MITÄ MUUAN HENKILÖ VASTAA TÄHÄN MIELETTÖMÄN PUOLESTA

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MITÄ MUUAN HENKILÖ VASTAA TÄHÄN MIELETTÖMÄN PUOLESTA"

Transkriptio

1 Proslogionin liitteet: Mielettömän puolesta ja Anselmin Vastaus Suomennos Toivo Holopainen MITÄ MUUAN HENKILÖ VASTAA TÄHÄN MIELETTÖMÄN PUOLESTA [1.] Jos joku epäilee, onko olemassa jokin luonto mitä suurempaa ei voi ajatella, tai jopa kieltää sen olemassaolon, se sanotaan todistettavan seuraavalla tavalla. Ensinnäkin tällä kieltäjällä tai epäilijällä itsellään on tuo asia jo ymmärryksessään, koska kun hän kuulee puhuttavan siitä, hän ymmärtää mitä sanotaan. Sitten väitetään, että on välttämätöntä, että se, minkä hän ymmärtää, ei ole olemassa vain ymmärryksessä vaan myös todellisuudessa. Tämä todistetaan seuraavasti. On suurempaa olla olemassa myös todellisuudessa eikä pelkästään vain ymmärryksessä. Siis jos tuo asia on olemassa vain ymmärryksessä, mikä tahansa myös todellisuudessa oleva on sitä suurempi, ja tällä tavalla kaikkia suurempi on jotain muuta pienempi, eikä se siten ole kaikkia suurempi. Tämä on kaiketi ristiriita, joten on välttämätöntä, että kaikkia suurempi, jonka on jo todistettu olevan ymmärryksessä, ei ole pelkästään ymmärryksessä vaan myös todellisuudessa, koska muuten se ei voisi olla kaikkia suurempi. Kieltäjä tai epäilijä voisi ehkä vastata seuraavasti. [2.] Tämän asian sanotaan jo olevan ymmärryksessäni pelkästään sillä perusteella, että ymmärrän, mitä sanotaan. Kysyn, enkö samalla tavalla voisi sanoa minkä tahansa epätosien ja sinänsä täysin olemattomien asioiden olevan ymmärryksessäni, koska kun joku puhuu jostain tällaisista, mistä hän sitten puhuukin, minä ymmärtäisin. Vai onko ehkä selvää, että kysymys on sellaisesta asiasta, joka ei voi olla ajattelussa sillä lailla kuin myös epätodet tai epävarmat asiat ovat, ja sen takia en sano ajattelevani tätä asiaa tai sen olevan ajattelussani vaan ymmärtäväni tai sen olevan ymmärryksessäni, koska en näet voisi ajatella sitä muuten kuin ymmärtäen, eli tietämällä käsittäen, että se on todella olemassa? Mutta jos on tällä tavalla, ensiksikin tässä se, että asia on ymmärryksessä, ei ole yksi ajallisesti aikaisempi asia, ja se, että asian ymmärretään olevan olemassa, toinen ajallisesti myöhäisempi asia, niin kuin on kuvan tapauksessa, joka on ensin maalarin sielussa ja sitten toteutettuna. Sitä paitsi on tuskin ollenkaan uskottavaa, että kun se sanotaan ja kuullaan, sitä ei voisi ajatella olemattomaksi sillä tavalla kuin jopa Jumala voi olla olematta. Jos sitä ei näet voisi ajatella olemattomaksi, miksi ryhdytään tällaiseen väittelyyn henkilöä vastaan, joka kieltää, että sellainen luonto on olemassa, tai epäilee sitä? Lopuksi väite, että se olisi sellainen, että kun sitä vain ajatellaan, sitä ei voi käsittää muulla tavalla kuin sen epäilyksettömän olemassaolon varmasti ymmärtäen, on todistettava minulle jollakin kiistattomalla argumentilla. Että se on jo 1

2 Proslogionin liitteet: Mielettömän puolesta ymmärryksessäni, kun ymmärrän kuulemani, ei käy perusteluksi. Olen näet yhä sitä mieltä, että ymmärryksessäni voi samalla tavalla olla mitä tahansa muita epävarmoja tai epätosiakin asioita, kun joku puhuu niistä ja minä ymmärrän hänen sanansa, ja vielä enemmän siinä tapauksessa, että erehtyisin uskomaan niiden olemassaoloon, niin kuin usein tapahtuu (mitä en vielä usko tuosta asiasta). [3.] Niinpä myöskään esimerkki, joka koskee maalaria ja kuvaa, jonka tämä aikoo tehdä ja joka on tällä jo mielessään, ei riittävällä tavalla sovi yhteen tämän argumentin kanssa. Nimittäin ennen kuin kuva tehdään, se on maalarin taidossa, ja sellainen, mikä on käsityöläisen taidossa, ei ole mitään muuta kuin osa hänen ymmärrystään. Niin kuin pyhä Augustinus sanoo (Tract. in Joh. I, n. 16): Sepällä, joka aikoo tehdä arkun, on se ensin taidossaan. Arkku, joka tehdään, ei ole elävä. Arkku, joka on taidossa, on elävä, koska tekijän sielu, jossa kaikki tuollaiset ovat ennen toteuttamistaan, on elävä. Millä tavalla nuo tuollaiset ovat elävinä tekijän elävässä sielussa, elleivät sen takia, että ne ovat vain jokin tuolla sielulla oleva tieto tai ymmärrys? Kuitenkin lukuun ottamatta näitä asioita, jotka tiedetään mielen itsensä luontoon kuuluviksi, kun ymmärrys käsittää todeksi mitä tahansa kuulemaansa tai ajattelemaansa, ovat tuo tosi asia ja sen tajuava ymmärrys epäilemättä toisistaan erillisiä. Siten vaikka olisi totta, että on olemassa jokin, mitä suurempaa ei voi ajatella, ei tämä kuitenkaan kuultuna tai ymmärrettynä ole sellainen kuin maalarin ymmärryksessä oleva vielä tekemätön kuva. [4.] Tähän tulee lisäksi se, mihin edellä jo viitattiin. Tuo kaikkia ajateltavissa olevia suurempi, josta sanotaan, että se ei voi olla mikään muu kuin Jumala itse, on sellainen, että en kuullessani pysty ajattelemaan sitä (tai pitämään sitä ymmärryksessäni) minkään minulle lajinsa tai sukunsa puolesta tutun asian perusteella yhtään sen kummemmin kuin pystyn ajattelemaan Jumalaakaan tällä tavalla (ja kaiketi tästä syystä pystyn jopa ajattelemaan, että häntä ei ole). En nimittäin tunne tuota asiaa itseään, enkä voi päätellä sitä jonkin toisen samanlaisen asian avulla, koskapa itsekin väität sen olevan sellainen, ettei voi olla mitään sen kaltaista. Nimittäin kun kuulen kerrottavan jostain ihmisestä, joka on minulle kokonaan tuntematon, niin ettei minulla ole ollut tietoa edes hänen olemassaolostaan, pystyn ajattelemaan häntä asian mukaan, ihmisenä, sen lajia ja sukua koskevan tiedon perusteella, jonka ansiosta tiedän, mitä ihminen tai ihmiset ovat. Voi kuitenkin sattua niin, että kertoja valehtelee eikä tuota ajattelemaani ihmistä ole olemassa. Silti ajattelisin häntä jonkin sellaisen avulla, mikä on totta, koska en ajattelisi häntä sen mukaan kuin hän on tuo ihminen vaan sen mukaan kuin hän on kuka tahansa ihminen. Tuo ihminen on ajattelussani tai ymmärryksessäni jonakin epätotena, mutta kun kuulen sanottavan Jumala tai jokin kaikkia suurempi, se ei 2

3 Proslogionin liitteet: Mielettömän puolesta siis voi olla ajattelussani tai ymmärryksessäni tuolla tavalla. Pystyn näet ajattelemaan tuota edellä käsiteltyä jonkin sinänsä toden minulle tutun asian avulla, mutta tätä en pysty ajattelemaan muuten kuin ilmauksen perusteella. Pelkästään ilmauksen perusteella taas tuskin koskaan voidaan ajatella mitään totta. Kun näet ajatellaan tällä tavalla, ei niinkään ajatella itse ilmausta (joka on sinänsä tosi asia, nimittäin kirjainten tai tavujen ääni) vaan ajatellaan kuullun ilmauksen merkitystä. Sitä ei kuitenkaan ajatella sillä tavalla kuin ajattelee henkilö, joka tuntee asian, jota tuolla ilmauksella on tapana tarkoittaa, jolloin sitä nimittäin ajatellaan asian mukaan (joka on tosi ainakin ajattelussa), vaan siten kuin ajattelee henkilö, joka ei tunne asiaa ja ajattelee sitä pelkästään sen sielun liikahduksen perusteella, jonka tuon ilmauksen kuuleminen saa aikaan, ja yrittää muodostaa itselleen käsityksen tuon havaitsemansa ilmauksen merkityksestä. On ihme, jos tällä tavalla koskaan käsitetään totuus asiasta. Tällä tavalla, eikä millään olennaisesti muulla, on siis tähän mennessä ymmärryksessäni jokin kaikkia ajateltavissa olevia suurempi, kun kuulen ja ymmärrän jonkun sanovan, että on jokin sellainen. Tämä väitteestä, että tuon korkeimman luonnon sanotaan jo olevan ymmärryksessäni. [5.] Että sen on välttämätöntä olla olemassa myös todellisuudessa, todistetaan minulle sillä perusteella, että jos se ei olisi olemassa todellisuudessa, mikä tahansa todellisuudessa oleva olisi sitä suurempi. Siten se, minkä on jo todistettu olevan olemassa ainakin ymmärryksessä, ei olisi kaikkia suurempi. Tähän vastaan seuraavasti. Jos sellaista, mitä ei ole mahdollista edes ajatella minkään asian totuuden mukaan, voi sanoa ymmärryksessä olevaksi, en kiellä tämän asian olevan ymmärryksessäni sillä lailla. Mutta koska tällä perusteella ei millään tavalla voida näyttää toteen olemassaoloa myös todellisuudessa, en vielä ollenkaan myönnä sen olevan olemassa todellisuudessa, ennen kuin se todistetaan minulle kiistattomalla argumentilla. Se, joka sanoo, että kaikkia suurempi on olemassa, koska muuten se ei olisi kaikkia suurempi, ei kiinnitä riittävästi huomiota siihen, kenelle hän puhuu. En nimittäin vielä hyväksy väitettä, että tuo suurempi on jollain todellisella tavalla, vaan päinvastoin kiellän sen tai epäilen sitä, enkä myönnä sille minkään muunlaista olemassaoloa kuin on asialla, joka on kokonaan tuntematon ja josta sielu yrittää muodostaa itselleen käsityksen pelkästään kuullun ilmauksen perusteella (jos tätä nyt voi sanoa olemassaoloksi). Miten siis tämän avulla voitaisiin todistaa minulle, että tuo suurempi on asian totuuden mukaan itsenäisesti oleva, koska pitää paikkansa, että se on kaikkia suurempi? Minä nimittäin yhä kiellän tuon asian paikkansapitävyyden (tai epäilen sitä) jopa siinä määrin, että en halua sanoa tuon suuremman olevan ymmärryksessäni tai ajattelussani edes sillä tavalla, millä monet epäilyksenalaiset ja epävarmat asiat ovat siinä. Välttämättä minulle on ensin tehtävä 3

4 Proslogionin liitteet: Mielettömän puolesta varmaksi, että tuo suurempi on jossain todella olemassa, ja sitten vihdoin sillä perusteella, että on jokin kaikkia suurempi, tulee selväksi, että tämä sinänsäkin on itsenäisesti oleva (subsistere). [6.] Esimerkki: Kerrotaan, että jossain valtamerellä on saari, jota jotkut sanovat kadotetuksi siitä syystä, että sitä ei-olemassa-olevana on niin vaikea, oikeastaan mahdoton löytää. Sen kerrotaan olevan ylivertainen kaikenlaisten rikkauksien ja nautintojen äärettömässä runsaudessa, joita on siellä paljon enemmän kuin mitä onnellisten saarilla sanotaan olevan. Saarella ei ole ketään haltijaa tai asukasta, mutta käytettäväksi tarjoutuvien asioiden ylenpalttisuudessa se on joka tavalla kaikkia muita ihmisten asuttamia maita parempi. Joku kertoo minulle, että asia on tällä tavalla, ja minun on helppo ymmärtää, mitä sanotaan, koska siihen ei sisälly mitään hankaluutta. Jos tämä henkilö sitten sanoisi tai lisäisi ikään kuin johtopäätöksenä: Et voi enää epäillä, ettei tämä saari, joka on kaikkia maita parempi, olisi todellisuudessa olemassa jossain paikassa. Et kiistä sen olevan ymmärryksessäsi, ja on parempi olla olemassa paitsi ymmärryksessä myös todellisuudessa. Siten tämän saaren on siis välttämätöntä olla olemassa, koska jos se ei olisi olemassa, mikä tahansa todellisuudessa olemassa oleva maa olisi sitä parempi. Silloin se, minkä jo olet ymmärtänyt paremmaksi, ei olisi parempi. Jos hän haluaisi todistaa tällä tavalla, että tuon saaren todellista olemassaoloa ei enää tule epäillä, varmaan uskoisin hänen laskevan leikkiä. Muussa tapauksessa en tiedä, kumpaa minun olisi pidettävä typerämpänä: itseänikö, jos suostun myöntymään hänen perusteluunsa, vai häntä, jos hän olettaa todistaneensa tuon saaren olemassaolon jollain varmuudella? (Ellei hän ensin osoita, että tuon saaren erinomaisuus on ymmärryksessäni niin kuin vain todella ja epäilyksettä olemassa oleva asia, eikä ollenkaan niin kuin jokin epätosi tai epävarma asia.) [7.] Näin mieletön siis voisi tässä vaiheessa vastata siihen, mitä on esitetty. Kun hänelle tämän jälkeen väitetään, että tuo suurempi on sellainen, että se ei voi olla olematta edes ajattelun tasolla, eikä tätä todisteta millään muulla perusteella kuin sillä, että muuten se ei olisi kaikkia suurempi, hän voi viitata tuohon vastaukseensa ja sanoa: Milloin minä olen sanonut, että jokin tuollainen, siis kaikkia suurempi, on olemassa asian totuuden mukaan niin että minulle voisi sillä perusteella todistaa, että se on niin todellisesti olemassa, että sitä ei voi edes ajatella olemattomaksi. Siksi ensiksi tulee todistaa jollain erittäin varmalla argumentilla, että jokin kaikkia olevia ylempi luonto eli niitä suurempi ja parempi luonto on olemassa, niin että tämän perusteella sitten voisimme todistaa myös kaiken sen muun, mistä pitää ajatella, että korkeampi ja parempi ei voi olla sitä vailla. Mutta kun sanotaan, että ei ole mahdollista ajatella, että tämä korkein ei ole olemassa, ehkä olisi parempi sanoa, että ei 4

5 Proslogionin liitteet: Mielettömän puolesta ole mahdollista ymmärtää, että se ei ole tai että se edes voisi olla olematta. Sanan ymmärtää ominaisluonteeseen nimittäin kuuluu, että epätosia asioita ei voi ymmärtää, ja ajatella niitä voi ainakin sillä tavalla, jolla mieletön on ajatellut, että Jumalaa ei ole. Tiedän myös mitä varmimmin, että olen olemassa, ja yhtä kaikki tiedän, että voisin olla olematta. Ymmärrän ilman epäilyksen häivää, että korkein mikä on, eli Jumala, sekä on olemassa että ei voi olla olematta. En tiedä, pystynkö ajattelemaan, että minua ei ole, kun mitä varmimmin tiedän olevani olemassa. Mutta jos pystyn tähän, miksi en pystyisi ajattelemaan olemattomaksi mitä tahansa muuta samalla varmuudella tietämääni? Jos taas en pysty, mainittu seikka ei ole vain Jumalalle ominainen. [8.] Muu tähän pieneen kirjaan sisältyvä on esitetty niin totuudenmukaisesti, loistavasti ja suurenmoisesti, on niin täynnä hyödyllisyyttä ja huokuu hurskaan ja pyhän mielialan sisintä tuoksua, ettei sitä millään lailla pidä väheksyä teoksen alkuosassa olevan takia, joka kylläkin on mielletty oikein mutta perusteltu vähemmän kestävästi. Pikemminkin tuo alussa oleva on perusteltava vankemmin, niin että kaikki voidaan ottaa vastaan aivan valtavalla kiitoksella ja kunnioituksella. MITÄ KIRJAN KIRJOITTAJA TÄHÄN VASTAA Koska minua ei tässä moiti se mieletön, jota vastaan puhuin pienessä kirjassani, vaan joku eimieletön ja katolinen mielettömän puolesta, riittänee, että vastaan katoliselle. [1.] Sinä väität (kuka oletkin, joka sanot, että mieletön kykenisi esittämään jotain tällaista), että jokin mitä suurempaa ei voi ajatella ei ole ymmärryksessä millään muulla tavalla kuin jonakin, mitä ei ole mahdollista edes ajatella jonkin asian totuuden mukaan (vrt. Mielettömän puolesta 5). Väität myös, että sen mitä suurempaa ei voi ajatella olemassaolo ei seuraa sen ymmärryksessä olemisesta yhtään pätevämmin kuin kadotetun saaren varma olemassaolo seuraa siitä, että kuulija ei sanallisen kuvauksen saatuaan epäile sen olemista omassa ymmärryksessään (vrt. Mielettömän puolesta 6). Minä taas väitän, että jos sitä mitä suurempaa ei voi ajatella ei ymmärretä eikä ajatella eikä se ole ymmärryksessä eikä ajattelussa, niin todellakin joko Jumala ei ole se mitä suurempaa ei voi ajatella tai Jumalaa ei ymmärretä eikä ajatella eikä hän ole ymmärryksessä eikä ajattelussa. Käytän uskoasi ja omaatuntoasi vahvimpana argumenttinani sen puolesta, että asia ei ollenkaan ole tällä tavalla. Siis se mitä suurempaa ei voi ajatella todella ymmärretään ja sitä ajatellaan ja se on ymmärryksessä ja ajattelussa. Siten joko ne väitteet, joita esität tätä vastaan, eivät ole tosia, tai niistä ei seuraa se, mitä mielestäsi johdonmukaisesti niistä päättelet. 5

6 Edelleen sinun käsityksesi mukaan siitä, että jokin mitä suurempaa ei voi ajatella ymmärretään, ei seuraa, että se on ymmärryksessä. Eikä siitä, että se on ymmärryksessä, mielestäsi seuraa, että se on todellisuudessa. Minä sanon varmasti, että jos sen voidaan edes ajatella olevan, sen on välttämätöntä olla olemassa. Nimittäin sen, mitä suurempaa ei voi ajatella, ei voi ajatella olevan muuten kuin ilman alkua. Näet kaiken sellaisen, minkä voi ajatella olevan olemassa mutta mikä ei ole, voi ajatella olevan olemassa siten että se alkaa olla. Siis ei ole niin, että se mitä suurempaa ei voi ajatella voidaan ajatella olevaksi eikä sitä ole. Siis jos sen voidaan ajatella olevan, se on välttämättä. Edelleen, jos se voidaan edes ajatella, sen on välttämätöntä olla. Nimittäin kukaan, joka kieltää jonkin mitä suurempaa ei voi ajatella olemassaolon tai epäilee sitä, ei kiellä eikä epäile, että jos se olisi olemassa, se ei voisi olla olematta sen enempää todellisuuden kuin ymmärryksenkään puolesta. Muuten se ei näet olisi se mitä suurempaa ei voi ajatella. Mutta mikä tahansa, mikä voidaan ajatella mutta ei ole, voisi olla olematta todellisuuden tai ymmärryksen puolesta, jos se olisi olemassa. Sen vuoksi se mitä suurempaa ei voi ajatella ei voi olla olematta, jos se voidaan edes ajatella. Mutta olettakaamme, että sitä ei ole, jos näin ehkä voi ajatella. Kuitenkaan mikään, mikä voidaan ajatella mutta ei ole, ei olisi sellainen, mitä suurempaa ei voi ajatella, vaikka se olisi. Siis jos se olisi se mitä suurempaa ei voi ajatella, se ei olisi se mitä suurempaa ei voi ajatella, mikä on ylen järjetöntä. Siis on epätotta, että se mitä suurempaa ei voi ajatella ei olisi olemassa, jos se voidaan edes ajatella. Sen tähden paljon suuremmassa määrin on niin, jos se voidaan ymmärtää ja voi olla ymmärryksessä. Sanonpa vielä muutakin. Epäilemättä mistä tahansa, mikä jossain tai joskus ei ole, voidaan, vaikka se on jossain tai joskus, kuitenkin ajatella, että se ei ole koskaan eikä missään, niin kuin se jossain ja joskus ei ole. Nimittäin niin kuin siitä, mikä ei ollut eilen mutta on tänään, ymmärretään, että se ei ollut eilen, samalla tavalla voidaan ajatella, että se ei ole koskaan. Ja siitä, mikä ei ole tässä mutta on muualla, voidaan ajatella, että se ei ole missään, samalla tavalla kuin se ei ole tässä. Samoin kun kysymys on jostain, jonka yksittäiset osat eivät ole siellä missä sen muut osat ovat tai silloin kuin sen muut osat ovat, sen kaikista osista ja siten siitä kokonaan voidaan ajatella, että se ei ole koskaan eikä missään. Nimittäin vaikka sanotaan, että aika on aina olemassa ja maailma on kaikkialla, ei aika kokonaan kuitenkaan ole aina eikä maailma kokonaan ole kaikkialla. Ja kuten ajan yksittäiset osat eivät ole olemassa silloin kuin muut ovat, samalla tavalla voidaan ajatella, että ne eivät ole koskaan. Ja kuten maailman yksittäiset osat eivät ole siellä, missä muut osat ovat, samalla tavalla voidaan ajatella, että ne eivät ole missään. Mutta mikä koostuu osista, voi ajattelussa 6

7 tulla hajotetuksi ja olla olematta. Siksi mikä tahansa, mikä jossain tai joskus ei ole kokonaan, voidaan ajatella olemattomaksi, vaikka se on. Mutta sitä, mitä suurempaa ei voi ajatella, ei voi ajatella olemattomaksi, jos se on. Muuten jos se on, se ei ole se mitä suurempaa ei voi ajatella, ja tämä ei käy. Siis ei millään muotoa ole niin, että se jossain tai joskus ei ole kokonaan, vaan se on aina ja kaikkialla kokonaan. Kai olet sitä mieltä, että se, mistä nämä asiat ymmärretään, voidaan jossain määrin ajatella tai ymmärtää ja voi jossain määrin olla ajattelussa tai ymmärryksessä? Jos nimittäin ei ole niin, siitä ei voida ymmärtää näitä asioita. Mutta jos sanot, että mitä ei ymmärretä täysin, sitä ei ymmärretä eikä se ole ymmärryksessä, sanonet myös, että joka ei pysty katsomaan auringon kirkkainta valoa, se ei näe päivänvaloa, joka ei ole mitään muuta kuin auringon valoa. Varmasti se mitä suurempaa ei voi ajatella ymmärretään ja on ymmärryksessä ainakin sikäli, että siitä ymmärretään nämä asiat. [2.] Sanoin siis siinä argumentoinnissani, jota moitit, että kun mieletön kuulee sanottavan jokin mitä suurempaa ei voi ajatella, hän ymmärtää kuulemansa. Kaiketi on niin, että jos joku ei ymmärrä tätä, kun se sanotaan hänen osaamallaan kielellä, hänellä joko ei ole lainkaan ymmärrystä tai se on peräti lamautunut. Sitten sanoin, että jos se ymmärretään, se on ymmärryksessä. Vai eikö missään ymmärryksessä ole se, minkä on välttämättä osoitettu olevan todellisuudessa? Tähän saatat sanoa, että vaikka se on ymmärryksessä, ei kuitenkaan seuraa, että se ymmärretään. Huomaa, että siitä, että se ymmärretään, seuraa, että se on ymmärryksessä. Samalla tavalla kuin sitä, mitä ajatellaan, ajatellaan ajattelulla, ja mitä ajatellaan ajattelulla, se on ajattelussa niin kuin sitä ajatellaan, samalla tavalla mikä ymmärretään, ymmärretään ymmärryksellä, ja mikä ymmärretään ymmärryksellä, se on ymmärryksessä niin kuin se ymmärretään. Mikä olisi selvempää? Tämän jälkeen sanoin, että jos se on edes ymmärryksessä, sen voidaan ajatella olevan myös todellisuudessa, mikä on suurempaa. Siis jos se on ainoastaan ymmärryksessä, se siis se mitä suurempaa ei voi ajatella on jokin, mitä suuremman voi ajatella. Kysyn, mikä olisi johdonmukaisempaa. Jos se näet on edes ymmärryksessä, eikö sitä voi ajatella myös todellisuudessa olevaksi? Ja jos voi, eikö se, joka ajattelee tätä, ajattele jotain suurempaa kuin jos se olisi vain ymmärryksessä? Mikä siis olisi johdonmukaisempaa kuin että jos se mitä suurempaa ei voi ajatella on ainoastaan ymmärryksessä, se on jokin, mitä suuremman voi ajatella. Kuitenkaan se, mitä suuremman voi ajatella, ei missään ymmärryksessä ole se, mitä suurempaa ei voi ajatella. Eikö siis seuraa, että jos se mitä suurempaa ei voi ajatella on jossain 7

8 ymmärryksessä, se ei ole ainoastaan ymmärryksessä? Jos se näet on ainoastaan ymmärryksessä, se on jokin, mitä suuremman voi ajatella, eikä tämä käy. [3.] Sanot tätä voivan verrata siihen, että joku sanoisi valtamerellä olevan saari, joka hedelmällisyydessään voittaa kaikki muut maat ja jota sanotaan kadotetuksi siksi, että sitä ei-olemassa-olevana on niin vaikea, oikeastaan mahdoton löytää. Hän väittäisi, että saaren olemassaoloa todellisuudessa ei voi epäillä, koska kuka tahansa ymmärtää helposti, kun sitä kuvaillaan sanallisesti (vrt. Mielettömän puolesta 6). Rohkeasti lupaan, että jos joku löytää joko olemassa olevien tai pelkästään kuviteltujen asioiden joukosta jotain muuta kuin se mitä suurempaa ei voi ajatella mihin argumentointiini sisältyvä päättely soveltuisi, etsin ja luovutan kadotetun saaren hänelle, eikä sitä enää tulla kadottamaan! Näyttäähän nyt ilmeisen selvältä, että sitä mitä suurempaa ei voi ajatella ei voi ajatella olemattomaksi, koska se on olemassa niin varmalla ja todenmukaisella perusteella. Muutenhan se ei ollenkaan olisi. Edelleen jos joku sanoo ajattelevansa, että sitä ei ole, sanon, että kun hän ajattelee tätä, hän joko ajattelee jotain mitä suurempaa ei voi ajatella tai ei ajattele sitä. Jos hän ei ajattele sitä, hän ei ajattele olemattomaksi sitä, mitä hän ei ajattele. Jos hän taas ajattelee sitä, hän kaiketi ajattelee jotain, mitä ei voi edes ajatella olemattomaksi. Jos sen näet voisi ajatella olemattomaksi, sillä voisi ajatella olevan alku ja loppu. Mutta tätä ei voi ajatella. Joka siis ajattelee sitä, ajattelee jotain, mitä ei voi edes ajatella olemattomaksi. Joka taas ajattelee tätä, ei ajattele, että tätä ei ole. Muuten hän ajattelee jotain, mitä ei voi ajatella. Siis sitä mitä suurempaa ei voi ajatella ei voi ajatella olemattomaksi. [4.] Edelleen sanot, että kun sanotaan, että ei ole mahdollista ajatella, että tämä korkein ei ole olemassa, olisi ehkä parempi sanoa sen sijaan, että ei ole mahdollista ymmärtää, että se ei ole tai että se edes voisi olla olematta (vrt. Mielettömän puolesta 7). Vastaan tähän, että oli parempi sanoa, että niin ei voi ajatella. Jos näet olisin sanonut, että tätä asiaa ei voi ymmärtää olemattomaksi, kaiketi sinä itse, joka sanot, että tämän sanan ominaisluonteeseen kuuluu, että epätosia asioita ei voi ymmärtää, esittäisit seuraavan vastaväitteen: Mitään, mikä on, ei voi ymmärtää olemattomaksi. On nimittäin epätotta, että se, mikä on, ei olisi. Siksi ei ole vain Jumalalle ominaista, että häntä ei voi ymmärtää olemattomaksi. Siksi jos jokin niistä asioista, joiden olemassaolo on varminta, voidaan ymmärtää olemattomaksi, samalla tavalla muutkin varmat asiat voidaan ymmärtää olemattomiksi. Ajattelemista koskien ei kuitenkaan voi esittää tätä vastaväitettä, jos asiaa punnitaan huolellisesti. Nimittäin vaikka mitään, mikä on, ei voi ymmärtää olemattomaksi, kuitenkin ne kaikki voidaan ajatella olemattomiksi lukuun ottamatta korkeimmalla tavalla olevaa. Näet kaikki ne asiat ja vain ne voidaan ajatella olemattomiksi, joilla on alku tai loppu tai jotka koostuvat osista ja, kuten jo sanoin, 8

9 mikä jossain tai joskus ei ole kokonaan. Ainoastaan sitä taas ei voi ajatella olemattomaksi, missä ei ole alkua eikä loppua eikä osista koostumista ja mitä mikään ajattelu ei tapaa muuten kuin aina kaikkialla kokonaan. Tiedä siis, että voit ajatella, että sinua ei ole, silloinkin kun tiedät varmimmin, että olet olemassa. Ihmettelen että sanoit, että et tätä tiedä. Ajattelemme näet olemattomiksi monia asioita, joiden tiedämme olevan olemassa, ja olemassa oleviksi monia asioita, joista tiedämme, että niitä ei ole emme mielipiteenämme vaan kuvitellen asioiden olevan niin kuin ajattelemme. Ja tosiaan pystymme ajattelemaan jotain olemattomaksi silloinkin, kun tiedämme sen olevan olemassa, koska samalla kertaa sekä pystymme tuohon että tiedämme tämän. Ja emme pysty ajattelemaan sitä olemattomaksi silloin, kun tiedämme sen olevan olemassa, koska emme pysty ajattelemaan sitä samalla kertaa olevaksi ja olemattomaksi. Siis se, joka erottaa nämä tuon ilmauksen kaksi merkitystä, ymmärtää, että mitään ei voi ajatella olemattomaksi silloin, kun sen tiedetään olevan olemassa, ja että mikä tahansa lukuun ottamatta sitä mitä suurempaa ei voi ajatella voidaan ajatella olemattomaksi myös silloin, kun sen tiedetään olevan olemassa. Tällä tavalla siis toisaalta on jotain vain Jumalalle ominaista, että häntä ei voi ajatella olemattomaksi, ja toisaalta on monia asioita, joita ei voi ajatella olemattomiksi silloin kun ne ovat. Itse tuossa pienessä kirjassa on uskoakseni riittävästi selostettu, millä tavalla kuitenkin voidaan sanoa ajateltavan, että Jumalaa ei ole. [5.] Vähäisessäkin määrin oppia saanut näkee helposti, minkä arvoisia ovat ne muut väitteet, joita mielettömän puolesta esität minua vastaan, ja siksi ajattelin, että minun ei tarvitsisi osoittaa sitä. Olen kuitenkin kuullut, että joidenkin vastaväitteet lukeneiden mielestä niillä on voimaa minua vastaan, ja siksi käsittelen niitä lyhyesti. Ensiksi se, että useita kertoja toistat minun sanovan: mikä on kaikkia suurempi on ymmärryksessä; jos se on ymmärryksessä, se on myös olemassa; sillä muuten kaikkia suurempi ei olisi kaikkia suurempi. (vrt. Mielettömän puolesta 1, 5 ja 7) Minun kirjoituksistani ei mistään löydy tällaista todistusta. Kaikkia suurempi (maius omnibus) ja se mitä suurempaa ei voi ajatella (quo maius cogitari nequit) eivät näet ole samanveroisia, kun pitää osoittaa sen, mikä sanotaan, olevan olemassa. Jos joku näet väittää, että se mitä suurempaa ei voi ajatella ei ole mitään olemassa olevaa (non esse aliquid in re) tai että se voi olla olematta (posse non esse) tai että sen voi ajatella olemattomaksi (non esse posse cogitari), hänet voidaan helposti kumota. Mikä ei ole, se voi olla olematta, ja mikä voi olla olematta, sen voi ajatella olemattomaksi. Mutta minkä voi ajatella olemattomaksi, siitä pätee, että jos se on, se ei ole se mitä suurempaa ei voi ajatella, ja jos se ei ole, niin jos se olisi, se ei olisi se mitä suurempaa ei voi ajatella. Mutta ei voida sanoa, että jos se mitä suurempaa ei voi 9

10 ajatella on olemassa, se ei ole se mitä suurempaa ei voi ajatella, tai jos se olisi olemassa, se ei olisi se mitä suurempaa ei voi ajatella. On siis selvää, että se ei ei-ole eikä se voi olla olematta eikä sitä voi ajatella olemattomaksi. Muussa tapauksessa näet jos se on, se ei ole se, mikä sen sanotaan olevan, tai jos se olisi, se ei olisi se, mikä sen sanotaan olevan. Samaa ei kuitenkaan näytä yhtä helposti voitavan todistaa siitä, mitä sanotaan kaikkia suuremmaksi. Ei näet ole samalla tavalla selvää, että mikä voidaan ajatella olemattomaksi ei ole kaikkia olevia suurempi, niin kuin on selvää, että se ei ole se mitä suurempaa ei voi ajatella. Eikä ole samalla tavalla epäilyksetöntä, että jos on olemassa jokin kaikkia suurempi, se ei ole mikään muu kuin se mitä suurempaa ei voi ajatella, tai jos se olisi olemassa, se ei vastaavasti olisi mikään muu, niin kuin on varmaa sen suhteen, mitä sanotaan siksi mitä suurempaa ei voi ajatella. Entä jos joku väittäisi, että on olemassa jokin kaikkia olevia suurempi, mutta että se kuitenkin voidaan ajatella olemattomaksi ja että jotain sitä suurempaa voidaan ainakin ajatella, vaikkei sellaista olisikaan olemassa? Voitaisiinko tällöin suoraan päätellä: siis se ei ole kaikkia olevia suurempi, niin kuin tuossa toisessa tapauksessa mitä ilmeisimmin sanottaisiin: siis se ei ole se mitä suurempaa ei voi ajatella? Edelliseen tarvitaan jokin muu argumentti (alio indiget argumento) kuin se, mitä sanotaan kaikkia suuremmaksi; tuossa toisessa tapauksessa ei tarvita muuta argumenttia kuin se itse, mikä kuuluu se mitä suurempaa ei voi ajatella. Jos siis kaikkia suuremmaksi sanotusta ei ole mahdollista samalla tavalla todistaa sitä, minkä se mitä suurempaa ei voi ajatella todistaa itsestään itsensä avulla (de se per seipsum probat quo maius cogitari nequit), olet väärin perustein moittinut minua sellaisen sanomisesta, mitä en ole sanonut, koska se eroaa niin suuressa määrin siitä, mitä olen sanonut. Jos kyseinen asia taas voidaan todistaa jonkin toisen argumentin avulla (post aliud argumentum) edes, ei sinun olisi pitänyt siinä määrin moittia minua sellaisen sanomisesta, mikä voidaan todistaa. Mutta voidaanko, sitä pystyy helposti arvostelemaan se, joka huomaa, että sillä mitä suurempaa ei voi ajatella on voima tehdä se. Sitä mitä suurempaa ei voi ajatella ei näet voi käsittää miksikään muuksi kuin siksi, mikä yksin on kaikkia suurempi. Siis kuten se mitä suurempaa ei voi ajatella on ymmärryksessä ja sen johdosta sen vakuutetaan olevan olemassa myös todellisuudessa, siten välttämättä päätellään, että kaikkia suuremmaksi sanottu ymmärretään ja on ymmärryksessä ja sen tähden on todella olemassa. Näetkö siis, miten oikein vertasit minua siihen typerykseen, joka halusi vakuuttaa kadotetun saaren olevan olemassa pelkästään sillä perusteella, että sen kuvaus ymmärretään? [6.] Esität myös vastaväitteen, että mikä tahansa epätosi tai epäilyksenalainen asia voidaan ymmärtää ja voi olla ymmärryksessä samalla tavalla kuin tuo minkä sanoin (vrt. 10

11 Mielettömän puolesta 2). Ihmettelen, mikä tässä mielestäsi on minua vastaan, joka halusin todistaa epäilyksenalaisen asian ja jolle ensiksi riitti se, että osoittaisin, että se ymmärretään ja on ymmärryksessä jollain tavalla, koskapa seuraavaksi tarkasteltaisiin, onko se ainoastaan ymmärryksessä, niin kuin epätodet asiat, vai myös todellisuudessa, niin kuin todet asiat. Jos epätodet ja epäilyksenalaiset asiat nimittäin ymmärretään ja ovat ymmärryksessä sillä tavalla, että kun ne sanotaan, kuulija ymmärtää, mitä puhuja tarkoittaa, tämä ei mitenkään estä sitä, että se minkä sanoin ymmärretään ja on ymmärryksessä. Mutta millä tavalla sopivat yhteen väitteesi, että ymmärrät mitä tahansa epätotta mitä joku sanoo, mitä hän sitten sanookin (vrt. Mielettömän puolesta 2), ja että koskien tuota, mikä ei ole ajattelussa sillä tavalla kuin jopa epätodetkin ovat ajattelussa, et sano ajattelevasi kuulemaasi tai sen olevan ajattelussa vaan ymmärtäväsi sen tai sen olevan ymmärryksessä, koska et näet voisi ajatella sitä muuten kuin ymmärtäen, eli tietämällä käsittäen että se on todella olemassa (vrt. Mielettömän puolesta 2)? Siis kysyn, millä tavalla sopii yhteen epätosien asioiden ymmärtäminen ja se, että ymmärtäminen on tietämällä käsittämistä, että jokin on todella olemassa. Tämä ei ole minun ongelmani vaan sinun. Mutta jos myös epätodet asiat ymmärretään jollain tavalla eikä tuo sanottu määritelmä koske kaikkea ymmärtämistä vaan tietynlaista ymmärtämistä, minua ei tullut moittia sen sanomisesta, että se mitä suurempaa ei voi ajatella ymmärretään ja on ymmärryksessä, myös ennen kuin oli varmaa, että se on todellisuudessa olemassa. [7.] Sitten sanot, että on tuskin ollenkaan uskottavaa, että kun tämä sanotaan ja kuullaan, sitä ei voisi ajatella olemattomaksi sillä tavalla kuin jopa Jumalan voi ajatella olemattomaksi (vrt. Mielettömän puolesta 2). Vastatkoot tähän puolestani ne, jotka ovat saavuttaneet edes vähäiset tiedot väittelemisen ja argumentoimisen tavoista. Sillä onko järjenmukaista, että joku kieltää jotain sellaista, minkä hän ymmärtää, siitä syystä, että sen sanotaan olevan sama asia, minkä hän kieltää siksi, ettei ymmärrä? Tai jos toisinaan joku kieltää jotain, josta hän käsittää jotain, ja se on sama kuin asia, jota hän ei ollenkaan käsitä, eikö epäilty asia ole helpommin todistettavissa sen avulla, mistä on edes jokin käsitys, kuin sen avulla, mitä ei ollenkaan käsitetä? Siten ei voi olla uskottavaa, että joku kieltää sen mitä suurempaa ei voi ajatella (jonka hän jossain määrin ymmärtää kuullessaan) siksi, että hän kieltää Jumalan (jonka merkitystä hän ei ollenkaan ymmärrä). Tai jos hän kieltää edellisenkin siksi, ettei hän täysin käsitä sitä, eikö kuitenkin ole helpompi todistaa edes jollain tavalla käsitetty asia kuin todistaa se, mitä ei ollenkaan ymmärretä? En siis todistaakseni Jumalan olemassaolon mieletöntä vastaan suotta ottanut käyttöön jotain mitä suurempaa ei voi ajatella, koska voi olla, että edellistä hän ei ollenkaan käsitä mutta jälkimmäisen jollakin tavalla. 11

12 [8.] Todistelet myös hartaasti, että se mitä suurempaa ei voi ajatella ei ole samanlainen kuin maalarin mielessä oleva vielä tekemätön kuva (vrt. Mielettömän puolesta 2 ja 3). Tämä on turhaa. En näet maininnut etukäteen ajateltua kuvaa siitä syystä, että haluaisin väittää tarkasteltavan asian olevan samanlainen kuin se, vaan ainoastaan voidakseni osoittaa, että ymmärryksessä on jotain, minkä ei ymmärretä olevan olemassa. Samoin sanot, että se mitä suurempaa ei voi ajatella on sellainen, että et kuullessasi pysty ajattelemaan sitä tai pitämään sitä ymmärryksessäsi minkään sinulle lajinsa tai sukunsa puolesta tutun asian perusteella, koska et tunne tuota asiaa itseään etkä myöskään voi päätellä sitä jonkin toisen samanlaisen asian avulla (vrt. Mielettömän puolesta 4). On aivan selvää, että asia ei ole tällä tavalla. Koska jokainen pienempi hyvä näet on suuremman hyvän kaltainen siinä määrin kuin se on hyvä, mille tahansa järjelliselle mielelle on ilmeistä, että pienemmistä hyvistä suurempiin nousemalla voimme niiden asioiden avulla, joiden suhteen voi ajatella jotain suurempaa, suuressa määrässä päätellä sen mitä suurempaa ei voi ajatella. Kuka ei näet esimerkiksi pystyisi punnitsemaan edes sitä (vaikka hän ei uskoisi sen, mitä hän ajattelee, olevan todellisuudessa), että jos se, millä on alku ja loppu, on hyvä, niin se, mikä alkaa mutta ei kuitenkaan lakkaa olemasta, on paljon parempi hyvä? Ja että tätä parempi on se, millä ei ole sen enempää loppua kuin alkuakaan, vaikka se aina siirtyisi menneestä nykyisen kautta tulevaan? Ja että tätä paljon parempi on se, minkä ei millään tavalla tarvitse tai ole pakko muuttua tai liikkua (riippumatta siitä, onko tällaista todella olemassa vai ei)? Eikö tätä ole mahdollista ajatella, tai onko mahdollista ajatella jotain tätä suurempaa? Eikö tämä ole sen mitä suurempaa ei voi ajatella päättelemistä niiden asioiden avulla, joita suuremman pystyy ajattelemaan? Siis on jotain, mistä lähtien se mitä suurempaa ei voi ajatella voidaan päätellä. Tällä tavalla siis voidaan helposti kumota mieletön, joka ei hyväksy pyhää auktoriteettia, jos hän kieltää, että sen mitä suurempaa ei voi ajatella voi päätellä muiden asioiden avulla. Mutta jos joku katolinen kieltää tämän, muistakoon, että Jumalan näkymättömät asiat havaitaan maailman luoduista, tehtyjen asioiden avulla käsittäen, samoin hänen iankaikkinen voimansa ja jumaluutensa (vrt. Room. 1: 20). [9.] Mutta vaikka olisi totta, että sitä asiaa, mitä suurempaa ei voi ajatella, ei pystyisi ajattelemaan tai ymmärtämään, ei silti olisi epätotta, että se mitä suurempaa ei voi ajatella voidaan ajatella ja ymmärtää. Mikään ei näet estä sanomasta lausumaton, vaikka sitä, mitä sanotaan lausumattomaksi, ei voi sanoa, ja ei ajateltavissa oleva voidaan ajatella, vaikka sitä, mitä sopii sanoa ei ajateltavissa olevaksi, ei voi ajatella. Samalla tavalla kun sanotaan se mitä suurempaa ei voi ajatella, epäilemättä kuultu voidaan ajatella ja ymmärtää, vaikka sitä asiaa, mitä suurempaa ei voida ajatella, ei pystyttäisi ajattelemaan tai ymmärtämään. 12

13 Vaikka joku näet olisikin niin mieletön, että sanoisi, että jokin mitä suurempaa ei voi ajatella ei ole olemassa, ei hän kuitenkaan voi olla niin hävytön, että väittäisi, että hän ei pysty ymmärtämään tai ajattelemaan sitä, mitä hän sanoo. Tai jos joku tällainen löytyy, ei vain ole paheksuttava sitä, mitä hän sanoo, vaan myös häntä itseään on pidettävä halveksuttavana. Siis kuka tahansa, joka kieltää, että on jokin mitä suurempaa ei voi ajatella, kaiketi ymmärtää sen kiellon, jonka hän esittää, ja ajattelee sitä. Hän ei pysty ymmärtämään tätä kieltoa eikä ajattelemaan sitä ilman sen osia. Se mitä suurempaa ei voi ajatella taas on sen osa. Siis kuka tahansa, joka esittää tämän kiellon, ymmärtää sen mitä suurempaa ei voi ajatella ja ajattelee sitä. Mutta on täysin selvää, että samalla lailla hän pystyy ajattelemaan ja ymmärtämään, että se ei voi olla olematta. Se, joka ajattelee tätä, todellakin ajattelee suurempaa kuin se, joka ajattelee sitä, mikä voi olla olematta. Siis kun sitä mitä suurempaa ei voi ajatella ajatellaan, niin jos ajatellaan sitä, mikä voi olla olematta, ei ajatella sitä mitä suurempaa ei voi ajatella. Mutta samaa ei voi samalla kertaa ajatella ja olla ajattelematta. Siksi se, joka ajattelee sitä mitä suurempaa ei voi ajatella, ei ajattele sitä, mikä voi olla olematta, vaan sitä, mikä ei voi olla olematta. Siksi sen, mitä hän ajattelee, on välttämätöntä olla olemassa, koska mikään, mikä voi olla olematta, ei ole se, mitä hän ajattelee. [10.] Katson osoittaneeni, että edellä olevassa pienessä kirjassani todistin, en heikolla vaan riittävän välttämättömällä argumentoinnilla, että jokin mitä suurempaa ei voi ajatella on todella olemassa. Mikään vastaväite ei ole heikentänyt kyseisen argumentoinnin lujuutta. Tämän ilmauksen merkitys sisältää nimittäin sellaisen voiman (tantam enim vim huius prolationis in se continet significatio), että kun se sanotaan, osoittautuu sen välttämättömänä seurauksena, että se ymmärretään tai että sitä ajatellaan että se sekä on olemassa että on kaikkea sitä, mitä Jumalan substanssista tulee uskoa. Uskomme nimittäin Jumalan substanssista kaikkea sitä, mitä voi ilman ehtoja ajatella olevan parempi olla kuin olla olematta. (Credimus namque de divina substantia quidquid absolute cogitari potest melius esse quam non esse.) Esimerkiksi on parempi olla ikuinen kuin ei ikuinen, hyvä kuin ei hyvä, vieläpä itse hyvyys kuin ei itse hyvyys. Mutta jokin mitä suurempaa ei voi ajatella ei voi olla olematta mitään tällaista. Jokin mitä suurempaa ei voi ajatella on siis välttämättä kaikkea sitä, mitä Jumalan olemuksesta tulee uskoa. Kiitän sinua siitä suopeudesta, jota osoitit sekä moittiessasi että kiittäessäsi pientä teostani. Kun näet niin runsaasti kiitit sitä, mitä pidit vastaanottamisen arvoisena, on joltisenkin ilmeistä, että hyväntahtoisuudesta etkä pahantahtoisuudesta moitit sitä, mikä sinusta näytti heikolta. 13

MITÄ MUUAN HENKILÖ VASTAA TÄHÄN MIELETTÖMÄN PUOLESTA

MITÄ MUUAN HENKILÖ VASTAA TÄHÄN MIELETTÖMÄN PUOLESTA Proslogionin liitteet: Mielettömän puolesta ja Anselmin Vastaus Suomennos Toivo Holopainen 2017. MITÄ MUUAN HENKILÖ VASTAA TÄHÄN MIELETTÖMÄN PUOLESTA [1.] Jos joku epäilee, onko olemassa jokin sellainen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Tuomas Akvinolainen, Summa theologiae I, q. 14, a. 8 ja a. 13. Suomennos Toivo Holopainen 2016 KVESTIO 14 JUMALAN TIETO

Tuomas Akvinolainen, Summa theologiae I, q. 14, a. 8 ja a. 13. Suomennos Toivo Holopainen 2016 KVESTIO 14 JUMALAN TIETO , a. 8 ja a. 13 Suomennos Toivo Holopainen 2016 KVESTIO 14 JUMALAN TIETO Jumalan substanssiin liittyvien asioiden [q. 3 13] jälkeen on tarkasteltava hänen toimintaansa (operatio) liittyviä asioita. Koska

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä.

Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. 1 Lapsen nimi: Ikä: Haastattelija: PVM: ALKUNAUHOITUS Nimeni on. Tänään on (pvm). Kellonaika. Haastateltavana on. Haastattelu tapahtuu VSSHP:n lasten ja nuorten oikeuspsykiatrian tutkimusyksikössä. OSA

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia

Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia VASTAVÄITTEET Tapio Joki Johdanto Ympärillämme olevat tilaisuudet ovat toiselta nimeltään ratkaisemattomia ongelmia K aupat syntyvät harvoin ilman vastaväitteitä. Myyjälle ratkaisevan tärkeää on ymmärtää,

Lisätiedot

Global Mindedness kysely. Muuttaako vaihto-opiskelu opiskelijan asenteita? Kv päivät Tampere May- 14

Global Mindedness kysely. Muuttaako vaihto-opiskelu opiskelijan asenteita? Kv päivät Tampere May- 14 Global Mindedness kysely Muuttaako vaihto-opiskelu opiskelijan asenteita? Kv päivät Tampere 13.5. May- 14 Mistä olikaan kyse? GM mittaa, kuinka vastaajat suhtautuvat erilaisen kohtaamiseen ja muuttuuko

Lisätiedot

Eväitä yhteistoimintaan. Kari Valtanen Lastenpsykiatri, VE-perheterapeutti Lapin Perheklinikka Oy

Eväitä yhteistoimintaan. Kari Valtanen Lastenpsykiatri, VE-perheterapeutti Lapin Perheklinikka Oy Eväitä yhteistoimintaan Kari Valtanen Lastenpsykiatri, VE-perheterapeutti Lapin Perheklinikka Oy 3.10.2008 Modernistinen haave Arvovapaa, objektiivinen tieto - luonnonlaki Tarkkailla,tutkia ja löytää syy-seuraussuhteet

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä.

Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä. elämä alkaa tästä 2008 Evangelism Explosion International Kaikki oikeudet pidätetään. Ei saa kopioida missään muodossa ilman kirjallista lupaa. Raamatun lainaukset vuoden 1992 raamatunkäännöksestä. Asteikolla

Lisätiedot

Yllättävän, keskustelun aikana puhkeavan ristiriidan käsittely

Yllättävän, keskustelun aikana puhkeavan ristiriidan käsittely Yllättävän, keskustelun aikana puhkeavan ristiriidan käsittely TOIMI NÄIN Pysäytä keskustelu hetkeksi ja sanoita havaitsemasi ristiriita. Kysy osallistujilta, mitä he ajattelevat havainnostasi. Sopikaa

Lisätiedot

Miten osoitetaan joukot samoiksi?

Miten osoitetaan joukot samoiksi? Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.

Lisätiedot

Kleopas, muukalainen me toivoimme

Kleopas, muukalainen me toivoimme Luukas 24 : 13-35 16 18 : Mutta heidän silmänsä olivat pimitetyt, niin etteivät he tunteneet häntä. Ja hän sanoi heille: "Mistä te siinä kävellessänne puhutte keskenänne?" Niin he seisahtuivat murheellisina

Lisätiedot

Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet

Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet Alkukartoitus Opiskeluvalmiudet Päivämäärä.. Oppilaitos.. Nimi.. Tehtävä 1 Millainen kielenoppija sinä olet? Merkitse rastilla (x) lauseet, jotka kertovat sinun tyylistäsi oppia ja käyttää kieltä. 1. Muistan

Lisätiedot

LOGIIKKA johdantoa

LOGIIKKA johdantoa LOGIIKKA johdantoa LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Logiikan tehtävä: Logiikka tutkii ajattelun ja päättelyn sääntöjä ja muodollisten päättelyiden oikeellisuutta, ja pyrkii erottamaan oikeat päättelyt

Lisätiedot

Kristus-keskeinen elämä. Osa 4: Majakka-ilta

Kristus-keskeinen elämä. Osa 4: Majakka-ilta Kristus-keskeinen elämä Osa 4: Majakka-ilta 17.10.2009 Antti.Ronkainen@majakka.net Room. 8:29 (KR92) Ne, jotka hän edeltäkäsin on valinnut, hän on myös edeltä määrännyt oman Poikansa kaltaisiksi, niin

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä

Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Miina ja Ville etiikkaa etsimässä Elämänkatsomustieto Satu Honkala, Antti Tukonen ja Ritva Tuominen Sisällys Opettajalle...4 Oppilaalle...5 Työtavoista...6 Elämänkatsomustieto oppiaineena...6 1. HYVÄ ELÄMÄ...8

Lisätiedot

Mikä ihmeen Global Mindedness?

Mikä ihmeen Global Mindedness? Ulkomaanjakson vaikutukset opiskelijan asenteisiin ja erilaisen kohtaamiseen Global Mindedness kyselyn alustavia tuloksia Irma Garam, CIMO LdV kesäpäivät 4.6.2 Jun- 14 Mikä ihmeen Global Mindedness? Kysely,

Lisätiedot

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg.

Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Logiikka I 7. harjoituskerran malliratkaisut 19. - 23.3.07 Ratkaisut laati Miikka Silfverberg. Olkoon L = {Lontoo, P ariisi, P raha, Rooma, Y hteys(x, y)}. Kuvan 3.1. kaupunkiverkko vastaa seuraavaa L-mallia

Lisätiedot

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset 1. Olkoon totuusjakauma v sellainen että v(p i ) = 1 kaikilla i N ja A propositiolause, jossa

Lisätiedot

TYÖKALUJA SELKEÄÄN SEKSUAALITERVEYSKASVATUKSEEN TURVATAIDOT

TYÖKALUJA SELKEÄÄN SEKSUAALITERVEYSKASVATUKSEEN TURVATAIDOT TYÖKALUJA SELKEÄÄN SEKSUAALITERVEYSKASVATUKSEEN TURVATAIDOT Turvaympyrä i TUTUT IHMISET Sinun kehosi on tärkeä ja arvokas. Kukaan ei saa koskea siihen ilman sinun lupaa. Tärkeä tietää: Suorista käsi eteesi

Lisätiedot

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15

Tietoteoria. Tiedon käsite ja logiikan perusteita. Monday, January 12, 15 Tietoteoria Tiedon käsite ja logiikan perusteita Tietoteoria etsii vastauksia kysymyksiin Mitä tieto on? Miten tietoa hankitaan? Mitä on totuus? Minkälaiseen tietoon voi luottaa? Mitä voi tietää? Tieto?

Lisätiedot

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet

Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet Lefkoe Uskomus Prosessin askeleet 1. Kysy Asiakkaalta: Tunnista elämästäsi jokin toistuva malli, jota et ole onnistunut muuttamaan tai jokin ei-haluttu käyttäytymismalli tai tunne, tai joku epämiellyttävä

Lisätiedot

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki

Määritelmä, alkuluku/yhdistetty luku: Esimerkki . c) Huomautus Määritelmä, alkutekijä: Esimerkki Alkuluvut LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Jokainen luku 0 on jaollinen ainakin itsellään, vastaluvullaan ja luvuilla ±1. Kun muita eri ole, niin kyseinen luku on alkuluku. Määritelmä, alkuluku/yhdistetty

Lisätiedot

1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS

1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS Tietoteoria klassinen tiedonmääritelmä tietoa on 1. HYVIN PERUSTELTU 2. TOSI 3. USKOMUS esim. väitteeni Ulkona sataa on tietoa joss: 1. Minulla on perusteluja sille (Olen katsonut ulos) 2. Se on tosi (Ulkona

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Nainen ja seksuaalisuus

Nainen ja seksuaalisuus Nainen ja seksuaalisuus Kun syntyy tyttönä on Kela-kortissa naisen henkilötunnus. Onko hän nainen? Millaista on olla nainen? Naisen keho Kun tytöstä tulee nainen, naiseus näkyy monella tavalla. Ulospäin

Lisätiedot

2. KESKUSTELUN ALOITTAMINEN

2. KESKUSTELUN ALOITTAMINEN 1. KUUNTELEMINEN 1. Katso henkilöä, joka puhuu 2. Mieti, mitä hän sanoo 3. Odota omaa vuoroasi 4. Sano, mitä haluat sanoa 2. KESKUSTELUN ALOITTAMINEN 1. Tervehdi 2. Jutustele 3. Päättele, kuunteleeko toinen

Lisätiedot

tridentinum TRENTON KIRKOLLISKOKOUKSEN reformi- ja oppidekreetit sekä kaanonit Suomentanut Martti Voutilainen OP

tridentinum TRENTON KIRKOLLISKOKOUKSEN reformi- ja oppidekreetit sekä kaanonit Suomentanut Martti Voutilainen OP tridentinum TRENTON KIRKOLLISKOKOUKSEN reformi- ja oppidekreetit sekä kaanonit Suomentanut Martti Voutilainen OP KATOLINEN TIEDOTUSKESKUS 2016 1 Alun perin julkaistu vuonna 1984 sarjassa Missiologian ja

Lisätiedot

Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot

Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Laajennettu tiedonkäsitys ja tiedon erilaiset muodot Totuudesta väitellään Perinteinen käsitys Tutkimuksella tavoitellaan a. On kuitenkin erilaisia käsityksiä. Klassinen tiedon määritelmä esitetään Platonin

Lisätiedot

Kristuksen kaksiluonto-oppi

Kristuksen kaksiluonto-oppi Kristuksen kaksiluonto-oppi Katolinen kirkko muotoili kolminaisuusopin 300- ja 400-luvuilla ja täydensi sitä Kristuksen kaksiluonto-opilla Khalkedonin kirkolliskokouksessa vuonna 451. Kirkolla on ollut

Lisätiedot

Kolminaisuusoppi. Jumala: Isä - Poika - Pyhä Henki

Kolminaisuusoppi. Jumala: Isä - Poika - Pyhä Henki Kolminaisuusoppi Jumala: Isä - Poika - Pyhä Henki KOLMINAISUUSOPPI - KIRKON TÄRKEIN OPPI Kolminaisuusoppia pidetään yhtenä kristinuskon tärkeimmistä opeista. Se erottaa kirkon uskon muista uskonnoista.

Lisätiedot

Perustunteita. Ihmisellä on paljon erilaisia tunteita. Osa niistä on perustunteita.

Perustunteita. Ihmisellä on paljon erilaisia tunteita. Osa niistä on perustunteita. Perustunteita Ihmisellä on paljon erilaisia tunteita. Osa niistä on perustunteita. Perustunteita ovat: ilo, suru, pelko, viha, inho ja häpeä. Niitä on kaikilla ihmisillä. Ilo Ilon tunne on hyvä tunne.

Lisätiedot

Yksinkertaista apologiaa

Yksinkertaista apologiaa Yksinkertaista apologiaa Vesa Ollilainen Kansanlähetyspäivät 2.7.2016 Mitä on apologia? Paavali: tehtäväni on puolustaa evankeliumia. (Fil. 1:16; vrt. jae 7) Kolme tapaa: Puolustus: vastaus arvosteluun

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi

Lisätiedot

Osaava henkilöstö kotouttaa kulttuurien välisen osaamisen arviointi. Työpaja 8.5.2014 Hämeenlinna

Osaava henkilöstö kotouttaa kulttuurien välisen osaamisen arviointi. Työpaja 8.5.2014 Hämeenlinna Osaava henkilöstö kotouttaa kulttuurien välisen osaamisen arviointi Työpaja 8.5.2014 Hämeenlinna Osaamisen arviointi Osaamisen arvioinnin tavoitteena oli LEVEL5:n avulla tunnistaa osaamisen taso, oppiminen

Lisätiedot

Mitä ymmärrys tarkoittaa? Mitä tarkoittaa kun sanomme; hän on fiksu tyyppi, tai hän on tosi kummallinen, vähän outo.

Mitä ymmärrys tarkoittaa? Mitä tarkoittaa kun sanomme; hän on fiksu tyyppi, tai hän on tosi kummallinen, vähän outo. Eläköön erilaisuus Miksi minua ei ymmärretä? Miksi hän ei voi rakastaa minua? Oletko joskus asettanut itsellesi näitä kysymyksiä? Mitä ymmärrys tarkoittaa? Mitä tarkoittaa kun sanomme; hän on fiksu tyyppi,

Lisätiedot

Huomio kiinnitetään kielteisiin asioihin ja myönteiset puolet pyritään rajaamaan pois.

Huomio kiinnitetään kielteisiin asioihin ja myönteiset puolet pyritään rajaamaan pois. 1. Suodattaminen Huomio kiinnitetään kielteisiin asioihin ja myönteiset puolet pyritään rajaamaan pois. Esim. Kiinnitän huomiota hikoiluuni ja jännittämiseeni, mutta en mieti lainkaan, onko minua kohtaan

Lisätiedot

JEESUS PARANTAA SOKEAN

JEESUS PARANTAA SOKEAN Suomen Tunnustuksellinen PYHÄKOULUMATERIAALI 1(5) JEESUS PARANTAA SOKEAN 1. Kertomuksen taustatietoja a) Kertomuksen tapahtumapaikka Siiloan lammikko oli Jerusalemissa b) Ajallinen yhteys muihin kertomuksiin

Lisätiedot

Hyvästä paras. Miksi jotkut yritykset menestyvät ja toiset eivät?

Hyvästä paras. Miksi jotkut yritykset menestyvät ja toiset eivät? 1 Hyvästä paras Miksi jotkut yritykset menestyvät ja toiset eivät? Nimi: Nina Granqvist Päivämäärä: Teos: Hyvästä paras Kirjailija: Jim Collins Kirjapisteet: 3 2 Jim Collinsin teos Hyvästä paras on noussut

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian vajavuudesta

Suhteellisuusteorian vajavuudesta Suhteellisuusteorian vajavuudesta Isa-Av ain Totuuden talosta House of Truth http://www.houseoftruth.education Sisältö 1 Newtonin lait 2 2 Supermassiiviset mustat aukot 2 3 Suhteellisuusteorian perusta

Lisätiedot

Moniasiakkuus ja osallisuus palveluissa -seminaari 4.10.2012 Moniammatillinen yhteistyö ja asiakaskokemukset

Moniasiakkuus ja osallisuus palveluissa -seminaari 4.10.2012 Moniammatillinen yhteistyö ja asiakaskokemukset Moniasiakkuus ja osallisuus palveluissa -seminaari 4.10.2012 Moniammatillinen yhteistyö ja asiakaskokemukset Riikka Niemi, projektipäällikkö ja Pauliina Hytönen, projektityöntekijä, Jyväskylän ammattikorkeakoulu

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

5 asiaa, jotka sinun on hyvä tietää sinun aivoista

5 asiaa, jotka sinun on hyvä tietää sinun aivoista 5 asiaa, jotka sinun on hyvä tietää sinun aivoista VILMA HEISKANEN 26.11.2014 Lähde: http://powerofpositivity.com/5-things-must-know-mind/ Puhu parin kanssa Lue parin kanssa aivoista Mitä ajattelet? Oletko

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Käyttää pinsettiotetta, liikelaajuus rajoittunut, levoton. Suositellaan toimintaterapiaa, jonka tavoitteena on parantaa silmän-käden yhteistyötä ja

Käyttää pinsettiotetta, liikelaajuus rajoittunut, levoton. Suositellaan toimintaterapiaa, jonka tavoitteena on parantaa silmän-käden yhteistyötä ja Leikkiä oppia liikkua harjoitella syödä nukkua terapia koulu päiväkoti kerho ryhmä haluta inhota tykätä jaksaa ei jaksa Käyttää pinsettiotetta, liikelaajuus rajoittunut, levoton. Suositellaan toimintaterapiaa,

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä

Lisätiedot

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: LOGIIKKA 1 Mitä logiikka on? päättelyn tiede o oppi muodollisesti pätevästä päättelystä 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan: sisältö, merkitys: onko jokin premissi

Lisätiedot

Nettielämä on oikeaa elämää JA SE ON TAITOLAJI!

Nettielämä on oikeaa elämää JA SE ON TAITOLAJI! Nettielämä on oikeaa elämää JA SE ON TAITOLAJI! SINULLA ON OIKEUKSIA! Netistä saa enemmän irti, kun pitää oikeuksistaan huolta ja toimii itse vastuullisesti. Nettiä voi käyttää lähes jokainen ja jokainen

Lisätiedot

OSA 1 SISÄINEN VOIMA. Oma mieli on ihmisen vallassa ei se mitä ympärillä tapahtuu. Kun tämän ymmärtää, löytää vahvuuden.

OSA 1 SISÄINEN VOIMA. Oma mieli on ihmisen vallassa ei se mitä ympärillä tapahtuu. Kun tämän ymmärtää, löytää vahvuuden. OSA 1 SISÄINEN VOIMA Oma mieli on ihmisen vallassa ei se mitä ympärillä tapahtuu. Kun tämän ymmärtää, löytää vahvuuden. Marcus Aurelius HERÄÄT TUNTEESEEN, ETTÄ TEHTÄVÄÄ ON LIIKAA. Et jaksa uskoa omiin

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

PUHUMISEN HARJOITUSTESTI. Tehtävä 1 KERTOMINEN

PUHUMISEN HARJOITUSTESTI. Tehtävä 1 KERTOMINEN PUHUMISEN HARJOITUSTESTI Tehtävä 1 KERTOMINEN Kerro, mitä teet, kun sinua jännittää. Sinulla on kaksi minuuttia aikaa miettiä, mitä sanot ja 1,5 minuuttia aikaa puhua. Aloita puhuminen, kun kuulet kehotuksen

Lisätiedot

Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni?

Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Mikä on tieteenfilosofinen positioni ja miten se vaikuttaa tutkimukseeni? Jyväskylä 31.5.2017 Petteri Niemi Relativismi ja Sosiaalinen konstruktivismi Relativismi (Swoyer 2010) Relativismi on näkemysten

Lisätiedot

Vastaoletuksen muodostaminen

Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletuksen muodostaminen Vastaoletus (Antiteesi) on väitteen negaatio. Sitä muodostettaessa on mietittävä, mitä tarkoittaa, että väite ei ole totta. Väite ja vastaoletus yhdessä sisältävät kaikki mahdolliset

Lisätiedot

Parisuhteen vaiheet. Yleensä ajatellaan, että parisuhteessa on kolme vaihetta.

Parisuhteen vaiheet. Yleensä ajatellaan, että parisuhteessa on kolme vaihetta. Parisuhteen vaiheet Yleensä ajatellaan, että parisuhteessa on kolme vaihetta. Parisuhteen vaiheet ovat seurusteluvaihe, itsenäistymisvaihe ja rakkausvaihe. Seuraavaksi saat tietoa näistä vaiheista. 1.

Lisätiedot

Kenguru 2017 Student lukio

Kenguru 2017 Student lukio sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

KIELENOPPIJOITA TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS NÄKEMÄLLÄ

KIELENOPPIJOITA TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS NÄKEMÄLLÄ KIELENOPPIJOITA KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) TEKEMÄLLÄ OPPIJA (KINESTEETTINEN) LUOVA KIELENKÄYTTÄJÄ HOLISTINEN OPPIJA (KOKONAISUUDET TÄRKEITÄ)

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain 6 tehtävää! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi?

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Apologia-forum 25.-27.4.2014

Apologia-forum 25.-27.4.2014 Mikä on kristinuskolle luovuttamatonta? Kuvat: sxc.hu Apologia-forum 25.-27.4.2014 Ryttylän Kansanlähetysopisto Pääpuhujana prof. John Lennox (oxfordin yliopisto) Tiede usko luominen evoluutio www.kansanlahetysopisto.fi/apologiaforum

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Paavali kirjoittaa monien luotettavina pidettyjen käsikirjoitusten mukaan näin:

Paavali kirjoittaa monien luotettavina pidettyjen käsikirjoitusten mukaan näin: 1Kor 15:47 selitys Paavali kirjoittaa monien luotettavina pidettyjen käsikirjoitusten mukaan näin: "Ensimmäinen ihminen oli maasta, maallinen, toinen ihminen on herra taivaasta." (1Kor 15:47). Sana "herra"

Lisätiedot

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen. Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset 20.2.2010 1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele

Lisätiedot

Kirkolliskokouksen avajaismessun saarna

Kirkolliskokouksen avajaismessun saarna 1 Kirkolliskokouksen avajaismessun saarna 14.5.2018 Embargo 14.5.2018 klo 10 piispa Teemu Laajasalo Ja silloin maailma ymmärtää Joh. 17: 18-23 Jeesus rukoili ja sanoi: Isä, niin kuin sinä lähetit minut

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

JOS ET SINÄ, NIIN KUKA?

JOS ET SINÄ, NIIN KUKA? JOS ET SINÄ, NIIN KUKA? Aina, kun haluat asioiden muuttuvan parempaan suuntaan, sinun on otettava ohjat omiin käsiisi. Kun päätät, että olet omien valintojesi arvoinen, voit ottaa vastuun omasta elämästäsi

Lisätiedot

Omatunto kolkuttaa. Jumalan, äidin vai tasavallan presidentin ääni? Muoto ja sisältö: periaatteet ja käytäntö

Omatunto kolkuttaa. Jumalan, äidin vai tasavallan presidentin ääni? Muoto ja sisältö: periaatteet ja käytäntö Omatunto kolkuttaa Jumalan, äidin vai tasavallan presidentin ääni? Jokaisella meillä on omatunto. Omalla tunnolla tarkoitetaan ihmisen sisäistä tajua oikeasta ja väärästä. Se on lähtöisin Jumalasta, vaikkei

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

IHMISTEN VÄLINEN VUOROVAIKUTUS

IHMISTEN VÄLINEN VUOROVAIKUTUS Lions Clubs International MD 107 Finland IHMISTEN VÄLINEN VUOROVAIKUTUS KOODIT, SIGNAALIT, JOTKA KUVAAVAT AIVOJEN SYNAPSIEN VÄLISET KYTKENNÄT 1 Lions Clubs International MD 107 Finland TUOTTEESI/PALVELUSI,

Lisätiedot

VIESTINTÄTAITOJEN OSA- ALUEITA

VIESTINTÄTAITOJEN OSA- ALUEITA VIESTINTÄTAITOJEN OSA- ALUEITA KIELELLISET TAIDOT: Kyky erottaa funktio (miksi hän puhuu?), puhuminen (äänenkäyttö, kielitaito, puhetapa, rytmi, tempo, intonaatio), kuunteleminen (sisällön rakenteen seuraaminen,

Lisätiedot

a ord 13 (a)

a ord 13 (a) JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod

Lisätiedot

Kieli merkitys ja logiikka. 2: Helpot ja monimutkaiset. Luento 2. Monimutkaiset ongelmat. Monimutkaiset ongelmat

Kieli merkitys ja logiikka. 2: Helpot ja monimutkaiset. Luento 2. Monimutkaiset ongelmat. Monimutkaiset ongelmat Luento 2. Kieli merkitys ja logiikka 2: Helpot ja monimutkaiset Helpot ja monimutkaiset ongelmat Tehtävä: etsi säkillinen rahaa talosta, jossa on monta huonetta. Ratkaisu: täydellinen haku käy huoneet

Lisätiedot

Mies ja seksuaalisuus

Mies ja seksuaalisuus Mies ja seksuaalisuus Kun syntyy poikana on Kela-kortissa miehen henkilötunnus. Onko hän mies? Millaista on olla mies? Miehen keho eli vartalo Kehon kehittyminen miehen kehoksi alkaa, kun pojan vartalo

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Saa mitä haluat -valmennus

Saa mitä haluat -valmennus Saa mitä haluat -valmennus Valmennuksen jälkeen Huom! Katso ensin harjoituksiin liittyvä video ja tee sitten vasta tämän materiaalin tehtävät. Varaa tähän aikaa itsellesi vähintään puoli tuntia. Suosittelen

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Vinkkejä kirjoittamiseen. Kultaiset säännöt:

Vinkkejä kirjoittamiseen. Kultaiset säännöt: Vinkkejä kirjoittamiseen Kultaiset säännöt: 1. Lue tehtävä huolellisesti. 2. Mieti, mitä kirjoitat (viesti, sähköposti, mielipide, valitus, anomus, hakemus, ilmoitus, tiedotus, luvan anominen, kutsu, kirje).

Lisätiedot

Turvallisesti netissä

Turvallisesti netissä Turvallisesti netissä Reilun somen säännöt: 1. Erottele tieto ja mielipide. Esitä tietona vain sellaista, mikä on totta. Erota oma pohdintasi, kantasi ja arvelusi tiedosta. 2. Perustele väitteesi. Tuo

Lisätiedot

Luottamus ja verkostoituminen MIKAEL PENTIKÄINEN KEURUU 13.2.2014

Luottamus ja verkostoituminen MIKAEL PENTIKÄINEN KEURUU 13.2.2014 Luottamus ja verkostoituminen MIKAEL PENTIKÄINEN KEURUU 13.2.2014 Nyt on verkostojen aika Verkostoituminen voi tuoda ison kilpailuedun. Verkostoitumista tukee moni voima: Tekniikan kehitys ja sen vaatima

Lisätiedot

Mitä eroa on ETIIKALLA ja MORAALILLA?

Mitä eroa on ETIIKALLA ja MORAALILLA? ETIIKKA on oppiaine ja tutkimusala, josta käytetään myös nimitystä MORAALIFILOSOFIA. Siinä pohditaan hyvän elämän edellytyksiä ja ihmisen moraaliseen toimintaan liittyviä asioita. Tarkastelussa voidaan

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Pekka Ervastin esitelmä 1/

Pekka Ervastin esitelmä 1/ Mitä on usko? Pekka Ervastin esitelmä 1/10 1916 Te muistatte ja tiedätte kaikki, kuinka tässä protestanttisessa kirkossa pidetään uskoa ja elämää uskossa ainoana oikeana kristillisyytenä, ja kulmakivenä

Lisätiedot