Marko Tapani Sysi-Aho 485P Pääaine: Systeemi- ja operaatiotutkimus Mat-2.18 Sovelletun matematiikan erikoistyöt (2/2) Osaketuottojen tyylitellyt faktat ja Minority Game Espoo 31.8.21

Sisältö 1 Johdanto 2 2 Tyylitellyt faktat havaintoaineistossa 4 2.1 Data.................................... 4 2.2 Leptokurtisuus.............................. 5 2.3 Autokorrelaatiot............................. 5 3 Minority Game pelit 8 3.1 Standardi MG............................... 9 3.2 MG ja tyylitellyt faktat......................... 12 3.3 MG modikaatioehdotus......................... 14 4 Pohdinnat ja yhteenveto 15 1

1 Johdanto Nykyisen rahoitusteorian juuret ulottuvat viime vuosisadan alkuun, 19-luvulle. Tuolloin ranskalainen matemaatikko Bachelier [11] kehitti satunnaiskävelyprosessin tutkiessaan osaketuottoja. Hänen alkuperäisessä mallisaan oletettiin prosessissa olevat satunnaismuuttujat riippumattomiksi, ja normaalijakautuneiksi. Myöhemmin havaittiin, että kumpikaan näistä oletuksista ei ollut alkuperäiseen tarkoitukseensa, osaketuottojen kuvaukseen erityisen hyvä [1, 2, 1, 3]. Käynnistyi laaja ja perusteellinen tilastollinen tutkimus, jonka tarkoituksena oli selvittää miltä osin tuotot poikkesivat Bachelierin perusolettamuksista, ja mitkä ovat tuottojen todelliset tilastolliset piirteet. Tätä tutkimusta tekivät 196199 lukujen aikana monen eri alan tieteiden harjoittajat, ja tutkimukset kohdistuivat lukuisiin indekseihin ja osakkeisiin [13, 12, 6, 14, 4, 16]. Kohteiden laajasta kirjosta huolimatta kaikissa tapauksissa tuloksissa esiintyi yhteisiä piirteitä, ns. tyyliteltyjä faktoja. Päällimmäisinä näistä nousevat esille tuottojakauman leptokurtisuus,varianssin klusteroituminen, ja tuottojen itseisarvojen huomattavan pitkälle ulottuvat autokorrelaatiot vastakohtana itse tuottojen lyhyille autokorrelaatioille. Vaikka tyylitellyt faktat ovat olleet kauan tiedossa, on selityksiä niiden syntymekanismille yritetty ratkoa vakavasti vasta viime aikoina. Aiemmin valtaosa tutkimuksesta ja mallien kehittelystä lähti liikkeelle teorian käytännön sovelluksista [14, 4]. Esimerkiksi tuottojakauman oikealla muodolla sinänsä on monia sovelluksia hinnoittelussa ja riskienhallinnassa; tieto siitä miksi muoto on sellainen kuin on, ei näissä sovelluksissa ole keskeisellä sijalla. Tiettyä valaistusta tyyliteltyjen faktojen syntyyn antoivat leptokurtisia jakaumia synnyttävät stokastiset prosessit, kuten levy lento tai erilaiset geometrisen brownin liikkeen yleistykset. Näissä brownin liikkeen stokastiseen dierentiaaliyhtälöön lisättiin termejä tai sallittiin parametrien aika- ja paikkariippuvuus [18, 17]. Stokastisia malleja paremmin tyyliteltyjen faktojen syntyyn voidaan kuitenkin pureutua agenttipohjaisten mallien avulla. Näiden mallien lähtökohtana on luoda markkinoilla toimiville agenteille toimintastrategia tiettyjen yleisesti sopivina pidettyjen sääntöjen pohjalta. Klassiset agenttimallit perustuvat oletukseen tehokkaista markkinoista: agentit ovat rationaalisia, ne pystyvät hyödyntämään kaiken markkinoille saapuvan informaation ja kuvaamaan tämän informaation hintoihin. Agenttien toiminta on virheetöntä, ja kaikki ovat yhtä eteviä; kun agentit kohtaavat hinnoitteluongelman tai sijoituspäätöksen ei synny arbitraasi mahdollisuuksia. Agenttien toimintaa ohjaavat hyötyfunktiot, jokainen toimii siten että oma hyöty maksimoituu. Peliteoreettisissa malleissa agentit voivat maksimoida hyötyä ottamalla huomioon kaikkien markkinoilla vaikuttavien pelaajien toimet. Yksinkertaisemmissa malleissa 2

pelaajat ottavat huomioon vain omat toimintansa. Klassisten mallien suuri puute on teorian irrallisuus todellisuudesta. Markkinoilla toimivat agentit ovat sijoituspäätöksiä tehdessään kaikkea muuta kuin samanarvoisia. Rationaalista hintaa ei ole, tai ainakaan sitä ei kukaan osaa laskea. Kaikkea markkinoille saapuvaa informaatiota ei kyetä täydellisesti hyödyntämään eikä siirtämään hintoihin. Spekulanttien markkinoilla tekemien päätösten vaikutusta ei niin ikään voida ennustaa. Lähes kaikki mallin pohjana olevat oletukset kaatuvat kritiikin edessä. Muun muassa edellä mainittujen ongelmien vuoksi on hiljattain alettu kehittää vaihtoehtoisia agenttipohjaisia malleja. Tunne siitä että yksittäisen toimijan avulla voidaan selittää aggregaattisuureiden käytöstä on vahva, ja syntyvä teoria antaa puutteellisenakin markkinoiden toiminnasta muita lähestymistapoja syvällisemmän kuvan. Erityisen mielenkiintoisen vaihtoehdon agenttipohjaisiin malleihin tarjoaa Minority Game (MG), joka pohjimmiltaan on karkea peliteorreettisten mallien erikoistapaus. Minority Game sai alkunsa vuonna 1997, kun fyysikot Challet ja Zhang [7] pelkistivät Arthurin kuuluisaa El Farol baari ongelmaa [19]. Alkuperäisessä ongelmassa satapäisellä joukolla Santa Fe'n tutkijoita oli tapana työpäivän päätteeksi mennä El Farol nimiseen baariin, jossa oli ainoastaan 6 istumapaikkaa. Kaikki halusivat mieluiten baariin, mutta olivat ennemmin kotona kuin seisoivat baarissa. Näin tutkijoiden keskuuteen syntyi pulma, jossa etukäteen pyrittiin laatimaan oikea strategia päivän päätteeksi. MG alkuperäisessä muodossaan muunti ongelman siten että päätöksentekijä kunakin hetkenä valitsee toisen kahdesta vaihtoehdosta, ja ne jotka lopuksi kuuluvat vähemmistöön voittavat. Myöhemmin MG periaatetta on yleistetty, ja luotavan mallin tavoiteena on usein osaketuottojen tyyliteltyjen faktojen selittäminen. Hieman yllättäen työtä tällä saralla ovat pääasiassa tehneet fyysikot, jotka ovat hyödyntäneet monia analogioita spinglass teorian ja MG:n välillä. Selkeänä tavoitteena on ollut pyrkimys teoriaan, joka pysyy analyyttisesti hallittavissa. Tässä erikoistyössä havainnollistetaan Standard and Poors 5 (SP) osake indeksissä esiintyviä tyyliteltyjä faktoja, ja perehdytään MG:n perusversioihin. Tarkoituksena on saada yleiskuva MG tutkimuksen tämän hetkisestä tilasta ja selvittää voidaanko peliin pohjautuvilla malleilla tuottaa tyyliteltyjä faktoja. Konkreettisemmin asiaan pureudutaan kehittämällä simulointi ohjelma, jolla voidaan tarkastella yksinkertaista MG peliä. Lisäksi ehdotetaan uutta MG pohjaista mallia koodaukseen riittävällä tarkkuudella. 3

2 Tyylitellyt faktat havaintoaineistossa Tämän kappaleen tarkoituksena on havainnollistaa tyyliteltyjä faktoja havaintoaineiston kautta. Kuten johdannossa mainittiin, nousevat tyylitellyistä faktoista päällimmäisinä esiin volatiliteetin klusteroituminen, tuottojen itseisarvojen ja neliöiden pitkälle ulottuvat autokorrelaatiot, itse tuottojen lyhyet autokorrelaatiot ja tuottojakauman leptokurtisuus. Nämä piirteet voidaan löytää lähes poikkeuksetta jokaisen osakkeen tai indeksin historiasta. Edellä mainittujen ominaisuuksien lisäksi käsiteellä tyylitellyt faktat viitataan alan tutkimuksissa lähes mihin tahansa poikkeamaan normaalisuudesta ja klassisesta brownin liikkeestä. Käsite ei ole tarkasti rajattu: se viittaa keskimäärin havainnoista tehtyihin yleisiin tuottoja kuvaaviin piirteisiin, joihin päällimmäisinä esiin nousevat aina kuuluvat. 2.1 Data 15 SP indeksi ajalta 2.1.1997 31.12.1999.6 SP indeksin logaritmiset tuotot 14.4 13.2 12 11.2 1 9.4 8.6 7 2 4 6 8.8 2 4 6 8 Kuva 1:SP indeksin kehitys ja logaritmiset tuotot ajalta 2.1.199731.12.1999 Havaintoaineiston muodostaa SP indeksin korkean frekvenssin data 1 ajalta 2.1.1997 31.12.1999. Tästä datasta on laskettu logaritmiset tuotot: kun indeksin arvo hetkellä t on P t,onlogaritminen tuotto r t = ln(p t =P t,1) (1) Kuvassa 1 vasemmalla näkyy SP indeksin päivittäisten arvojen kehitys kyseiseltä ajanjaksolta. Kuva oikealla esittää indeksistä laskettua tuottosarjaa. Vaikka kuvassa olevat tuotot edustavat ainoastaan kolmen vuoden jaksoa, voidaan havaita volatiliteetiltaan poikkeavia periodeja. Indeksissä esiintyvät notkahdukset 1 Korkean frekvenssin data käsitteen sijasta käytetään laajemmin nimeä tick data. Nimi viittaa osakkeen myyntihinnan kijaukseen jokaisen kontraktin jälkeen (tick by tick). Indeksin kohdalla nimi on hieman harhaan johtava, sillä indeksin arvot kirjataan n. 2s tasaisin väliajoin. 4

heijastavat sijoittajien epävarmuutta, joka hinnoittelun kautta ilmenee tuottojen keskimääräistä suurempana hajontana. 2.2 Leptokurtisuus Taulukossa 1 on havaintoaineistoa kuvaavia tunnuslukuja. Koko havaintoaineiston lisäksi on tutkittu erikseen 9 ensimmäistä havaintoa, jotka on jaettu järjestyksessä kolmeen samanpituiseen ryhmään. Sekä keskiarvon poikkeaminen mediaanista että suuret huipukkuuden arvot antavat vahvan viitteen siitä, että tuottojen kohdalla kyse ei ole normaalijakautuneesta satunnaismuuttujasta. Tarkemmin normaalisuutta on tutkittu Jarque-Bera testin avulla. Nollahypoteesi on, että havaintoaineisto noudattaa normaalijakaumaa. Testisuure JB =(N=6), S 2 +(K, 3) 2 =4 (2) noudattaa 2 -jakaumaa kahdella vapausasteella. Kaavassa esiintyvät vinous S = E[X, ] 3 = 3 ja huipukkuus 2 K = E[X, ] 3 = 4. Testin riskitasoksi on valittu =:5, ja tätä arvoa vastaava kriittinen raja on JB c =5:99. Oletus normaalisuudesta hylätään kaikissa tapauksissa. Havaintoaineistoissa oleva vinous on vähäistä, mutta huipukkuus selvää. Kuvassa 2 jakauman leptokurtisuus ilmenee selvästi. Yhtenäinen viiva kuvaa tuottojen tiheysfunktion estimaattia, ja katkoviiva dataan momenttimenetelmällä sovitettua normaalijakaumaa. Tiheysfunktio on estimoitu ydintiheys menetelmällä [5] normaalijakauma ytimellä. Data N mean med std kurt skew JB hylkää SP tick 181528 6.3e-3 7.5e-2 2.1 27.35 3.4e13 kyllä SP t1 3 8.1e-3.1.98 4.74 1.7e7 kyllä SP t2 3 5.3e-3 8.7e-2 3.2 19.25 4.4e12 kyllä SP t3 3 8.e-3 7.5e-2 1.9 27.84 9.2e8 kyllä Taulukko 1: Tunnuslukuja. Kaikissa tapauksissa saadaan vahvaa näyttöä normaalisuutta vastaan. JB testin kriittinen raja JB c = 5:99. Kolmen jakson volatiliteetit poikkeavat selvästi toisistaan 2.3 Autokorrelaatiot Kuvaan 3 on piirretty SP indeksin päivittäisten tuottojen, ja näiden itseisarvojen autokorrelaatiot. Kuvasta havaitaan, kuinka itse tuottojen autokorrelaatio putoaa 2 Engl. skewness, kurtosis 5

4 35 3 25 2 15 1 5.8.6.4.2.2.4.6.8 Kuva 2: Yhtenäinen viiva kuvaa päivittäisten tuottojen ydintiheysestimaattia, ja katkoviiva datasta estimoitua normaalijakaumaa. Todellisella jakaumalla on korkeampi huippu ja paksummat hännät. nopeasti lähelle nollaa. Sen sijaan itseisarvojen autokorrelaatiot ovat suurillakin lageilla nollasta poikkeavia. Tuottojen neliöiden autokorrelaatiot ovat käytökseltään samanlaisia kuin itseisarvojen. Tämä havainto osaltaan vahvistaa käsitystä, jonka mukaan tuottoja ei synnytä ainakaan sellainen satunnaiskävelyprosessi, jossa satunnaismuuttujat ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita. Jos näin olisi, tulisi tuottojen autokorrelaatioiden lisäksi myös itseisarvojen autokorrelaatioiden pudota nollaan. 1.2 Tuottojen autokorrelaatio 1 Itseisarvojen autokorrelaatio.9 1.8.8.7.6.6.5.4.4.2.3.2.1.2 1 5 5 1 1 5 5 1 Kuva 3: Vasemmalla tuottojen ja oikealla niiden itseisarvojen autokorrelaatio.tuottojen tapauksessa korrelaatio putoaa alas jo yhden lagin jälkeen. Itseisarvoilla putoaminen on hidasta ja vaikuttaa lineaariselta. Tikc datasta on edelleen laskettu kuinka nopeasti tuottojen autokorrelaatiot todellisuudessa putoavat nollaan tai puolittuvat. Yksi lagi vastaa tässä tapauksessa n. 2 sekuntia. Kuvaan 4 on piirretty autokorrelaatiot koko tick data aineistolle, ja erikseen kolmelle jaksolle. Ensimmäinen kolmannes edustaa suhteellisen rauhallista ajanjaksoa, toisessa on markkinoiden romahduksia ja nousuja; tällaisiin ilmiöihin 6

liittyy suuri volatiliteetti, ja kolmas on voimakasta uuden teknologian kehityksen aikaa. Kuvasta voidaan havaita kuinka toisen jakson suuret heilahtelut dominoivat koko ajanjaksolta laskettua autokorrelaatiota: koko jaksolta laskettu estimaatti on yhdenmukainen toiselta kolmannekselta lasketun estimaatin kanssa. Sen sijaan ensimmäisen ja viimeisen jakson kohdalla voidaan havaita eksponentiaalinen putoaminen, joka viimeisellä jaksolla vaikuttaa ensimmäistä nopeammalta: viimeisessä arvot näyttävät putoavan nollaan jo 1 lagin (n. 2s) jälkeen, kun taas ensimmäisessä putoaminen kestää 2 (n. 4s) lagia. Tick datan autokorrelaatio, kaikki havainnot.4.4 Tick datan autokorrelaatio, 1. kolmannes korrelaatio.3.2.1.1.2 korrelaatio.3.2.1.3 1 2 3 4 5 lagi.1 1 2 3 4 5 lagi.6 Tick datan autokorrelaatio, 2. kolmannes Tick datan autokorrelaatio, viimeinen kolmannes.4 korrelaatio.4.2.2.4.6 korrelaatio.3.2.1.8 1 2 3 4 5 lagi.1 1 2 3 4 5 lagi Kuva 4: Tick datasta lasketut autokorrelaatiot kaikille havainnoille ja erikseen, kun koko aikasarja on jaettu kolmeen osaan. Toisessa kolmanneksessa esiintyvä poikkeuksellisen voimakas heilunta dominoi koko sarjan korrelaatiota. Tämä näkyy toisen kolmanneksen ja koko sarjan autokorrelaatioiden selkeänä yhdenmukaisuutena. Ensimmäisessä ja viimeisessä kolmanneksessa havaitaan autokorrelaation eksponentiaalinen putoaminen Kuvassa 5 on tarkemmin nähtävissä, että ensimmäisen ja viimeisen jakson autokorrelaatiot todella vaimenevat eksponentiaalisesti. Pystyakselilla on korrelaation logaritmi ja vaaka-akselilla lagi. Pienimmän neliösumman menetelmällä havaintoihin sovitettujen suorien kulmakertoimet implikoivat, että viimeisessä jaksossa karakteristinen aika on noin puolet lyhyempi kuin ensimmäisessä jaksossa. Karakteristinen aika kertoo, kuinka nopeasti korrelaatio puolittuu tietystä arvosta. Tämä arvio on 7

nähtävissä silmämääräisesti suoraan kuvasta 4. Eksponentiaalinen muoto antaa viitettä siitä, että prosessia voisi kuvata yksinkertaisella ARMA(1,1) prosessilla [15]. Toisistaan poikkeavat karakteristiset ajat ovat ainakin osittain selitettävissä jaksojen erilaisilla volatiliteeteilla: viimeiseen jaksoon liittyvä voimakas uuden teknologian kasvu heijastuu suurempana epävarmuutena. Hinnoittelussa arviot eivät perustu historiallisiin faktoihin, vaan tulevaisuuden odotuksiin. Epävarmuuden keskellä yhdenkin vuosineljänneksen tuloksella on suuri vaikutus kaukaa tulevaisuudesta diskontattaviin kassavirtoihin, ja vakavaraisuudeltaan hennot, kasvuun panostavat uuden teknologian yritykset ovat hinnoiteltaessa erittäin herkkiä saapuvalle informaatiolle. Tämä epävarmuus vilkastuttaa kaupantekoa ja kasvattaa volatiliteettia: markkinat toimivat aktiivisemmin, ja sen seurauksena autokorrelaatio katoaa nopeammin..5 1. kolmannes 1 Viimeinen kolmannes 1 1.5 y=.15x.7 y=.3x.7 1.5 2 2 ln(corr) ln(corr) 2.5 2.5 3 3 3.5 3.5 4 5 1 15 2 lagi 4 2 4 6 8 1 lagi Kuva 5: Kuvassa 4 olevista 1. ja viimeisestä kolmanneksesta laskettujen autokorrelaatioiden logaritmit putoavat selvästi suorien y =,:15x, :7 ja y =,:3x, :7 ympärille. Karakteristinen aika on ensimmäisessä kolmanneksessa kahden ja kolmannessa yhden minuutin suuruusluokkaa. (y = ax + b =) =t=a). 3 Minority Game pelit Viime aikoina on yhä enemmän alettu tutkia agenttipohjaisia malleja. Monet näistä sisältävät sellaisia yksityiskohtaisia kuvauksia ja oletuksia, joita todellisuudessa ei voida havaita tai ole olemassa. MG pelit ovat siitä poikkeuksellisia malleja, että niissä on onnistuttu luopumaan monista epärealistisista oletuksista. Jäljelle jääviä oletuksia on vähän, ja ne mahdollistavat joustavan tulkinnan. MG mallit kuvaavat pohjimmiltaan agenttien ja informaation vuorovaikutusta kehittyvässä ympäristössä. Agenteille sallitaan tietty heterogeenisuus dynaamisessa maailmassa; on tyhmiä ja viisaampia, oppivia ja oppimattomia pelaajia. Mallin voidaan sallia jäljittelevän tietyin varauksin luonnollista evoluutiota: pelaajan älykkyys voi kasvaa, ja heikot kuolevat kilpailussa vahvempien tieltä. Systeemin sisälle muodostuu keskinäistä vuorovaikutusta, vaikka agentit itsessään ovat kiinnostuneita vain omasta hyödystään. 8

historia s 1 s 2 s 256 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 111 1 1 Taulukko 2: Kun pelaajan muisti M = 3, voi esiintyä 2 M kaikkiaan 2 2M = 256 eri strategiaa. = 8 eri historiaa, ja Lisäksi MG on iältään nuori; tutkimusta ei ole saatu vielä valmiiksi ja uusille innovaatioille on runsaasti tilaa. 3.1 Standardi MG Pelkistetyin Minority Game [7] on agenttipohjainen malli, jossa N (pariton) pelaajaa valitsee kunakin ajanhetkenä toisen vaihtoehdoista A tai B. Vähemmistöön kuuluvat pelaajat voittavat. Perusmuodossaan malli sisältää kolme parametria: pelaajien lukumäärä N, pelaajan strategioiden määrän S, ja pelaajan muistin M. Edellisten M vaiheen informaatiohistoria eli tieto siitä kumpi valinta, A vai B on johtanut voittoon, on jokaisen pelaajan saatavilla. Pelaajan muisti määrää kuinka monen askelen takaa tätä informaatiota voidaan käsitellä. Strategia puolestaan on sääntö, joka liittää jokaiseen pelaajan kohtaamaan tilanteeseen toiminnan, siis valinnan A tai B. Pelaaja tekee valinnan strategioidensa kesken sen perusteella, kuinka hyvin kukin niistä on tai olisi aiemmin toiminut. Ainoa asia jonka pelaaja saa tietoonsa, on tieto voitosta tai tappiosta; pelaaja ei tiedä esim. kuinka moni on valinnut A:n. Systeemin historia voidaan esittää binäärijonona, 1 merkitsee A:n voittoa ja B:n. Taulukossa 2 on havainnollistettu strategian käsitettä. Tässä tapauksessa pelaajan muisti M =3, jolloin hän voi muistinsa rajoissa kohdata 2 3 =8 eri historiaa. Kuhunkin historiaan liitetään toiminta, jolloin strategioiden kokonaislukumääräksi tulee 2 2M = 2 8 = 256. Strategioiden kokonaismäärä kasvaa nopeasti, kun pelaajan muisti lisääntyy: valinnoilla M = 2; 3; 4; 5 tämä määrä on vastaavasti 16; 256; 65536; 65536 2. Useat strategiat johtavat kuitenkin pitkälle samoihin toimintoihin. Ajatellaan kahta strategiaa, jotka eroavat toisistaan ainoastaan yhden bitin osalta, ja siten niiden määräämät valinnat poikkeavat ainoastaan yhden historian kohdal- 9

la. Nämä strategiat eivät silloin ole kovinkaan erilaisia. Strategioiden erilaisuutta pyritään kuvaamaan iskuetäisyydellä, joka on määritelty 2 M dimensioisessa hyperkuutiossa H M. Kahden strategian s; t 2 H M d M (s; t) =D M (s; t)=2 M = 1 välinen iskuetäisyys on 2 M 2 MX js(i), t(i)j (3) i=1 Esimerkiksi taulukossa 2 olevien strategioiden s 1 ;s 2 2 H 3 välinen etäisyys on d 3 (s 1 ;s 2 )= 5=8. Kun historia valitaan satunnaisesti, on todennäköisyys sille, että strategiat t ja s johtavat eri toimiin P (s#t) =1, d M (s; t). Nyt voidaan kysyä kuinka moni strategia poikkeaa oleellisesti annetusta strategiasta s? Selvästi on olemassa yksi täysin vastakkainen strategia s(i) = 1, s(i);i = 1;::: ;2 M, mutta tämän lisäksi voidaan tarkastella myös kaikkia 1=2 etäisyydellä olevia strategioita, joita kutsutaan s:n kanssa korreloimattomiksi tai riippumattomiksi. Kun annetaan satunnainen historia, on korreloimattomilla strategioille mahdollisuus samoihin ja eri toimiin yhtäläinen, eli todennäköisyys P (s#t) =1=2. Pelin kannalta mielenkiintoisia ovat juuri nämä korreloimattomat strategiat. Kun annetaan jokin strategia, voidaan osoittaa, että kokoelma strategioita, johon annettu strategia kuuluu, voi sisältää korkeintaan 2 M keskenään korreloimatonta strategiaa [8]. Kullekin pelaajalle arvotaan satunnaisesti S strategiaa, joista osa voi olla sattumalta samoja. Pelin edetessä jokainen strategia saa virtuaalipisteitä, jotka ilmoittavat kuinka monta kertaa kukin strategia on onnistunut ennustamaan voittavan puolen oikein. Pelaaja käyttää omista strategioistaan aina sitä, jolla on korkeimmat virtuaalipisteet, tai tasapisteissä valitsee satunnaisesti jonkun parhaista. Jos valittu strategia johtaa oikeaan päätökseen eli vähemmistöön seuraavassa toistossa, saa itse pelaaja pisteen. Kullakin kierroksella voidaan kaikkien pelaajien yhdessä saavuttaman hyödyn ajatella heijastavan yhteisön tehokkuutta. Esimerkiksi tilanne jossa on N = 11 pelaajaa, joista yksi valitsee A:n ja loput B:n tuottaa yhteisölle ainoastaan yhden pisteen. Sen sijaan tilanteessa, jossa 5 pelaajaa valitsee A:n ja 51 B:n tuottaa yhteisölle 5 pistettä, ja tällainen tilanne on siten toivottavampi; agentit ovat onnistuneet hyödyntämään maksimaalisesti systeemistä saatavan hyödyn. Systeemin keskimääräistä tehokkuutta voidaan kuvata toisen puolen valitsevien agenttien määrän varianssilla. Mitä pienempi varianssi sitä tehokkaammin pysytään lähellä optimaalista tilaa. Varianssi riippuu läheisesti mallin parametreista. Kuvassa 6 on havainnollistettu varianssin riippuvuutta pelaajan muistista ja strategioiden lukukmäärästä. Simuloitaessa mukaan on otettu vain riippumattomat strate- 1

giat. Vasemman sarakkeen kuviin on piirretty puolen A valitsevien pelaajien määrä, kun mukana on 11 pelaajaa, joista kullakin on 5 strategiaa. Ylimmässä kuvassa pelaajan muisti on 6, keskimmäisessä 8, ja alimmassa 1. Muistin kasvaessa varianssi pienenee huomattavasti: suuremmat aivot omaavat pelaajat osaavat hyödyntää systeemiä tehokkaammin. Tämä ei ole aivan selvää, kun ottaa huomioon, että pelaajat pelaavat ainoastaan omaa peliään tietämättä muiden valintoja. Näennäisen riippumattomuuden seassa ilmenee järjestäytyneisyyttä. Suuren muistin kääntöpuolena oikean strategian oppiminen kestää kauemmin. Voidaan osoittaa, että on olemassa tietty kriittinen raja, jossa tapahtuu vaihetransitio, jonka jälkeeen varianssi alkaa hiljalleen kasvaa konvergoiden kohti satunnais-strategialla pelaavien agenttien varianssia [8]. Satunnais-strategia tarkoittaa harhattoman kolikon heittoa, kruunalla valitaan A ja klaavalla B. Oikean sarakkeen kuvissa on muutettu pelaajan saamien strategioiden lukumäärää, ja pidetty muut parametrit vakioina. Pelaajia on edelleen 11, heidän muistinsa M =6, strategioiden määrä on ylimmässä kuvassa 3 ja lisääntyy aina viidellä alaspäin tultaessa. Voidaan havaita, että strategioiden lisääminen kasvattaa varianssia. Tämä johtuu siitä, että pelaaja ei pysty helposti päättämään mikä strategia on paras. Seurauksena on strategioiden tiheä vaihtelu. Epävarmuus päätöksissä heijastuu suurempana volatiliteettina; markkinat ovat levottomat. 1 [N,M,S]=[11,6,5], Var=943 1 [N,M,S]=[11,6,3], Var=6582 5 5 2 4 6 8 1 [N,M,S]=[11,8,5], Var=2143 1 2 4 6 8 1 [N,M,S]=[11,6,8], Var=14525 1 5 5 2 4 6 8 1 [N,M,S]=[11,1,5], Var=683 1 2 4 6 8 1 [N,M,S]=[11,6,13], Var=22568 1 5 5 2 4 6 8 1 2 4 6 8 1 Kuva 6: Muistin kasvattaminen (vasen sarake ylimmästä alimpaan M=6,8,1) pienentää varianssia. Suuremmat aivot hyödyntävät systeemiä tehokkaammin. Strategioiden lisääminen kasvattaa (oikea sarake ylimmästä alimpaan S=3,8,13) varianssia. Agentit ovat epävarmoja. 11

Standardi versioon voidaan lisätä luonnollisen evoluution piirteitä. Esimerkiksi jokaisessa vaiheessa voidaan pelistä pudottaa huonoiten menestynyt pelaaja, ja korvata tämä parhaan pelaajan kloonilla. Kloonattu pelaaja perii parhaan pelaajan strategiat, mutta ei muistia eli tietoa strategioiden menestyksestä. Näin ollen klooni on kuin älykkääksi syntynyt vauva: edellytykset menestykseen ovat hyvät, mutta sattuma ohjaa kehitystä. Kloonauksen lisäksi voidaan määritellä jokin pieni todennäköisyys, jolla pelaajien muistit joko kasvavat tai laskevat yksikön verran. Kun tällaista evolutionaarista peliä simuloidaan, voidaan havaita, että pelaajien muistit eivät kasva rajatta, vaan konvergoivat tiettyyn pisteeseen [7]. 3.2 MG ja tyylitellyt faktat Edellisessä kappaleessa kuvattu standardi MG vaikuttaa hieman irralliselta todellisesta kaupankäynnistä. Malli on kuitenkin joustava, ja perusideaa soveltaen siihen voidaan helposti lisätä piirteitä, joita oikeilla markkinoilla esiintyy. Näitä modioituja versioita on tutkittu viime vuosina laajasti, ja niissä on yhä paljon tutkittavaa. Tutkimuksissa esiintyvät mallit ovat edelleen yksinkertaisia, mutta toisaalta myös tarkasti tutkittuja. Hyvällä systeemien tuntemuksella ja näkemyksellä oikeiden markkinoiden mekanismiin voidaan tällä saralla saada aikaan mielenkiintoisia tuloksia. Tässä kappaleessa esitetään Challet'n, Marsilin, ja Zhangin vuonna 21 julkaisema malli [9], joka tuottaa tyyliteltyjä faktoja. Perusajatuksena on tarkastella kahdenlaisia agentteja, tuottajia ja spekulantteja. Tuottajat vaihtavat markkinoilla hyödykkeitä, ja heidän päätöksensä perustuvat taloudellisen aktiviteetin synnyttämiin ulkopuolisiin mahdollisuuksiin, ei itse markkina dynamiikkaan. Kun tunnetaan historia, on näiden agenttien toiminta ennustettavaa, ja siten ne produsoivat informaatiota markkinoille; ikään kuin yritykset sijoittajille. Tuottajat edustavat taloudelista aktiviteettia, he ovat fundamentalisteja. Jos markkinoilla ei ole muunlaisia agentteja, hinnat noudattavat satunnaiskävelyä. Spekulantit ovat kehittyviä agentteja, joiden älykkyys on rajallinen. He tutkivat saapuvan informaation vaikutusta markkinoiden toimintaan ja pyrkivät ennustamaan markkinoiden liikkeitä. Näiden agenttien tavoitteena on hyötyä markkinoiden heilahtelusta. He takaavat tuottajille likviditeetin ja toisaalta muuttavat tuottajien ja saapuvan informaation produsoimaa valkoista kohinaa mutkikkaammaksi. Mallin vapautta ja rationaalisuutta lisätään antamalla spekulanteille mahdollisuus 'passata' silloin kun markkinoilla ei esiinny riittävän hyviä arbitraasimahdollisuuksia. Spekulantit ovat vastuussa tyyliteltyjen faktojen syntymisestä. Jokaisena hetkenä t =1; 2;::: ;T kukin agentti valitsee toiminnan a i (t), joka onreaaliluku. Valinnat voidaan tulkita siten, että a i (t) > merkitsee ostamista ja a i (t) < 12

myymistä. Agenttien hyötyfunktio g i (t)esitetään kysynnän A(t) = PN i=1 a i(t) avulla: g i (t) =,a i (t)a(t) (4) Näin ollen vähemmistöön kuuluvat agentit hyötyvät; jos ostajia on enemmän kuin myyjiä, voivat myyjät nostaa hintoja ja päinvastoin. Hintadynamiikkaa voidaan kuvata esim. seuraavasti log p(t + 1) = log p(t) +r(t) = log p(t) +A(t)= (5) missä on vapaasti valittava parametri. Hintadynamiikan lisäksi markkinoita kuvaa uutisten saapumisprosessi (t), joka arvotaan satunnaisesti kokonaislukujen 1;::: ;P joukosta. Tuottajat käyttäytyvät deterministisesti kohdatessaan uutisen (t): toiminta a i (t) = (t). Jokaiselle tuottajalle arvotaan kiinteästä jakaumasta, joka yksinkertaisimmillaan on bimodaalinen jakauma = 1 yhtäläisin todennäköisyyksin. i i i Spekulanteilla on S + 1 strategiaa, joista tietyn s 2 fs ;::: ;s S g käyttö johtaa toimintaan a i (t) = (t). Kaikki strategiat s> ovat aktiivisia ja niihin liittyvä s;i s;i arvotaan samoin kuin tuottajille. Sen sijaan nollastrategia tarkoittaa passausta ja siihen liittyvä valinta on = kaikilla. Spekulantit vertailevat strategioitaan ;i samaan tapaan kuin standardi MG pelissä. Kullekin strategialle annetaan pisteitä U i;s, ja näistä valitaan parhaiten menestynyt. Pisteet päivitetään säännöllä U i;s (t +1)=U i;s, a (t) i;s A(t) + si(t);: (6) Agentti siis käyttää aktiivista strategiaa vain silloin kun se tuottaa suuremman hyödyn kuin, joka voidaan tulkita markkinoiden riskittömäksi koroksi. Kun systeemin otetaan sopiva määrä edellä kuvattuja agentteja, syntyy hintamekanismi, jolla on kaikki päällimmäisinä esiin nousevat tyyliteltyjen faktojen ominaisuudet [9]. Mitä enemmän systeemissä on tuottajia sitä ennustettavampaa on markkinoiden toiminta. Ennustettavuutta kuvaa suure H = 1 P PX E[Aj] 2 : (7) =1 Spekulanttien lisääminen puolestaan vähentää systeemin ennustettavuutta, ja voidaan osoittaa, että tietylla tuottajien ja spekulanttien suhteellisella määrällä saavutetaan kriittinen raja, jonka jälkeen markkinat toimivat tehokkaasti ns. symmet- 13

risessä tilassa (H = ) [9]. Kun spekulanttien määrää kasvatetaan yli kriittisessä rajassa olevan, muuttuu osa heistä passiivisiksi. 3.3 MG modikaatioehdotus Tässä kapaaleessa esitetään pääpiirteissään idea MG peliin pohjautuvasta mallista, jonka sain perehtyessäni alan tutkimukseen. Vastaavaa ei ainakaan toistaiseksi ole löytynyt julkaisuista. Mallin pohjaksi valitaan evolutiivinen standardi MG, jonka pelaajat (N y kpl) edustavat markkinoilla toimivia yrityksiä. Kunakin hetkenä pelistä pudotetaan huonoiten menestynyt yritys ja tilalle luodaan klooni jostakin n parhaiten menestyneestä yrityksestä. Todennäköisyys, jolla kloonattava yritys n:stä mahdollisesta valitaan on verrannollinen menestykseen. Siis, jos kaikkien yritysten todellisten pisteiden summa on U = PNy i=1 u i, tulee yritys valituksi todennäköisyydellä p i = u i =U. Yritysten lisäksi muodostetaan erillinen sijoittajien peli. Sijoittajilla on aluksi pääoma C,jahetekevät investointipäätöksen jokaisen T aikayksikön (simulointi replikan) välein. Sijoitus kohdistuu yrityksiin niiden menestyksen perusteella. Jokaisena päätöshetkenä sijoittaja voi ostaa m eri yrityksen osakkeita. Todennäköisyys, jolla yritys tulee valituksi on verrannollinen sen hallussaan pitämien strategioiden virtuaalipisteiden summaan. Jos kaikkien yritysten virtuaalipisteiden summa V = PNy i=1 v i, tulee yritys valituksi todennäköisyydellä w i = v i =V. Näin sijoitukset keskimäärin kohdistuvat menestyviin tai potentiaalisesti menestyviin yrityksiin. Kuten standardi pelin yhteydestä on käynyt ilmi, jokaiseen yrityksen strategiaan liitetään virtuaalipisteet, ja siten valinta riippuu yrityksen kaikista strategioista. Sijoitus ilmenee siten, että sijoittaja ottaa seurattavakseen valitsemansa yritykset, ja tarkkailee näiden tekemiä valintoja eli saa yritykseltä historian omaan päätöksen tekoon. Jos valittu yritys seuraavien T jaksojen aikana onnistuu ennustamaan voittavan osapuolen oikein T o T kertaa, saa sijoittaja tuoton, joka on verrannollinen suhteeseen T o =T. Valinta voisi olla esim r Ti päätöksenteko hetkenä C Ti = (1 + T o =T ), ja pääoma seuraavana = r Ti C Ti,1. Jokainen sijoitus myös kuluttaa pääomaa määrän C, ja jos pääoma putoaa alle rajan C c, on sijoittajan poistuttava markkinoilta. Poistetun pelaajan tilalle luodaan uusi suurinta pääomaa hallussaan pitävän sijoittajan klooni. Jos toisaalta jonkun sijoittajan pääoma kasvaa yli rajan C u, ostaa kyseinen sijoittaja tarkkailemistaan yrityksistä parhaiten menestyneen itselleen. Oston seurauksena sijoittajan pääoma putoaa jälleen tasolle C o, mutta palkkiona ainoastaan ostajalla on mahdollisuus seurata yrityksensä kehitystä; muut joutuvat vaihtamaan huonommin menestyneeseen kohteeseen. Tarkasteltava suure on pelaajien pääoma, joiden summasta muodostetaan sijoitus- 14

hetkinä indeksi. Indeksin käytöstä voisi verrata oikeiden markkinaindeksien käytökseen. Indeksin lisäksi voidaan tarkastella pelaajien pääoman jakaumaa. Pareton kauan sitten tekemien tutkimusten mukaan yksityishenkilöiden ansiot noudattavat stabiileja pareto-jakaumia. Tätä taustaa vasten olisi mielenkiintoista tutkia miten pääomat pelissä jakautuisivat. 4 Pohdinnat ja yhteenveto Tässä erikoistyössä demonstroitiin SP indeksissä esiintyviä tyyliteltyjä faktoja ja esiteltiin yksinkertaisia MG pelejä. Tulokset osoittavat, että tuottojen jakauma on leptokurtinen, tuottojen itseisarvoilla on pitkälle ulottuvat autokorrelaatiot ja itse tuotoilla lyhyet autokorrelaatiot. Standardi MG pelistä on simuloitu toisen puolen valitsevien agenttien määrää, kun käytetään riippumattomia strategioita. Systeemin tehokkuutta kuvaa toisen puolen valitsevien agenttien varianssi, joka saavuttaa tietyillä parametrien valinnoilla minimin [8]. Tyyliteltyjen faktojen muodostamiseen riittävät pienet standardi pelin modikaatiot. MG pelit tarjoavat mielenkiintoisen tulkinnan markkinoiden toiminnalle. Intensiivisestä työstä huolimatta alalla tehtävä tutkimus on vielä keskeneräistä, ja perusajatusta soveltamalla on helppo luoda realistisempia malleja. Tutkimuksessa esiintyvissä yleistyksissä on rajoituttu tapauksiin, joissa yhteen peliin sisällytetään erityyppisiä agentteja, tai tarkastellaan tilannetta, jossa päätöksentekijällä on enemmän kuin kaksi vaihtoehtoa. Usean päätöksen vaihtoehdoissa ajaudutaan neuroverkko tai verkko malleihin, ja niissä oletetaan, että kaikki agentit saavat informaation toistensa toimista. Tämä ei ole realistinen oletus: markkinoilla toimivat sijoittavat tietävät harvoin toistensa tekemisiä. Lisäksi oletus tekee mallista tarpeettoman kompleksisen. Oikeilla markkinoilla on satojatuhansia agentteja, tilannetta on täydellisen tiedon oletuksella mahdoton hallita. Kaikissa esiintulleissa malleissa tarkastellaan lisäksi vain yhteen osakkeeseen tai investointiin kohdistuvia päätöksiä. Eräs vaihtoehto mallin yleistämiseksi olisi konstruoida useammasta eri pelistä koostuva systeemi. Eri pelien välille voitaisiin luoda vuorovaikutus-suhteita markkinanäkemyksen pohjalta. Tähän useamman sijoituskohteen sisällyttämiseen ja vuorovaikutuksen luontiin esitän yksinkertaisen vaihtoehdon. Ideaa on helppo jalostaa paremmin todellisuutta kuvaavaksi; keskinäisiä pelejä voidaan luoda useampia kuin kaksi, ja kunkin niistä sisälle voidaan kehittää kilpailua. Vaikka ehdotettu versio on karkea, sisältää se oleellisen markkinoita kuvaavan piirteen: sijoittajien tavan tehdä investointipäätöksiä. Täydellisempään versioon on so- 15

vitettava vielä jokin mitta riskille, sijoittajien välinen keskinäinen kilpailu, ja sijoittajien vaikutus yritysten toimintaan. Lisäksi voidaan ottaa käyttöön hyötyfunktioita ja luoda yrityksen menestystä kuvaava indeksi ja markkinaindeksi. Näiden ongelmien ratkaisuun on olemassa lukuisia tapoja. 16

Viitteet [1] B.Mandelbrot. New method in statistical economics. Journal of Political Economy, (71):42144, October 1963. [2] B.Mandelbrot. The variation of certain speculative prices. Journal of Business, (36):394419, October 1963. [3] B.Mandelbrot. The variation of some other speculative prices. Journal of Business, 4:393413, October 1967. [4] Michael Sorensen Bo Martin Bibby. A hyperbolic diusion model for stock prices. Finance and Stochastics, 1:2541, 1997. [5] B.W.Silverman. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman and Hall, 1985. [6] D.A.Hsieh. Chaos and nonlinear dynamics: Application to nancial markets. Journal of Finance, 46(5):18391877, December 1991. [7] Y.C.Zhang D.Challet. Emergence of cooperation and organization in an evolutionary game. Physica A, 246:47, 1997. [8] Y.C.Zhang D.Challet. On the minority game: Analytical and numerical studies. Physica A, 256:514, 1998. [9] Y.C.Zhang D.Challet, M.Marsili. Stylized facts on nancial markets and market crashes in minority games. preprint arxiv.cond-mat/11326, 21. [1] E.F.Fama. The behavior of stock market prices. Journal of Business, 38:3415, January 1965. [11] L.Bachelier. Theorie de la speculation. Paris:Gauthier Villars, 19. [12] M.F.M.Osborne. Brownian motion in the stock market. Operations Research, 7(2):145173, 1959. [13] R.C.Blattberg and N.J.Gonedes. The comparison of the stable and student distribution as statistical models for stock prices. Journal of Business, 47:244 28, April 1974. [14] R.C.Merton. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. 1976. [15] D.L.Rubinfeld R.S.Pindyck. Econometric models and econometric forecasts. McGraw-Hill, 1998. [16] S.J.Kon. Models of stock returns-a comparison. The Journal of Finance, 39(1):147165, 1984. [17] S.J.Taylor. Modelling stochastic volatility: A review and comparative study. Mathematical Finance. 17

[18] S.J.Taylor. Modelling Financial Time Series. 1986. [19] W.B.Arthur. Inductive reasoning and bounded rationality. American Economic Assosiation. 18