon suurempi kuin toisten
Viime kerralla Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli Exponentiaalinen malli Slide 1 Cauchy-jakauma Ei-informatiivisista priorijakaumista Bayesilaisen
LisätiedotViime kerralla. Luento 6. Normaalijakauma-approksimaatio - moodi. - havaittu informaatio
Viime kerralla Normaalijakauma-approksimaatio - moodi - havaittu informaatio Suurten otosten teoria - asymptoottinen normaalius ja konsistenttisuus Slide 1 - vastaesimerkkejä Bayesilaisen päättelyn frekvenssiarviointi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotP(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu
1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)
Lisätiedotp(θ 1 y) on marginaalijakauma p(θ 1 θ 2, y) on ehdollinen posteriorijakauma Viime kerralla Termejä viime kerralta Marginalisointi Marginaalijakauma
Viime kerralla Marginalisointi Marginaalijakauma Posteriorijakauman faktorointi Ehdollinen posteriorijakauma Slide 1 Posteriorijakaumasta simulointi Normaalijakauma - tuntematon keskiarvo ja varianssi
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotBayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory
Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory Todennäköisyysteoria voidaan perustella ilman päätösteoriaa, mutta vasta päätösteorian avulla siitä on oikeasti hyötyä Todennäköisyyteoriassa tavoitteena
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedotθ 1 θ 2 θ n y i1 y i2 y in Luento 6 Hierarkkinen malli Johdatus hierarkkisiin malleihin - joskus myös termillä multilevel model
Luento 6 Johdatus hierarkkisiin malleihin - joskus myös termillä multilevel model Vaihtokelpoisuus (exchangeability) Slide 1 Hierarkkinen malli Esimerkki: sydäntautien hoidon tehokkuus - sairaalassa j
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotLuento 11. Muutama hyödyllinen Monte Carlo-menetelmä. Muutama hyödyllinen Monte Carlo-menetelmä. Mitä muuta hyödyllistä Gelman et al kirjasta löytyy
Luento 11 Muutama hyödyllinen Monte Carlo-menetelmä Mitä muuta hyödyllistä Gelman et al kirjasta löytyy Kertaus koko kurssiin - tenttiinlukuohjeet Slide 1 Muutama hyödyllinen Monte Carlo-menetelmä Hylkäyspoiminta
LisätiedotPosteriorijakauman normaalijakauma-approksimaatio. Usein posteriorijakauma lähestyy normaalijakaumaa kun n
Luento 5 Päättely suurten otosten tapauksessa, n - normaalijakauma-approksimaatio - suurten otosten teoria - asymptoottinen normaalius ja konsistenttisuus - vastaesimerkkejä Slide 1 Bayesilaisen päättelyn
LisätiedotS-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet
S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet Laajuus: 2 ov Opettajat: TkT Aki Vehtari, DI Toni Tamminen Slide 1 Sisältö: Bayesilainen todennäköisyysteoria ja bayesilainen päättely. Bayesilaiset mallit
LisätiedotTentin materiaali. Sivia: luvut 1,2, , ,5. MacKay: luku 30. Gelman, 1995: Inference and monitoring convergence
Tentin materiaali Sivia: luvut 1,2,3.1-3.3,4.1-4.2,5 MacKay: luku 30 Gelman, 1995: Inference and monitoring convergence Gelman & Meng, 1995: Model checking and model improvement Kalvot Harjoitustyöt Tentin
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotBayesilaisen mallintamisen perusteet
Bayesilaisen mallintamisen perusteet Johdanto Yksiparametrisia malleja Moniparametrisia malleja Slide 1 Päättely suurten otosten tapauksessa ja bayesilaisen päättelyn frekvenssiominaisuudet Hierarkiset
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotLuku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017
Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia
LisätiedotPikajohdatus bayesilaiseen tilastoanalyysiin ja monimuuttuja-analyysiin
ja monimuuttuja-analyysiin Loppuseminaari: Terveydenhuollon uudet analyysimenetelmät (TERANA) Aki Vehtari AB HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Biomedical Engineering and Computational Science
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
Lisätiedot1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI
1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia
LisätiedotBayesilaisen mallintamisen perusteet kurssin sisältö
S-114.2601 Bayesilaisen mallintamisen perusteet Laajuus: 5 op, L Opettajat: Dos. TkT Aki Vehtari, DI Jarno Vanhatalo Slide 1 Sisältö: Bayesilainen todennäköisyysteoria ja bayesilainen päättely. Bayesilaiset
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Lisätiedotp(y θ, M) p(θ M)dθ p(θ y, M) = p(y M) Luento 10 Marginaaliuskottavuus Bayes-tekijä Mallin odotettu hyöty DIC (Deviance Information Criterion)
Luento 10 Bayes-tekijä Mallin odotettu hyöty DIC (Deviance Information Criterion) Mallin valinta Slide 1 Marginaaliuskottavuus Bayesin kaava missä p(θ y, M) = p(y M) = p(y θ, M)p(θ M) p(y M) p(y θ, M)
LisätiedotJos oletetaan, että sairaaloissa on eroja, kaikki potilaat eivät ole vaihtokelpoisia keskenään
Viime kerralla Johdatus hierarkisiin malleihin Vaihtokelpoisuus Slide 1 Hierarkinen malli Esimerkki: sydäntautien hoidon tehokkuus Jos oletetaan, että sairaaloissa on eroja, kaikki potilaat eivät ole vaihtokelpoisia
LisätiedotLog-tiheydet - yli- ja alivuotojen välttämiseksi laskenta usein suoritettava log-tiheyksillä
Luento 7 Yleistä laskennasta mm. (luvut 10 ja 12) - karkea estimointi - posteriorimoodit - kuinka monta simulaationäytettä tarvitaan Monte Carlo (luku 11) Slide 1 - suora simulointi - hiladiskretointi
LisätiedotMarkov-ketju Monte Carlo - konvergenssidiagnostiikka (convergence diagnostics) - odotettu hyöty tai kustannus (expected utility or cost)
Viime kerralla Markov-ketju Monte Carlo - konvergenssidiagnostiikka (convergence diagnostics) - kuinka monta riippuvaa simulaationäytettä tarvitaan - joitakin perus-mcmc-menetelmien parannuksia Slide 1
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotTässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:
4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
LisätiedotBayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä
Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Antti Penttinen Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Metodifestivaalit Jyväskylän yliopisto 21.5.2013 Suunnitelma
LisätiedotMallin arviointi ja valinta. Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL
Mallin arviointi ja valinta Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL Sisältö Otoksen ennustevirheen estimointi AIC - Akaiken informaatiokriteeri mallin valintaan Parametrimäärän
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotBayesläiset tilastolliset mallit
Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön
LisätiedotMitä on bayesilainen päättely?
Metodifestivaali 29.5.2009 Aki Vehtari AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU Lääketieteellisen tekniikan ja laskennallisen tieteen laitos Esityksen sisältö Miksi? Epävarmuuden esittäminen Tietämyksen päivittäminen
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotBayesiläinen tilastollinen vaihtelu
Bayesiläinen tilastollinen vaihtelu Janne Pitkäniemi FT, dos. (biometria), joht. til. tiet Suomen Syöpärekisteri Hjelt-instituutti /Helsingin yliopisto Periaatteet Tilastollinen vaihtelu koskee perusjoukon
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö
LisätiedotTILASTOLLINEN OPPIMINEN
301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
LisätiedotTilastollinen päättely, 10 op, 4 ov
Tilastollinen päättely, 0 op, 4 ov Arto Luoma Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tilastotiede 3304 TAMPEREEN YLIOPISTO Syksy 2006 Kirjallisuutta Garthwaite, Jolliffe, Jones Statistical Inference,
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU ERIKOISTYÖ. koulutusohjelma MUUTOSPISTEIDEN TUNNISTAMINEN BAYESILAISELLA ANALYYSILLA
TEKNILLINEN KORKEAKOULU ERIKOISTYÖ Teknillisen fysiikan Mat-2.108 Sovellettu matematiikka koulutusohjelma 11.7.2007 MUUTOSPISTEIDEN TUNNISTAMINEN BAYESILAISELLA ANALYYSILLA Pyry-Matti Hjalmar Niemelä 55448H
LisätiedotTilastolliset jakaumat, niiden esittäminen ja tunnusluvut
TILASTO-OPPIA Tilastolliset jakaumat, niiden esittäminen ja tunnusluvut Diskreetit jakaumat ja niiden esittäminen frekvenssitauluna ja kaaviona Jakauma on diskreetti jos tilastomuuttuja voi saada vain
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotMallin tarkistus (luku 6) - onko mallin puutteilla havaittava vaikutus oleelliseen päättelyyn?
Luento 9 Päätösanalyysi (luku 22) - hyöty- ja kustannusfunktiot (utility and cost functions) - odotettu hyöty tai kustannus (expected utility or cost) Mallin tarkistus (luku 6) - onko mallin puutteilla
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotMaximum likelihood-estimointi Alkeet
Maximum likelihood-estimointi Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Maximum likelihood-estimointi p.1/20 Maximum Likelihood-estimointi satunnaismuuttujan X
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x)
Kuva 4.6: Elektroniikassa esiintyvän lämpökohinan periaate. Lämpökohinaa ε mallinnetaan additiivisella häiriöllä y = Mx + ε. 4.2.2 Uskottavuusfunktio f Y (y 0 X = x) Tarkastellaan tilastollista inversio-ongelmaa,
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot3.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Lisätiedot/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla
16.11.2017/1 MTTTP5, luento 16.11.2017 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla ~,, ~,,. 16.11.2017/2 Esim. Tutkittiin uuden menetelmän käyttökelpoisuutta
LisätiedotRyhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof.
Ryhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes 11.06.2012 Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla
Lisätiedotl (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotTilastolliset menetelmät
Tilastolliset meetelmät tilastolliste meetelmie tarkoitus o: estimoida eliaika- (vikaatumisaika, korjausaika- jakaumie ja -mallie parametreja eliaikakokeide, laitteide käyttökokemustiedo yms. perusteella
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Jatkossa ratkaisuehdotukset ovat tyypillisesti paljon lakonisempia.
ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia ja selittelyjä Tämänkertaiset ratkaisuehdotukset ovat pitkähköjä, ja ne sisältävät paljon selittelyjä. Jatkossa
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotA-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.
MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja
LisätiedotKuinka monta riippumatonta simulaationäytettä tarvitaan. - tämä varianssi on riippumaton jakauman ulottuvuuksien määrästä
Viime kerralla Karkea laskenta Kuinka monta riippumatonta simulaationäytettä tarvitaan Monte Carlo (luku 11) - suora simulointi - hiladiskretointi Slide 1 - hylkäyspoiminta Markov-ketju Monte Carlo - Gibbs-poiminta
LisätiedotBECS Bayesilainen mallintaminen Lyhyt englanti-suomi sanasto
BECS-114.2601 Bayesilainen mallintaminen Lyhyt englanti-suomi sanasto Aki Vehtari ja Jarno Vanhatalo September 23, 2013 Lyhyt englanti-suomi-sanasto kurssin termeistä. Osalle termeistä emme tiedä virallista
LisätiedotThe Metropolis-Hastings Algorithm
The Metropolis-Hastings Algorithm Chapters 6.1 6.3 from Monte Carlo Statistical Methods by Christian P. Robert and George Casella 08.03.2004 Harri Lähdesmäki The Metropolis-Hastings Algorithm p. 1/21 Taustaa
LisätiedotT Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
Lisätiedot2. Uskottavuus ja informaatio
2. Uskottavuus ja informaatio Viimeksi käsittelimme uskottavuusfunktioita, log-uskottavuusfunktioita ja su-estimaatteja Seuraavaksi tarkastelemme parametrin muunnoksia ja kuinka su-estimaatit käyttäytyvät
Lisätiedot