Tilastomatematiikka TUDI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tilastomatematiikka TUDI"

Transkriptio

1 Miika Tolonen Laboratory of Applied Mathematics Lappeenranta University of Technology 10. syyskuuta 2014

2 Sisältö I Johdanto 1 Johdanto 2 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava 3 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi

3 Sisältö II Johdanto Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia 4 Havaintoainesto: otos Havaintoaineiston kuvaus Otossuureet, otostunnusluvut 5 Piste-estimaatit Luottamusvälit 6 Testauksen periaatteet ja peruskäsitteet Parametrien testaus Ei-parametrisiä testejä

4 Sisältö III 7 Korrelaatio Regressioanalyysin periaatteet Usean selittävän muuttujan lineaarinen regressioanalyysi

5 Johdanto Mihin tilastotiedettä tarvitaan? Suuren havaintomäärän (datan) keräämiseen, tietojen tiivistämiseen ja kuvailuun Johtopäätösten tekemiseen epätäydellisen ja epävarman informaation perusteella. tulevaisuuden ennustamiseen. Mihin tilastotiede perustuu? Tilastollisen päättelyn menetelmät nojaavat toisaalta ilmiöistä kerättyyn käytännön kokemukseen ja toisaalta todennäköisyyslaskentaan, joka perustuu aksioomiin. Näistä aksioomista johdetaan laskusääntöjä ja päättelyssä käytettäviä kaavoja

6 Johdanto Tilastotieteen perusongelmia: Mitä on tieto ja miten epävarmuutta mitataan? Mitä on sattumanvaraisuus? Miten erotellaan systemaattinen ja satunnainen vaihtelu toisistaan? Millä perusteella tehdään johtopäätöksiä? Miten tutkimustulosten luotettavuutta arvoidaan?

7 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Satunnaiskoe ja satunnaismuuttujat 7 Satunnaiskoe on toisettavissa oleva ilmiö, jonka lopputuloksen määrää satunnainen mekanismi. Satunnaiskokeen mahdolliset lopputulokset ovat alkeistapahtumia Otosavaruus on kaikkien alkeistapahtumien joukko. Nopan heitto: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hehkulamput pakataan 4 kappaleen rasioihin. Otetaan yksi rasia ja testataan lamput: S = {kkkk, kkkv, kkvk,..., vvvv} Laitevikojen lkm/v: S = {0, 1, 2,...} Pariston elinikä: S = {t R t > 0} Otosavaruuden määrittely riippuu tutkimuksen kohteesta, joka määrää sen mitä mitatataan tai rekisteröidään.

8 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Satunnaiskoe ja satunnaismuuttujat 8 Tapahtuma tarkoittaa otosavaruuden osajoukkoa. Tapahtuma voidaan kuvailla sanallisesti matemaattisilla symboleilla luettelemalla tapahtumaan kuuluvat alkeistapahtumat Vennin diagrammilla. Satunnaismuuttuja on kuvaus X : S R, eli se liittää kuhunkin alkeistapaukseen reaaliluvun, joka on satunnaismuuttujan arvo. Koska kokeen tulosta säätele satunnaismekanismi, on X :n arvokin tätä kautta satunnainen. Koetta toistettaessa eri arvot vaihtelevat ja tätä vaihtelua kuvaa satunnaismuuttujan jakauma.

9 Tarkastellaan hehkulamppujen toimivuutta 4 kappaleen rasiasssa. Otosavaruutena on S = {kkkk, kkkv, kkvk, kvkk, vkkk, kkvv, kvkv, kvvk, vkkv, vvkk, kvvv, vkvv, vvkv, vvvk, vvvv}. Esimerkki kokeeseen liittyvästä tapahtumasta: A = Rasiassa on yksi toimiva lamppu = {kvvv, vkvv, vvkv, vvvk} Esimerkki kokeeseen liittyvästä satunnaismuuttujasta: X =viallisten lamppujen lukumäärä. Tapahtuma A voidaan esittää myös symbolisessa muodossa A = {X = 3}

10 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Joukko-oppia 10 Tapahtumien käsittelyssä tarvitaan joukko-opin merkintöjä, käsitteitä ja operaatioita. Merkintä: Selitys a A alkio a kuuluu joukkoon A A B joukko A sisältyy joukkoon B eli A on B:n osajoukko A B joukkojen A ja B yhdiste eli unioni A B joukkojen A ja B leikkaus Ā tai A c A:n komplementti A B tai A B Joukkojen A ja B erotus tyhjä joukko

11

12 Komponentit k 1,..., k n muodostavat rinnan kytketyn systeemin, jos systeemi toimii aina, kun yksikin komponentti toimii. Komponentit muodostavat sarjaan kytketyn systeemin, jos systeemi toimii vain, kun kaikki komponentit toimivat. Olkoot tiettyyn aikaväliin liittyvat tapahtumat A i ="komponentti k i toimii". Lausu seuraavat tapahtumat tapahtumien A i avulla: a) Rinnan kytketty systeemi toimii. b) Rinnan kytketty systeemi ei toimi. c) Sarjaan kytketty systeerni toimii. d) Sarjaan kytketty systeemi ei toimi. Komplementeissa käytetään de Morganin kaavaa a) A 1 A 2... A n b) A 1 A 2... A n = Ā 1 Ā 2... Ā n c) A 1 A 2... A n d) A 1 A 2... A n = Ā 1 Ā 2... Ā n

13 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Todennäköisyyden lajit 13 Tapahtuman A todennäköisyyttä merkitään P(A):lla. Todennäköisyys ilmoitetaan lukuna väliltä [0, 1] tai prosenttina. 1) Klassinen todennäköisyys P(A) = A:n alkeistapahtumien lukumäärä kaikkien alkeistapahtumien lukumäärä Nopanheitto: kaikki luvut 1, 2, 3, 4, 5, 6 ovat yhtä todennäköisiä. Tapahtuman A = kolmella jaollinen luku todennäköisyys on silloin P(A) = 2 6 = 1 3

14 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Todennäköisyyden lajit 14 2) Tilastollinen todennäköisyys, todennäköisyyden frekvenssitutkinta P(A) = raja-arvo, jota A:n suhteelinen esiintymisfrekvenssi lähestyy koetta toistettaessa Ongelmana on tämän raja-arvon määrittely, sillä kysymys ei ole matemaattisesta raja-arvon käsitteestä. Käytännössä toistoja voidaan tehdä vain äärellinen määrä, jolloin P(A) tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä satunnaiskokeen toistokertojen lukumäärä

15 Teollinen kappaletuotanto. Millä todennäköisyydellä sattumanvaraisesti poimittu tuote on viallinen? Todennäköisyys on viallisten suhteellinen osuus toistettaessa poimintaa äärettömän monta kertaa samanlaisissa olosuhteissa, ts. suhteellinen osuus koko tuotannossa. Oletetaan että on poimittu n = 1000 satunnaista tuotetta, sattumanvaraisina aikoina, ja havaittu näiden joukossa 12 viallista. Viallisen todennäköisyyden arvioidaan olevan noin 12/1000 = = 1.2%.

16 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Todennäköisyyden lajit 16 3) Geometrinen todennäköisyys Jos n-ulotteisesta joukosta Ω valitaan piste X umpimähkään eli siten, että kaikilla pisteillä on sama valintamahdollisuus (poimintatodennäköisyys), ja A on jokin Ω:n osajoukko, niin P(X A) = m(a) m(ω) missä m on joukon n-ulotteinen mitta (pituus, pinta-ala, tilavuus jne.). Määrittely perustuu todennäköisyyden frekvenssitulkintaan, mutta se on myös yleistys klassisen todennäköisyyden määrittelyyn, kuten aiemmin huomautettiin.

17 Ystävättäret Leila ja Annukka ovat sopineet, että he saapuvat lounasaikaan tietyn ravintolan eteen ja lounastavat yhdessä, jos tapaavat toisensa. Tapaamisehdot ovat seuraavat: Kumpikin valitsee saapumisajankohdan täysin sattumanvaraisesti klo ja väliltä. Ensiksi saapuva odottaa ravintolan edessä tasan 10 minuuttia, jos toinen ei ole paikalla. Kuinka suurella todennäköisyydellä ystävättäret tapaavat toisensa? Olkoon saapumisajat X ja Y. Kumpikin valitaan umpimähkää väliltä [0,1] Piste (X,Y) valitaan umpimähkää (täysin satunnaisesti) neliössä S = [0, 1]x[0, 1] (eli jokainen pistepari (X,Y) neliössä on yhtä todennäköinen) Tapaaminen onnistuu, jos X Y 1/6. Kysytty todennäköisyys on P((X, Y ) A) = m(a) A:n pinta-ala = m(s) S:n pinta-ala = = 11 36

18 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Todennäköisyyden lajit 18 4) Subjektiivinen todennäköisyys P(A) = uskomuksen aste (siihen, että A tapahtuu) Saipa voittaa HIFK:n seuraavassa ottelussa 25%:n varmuudella.

19 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Todennäköisyyden ominaisuudet 19 Todennäköisyyden perusominaisuudet (aksioomat) A1 0 P(A) 1 jokaiselle tapahtumalle A B A2 P(S) = 1 varma tapahtuma A3 Jos A ja B ovat erilliset (toisensa poissulkevat) tapahtumat eli A B =, niin A tai B tapahtuu todennäköisyydellä P(A B) = P(A) + P(B). Kun S on ääretön joukko, vaaditaan lisäksi A3 Jos A 1, A 2,... ovat erillisiä tapahtumia eli A i A j = kun i j, niin P(A 1 A 2...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +...

20 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Todennäköisyyden ominaisuudet 20 Seurausominaisuuksia (i) Mahdoton tapahtuma: P( ) = 0 (ii) Komplementtitapauksen todennäköisyys: P(Ā) = 1 P(A) (iii) Jos A B eli A:sta seuraa B, niin P(A) P(B) (iv) A tai B tapahtuu: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (v) A tapahtuu, B ei: P(A B) = P(A) P(A B) Diskreetti todennäköisyyskenttä Jatkuva todennäköisyyskenttä

21 Valitaan koehenkilö tai haastateltava Suomen kansalaisista. Oletetaan, että opiskelijoita on noin 8% väestöstä ja alle 30-vuotiaiden osuus väestöstä on 36%. Alle 30- vuotiaita opiskelijoita on 7% koko väestöstä. Merkitään tapahtumia A = "opiskelija" B = "alle 30-vuotias" Tiedetään todennäköisyydet P(A) = 0.08, P(B) = 0.36 ja P(A B) = 0.07 Laske, millä todennäköisyydellä henkilö a) ei ole opiskelija? P(Ā) = = 0.92 b) on vähintään 30-vuotias opiskelija? P(A B) = P(A B) = P(A) P(A B) = = c) vähintään 30-vuotias, ei opiskelija? P(Ā B) = P(A B) = 1 P(A B) = 1 [P(A)+P(B) P(A B)] = 1 ( ) = 0.63.

22 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreettejä todennäköisyysmalleja 22 Äärellinen todennäköisyysmalli Olkoon otosavaruutena S = {e 1, e 2,..., e N } ja alkeistapahtumien N todennäköisyydet P(e i ) = p i, missä 0 p i 1 ja p i = 1 Tapahtuman A S todennäköisyys on silloin P(A) = P(e i ) e i A i=1

23 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreettejä todennäköisyysmalleja 23 Tasainen, äärellinen todennäköisyysmalli Olkoon otosavaruutena S = {e 1, e 2,..., e N } ja alkeistapaukset yhtä todennäköisiä. Silloin P(e i ) = p i = 1 N Tapahtuman A S todennäköisyys on edellisen summakaavan perusteella P(A) = N A N Missä N A = A:n alkioiden lukumäärä eli A:lle suotuisien alkeistapahtumien lukumäärä.

24 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Diskreettejä todennäköisyysmalleja 24 Numeroituva todennäköisyysmalli Olkoon otosavaruutena S = {e 1, e 2,..., e N } ja alkeistapahtumien N todennäköisyydet P(e i ) = p i, missä 0 p i 1 ja p i = 1 Kuten äärellisessä tapauksessa, tapahtuman A S todennäköisyys on P(A) = e i A P(e i ) i=1

25 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Riippumattomien kokeiden yhdistäminen: tulotodennäköisyyskenttä 25 Suoritetaan n riippumatonta satunnaiskoetta, joiden otosavaruudet ovat S 1, S 2,..., S n ja todennäköisyysmitat P 1, P 2,..., P n. Yhdistetyn kokeen otosavaruus on tällöin S = S 1 S 2... S n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i S i, i = 1, 2,..., n} ja tapahtuman A = A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ) x i A i, i = 1, 2,..., n}, missä A i S i todennäköisyys on P(A) = P 1 (A 1 )P 2 (A 2 )... P n (A n )

26 Erästä tuotetta valmistetaan tehtaassa kahdella koneella. Ensimmäisen koneen tuotannosta on viallisia 3% ja toisen koneen tuotannosta 5%. Otetaan satunnaisesti yksi kappale kummankin koneen tuotannosta. Kiinnostuksen kohteena on se ovatko tuotteet kunnollisia. Yksittäisen kokeiden otosavaruudet ja todennäköisyydet ovat S 1 = {k, v} S 2 = {k, v} P 1 (k) = 0.97 P 2 (k) = 0.95 P 1 (v) = 0.03 P 2 (v) = 0.05 Yhdistetyn kokeen otosavaruus on silloin S = {(k, k), (k, v), (v, k), (v, v)} ja alkeistapausten todennäköisyydet lasketaan tuloina: P(k, k) = P 1 (k)p 2 (k) = , P(k, v) = P 1 (k)p 2 (v) = , P(v, k) = P 1 (v)p 2 (k) = , P(v, v) = P 1 (v)p 2 (v) = Todennäköisyys, että saadaan yksi kunnollinen, on P(X = 1) = P{(k, v), (v, k)} = P(v, k) + P(k, v) = =

27 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Tuloperiaate 27 Jos jokin operaatio on mahdollista suorittaa p eri vaiheessa ja i:nnessä vaiheessa on n i eri valintamahdollisuutta (i = 1,..., p), niin eri vaihtoehtoja on kappaletta. p n i = n 1 n 2... n p i=1

28 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Permutaatiot, variaatiot ja kombinaatiot 28 n-alkioisen joukon permutaatio on joukon alkioista muodostettu järjestetty jono k-variaatio on joukon k-alkioinen järjestetty jono k-kombinaatio on joukon k-alkioinen osajoukko n-alkioisella joukolla on n! = n (n:n kertoma) eri permutaatiota Perustelu: Tuloperiaatteen mukaan 1. alkio voidaan valita n tavalla, 2. alkio n 1 tavalla jne. ja viimeinen alkio yhdellä tavalla.

29 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Permutaatiot, variaatiot ja kombinaatiot 29 n-alkioisella joukolla on (n) k = n (n 1)... (n k + 1) = n! (n k)! eri k-variaatiota Perustelu: Koska jokainen k joukko voidaan järjestää k! eri tavalla, on k-variaatioita siis k! kertaa k-kombinaatioiden määrä. Näin ollen n-alkioisella joukolla on ( n k eli k-kombinaatiota. ) = n! k!(n k)!

30 Arvanmyyjällä on N arpaa, joista voittoarpoja on m kpl. Asiakas ostaa n arpaa. Millä todennäköisyydellä hän saa k voittoarpaa? Otetaan alkeistapauksiksi ( ) n kappaleen kombinaatiot N:n arvan N joukosta, joita on kpl. n ( ) m k voittoarpaa voidaan valita m:n joukosta loput n k ei-voittoarpaa voidaan valita ( k N m n k eri tavalla ) eri tavalla Koska arvat valitaan umpimähkään, on jokainen yhdistelmä yhtä mahdollinen, joten todennä- köisyys saada k voittoa on ( )( ) m N m k n k P( k voittoa ) = ( ) N n

31 Tilastomatematiikan luennoitsijalla on varatossa 25 tenttikysymystä, joista hän päättää valita 5 kysymystä seuraavaan tenttiin täysin satunnaisesti. a) Kuinka monta erilaista tenttiä näin voidaan saada aikaan? b) Opettaja on päättänyt helpottaa opiskelijoiden tenttiinvalmistautumista jakamalla näille kyseisen 25 kysymyksen sarjan ratkaisuineen. Opiskelija, joka ei halua vaivata terävää päätään pänttäämällä teoriaa, päättää selviytyä tentistä opettelemalla ulkoa 10 tärppiä. Millä todennäköisyydellä opiskelija saa tentissa k tehtävää oikein? c) Millä todennaköisyydellä hän pääsee tentistä läpi, jos läpipääsyrajana on 3 oikein? N = 25 tehtävien määrä m = 10 opiskelijan tärpit n = 5 opettajan valitsemat tenttikysymykset a) Erilaisia tenttejä voidaan muodostaa ( ) ( ) N 25 = = 25! = = n 5 5!20!

32 b) P("k oikein")=p("kymmeneen tärppiin osuu k viidestä tenttikysymyksestä") ( )( ) ( )( ) m N m k n k k 5 k = ( N n ) = ( ! 15! = k! (10 k)! (5 k)! (10 + k)! c) P("tentti läpi")= P("3, 4 tai 5 oikein")= P(3) + P(4) + P(5) ( )( ) ) P(3) = P(4) = 3 2 ( ) = 25 5 ( )( ) ( ) = ! 15! 3! 7! 2! 13! = ! 15! 4! 6! 1! 14! =

33 ( )( ) P(5) = 5 0 ( ) 25 = 5 10! 15! 5! 5! 0! 15! = joten P("tentti läpi") = = eli noin 30%:n mahdollisuus.

34 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Ehdollinen todennäköisyys 34 Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on P(A B) = P(A B) P(B) kun P(B) 0 Tulkinta: A:n todennäköisyys (suhteelinen osuus) perusjoukossa B A:n todennäköisyys, jos B varma ominaisuuden A toteuttavien alkeistapausten suhteelinen osuus niiden alkeistapausten joukossa, joilla on ominaisuus B

35 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Ehdollinen todennäköisyys 35 Kertosääntö: P(A B) = P(B)P(A B) = P(A)P(B A) Yleistys: Jos P(A 1 A 2... A n 1 ) > 0, niin P(A 1 A 2... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A 2... A n 1 ) HUOM: Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyyden perusominaisuudet, esim. P(Ā B) = 1 P(A B)

36 Eräällä osastolla on 100 fuksia, joista 80 osallistuu kurssille A ja 30 kurssille B. Molemmille kursseille osallistuu 20 fuksia. Vastaan osuu satunnainen tuta osaston fuksi, joka on nähty ainakin kurssilla B. Millä todennäköisyydellä häneen törmää myös kurssilla A? Ratkaisu: P(A) = = , P(B) = 100 = , P(A B) = 100 = 2 10, joten P(A B) = P(A B) P(B) = 2 3

37 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Tilastollinen riippumattomuus 37 Tapahtumat A ja B ovat keskenään riippumattomat, jos ja vain jos Tulkinta P(A B) = P(A)P(B) eli jos P(A B) = P(A), kun P(B) 0 eli jos P(B A) = P(B), kun P(A) 0 toisen sattuminen (varmasti) ei vaikuta toisen todennäköisyyteen tapahtumat eivät ole missään vuorovaikutuksessa keskenään

38 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Tilastollinen riippumattomuus 38 A: todennäköisyys (suhteellinen osuus) joukossa B on sama kuin koko otosavaruudessa S B: todennäköisyys (suhteellinen osuus) joukossa A on sama kuin koko otosavaruudessa S

39 Jatkoa edelliseen esimerkkiin fukseista: P(A)P(B) = = 0.24 P(A B) = 0.2 joten kursseille A ja B osallistuminen eivät ole riippumattomia, eli se osallistuuko kurssille B vaikuttaa siihen, että osallistuuko kurssille A

40 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys 40 Oletetaan, että otosavaruus S jakaantuu erillisiin ositteisiin A 1, A 2,..., A n eli S = A 1 A 2... A n ja A i A j =, kun i j Kun tapahtuman B todennäköisyys joukoissa A i tunnetaan, voidaan laskea tapahtuman B kokonaistodennäköisyys: P(B) = P(A 1 )P(B A 1 ) P(A n )P(B A n ) Perustelu: Koska B = B S = B (A 1... A n ) = (B A 1 )... (B A n ), ja yhdisteen joukot ovat erillisiä, saadaan yo. kaava soveltamalla sääntöä P(B A i ) = P(A i )P(B A i ).

41 Satunnaiskokeet ja satunnaismuuttujat Joukko-oppia Todennäköisyys Kombinaatio-oppia Ehdollinen todennäköisyys Tilastollinen riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava 41 Edellisestä seuraa Bayesin kaava, jolla lasketaan käänteiset ehdolliset todennäköisyydet: P(A i B) = P(A i)p(b A i ) P(B) = P(A i )P(B A i ) P(A 1 )P(B A 1 ) P(A n )P(B A n )

42 Väestöstä 0.1 % on erään viruksen kantajia. Laboratoriotesti viruksen toteamiseksi antaa oikean (positiivisen) tuloksen todennäköisyydellä 0.99, jos henkilö on viruksen kantaja. Jos henkilö on terve, testi antaa oikean (negatiivisen) tuloksen todennäköisyydellä Jos satunnaisesti valittu henkilö testataan ja tulos on positiivinen, millä todennäköisyydellä kyseinen henkilö on todella viruksen kantaja? Merkitään V = "viruksen kantaja" T = "terve" + = "testi positiivinen" - = "testi negatiivinen" Tiedetään todennäköisyydet P(V ) = P(T ) = P(+ V ) = 0.99 P(+ T ) = 0.05 P( V ) = 0.01 P( T ) = 0.95

43 Kysytty todennäköisyys on P(V +) P(V +) = = P(+) P(V ) P(+ V ) P(+) missä P(+) = P(V )P(+ V ) + P(T )P(+ T ) = = josta P(V +) = = = 0.02 (Bayesin kaava), Suurin osa positiivisiksi testatuista on siis terveitä! (Tulos tunnetaan kirjallisuudessa nimellä "False positive paradox".) Helpommin ymmärrettävissa suhteellisten frekvenssien avulla: Jos väeston koko on N, niin terveitä on 0.999N, viruksen kantajia 0.001N. Positiivisen tuloksen saavia terveitä on 0.05(0.999N)yksilöä ja positiivisen tuloksen saavia viruksen kantajia on 0.99(0.001N) yksilöä. Positiivisen tuloksen saavia on yhteensa N, joista viruksen 0.99 (0.001N) kantajien suhteellinen osuus on = N

44 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia 44 Satunnaismuuttuja on muuttuja, jonka arvo koetta tai mittausta toistettaessa vaihtelee enalta arvaamattomasti, jonkin satunnaismekanismin mukaan Satunnaismuuttujan jakauma on malli, joka kuvaa satunnaismuuttujan arvojen vaihtelua pitkällä tähtäimellä, koko perusjoukossa

45 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Diskreetti satunnaismuuttuja 45 Satunnnaismuuttuja X on diskreetti, jos sillä on äärellinen tai numeroituva määrä mahdollisia arvoja. Pistetodennäköisyysfunktio p(x) = P(X = x) ilmaisee kaikkien mahdollisten arvojen todennäköisyydet eli määrittää X :n jakauman Jakauman kertymäfunktio pisteessä x on F (x) = P(X x) Kertymäfunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla. F (x) = x i x p(x i )

46 Olkoon X =koneen käyttökatkojen määrä vuorokaudessa. Oletetaan, että seuraavat todennäköisyydet on määritetty (suhteellisina frekvensseinä pitkällä aikavälillä): p(0) = P(X = 0) = 0.45 p(1) = P(X = 1) = 0.30 p(2) = P(X = 2) = 0.15 p(3) = P(X = 3) = 0.06 p(4) = P(X = 4) = 0.04 Jakauman kertymäfunktio on F (x) = 0 kun x < kun 0 x < kun 1 x < kun 2 x < kun 3 x < 4 1 kun x 4 Todennäköisyys että vuorokaudessa on korkeintaan 2 katkoa on P(X 2) = F (2) = 0.9 Todennäköisyys, että vuorokaudessa on vähintään 3 katkoa on kertymäfunktion avulla P(X 3) = 1 P(X 2) = 1 F (2) = = 0.1

47 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Diskreetin jakauman ominaisuuksia p(x) 1 2. p(x) = 1 x 3. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on porrasfunktio 4. P(a < X b) = F (b) F (a). Jos X saa vain kokonaislukuarvoja ja a < b kokonaislukuna, niin b P(a X b) = p(x) = F (b) F (a 1) x=a

48 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Jatkuva satunnaismuuttuja 48 Olkoon X nyt jatkuva satunnaismuuttuja. Sen arvojen jakautumista kuvaa ei-negatiivinen tiheysfunktio f (x), josta eri arvovälien todennäköisyydet saadaa integroimalla. Jakauman kertymäfunktio on F (x) = P(X x) = x f (t)dt ja välin a X b todennäköisyys lasketaan kaavalla P(a X b) = b a f (t)dt

49 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Jatkuva jakauman ominaisuuksia f (x) 0 2. f (t)dt = 1 3. Jatkuvan jakauman kertymäfunktio on jatkuva, ja F (x) = f (x) 4. P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b) = F (b) F (a) = 5. P(X = a) = a a f (x)dx = 0 b a f (x)dx.

50 Oletetaan, että erään bensiinin lyijypitoisuus X voi vaihdella välillä g/l ja sen jakauman tiheysfunktio on { 12.5x 1.25 kun 0.1 x 0.5 f (x) = 0 muualla a) Mikä on jakauman kertymäfunktio? P(X x) = x f (t)dt 0 kun x < 0 x 0.1 (12.5x 1.25)dt kun 0.1 x 0.5 F (x) = = x 0.1 (6.25t2 1.25t) = 6.25x x kun x > 0.5 b) Millä todennäköisyydellä satunnaisen bensiinilitran lyijypitoisuus on välillä g? P(0.2 X 0.3) = ( )dt =... =

51 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Odotusarvo ja varianssi 51 Odotusarvo on satunnaismuuttujan jakauman keskiarvo. Merkitään µ, E(X ) tai EX Varianssi ja sen neliöjuuri, (keski)hajonta, kuvaavat satunnaismuuttujan arvojen vaihtelua ja levinneisyyttä odotusarvojen ympärillä. Merkintä σ 2, D 2 (X ), D 2 X tai Var(X )

52 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Diskreetti satunnaismuuttuja 52 Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat x 1, x 2,... todennäköisyyksin p(x 1 ), p(x 2 ),... Odotusarvo: µ = EX = i x i p(x i ) Varianssi σ 2, = D 2 X = E(X µ) 2 = i (x i µ) 2 p(x i ) Hajonta σ = DX = σ 2

53 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Jatkuva satunnaismuuttuja 53 Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on f (x) Odotusarvo: µ = EX = xf (x)dx Varianssi σ 2, = D 2 X = E(X µ) 2 = Hajonta σ = DX = σ 2 (x µ) 2 f (x)dx Koska E(X µ) 2 = E(X 2 ) µ 2, saadaa varianssille käsin laskettaessa kätevämpi kaava: σ 2 = i σ 2 = x 2 i p(x i ) µ 2, kun X diskreetti x 2 f (x)dx µ 2, kun X jatkuva

54 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Ominaisuuksia satunnaismuuttujalle E(X + Y ) = EX + EY 2. E(aX ) = aex, E(a) = a kun a on vakio 3. Kun X ja Y ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, niin D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y D 2 (X Y ) = D 2 X + D 2 Y 4. D 2 (ax ) = ad 2 X, D 2 (a) = 0 kun a on vakio 5. Jos g(x ) on satunnaismuuttujan X funktio, niin g(x ) on myös satunnaismuuttuja, jonka jakauma määräytyy X :n jakaumasta ja E(g(X )) = g(x i )p(x i ), kun X on diskreetti E(g(X )) = g(x)f (x)dx, kun X on jatkuva

55 Olkoon X koneen käyttökatkojen määrä vuorokaudessa, jakaumana p(0) = 0.45 p(1) = 0.30 p(2) = 0.15 p(3) = 0.06 p(4) = Odotusarvo: µ = EX = xp(x) = x= = Varianssi: σ 2 = D 2 X = x 2 p(x) µ 2 = x= = Hajonta: σ = Jos yhdestä käyttökatkosta aiheutuu kiinteä kustannus, esim. 50e niin kustannusten C = 50X, odotusarvo on E(C) = E(50X ) = 50E(X ) = 47e vuorokaudessa.

56 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Binomijakauma 56 Satunnaiskoe, jossa tapahtuman A todennäköisyys on p, toistetaan n kertaa siten, että toistot ovat riippumattomia. Tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä n:n kokeen joukossa noudattaa tällöin binomijakaumaa parametrein n ja p. Jakauman pistetodennäköisyysfunktio on ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n k Merkintä: X Bin(n, p) Odotusarvo: EX = np Varianssi: D 2 X = np(1 p)

57 Olkoon X viallisten lamppujen määrä 4 kappaleen rasiassa. Oletetaan, että tuotantoprosessissa syntyy viallisia lamppuja keskimäärin 10%. Kyseessä on tällöin toistokoe, missä n = 4 ja viallisen lampun todennäköisyys p = 0.1. Kokeita voidaan pitää riippumattomina, olettaen että lamput on poimittu sattumanvaraisesti. Viallisten määrä noudattaa siis binomijakaumaa Bin(4, 0.1). Perustelu todennäköisyydelle: Alkeistapahtumat ovat {kkkk, kkkv, kkvk, kvkk, vkkk, kkvv, kvkv, kvvk, vkkv, vkvk, vvkk, kvvv, vkvv, vvkv, vvvk, vvvv} (2 4 = 16 alkeistapausta) Koska lamput toisistaan riippumattomia saadaan alkeistapahtumien todennäköisyydet tuloina. P(kkkk) = (1 p) 4 = P(kkkv) = p(1 p) 3 = (sama kaikille tapauksille joissa 1 viallinen, 3 kunnollista) P(kkvv) = p 2 (1 p) 2 = (sama kaikille tapauksille joissa 2 viallista, 2 kunnollista)

58 jne. Esim. P(X = ( 2) ) = P({kkvv, kvkv, kvvk, vkkv, vkvk, vvkk}) = = = ) 2 Yleinen tapaus: Kunkin alkeistapauksen, jossa tapahtuma sattuu x kertaa, todennäköisyys on p x (1 p) n x. Tällaisia alkeistapauksia on kpl, josta seuraa binomitodennäköisyyden kaava.. ( ) n x

59 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Poisson-jakauma 59 Kun binomijakaumassa n ja np pysyy vakiona (eli p 0), niin ( n P(X = k) = )p k (1 p) n k (np)k e np, k = 0, 1,... k k! Merkitään λ = np. Satunnaismuuttuja X noudattaa Poisson-jakaumaa parametrillä λ, jos sen pistetodennäköisyysfunktio on P(X = k) = λk k! e λ, k = 0, 1,... Merkintä: X Poisson(λ) tai X P(λ) Odotusarvo: EX = λ Varianssi: D 2 X = λ

60 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Poisson-jakauma 60 Yhteenlaskuominaisuus: Jos X Poisson(λ 1 ) ja Y Poisson(λ 2 ) ja X ja Y ovat riippumattomat, niin X + Y Poisson(λ 1 + λ 2 ) Yleistys: Olkoon satunnaismuuttuja X tiettyjen tapausten A määrä aikayksikössä ja X Poisson(λ). Jos satunnaismuuttuja X t = tapausten A määrä t aikayksikössä (t > 0) ja aikavälit ovat toisistaan riippumattomat, niin X t Poisson(λt)

61 Ydinvoimalassa sattuu havaittavissa oleva radioaktiivinen päästö satunnaisesti, keskimäärin kaksi kertaa kuussa. Päästöjen lukumäärän aikayksikössä voidaan katsoa noudattavan Poisson-jakaumaa. (Miksi?) a) Millä todennäköisyydellä kuukauden aikana sattuu vähintään neljä päästöä? b) Millä todennäköisyydellä ensimmäinen päästö havaitaan aikaisintaan kolmen kuukauden kuluttua? c) Johda ensimmäiseen päästöhavaintoon kuluvan ajan jakauma (jatkuva jakauma!). Koska päästöt tapahtuvat sattumanvaraisesti, toisistaan riippumatta ja keskimääräisellä vakiotiheydellä, lukumäärän jakaumaksi sopii Poisson. a) Päästöjen lukumäärä kuussa X (2), λ = 2 P(X 4) = 1 P(X 3) = 1 0, 857 = 0, 143

62 b) P( ensimmäinen päästö aikaisintaan 3kk kuluttua ) = P( ei yhtään päästöä 3kk:n aikana ) = P(X 3 = 0), missä X 3 on päästöjen lukumäärä 3kk aikana X 3 Poisson(3λ) = Poisson(6) P(X 3 = k) = 6k k! e 6, joten kysytty todennäköisyys on = P(X 3 = 0) = 60 0! e 6 = e 6 = 0, 0025 c) Olkoon T ensimmäiseen päästöhavaintoon kuluva aika lähtötilanteesta (kk). Johdetaan kertymäfunktio: F (t) = P(T t) = 1 P(T > t) = 1 P( ensimmäinen päästö aikaisintaan t kk:n kuluttua ) = 1 P( ei yhtään päästöä t kk:ssa )

63 Olkoon X t päästöjen lukumäärä t kk:ssa X t Poisson(λ t) = Poisson(2t) P(X t = k) = (2t)k k! P(X t = 0) = e 2t e 2t F (t) = 1 P(X t = 0) = 1 e 2t, kun t>0 T:n jakauman tiheysfunktio on: f (t) = F (t) = 2e 2t, kun t>0 Tämä on eksponentiaalijakauman Exp(2) tiheysfunktio, joten T Exp(2)

64 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Tasajakauma 64 Satunnaismuuttuja X, jonka arvot ovat välillä (a, b) siten, että kaikilla välin pisteillä on yhtäläinen mahdollisuus tulla valituksi, noudattaa tasajakaumaa välillä (a, b), merk. X U(a, b). f (x) = { 1 b a kun a < x < b 0 muualla. Jakauma kertymäfunktio on 0 kun x a x a F (x) = b a kun a < x < b 1 kun x b Odotusarvo: EX = a+b 2 Varianssi: D 2 X = (b a)2 12

65 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Eksponentiaalijakauma 65 Satunnaismuuttuja X noudattaa eksponentiaalijakaumaa parametrilla λ, merk. X Exp(λ), jos sen tiheysfunktio on muotoa { λe λx kun x > 0 f (x) = 0 kun x 0 Kertymäfunktio on 1 e λx, kun x > 0 Odotusarvo: EX = 1 λ Varianssi: D 2 X = 1 λ 2

66 Suurkaupungin eräs paloasema saa hälytyksen keskimäärin 7 tunnin välein. a) Mikä voisi olla hälytysten välisen ajan jakauma ja miksi? Koska hälytykset sattuvat toisistaan riippumatta, sattumanvaraisesti keskimääräisellä vakiotiheydellä, niiden lukumäärän voi katsoa noudattavan Poisson-jakaumaa ja hälytysten välinen aika T noudattaa eksponentiaalijakaumaa, odotusarvona ET = 1/λ = 7 λ = 1/7. Jakauman kertymäfunktio on F (t) = P(T t) = 1 e t/7, kun t > 0. b) Millä todennäköisyydellä hälytyksen jälkeen kuluu alle 3 tuntia seuraavaan? P(T < 3) = P(T 3) = F (3) = 1 e 3/ c) Jos edellisestä hälytyksestä on kulunut jo 3 tuntia, millä todennäköisyydellä seuraavaan kuluu vielä ainakin 2 tuntia? P(T T 3) = P(T 2) = 1 F (2) = e 2/7 0.75

67 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakauma 67 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ ja σ 2, merk. X N(µ, σ 2 ), jos X :n tiheysfunktio on muotoa f (x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Odotusarvo: EX = µ (määrää jakauman sijainnin) Varianssi: D 2 X = σ 2 (määrä jakauman leveyden) Tiheysfunktion kuvaaja on ns. Gaussin kellokäyrä:

68 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakauma 68 Standardoitu normaalijakauma: µ = 0, σ 2 = 1 X N(0, 1) Standardointi eli normeeraus: Jos X N(µ, σ 2 ), niin Z = X µ σ N(0, 1)-jakauman kertymäfunktio: N(0, 1) Φ = P(Z z) = z 1 2π e x2 2 Tiheysfunktio on symmetrinen origon suhteen, joten Φ( z) = 1 Φ(z).

69 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakauma 69 Todennäköisyyksien laskeminen: Olkoon X N(µ, σ 2 ) ja Z = (X µ)/σ, jolloin Z N(0, 1). Olkoon a ja b reaaliluuja. Silloin P(X a) = P( X µ σ a µ σ ) = P(Z a µ σ ) = Φ(a µ σ ) P(a X b) = P( a µ σ = P( a µ σ X µ σ b µ σ ) Z b µ σ ) = Φ(b µ σ ) Φ(a µ σ )

70 Erään ammattiryhmän vuositulot ovat normaalisti jakautuneet, keskiansiona µ = 30264e ja hajontana = 2437 e. a) Kuinka suuri osuus ammattikunnasta jää vuositulorajan e alapuolelle? Merkitään ko. ammatin harjoittajan vuosituloa satunnaismuuttujalla X. ( X µ P(X 25000) = P σ µ ) ( = P Z σ ) = P(Z 2.16) = Φ( 2.16) = 1 Φ(2.16) = = %

71 b) Määritä tuloraja, jonka alapuolelle jää 25 % ammattikunnasta. Kysytty tuloraja q toteuttaa ehdon P(X q) = 0.25, josta ( X µ P(X q) = P q ) ( ) q = Φ = 0.25 σ Koska Φ( z) = 1 Φ(z), saadaan ( ) q Φ = Normaalijakauman taulukon perusteella Φ(0.6745) = 0.75, joten q 2437 = , josta saadaan tulorajaksi q = e

72 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakauma 72 Ominaisuuksia: 1. Jos X N(µ 1, σ 2 1 ) ja Y N(µ 2, σ 2 2 ) toisistaan riippumattomia, niin X + Y N(µ 1 + µ 2, σ σ2 2 ) X Y N(µ 1 µ 2, σ σ2 2 ) 2. Jos X N(µ 1, σ1 2 ) ja a ja b ovat vakioita, niin ax N(aµ, a 2 σ 2 ) ax + b N(aµ + b, a 2 σ 2 )

73 Kappaleen uran leveys on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, odotusarvona 6.0 cm ja hajontana 0.07 cm. Akselin leveys on myös normaalijakautunut satunnaismuuttuja, hajontana 0.03 cm. Leveyden odotusarvoa voidaan säätää. Kuinka suuri odotusarvo saa olla, jotta mahtumistodennäköisyys olisi 95%? Uran leveys X 1 N(6, ) Akselin leveys X 2 N(µ, ) Mahtumistodennäköisyys: P(X 1 > X 2 ) = P(X 1 X 2 > 0) Erotusmuuttuja Y = X 1 X 2 N(µ y, σy 2 ), missä µ y = E(Y ) = E(X 1 ) E(X 2 ) = 6 µ σy 2 = D 2 (Y ) = D 2 (X 1 ) + D 2 (X 2 ) = = ( ) 0 (6 µ) P(X 1 X 2 > 0) = P(Y > 0) = P z > = P ( z > µ ) = 0.95

74 Jotta voidaan käyttää taulukoita, tämä on lausuttava kertymäfunktion (z) = P(Z z) avulla ( P z < 6 µ ) ( ) 6 µ = 0.95 Φ = Normaalijakauman taulukon perusteella Φ(1.6449) = 0.95, joten 6 µ = µ = = 5.87 cm

75 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia χ 2 - jakauma 75 jos X 1, X 2,..., X ν ovat riippumattomia, N(0, 1)-jakautuneita satunnaismuuttujia, niin satunnaismuutuja U = X X X 2 ν noudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastein ν, merk. U χ 2 (ν) Odotusarvo: EU = ν Varianssi: D 2 U = 2ν

76 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia t - jakauma 76 jos X 1, X 2,..., X ν ovat riippumattomia, N(0, 1)-jakautuneita satunnaismuuttujia, niin satunnaismuutuja X T = X X X ν 2 ν noudattaa t-jakaumaa vapausastein ν, merk. T t(ν) Odotusarvo: ET = 0 Varianssi: D 2 T = ν ν 2, kun ν > 2

77 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia F - jakauma 77 jos X 1, X 2,..., X n ja Y 1, Y 2,..., Y m ovat riippumattomia, N(0, 1)-jakautuneita satunnaismuuttujia, niin satunnaismuutuja F = X Xn n Y Ym m noudattaa F -jakaumaa vapausastein ν 1 = n, ν 2 = m, merk. F F (ν 1, ν 2 )

78 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Jakauman p-pisteet 78 Jakauman p-piste eli p-fraktiili, p-kvantiili on se lukuarvo x p, jolla kertymäfunktio saa arvon p: F (x p ) = p jolla tiheysfunktion ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä (, x p ) on p jota pienempiä tai yhtäsuuria arvoja esiintyy 100p%.

79 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Keskeinen raja-arvolause 79 Kun X 1, X 2,..., X n ovat riippumattomia, samaa jakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joilla on äärellinen odotusarvo EX i = µ ja varianssi D 2 X i = σ 2, i = 1, 2,..., n, niin suurilla n:n arvoilla niiden summamuuttuja S n = X 1 + X X n noudattaa likimain normaalijakaumaa, merkitään X 1 + X X n a N(nµ, nσ 2 ) Silloin: X = 1 n (X 1 + X X n ) a N(µ, σ 2 /n). Summamuuttujaa koskevia todennäköisyyksiä voidaan approksimoida normaalijakauman kertymäfunktion avulla.

80 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Keskeisen raja-arvolauseen yleinen muoto 80 Kun X 1, X 2,..., X n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, odotusarvoina EX i = µ i ja variansseina D 2 X i = σi 2 niin suurilla n:n arvoilla X 1 + X X n a N(µ, σ 2 ) missä µ = µ 1 + µ µ n ja σ 2 = σ1 2 + σ σn 2

81 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Milloin keskeistä raja-arvolausetta voi soveltaa? 81 Summattavien lukumäärä n 30 on yleensä riittävä. Periaatteessa approksimaatio on sitä tarkempi, mitä symmetrisempi X i :den jakauma on. Approksimaation virhe on sitä pienempi, mitä suurempi n ja mitä symmetrisempi summattavien jakauma. Useille summamuuttujille normaalijakauma-approksimaatio on käytännössä ainoa keino todennäköisyyksien laskemiseksi. Yleisesti summa ei noudata samaa jakaumaa kuin summattavat ja summamuuttujan tarkka jakauma saattaa olla varsin hankala määrittää.

82 Kun satunnaisia reaalilukuja pyöristetään kokonaisluvuiksi, niin yhden luvun pyöristysvirhe noudattaa tasajakaumaa välillä ( 0.5, 0.5). On laskettava yhteen 60 reaalilukua, jotka pyöristetään ennen yhteenlaskua kokonaisluvuiksi. Millä todennäköisyydellä summan virhe on itseisarvoltaan korkeintaan 2.0? Summattavat luvut A i = B i + X i, i = 1,..., n missä B i = tarkka arvo, A i = pyöristetty arvo, X i = pyöristysvirhe n n n Summa: A i = B i + i=1 i=1 Summan virhe: X = n i=1 X i i=1 X i

83 Missä X i U( 0.5, 0.5), i = 1,..., n, n = 60 µ = EX i = a + b 2 σ 2 = D 2 (b a)2 X i = 12 = = 0 (0.5 ( 0.5))2 = = Koska n suuri ja X i :den jakauma symmetrinen, niin summamuuttuja X noudattaa likimain normaalijakaumaa parametrein EX = D 2 X = n EX i = nµ = 60 0 = 0 i=1 n i=1 D 2 X i = nσ 2 = = 5 P( X 2) = P( 2 X 2) = P( 2 5 Z 2 5 ) = P( Z ) Φ(0.89) Φ( 0.89) = Φ(0.89) (1 Φ(0.89)) = 2Φ(0.89) 1 = =

84 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio 84 Olkoon X Bin(n, p). X voidaan esittää muodossa X = X 1 + X X n, missä X i on Bernoullin kokeen tulos: P(X i = 1) = p ja P(X i = 0) = 1 p. X on tutkittavan tuloksen esiintymisten lukumäärä n:n kokeen joukossa, odotusarvona EX = np ja varianssina D 2 X = np(1 p) Kun n on tarpeeksi suuri, niin keskeisen raja-arvolauseen perusteella X a N(np, np(1 p)) joten binomijakauman kertymäfunktiota voidaan tarvittaessa approksimoida normaalijakauman avulla.

85 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio 85 Suhteellista osuutta p koskevassa tilastollisessa päättelyssä käytetään satunnaismuuttujaa P = X /n, joka on myös asymptoottisesti normaalinen: P a N(p, p(1 p)/n). Standardoimalla saadaan tulos X np np(1 p) = P p p(1 p) n a N(0, 1)

86 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Binomijakauman normaalijakauma-approksimaatio 86 Milloin voidaan käyttää Poisson- milloin normaalijakaumaapproksimaatiota? Poisson-jakauma-approksimaatio sopii, kun n on suuri ja p pieni. Normaalijakauma-approksimaatio sopii, kun p on lähellä arvoa 0.5, jolloin jakauma lähellä symmetristä. Käytännössä riittää, että n on niin suuri, että np(1 p) > 9.

87 Diskreetti satunnaismuuttuja Jatkuva satunnaismuuttuja Odotusarvo ja varianssi Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Jatkuvuuskorjaus 87 Kun normaalijakaumalla approksimoidaan diskreettiä jakaumaa, kuten Bin(n, p), voidaan approksimaatiota tarkentaa seuraavasti: Olkoon X satunnaismuuttuja, joka saa vain kokonaislukuarvoja. Jos a on kokonaisluku, niin P(X a) = P(X a + 0.5) = P( X µ σ a µ ) σ = P(Z a µ σ kun X on likimain normaalinen. ) = Φ( a µ ) σ

88 Tehtaan tuottamista vempaimista on 2% viallisia. Kauppiaalle lähetetään 500 satunnaista vempainta tarkastamatta. Viallisten määrä X noudattaa silloin jakaumaa Bin(500, 0.02). Todennäköisyys, että kauppias saa viallista, on binomijakauman mukaan Laske todennäköisyys käyttäen a) Poisson-approksimaatiota P a Poisson(λ), missä λ = np = = 10 P(10 X 20) = P(X = 10)+P(X = 11)+...+P(X = 20) ( ! ! ! )e 10 = b) normaalijakauma-approksimaatiota. X a N(µ, σ 2 ), missä µ = np = 10, σ 2 = np(1 p) = 9.8 Z = X a N(0, 1)

89 Jatkuvuuskorjausta käyttäen: = P P(10 X 20) = P(9.5 X 20.5) ( ) Z = P(0.16 Z 3.35) Φ(3.35) Φ( 0.16) = Φ(3.35) (1 Φ(0.16)) = ( ) =

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille

Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Todennäköisyyslaskenta sivuaineopiskelijoille Tentit: 4.11.2013 ja 2.12.2013. Loput kaksi tenttiä (vuonna 2014) ilmoitetaan myöhemmin. Tentissä on 4 tehtävää á 8 pistettä, aikaa 4 tuntia. Arvostelu 0 5.

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys

Määritelmä 3.1 (Ehdollinen todennäköisyys) Olkoot A ja B otosavaruuden Ω tapahtumia. Jos P(A) > 0, niin tapahtuman B ehdollinen todennäköisyys Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus Tässä luvussa käsitellään satunnaismuuttujien ominaisuuksia ja täydennetään todennäköisyyslaskennan tietoja. Erityisesti satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014 1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Opintomoniste kurssille MAT-25 Todennäköisyyslaskenta, Tampereen teknillinen yliopisto Antti Perttula, Kimmo Vattulainen, Tia Suurhasko Versio 9/212 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

Hypoteesin testaus Alkeet

Hypoteesin testaus Alkeet Hypoteesin testaus Alkeet Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Johdanto Kokeellinen tutkimus: Varmennetaan teoreettista olettamusta fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Otanta ilman takaisinpanoa

Otanta ilman takaisinpanoa Otanta ilman takaisinpanoa Populaatio, jossa N alkiota (palloa, ihmistä tms.), kahdenlaisia ( valkoinen, musta ) Poimitaan umpimähkään (= symmetrisesti) n-osajoukko eli otos Merkitään tapahtuma A k = otoksessa

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/73 Johdanto Moderni yhteiskunta: Todellisuuden tilastollinen malli Kolme

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 2 Jukka Kemppainen Mathematics Division Satunnaismuuttuja Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot