V πr h π 7 0,...(cm,0...(l) Montako millimetriä on tällöin satanut? V,0...l,7...(mm) 8 l 8 l Täytyy sataa vähintään,7 mm, että astia täyttyisi. Lasketaan todennäköisyys, että sataa vähintään,7 mm.,7... z,7... 9 0,99... 0,9 P("sataa enintään,7...mm") Φ(-0,9) - Φ(0,9) - 0,88 0,7 ) Kertausosa. a) Lenkkareiden merkki on laatueroasteikollinen muuttuja. Kännykkälaskun suuruus on suhdelukuasteikollinen muuttuja. Luokka on järjestysasteikollinen muuttuja. b) Diskreettejä muuttujia ovat lenkkareiden merkki ja luokka. Kännykkälaskun suuruus on jatkuva muuttuja.. a) Kun valitaan satunnaisesti 00 asukasta, otanta suoritetaan yksinkertaisella satunnaisotannalla. b) Kun poimitaan joka kymmenes asukas aakkosissa, otanta suoritetaan käyttäen systemaattista otantaa. c) Kun valitaan kolmesta ikäryhmästä yhtä monta edustajaa, käytetään otoksen valintaan ositettua otantaa. d) Kun valitaan eri ammattiryhmien edustajia, käytetään otoksen valintaan ryväsotantaa.. Järjestetään määrärahan saajat suuruusjärjestykseen suurimmasta pienimpään. P("sataa vähintään,7...mm") Φ(-0,9) - 0,7 0,88 8 a) Muodostetaan suhteellinen frekvenssijakauma ja suhteellinen summafrekvenssijakauma. Vastaus: 0,8 80
f (mrd ) 9,0 f % sf % 9,0 7,7 0,..., Hallinnonalat Sosiaali- ja terveysministeriö,% Opetusministeriö,09,, Valtiovarainministeriö,8,, Valtionvelan,80 7,70,8 korot Maa- ja,0 7,08 70,9 metsätalousministeriä Työministeriö,, 77, Puolustusministeriö,0, 8,7 Liikenneministeriö,7,7 87, Sisäministeriö,0,88 9, Kauppa- ja 0,9,9 9,9 teollisuusministeriö Ulkoministeriö 0,7,0 9,0 Ympäristöministeriö 0,7,8 97,8 Oikeusministeriö 0,9,80 99, Presidentti, 0, 0,0 00 valtioneuvosto. Luokitellaan aineisto. Luokka f Luokkakeskus 0,0,9 9,9 +,9,9,0 7,9,9 + 7,9,9 8,0 7,9 7,9 + 7,9 9,9 7,0 7,9 7,9 + 7,9 7,9 7,0 79,9 7,9 + 79,9 77,9 Suomessa odotettu elinikä on eurooppalaisittainkin korkea, joten Suomi kuuluu viimeiseen luokkaan 7,0 79,9. Suomalaisten odotettu elinikä vuonna 00 on noin 77 vuotta. Miesten odotettu elinikä on matalampi (noin 7 vuotta) kuin naisten odotettu elinikä (noin 8 vuotta). Koko Euroopan Unionin kansalaisten odotettu elinikä vuonna 00 on noin 70 vuotta (noin 8 vuotta miehillä ja noin 7 vuotta naisilla).. Havainnollistetaan ruoka-aineiden kulutusta henkeä kohden pylväsdiagrammilla. 00 80 kg b) Suhteellisen summafrekvenssijakauman perusteella kolme suurinta saa, % määrärahoista. 0 0 0 00 c) Suhteellisen summafrekvenssijakauman perusteella kaikki muut paitsi kolme pienintä saa määrärahoista 9,0 %. 80 0 0 0 Tällöin kolmen pienimmän osuus määrärahoista on 00 % -9,0 %,0 %. 0 Nestem. maitotuotteet Hedelmät ja marjat Viljat Liha Peruna Sokerit Muut maitotuotteet Kala Kananmunat Pähkinä, kaakao Vihannekset Öljyt ja rasvat 8
% Suhteellisia osuuksia voisi havainnollistaa myös sektoridiagrammilla. % % % 0 % % 0 % % % % 8 % % Nestem. maitotuotteet Hedelmät ja marjat Viljat Liha Peruna Sokerit Muut maitotuotteet Kala Kananmunat Pähkinä, kaakao Vihannekset Öljyt ja rasvat a) Piirretään frekvenssijakauman kuvaaja. Koska muuttuja (pituus) on jatkuva, frekvenssijakaumaa kuvataan histogrammilla. Histogrammissa pylväät ovat kiinni toisissaan. f 0 9 8 7 Lasketaan ruoka-aineiden kokonaiskulutus. 90 + 87 + 78 + 70 + + + 0 + + 0 + + + 0 (kg) Viljatuotteiden kulutus on 78 kg. Tämä on prosentteina kokonaiskulutuksesta 78 0,8... % 0 0 b) Piirretään summafrekvenssijakauman kuvaaja. Koska muuttuja (pituus) on jatkuva, summafrekvenssijakaumaa kuvataan frekvenssimonikulmiolla. sf 7 7 7 77 8 87 cm 0. Luokitellaan opiskelijoiden pituudet ja muodostetaan frekvenssijakauma ja summafrekvenssijakauma. Pituus (cm) f sf 9 0 0 9 9 0 70-7 7 79 7 80 8 0 8 89 0 0, 9, 0, 9, 70 7, 7 79, 80 8, 8 89, 90 cm 7. Tarkastellaan riippuuko myöhästymisten määrä koulumatkan pituudesta. Tällöin koulumatkan pituutta kuvataan vaakaakselilla ja myöhästymisten määrää pystyakselilla. Piirretään pistejoukon kuvaaja. 8
kpl Pistejoukon kuvaajan perusteella koulumatkan pituuden ja myöhästymisten lukumäärän välillä näyttäisi olevan riippuvuutta. Koska pistejoukkoon voi sijoittaa laskevan suoran, riippuvuus on lineaarista. 8. Tarkastellaan hauen pituuden riippuvuutta hauen iästä pistejoukon kuvaajan avulla. cm 7 0 0 8 0 80 70 km Sovitetaan pistejoukkoon suora ja luetaan kysytyt hauen pituudet suoran avulla. cm 0 0 00 90 80 70 0 0 0 0 0 0 0 0 7 8 9 0 vuotta Kuvaajan perusteella hauen pituus silloin, kun hauki on -vuotias, on noin 7 cm. Kuvaajan perusteella pituus -vuotiaalle hauelle on noin cm. (Tehtävän täsmälliseen ratkaisuun tulee määrittää suoran yhtälö laskimen tilastotoiminnoilla tai taulukkokirjan kaavojen avulla. Suoran yhtälö on y 8,x + 9,). 0 0 0 0 0 0 0 0 7 8 9 vuotta Riippuvuutta kuvaa parhaiten lineaarinen malli, koska pistejoukkoon voi parhaiten sovittaa suoran. 9. a) Kuvaajan perusteella sademäärä on noin mm. b) Kuvaajan perusteella keskilämpötila on noin 7, º C. 0. koska lukujen keskiarvo on 8, saadaan yhtälö ( x + ) + x + ( x ) + ( x + ) 8 x + + x + x x + x + x 9 : 9 x 8
Luvut ovat tällöin: 9 8 x + + + 0 x x 9 9 -x+ 9 9 9 9 0 9 + +. Suojelualueen keskimääräinen koko on 08 8 9,... 9 ( ha) 0 f i x i i x + 9 + 7 + + 9 + 7 + + 0 + 0 + 89+ 9 807 +... + 9 8 Vastaus: keskimääräinen koko on 9 ha.. Koska moodi on 7, se on yleisin arvosana. Koska ei ole muita moodeja ja arvosanoja on on arvosanoja 7 oltava vähintään kaksi kappaletta. Koska keskimmäinen arvo (mediaani) on,, arvosanoja 7 ei voi olla kolmea kappaletta. Jos arvosanoja 7 olisi kolme, olisi neljästä arvosanasta keskimmäinen aina 7. Arvosanoja 7 on siis täsmälleen kaksi kappaletta. Jotta mediaani olisi, on kahden jäljellä olevan arvosanan oltava pienempiä kuin 7. Koska arvosanoja on yhteensä neljä kappaletta, on keskimmäisiä arvosanoja kaksi, joista toinen on siis 7. Merkitään toista kirjaimella x. Tällöin x + 7, x + 7 x Toinen keskimmäisistä arvosanoista on siis. Tähän mennessä tiedetään siis kolme koearvosanaa, jotka ovat, 7 ja 7. Merkitään puuttuvaa arvosanaa kirjaimella y. Koska arvosanojen keskiarvo on, saadaan yhtälö y + + 7 + 7 y + 0 y Neljäs arvosana on siis. Koearvosanat suuruusjärjestyksessä ovat siis,, 7, 7.. Lasketaan mittareiden virheet ja niiden keskiarvot. Mittari A T T A T A - T +0,0 +, +, +,0 +7, +, +,0 +0,7 -, -,0 -, +0,8 -,0 -,9-0,9-0,0-0,7-0,7 Virheiden keskiarvo on, +,, + 0,8 0,9 0,7 x A 0, 0,0... 0 8
Mittari B T T B T B - T +0,0 +0, +0, +,0 +, +0, +,0 +, +0, -,0 -, +0, -,0 -,7 +0, -0,0-9,8 +0, Virheiden keskiarvo on 0, + 0, + 0, + 0, + 0, + 0, x B, 0, Mittarin A virheiden keskiarvo on pienempi kuin mittarin B virheiden keskiarvo. Mittari B on kuitenkin tarkempi. Se näyttää aina hieman liikaa. Mittarin A virheiden keskiarvo on pienempi, koska virheet ovat erimerkkisiä. yhteenlaskettuna virheet tällöin kumoavat toisiaan. Parempi tunnusluku saadaan, jos otetaan huomioon virheiden itseisarvot. Mittarin A virheiden keskiarvo on tällöin, +, +, + 0,8 + 0,9 + 0,7 x A. Piirretään taulukon tietojen perusteella pylväsdiagrammi. Koska muuttuja (arvosana) on diskreetti, pylväät ovat erilliset. Lasketaan ensin arvosanojen keskiarvo. f i x i i x 0 + 8 + 0 + 0 + + 9 + 9 0 + 8 + 0 +... + 9 0 9 8,... 8, 7 Lasketaan arvosanojen keskihajonta taulukoimalla. x i f i x i x ( x ) f x x i ( x ) 0 -, 7, 0 8 -, 9,90 79, 0 -,,8,8 7 0 -,, 9,7 8-0, 0,08 0,8 9 9 0,88 0,70 8,090 0 9,88,7 99, i i 8
Keskihajonta s 7 i,9 f ( x x ) 0 + 79,... +,8... +... + 99,... 9,9...,9... i i. Tarkastellaan ensin muuttujaa x, joka saa arvot,,,,,,,. s x Muuttujan x keskiarvo on + + + + + + + x 8 8 8, Muuttujan x keskihajonta (,) + (,) + (,) +... + (,) 7,... 8 Muuttujan x varianssi x ( ) s. Muuttujan x vaihteluväli on [, ], joten vaihteluvälin pituus R x. Muuttuja y saa arvot,,,,,,,. Muuttujan y keskiarvo on + + + + + + + y 8 8 8, Muuttujan y keskihajonta (,) + (,) + (,) +... + (,) s y 7,... Muuttujan y varianssi ( ) s. y 8 Muuttujan y vaihteluväli on [, ], joten vaihteluvälin pituus R y. Tällöin s R y y 0,7... 7 Muodostetaan muuttujien x ja y arvoista frekvenssijakauma. x f y f Tällöin s R x x 0,8... 8. Kuvataan jakaumia pylväsdiagrammeilla. Pylväät ovat erilliset, koska muuttujat ovat diskreettejä. 8
Muuttujan x jakauma. f c) Suotuisia ovat mainitut tuntia vuorokauden tunnista, joten P( syntynyt klo- ). 0 x 7. Suotuisia tapauksia kuvaa Suomen pintaala. Alkeistapauksia kuvataan koko maapallon alalla, joka on A ( pallo) πr π ( 70 km) 0990, 8... km Muuttujan y jakauma. f Tällöin P( meteoriitti putoaa Suomeen ) 7000 km 0990, 8... km 0, 00009... 000 8. Lamppuja yhteensä 00. 0 y a)lamppuja, jotka ovat palaneet jo 00 tuntia, on 00 88. Niistä vielä korkeintaan 00 palaa, joten Koska molempien muuttujien keskiarvot, keskihajonnat ja varianssit ovat samat, mutta jakaumat kuitenkin erilaiset (vaihteluvälien pituudet eri suuret), kuvaa luku R s arvojen leviämistä paremmin.. a) Koska viikonpäiviä on 7 kpl, P( syntynyt maanantaina ) 7. b) Kuukausia, joten P( syntynyt tammikuussa ). P( palaa vielä 00 tuntia ) 88 0, 0... 0. b) 00 tuntia palaneita lamppuja on 00. Niistä vain 00 0 toimii yli 900 tuntia, joten P( toimii yli 900 tuntia ) 0, 08.... 87
9. Kun kolikko heitetään pöydälle, sen keskipiste O osuu johonkin ruutuun tai ruudun reunalle. Ruudun ala on ( mm) 00 mm 0. Kolikko peittää ruudun kärjen P, jos tämä piste kuuluu ympyrän neljännesalueeseen, jonka keskipisteenä on O ja jonka säde on mm. Tämän neljänneksen ala on π ( mm) P O, 7... mm Koska ruudulla on neljä kärkeä, suotuisia tapauksia kuvaa ala, 7... mm 0, 99.... mm P( kolikko peittää ruudun kärjen ) 0, 99... 00 0,.... 0. Tilannetta voi havainnollistaa puumallilla: R E SA K MA BI MAANT V LI Jos Unto valitsee ruotsin, kemian ja valokuvauksen, hän voi valita. aineeksi jonkin kolmesta vaihtoehdosta. Vastaava määrä vaihtoehtoja on, jos valitaankin valokuvauksen sijaan liikunta. Näin kaikkiaan erilaista kokoonpanoa. Vaihtamalla kemia matematiikkaan saadaan taas erilaista jne. Jos ruotsi valitaan, erilaisia kokoonpanoja on yhteensä. Vastaavalla tavalla englanti ja saksa tuottavat kukin erilaista kokoonpanoa, joten kaikkiaan erilaisia kokoonpanoja on 7. Kaikista mahdollisuuksista suotuisa on vain yksi: ruotsi, biologia, valokuvaus ja psykologia. Sen todennäköisyys on siis 7 0, 0888... 0.. Luonnollisista luvuista joka. on jaollinen :llä. Vastaavasti viidellä jaollisia on joka. luku. Ensimmäinen luku, joka on jaollinen molemmilla, on luku 0. Koska kuudella jaollisen luvun täytyy olla kahdella jaollisuuden lisäksi olla jaollinen kolmella, ensimmäinen tällainen luku on 0. Tällöin P( luku jaollinen luvuilla, ja ) 0.. Loppukilpailuun voi Nean (N) ja Leevin (L) lisäksi päästä henkilö A, B tai C. Muodostetaan kaikki mahdolliset parit: NL NA NB NC LA LB LC AB AC BC Erilaisia pareja on yhteensä 0. HI US PS 88
a) Jos valittu pari on NL, NA, NB tai NC, Nea pääsee loppukilpailuun eli P( Nea pääsee ). 0 b) Parit, joissa Leevi pääsee, mutta Nea ei, ovat LA, LB ja LC. Näin ollen P( Leevi pääsee, Nea ei ) 0.. Kahden nopan heitossa alkeistapauksia on. Näistä on lihavoitu ne, joissa jälkimmäisellä heitolla saadaan suurempi silmäluku. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Tämän tapahtuman todennäköisyys on siis. Jos ensimmäisen nopanheiton tulos oli, kaksi seuraavaa tulosta voivat olla vain (,), (,) ja (,), jotta annettu ehto toteutuisi. Näin ollen tapahtuman ensimmäisellä saadaan kolme, toisella tätä suurempi ja kolmannella taas edellistä suurempi silmäluku todennäköisyys on.. Noppaa heitetään kertaa. a) P( saadaan kuutosta ) 0, 0008... 000. b) Silmälukuja, jotka ovat korkeintaan neljä, on neljä kuudesta. P( saadaan joka heitolla kork. nelonen ) 0,..... laskimissa on virhe 0,0 ei ole virhettä 0,98 P( yksikään laskimesta ei ole viallinen ) 0, 98 0, 9... 9.. Koska kortteja ei palauteta pakkaan, joka nostolla pakassa on yksi kortti vähemmän. a) Punaisia maita on pakassa, jolloin P( saadaan vain punaisia maita ) 0 9 0, 0... 0. b) Pakassa on kuvakorttia, joten P( saadaan vain kuvakortteja ) 0 9 0 9 0, 0088... 008. c) Ensimmäisellä kerralla kelpaa mikä tahansa kortti. Toisella nostolla suljetaan pois korttia suotuisten joukosta, koska yksi maa on jo käytetty. Näin toimitaan myös kahdella seuraavalla nostolla. Niinpä P( saadaan joka kortilla eri maa ) 9 0 9 0, 0.... 89
7. Olkoon suomalaisia kolikoita x kappaletta. Näin ollen todennäköisyys, että nostetaan molemmilla kerroilla suomalainen kolikko, on x x x x. Tämän tapahtuman todennäköisyyden tuli tehtävänannon mukaan olla. Saadaan siis yhtälö x x x x x 0 x 0 0 ( ) ± ( ) ( 0) x ± 8 x ± 9 x x tai x Koska kolikoiden määrä ei voi olla negatiivinen luku, vain x kelpaa ratkaisuksi. Saksalaisia kolikoita on siis 7 kappaletta. Silmälukujen,,,, ja todennäköisyydet ovat siis,,,, ja. Tapahtuman kahdella heitolla saadaan kaksi kuutosta todennäköisyys on näin ollen 0, 08... 08. 9. kultakoruja hopeakoruja pronssikoruja yhteensä Nostetaan kaksi korua. a) P( molemmat hopeaa ) b) P( molemmat samaa metallia ) P( molemmat kultaa ) + P( molemmat hopeaa ) + P( molemmat pronssia ) + + 9 9 8. Olkoon todennäköisyys saada ykkönen x. Tällöin muiden silmälukujen todennäköisyydet ovat x, x, x, x ja x. 0. tytöt suomenkieliset 9 ruotsinkieliset 8 pojat suomenkieliset ruotsinkieliset Koska silmälukujen todennäköisyyksien summa on yksi, saadaan yhtälö x + x + x + x + x + x x : x 90
a) Valitaan umpimähkään yksi opiskelija. P( suomenkielinen tai poika ) P( suomenkielinen ) + P( poika ) - P( suomenkielinen poika ) 78 + 8 8 8 7 8 0, 7... 7 b) Valitaan kaksi opiskelijaa. P( ainakin toinen ruotsinkielinen ) P(. ruotsinkielinen,. ei ) + P(. ei ole ruotsinkielinen,. on ) + P( molemmat ruotsinkielisiä ) 7 7 7 + + 8 7 8 7 8 7 0, 97.... 0 pisteen kortteja pakassa kpl (mukana kuvat ja kympit) pisteen kortteja pakassa kpl a) P( saadaan :lla kortilla summaksi ) P(. kortti ässä,. kuva tai kymppi ) + P(. kortti kuva tai kymppi,. on ässä ) + 0, 08... 08 b) Kahden ensimmäisen kortin pistesumma on 0 +. Jos pelaaja nostaa kolmannella kortilla 9, 0 tai kuvan, peli menee metsään. Pakassa on jäljellä näitä kortteja seuraavasti: 9 kpl 0 kpl kuvat kpl Näin ollen 9 P( pistesummaksi yli ) 0, 8. 0. Voittoketju alussa on A B B Jotta C voittaisi pelin, B ei voi enää saada kolmatta voittoa ja A voittaa vain kerran. Tällaisia ketjuja ovat: C C C C A C C A - C C C C C A C Koska kaikilla pelaajilla on yhtä suuri todennäköisyys voittaa, ensimmäisen rivin todennäköisyys on. Kolmen alimman rivin todennäköisyydet ovat kaikki samat,. Näin ollen P( kilpailun voittaa C ) + 07. 7. P(" malaria" ) 0,0 P (" ei sairastu") 0,0 0,70 a) P ("kukaan ei sairastu") 0,7 8 08 b) P ("ainakin yksi sairastaa" ). 0,7 8 0,9 Vastaus: a) 0,08 b) 0,9 P ("arpa voittaa" ) P ("arpa ei voita" ) a) P ("ainakin yksi voittaa ") 8 9
. b) P (" voittaa korkeintaan viidellä ") P(" voittaa kuudella" ) 9998 Vastaus: a) 0,8 b) 0,9998 P (" sairastaa") P (" ei sairasta") P("ainakin yksi sairastaa") P("ei kukaan sairasta") 8 Vastaus: 0,9 9. Merkitään pysäköintipaikkoja A ja B. P("A vapaa ja B vapaa") A varattu tai B varattu) 0 0 + 0 0 0 8 0, 0 0 Vastaus: 0,0 7. a) vaihtoehtoja on kpl b) 800 8. a) 9 b) Jos Tupu, Hupu ja Lupu ovat mukana, niin viimeinen pelaaja voidaan valita 9 henkilön joukosta. On siis yhdeksän suotuisaa tapausta. P("samassa pöydässä" ) 9 9 08 Vastaus: a) 9 b) 0,08 9. a) P ("I kirjain vokaali" ) 0, 0 b) Kolmesta kirjaimesta vain yksi on vokaali. P (" vain yksi kirjain vokaali" ) 0 0 0 c) P (" I, L ja O jossain järj." ) 00 0 0 Vastaus: a) 0, b) 0, c) 0,00 0. a) P ("neljä oikein" ) 8 00 b) P ("viisi ja lisä oikein" ) 7 9,8 0 8 Vastaus: a) 0,00 b) 9,8 0-7 9
. P (" poika" ) 0, P (" tyttö" ) 0, 0,87 P ("puolet tyttöjä, puolet poikia" ) 0 0, Vastaus: 0, 0,87 c) P (" vähintään 7 kpl sokeita" ) 8 0,08 7, 0 7 7 0,9 + 0,08 Vastaus: a) 0,09 b) 0,98 c), 0-7 70 7. a) z 70 8. P (" saadaan kuutonen" ) P (" ei saada kuutosta") P("saadaan kuutonen ainakin kahdesti" ) P("0 tai kertaa kuutonen" ) + Koska todennäköisyys on alle 0,, niin ei kannata lyödä vetoa. Vastaus: Ei kannata.. P (" pun.vihr. sokea") 0,08 P (" ei pun.vihr. sokea" ) 0,08 0,9 a) P (" kpl sokeita" ) 8 0,08 09 0,9 b) P ("korkeintaan kpl sokeita" ) 8 8 7 0,9 + 0,08 0,9 8 + 0,08 0,9 98 P( x < 70) Φ( ) Φ() 0,8 0,87 8 7 b) z 8, 8 7 z 8 Φ(,) Φ(,) 0,99 0,0808 P(8 < x < 8) Φ() Φ(,) 0,977 0,0808 0,89 9 Vastaus: a) 0, b) 0,9 9
. σ A 9, Alina 8 p μ 7 σ B,8 Bertta 80 p Normitetaan pistemäärät: 8 7 0 z,089... 9, 9, 80 7 8 z,7...,8,8 Koska,8>,09, Bertta pärjäsi paremmin. 8 80 Lukio B:,09,8. N(000, 000) Tulpan toimintavarmuus alle 9 %: Etsitään kohta, johon mennessä toimintavarmuus on vähintään 9 %. Φ (,9) 0,9, joten Φ (,9) 0,9 0,0 % % % z, z 000 0 z, z 7 0 z 80,8 P("pisteet yli 7, mutta alle 80") Φ(,8) - Φ(0) 0,880-0, 0,8 8 8 % Lukio A: Merkitään ajokilometrejä kirjaimella x. x 000,9 000 x 000 89,8 x 70, Vastaus: 700 km 700( km) P("pisteet yli 8") Φ(,09) 0,8 0,79 % Vastaus: Bertta pärjäsi paremmin. P ("pisteet yli 8" ) %, P ("pisteet yli 7, mutta alle 80" ) 8% 7. Φ (,9) 0,9 9% P ("haastattelu ei ylitä 0 min") 0 z 0,9 σ,9 σ σ,9,00...,0(min) Vastaus: Hajonta korkeintaan,0 min 9
Harjoituskokeiden ratkaisut 8. P (" vähintään 7 tikkua" ) 0, 00 Φ (,) 0,8907 89 Merkitään keskimääräistä tikkujen määrää kirjaimellaμ. 7 μ z 7, 7 μ,9 μ,08 μ,08 Vastaus: tikkua Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe. a) Havaintoyksiköinä ovat eri ammattikorkeakoulut, muuttujana opiskelijamäärät. b) Opiskelijamäärä on muuttujana kvantitatiivinen. c) Muuttuja on mitattu suhdelukuasteikolla. Sillä on absoluuttinen nollakohta. d) Muuttuja on jatkuva.. a) Kuusitahkoisessa nopassa kaikkien mahdollisten alkeistapausten määrä on. Ensimmäinen tyttö voi heittää minkä tahansa silmäluvun. Suotuisia alkeistapauksia on siis kappaletta. Toisen ja kolmannen tytön on saatava juuri tuo sama silmäluku. Kummallakin on siis suotuisia alkeistapauksia kappale. Todennäköisyys, että kaikki kolme tyttöä saavat saman silmäluvun on siis P( ensimmäinen tyttö heittää minkä tahansa silmäluvun JA toinen heittää saman JA kolmas heittää saman ) 0,077... 0 9
Harjoituskokeiden ratkaisut b) Jokaisen pojan todennäköisyys saada heitollaan vähintään silmäluku on sama. Poikien heittämässä nopassa kaikkien alkeistapausten määrä on. Näistä suotuisia tapauksia ovat silmäluvut, 7, 8, 9, 0, ja. Suotuisia alkeistapauksia on siis 7 kappaletta. Todennäköisyys, että kaikki pojat saavat vähintään silmäluvun on P( ensimmäinen poika saa vähintään JA toinen poika saa vähintään JA kolmas poika saa vähintään ) 7 7 7 0,98... 0 78. Kyseessä on toistokoe. Todennäköisyys saada kolikonheitossa kruuna on 0,. Kymmenestä heitosta kuudella pitää saada kruuna, joten P( kymmenellä heitolla saadaan kuusi kruunaa ) 0 0, 0 0, 0,00... 0, 0, 0. a) Jokaiseen pinoon tulee korttia. Kun jokaisesta neljästä pinosta otetaan yksi kortti, erilaisia neljän kortin ryhmiä saadaan 8 kappaletta. b) Kun nostettua korttia ei palauteta takaisin pakkaan, korttien määrä vähenee jokaisella kierroksella yhdellä. Tapauksen vähintään yksi ässä komplementti on ei yhtään ässää. Koska korttipakassa on ässää, on ensimmäisellä nostokerralla suotuisia tapauksia 8 kappaletta. Toisella nostokerralla suotuisia tapauksia on 7, kolmannella jne. Tapauksen ei yhtään ässää todennäköisyys on P( kahdeksalla kortilla ei yhtään ässää ) P( ensimmäisellä kortilla joku muu kuin ässä JA toisella kortilla joku muu kuin ässä JA JA kahdeksannella kortilla joku muu kuin ässä ) 8/ 7/ / / 0 9 8/ 7/ / / 0 9 80 9700 0,0... Todennäköisyys P( kahdeksalla kortilla vähintään yksi ässä ) P( kahdeksalla kortilla ei yhtään ässää ) 80 9700 0,0... 0,98... 0 9
Harjoituskokeiden ratkaisut. Luokalla on opiskelijoita yhteensä + 7 kappaletta. Tällöin luottamusoppilaan valintaan on vaihtoehtoja 7 ja varahenkilön valintaan vaihtoehtoja (koska sama henkilö ei voi olla molempia). a) Luokalla on poikia. Luottamusoppilaan valinnassa suotuisia alkeistapauksia on tällöin. Varahenkilön valinnassa suotuisia alkeistapauksia on. Todennäköisyys P( luottamusoppilas on poika JA varahenkilö on poika ) 7 70 0,880... 9 b) Koska luokalla on tyttöä ja poikaa, niin todennäköisyys P( luottamusoppilaaksi valitaan tyttö JA varahenkilöksi valitaan poika ) 7 80 70 0,... P("yli 8 g" ) - Φ(0,7) - 0,77 0,8 8 b) 0 z 0 0,9... 0,9,, 0 z 0 0,9... 9,, P("yli 0 g, mutta alle 0 g" ) Φ(0,9) - Φ(-0,9) 0,8 - [ - 0,8] 0,8-0,7 0,8 Vastaus: a) 0,8 b) 0,. μ g, σ,g 8 a) z 8 0,... 7,, 97
Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe. Määritetään ensin aineiston frekvenssijakaumat. x f f% sf%,,, 9, 7 9, 8,9 7,0,9 0,, 7 9, 7, 8 7,0 90, 9,8 97, 0,7 00,0 7 00,0 a) Koska suhteellisen summafrekvenssin mukaan enintään pistettä sai, %, vähintään 7 pistettä sai loput eli 00 % -, %, % %. b) Mediaani saadaan myös suhteellisesta summafrekvenssistä, mediaani sijaitsee kohdassa, jossa 0 % täyttyy. Tämän aineiston mediaani on siis. Moodi on muuttujan arvoista yleisin eli Mo tai Mo 8. Aineiston keskiarvo x : + + 7 +... + 0 x 7,..., c) Keskihajonta lasketaan laskimen tilastotoimintojen avulla. Aineisto syötetään laskimeen, jolloin (otos)keskihajonnaksi saadaan s, 9888..., 99.. Kahta noppaa heitetään. a) P( molemmat viitosia ) P(. on viitonen ) P(. on viitonen ) b) Kahden nopan heitossa alkeistapauksia on. Taulukkoon on lihavoitu kaikki ne tapaukset, joissa silmälukujen summa on vähintään 7. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) P( silmälukujen summa vähintään 7 ) 7 c) Taulukoon on lihavoitu ne tapaukset, joissa silmäluvuista ainakin toinen on kuutonen. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) P( silmäluvuista ainakin toinen on ). Itämistodennäköisyydet siemenille R ja S: Itää Ei idä R 0,9 0, S 0,8 0, 98
Harjoituskokeiden ratkaisut Nostetaan pussista kaksi siementä. a) Kaksi itävää siementä voidaan nostaa seuraavilla tavoilla (viereen on laskettu kyseisen tapahtuman todennäköisyys): RR 0, 0, 9 0, 9 RS 0, 0, 9 0, 0, 8 0, 78 SR 0, 0, 8 0, 0, 9 0, 78 SS 0, 0, 8 0, 0 Kysytty todennäköisyys on em. todennäköisyyksien summa: P( molemmat itävät ) 0, 9 + 0, 78 + 0, 0 0, 70 7. b) Tapahtuman ainakin toinen itää komplementti kumpikaan ei idä on helpompi laskea. Tämä sisältää seuraavat tapahtumat (ja todennäköisyydet sille, että nostetut siemenet eivät idä): RR 0, 0, 0, 00 RS 0, 0, 0, 0, 0, 008 SR 0, 0, 0, 0, 0, 008 SS 0, 0, 0, 0 P( ainakin toinen itää ) - P( kumpikaan ei idä ) 0, 00 + 0, 008 + 0, 0 0, 97 97. ( ). käyttää laseja 0, ei käytä laseja 0, Valitaan satunnaisesti 8 henkilöä. a) P( joukosta käyttää laseja, ei käytä ) 8 0, 0, 0, 78... 8. b) P( ainakin kaksi käyttää laseja ) - P( korkeintaan yksi käyttää laseja ) [P( 0 käyttää ) + P( käyttää )] 8 8 0, + 0, 0, 0, 99... 99.. keskiarvo μ 0 keskihajonta σ 0 a) Pituutta cm vastaa normitettu arvo z 0 0 7. 0, Koska normaalijakauman kertymäfunktion arvot on taulukoitu vain positiivisille normitetuille arvoille, käytetään hyväksi jakauman symmetriaa: arvoa 0,7 vastaa prosenttiluku 77, %. Näin ollen arvoa 0,7 vastaa (00 77,)% %. Oppilaista % on siis lyhyempiä kuin cm. b) Määritetään ensin pituuksia 70 cm ja 80 cm vastaavat normitetut arvot: 70 0 z 70 0, 0 0 80 0 z 80, 00 0 Arvoa 0,0 vastaa prosenttiluku 9, %. Arvoa,00 vastaa prosenttiluku 8, %. 7 99
Harjoituskokeiden ratkaisut + x 0 0 + x 0 x 8 Näiden pituuksien väliin jää siis (8, 9,)% % opiskelijoista.. a) Koska Arthur istuu kiinteällä paikalla, muut asettuvat jonoon kuninkaan paikasta alkaen. Erilaisia jonoja voidaan muodostaa! 0 erilaista. b) Viiden ritarin joukosta voidaan muodostaa erilaisia pareja 0 kappaletta. c) Kandidaatteja ovat Lancelot (L) ja ritarit A, B, C ja D. Lancelot pääsee mukaan seuraavissa kokoonpanoissa: LA, LB, LC ja LD. Koska erilaisia pareja oli 0, P( Lancelot pääsee ) 0,. 0 7. Olkoon kahden viimeisen heiton silmälukujen summa x. Tällöin koko heittosarjan keskiarvo on + + + + + + + + x 0 + x 0 Kahden viimeisen heiton silmälukujen summan on oltava siis vähintään 8. Taulukkoon on koottu kahden nopanheiton mahdolliset tulokset. Suotuisat tapaukset on lihavoitu. (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Suotuisia tapauksia on. Niinpä P( heittosarjan keskiarvo väh. ). 8. keskiarvo μ 00 keskihajonta σ Jos annoksen ylivalumisen todennäköisyys on alle 0 %, kahvimukin on oltava niin suuri, että 90 % annoksista on pienempiä kuin tämä tilavuus. Olkoon tämä tilavuus x (cm ). Sitä vastaa normitettu arvo z x 00 x Toisaalta tiedetään, että tätä normitettua arvoa vastaava prosenttiluku on 90 %. Taulukosta nähdään, että z x, 8. Keskiarvon on oltava vähintään kolme, joten saadaan yhtälö 00
Harjoituskokeiden ratkaisut Saadaan siis yhtälö x 00, 8 x 00, x 0, x 0 Mukin on oltava 0 cm. Harjoituskoe. Määritetään ensin luokkien luokkakeskukset. Pituus Luokkakeskus x i f i (cm) (cm) 9, + 9, 7 7 0 9, +, 9 7 70 7 7 8 7 79 77 80 8 8 Keskiarvo 990 0,... f x i i i x 7 + + + 8 + + 7 7 + +... + 8 0 ( cm) Mediaanin määrittämiseksi muodostetaan summafrekvenssijakauma ja suhteellinen summafrekvenssijakauma. Pituus f sf sf % (cm) 9 7 7 7 0,... 0 % 0 0,... 0 % 9 9 0, % 70 7 8 7 0,9 90 % 7 79 8 0,9 9 % 80 8 0 00 % Mediaani on sen luokan luokkakeskus, jonka suhteellinen summafrekvenssi on ensimmäisenä vähintään 0 %. Tällainen luokka on 9 cm, joten Md 7 cm Lasketaan keskihajonta taulukoimalla. x i f i x 7 7 x i ( x x ) i f ( x x ) 7, ( 9,... ) 9,... 87,... i i 7 87,... 09,77... -, 8,777, 7 0, 0,, 7 8,,,88 77 0,,77,77 8,, 90,88 Moodi on sen luokan luokkakeskus, jonka frekvenssi on suurin. Suurin frekvenssi (8) on luokassa 70 7 cm, joten moodi Mo 7 cm 0
Harjoituskokeiden ratkaisut Keskihajonta s i 7,0 f i ( x x ) 0 09,77... +,... +... + 90,88... 9 8,... 9 7,9... i ( cm) Piirretään frekvenssijakauman kuvaaja, histogrammi. Koska muuttuja (pituus) on jatkuva, pylväät piirretään yhteen.. Saadaan vähintään kaksi yhtäsuurta silmälukua. Vastatapahtuma on: Ei yhtään samaa silmälukua. P("ei yhtään samaa silmälukua") 0,0... P(" vähintään samaa silmälukua" ) P("ei yhtään samaa silmälukua") - 0,0... 0,98... 98 Vastaus: 0,98. P (" vasenkätinen" ) 0,0 P (" oikeakätinen" ) 0,0 0,9 a) P (" viisi vasenkätistä" ) 8 0,0 0,9 0,08... 0 b) 8 7 0 Vastaus: a) 0,0 b) 0. a) P ("tarttuu oikeaan kirjaan" ) 0, b) P ("kaikki tarttuvat oikeaan kirjaan" ) 9,7 0. μ 77 km/h, σ 7,0km/h 80 77 z 80 0,8... 7 7 9 77 8 z 9,7...,7 7 7 c) P ("ässä tai hertta kymppi" ) + 09 Vastaus: a) b),7 9 0 c) 0
Harjoituskokeiden ratkaisut P("nopeus välillä 80-9 km/h") Φ(,7) - Φ(0,) 0,999-0, 0,8 % Vastaus: %. P ("peruuttaa") 0,07 P (" pitää paikkansa" ) - 0,07 0,9 Pekka saa paikan, jos neljä tai enemmän peruuttaa paikkansa. Vastatapahtuma on: ei yhtään tai korkeintaan kolme peruuttaa. Lasketaan vastatapahtuman todennäköisyys. 0 0 0 0 0,07 0,9 + 0,07 0,9 0 0 8 + 0,07 0,9 0 7 + 0,07 0,9 0,08... P("Pekka saa paikan" ) - 0,08... 0,978... 97 Vastaus: 0,97 9 0