Kuinka monta riippumatonta simulaationäytettä tarvitaan. - tämä varianssi on riippumaton jakauman ulottuvuuksien määrästä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuinka monta riippumatonta simulaationäytettä tarvitaan. - tämä varianssi on riippumaton jakauman ulottuvuuksien määrästä"

Transkriptio

1 Viime kerralla Karkea laskenta Kuinka monta riippumatonta simulaationäytettä tarvitaan Monte Carlo (luku 11) - suora simulointi - hiladiskretointi Slide 1 - hylkäyspoiminta Markov-ketju Monte Carlo - Gibbs-poiminta - Metropolis- ja Metropolis-Hastings-algoritmit Montako simulaationäytettä tarvitaan? Tuntemattoman suureen odotusarvo E(θ) 1 L l θ (l) jos L suuri ja θ (l) riippumattomia näytteitä, voidaan olettaa tämän odotusarvon olevan normaalijakautunut varianssilla σ 2 θ /L Slide 2 - tämä varianssi on riippumaton jakauman ulottuvuuksien määrästä - yhteenlaskettu varianssi on summa datasta johtuvasta epävarmuudesta ja Monte Carlosta johtuvasta epävarmuudesta σθ 2 + σ θ 2 /L = σ θ 2 (1 + 1/L) - jos L = 100, hajonta kasvaa kertoimella 1 + 1/L = eli Monte Carlo -virhe on lähes olematon

2 Luento 8 Markov-ketju Monte Carlo - konvergenssidiagnostiikka (convergence diagnostics) - simulaationäytteiden käyttö - kuinka monta riippuvaa simulaationäytettä tarvitaan - joitakin perus-mcmc-menetelmien parannuksia Slide 3 Päätösanalyysi - hyöty- ja kustannusfunktiot (utility and cost functions) - odotettu hyöty tai kustannus (expected utility or cost) Päättely MCMC-näytteistä Slide 4 MCMC-ketjun alkupää ei käyttökelpoinen ennenkuin alkupiste unohtunut - kun ketju konvergoitunut saadaan näytteitä halutusta jakaumasta - kovergoitumista voidaan tutkia konvergenssidiagnostiikalla rinnakkaisten riippumattomien ketjujen vertailu yhden ketjun alku- ja loppupään vertailu - ennen konvergenssia simuloidut näytteet heitettävä pois sisäänajo (burn-in) MCMC-näytteet eivät riippumattomia - Monte Carlo -estimaatit silti päteviä - Monte Carlo -estimaatin epävarmuuden arviointi vaikeampaa - mahdollista arvioida efektiivinen näytteiden määrä ajamalla rinnakkaisia riippumattomia ketjuja käyttämällä aikasarja-analyysin menetelmiä

3 Useiden ketjujen käyttö Useiden riippumattomien käyttö turvallisempaa kuin yhden Ketjujen alustus - aloita eri ketjut eri alkupisteistä Slide 5 - pyri valitsemaan alkupisteet suuremalla hajonnalla kuin posteriorin oletettu hajonta (overdispersed starting points) onnistuu helposti vain kun hyvä arvaus posteriorin massan muodosta ja sijainnista - aloita jokainen ketju eri satunnaislukusiemenellä Ketjujen vertailu - vertaa kaikkia estimoitavia skalaariarvoja parametrit parametreista laskettavat muut kiinnostavat tulevien havaintojen ennusteet log-posterioritiheys log-prediktiivinen tiheys Visuaalinen tarkastelu Gelman et al. aivan oikein varoittavat luottamasta visuaaliseen trendien tarkasteluun - visuaalinen tarkastelu ei riittävä konvergenssin hyväksymiseksi - visuaalinen tarkastelu kuitenkin usein riittävä konvergenssin hylkäämiseksi - visuaalinen tarkastelu antaa vihjeitä mikä voisi olla vialla Slide 6 - ihmisen näköjärjestelmä on tehokas huomaamaan poikkeavia asioita, joita vaikea muotoilla matemaattisesti - mitä enemmän tarkasteltavia suureita, sitä vaikeampaa on visuaalinen tarkastelu

4 Ketjujen odotusarvojen ja varianssien vertailu m riippumatonta ketjua, jokaisen pituus n (kun ensimmäinen puolisko poistettu) - estimoitavien skalaarien simulaationäytteet ψ i j (i = 1,..., n; j = 1,..., m) Gelman et al.: potential scale reduction factor (PSRF) - perustuu ketjujen odotusarvojen ja varianssien vertailuun Slide 7 - sopii jatkuville jakaumille ja diskreeteille jakaumille, joita voidaan hyvin approksimoida normaalijakaumalla - estimoitavat skaalarit hyvä muuntaa siten, että olisivat mahdollisimman normaalijakautuneita esim. ottamalla logaritmi aidosti positiivisesta suureesta - Gelman et al. poistavat ensimmäisen puoliskon ja vertailevat jälkimmäisiä puoliskoja Ketjujen odotusarvojen ja varianssien vertailu Lasketaan ketjujen välinen varianssi B (between) B = n m 1 m ( ψ. j ψ.. ) 2, missä ψ. j = 1 n j=1 n ψ i j, ψ.. = 1 m i=1 m j=1 ψ. j - B/n on ketjujen keskiarvojen varianssi Slide 8 Lasketaan ketjujen sisäinen varianssi W (within) W = 1 m m j=1 s 2 j, missä s2 j = 1 n 1 n (ψ i j ψ. j ) 2 j=1 Estimoidaan estimoitavan marginaaliposteriorivarianssi var(ψ y) W :n ja B:n painotettuna keskiarvona var + (ψ y) = n 1 W + 1 n n B

5 Ketjujen odotusarvojen ja varianssien vertailu Slide 9 Estimoidaan var(ψ y) W :n ja B:n painotettuna keskiarvona var + (ψ y) = n 1 W + 1 n n B - tämä yliarvioi marginaaliposteriorivarianssin jos alkupisteet ovat riittävän ylihajonneita, koska silloin B suurempi - harhaton stationäärisessä tilassa tai kun n Äärellisellä n, W aliarvioi marginaaliposteriorivarianssin - yksittäiset ketjut eivät ole ehtineet käydä jakauman joka pisteessä, joten niissä on vähemmän vaihtelua - kun n, E(W) var(ψ y) Koska var + (ψ y) yliarvioi ja W aliarvioi, lasketaan var ˆR + = W Ketjujen odotusarvojen ja varianssien vertailu Potentiaalinen skaalanpienennyskerroin (potential scale reduction factor) ˆR = var + W Slide 10 - estimoi kuinka paljon ψ:n tämänhetkisen jakauman skaala voisi pienentyä jos simulaatiota jatkettaisiin rajalle n - R 1, kun n - jos R on iso, on syytä uskoa, että lisäsimulaatio voi parantaa arviota kyseisen estimoitavan skalaarin jakaumasta - jos R ei ole kaikille estimoitaville skalaareille lähes 1, jatka simulaatiota - lähes 1 tarkoittaa usein alle 1.1, mutta joskus voi olla tarvetta tarkempaankin Esim8_1.m Vaikka R lähes 1, ketju ei ole välttämättä konvergoitunut

6 Simulaationäytteisiin perustuvat konvergenssidiagnostiikat Simulaationäytteisiin perustuvat konvergenssidiagnostiikat voivat paljastaa vain jos konvergenssia ei ole tapahtunut - vaikka diagnostiikan mukaan konvergenssi olisi mahdollinen, on myös aina mahdollista, että lähtöpisteiden ja algoritmin yhteisvalinnan sekä sattuman vuoksi yksikään ketju ei ole käynyt alueilla joissa merkittävästi massaa - tyypillinen ongelmatapaus on multimodaalinen jakauma Slide 11 Joidenkin skalaarien marginaalijakauma voi näyttää konvergoituneelta vaikka yhteisjakauma ei olisi - moniulotteisen ei-normaalijakautuneen jakauman konvergenssidiagnostiikka on vaikeaa Lisäksi PSRF:ssä - jos ketjujen alkupisteet lähekkäin, voi R olla lähes 1, vaikka ei konvergenssia Täydellinen poiminta (perfect sampling)* Joillekin malleille on algoritmeja joissa tiedetään varmasti milloin konvergenssi tapahtunut - mahdollista poimia varmasti riippumattomia näytteitä - algoritmeja kehitetään jatkuvasti eri mallivaihtoehdoille Slide 12

7 Konvergenssidiagnostiikoita* Konvergenssidiagnostiikoita on lukuisia, itse olen käyttänyt pääasiassa - useiden ketjujen ajo - visuaalinen tarkastelu - potential scale reduction factor Slide 13 - Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit hypothesis test sopii myös ei normaalijakautuneille Sisäänajo (burn-in) Gelman et al. tutkivat konvergenssia ketjun loppupuoliskolle - arvioidun konvergenssin jälkeen voidaan alkupuolisko heittää pois ja jatkaa ketjuja kunnes saatu haluttu määrä näytteitä - puoliksi jakaminen ei välttämättä tehokasta kuten demossa näkyi Slide 14

8 Efektiivinen näytteiden määrä Jos ketjun n simulaationäytettä olisivat riippumatomia, ketjujen välinen varianssi B olisi posteriorivarianssin var(ψ y) harhaton estimaatti ja meillä olisi yhteensä mn riippumatonta näytettä Yleisesti MCMC-ketjujen näytteet korreloivat ja B on odotusarvoisesti suurempi kuin var(ψ y) Slide 15 Efektiivinen näytteiden määrä voidaan arvioida seuraavasti n eff = mn var+ (ψ y) B - jos m pieni, tämä on varsin karkea estimaatti - supertehokas simulaatio, missä n eff > mn, mahdollinen, mutta käytännössä epätodennäköinen - Gelman et al. ilmoittavat varmuudeksi min(n eff, mn) Montako simulaationäytettä tarvitaan? Lasketaan tarvittavien näytteiden määrä riippumattomille näytteille Simuloidaan kunnes efektiivinen näytteiden määrä riittävän suuri Slide 16

9 Ohennus (thinning) Ei välttämätöntä Ohennuksessa talletetaan vain joka k:s MCMC-näyte - valitsemalla k riittävän isoksi jäljelle jääneet näytteet lähes riippumattomia k > mn/n eff Slide 17 - säästää muistia ja levytilaa - nopeuttaa simulaationäytteisiin perustuvaa päättelyä - helpottaa Monte Carlo -epävarmuuden arvioimista (jos k arvioitu oikein) Aikasarja-analyysi* Autokorrelaatioita tutkimalla nähdään riippuvuuksien määrä - algoritmien tehokkuuksia vertailtaessa usein verrataan autokorrelaatiosarjoja Efektiivisten näytteiden määrää voidaan arvioida autokorrelaatioista - Geyer s initial convex/monotone sequence estimator arvioi k:n, josta voi arvioida n eff :n Slide 18 - Esim8_2.m Monte Carlo tarkkuuksia voidaan arvioida helposti osalle yhteenvetoarvoista (esim. odotusarvo) ilman ohennusta

10 Gibbs-poiminta (luku 11.8) Muunnokset ja uudelleen parametrisoinnit - jos muuttujat olisivat riippumattomia olisi Gibbs-poiminnan tehokkuus 1/d - pyritään saamaan parametrit mahdollisimman riippumattomiksi Apumuuttujat - esim. t-jakauman esittäminen sekaskaalanormaalijakaumana Slide 19 Parametriavaruuden laajentaminen - lisäparametri jonka avulla voidaan hypätä pidempiä matkoja parametriavaruudessa ja siten saavuttaa nopeampi konvergenssi - lisäparametrin takia malli ali-identifioituva, mutta kiinnostavat suureet edelleen identifioituvia Over-relaxation* - poimitaan uusi piste mielummin ehdollisen jakauman vastakkaiselta puolelta Metropolis-algoritmi (luku 11.9) Muunnokset ja uudelleen parametrisoinnit "Optimaalinen" hylkäystaajuus - jos ehdotusjakauma samanmuotoinen kuin kohdejakauma (mikä harvinaista) - optimaalinen skaala c 2.4/ d - tehokkuus olisi 0.3/d Slide 20 - hylkäystaajuus riippuen ulottuvuuksien määrästä Adaptiivisuus - aloitetaan esim. normaalijakauma-approksimaatiolla - poimitaan näytteitä - valitaan uusi ehdotusjakauma näytteiden perusteella esim. normaalijakauma jonka kovarianssi valitaan näytteiden perusteella myös hylkäystaajus voidaan adaptoida - suoritetaan varsinainen poiminta

11 Adaptiivisista menetelmistä Adaptiiviset menetelmät hyviä, mutta oltava huolellinen, ettei adaptiivisuus estä konvergenssia haluttuun jakaumaan - esim. edellä mainittu yksinkertainen adaptiivinen Metropolis ok, kun adaptointi suoritetaan ennen varsinaista ajoa, joka ei ole adaptiivinen Slide 21 Muita menetelmiä* Erilaisia kehittyneempiä menetelmiä hyvin paljon Kirjan luvussa 13 mainitaan muutama hyödyllisimmistä - hybrid Monte Carlo hyödyntää gradientti-informaatiota Slide 22 - slice sampling sopii erityisesti 1-ulotteisille (vrt. Gibbs) täydellisesti paikallisesti adaptoituva - simulated tempering korkeammassa lämpötilassa moodinvaihto onnistuu helpommin - reversible jump MCMC sallii hypyt parametriavaruudesta toiseen myös ulottuvuuksien määrä voi vaihtua sopii mallin rakenteen valintaan

12 Päätösanalyysi (decision analysis) Gelman et al. väheksyvät päätösanalyysin merkitystä - ehkä koska heidän ongelmissaan hyötyfunktioiden valinta hyvin vaikeaa ja siksi niihin ei ole haluttu ottaa kantaa, tai eivät ole ymmärtäneet asiaa - kirjan ensimmäisessä painoksessa päätösanalyysia ei ollut ollenkaan Slide 23 Moni muu pitää päätösanalyysia erottamattomana osana bayesilaista todennäköisyysteoriaa - todennäköisyydet ja hyödyt (utilities) erottamattomia - päätösten vaikutusten arviointi ei poikkea muusta bayesilaisesta päättelystä - mallien posteriorijakaumien ja yhteenvetolukujen ilmoittaminen perusteltavissa päätösanalyysilla - tilastollisesti merkittävä vs. käytännössä merkittävä - mallien arviointi, vertailu ja valinta on päätösanalyysia - "Todennäköisyysteoria ilman päätösteoriaa on kuin auto ilman polttoainetta. Se on olemassa, mutta sillä ei pääse minnekään." Bayesilainen päätöksenteko Mahdolliset päätökset d (decision) - usein myös puhutaan toimenpiteistä a (action) Mahdolliset seuraamukset x - x voi olla nominaalinen, ordinaalinen, reaalinen, skalaari, vektori,... Seuraamuksien todennäköisyysjakaumat annettuna päätökset p(x d) Slide 24 - päätöksenteossa päätökset ovat kontrolloituja, joten p(d) ei määritelty Hyötyfunktio U(x) (utility function) kuvaa seuraamuksen reaaliluvuksi - esim. euroiksi tai odotettavaksi elinajaksi - joskus puhutaan erikseen hyödyistä (utility) ja kustannuksista (cost) Hyödyn todennäköisyysjakauma p(u(x) d) Odotettu hyöty E(U(x) d) (expected utility) - voidaan ilmoittaa myös koko jakauma tai muu yhteenvetoarvo Valitaan päätös d, joka maksimoi odotetun hyödyn E(U(x) d)

13 Päätösanalyysin ja päätösteorian erosta Gelman et al. lepertelevät sekavia päätösanalyysin ja päätösteorian eroista -... statistical decision theory, a mathematical framework that is formally Bayesian but which we find too abstract to be directly useful for real decision problems. - These mathematical results are interesting but we do not see their relevance in practice. Slide 25 Aivan oikein piste-estimaattien sijasta mielummin esittävät koko posteriorijakauman tai intervalleja, mutta unohtavat, että joskus on pakko valita yksi luku - esim. tehtaassa koneen säätöä varten valittava yksi luku ja lopputuloksena saadaan yhtä lopputuotetta - jos muita hyötyfunktioita ei ole käytettävissä, on parempi käyttää edes yleiskäyttöisiä "abstrakteja" hyötyfunktioita Muissa yhteyksissä ainakin Gelman puhunut järkevämpiäkin Esimerkki päätöksenteosta Matti on lähdössä sienimetsään kun huomaa matkalla suuren käpälän jäljen, joka näyttää koiran tai suden jäljeltä Slide 26 Matti mittaa jäljen pituudeksi 14 cm ja menee kotiin tarkistamaan eläinkirjasta eläinten jalkojen kokoja ja sen perusteella yritää päätellä onko otus susi vai koira Todennäköisyys p(x C) C= Susi C= Iso koira Jäljen pituus x (cm) havaitun jäljen pituus on merkitty kuvaan pystyviivalla Pelkästään tämän perusteella suden todennäköisyys 0.92

14 Esimerkki päätöksenteosta Matti olettaa lisäksi, että irrallaan juoksevia koiria on sata kertaa enemmän kuin susia, tällöin siis a priori todennäköisyys sudelle, kun mitään piirteitä ei ole havaittu, on n. 1%. Eri luokkien uskottavuudet ja posteriori-todennäköisyydet Luokitus Uskottavuus Posteriori-todennäköisyys Slide 27 Susi Koira Tämän perusteella suden todennäköisyys 0.10 Esimerkki päätöksenteosta Matti miettii uskaltaako lähteä poimimaan sieniä Oikealle luokitukselle voitaisiin asettaa nollariski Jos otus on koira ja pysytään kotona, seuraa pieni tappio, kun sieniretki jää aiheettomasti tekemättä Slide 28 Jos taas otus on susi, mutta sitä luullaan koiraksi ja lähdetään sienimetsään, on tappio paljon suurempi, koska susi voi syödä Matin suihinsa Otuksen luokka Toiminta Susi Koira Toiminta Ehdollinen riski Pysytään kotona 1 1 Lähdetään metsään Tappiomatriisi Pysytään kotona 1 Lähdetään metsään 100 Eri toimintojen ehdolliset riskit

15 Esimerkki päätöksenteosta Sudesta jää havaitun kokoinen jälki paljon todennäköisemmin kuin koirasta, joten suurimman uskottavuuden luokitus on susi Havaitun kokoinen jälki on paljon todennäköisemmin jäänyt koirasta, koska koirat ovat niin paljon yleisempiä, ja suurimman todennäköisyyden luokitus on koira Minimiriskipäätös on pysyä kotona, vaikka otus on todennäköisemmin koira Slide 29 - lähtöoletusten mukaan suden tapaaminen metsässä aiheuttaa suuren odotetun tappion, ja se huomioon ottaen otukseen kannattaa suhtautua kuin se olisi susi, jotta kokonaisriski minimoituu Esimerkistä näkyy selvästi, että kaikkien vaihtoehtojen todennäköisyydet täytyy pitää mukana lopulliseen päätöksentekoon asti - jos luokkien todennäköisyyksien perusteella tehdään päätös, että kyseessä on koira, ei sen jälkeen ole enää mahdollista tehdä minimiriskipäätöstä, jossa otetaan huomioon väärän luokituksen aiheuttamat riskit Esimerkki päätöksenteosta Professori Gelmanilla on purkillinen neljännedollareita - purkkiin ensin vedetty viiva ja sitten purkki täytetty viivaan asti kolikoilla, joten kolikoiden määrää ei ole valittu etukäteen - Prof. Gelman ei itse tiedä kolikoiden määrää - Prof. Gelman tarjoaa luokalle mahdollisuutta voittaa kaikki purkin kolikot jos luokaa arvaa kolikoiden määrän oikein Slide 30 - niille tiedoksi, jotka eivät olleet luennolla, esimerkki käsiteltiin loppuun suullisesti ja taululla

16 Hyötyfunktion valinnan vaikeudesta 1) Varmasti 1 tai todennäköisyydellä p ja 1 p 1 0 2) Varmasti 1 tai p 2 10 Varmasti 10 tai p Varmasti 100 tai p Varmasti 1000 tai p Slide 31 Hyötyfunktion valinnan vaikeudesta Jos seuraavat vaihtoehdot samanarvoiset henkilölle Varmasti 10 tai todennäköisyydellä 55% 20 ja 45% 0 Varmasti 20 tai todennäköisyydellä 55% 30 ja 45% 10 Slide 32 Varmasti x tai todennäköisyydellä 55% (x+10) ja 45% (x-10), x=30,40,50,... niin mikä on y Varmasti y tai todennäköisyydellä 50% 1 miljardi ja 50% 0 y on jotain välillä 30 40!

17 Hyötyfunktion valinnan vaikeudesta Ihmiset huonoja arvioimaan todennäköisyyksiä Extrapolointi tuottaa outoja tuloksia Epävarmuuden pelkoa eli riskin välttämistä ei voida selittää odotetun hyödyn maksimoinilla ja konkaavilla hyötyfunktiolla Slide 33 Epävarmuuden kustannukset ovat vaikeita määritellä Hyötyjä ja kustannuksia on vaikea arvioida esim. terveydenhoidossa. - mitä sairauksia ja millä kustanuksilla niitä pitäisi hoitaa? - yksittäisen ihmisen hyöty on, että hän ja hänen läheisensä ovat terveitä - lääkärin hyödystä osa voi tulla bonuksina jos syntyy säästöjä, jne Paljonko ympäristön puhtaus tai maapallon lämpeneminen maksaa rahassa Usein lopullisessa päätöksenteossa niin monenlaiset ihmisarvot, että siinä matemaattinen teoria on pulassa Esimerkki Monivaiheinen päätöksenteko: lääketieteellinen seulonta - kirja luku vuotiaalla kasvain joka mahdollisesti pahalaatuinen - esimerkissä laskettiin odotettua elinaikaa Slide 34 - mitä jos hoitojen kustannukset olisivat mukana? kuinka paljon 95-vuotiaan odotettu lisäelinkuukausi voisi maksaa kuinka paljon 5-vuotiaan odotettu lisäelinkuukausi voisi maksaa

18 Elämän hinta? 1) Kuinka paljon pitäisi sinulle maksaa, että suostuisit kuolemaan? 2) Saat valita (a) jatkat elämistä (b) todennäköisyydellä p kuolet ja todennäköisyydellä (1- p) saat ) Onko autossasi turvatyyny? Slide 35 - turvatyyny maksaa auto käytössä 10 vuotta - amerikkalaisen tutkimuksen mukaan turvatyyny pelastaa n. 2% tapauksista - Suomessa kuolee liikenteessä n. 300 vuodessa - oletetaan, että ajat varovasti, etkä aja humalassa - todennäköisyys, että turvatyyny pelastaa henkesi, on n. 1e-8 - odotusarvohinta hengellesi n. 100 miljardia euroa - vrt. Gelman et al. s. 566 odotusarvohinta hengelle radonmittauksissa ja -korjauksissa n. 1 miljoona dollaria Yhteys mallien arviointiin ja valintaan Mikä on odotettu hyöty jos käytämme mallia ennustamiseen ja päätöksentekoon tulevaisuudessa - mallin odotettu hyöty - voidaan arvioida onko mallista käytännön hyötyä - voidaan vertailla mallien odotettuja hyötyjä Slide 36

Mallin tarkistus (luku 6) - onko mallin puutteilla havaittava vaikutus oleelliseen päättelyyn?

Mallin tarkistus (luku 6) - onko mallin puutteilla havaittava vaikutus oleelliseen päättelyyn? Luento 9 Päätösanalyysi (luku 22) - hyöty- ja kustannusfunktiot (utility and cost functions) - odotettu hyöty tai kustannus (expected utility or cost) Mallin tarkistus (luku 6) - onko mallin puutteilla

Lisätiedot

Bayesilaisen mallintamisen perusteet

Bayesilaisen mallintamisen perusteet Bayesilaisen mallintamisen perusteet Johdanto Yksiparametrisia malleja Moniparametrisia malleja Slide 1 Päättely suurten otosten tapauksessa ja bayesilaisen päättelyn frekvenssiominaisuudet Hierarkiset

Lisätiedot

Log-tiheydet - yli- ja alivuotojen välttämiseksi laskenta usein suoritettava log-tiheyksillä

Log-tiheydet - yli- ja alivuotojen välttämiseksi laskenta usein suoritettava log-tiheyksillä Luento 7 Yleistä laskennasta mm. (luvut 10 ja 12) - karkea estimointi - posteriorimoodit - kuinka monta simulaationäytettä tarvitaan Monte Carlo (luku 11) Slide 1 - suora simulointi - hiladiskretointi

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

Markov-ketju Monte Carlo - konvergenssidiagnostiikka (convergence diagnostics) - odotettu hyöty tai kustannus (expected utility or cost)

Markov-ketju Monte Carlo - konvergenssidiagnostiikka (convergence diagnostics) - odotettu hyöty tai kustannus (expected utility or cost) Viime kerralla Markov-ketju Monte Carlo - konvergenssidiagnostiikka (convergence diagnostics) - kuinka monta riippuvaa simulaationäytettä tarvitaan - joitakin perus-mcmc-menetelmien parannuksia Slide 1

Lisätiedot

Jos oletetaan, että sairaaloissa on eroja, kaikki potilaat eivät ole vaihtokelpoisia keskenään

Jos oletetaan, että sairaaloissa on eroja, kaikki potilaat eivät ole vaihtokelpoisia keskenään Viime kerralla Johdatus hierarkisiin malleihin Vaihtokelpoisuus Slide 1 Hierarkinen malli Esimerkki: sydäntautien hoidon tehokkuus Jos oletetaan, että sairaaloissa on eroja, kaikki potilaat eivät ole vaihtokelpoisia

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi

Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Viikko 2: Ensimmäiset ennustajat Matti Kääriäinen matti.kaariainen@cs.helsinki.fi Exactum C222, 5.-7.11.2008. 1 Tällä viikolla Sisältösuunnitelma: Ennustamisstrategioista Koneoppimismenetelmiä: k-nn (luokittelu

Lisätiedot

TILASTOLLINEN OPPIMINEN

TILASTOLLINEN OPPIMINEN 301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%

Lisätiedot

Binomi Jacob Bernoulli ( ), Bayes ( ) Normaali de Moivre ( ), Laplace ( ), Gauss ( )

Binomi Jacob Bernoulli ( ), Bayes ( ) Normaali de Moivre ( ), Laplace ( ), Gauss ( ) Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli (1654-1705), Bayes (1702-1761) Normaali

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet

S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet Laajuus: 2 ov Opettajat: TkT Aki Vehtari, DI Toni Tamminen Slide 1 Sisältö: Bayesilainen todennäköisyysteoria ja bayesilainen päättely. Bayesilaiset mallit

Lisätiedot

Muuttujien eliminointi

Muuttujien eliminointi 228 Muuttujien eliminointi Toistuvat alilauseet voidaan evaluoida kerran ja niiden arvo talletetaan käytettäväksi aina tarvittaessa Tarkastellaan muuttujien eliminointi -algoritmia lausekkeen P(Murto jussikäy,

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 31.03.2012 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Jukka Kemppainen Mathematics

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)

Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa.

b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. 2.9. Epävarmuus ja odotetun hyödyn teoria Testi. Kumman valitset a) 10 euroa varmasti. b) Arvonnan, jossa 50 % mahdollisuus saada 15 euroa ja 50 % mahdollisuus saada 5 euroa. Odotettu arvo 0,5* 15 + 0,5*5

Lisätiedot

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013

Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Hans Laihia Mika Tuukkanen 1 LASKENNALLISET JA TILASTOLLISET MENETELMÄT Järvitesti Ympäristöteknologia T571SA 7.5.2013 Sarkola Eino JÄRVITESTI Johdanto Järvien kuntoa tutkitaan monenlaisilla eri menetelmillä.

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Approksimatiivinen päättely

Approksimatiivinen päättely 218 Approksimatiivinen päättely Koska tarkka päättely on laskennallisesti vaativaa, niin on syytä tarkastella ratkaisujen approksimointia Approksimointi perustuu satunnaiseen otantaan tunnetusta todennäköisyysjakaumasta

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een

031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een 031021P Tilastomatematiikka (5 op) kertausta 2. vk:een Jukka Kemppainen Mathematics Division 2. välikokeeseen Toinen välikoe on la 5.4.2014 klo. 9.00-12.00 saleissa L1,L3 Koealue: luentojen luvut 7-11

Lisätiedot

Satunnaislukujen generointi

Satunnaislukujen generointi Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Omppukone Oy valmistaa liukuhihnalla muistipiirejä kymmenen piirin sarjoissa. Omppukone arvioi, että keskimäärin

Lisätiedot

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut

9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut 9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t

Lisätiedot

Mitä on bayesilainen päättely?

Mitä on bayesilainen päättely? Metodifestivaali 29.5.2009 Aki Vehtari AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU Lääketieteellisen tekniikan ja laskennallisen tieteen laitos Esityksen sisältö Miksi? Epävarmuuden esittäminen Tietämyksen päivittäminen

Lisätiedot

Luento 10 Kustannushyötyanalyysi

Luento 10 Kustannushyötyanalyysi Luento 10 Kustannushyötyanalyysi Ahti Salo Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto ahti.salo@aalto.fi 1 Päätösanalyysistä Päätöksenteon teoriat Deskriptiiviset

Lisätiedot

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3

OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi. Luento 3 OHJ-7600 Ihminen ja tekniikka -seminaari, 4 op Käyttäjäkokemuksen kvantitatiivinen analyysi Luento 3 Tutkimussuunnitelman rakenne-ehdotus Otsikko 1. Motivaatio/tausta 2. Tutkimusaihe/ -tavoitteet ja kysymykset

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta:

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: RMS22 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 28 Harjoitus 8 Ratkaisuehdotuksia Tehtävissä 1, 2, ja 3 tarkastelemme seuraavaa tilannetta: Pankki harkitsee myöntääkö 5. euron lainan asiakkaalle 12%

Lisätiedot

Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä

Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä 1/17 Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä Esimerkkinä taloudellinen arviointi Jaakko Nevalainen Tampereen yliopisto Metodifestivaalit 2015 2/17 Sisältö 1 Johdanto 2 Tavanomainen bootstrap Bootstrap-menettelyn

Lisätiedot

MCMC-menetelmien ongelmakohtia ja ratkaisuja

MCMC-menetelmien ongelmakohtia ja ratkaisuja MCMC-menetelmien ongelmakohtia ja ratkaisuja Aleksi Saari 72 Lähteet: Mackay: Introduction to Monte Carlo Methods Neal: Suppressing Random Walks in Markov Chain Monte Carlo Using Ordered Overrelaxation

Lisätiedot

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4

3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4 Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ

Lisätiedot

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely

MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia 1. Olkoon herra K.:n hyötyfunktio u(x) = ln x. (a) Onko herra K. riskinkaihtaja, riskinrakastaja vai riskineutraali?

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat

Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat Laskennan vaativuus ja NP-täydelliset ongelmat TRAK-vierailuluento 13.4.2010 Petteri Kaski Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tietojenkäsittelytiede tutkii 1. mitä tehtäviä voidaan

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

Tämän luvun sisältö. Luku 5. Estimointiteorian perusteita. Perusjakaumat 1-ulotteisina (2) Perusjakaumat 1-ulotteisina

Tämän luvun sisältö. Luku 5. Estimointiteorian perusteita. Perusjakaumat 1-ulotteisina (2) Perusjakaumat 1-ulotteisina Tämän luvun sisältö Luku 5. T-6. Datasta tietoon, syksy professori Erkki Oja Tietojenkäsittelytieteen laitos, Aalto-yliopisto.. Luku käydään läpi kahdella luennolla. Perusjakaumat -ulotteisina Yleistys

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Hypoteesin testauksesta Tilastollisessa testauksessa on kyse havainnoista tapahtuvasta päätöksenteosta. Kokeellisen tutkimuksen

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa. Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003

Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa. Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003 Männyn laaturajojen integrointi runkokäyrän ennustamisessa Laura Koskela Tampereen yliopisto 9.6.2003 Johdantoa Pohjoismaisen käytännön mukaan rungot katkaistaan tukeiksi jo metsässä. Katkonnan ohjauksessa

Lisätiedot

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto

Geenikartoitusmenetelmät. Kytkentäanalyysin teoriaa. Suurimman uskottavuuden menetelmä ML (maximum likelihood) Uskottavuusfunktio: koko aineisto Kytkentäanalyysin teoriaa Pyritään selvittämään tiettyyn ominaisuuteen vaikuttavien eenien paikka enomissa Perustavoite: löytää markkerilokus jonka alleelit ja tutkittava ominaisuus (esim. sairaus) periytyvät

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT

STOKASTISET PROSESSIT TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

YLEISKUVA - Kysymykset

YLEISKUVA - Kysymykset INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla

Lisätiedot

2. Arvon ja hyödyn mittaaminen

2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 2. Arvon ja hyödyn mittaaminen 1 2 Arvon ja hyödyn mittaaminen 2.1 Miksi tarvitsemme arvofunktiota? Arvofunktio on preferenssien (mieltymysten) matemaattinen kuvaus. Arvofunktio kuvaa päätöskriteeriä vastaavan

Lisätiedot

Reikä. Säätila. Hammassärky Osuma

Reikä. Säätila. Hammassärky Osuma 190 Nuolen X Y intuitiivinen merkitys on, että X vaikuttaa suoraan Y:hyn Verkon topologia solmut ja nuolet määräävät muuttujien ehdolliset riippumattomuudet Kun topologia on kiinnitetty, pitää vielä määrätä

Lisätiedot

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1

2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto

Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa. Tapio Nummi Tampereen yliopisto Tilastolliset mallit hakkuukoneen katkonnan ohjauksessa Tapio Nummi Tampereen yliopisto Runkokäyrän ennustaminen Jotta runko voitaisiin katkaista optimaalisesti pitäisi koko runko mitata etukäteen. Käytännössä

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa.

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2008. päätöspuiden avulla tarkastellaan vasta seuraavissa harjoituksissa. ORMS00 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 008 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Nämä harjoitukset liittyvät päätöspuiden rakentamiseen: varsinaista päätöksentekoa päätöspuiden avulla tarkastellaan

Lisätiedot

Tilastotieteen johdantokurssin harjoitustyö. 1 Johdanto...2. 2 Aineiston kuvaus...3. 3 Riippuvuustarkastelut...4

Tilastotieteen johdantokurssin harjoitustyö. 1 Johdanto...2. 2 Aineiston kuvaus...3. 3 Riippuvuustarkastelut...4 TILTP1 Tilastotieteen johdantokurssin harjoitustyö Tampereen yliopisto 5.11.2007 Perttu Kaijansinkko (84813) perttu.kaijansinkko@uta.fi Pääaine matematiikka/tilastotiede Tarkastaja Tarja Siren 1 Johdanto...2

Lisätiedot

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:

4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa: Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely. T-61.281 (3 ov) L. Luento 2, 21.1.2003. Luentokalvot: Krista Lagus ja Timo Honkela

Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely. T-61.281 (3 ov) L. Luento 2, 21.1.2003. Luentokalvot: Krista Lagus ja Timo Honkela Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely T-61.281 (3 ov) L Luento 2, 21.1.2003 Luennot: Laskuharjoitukset: Timo Honkela Vesa Siivola Luentokalvot: Krista Lagus ja Timo Honkela 0.1 Laskuharjoitukset

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

Aikasarjamallit. Pekka Hjelt

Aikasarjamallit. Pekka Hjelt Pekka Hjelt Aikasarjamallit Aikasarja koostuu järjestyksessä olevista havainnoista, ja yleensä se on tasavälinen ja diskreetti eli havaintopisteet ovat erillisiä. Lisäksi aikasarjassa on yleensä autokorrelaatiota

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa

Lisätiedot

Automaatiojärjestelmät. Häiriöihin ja onnettomuuksiin liittyy kauaskantoisia seurauksia. Tekniset tuotantojärjestelmät ovat monimutkaistuneet

Automaatiojärjestelmät. Häiriöihin ja onnettomuuksiin liittyy kauaskantoisia seurauksia. Tekniset tuotantojärjestelmät ovat monimutkaistuneet 1. JOHDANTO Päätökset tehdään epävarmuuden vallitessa Tuotantojärjestelmien häiriöt voivat johtaa suuriin taloudellisiin menetyksiin Häiriöihin ja onnettomuuksiin liittyy kauaskantoisia seurauksia Tekniset

Lisätiedot

Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla

Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen. Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla \esitelm\hki0506.ppt 18.5.2006 Tilastotieteellisiä malleja välimatka- ja suhdeasteikollisten preferenssien mittaamiseen Pekka Leskinen ja Tuomo Kainulainen Metla FORS-iltapäiväseminaari 24.5.2006: Operaatiotutkimus

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4

Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 Sisällysluettelo ESIPUHE KIRJAN 1. PAINOKSEEN...3 ESIPUHE KIRJAN 2. PAINOKSEEN...3 SISÄLLYSLUETTELO...4 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN...6 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO...7 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET...9

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Testi suhteelliselle osuudelle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 4: Sisältö Testiä suhteelliselle voidaan käyttää esimerkiksi tilanteessa, jossa tarkastellaan viallisten tuotteiden osuutta tuotantoprosessissa. Tilanne palautuu

Lisätiedot

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi

DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi DBN Mitä sillä tekee? Dynaamisten Bayes-verkkojen määrittely aikasarja-analyysissä Janne Toivola jtoivola@iki.fi Historiaa Bayesin kaavan hyödyntäminen BN-ohjelmistoja ollut ennenkin Tanskalaisten Hugin

Lisätiedot

Optimal Harvesting of Forest Stands

Optimal Harvesting of Forest Stands Optimal Harvesting of Forest Stands (Presentation of the Complete Work) 11 April 2011 Instructor: Janne Kettunen Supervisor: Ahti Salo Tausta Ass. Prof. Janne Kettunen käsittelee osana väitöskirjatyötään

Lisätiedot

BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto. Metodifestivaali

BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto. Metodifestivaali BOOTSTRAPPING? Jukka Nyblom Jyväskylän yliopisto Metodifestivaali 28.5.2009 1 1 Mitä ihmettä on bootstrap? Webster: 1. a loop of leather or cloth sewn at the top rear, or sometimes on each side of a boot

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen I UUSINTATENTTI 4.3.1996

VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen I UUSINTATENTTI 4.3.1996 1 VAASAN YLIOPISTO TALOUSMATEMATIIKKA Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Prof. Ilkka Virtanen I UUSINTATENTTI 4.3.1996 Tehtävä 1. Eräässä diktatuurimaassa on edelleenkin käytössä kuolemanrangaistus

Lisätiedot

Ylikerroinstrategiat ja Poissonmallit vedonlyönnissä (aihe-esittely) Jussi Kolehmainen

Ylikerroinstrategiat ja Poissonmallit vedonlyönnissä (aihe-esittely) Jussi Kolehmainen Ylikerroinstrategiat ja Poissonmallit vedonlyönnissä (aihe-esittely) Jussi Kolehmainen 23.01.2012 Ohjaaja: Jussi Kangaspunta Valvoja: Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla

Lisätiedot

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä! VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun

Lisätiedot

Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti

Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti 16.5.2012/1(6)/tp Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti Pysyvät kuormat ovat riippumattomia, mutta ne yhdistetään nykyisissä rakennesuunnittelunormeissa aina riippuvasti 1. Pysyvä ja

Lisätiedot

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu.

Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Ka6710000 TILASTOLLISEN ANALYYSIN PERUSTEET 2. VÄLIKOE 9.5.2007 / Anssi Tarkiainen Kaavakokoelma, testikaaviot ja jakaumataulukot liitteinä. Ei omia taulukoita! Laskin sallittu. Tehtävä 1. a) Gallupissa

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto

Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Mitä tarvitsee tietää biostatistiikasta ja miksi? Matti Uhari Lastentautien klinikka Oulun yliopisto Tutkimusaineistomme otantoja Hyödyt Ei tarvitse tutkia kaikkia Oikein tehty otanta mahdollistaa yleistämisen

Lisätiedot

Esimerkki - Näkymätön kuu

Esimerkki - Näkymätön kuu Inversio-ongelmat Inversio = käänteinen, päinvastainen Inversio-ongelmilla tarkoitetaan (suoran) ongelman ratkaisua takaperin. Arkipäiväisiä inversio-ongelmia ovat mm. lääketieteellinen röntgentomografia

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS...

Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 2. TODENNÄKÖISYYS... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... 5 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. JOHDANTO TILASTOLLISEEN PÄÄTTELYYN... 8 1.1 INDUKTIO JA DEDUKTIO... 9 1.2 SYYT JA VAIKUTUKSET... 11 TEHTÄVIÄ... 13

Lisätiedot

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti)

ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 2010 Harjoitus 5 (Koetentti) ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus 5 (Koetentti) Ratkaisuehdotuksia. Öljy-Yhtiö Oy on tehnyt herra K.:n maapalasta ostotarjouksen 200kC. Herra K. voi joko myydä maapalan

Lisätiedot