MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden välinen sivu c. Milloin tehtävä on mahdollinen. Mikä kolmioita koskeva yhtenevyyslause näin saadaan? 3. Alla olevat kolmiot ovat yhtenevät. Ilmoita, mitkä sivut vastaavat toisiaan. Mitkä kulmat vastaavat toisiaan? C F A B D E 4. Osoita laskemalla, että kulman ja sen vieruskulman puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 38 0 5. Suorat r ja s ovat yhdensuuntaiset. r Laske kulman α suuruus. (83 0 ) α 59 0 s 6. Mikä on tavallisessa viisarikellossa tunti- ja minuuttiosoittimen välisen koveran kulman asteluku sadasosa-asteen tarkkuudella, kun kello on a) 12.00 b) 18.00 c) 15.00 d) 14.30 e) 22.44? ( d) 105 0 e) 58 0 )
7. Perustele tarkoin, ovatko 39 0 suorat k ja m yhdensuuntaiset. (eivät ole) 59 0 k 81 0 m 8. Lapsia kiinnosti lipputangon korkeus. Vaakasuoralla maan pinnalla tämän varjon pituus oli 11.5 m. Lipputangon viereen asetetun kepin pituus oli 1.5 m ja kepin varjo oli puolestaan 1.4 m mitkä. Kuinka korkealla lipputangon nuppi oli maan pinnasta? (noin 12 m) 9. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat a ja b. Kolmion sisään on piirretty neliö siten, että kaksi sen sivua yhtyy suorakulmion kateetteihin, yksi kärki on suoran kulman kärjessä ja yksi kärki hypotenuusalla. Laske neliön sivun pituus (a:n ja b:n ab avulla lausuttuina). ( a + b ) 10. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat a ja b. Kolmion sisään on piirretty suorakulmio siten, että kaksi sen sivua yhtyy suorakulmion kateetteihin, yksi kärki on suoran kulman kärjessä ja yksi kärki hypotenuusalla. Merkitään kateetilla b olevaa suorakulmion sivua = x ja kateetilla a oleva sivu = y. Eliminoi yhdenmuotoisia kolmioita käyttäen muuttuja y ja lausu suorakulmion pinta-ala yksinomaan x:n funktiona. Tarkista, että saamasi lauseke A(x) antaa pinta-alan arvoksi nollan, ax(b x) kun x = 0 tai kun x = b. ( A(x) = ) b 11. Kaikki ympyrät ovat keskenään yhdenmuotoisia. Jos ympyrän säde kasvaa 20%, niin kuinka monta prosenttia kasvaa ympyrän ala? (44%) 12. Mikä on kartan mittakaava, jos 4.5 hehtaarin pellon pinta-ala kartalla on 2.0 cm 2? (1:15000) 13. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 4 ja 7. Laske kolmion kulmat ja piirrä kuvio oikeassa mittakaavassa. (yksi kulma 29.7 0 ) 14. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 19 ja toinen terävä kulma 39 astetta. Laske kateetit. (toinen kateetti noin 14.8) 15. Suorakulmaisen kolmion kateetti on 7, hypotenuusa 17 ja hypotenuusalle piirretty korkeusjana on 8. Laske toinen kateetti. Käytä korkeusjanaan liittyvää yhdenmuotoisuuslausetta. (laskien saat 19, ja huomaat; tehtävä on mahdoton) 3 7
16. Tasakylkisen kolmion kanta on 16 ja kylki 11. Laske kolmion ala. 17. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 13 ja toinen kateetti 12. Kuinka pitkä on toinen kateetti. (5) 18. Tasasivuisen kolmion sivu = s. Piirrä kolmio ja sille korkeusjana. toteat, että korkeusjana jakaa kolmion kahteen yhteneväiseen suorakulmaiseen kolmioon, jossa terävät kulmat ovat 30 ja 60 astetta. Laske kolmion a) korkeusjanan b) pinta-alan tarkat, neliöjuuria sisältävä arvot. (vastauksissa esiintyy 3 ) 19. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 15 ja toinen kateetti kaksi kertaa niin pitkä kuin toinen. Kuinka pitkiä kateetit ovat? (toinen on 6 5 ) 20. Kolmiossa on 41 asteen kulma ja tämän viereiset sivut ovat 6.0 cm ja 11.5 cm. Piirrä kuva ja laske kolmion pinta-ala. Ohje: laske korkeusjanan h pituus annetun kulman ja toisen sivun pituuden avulla trigonometriaa käyttäen. (n. 22.6 cm 2 ) 21. Tasakylkisen kolmion kanta on 10 ja kylki 12. Laske kolmion pinta-ala ja kantakulman asteluku 0.1 asteen tarkkuudella. (kantakulma 65.4 0 ) 22. Kolmion pinta-ala on 108 cm 2, ja sen kahden sivun pituudet ovat 17 cm ja 13 cm. Näiden sivujen välinen kulma on tylppä. Mikä on tämän kulman asteluku sadasosa-asteen tarkkuudella. Piirrä kuvio mittakaavassa 1 : 2. (102.21 0 ) 23. Kolmion pinta-ala on 208 cm 2, ja sen kahden sivun pituudet ovat 17 cm ja 13 cm. Näiden sivujen välinen kulma on tylppä. Mikä on tämän kulman asteluku sadasosa-asteen tarkkuudella. Piirrä kuvio mittakaavassa 1 : 2. (ovela tehtävä vai) 24. Kolmiossa kahden sivun pituudet ovat 7.8 cm ja 12.6 cm sekä jälkimmäisen sivun vastainen kulma 119.4 astetta. Laske kahden muun kulman asteluvut kymmenesosa-asteen tarkkuudella sekä kolmannen sivun pituus millimetrin tarkkuudella. (toinen kulma noin 28.0 0 ja sivu 6.8 cm) 25. Kolmion kulmat ovat 55 0, 59 0 ja kolmion lyhin sivu on pituudeltaan 73 mm. Laske muiden sivujen pituudet. (toinen sivu 76.4 mm) 26. Kolmion sivujen pituudet ovat 7.5 cm, 10.8 cm ja 13.4 cm. Laske kolmion kulmien asteluvut. (yksi kulma on 92.4 0, tarkkana!) 27. Kaupungintalon lipputangon juurelta mennään suoraan pohjoiseen 315 m, niin ollaan Mantelipuiston suihkulähteellä. Jos kaupungintalon lipputangon juurelta mennään 133 m lounaaseen, niin ollaan pankkiautomaatilla. Kuinka pitkä matka on linnuntietä pankkiautomaatilta suihkulähteelle. Piirrä kuva. (420 m)
28. Kolmion kahden sivun pituudet ovat 1 ja 4 sekä pinta-ala 3. Laske kolmas sivu. (2 tapausta, toinen 3.6) 29. Laske metsäpalstan pinta-ala D hehtaareina. AB = 520 m BC = 240 m Kärjessä A kulma 76 0, kärjessä B kulma 71 0 ja kärjessä C kulma 135 0. A (n. 13.5 ha) C B 30. R-säteisessä ympyrässä on sektori, jonka ala on R 2. Montako astetta on sektorin keskuskulma? Kuinka pitkä on sektorin kaari R:n avulla lausuttuna? (2R) 31. Varjostetun ympyräsegmentin ala on neljännes ympyrän alasta. Osoita, että yritys määrittää vastaavan sektorin keskuskulman asteluku α johtaa yhtälöön πα 180sin α = 90π eli π( α 90) 180sinα = 0 Tämän yhtälön juuren löydät kokeilemalla ns. haarukoimismenetelmällä mielivaltaisen tarkasti. Mene aluksi 10 asteen välein, ja kun löydät 10 asteen välin, haarukan, missä juuri sijaitsee, niin määritä sitten minkä kahden kokonaisen asteen välissä juuri sijaitsee. 32. Tasasivuisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on R. Laske kolmion sivu. (2R 3 ) 33. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 3 ja 4. Laske kolmion sisään piirretyn ympyrän säde. (1) 34. R-säteinen ja 2R-säteinen ympyrä sivuavat toisiaan ulkopuolisesti. Keskipisteiden määräämällä suoralla on piste P, josta voidaan piirtää ympyröille yhteiset tangentit. Mikä on tangenttien välisen kulman asteluku? (36.4 0 )
35. Maapallon säde on 6380 km. Porataan maapallon läpi suora tunneli, jonka pituus on 1100 km. Tunnelin molemmat päät sijaitsevat päiväntasaajalla. Kuinka syvällä maanpinnan alapuolella tunnelin keskikohta on? Kuinka paljon tunneli oikaisee sitä matkaa, joka maan pintaa pitkin tulisi kuljetuksi mentäessä tunnelin päästä toiseen? Huomaa, että kuvaan on piirretty vain päiväntasaajaa esittävä ympyrä. Maapalloa katsellaan esim. pohjoisnavalta päin. (oikaisee kokonaista 1.4 km) 36. Seisot laiturilla meren rannalla, silmäsi 3.0 m merenpinnan yläpuolella. Kuinka kaukana on purjealus, jonka merenpinnasta mitaten 56 m korkea masto juuri häviää näkyvistäsi. (noin 33 km) 37. Viereisen ympyrän säde on 19 cm ja kulma α α = 39 0. Kuinka pitkä on pisteitä A ja B yhdistävä (lyhempi) kaari? (n. 26 cm) A 38. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on 24 ja B kateetti 10. Kolmion ympäri on piirretty ympyrä. Missä sen keskipiste sijaitsee? Kuinka pitkä säde on? 39. Kuorma-auton ja siihen kytketyn perävaunun pituus on 25.25 m. Yhdistelmä kuvataan sivusta kameralla, jossa objektiivin näkökulma on 33 0. Missä kuvaajan tai oikeastaan kameran tulisi sijaita, että yhdistelmä juuri ja juuri sopisi kuvaan koko pituudeltaan. (lähes 43 m matka yhdistelmään) 40. Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ulkopuolisesti. Ympyröille piirretään yhdensuuntaiset säteet samalle puolelle sitä suoraa, joka kulkee ympyröiden keskipisteiden kautta. Säteiden ympyrän kehällä olevat päätepisteet yhdistetään ympyröiden sivuamispisteeseen. Osoita, että nämä yhdistysjanat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
41. Lausu kulma β kulman α avulla. Pisteestä P piirretyn kulman toinen kylki kulkee ympyrän O keskipisteen kautta ja toinen on puoliympyrän tangentti. 0 ( β = 2α 90 ) 42. Todista ns. pisteen potenssilause: Jos pisteen P kautta piirretään ympyrälle (O) sekantti, niin pisteen ja ympyrän kehän välisten osien tulo on riippumaton sekantin suunnasta: PA PB = PA PB, kun A ja B ovat toisen sekantin ja kehän yhteiset pisteet. Vastaavat pilkulliset pisteet liittyvät toiseen sekanttiin. Ohje: Piste P on ympyrän sisällä. Piirrä kaksi sekanttia ja nojaudu yhdenmuotoisiin kolmioihin. Piste P on ympyrän ulkopuolella. Piirrä taas kaksi sekanttia ja muodosta verrantoja yhdenmuotoisista kolmioista. 43. Yritys valmistaa pallon muotoisia kaasusäiliöitä, joiden tilavuuden on tarkoitus olla tasan 5000 litraa. Laske tällaisen pallon säde. Jos säiliön tilavuus on suurempi kuin 5065 litraa tai pienempi kuin 4935 litraa, niin säiliö hylätään. Missä rajoissa säiliön säde saa vaihdella? (R noin 106.08 cm, vajaan sentin vaihtelu käy) 44. Laske em. 5000 litran säiliön pinta-ala? Kuinka monta prosenttia enemmän valmistusmateriaalia menee, jos 5000 litran säiliö tehdäänkin kuution muotoiseksi? (24%) 45. Metallista valmistetaan yhden desilitran vetoinen, kanneton mitta, suoran ympyrälieriön muotoinen. Laske sen pinta-ala, kun lieriön korkeus = pohjaympyrän halkaisija. (147 cm 2 ) 46. Ennen muinoin sahatukin tilavuus mitattiin englantilaisissa mitoissa, yksikkönä kuutiojalka. Sanottakoon, että yksi jalka on 12 tuumaa ja tuuma on 2.47 cm. Kuinka monta kuutiojalkaa on yksi kuutiometri? (runsas 38) 47. R-säteinen puoliympyrälevy taivutellaan kartion vaipaksi. Laske kartion tilavuus. πr 3 3 ( ) 24
48. R-säteistä palloa leikataan tasolla. Laske pallon keskipisteen etäisyys tästä tasosta, kun syntyvän leikkauskuvion (pikkuympyrän) a) säde on puolet isoympyrän säteestä (R 3 / 2 ) b) pinta-ala on puolet isoympyrän pinta-alasta. (R 2 / 2 ) 49. Pyramidin pohja on suorakulmio, jonka yksi sivu on 190 m ja toinen sivu 210 m. Pyramidin huipun projektio pohjatasolla on pohjasuorakulmion lävistäjien leikkauspiste. Pyramidin sivutahkoista ne kaksi (tasakylkistä) kolmiota, joiden kannat ovat 190 m, ovat korkeudeltaan 175 m. Laske pyramidin a) tilavuus b) vaipan ala. V 1860000 m 3 ) 50. Rikkihappoa kuljettavan auton säiliö on siten rakennettu, että R-säteisen ympyrälieriön kummassakin päässä on puolipallot. Lieriön korkeus on 2.50R. Määritä R, kun säiliön ollessa täytetty 90% kokonaistilavuudestaan, siinä on 8100 litraa rikkihappoa. (Olisiko R noin 908 mm). 51. Perävaunuun rakennetaan samanlainen säiliö, R-säteinen ympyrälieriö ja päissä puolipallot. Kuinka korkea on perävaunun säiliön lieriöosa, kun säiliöön pitää mahtua rikkihappoa 13600 litraa, kun säiliön kokonaistilavuudesta on 90% täytetty. Lieriön säde R on suuruudeltaan sama, jonka edellistehtävässä laskit. (Kärryn säiliön lieriöosan korkeus noin 4.63 m) 52. Kuinka kauan laiva purjehtii Kauriin kääntöpiiriltä (23.5 0 eteläistä leveyttä) Kravun kääntöpiirille (23.5 0 pohjoista leveyttä), kun sen vauhti on 19 km/h? Maapallon säde on 6370 km. (11.5 vrk)