Pikajohdatus bayesilaiseen tilastoanalyysiin ja monimuuttuja-analyysiin

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Pikajohdatus bayesilaiseen tilastoanalyysiin ja monimuuttuja-analyysiin"

Transkriptio

1 ja monimuuttuja-analyysiin Loppuseminaari: Terveydenhuollon uudet analyysimenetelmät (TERANA) Aki Vehtari AB HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Biomedical Engineering and Computational Science

2 Sisältö Gaussiset prosessit ja monimuuttuja-analyysi

3 Miksi bayesilaisia tilastomenetelmiä? Terveydenhuollon ilmiöt kompleksisia - paljon tuntemattomia asioita - useita vaikeasti suoraan mitattavia asioita

4 Miksi bayesilaisia tilastomenetelmiä? Terveydenhuollon ilmiöt kompleksisia - paljon tuntemattomia asioita - useita vaikeasti suoraan mitattavia asioita Bayesilaisen tilastotieteen menetelmät joustavia - johdonmukainen tapa käsitellä kaikki tuntemattomat ja epävarmuudet - mallin kompleksisuus voi riippua ilmiön kompleksisuudesta ja havaintojen epävarmuudesta

5 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Epävarmuus esitetään todennäköisyyksillä Todennäköisyydet päivitetään uuden tiedon avulla

6 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Satunnainen vs. tietämyksellinen epävarmuus Epävarmuus voidaan jakaa Satunnaiseen (aleatoriseen) epävarmuuteen Tietämykselliseen (episteemiseen) epävarmuuteen

7 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Satunnainen vs. tietämyksellinen epävarmuus Epävarmuus voidaan jakaa Satunnaiseen (aleatoriseen) epävarmuuteen - emme voi saada havaintoja, jotka auttaisivat sen epävarmuuden pienentämisessä Tietämykselliseen (episteemiseen) epävarmuuteen

8 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Satunnainen vs. tietämyksellinen epävarmuus Epävarmuus voidaan jakaa Satunnaiseen (aleatoriseen) epävarmuuteen - emme voi saada havaintoja, jotka auttaisivat sen epävarmuuden pienentämisessä Tietämykselliseen (episteemiseen) epävarmuuteen - voimme saada havaintoja jotka auttavat sen epävarmuuden pienentämisessä

9 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Satunnainen vs. tietämyksellinen epävarmuus Epävarmuus voidaan jakaa Satunnaiseen (aleatoriseen) epävarmuuteen - emme voi saada havaintoja, jotka auttaisivat sen epävarmuuden pienentämisessä Tietämykselliseen (episteemiseen) epävarmuuteen - voimme saada havaintoja jotka auttavat sen epävarmuuden pienentämisessä Vertaa kolikko - kahdella tarkastelijalla voi olla eri tietämyksellinen epävarmuus - tietämyksellinen todennäköisyys muuttuu, kun informaatio muuttuu

10 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Esimerkki: Kahdenvärisiä nappuloita pussissa Jos eriväristen nappuloiden määrän suhde tunnettu - epävarmuutta seuraavaksi ilmestyvän nappulan väristä

11 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Esimerkki: Kahdenvärisiä nappuloita pussissa Jos eriväristen nappuloiden määrän suhde tunnettu - epävarmuutta seuraavaksi ilmestyvän nappulan väristä Jos eriväristen nappuloiden määrän suhde tuntematon - lisäksi tietämyksellistä epävarmuutta - tietämyksellinen epävarmuus muuttuu kun nappuloita nostetaan

12 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Esimerkki: Kahdenvärisiä nappuloita pussissa Jos eriväristen nappuloiden määrän suhde tunnettu - epävarmuutta seuraavaksi ilmestyvän nappulan väristä Jos eriväristen nappuloiden määrän suhde tuntematon - lisäksi tietämyksellistä epävarmuutta - tietämyksellinen epävarmuus muuttuu kun nappuloita nostetaan Jos yksittäin noston sijasta aikoisimme kumota koko pussin ja laskea värien määrän suhteen - ei satunnaista epävarmuutta - vain tietämyksellinen epävarmuus pussin sisällöstä

13 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Esimerkki: tautiriski Satunnainen epävarmuus - jos tiedetään riskitaso ja populaatio, kuolemien määrä vaihtelee satunnaisesti

14 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Esimerkki: tautiriski Satunnainen epävarmuus - jos tiedetään riskitaso ja populaatio, kuolemien määrä vaihtelee satunnaisesti Tietämyksellinen epävarmuus - riskitaso jollakin alueella ja ajanjaksona

15 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Esimerkki: tautiriski Satunnainen epävarmuus - jos tiedetään riskitaso ja populaatio, kuolemien määrä vaihtelee satunnaisesti Tietämyksellinen epävarmuus - riskitaso jollakin alueella ja ajanjaksona Havaintoja jotka voivat päivittää tietämyksellistä epävarmuutta - taustapopulaation tiedot - havaitut kuolemat

16 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Epävarmuuksien yhdistäminen? Merkitään - y havaitut nappulat (tai tautitapaukset) - θ nappuloiden suhde (tai tautiriski) - I taustatieto ongelmasta Satunnainen epävarmuus, jos nappuloiden suhde θ tunnettu p(y θ, I) Tietämyksellinen epävarmuus ennen havaintoja p(θ I)

17 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Epävarmuuksien yhdistäminen? Merkitään - y havaitut nappulat (tai tautitapaukset) - θ nappuloiden suhde (tai tautiriski) - I taustatieto ongelmasta Satunnainen epävarmuus, jos nappuloiden suhde θ tunnettu p(y θ, I) Tietämyksellinen epävarmuus ennen havaintoja p(θ I) Kuinka päivittää tietämyksellinen epävarmuus kun nappuloita havaittu? p(θ y, I)?

18 Epävarmuus ja bayesilainen tilastollinen päättely Bayesin kaava Kun valittu p(y θ, I) sekä p(θ I), voidaan laskea Bayesin kaavalla p(θ y, I) = p(y θ, I)p(θ I) p(y θ, I)p(θ I)dθ

19 Bayesilainen tilastollinen päättely Bayesilaisen mallin osat Havaintomalli p(y θ, I) - matemaattinen kuvaus havaintomallille (satunnainen osa) - jos ilmiö tunnettu millä todennäköisyydellä havaittaisiin y tietyllä arvolla - esim. mikä on epävarmuus kuolemien määrästä, jos riskitaso tunnettu esim. Poisson-mallia

20 Bayesilainen tilastollinen päättely Bayesilaisen mallin osat Priori p(θ I) - matemaattinen kuvaus mitä tiedetään θ:sta - tietämyksellinen epävarmuus ennen havaintoja - malli ja priori erottamattomat (kytketty mallin kautta) - esim. lähekkäisten alueiden riskitasot samankaltaiset - esim. gaussinen prosessi tai CAR-priori

21 Bayesilainen tilastollinen päättely Ennusteet Ennusteissa otetaan huomioon posterioriepävarmuus

22 Bayesilainen tilastollinen päättely Ennusteet Ennusteissa otetaan huomioon posterioriepävarmuus esim. nostettu pussista yksi punainen nappula Priori Likelihood / Posteriori p p Nappuloiden suhde Nappuloiden suhde

23 Bayesilainen tilastollinen päättely Ennusteet Ennusteissa otetaan huomioon posterioriepävarmuus esim. nostettu pussista yksi punainen nappula Priori Likelihood / Posteriori p p Nappuloiden suhde Nappuloiden suhde Todennäköisin suhde on 1 seuraava on punainen todennäköisyydellä 1

24 Bayesilainen tilastollinen päättely Ennusteet Ennusteissa otetaan huomioon posterioriepävarmuus esim. nostettu pussista yksi punainen nappula Priori Likelihood / Posteriori p p Nappuloiden suhde Nappuloiden suhde Todennäköisin suhde on 1 seuraava on punainen todennäköisyydellä 1 Huomioidaan epävarmuus seuraava on punainen todennäköisyydellä 2/3

25 Bayesilainen tilastollinen päättely Epävarmuuden huomioiminen ja integrointi Eri suhdevaihtoehtoja painotetaan niiden todennäköisyydellä - eli integroidaan yli suhteen posterioriepävarmuuden Integroimalla epävarmuuksien yli otetaan epävarmuudet johdonmukaisesti huomioon - usein haastava osa menetelmien käyttöä - integrointimenetelmien kehitys osa tutkimustamme

26 Bayesilainen malli Malli - pyrkii ennustamaan ilmiön käyttäytymistä - voidaan käyttää ennustamaan tulevaisuutta - voidaan käyttä lisämään tieteellistä ymmärrystä ilmiöstä Usein yksinkertaistaa todellisuutta - ilmiöstä saadut havainnot rajoitettuja - joidenkin havaittavien suureiden vaikutus voi olla paljon suurempi kuin toisten - yksinkertainenkin malli voi tuottaa hyödyllisiä ennusteita

27 Bayesilainen malli Esimerkki Pudotetaan palloa eri korkeuksilta ja mitataan putoamisaika sekunttikellolla käsivaralla

28 Bayesilainen malli Esimerkki Pudotetaan palloa eri korkeuksilta ja mitataan putoamisaika sekunttikellolla käsivaralla - Newtonin mekaniikka - ilmanvastus, ilmanpaine, pallon muoto, pallon pintarakenne - ilmavirtaukset - suhteellisuusteoria

29 Bayesilainen malli Esimerkki Pudotetaan palloa eri korkeuksilta ja mitataan putoamisaika sekunttikellolla käsivaralla - Newtonin mekaniikka - ilmanvastus, ilmanpaine, pallon muoto, pallon pintarakenne - ilmavirtaukset - suhteellisuusteoria Ottaen huomioon mittaukset, kuinka tarkka malli kannattaa tehdä?

30 Bayesilainen malli Esimerkki Pudotetaan palloa eri korkeuksilta ja mitataan putoamisaika sekunttikellolla käsivaralla - Newtonin mekaniikka - ilmanvastus, ilmanpaine, pallon muoto, pallon pintarakenne - ilmavirtaukset - suhteellisuusteoria Ottaen huomioon mittaukset, kuinka tarkka malli kannattaa tehdä? On olemassa hyvin paljon tilanteita, joissa yksinkertaiset mallit hyödyllisiä ja käytännön kannalta yhtä tarkkoja kuin monimutkaisemmat

31 Monimuuttuja-analyysi Useita mahdollisesti ilmiötä selittäviä muuttujia (havaintotutkimuksissa tilastollinen riippuvuus ei kausaalisuus) - mitkä muuttujista relevantteja? - mikä yhteys ilmiöön? - onko yhteisvaikutuksia?

32 Monimuuttuja-analyysi Mallivaihtoehtoja Usein perinteisesti lineaarimalli (tai kynnystäminen) - jos selittävän muutujan arvo muuttuu, muuttuu kohdemuuttujan arvo lineaarisesti (funktionaalinen muoto fiksattu) - epälineaarisuudet mahdollisia muuttujanmuunnoksillla (funktionaalinen muoto fiksattu) - mahdolliset selittävien muuttujien väliset interaktiot esitetään eksplisiittisesti lisättyinä interaktioina (esim. ikä sukupuoli, interaktio fiksattu)

33 Monimuuttuja-analyysi Mallivaihtoehtoja Usein perinteisesti lineaarimalli (tai kynnystäminen) - jos selittävän muutujan arvo muuttuu, muuttuu kohdemuuttujan arvo lineaarisesti (funktionaalinen muoto fiksattu) - epälineaarisuudet mahdollisia muuttujanmuunnoksillla (funktionaalinen muoto fiksattu) - mahdolliset selittävien muuttujien väliset interaktiot esitetään eksplisiittisesti lisättyinä interaktioina (esim. ikä sukupuoli, interaktio fiksattu) Gaussiset prosessit joustava vaihtoehto - epälineaarisuudet ja interaktiot automaattisesti

34 Gaussinen prosessi Yleistää moniulotteisen normaalijakauman (Gaussin jakauman) Analyysin funktionaalinen muoto ei fiksattu, vaan asettaa priorin erilaisille funktioille (a) Yksiulotteinen normaalijakauma (b) Kaksiulotteinen normaalijakauma (c) Funktioita jotka poimittu gaussisesta prosessista

35 Lineaarimalli Esimerkki lineaarisesta mallista Observations f=x*β * Uncertainty in f Uncertainty in y Y X

36 Lineaarimalli 1) Funktioon f liittyvä epävarmuus 2) Havaintoihin y liittyvä epävarmuus Observations f=x*β * Uncertainty in f Uncertainty in y Y X

37 Epälineaarinen malli? Observations Y X

38 Gaussinen prosessi Funktion f arvot eivät korreloi, jos x arvot kaukana toisistaan Observations Covariance k(x 2,X j ) Y F(X 1 ) X1 X2 X3 X F(X 2 )

39 Gaussinen prosessi Funktion f arvot korrreloivat, jos x arvot lähekkäiset Observations Covariance k(x 2,X j ) Y F(X 3 ) X1 X2 X3 X F(X 2 )

40 Gaussinen prosessi Funktion f arvot korrreloivat, jos x arvot lähekkäiset Observations Covariance k(x 2,X j ) Y F(X 3 ) X1 X2 X3 X F(X 2 ) Korrelaation määrä kuvataan kovarianssifunktiolla

41 Gaussinen prosessi Gaussisen prosessin posterioriodotusarvo sekä funktion ja havaintojen epävarmuus Observations f=gp(x,x obs,y obs,θ) Uncertainty in f Uncertainty in y Y X

42 Gaussinen prosessi Havaintomalli normaalijakauma

43 Gaussinen prosessi Havaintomalli normaalijakauma Priori kertoo, että samankaltaisilla selittävien muuttujien arvoilla havaitaan samankaltaisia arvoja - havainnot korreloivat - voidaan ajatella myös priorina funktioille

44 Gaussinen prosessi Havaintomalli normaalijakauma Priori kertoo, että samankaltaisilla selittävien muuttujien arvoilla havaitaan samankaltaisia arvoja - havainnot korreloivat - voidaan ajatella myös priorina funktioille Posteriori - havainnot lisäävät tietoa - edelleen voi olla epävarmuutta funktion tarkasta muodosta

45 Gaussinen prosessi Havaintomalli normaalijakauma Priori kertoo, että samankaltaisilla selittävien muuttujien arvoilla havaitaan samankaltaisia arvoja - havainnot korreloivat - voidaan ajatella myös priorina funktioille Posteriori - havainnot lisäävät tietoa - edelleen voi olla epävarmuutta funktion tarkasta muodosta Ennusteet - huomioidaan funktion muodon epävarmuus integroimalla

46 GP Ei-gaussiset havaintomallit Ei-gaussiset mallit voidaan muodostaa latenttien muuttujien avulla

47 GP Binomi-malli Havaintoja kahdesta luokasta f Uncertainty in f 1 Observations p(y=1 x,x obs,y obs,θ) Uncertainty in p F 0 Y, p(y) X 0 X

48 GP Poisson-malli Lukumäärähavaintoja (esim. tautitapauksia) f Uncertainty in f 20 Observations µ=α exp(f) Uncertainty in µ F 0 Y 10 X 0 X

49 GP Poisson-malli Lukumäärähavaintoja (esim. tautitapauksia) f Uncertainty in f 20 Observations µ=α exp(f) Uncertainty in µ Uncertainty in y F 0 Y 10 X 0 X

50 Rakenteellinen informaatio Gaussista prosessia, voidaan käyttää osana hierarkisia ja rakenteellisia malleja - esim. tiedon yhdistäminen eri tasoilta kuten potilas, ruutu, kunta, sairaanhoitopiiri, jne.

51 Gaussinen prosessi ja monimuuttuja-analyysi Kovarianssifunktio kertoo monenkin muuttujan tapauksessa kuinka samankaltaisia eri muuttujan arvoja saavat alkiot ovat - monen muuttujan epälineaarisuudet - monen muuttujan väliset interaktiot - esimerkkejä tulevissa esityksissä: - spatiaaliset ja spatiotemporaaliset mallit - rekisterianalyysi

52 Gaussisten prosessien käytön haasteet Havaintopisteiden kasvaessa ongelmana laskennallinen raskaus projektissa on kehitetty laskentaa nopeuttavia approksimatiivisia kovarianssifunktioita integrointimenetelmiä Kompleksisiin ilmiöihin tarvitaan joustavia malleja projektissa on kehitetty joustavia kovarianssimalleja mallien arviointimenetelmiä

53 Monimuuttuja-analyysin haasteet Kompleksisiin ilmiöihin tarvitaan joustavia malleja projektissa käytetty gaussisia prosesseja Kompleksisen ilmiön esittäminen selkeästi vaativaa projektissa kehitetty menetelmiä arvioimaan muuttujien relevanssia arvioimaan muuttujien poisjättämisen vaikutus visualisointiin aliryhmien löytämiseen

54 Yhteenveto Suosittelemme bayesilaista tilastoanalyysia - käsittelee epävarmuudet johdonmukaisesti - mahdollistaa joustavien mallien turvallisemman käytön

55 Yhteenveto Suosittelemme bayesilaista tilastoanalyysia - käsittelee epävarmuudet johdonmukaisesti - mahdollistaa joustavien mallien turvallisemman käytön Suosittelemme gaussista prosessia monimuuttuja-analyysiin - mahdollistaa joustavan mallintamisen - menetelmäkehityksemme pääkohde, mutta muitakin erinomaisia joustavia bayesilaisia malleja on olemassa

Mitä on bayesilainen päättely?

Mitä on bayesilainen päättely? Metodifestivaali 29.5.2009 Aki Vehtari AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU Lääketieteellisen tekniikan ja laskennallisen tieteen laitos Esityksen sisältö Miksi? Epävarmuuden esittäminen Tietämyksen päivittäminen

Lisätiedot

Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely)

Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Ohjaaja: TkT Aki Vehtari Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Kandidaattiseminaari 21 1.11.21 Esityksen rakenne Tausta Derivaattahavaintojen

Lisätiedot

Bayesilaisen mallintamisen perusteet kurssin sisältö

Bayesilaisen mallintamisen perusteet kurssin sisältö S-114.2601 Bayesilaisen mallintamisen perusteet Laajuus: 5 op, L Opettajat: Dos. TkT Aki Vehtari, DI Jarno Vanhatalo Slide 1 Sisältö: Bayesilainen todennäköisyysteoria ja bayesilainen päättely. Bayesilaiset

Lisätiedot

- voidaan käyttä lisämään tieteellistä ymmärrystä ilmiöstä. - joidenkin havaittavien suureiden vaikutus voi olla paljon suurempi kuin toisten

- voidaan käyttä lisämään tieteellistä ymmärrystä ilmiöstä. - joidenkin havaittavien suureiden vaikutus voi olla paljon suurempi kuin toisten Viime kerralla Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli Exponentiaalinen malli Slide 1 Cauchy-jakauma Ei-informatiivisista priorijakaumista Bayesilaisen

Lisätiedot

Luento 2. Yksiparametrisia malleja. Binomi-malli. Posteriorijakauman esittämisestä. Informatiivisista priorijakaumista. Konjugaattipriori.

Luento 2. Yksiparametrisia malleja. Binomi-malli. Posteriorijakauman esittämisestä. Informatiivisista priorijakaumista. Konjugaattipriori. Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli (1654-1705), Bayes (1702-1761) Normaali

Lisätiedot

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu

P(X = x T (X ) = t, θ) = p(x = x T (X ) = t) ei riipu tuntemattomasta θ:sta. Silloin uskottavuusfunktio faktorisoituu 1. Tyhjentävä tunnusluku (sucient statistics ) Olkoon (P(X = x θ) : θ Θ) todennäköisyysmalli havainnolle X. Datan funktio T (X ) on Tyhjentävä tunnusluku jos ehdollinen todennäköisyys (ehdollinen tiheysfunktio)

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot

Rekisteriaineistojen monimuuttuja-analyysi

Rekisteriaineistojen monimuuttuja-analyysi Loppuseminaari: Terveydenhuollon uudet analyysimenetelmät (TERANA) Jaakko Riihimäki AB HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Biomedical Engineering and Computational Science 1.4.2009 Lonkkamurtumarekisteri

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet

S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet S-114.600 Bayesilaisen mallintamisen perusteet Laajuus: 2 ov Opettajat: TkT Aki Vehtari, DI Toni Tamminen Slide 1 Sisältö: Bayesilainen todennäköisyysteoria ja bayesilainen päättely. Bayesilaiset mallit

Lisätiedot

9. Tila-avaruusmallit

9. Tila-avaruusmallit 9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

1. Tilastollinen malli??

1. Tilastollinen malli?? 1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Tärkeiden selittävien tekijöiden ja ryhmien etsintä potilasrekistereistä

Tärkeiden selittävien tekijöiden ja ryhmien etsintä potilasrekistereistä Tärkeiden selittävien tekijöiden ja ryhmien etsintä potilasrekistereistä Loppuseminaari: Terveydenhuollon uudet analyysimenetelmät (TERANA) Elina Parviainen AB HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory

Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory Bayesilainen päätöksenteko / Bayesian decision theory Todennäköisyysteoria voidaan perustella ilman päätösteoriaa, mutta vasta päätösteorian avulla siitä on oikeasti hyötyä Todennäköisyyteoriassa tavoitteena

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1

Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1 Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on

l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka

Lisätiedot

Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä

Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Bayes-mallinnus siltana teorian ja empiirisen evidenssin välillä Antti Penttinen Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Metodifestivaalit Jyväskylän yliopisto 21.5.2013 Suunnitelma

Lisätiedot

Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely)

Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely) Cubature Integration Methods in Non-Linear Kalman Filtering and Smoothing (valmiin työn esittely) Ohjaaja: Valvoja: TkT Simo Särkkä Prof. Harri Ehtamo 13.9.2010 Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu

Lisätiedot

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI 1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

Binomi Jacob Bernoulli ( ), Bayes ( ) Normaali de Moivre ( ), Laplace ( ), Gauss ( )

Binomi Jacob Bernoulli ( ), Bayes ( ) Normaali de Moivre ( ), Laplace ( ), Gauss ( ) Luento 2 Binomi-malli Posteriorijakauman esittämisestä Informatiivisista priorijakaumista Konjugaattipriori Slide 1 Yksiparametrisia malleja Binomi Jacob Bernoulli (1654-1705), Bayes (1702-1761) Normaali

Lisätiedot

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI

1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI 1. TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN ESTIMOINTI Edellä esitelty Bayesiläinen luokittelusääntö ( Bayes Decision Theory ) on optimaalinen tapa suorittaa luokittelu, kun luokkien tnjakaumat tunnetaan Käytännössä tnjakaumia

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

Bayesiläinen tilastollinen vaihtelu

Bayesiläinen tilastollinen vaihtelu Bayesiläinen tilastollinen vaihtelu Janne Pitkäniemi FT, dos. (biometria), joht. til. tiet Suomen Syöpärekisteri Hjelt-instituutti /Helsingin yliopisto Periaatteet Tilastollinen vaihtelu koskee perusjoukon

Lisätiedot

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)

MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Mallin arviointi ja valinta. Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL

Mallin arviointi ja valinta. Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL Mallin arviointi ja valinta Ennustevirhe otoksen sisällä, parametrimäärän valinta, AIC, BIC ja MDL Sisältö Otoksen ennustevirheen estimointi AIC - Akaiken informaatiokriteeri mallin valintaan Parametrimäärän

Lisätiedot

Periodiset kovarianssifunktiot gaussisissa prosesseissa

Periodiset kovarianssifunktiot gaussisissa prosesseissa TEKNILLINEN KORKEAKOULU Informaatio- ja luonnontieteiden tiedekunta Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt Periodiset kovarianssifunktiot gaussisissa prosesseissa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä:

Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: 4. Tyhjentyvyys Tässä luvussa mietimme, kuinka paljon aineistossa on tarpeellista tietoa Sivuamme kysymyksiä: Voidaanko päätelmät perustaa johonkin tunnuslukuun t = t(y) koko aineiston y sijasta? Mitä

Lisätiedot

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE

OPETUSSUUNNITELMALOMAKE OPETUSSUUNNITELMALOMAKE Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit siis dokumentoida

Lisätiedot

exp p(y θ) = 1 2πσ θ)2 2σ 2(y y N(θ, σ 2 ) Luento 3 Normaalijakauma (Gaussian) Normaalijakauma tunnetulla varianssilla

exp p(y θ) = 1 2πσ θ)2 2σ 2(y y N(θ, σ 2 ) Luento 3 Normaalijakauma (Gaussian) Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Luento 3 Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-malli Exponentiaalinen malli Slide 1 Cauchy-jakauma Lisää konjugaattiprioreista Ei-informatiivisista priorijakaumista

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op

805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30.

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia. Pertti Palo. 30. FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa Luentokuulustelujen esimerkkivastauksia Pertti Palo 30. marraskuuta 2012 Saatteeksi Näiden vastausten ei ole tarkoitus olla malleja vaan esimerkkejä.

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu

MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu 10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2

Lisätiedot

p(θ 1 y) on marginaalijakauma p(θ 1 θ 2, y) on ehdollinen posteriorijakauma Viime kerralla Termejä viime kerralta Marginalisointi Marginaalijakauma

p(θ 1 y) on marginaalijakauma p(θ 1 θ 2, y) on ehdollinen posteriorijakauma Viime kerralla Termejä viime kerralta Marginalisointi Marginaalijakauma Viime kerralla Marginalisointi Marginaalijakauma Posteriorijakauman faktorointi Ehdollinen posteriorijakauma Slide 1 Posteriorijakaumasta simulointi Normaalijakauma - tuntematon keskiarvo ja varianssi

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1)

P (A)P (B A). P (B) P (A B) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (B = 1) P (A = 1)P (B = 1 A = 1) P (B = 1) Harjoitustehtäviä (erä 1) 1 1. Käytetään yksinkertaisesti Bayesin kaavaa: P (A B) = P (A)P (B A). P (B) Tapauksessa B = 1 saadaan P (A = 0 B = 1) = P (A = 1 B = 1) = P (A = 0)P (B = 1 A = 0) P (A = 1)P

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 9. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 9. luento Pertti Palo 22.11.2012 Käytännön asioita Eihän kukaan paikallaolijoista tee 3 op kurssia? 2. seminaarin ilmoittautuminen. 2. harjoitustyön

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Luento 8. June 3, 2014

Luento 8. June 3, 2014 June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen

Lisätiedot

exp Luento 3 Normaalijakauma (Gaussian) Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli

exp Luento 3 Normaalijakauma (Gaussian) Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli Luento 3 Normaalijakauma tunnetulla varianssilla Normaalijakauma tunnetulla keskiarvolla Poisson-mallli Exponentiaalinen malli Slide Cauchy-jakauma Ei-informatiivisista priorijakaumista *-merkatut kalvot

Lisätiedot

Mallipohjainen klusterointi

Mallipohjainen klusterointi Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä

Lisätiedot

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit

Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.

Lisätiedot

Tilastotieteen aihehakemisto

Tilastotieteen aihehakemisto Tilastotieteen aihehakemisto hakusana ARIMA ARMA autokorrelaatio autokovarianssi autoregressiivinen malli Bayes-verkot, alkeet TILS350 Bayes-tilastotiede 2 Bayes-verkot, kausaalitulkinta bootstrap, alkeet

Lisätiedot

Laskennallinen data-analyysi II

Laskennallinen data-analyysi II Laskennallinen data-analyysi II Patrik Hoyer Epävarmuuden mallintaminen 16 17.4.2008 LDA II, osa 3: epävarmuuden mallintaminen Luennot (16.4 ja 17.4) - ongelma, menetelmät, esimerkkejä (kalvot verkossa

Lisätiedot

Posteriorijakauman normaalijakauma-approksimaatio. Usein posteriorijakauma lähestyy normaalijakaumaa kun n

Posteriorijakauman normaalijakauma-approksimaatio. Usein posteriorijakauma lähestyy normaalijakaumaa kun n Luento 5 Päättely suurten otosten tapauksessa, n - normaalijakauma-approksimaatio - suurten otosten teoria - asymptoottinen normaalius ja konsistenttisuus - vastaesimerkkejä Slide 1 Bayesilaisen päättelyn

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

TILASTOLLINEN OPPIMINEN

TILASTOLLINEN OPPIMINEN 301 TILASTOLLINEN OPPIMINEN Salmiakki- ja hedelmämakeisia on pakattu samanlaisiin käärepapereihin suurissa säkeissä, joissa on seuraavat sekoitussuhteet h 1 : 100% salmiakkia h 2 : 75% salmiakkia + 25%

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 8 Pe 21.2. 08:15-10:00 2 L 304 9 To 27.2. 12:15-14:00 3 L 304 9 Pe 28.2. 08:15-10:00 4 L 304 10 Ke 5.3.

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Ryhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof.

Ryhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof. Ryhmäfaktorianalyysi neurotiedesovelluksissa (Valmiin työn esittely) Sami Remes 11.06.2012 Ohjaaja: TkT Arto Klami Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN LUENTO 4.

JOHDATUS TEKOÄLYYN LUENTO 4. 2009 CBS INTERACTIVE JOHDATUS TEKOÄLYYN LUENTO 4. TODENNÄKÖISYYSMALLINNUS II: BAYESIN KAAVA TEEMU ROOS Marvin Minsky Father of Artificial Intelligence, 1927 2016 PINGVIINI(tweety) :- true. Wulffmorgenthaler

Lisätiedot

Diskriminanttianalyysi I

Diskriminanttianalyysi I Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

2. Uskottavuus ja informaatio

2. Uskottavuus ja informaatio 2. Uskottavuus ja informaatio Aluksi käsittelemme uskottavuus- ja log-uskottavuusfunktioita Seuraavaksi esittelemme suurimman uskottavuuden estimointimenetelmän Ensi viikolla perehdymme aiheeseen lisääkö

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely

T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:

Lisätiedot

Kopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011

Kopulafunktiot. Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Kopulafunktiot Joonas Ollila 12. lokakuuta 2011 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään. Kopula-sanan alkuperä Kopula tarkoittaa

Lisätiedot

Riskinarviointi osana toiminnan suunnittelua

Riskinarviointi osana toiminnan suunnittelua Finas-päivä 26.1.2017 Akkreditointi ja tulevaisuus Riskinarviointi osana toiminnan suunnittelua Tutkimusjohtaja Riskinarviointi osana toiminnan suunnittelua 1. Riskinarviointi prosessina 2. Riskienarvioinnin

Lisätiedot

Bayesläiset tilastolliset mallit

Bayesläiset tilastolliset mallit Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas LUENNOT 2017 Luento Paikka Vko Päivä Pvm Klo 1 L 304 3 To 19.1.2016 12:15-14:00 2 MaA 103 3 Pe 20.1.2016 10:15-12:00 3 MaA 103 4 Ke

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1

T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:

Lisätiedot