BJ30A1000 Kemiantekniikan tietotekniikka Polymath

Transkriptio

1 BJ30A000 Kemiantekniikan tietotekniikka Polymath Kimmo Klemola ja April 7, 008 Kimmo Klemola Matematiikkaohjelmat (Matlab, Mathcad ) Monet matematiikkaohjelmat tarjoavat varsin helppokäyttöisiä työkaluja symboliseen tai numeeriseen laskentaan tarjoten samalla näyttäviä tapoja tulosten esittämiseen. Ohjelmia voidaan käyttää esimerkiksi datan analysointiin, visualisointiin, numeeriseen ja symboliseen laskentaan, (insinööri)suunnitteluun, mallitukseen ja simulointiin. Esimerkkejä ovat: MATLAB Mathcad Mathematica Maple Polymath Excel April 7, 008 Kimmo Klemola Polymath

2 Matematiikkaohjelmat Ulkomaisia: Matlab Mathematica Mathcad Maple Polymath Excel Suomalaisia: ModEst (Haario, LTY, kemianteollisuus, farmasia) April 7, 008 Kimmo Klemola 3 Matematiikkaohjelmien käyttö Vaikka käytettävissä on helppokäyttöisiä ja monipuolisia ohjelmia, runsaasti laskentatehoa ja paljon ongelmia, joihin ohjelmia voi soveltaa, ei moni opiskelija ja työelämässä oleva osaa käyttää niitä. Tyypillinen kemisti-insinööriopiskelijan tietokoneella suoritettava tehtävä on koostunut seuraavista osa-alueista: Ongelman malliyhtälöiden määrittäminen käsin.. Sopivan numeerisen menetelmän etsiminen tehtävän ratkaisemiseen. 3. FORTRAN-ohjelman, joka käyttää valittua numeerista menetelmää, tekeminen ongelman ratkaisemiseen ja ohjelman debuggaus (virheiden etsiminen ohjelmasta). 4. Tulosten luotettavuuden ja tarkkuuden analysointi. Asioiden oppimisen kannalta kohdat ja 3 ovat merkityksettömimmät, mutta ne vievät eniten aikaa ja ovat usein turhauttavia. Polymath-ohjelman tekijöiden tavoite oli helpottaa kohtia ja 3 ja auttaa keskittymään kohtiin ja 4. April 7, 008 Kimmo Klemola 4 Polymath

3 Matematiikkaohjelmat Symbolinen laskenta: esim. Mathematica ja Maple Numeerinen laskenta: esim. Simpsonin menetelmällä x Analyyttinen(!) ratkaisu: ( ) 0.5 x = / 3*0.5 x = * 4 = Numeerinen ratkaisu Simpsonin menetelmällä: April 7, 008 Kimmo Klemola 5 Polymath Helppokäyttöinen Chemical Reaction Engineering-professorien tekemä (Shacham, Cutlip) Ensimmäinen versio 980-luvun alussa (DOS) 999 LTKK:lle 000 Windows-versio, uusin versio 6. Soveltuu monipuolisesti Chemical Engineering-sovelluksiin Koostuu neljästä ohjelmasta: Linear Equations Solver. Differential Equations Solver 3. Nonlinear Equations Solver 4. Data analysis and Regression Lisäksi: Calculator Units coverter Useful constants Antoine equation units converter Opiskelijoilla mahdollisuus viedä kotikoneeseenkin Kimmo Klemolan huoneen (437) vieressä lokerikossa asennuslevyt. Deaktivoituu aina elokuun viimeinen päivä ja uusi versio asennettava joka vuosi uudestaan. April 7, 008 Kimmo Klemola 6 Polymath 3

4 Polymath - päävalikko April 7, 008 Kimmo Klemola 7 Polymath Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija LEQ Soveltuu korkeintaan 64 lineaarisen yhtälön ja muuttujan muodostaman ryhmän ratkaisemiseen (Polymath 6.). Esimerkiksi: x+ y+ 3z = x y+ z = 0 x+ 0,5y+ z = Annetaan matriisimuodossa taulukkoon April 7, 008 Kimmo Klemola 8 Polymath 4

5 Polymath Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija LEQ Esim. Tislauskolonnin ainetase (kotitehtävämme) April 7, 008 Kimmo Klemola 9 Polymath Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija LEQ Esim. Tislauskolonnin ainetase EXAMPLE 0.07 D B D B = D B D B = D B D B = D B + 0. D B = 4 Linear Equations Solution 3 4 Variable D B D B Value April 7, 008 Kimmo Klemola 0 Polymath 5

6 Polymath Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija LEQ Esim. Tislauskolonnin ainetase Esimerkki voidaan ratkaista myös NLE-solverilla: April 7, 008 Kimmo Klemola Polymath Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija LEQ Esim. Yhtälöryhmä (esimerkkimme) Ratkaise yhtälöryhmä: x + 3y + 3z + 4k + 3m + n = x + y + z + 4k + 7n = 0 4x + 5y + 4k + 6m + 3n = -4 x - y - z + 4k - m + n = 00 6x - 4y + 3z + 7m - 3n = 7y + z + 4k + m + 3n = X y z k m n April 7, 008 Kimmo Klemola Polymath 6

7 Polymath Results POLYMATH Report Linear Equations No Title 0-Mar-006 Linear Equations Solution Variable x y z k m n Value The equations [] x + 3 y + 3 z + 4 k + 3 m + n = [] x + y + z + 4 k + 7 n = 0 [3] 4 x + 5 y + 4 k + 6 m + 3 n = -4 [4] x - y - z + 4 k - m + n = 00 [5] 6 x - 4 y + 3 z + 7 m - 3 n = [6] 7 y + z + 4 k + m + 3 n = 6 Coefficients matrix and beta vector x y z k General Number of equations: 6 m n beta Data file: c:\teknkem\ketetite\006\polymath\leq-gen.pol April 7, 008 Kimmo Klemola 3 Polymath Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija LEQ Kuinka sama tehdään Excelillä? April 7, 008 Kimmo Klemola 4 Polymath 7

8 Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE April 7, 008 Kimmo Klemola 5 Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE Soveltuu epälineaaristen yhtälöiden muodostaman yhtälöryhmän ratkaisemiseen. Korkeintaan 5 epälineaarista implisiittistä yhtälöä (NLE, nonlinear equation) ja 35 eksplisiittistä yhtälöä (EE, explicit equation), professional versiossa esimerkiksi. asteen yhtälö: x + kx 3= 0 NLE k = EE April 7, 008 Kimmo Klemola 6 Polymath 8

9 POLYMATH Report Nonlinear Equation 0-Mar-006 Calculated values of NLE variables Solution # of Variable Value f(x) Initial Guess x E-0 0 (-00. < x < 00. ) Variable Value k -. Solution # of Variable Value f(x) Initial Guess x E-3 0 (-00. < x < 00. ) Variable Value k -. April 7, 008 Kimmo Klemola 7 Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE: Ratkaisualgoritmit Perustuvat kaikki Newton-Raphsonin menetelmään. fastnewt safenewt safebroydn constrained Constrained-algoritmi rajaa ratkaisut esimerkiksi vain positiivisiin arvoihin: April 7, 008 Kimmo Klemola 8 Polymath 9

10 Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE Esimerkkimme Etsi seuraavan yhtälöparin ratkaisu siten että x ja y > 0. x y = + x y + 4 = x + Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess x E-6 y 776E-5 Nonlinear equations f(x) = (x ^ - y) / ( + x) - = 0 f(y) = (y ^ + 4) / (x + ) - = 0 Conditions for solution x y Physically Positive Physically Positive April 7, 008 Kimmo Klemola 9 Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE Yhden epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Esimerkki: Molaarisen tilavuuden ja puristuvuustekijän määrittäminen van der Waalsin yhtälöstä April 7, 008 Kimmo Klemola 0 Polymath 0

11 van Der Waals April 7, 008 Kimmo Klemola Esimerkki: Molaarisen tilavuuden ja puristuvuustekijän määrittäminen van der Waalsin yhtälöstä Polymath vaatii implisiittisen yhtälön, joka sisältää ratkaistavan muuttujan, kirjoitettavaksi seuraavaan muotoon, ja f(v)=0 April 7, 008 Kimmo Klemola Polymath

12 Esimerkki: Molaarisen tilavuuden ja puristuvuustekijän määrittäminen van der Waalsin yhtälöstä POLYMATH Report Nonlinear Equation Problem D(a) - Molar Volume and Compressibility Factor from Van Der Waals Equation 0-Mar-006 Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess Nonlinear equations V E ( 0.4 < V < ) f(v) = (P + a / (V ^ )) * (V - b) - R * T = 0 Variable Value Explicit equations P R T Tc Pc Pr a b Z P = 56 R = T = 450 Tc = Pc = 3 Pr = P / Pc a = 7 * (R ^ * Tc ^ / Pc) / 64 b = R * Tc / (8 * Pc) Z = P * V / (R * T) April 7, 008 Kimmo Klemola 3 Esimerkki: Molaarisen tilavuuden ja puristuvuustekijän määrittäminen van der Waalsin yhtälöstä Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE Yhden epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Excel-vastine: Goal seek April 7, 008 Kimmo Klemola 4 Polymath

13 Polymath Epälineaarisen yhtälöryhmän ratkaisija NLE useamman epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen Excel-vastine: Solver April 7, 008 Kimmo Klemola 5 Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen April 7, 008 Kimmo Klemola 6 Polymath 3

14 Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen f(c D ), f(c X ) ja f(c Z ) ovat implisiittisiä yhtälöitä, jotka ratkaistaan arvoon nolla: Tällainen yhtälöryhmä on kuitenkin numeerisille algoritmeille epävakaa ratkaistava. Kannattaa kirjoittaa yhtälöt seuraavasti: a b c April 7, 008 Kimmo Klemola 7 Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen vastausten riippuvuus lähtöarvoista Mahdottomia April 7, 008 Kimmo Klemola 8 Polymath 4

15 Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen vastausten riippuvuus lähtöarvoista: Constrained-algoritmi huolii vain positiiviset konsentraatiot April 7, 008 Kimmo Klemola 9 Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen vastausten riippuvuus lähtöarvoista: Constrained-algoritmi April 7, 008 Kimmo Klemola 30 Polymath 5

16 Esimerkki: Usean reaktion tasapainosysteemin laskeminen vastausten riippuvuus lähtöarvoista: Constrained-algoritmi Calculated values of NLE variables Variable Value f(x) Initial Guess CD CX CZ CC E-7 5 CA CB E-7 April 7, 008 Kimmo Klemola 3 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ April 7, 008 Kimmo Klemola 3 Polymath 6

17 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ April 7, 008 Kimmo Klemola 33 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ : Integrate the system of equations. Note that this option is displayed only when a valid set of equations, including initial and final values of the variables, has been entered. Table: When this option is marked a table containing the values of all the variables as function of independent variable will be created during integration. Graph: When this option is marked, a plot of the integrated values of the differential variables versus the independent variable will be created during integration. Report: When this option is marked a report containing initial, final, maximal and minimal values of all the variables, list of the equations in the system and some additional information will be shown after the integration is finished. Indep Var: Name of the independent variable. Solve with: Select the preferred solution algorithm identified in the pull down menu from among 6 choices including two for stiff problems. Initial Value: Initial value of the independent variable. Final Value: Final value of the independent variable. At the bottom of the window the number of nonlinear and auxiliary equations is listed and problem setup related warning messages (undefined variables, missing initial values etc.) are given. April 7, 008 Kimmo Klemola 34 Polymath 7

18 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Tyypillinen kemiallisen reaktiotekniikan DEQ-ongelma: k k A B C Alussa panosreaktorissa on vain A:ta mol/l. Reaktioyhtälön nopeuskertoimet ovat k= ja k=. Differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa: d(a)/d(t)= -k *A d(b)/d(t)= k *A k *B d(c)/d(t)= k *B Tarkoitus on Polymathin avulla määrittää panosreaktorin pitoisuusprofiili aikavälillä t = 0-3 April 7, 008 Kimmo Klemola 35 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Differentiaaliyhtälöt annetaan Polymathiin seuraavasti Add DE: April 7, 008 Kimmo Klemola 36 Polymath 8

19 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Enter (algebraic) explicit equation, muut kuin differentiaaliyhtälöt, Add EE: April 7, 008 Kimmo Klemola 37 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Initial value Final value April 7, 008 Kimmo Klemola 38 Polymath 9

20 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ POLYMATH Report Ordinary Differential Equations No Title 0-Mar-006 Calculated values of DEQ variables Variable Initial value Minimal value Maximal value Final value t A B C k 6 k.... Differential equations 3 d(a)/d(t) = -k * A d(b)/d(t) = k * A - k * B d(c)/d(t) = k * B Explicit equations k = k = April 7, 008 Kimmo Klemola 39 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ April 7, 008 Kimmo Klemola 40 Polymath 0

21 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Ratkaisualgoritmit Integraattorialgoritmit: RKF45 (Runge-Kutta-Fehlberg) RKF56 BS (Burlirsch-Stoer) STIFF STIFFBS April 7, 008 Kimmo Klemola 4 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ STIFF systems STIFF solver Jos esimerkiksi aikavakiot ovat selkeästi eri suuruusluokkaa, differentiaaliyhtälöiden muodostama systeemi saattaa olla jäykkä, stiff, ja tavallinen ratkaisija, kuten RKF, ei kykene ratkaisemaan ongelmaa. Tällöin valitaan solveriksi joko STIFF tai STIFFBS. Seuraavassa esimerkki, jossa suurin aikavakio (reaktionopeusvakio) on miljardi kertaa pienintä aikavakiota suurempi. Esimerkissä on mukana myös if then - else -lause. April 7, 008 Kimmo Klemola 4 Polymath

22 Polymath Diff erentiaaliyhtälöratkaisija DEQ STIFF systems STIFF solver esi merkki: kemiall inen r eaktiot ekniikka kotil asku Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ STIFF systems STIFF solver esimerkki: kemiallinen reaktiotekniikka kotilasku Formaldehydi ja typen oksidit reagoivat ilmakehässä muodostaen otsonia. Otsoni on alailmakehässä haitallinen aine. Se aiheuttaa mm. hengityselinsairauksia ja tuhoaa kasveja pienentäen näin satoja. Reaktioita kuvaa seitsemänaskelinen fotokemiallinen mekanismi ( atm, 5ºC): Askel NO + hv NO + O k,kp = 3,98 h - Askel O+ O + M O3+ M k =, ppm - h - Askel 3 O3 + NO NO + O k 3 =, ppm - h - Askel 4a HCHO + hv HO + CO k 4a,kp = 9,6 0 - h - Askel 4b HCHO + hv H + CO k 4b,kp =, h - Askel 5 HCHO + OH HO + CO + H O k 5 = 9,7 0 5 ppm - h - Askel 6 HO + NO NO + OH k 6 = 7,3 0 5 ppm - h - Askel 7 OH + NO HNO3 k 7 = 9,7 0 5 ppm - h - April 7, 008 Kimmo Klemola 43 Askelien, 4a ja 4b fotolyysireaktioissa reaktionopeudet riippuvat auringonvalon intensiteetistä. Alaindeksi kp viittaa keskipäivään, jolloin auringonvalo on voimakkaimmillaan. Mikäli aurinko nousee klo 06:00 ja laskee klo 8:00 (päiväntasaajalla näin on joka päivä), fotolyysireaktioaskelien, 4a ja 4b nopeusvakioiden arvot voidaan laskea seuraavasti. k π ( t 6) 4, kun π ( t 6) sin > 0 4 i = ki, kpsin aikana k i = 0 kaikkina muina aikoina t on aika tunteina alkaen keskiyöstä (00:00) eli klo 06-8 välisenä 35 k i,kp ki, min - Aurinko nousee Aurinko laskee t, h April 7, 008 Kimmo Klemola 44 Polymath

23 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ STIFF systems STIFF solver esimerkki: kemiallinen reaktiotekniikka kotilasku k4a = if(sign(sin(*3.46/4*(t-6)))<=0)then(0)else(9.6e-*sin(*3.46/4*(t-6))) April 7, 008 Kimmo Klemola 45 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Tyypillisiä sovelluskohteita (kem. tekn.): Lämmönsiirto ja -johtuminen. Diffuusio Kemiallinen reaktio Panostislaus Populaatiolaskut (kiteytys, väkiluvun kehitys) Polymath soveltuu myös auttavasti PDE-systeemien ratkaisemiseen (Partial Differential Equations): April 7, 008 Kimmo Klemola 46 Polymath 3

24 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Esimerkki: Lämpötilan vaikutus reaktionopeuteen A k R Ea RT k = A e ( Arrheniuksen yhtälö), jossa A = frekvenssitekijä Ea = aktivoitumisenergia R = yleinen kaasuvakio T = reaktiolämpötila Arrheniuksen yhtälö kuvaa sitä yleisesti tunnettua asiaa, että reaktionopeus kasvaa lämpötilan noustessa. Testataan yhtälöä Polymathin avulla kolmessa eri lämpötilassa. April 7, 008 Kimmo Klemola 47 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Esimerkki: Lämpötilan vaikutus reaktionopeuteen ODE Report (RKF45) Differential equations as entered by the user [] d(ca)/d(t) = -A*exp(-Ea/(R*(T+73.5)))*cA [] d(ca)/d(t) = -A*exp(-Ea/(R*(T+73.5)))*cA [3] d(ca3)/d(t) = -A*exp(-Ea/(R*(T3+73.5)))*cA3 [4] d(crt)/d(t) = A*exp(-Ea/(R*(T+73.5)))*cA [5] d(crt)/d(t) = A*exp(-Ea/(R*(T+73.5)))*cA [6] d(crt3)/d(t) = A*exp(-Ea/(R*(T3+73.5)))*cA3 Explicit equations as entered by the user [] A = 00 [] Ea = [3] R = 8.34 [4] T = 60 [5] T = 0 [6] T3 = 80 April 7, 008 Kimmo Klemola 48 Polymath 4

25 Polymath Differentiaaliyhtälöratkaisija DEQ Esimerkki: Lämpötilan vaikutus reaktionopeuteen April 7, 008 Kimmo Klemola 49 Väestömäärän kehittyminen eri maissa DEQ Differentiaaliyhtälöt Henkilömäärän muutosta kussakin ikäryhmässä kuvaavat yhtälöt: Lapset d(a)/d(t) = -r-r6+r5= -( k +d )A + sc, jossa k on -vuotta täyttäneiden osuus koko ikäluokasta d on lapsikuolleisuus suhteutettuna koko ikäluokkaan s on syntyvyys Nuoret d(b)/d(t) = r-r-r7=k A- (k + d )B, jossa k on -vuotta täyttäneiden osuus koko ikäluokasta d on nuorten kuolleisuus koko ikäluokassa Keski-ikäiset d(d)/d(t) = r3-r4-r9=k 3 C- (k 4 + d 4 )D, jossa k 4 on 6-vuotta täyttäneiden osuus koko ikäluokasta d 4 on kuolleisuus koko ikäluokassa Vanhukset d(e)/d(t) = r4-r0= k 4 D d 5 E jossa d 5 on vanhusten kuolleisuus. Väestön kokonaismäärä on Vtot(t) =A+B+C+D+E Aikuiset d(c)/d(t) = r-r3-r8=k B- (k 3 + d 3 )C+m, jossa k 3 on 4-vuotta täyttäneiden osuus koko ikäluokasta d 3 on aikuisten kuolleisuus koko ikäluokassa m on maahanmuuttajat - maasta lähtevät/vuosi April 7, 008 Kimmo Klemola 50 Polymath 5

26 Väestömäärän kehitt yminen eri maissa DEQ ODE Report (RKF45) Differential equations as entered by the user [] d(a)/d(t) = -r-r6+r5 [] d(b)/d(t) = r-r-r7 [3] d(c)/d(t) = r-r3-r8+m [4] d(d)/d(t) = r3-r4-r9 [5] d(e)/d(t) = r4-r0 Explicit equations as entered by the user [] Odo = 78 [] d5 = /(Odo-6) [3] d = [4] d3 = [5] d4 = [6] k3 = 0.05 [7] k4 = 0.05 [8] s = 35/0 [9] k = 0. [0] r = k*a [] r3 = k3*c [] r4 = k4*d [3] r5 = s*c [4] W = A+B+C+D+E [5] d = 0.0 [6] r7 = d*b [7] r8 = d3*c [8] r9 = d4*d [9] r0 = d5*e [0] r6 = d*a [] r = k*b [] m = 0 Comments [] d(b)/d(t) = r-r-r [6] Odo = 78 odotettu elinikä [7] d5 = /(Odo-6) vanhusten kuolleisuus [8] d = Nuorten kuolleisuus [9] d3 = aikuisten kuolleisuus [0] d4 = keski-ikäisten kuolleisuus [] k3 = % ikäluokasta siirtyy keski-ikäisiin [] k4 = % keski-ikäisistä siirtyy [3] s = 35/0 naisen kokonaishedelmällisyys akt. kautena vuodessa [4] r = k*a kasvaa yli -vuotiaaksi [5] r = k*b kasvaa yli -vuotiaaksi [6] r3 = k3*c kasvaa yli 40-vuotiaaksi [7] r4 = k4*d täyttää yli 60 vuotta [8] r5 = s*c syntyy [9] W = A+B+C+D+E väestön kokomäärä jne. April 7, 008 Kimmo Klemola 5 Väestömäärän kehittyminen eri maissa DEQ Kiina April 7, 008 Kimmo Klemola 5 Polymath 6

27 Polymath Regressio REG April 7, 008 Kimmo Klemola 53 Polymath Regressio REG POLYMATH Report Nonlinear Regression (L-M) No Title 0-Mar-006 Model: pv = 0^(A+B/(TC+C)) Variabl e Initial guess Value 95% confidence A B C Nonlinear regression settings Max # iterations = 64 Precision R^ R^adj Rmsd Variance April 7, 008 Kimmo Klemola 54 Polymath 7

28 Polymath Dataplot April 7, 008 Kimmo Klemola 55 Polymath polynomiregressio April 7, 008 Kimmo Klemola 56 Polymath 8

29 Polymath polynomiregressio Model: Cp = a0 + a*t + a*t^ + a3*t^3 Variable a0 a a a3 Value E-06 95% confidence E-06 April 7, 008 Kimmo Klemola 57 Polymath Regressio, esimerkkimme Linear & Polynomial Regression + Nonlinear x y regression Sovita seuraava y = f(x) data a). asteen polynomifunktioon y = ax + bx + c b) funktioon y = a(+x) b + c April 7, 008 Kimmo Klemola 58 Polymath 9

30 April 7, 008 Kimmo Klemola 59 Polymath Regressio, esimerkkimme POLYMATH Report Polynomial Regression No Title 0-Mar-006 Model: y = a0 + a*x + a*x^ Variable a0 a a Value % confidence General Degree of polynomial = Regression including a free parameter Number of observations = 30 Statistics R^ R^adj Rmsd Variance April 7, 008 Kimmo Klemola 60 Polymath 30

31 Polymath Regressio, esimerkkimme Linear & Polynomial Regression Model: y = a0 + a*x + a*x^ Regressio: ( y ) calc yexp April 7, 008 Kimmo Klemola 6 Polymath Regressio, esimerkkimme April 7, 008 Kimmo Klemola 6 Polymath 3

32 Polymath Regressio, esimerkkimme POLYMATH Report Nonlinear Regression (L-M) No Title 0-Mar-006 Model: y = a*(+x)^b+c Variable Initial guess Value 95% confidence a b c Nonlinear regression settings Max # iterations = 64 Precision R^ R^adj Rmsd Variance April 7, 008 Kimmo Klemola 63 Polymath Regressio, esimerkkimme Nonlinear regression Model: y = a*(+x)^b+c April 7, 008 Kimmo Klemola 64 Polymath 3

33 Final notice! This is an individual Educational Version that is to be used by only students, faculty, and staff of educational institutions for educational purposes. Professional use versions can be purchased at the POLYMATH web site given above. April 7, 008 Kimmo Klemola 65 Polymath 33