BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan laskettua kaavoilla: Kerroin a : Kertoimet a n : a = = / f x = a = coshxcos nπx nπx sinhxcos / f x, coshx = a n = / sinhx nπ = sinhcosnπ nπ coshx = sinh n n π 3 = sinh n n π a n f x = sinhx = sinh nπx sin nπx sin + coshxsin nπx Tästä saadaan ratkaistua, että a n = n + n π sinh Kertoimet a n voidaan laskena myös eksponenttifunktioiden avulla: = Funktion Fourier-sarja on ex + e x einπx/ + e inπx/ coshx n π f x sin nπx e +inπ/x + e inπ/x + e +inπ/x + e inπ/x =... f x sinh + n nπx + n cos π. Kun π-jaksollista funktiota f x approksimoidaan trigonometrisellä katkaistulla sarjalla f x a + N nx + b n sinnx tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin π N E N = f x a nx + b n sinnx
avulla. Approksimoiva funktio eroaa siis Fourier-sarjasta siinä, että mukana ei ole kaikkia äärettömän montaa termiä, ainoastaan vakiotermi, ja N kappaletta sini- ja kosinitermejä. Tutkitaan π-jaksollista funktiota f x = x, π < x < π. Tämä funktio tunnetaan tässä vaiheessa sahaaaltofunktioksi sawtooth wave, ja sen Fourier-sarja laskettiin harjoituksessa 8. Tulokseksi saatiin f x n+ sinnx = sinx n sinx + 3 sin3x +... aske nyt approksimoinnissa syntyvä virhe, kun käytämme katkaistua sarjaa, jolle N =. Tärkeintä on muodostaa lauseke, mutta voi syntyvän integraalilausekkeen ratkaistakin, jos urheiluhenkeä riittää. asketaan E = Nyt f x = x, a = a = ja b =. Täten f x a a cosx + b sinx E = x sinx Integroitava funktio on parillinen, joten integraali voidaan kirjoittaa muotoon E = x sinx = x 4xsinx + 4sin x = 3 π3 8 Osittaisintegroimalla saadaan xsinx = ja Joten Virheeksi saadaan sinxsinx = = xsinx + 8 x cosx sin x cosx = π sinx = π cosxsinx cosxcosx cos x = sin x = π sin x = π E = 3 π3 8π + 4π = 3 π3 4π 8.4 sin x 3. Määritä π-jaksollisen funktion kompleksinen Fourier-sarja. f x = {, < x <, < x < π Kompleksinen Fourier-sarja π-jaksolliselle funktiolle: f x c n e inx
missä asketaan kertoimet Kun n = c n = π = π Fourier-sarja on siten = i nπ e inπ = c n = f xe inx π f xe inx = e inx π in e inx = inπ e inπ n i cosnπ isinnπ = i nπ c = = π f x + i π n= n n e inx n nπ n 4. a Olkoon f x = e x, kun < x <. aajenna funktio parittomaksi jaksolliseksi funktioksi ja muodosta laajennukselle Fouriersarja. Tehtävässä riittää muodostaa integraalit, joista tarvittavat kertoimet ratkaistaisiin, vaikka ei integraalien loppuun laskeminenkaan vaadi trikkejä, jotka eivät olisi tässä vaiheessa tuttuja. Hahmottele myös muodostuva käyrämuoto. b aajenna funktio parilliseksi jaksolliseksi funktioksi ja muodosta laajennukselle Fouriersarja. Tehtävässä riittää muodostaa integraalit, joista tarvittavat kertoimet ratkaistaisiin. Hahmottele myös muodostuva käyrämuoto. a aajennus parittomaksi jaksolliseksi funktioksi: { e x if < x < f x = e x if < x < ja f x + 4 = f x. Koska laajennuttu funktio on pariton, niin a n = kun n =,,,... Pariton laajennettu funktio on muotoa f x missä kertoimet b n saadaan kaavalla b n sin nx = b n sin nx, b n = x= x= f xsin nx = e x sin x= nx.
asketaan kertoimet b n : b n = = f xsin nπ x = e x sin nπ x / ex = nπ = nπ = nπ nπ cos nπ x e x nπ cos nπ x e cosnπ / ex nπ sin nπ x + e n 4 nπ e x sin nπ x n e 4 nπ b n e x nπ sin nπ x Funktion Fourier-sarja on b n = nπ n nπ e + 4 f x nπ n nπ e sin nπ + 4 x b aajennus parilliseksi jaksolliseksi funktioksi: { e x if < x < f x = e x if < x < ja f x + 4 = f x. Koska laajennuttu funktio on parillinen, niin b n = kun n =,,3,... Parillinen laajennettu funktio on muotoa f x a + missä kertoimet a n saadaan kaavalla nx = a + nx, x= x= f xcos nx = e x cos x= nx.. Tunnemme alla annetut vektorit. Voimme liikkua sillä hypertasolla, jonka vektorit a a 4 virittävät. Piste b on tämän hypertason ulkopuolelle, joten siihen pisteeseen emme pääse. Muodosta matriisiyhtälöt, joilla voitaisiin ratkaista best fit -piste, eli se piste hypertasolla, joka on lähimpänä pistettä b. Helpoiten tämä hoituu käyttäen luennoilla esiteltyä metodia Moore-Penrose pseudoinverssi. a =, a =, a 3 =, a 4 =, b =
close all, clear all a = [ - - ] ; a = [ - ] ; a3 = [ - - ] ; a4 = [ - ] ; b = [ ] ; A = [ a a a3 a4 ]; x = inv A *A * A * b normx*a+x*a+x3*a3+x4*a4 - b Etsimme siis neljää parametria, x,,x 4 siten, että piste x a + x a olisi mahdollisimman lähellä pistettä b. Yllä on annettu Matlab-koodi, jolla Best fit -pisteen määrittelevät parametrit ratkaistaan; Matlab-taitoisille annetun koodin tutkiminen lie paras selitys tälle metodille. Homma tapahtuu siis seuraavalla tavalla. Muodostetaan ensin matriisiyhtälö samaan tapaan, kuin tämäntyyppisissä probleemissa yleensäkin vaikka tiedämmekin, että sille probleemalle ei tule löytymään ratkaisua. adomme siis pystyvektorit a,,a 4 matriisiksi kutsutaan sitä A. Nyt voimme kirjoittaa yhtälön muodossa x x x 3 = x 4 Huomataan, että tämän matriisiyhtälön dimensiot ovat sellaiset, että yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella oleva kertolasku on sallittu, ja kertolaskun tulos antaa sen kokoisen matriisin, kuin löytyy yhtäsuuruusmerkin oikealta puolelta; tämä todistaa, että yhtälö on muodostettu oikein. Yhtälölle ei kuitenkaan voida löytää ratkaisua, koska muuttujia on liian vähän, ja vaatimuksia liikaa. Sen takia ollaankin etsimässä ratkaisua, joka on mahdollisimman hyvä, joskaan ei eksakti. Kutsutaan yllä näkyvän yhtälön osia samoin kuin aina, eli kirjoitamme Ax = b. Nyt yhtälön, joka antaa meille Best fit -ratkaisun, kirjoittaminen on helppoa; kerromme vain koko yhtälön puolittain A-matriisin transpoosilla. Saadaan alla näkyvä yhtälö, ja kertomalla puolittain vasemmalta tekijän A T A käänteismatriisilla saadaan yhtälö, josta vektori x voidaan suoraan ratkaista. A T A x = A T b x = A T A A T b Vertaa alempaa yhtälöä, ja yllä kirjoitetun Matlab-koodin toisiksi alinta riviä, ja huomaat niiden olevan täysin samat keskenään. Kun tämä tehtävä ratkaistaan kyseisellä Matlab-koodilla, saadaan vektoriksi x x =.39.48438.73 3.47
Best fit- pisteen, ja pisteen b etäisyydeksi saadaan.468. 6. Muodosta Fourier sarja kolmioaallolle, joka määritellään f x = x, kun x, ja f x+ = f x. Tarvittavien lausekkeiden muodostus riittää, integraaleja ei tarvitse ratkaista. Funktion jaksonpituus on =. Funktio on parillinen, joten näemme heti b n =. Muodostetaan lausekkeet kertoimille a ja a n. Huomaa, että käytämme kertoimien laskemiseen annetusta funktiosta vain puolikasta, väliltä x. a = x= x= f x = f x cos x= x= x nx = x= x= x cosπnx 7. a Olkoon f x = x +, kun < x < 3. aajenna funktio parittomaksi jaksolliseksi funktioksi ja muodosta laajennukselle Fouriersarja. Tehtävässä riittää muodostaa integraalit, joista tarvittavat kertoimet ratkaistaisiin. Hahmottele myös muodostuva käyrämuoto. b aajenna funktio parilliseksi jaksolliseksi funktioksi ja muodosta laajennukselle Fouriersarja. Tehtävässä riittää muodostaa integraalit, joista tarvittavat kertoimet ratkaistaisiin. Hahmottele myös muodostuva käyrämuoto. a aajennus parittomaksi jaksolliseksi funktioksi: { x + f x = if x 3 x + if 3 < x < ja f x + 6 = f x. Koska laajennuttu funktio on pariton, niin a n = kun n =,,,... Pariton laajennettu funktio on muotoa f x missä kertoimet b n saadaan kaavalla b n sin nx = b n sin 3 nx, b n = x= b aajennus parilliseksi jaksolliseksi funktioksi: f xsin 3 nx = x=3 x + sin 3 x= 3 nx. f x = x +, 3 x 3
ja f x + 6 = f x. Koska laajennuttu funktio on parillinen, niin b n = kun n =,,3,... Parillinen laajennettu funktio on muotoa f x a + missä kertoimet a n saadaan kaavalla nx = a + 3 nx, x= x=3 f xcos nx x + = cos x= 3 nx.