Osakeuoojen volailieein mallinaminen Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso 9.5.008 Janne Kivinen
Tampereen yliopiso Talousieeiden laios KIVINEN, JANNE: OSAKETUOTTOJEN VOLATILITEETIN MALLINTAMINEN Pro gradu ukielma, 59 s. Kansanalousiede Toukokuu 008 Tässä ukielmassa käsiellään erilaisia ARCH ja GARCH malleja ja niiden soveluvuua eriyisesi osakeuoosarjojen volailieein mallinamiseen. Tukielmassa esiellään volailieein mallinnukseen liiyvää eoreeisa ausaa eli esiellään uoosarjoisa havaiuja eriyispiireiä, joia kyseisillä malleilla pyriään mallinamaan. Tämän jälkeen esiellään erilaisia ARCH ja GARCH malleja, niiden ominaisuuksia sekä mallien esimoiniin liiyvää meodologiaa. Kirjallisuuskasausosiossa käydään lävise vasaavia ukimuksia, joia on ehy erilaisiin uoosarja-aineisoihin perusuen. Kirjallisuudesa on löydeävissä suheellisen vähän ukimuksia, joissa mallien soveluvuua suomalaisen osakeindeksidaan mallinamiseen olisi esau. Työn empiirisessä osiossa malleja sovelleaan suomalaiseen osakeindeksidaaan (OMXHPI). Tukimus osoiaa, eä viikoaisesa OMXHPI uoosarjasa löyyy ominaisuuksia, joia ARCH ja GARCH malleilla pysyään mallinamaan eli varianssin ei-vakioa aikariippuvua, uoojen ylimääräisä ja normaalijakaumasa poikkeavaa huipukkuua sekä volailieein kasaanumisa. Sen sijaan ukimuksessa ei löydy merkiävää volailieein epäsymmerisyyä ai merkiävää riippuvuua ehdollisen uoon ja ehdollisen varianssin välillä. Tukimuksesa käy myös ilmi, eä viikoaiselle OMXHPI uoosarjalle paras malli esauisa malleisa on ARMA(,)-GARCH(,). Lisäksi ukimuksessa käy ilmi, eä mallinnuksessa oleus -jakaumasa uoosarjalle paransi vain marginaalisesi mallinnusuloksia verrauna oleukseen normaalijakaumasa uoosarjalle.
. Johdano. Osakeuoojen mallinaminen ja volailieei 3. Tehokkaiden markkinoiden eoria 3. Tuooaikasarjojen ominaispiireiä ja poikkeavuuksia 4 3. Tilasollisen volailieeimallien eoriaa 0 3. Määrielmiä, unnuslukuja ja esejä 0 3. ARCH malli 5 3.3 ARCH mallien muodosaminen ja esimoini 4 4. Kasaus aiempiin ukimusuloksiin 30 5. Empiirinen ukimus 37 5. Ohjelmiso 37 5. Käyey daa 38 5.3 Empiirisen ukimuksen ulokse 4 6. Johopääökse 54 7. Viiee 56
. JOHDANTO Volailieei on eräs ukiuimmisa ilmiöisä maemaaisen alousieeen ja rahoiuksen alueella. Käyännössä, esimerkiksi osakemarkkinoilla, volailieei arkoiaa osakkeen uoon vaihelua. Tuoon vaiheluiden kasoaan yleisesi johuvan markkinoille saapuvasa uudesa informaaiosa. Volailieei ai uoon varianssin neliöjuuri (keskihajona) kiinnosaa ukimuskoheena eriyisesi sen vuoksi, eä volailieeiä pideään ärkeimpänä riskin miana. Kaupankäynnin koheena olevaan omaisuuserään liiyvä riski aas on ärkeä arvioiaessa omaisuuserään liiyviä uoo-odouksia, joiden ulisi heijasaa riskiä. Talousieeessä uoon käsieen lisäksi siis myös riskin eli volailieein käsieellä on keskeinen rooli. Suurin osa rahoiuspääöksisä ehdään oaen huomioon omaisuuserään liiyvä volailieei. Osakeuoojen volailieein mallinaminen ja ennusaminen on siis ärkeää, koska markkinaoimija ja ukija pyrkivä käyämään siä ulevien osakeuoojen ja niihin liiyvien riskien ennusamiseen. Näiä ennuseia voidaan käyää invesoinipääöksissä, riskienhallinnassa, johdannaisen hinnoielussa, suojauumisessa, porfolion muodosamisessa ja monissa muissa akivieeeissa. Tyypillisesi porfoliosalkunhoiaja voi halua esimerkiksi myydä ieyä korkean volailieein omaisuuserää porfoliosa, joa koko porfolion volailieei ei muodosu liian suureksi. Riskienhallina yleisesi on ärkeää, koska esimerkiksi rahoiusinsiuuio pyrkivä ennusamaan osakkeiden hinojen volailieeia halliakseen porfolioidensa riskiä. Samoin opioiden hinnoielussa volailieeillä on ärkeä rooli, sillä volailieei on yksi ekijä, mikä määriää opion hinnan markkinoilla. Koska rahoiusmarkkinoiden volailieei on kasvanu hisoriallisesi, markkinaosapuole seuraava volailieein kehiysä enisä arkemmin ja pyrkivä eri keinoin arvioimaan riskiposiioiaan liiyen omaisuuserien ulevaan uoo- ja riskiasoon. Perineinen ukimus on oleanu, eä uoosarjojen volailieei eli oisin sanoen varianssi on vakio eikä varianssia pysyä millään avoin ennusamaan. Myöhempi
ukimus on kuienkin osoianu, eä uoosarjojen varianssi ei välämää ole vakio ja siihen voi liiyä myös ajallisia riippuvuussuheia eli siis ennuseavuua. Tässä ukielmassa on arkoiuksena ensinnäkin käydä lävise osakeuooaikasarjojen eoriaa ja yleisesi havaiuja ominaisuuksia eriyisesi niilä osin, mikä ova merkiäviä volailieein mallinamisen kannala. Tarkoiuksena on myös esiellä ärkeimpiä unnuslukuja ja esejä, joia voidaan sovelaa aikasarjoihin esaamaan niiden ominaisuuksia. Lisäksi ässä ukielmassa esiellään yleisimmä ARCH ja GARCH malli sekä näiden mallien määriely ja paramerien esimoini. Tavoieena ässä ukielmassa on myös sovelaa kyseisiä malleja suomalaiseen osakeuooaikasarjaan eli arkasella ensinnäkin löyyykö siiä ominaisuuksia, joia volailieeimalleilla pyriään mallinamaan ja oiseksi arvioida, mien kyseise malli soveluva kyseisen aikasarjan mallinamiseen. Tämän ukielman rakenne on seuraava. Kappaleessa esiellään uooaikasarjojen mallinamiseen liiyvää eoriaa sekä uooaikasarjoisa käyännössä havaiuja ominaisuuksia, joia ukielmassa esiellyillä ja käyeyillä volailieeimalleilla pyriään mallinamaan. Kappaleessa 3 esiellään ukielmaan liiyvää eoriaausaa. Ensinnäkin kappaleessa 3 esiellään erilaisia määrielmiä, unnuslukuja ja esejä, joia hyödynneään ässä ukielmassa. Samoin kappaleessa 3 esiellään joiakin yleisimpiä ARCH ja GARCH malleja, joia sien sovelleaan myöhemmin myös käyännössä empiirisessä ukimusosuudessa. Kappaleessa 3 käydään lävise myös ARCH ja GARCH mallien muodosamisen vaihee ja meodi käyännössä. Samoin kappaleessa 3 on kuvau, mien parameri ARCH malleille voidaan esimoida hyödynäen suurimman uskoavuuden meneelmää. Kappaleessa 4 ehdään kirjallisuuskasaus joihinkin aiempiin ukimuksiin ja niiden uloksiin. Kappaleessa 5 esiellään ukielman empiirinen osuus, jossa ARCH ja GARCH malleja sovelleaan käyänöön ja mallien oimivuua esaaan Helsingin pörssin OMXHPI yleisindeksiin. Viikoaisesa OMXHPI daasa pyriään löyämään ominaisuuksia, joia ARCH malli mallinava oisin sanoen ei-vakioa varianssia/volailieeia, volailieein kasaanumisa, epäsymmerisä volailieeia, jne. Samoin ässä kappalessa 5 esiellään lyhyesi empiirisessä osassa käyey EViews 5. ohjelmisopakei ja sen ominaisuuksia liiyen ARCH ja GARCH mallinnukseen. Kappaleessa 6 ehdään ukielman johopääökse.
. OSAKETUOTTOJEN MALLINTAMINEN JA VOLATILITEETTI Tässä kappaleessa käydään aluksi lävise ehokkaiden markkinoiden eoriaa (Efficien Marke Hypohesis), koska ehokkaiden markkinoiden eoria ja siihen liiyvä saunnaiskulkumalli (Random Walk) ova hyvin pikäli uooaikasarjojen mallinnuksen eoreeinen perusa ja lähökoha. Perineisesi useimmissa ehokkaiden markkinoiden eoriaan pohjauuvissa malleissa uoosarjojen on oleeu olevan normaalijakauuneia (keskiarvo nolla ja vakio varianssi). Nykyään on yleisesi odeu, eä ämä oleama ei pidä paikkaansa. Osakekurssien, osakeindeksien ja valuuojen vaihokurssien logarimisen uoojen on empiirisesi odeu omaavan ominaispiireiä, joka poikkeava näisä oleuksisa.. Tehokkaiden markkinoiden eoria Markkinoiden sanoaan olevan ehokkaa, kun omaisuuserien hinna sisälävä kaiken käyössä olevan iedon kullakin ajanhekellä. Tuleva uoo eivä siksi ole eorian mukaisesi ennuseavissa pohjauuen hisorialliseen ieoon. Tehokkaiden markkinoiden eoria perusuu siis ajaukseen, eä ehokkailla markkinoilla hinna heijasava äysin ja väliömäsi kaiken käyössä olevan relevanin iedon kullakin ajanhekellä. Faman (970) mukaan on olemassa kolmenlaisa markkinoiden ehokkuua. Jaoelun mukaan heiko ehdo oeuuva, kun sijoiuskoheiden hinnoissa heijasuu kaikki relevani hisoriallinen informaaio. Toisin sanoen ällaisilla markkinoilla ei voida saavuaa ylisuuria uooja pelkäsään analysoimalla hisoriallisa kehiysä, kun oeaan huomioon sijoiusen riski. Keskivahva ehdo oeuuva, kun sijoiuskoheiden hinoihin heijasuu kaikki relevani julkisesi saaavilla oleva informaaio. Kun julkisuueen ulee sijoiuskoheen hinaan vaikuava ieo, heijasuu se väliömäsi ja äydessä laajuudessaan sijoiuskoheen hinaan. Tämä arkoiaa, eei mikään julkinen informaaio hyödyä sijoiajia ylisuuren uoojen saavuamisessa. Vahva ehdo puolesaan oeuuva, kun sijoiuskoheiden hinoihin heijasuu väliömäsi kaikki relevani julkinen ja yksiyinen informaaio. Tällöin kenelläkään ei ole mahdollisuua saavuaa markkinoilla ylisuuria uooja. 3
Edelleen, koska osakkeiden hinojen kasoaan heijasavan kaikkea käyeävissä olevaa ieoa minä ahansa ajanhekenä, osakkeiden hinna ova hyvä esimaai osakkeiden luonaisille (inrinsic) hinnoille, koska markkinaoimija kilpaileva keskenään. Epävarmassa maailmassa osakkeiden luonaise hinna ova markkinaosapuolille unemaomia. Siksi markkinaoimijoilla on erilaise käsiykse luonaisisa hinnoisa, mikä aiheuaa sen, eä osakkeiden hinna käyännössä vaiheleva saunnaisesi luonaisen arvonsa ympärillä. Kilpailu markkinaoimijoiden kesken aiheuaa sen, eä käsiykse hinaeroisa eivä ole riiävän suuria, joa niisä voisi saada merkiäviä uooja. Mikäli markkina äyävä ehokkuuden heiko ehdo, osakkeiden hinojen kehiys noudaaa saunnaiskulkumallia (Random Walk Model). Tuleva hinamuuokse riippuva ämän mallin mukaisesi yksinomaan ylläävisä uuisisa (uudesa iedosa) eli oisin sanoen saumanvaraisesa ieoulvasa. Paras ennuse huomispäivän kurssille on sien ämän päivän hina, koska emme voi ieää eukäeen, miä uuisia ulevaisuudessa ulee. Mallissa ämän päivän hina on yhä kuin edellinen noeeraus ja siihen lisäy saunnaisekijä, mikä kuvasaa uua ieoa. Saunnaiskulku perusuu kaheen perusoleukseen. Ensimmäinen oleus on, eä peräkkäise yksiäisen osakkeiden uoo ova oisisaan riippumaomia ajallisesi. Toinen oleus on se, eä osakkeiden uoo noudaeleva joain odennäköisyysjakaumaa. Saunnaiskulkumalli oli pikään valliseva malli alousieeessä osakeuoojen mallinnuksessa. Kuienkin myöhemmin on empiirisesi odeu, eä osakeuoo eivä aina noudaa saunnaiskulkua. Markkinoilla on odeu muun muassa seuraavanlaisia poikkeavuuksia saunnaiskulkumalliin ja sen oleuksiin, kuen ammikuuefeki, viikonpäiväefeki, muia kausiefekejä, pienen yriysen efeki, P/E efeki ja niin edelleen. Näiä efekejä ei ässä ukielmassa arkasella lähemmin, koska nämä liiyvä osakkeen uooon ja ässä ukielmassa keskiyään volailieeiin.. Tuooaikasarjojen ominaispiireiä ja poikkeavuuksia Seuraavaksi käsiellään arkemmin ominaispiireiä ja poikkeavuuksia (sylized facs), joka liiyvä uoojen volailieeiin (Knigh & Sachell 007, 3). 4
Heeroskedasisuus Tuooaikasarjojen varianssi ei ole vakio, vaan vaihelee ajan funkiona. Tää ominaisuua kusuaan heeroskedasisuudeksi (heeroscedasiciy). Normaalijakaumasa poikkeava huipukkuus Tuooaikasarjoissa on usein havaiu normaalijakaumasa poikkeava huipukkuus (excess kurosis). Tuooaikasarjojen jakaumien on odeu yypillisesi vaihelevan keskimäärin pienemmällä vaiheluvälillä kuin normaalijakaumassa (uooaikasarjoilla suurempi huipukkuus kuin normaalijakaumalla), mua oisaala sisälävän oisinaan myös enemmän ääriarvoja kuin normaalijakaumassa (näyejakauman hännä ova paksumma kuin normaalijakaumassa). Normaalijakaumalle huipukkuus on 3, kun aas monille uooaikasarjoille huipukkuus on huomaavasi suurempi kuin 3 (Knigh & Sachell 007, 3). Kuvassa. on havainnolliseu yypillisen uoosarjojen poikkeamaa normaalijakaumasa. Kuvassa kakoviivalla on piirrey normaalijakauma käyäen uoosarjoisa laskeua keskiarvoa ja keskihajonaa. Esimerkissä on käyey uoosarjoina S&P00 osakeindeksin uooa, jeni-serling vaihokurssin uooa, Legal & General (vakuuusyhiö UKssa) osakekurssiuooa sekä UK osakeindeksiä pienille osakkeille ja hopean hinaan liiyviä uooja (Poon 005, 3-4). Volailieein kasaanuminen Tuooaikasarjojen volailieei ei ole yypillisesi asainen ajan kuluessa, vaan volailieeissä on havaiavissa selviä kasaanumia (volailiy clusering). Toisin sanoen uoojen suuria vaiheluja yypillisesi seuraa lisää suuria vaiheluja. Toisaala, uoojen pieniä vaiheluja yypillisesi seuraa lisää pieniä vaiheluja. Tämä on merkki uooihin kohdisuvien shokkien (uuden, odoamaoman uooihin vaikuavan informaaion) vaikuusen jakuvuudesa uooaikasarjassa. Ajan myöä näiden shokkien vaikuus kuienkin vaimenee ja uoojen vaihelu yypillisesi normalisoiuva ja palauuva pikän 5
aikavälin keskiarvoonsa (mean reversion) (Engle 003, 330). Volailieein kasaanumisen on yleisesi odeu olevan risiriidassa ehokkaiden markkinoiden eorian ja saunnaiskulkumallin kanssa. Kuva.. Normaalijakauma uoosarjojen keskiarvolla ja keskihajonnalla piirreynä (kakoviiva) sekä eri uoosarjojen jakauma (yhenäinen viiva) (Poon 005, 3). Volailieein kasaanuminen on selväsi nähävissä kuvassa.. Siinä on kuvau Dow Jones indeksin päiviäinen logariminen uoosarja (laskeuna kunkin päivän 6
pääöskurssisa). Kuvasa on selväsi nähävissä volailieein kasauuminen ja shokkien vaikuuksen vaimeneminen ajan myöä. Volailieein epäsymmerisyys Volailieei vaihelee epäsymmerisesi, oisin sanoen volailieei reagoi voimakkaammin laskeviin kuin nouseviin kursseihin. Tämä ilmiö on nimelään vipuvaikuus (leverage effec) ja ilmiöä selieään sillä, eä kurssien laskiessa yriysen rahoiusriski kasvaa, koska niiden velkaanumisase kohoaa. Volailieein epäsymmerisyys on kaikkein huomaavina suuren kurssilaskujen aikana (Poon 005, 8). Volailieeien liikkeiden samansuunaisuus Erilaisen uooaikasarjojen volailieeeilla on aipumusa liikkua samansuunaisesi (comovemens in volailiy). Esimerkiksi, kun arkaselemme eri markkinoiden vasaavia uooaikasarjoja kuen osakeindeksejä eri maissa, on odeavissa, eä yhden indeksin suuri liike heijasuu myös oisen maan indeksin liikkeissä. Samoin myös erilaisen omaisuuserien liikkee ova usein samansuunaisia eli esimerkiksi kahden osakkeen uoo ja volailieei liikkuva yhdessä samansuunaisesi. Viimeaikaisissa ukimuksissa on odeu, eä yypillisesi korrelaaio on voimakkaampi volailieeilla kuin uoolla (Poon 005, 8). Volailieein muuoksia selieään yypillisesi sillä, eä sijoiaja saava uua informaaioa, mikä vaikuaa heidän sijoiuspääöksiinsä ja sien heijasuu uoasarjoihin. Tyypillisesi moni aloudellinen informaaio vaikuaa moniin uooaikasarjoihin samanaikaisesi, joen ämä ilmiö seliää uooaikasarjojen volailieein samanaikaisia muuoksia (Engle 003, 330). Auokorrelaaio Tuoosarjoilla ei ole yleensä käyännössä havaiavissa merkiävää auokorrelaaioa. Tämä oleus on yhäpiävä saunnaiskulkumallin oleusen kanssa. Sen sijaan uoosarjojen 7
neliöiden on havaiu sisälävän auokorrelaaioa. Tää ukee empiirinen havaino, eä uoosarjoissa on havaiavissa ajanjaksoja, jolloin varianssi on suurempi ja ajanjaksoja, jolloin varianssi on pienempi. Tämä ilmiö näkyy Dow Jones Index uoosarjalle kuvissa.3 ja.4. Kuvassa.3 uoosarjassa ei ole havaiavissa merkiävää auokorrelaaioa. Sen sijaan kuvassa.4 uoosarjan arvojen neliöissä on havaiavissa merkiävää auokorrelaaioa (Knigh & Sachell 007, 56). Keskiarvo 0.0550 Varianssi 0.854 Jakauman vinous -0.566 Jakauman huipukkuus 9.0474 Kuva.. Dow Jones Indusrial Index päiviäinen uoo 3.8.988..000 sekä siiä laskeuja unnuslukuja (Knigh & Sachell 007, 55). 8
Kuva.3. Dow Jones Indusrial Index - uoojen korrelogrammi (Knigh & Sachell 007, 56). Kuva.4. Dow Jones Indusrial Index - uoojen neliöiden korrelogrammi (Knigh & Sachell 007, 56). 9
3. TILASTOLLISTEN VOLATILITEETTIMALLIEN TEORIAA Tässä kappaleessa käydään lävise ähän ukielmaan liiyvää ilasollisen volailieeimallien eoriaa. Kappaleessa 3. esiellään ensin ukielmassa käyeäviä määrielmiä, unnuslukuja ja esejä. Kappaleessa 3. esiellään ukielmassa käyey volailieeimalli. Kappaleessa 3.3 esiellään volailieeimallien muodosaminen ja mallien paramerien esimoini käyännössä. 3. Määrielmiä, unnuslukuja ja esejä Tässä kappaleessa esiellään ämän ukielman kannala relevaneja määrielmiä, unnuslukuja ja esejä, joia hyödynneään ja joihin viiaaan myöhemmissä kappaleissa. Osakkeiden uoojen määrielmä Osakekursseisa ilmoieaan yleensä esimerkiksi pörssipäivän pääeeksi sen pääöskurssi. Usein kuienkin mielenkiinoisempaa sijoiajan kannala on arkasella pääöskurssin ai hinnan sijasa osakkeen uooa määräyllä aikavälillä ja -. Tyypillisesi esimerkiksi osakeuooja arkaselaessa ämä ajanjakso on päivä, viikko ai kuukausi. Tuoo aikavälillä voidaan ilmoiaa joko arimeeisena ai geomerisenä uoona. Arimeeisen uoon määrielmä on muooa p p y =. (3.) p Geomerisen uoon määrielmä on muooa 0
p y = ln. (3.) p Tyypillisesi monille aikasarjoille hinojen sijasa on järkevämpää arkasella uooja, koska hina-aikasarja eivä usein ole saionäärisiä. Tuooaikasarja sen sijaan usein ova saionäärisiä, joen ne soveluva aikasarjamallinamiseen paremmin. Jakauman vinous Vinous (skewness) on unnusluku, jolla miaaan aikasarjan jakauman symmerisyyä ai epäsymmerisyyä (Thomas 997, 37). Vinouden määrielmä on 3 ( y µ ) S = E 3. (3.3) σ Havainnoiduille aikasarjoille vinous voidaan laskea käyännössä näyearvoisa Sˆ = n n = ( y 3 ˆ) µ 3. (3.4) ˆ σ Negaiivinen vinouma arkoiaa siä, eä sarjan jakaumassa on enemmän havainoja vasemmassa hännässä kuin oikeassa hännässä. Posiiivinen vinouma vasavuoroisesi arkoiaa siä, eä sarjan jakaumassa on enemmän havainoja oikeassa hännässä kuin vasemmassa hännässä. Symmerisen jakaumien, kuen normaalijakauman, vinous on 0. Osakeuoosarjoille on usein käyännössä havaiu nollasa poikkeava vinous.
Jakauman huipukkuus Huipukkuus (kurosis) on unnusluku, jolla miaaan aikasarjan jakauman huipukkuua (Thomas 997, 37). Huipukkuuden määrielmä on 4 ( y µ ) K = E 4. (3.5) σ Havainnoiduille aikasarjoille huipukkuus voidaan laskea käyännössä näyearvoisa Kˆ = n ˆ) µ ˆ σ n ( y = 4 4. (3.6) Normaalijakaumalle huipukkuus on 3. Osakeuoosarjoille on usein käyännössä havaiu äsä poikkeava huipukkuus eli havaiu huipukkuus on yleensä suurempi kuin 3. Auokorrelaaio Auokorrelaaioksi (auocorrelaion) kusuaan aikasarjan ominaisuua, missä aikasarjassa y on lineaarisa riippuvuua havainnon y ja saman sarjan hisoriallisen arvojen välillä. Auokorrelaaioarvo laskeaan erikseen kullekin viiveen i arvolle oheisen kaavan mukaisesi (Tsay 00, 4) y i N ( y ˆ)( µ y i ˆ) µ = i+ ˆ ρ i =, 0 i N. (3.7) N ( y ˆ) µ =
Kaavassa µˆ on näyeen keskiarvo ja N on havainojen lukumäärä. Jarque-Bera esi Jarque-Bera esillä voidaan esaa näyeen normaalijakauuneisuua. Jarque-Bera esi perusuu havaiun näyeen vinoudesa ja huipukkuudesa laskeavaan arvoon ˆ N k = ˆ ( K 3) J B S + 6. (3.8) 4 Kaavassa S on vinous, K on huipukkuus, k on esimoiujen keroimien määrä, joia käyeiin aikasarjan luomiseen sekä N on havainojen lukumäärä. Nollahypoeesinä esissä on, eä daa on normaalijakauunua. Jarque-Bera esin J-B arvo seuraava χ - jakaumaa kahdella vapausaseella. 5% merkisevyysasolla ämä arkoiaa siä, eä J-B arvoja ulee verraa kriiiseen arvoon 5.99 eli nollahypoeesin oeuuessa, J-B esin arvon ulee olla pienempi kuin 5.99. Toisaala, esin p-arvoa voidaan verraa myös suoraan 5% merkisevyysasoon 0.05 eli nollahypoeesin oeuuessa p-arvon ulisi olla suurempi kuin 0.05. Jos ehdo eivä oeudu, nollahypoeesi daan normaalijakauuneisuudesa hyläään. Ljung-Box esi Ljung-Box esillä voidaan esaa näyeen auokorrelaaioa. Ljung-Box esi laskeaan kaavalla (Tsay 00, 5) 3
Q( m) = N( N + ) m j j= N ˆ ρ. (3.9) j Kaavassa ˆ ρ j on näyeen auokorrelaaio viiveellä j, m on esaavien viiveiden lukumäärä ja N on havainojen lukumäärä. Nollahypoeesinä esissä on, eä daassa ei ole auokorrelaaioa viiveeseen m asi eli daa on saunnaisesi jakauunua. Ljung-Box esin Q arvo seuraava χ - jakaumaa vapausaseella m. Jos laskeu Q esiarvo on suurempi kuin χ - jakauma vapausaseella m ja valiulla merkisevyysasolla (yypillisesi % ai 5% merkisevyysasolla), voidaan nollahypoeesi hylää ja näyeessä on havaiavissa merkiävää auokorrelaaioa. Termin m valinnassa ulee olla huolellinen, sillä liian pieni m ei pysy löyämään auokorrelaaioa suuremmilla viiveen arvoilla. Toisaala, jos m on liian suuri, se voi hukaa yhden ai muuaman pienemmän viiveen arvon sisälämän merkiävän auokorrelaaion, koska se häviää muiden viiveiden arvojen (joilla ei ole auokorrelaaioa) joukkoon. ARCH LM esi ARCH LM esillä voidaan esaa näyeen ehdollisa heeroskedasisuua (Lükepohl 004, 46). Tämä esi ehdään soviamalla ARCH(p) malli esimoinnin jäännösarvoihin uˆ β + β uˆ +... + β u virheermi. (3.0) = ˆ 0 p p + Tälle esille hypoeesin aseana on muooa: 4
H 0 : β =... = β p = 0 H : β 0... ai... β p 0 LM esiarvo saadaan kaavassa 3.0 näkyvän regression esiluku on muooa R arvosa. Tarkemmin LM ARCH LM ( p) = TR. Tesiluku noudaaa χ ( p) jakaumaa. Suure esiluvun arvo ilmaiseva, eä hypoeesi H 0 voidaan hylää ja jäännöarvoissa on ehdollisa heeroskedasisuua, jolloin sarjaan kannaaa sovelaa ARCH/GARCH malleja. 3. ARCH malli ARCH malleja on kehiey mallinamaan kappaleessa. esieyjä uooaikasarjojen ominaisuuksia. ARCH malli ova epälineaarisia ja saionäärisiä aikasarjamalleja. ARCH malleissa ehdollisa varianssia kuvaavan mallin parameri esimoidaan hisoriallisen aikasarjan havainnoisa. Näissä malleissa hisoriallise havainno anava ieoa ulevien periodien varianssiennuseisa. Kaikisa ARCH malleisa Rober Engle (98) esieli ensimmäisenä ARCH (Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) mallin vuonna 98 ja hänen oppilaansa Tim Bollerslev (986) äsä yleiseyn GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) mallin vuonna 986. Nämä ova perusmalleja, joiden pohjala on kehiey lukuisia uusia malleja, joilla on pyriy mahdollisuuksien mukaan muokkaamaan kaha perusmallia paremmin kuvaamaan aikasarjojen erilaisia ominaisuuksia ai heijaselemaan ekijöiä, miä aikasarjoisa on haluu ukia. Tässä kappaleessa esiellään joiakin näisä malleisa. 5
Ehdollinen uoo ARCH ja GARCH malleissa osakkeen uoosarjaa mallinneaan ensinnäkin ARMAmallilla apauksessa, jossa uoosarjassa on havaiavissa merkiävää auokorrelaaioa. Ajallisa riippuvuua voidaan mallinaa uoosarjan vanhoilla havainnoilla (AR-ermi) ai vanhoilla virheermeillä (MA-ermi) ai näiden yhdiselmällä (ARMA). Yleinen ehdollinen ARMA uoosarja on muooa y p q = c + + i y i i= j= 0 α β u. (3.) j j Yleensä ehokkaiden markkinoiden hypoeesin mukaisesi voidaan oleaa, eä osakkeen hinasarja voidaan mallinaa saunnaiskulkumallilla, jolloin uoosarjassa ei ole havaiavissa merkiävää auokorrelaaioa ja siksi AR, MA ai ARMA mallia ehdolliselle uoolle ei arvia, vaan uoosarja voidaan esiää seuraavasi y = µ + u. (3.) Tämän oleuksen on käyännössä havaiu päevän monille uooaikasarjoille, mua ei suinkaan kaikille. Toisaala, useissa ukimuksissa on myös havaiu lievää auokorrelaaioa uooaikasarjoissa. Näissä apauksissa on usein käyännössä havaiu, eä AR() malli on riiävä mallinamaan lievää auokorrelaaioa uoosarjassa y α + u. (3.3) = y Käyännössä usein örmäään kuienkin myös ilaneisiin, joissa voidaan jouua käyämään ehdollisena uoosarjana korkeamman aseen AR-malleja, MA-malleja ai ARMA-malleja, joa uoosarjasa saadaan poiseua merkiävä auokorrelaaio. 6
ARCH Rober Engle (98) esieli ARCH mallin, jolla pyriään mallinamaan varianssin/volailieein aikariippuvuua ja kasaanumisa. Tämä ehdään rakenamalla yheys ehdollisen varianssin ja ehdollisen uoon välille. ARCH mallissa mallinneaan virheermi u seuraavasi u = ε σ. (3.4) Tähän liiyvä seuraava oleukse: ε jakauman on oleeu olevan normaalijakauma. E( ε ) = 0. Var( ε ) =. Ei-vakioa ehdollisa varianssia mallinneaan ermillä σ (poikkeama klassisesa ARMA mallisa, jossa virheermin varianssi on oleeu vakioksi). Ehdollinen varianssi voidaan ny mallinaa vanhojen virheermien lineaarisena funkiona ARCH (p) p σ = ω + a u. (3.5) i= i i Tässä mallissa paramereille ω ja a i aseeaan seuraava rajoiukse. 7
ω > 0. a 0, i =,, p. i Nämä rajoiukse ova välämäömä sen vuoksi, eä ehdollisen varianssin σ on olava aina posiiivinen arvolaan. Mallissa parameri ω kuvaa varianssin pikän aikavälin keskiarvoa ja paramerien a i määrä ja arvo määrielevä, kuinka nopeasi ai hiaasi shokin vaikuus häviää ja malli palaa pikän aikavälin keskiarvoonsa. Se, kuinka mona hisoriallisa virheermiä (p) ARCH malli sisälää määriää sen, kuinka pikään esimerkiksi ällä periodilla apahunu shokki vaikuaa seuraavien periodien variansseihin. ARCH malli pysyy käyännössä mallinamaan melko hyvin volailieein aikariippuvuua ja volailieein kasaanumisa. GARCH Käyännössä ARCH mallien käyössä havaiiin ongelmia, koska odeiin, eä joa ARCH malli pysyisi ehokkaasi mallinamaan aikariippuvuua varianssissa, pii p:n käyännössä olla melko suuri. Tämä johi siihen, eä mallissa esimoiavien paramerien määrä kasvaa, mikä lisää arvea laskenaan ja p:n kasvaessa paramerien käyännössä vaikeampi saavuaa. a i posiiivisuuseho on Rakaisuna yllä mainiuun ongelmaan Englen oppilas Tim Bollerslev (986) ehdoi GARCH mallia. Muuoksena ARCH malliin ässä mallissa on se, eä varianssin esimoiniin käyeään myös vanhoja esimoiuja varianssin arvoja. GARCH (p,q) mallin määrielmä on p q = + + ω aiu i bj i= j = σ σ. (3.6) j 8
Tässä mallissa paramereille ω, a i ja b j aseeaan seuraava rajoiukse. ω > 0. a 0, i =,, p. i b 0, j =,, q. j p + q a i b j i= j= <. Nämä rajoiukse ova välämäömä sen vuoksi, eä ehdollisen varianssin σ on olava aina posiiivinen ja GARCH(p,q) prosessin on olava saionäärinen. Englen (003) mukaan GARCH mallissa ehdollisen varianssin ennuse perusuu seuraaviin kolmeen ekijään. Vakiovarianssi, joka perusuu pikän aikavälin keskiarvoon ω. Ennuse, joka ehiin edellisellä periodilla. Uusi informaaio, mikä ei ollu käyeävissä, kun edellisen periodin ennuse ehiin. Paramerien a i ja b j painoarvo mallissa määrielevä, kuinka nopeasi varianssimalli reagoi uueen informaaion ja kuinka pian ennuse palauuu akaisin pikän aikavälin keskiarvoonsa ω. GARCH malli pysyy käyännössä mallinamaan melko hyvin volailieein aikariippuvuua ja volailieein kasaanumisa. GARCH malleja käyännössä sovelleaessa on odeu, eä jo GARCH(,) malli pysyy mallinamaan ehdollisa varianssia yleensä varsin hyvin. 9
TARCH ARCH ja GARCH malli eivä pysy mallinamaan volailiieein epäsymmerisyyä (leverage effec). Täsä syysä Zakoian sekä samanaikaisesi Glosen, Jagannahan ja Runkle kehiivä TARCH (Threshold GARCH) mallin (malli unneaan kehiäjiensä mukaisesi myös nimellä GJR-GARCH). TARCH malli pysyy mallinamaan shokkien epäsymmerisä vaikuusa volailieeiin, koska volailieeimalliin on lisäy ermi, mikä oaa huomioon hisoriallisen jäännösvirheen eumerkin (Poon 005, 4-4). TARCH(p, q) mallissa ehdollisen volailieein malli on muooa (EViews 005, 63) p i= q τ i + b jσ j + j= k = σ = ω + a u γ u D. (3.7) i k k k D =, jos u < 0. D = 0, jos u 0. Tässä mallissa posiiivisella shokilla (hyvä uuise markkinoilla) u > 0 ja negaiivisella shokilla (huono uuise markkinoilla) u < 0 on erilainen vaikuus ehdolliseen varianssiin/volailieeiin. Hyvien uuisen vaikuus mallissa on uuisen vaikuus mallissa on ai i i i a i, kun aas huonojen + γ. Eli oisin sanoen, jos γ > 0, huonojen uuisen vaikuus volailieeiin on suurempi kuin hyvien uuisen. Jos γ < 0, huonojen uuisen vaikuus volailieeiin on pienempi kuin hyvien uuisen. Tämän vaikuuksen kaua malli siis pysyy mallinamaan volailieein epäsymmerisyyä (Enders 004, 4-4 ja Caiado 004, 7). i i 0
EGARCH Toinen malli, jolla voidaan mallinaa volailieein epäsymmerisyyä on Nelsonin (99) kehiämä EGARCH malli (Exponenial GARCH). EGARCH(p, q) mallissa ehdollisa volailieeia mallinneaan mallilla (EViews 005, 63) u u lnσ = ω +. (3.8) p p p i γ i i= i= σ i i= σ i i bi lnσ i + ai + Ehdollisen varianssin/volailieein malli on log-lineaarinen. Tämä arkoiaa, eä σ ei voi saada negaiivisia arvoja. Tämän vuoksi paramereille ei päde rajoius, eä niiden äyyy olla aina posiiivisia, vaan ne voiva olla myös negaiivisia arvoilaan. Tämä helpoaa mallin esimoinia käyännössä (Enders 004, 4). Malli käyää neliöidyn virheermin u sijasa sandardoiua virheermiä u σ. Nelson väiää, eä ämä virheermi on luonnollisempi mallinneaessa shokkien koon vaikuusa sekä shokkien vaikuusen jakuvuua (Enders 004, 4). Posiiivisen shokin (hyvä uuise markkinoilla) u i > 0 vaikuus mallissa on ai + γ i. Negaiivisen shokin (huono uuise markkinoilla) u i < 0 vaikuus mallissa on ai γ i. Tämän vaikuuksen kaua malli siis pysyy mallinamaan volailieein epäsymmerisyyä (Enders 004, 4).
GARCH-M GARCH-M (GARCH-in-Mean) mallin esielivä ensimmäisen kerran Engle, Lilien ja Robbins (987). Tässä mallissa oleeaan, eä ehdollisella uooyhälöllä ja ehdollisella varianssilla on suora riippuvuus oisiinsa. Varianssiermi λσ ehdollisessa uooyhälössä pyrkii kuvasamaan riskilisää, oisin sanoen, suurempi ehdollinen varianssi arkoiaa suurempaa ehdollisa uooa (Jarrow 998, 46) y p q = i y i + i= j= 0 α β u + λσ. (3.9) j j Tässä ehdollisessa uooyhälössä ermi λ keroo ehdollisen varianssin ja ehdollisen uoon mahdollisen riippuvuuden oisiinsa. Jos esimoinneissa λ on merkisevä, voidaan odea, eä ehdollisen uoon ja ehdollisen varianssin välillä on yheys. Ehdollisen varianssin yhälönä voidaan käyää periaaeessa miä ahansa ARCH(p) ai GARCH(p,q) mallia ai niiden variaaioia. Jakaumaoleukse Monille erilaisille uoosarjoille uoosarjan havainojen jakaumalla on käyännössä paksu hännä, kuen aiemmin jo kappaleessa odeiin. Paksun hännän omaavassa jakaumassa on enemmän ääriarvoja kuin normaalijakaumassa. Kun ARCH ja GARCH mallinnuksessa käyeään oleusjakaumana normaalijakaumaa, saadaan malleilla mallinneua näiä paksuja häniä jonkin verran, mua ei aina arpeeksi. Täsä syysä ARCH ja GARCH mallinnuksessa on käyey jakaumaoleuksena myös jakaumia, joiden hännä ova paksumma kuin normaalijakaumalla. Tällaisia jakaumia ova esimerkiksi - jakauma (Suden s -disribuion) ja GED-jakauma (Generalized Error Disribuion). Kuvassa 3. on näkyvissä normaalijakauma verrauna -jakaumaan vapausaseilla 3 ja 0. Kuvasa näkyy, eä -jakaumalla on paksumma hännä kuin normaalijakaumalla.
Kuva 3.. Normaalijakauma (yhenäinen viiva) sekä kaksi -jakaumaa eri vapausaseilla (kakoviiva) (Greene 003, 853). 3
3.3 ARCH mallien muodosaminen ja esimoini Tässä kappaleessa esiellään ARCH mallinnuksen vaihee sekä käydään arkemmin lävise ARCH mallien paramerien esimoinia suurimman uskoavuuden meneelmällä (Maximum Likelihood). Esimoinnin vaihee ARCH malli voidaan muodosaa seuraavalla avalla (Tsay 00, 86-89): Poiseaan lineaarinen riippuvuus (auokorrelaaio) uooaikasarjasa muodosamalla ekonomerinen malli (ARMA-malli) ehdolliselle uoolle. Jos ehdollisen uoomallin jäännösarvoissa havaiaan heeroskedasisuua, määrieään ARCH mallin parameri (p, q) ja suorieaan esimoini. Tesaaan sovieu ARCH malli ja arkenneaan siä arviaessa. ARCH mallia muodoseaessa aluksi kehieään ARMA malli havainnoidulle uoosarjalle, jolla pyriään poisamaan daasa auokorrelaaio. Tarviavan AR, MA ai ARMA mallin määriämisessä voidaan käyää hyväksi auokorrelaaioa ja osiaisa auokorrelaaioa aulukon 3. mukaisesi. Kun soveluva AR, MA ai ARMA malli on löydey, ukiaan jäännösarvoisa ehdollisa heeroskedasisuua. Jos jäännösarvoissa on ehdollisa heeroskedasisuua, ämä osoiaa, eä jäännösarvojen varianssi ei ole vakio vaan ajan suheen muuuva. Tämä indikoi mahdollisa arvea oaa käyöön ARCH malli mallinamaan ää ominaisuua. Heeroskedasisuua voidaan esaa Ljung-Box esillä jäännösarvojen neliöille ai Englen ARCH LM - esillä. Volailieein kasaanuminen näkyy käyännössä neliöiyjen jäännösarvojen auokorrelaaiona. 4
Taulukko 3.. Säännö, joilla auokorrelaaioa ja osiaisa auokorrelaaioa voi käyää daaan soveluvan mallin määriämisessä (NIST 006). Korrelaaion muoo Mahdollinen malli Eksponeniaalisesi lähesyy nollaa. Auoregressiivinen (AR) malli. Osiainen auokorrelaaiofunkio indikoi mallin asea. Negaiivise ja posiiivise arvo vuoroeleva. Lähesyy nollaa. Auoregressiivinen (AR) malli. Osiainen auokorrelaaiofunkio indikoi mallin asea. Yksi ai useampi piikkiarvo. Muu arvo ova nolla ai lähellä nollaa. Liukuvan keskiarvon (MA) malli. Ase määräyyy viivellä, jolla korrelaaio on nolla. Arvo pienenevä muuaman viiveen jälkeen. Yhdisey auoregressiivinen ja liukuvan keskiarvon malli (ARMA). Kaikki arvo nolla ai lähellä nollaa. Daa on saunnaisa. Suuria arvoja ieyjen/vakioiden välimakojen päässä oisisaan. Daassa näkyy kausiefeki. Arvo eivä lähesy nollaa. Sarja ei ole saionäärinen. 5
Oikean ARCH ai GARCH mallin löyämiseksi voidaan hyödynää samoja meneelmiä kuin ARMA mallin löyämisessä, oisin sanoen, auokorrelaaioa ja osiaisa auokorrelaaioa. Nykyään kuienkin soveluva malli esiään usein kokeilemalla, koska ohjelmiso mahdollisava erilaisen mallien muodosamisen ja esaamisen nopeasi ja helposi. Mallin paramerien esimoiniin käyeään suurimman uskoavuuden meneelmää, mikä on arkemmin esiey myöhemmin ässä kappaleessa. ARCH ja GARCH mallin soveluvuua voidaan esaa useilla avoilla. Yleisin apa on arkasella sandardoiuja jäännösarvoja u, joiden ulisi olla joko normaalijakauuneia σ ai -jakauuneia riippuen käyeysä alkuperäisesä jakaumaoleuksesa. Tyypillisiä meneelmiä kuen kvaniilikuvioia voidaan myös käyää visuaaliseen arvioiniin. Samoin voidaan käyää vinous- ja huipukkuusarvoja sekä näihin liieyjä esejä kuen esimerkiksi Jarque-Bera esiä. Neliöidyille jäännösarvoille voidaan käyää myös Ljung-Box esien Q- arvoja ai ARCH LM esiä. Useampien mallien paremmuua voidaan verraa keskenään log-likelihood arvoilla (suurempi luku parempi) ai AIC (Akaike Informaion Crierion) ja BIC (Schwarz Bayesian Informaion Crierion) arvoilla (pienempi luku parempi). ARCH mallien paramerien esimoini ARCH-mallien parameri esimoidaan yypillisesi suurimman uskoavuuden meneelmällä (Maximum Likelihood). Suurimman uskoavuuden meneelmässä pyriään maksimoimaan uskoavuusfunkioa unemaomien paramerien suheen. Uskoavuusfunkio (likelihood funcion) on havainnon odennäköisyys, joa käsiellään unemaomien paramerien funkiona. Tunemaomien paramerien suurimman uskoavuuden esimaaori maksimoi uskoavuusfunkion arvon (Wiki ). Tehdään seuraava oleukse: θ θ,..., θ ova uskoavuusfunkion parameri., k 6
x, x,..., xt on T havainnon oos (daa). f θ on daan odennäköisyysjakauman iheysfunkio. Ny uskoavuusfunkio on määriely seuraavasi Lθ ) = f ( x, x,..., θ, θ,..., θ ). (3.0) ( θ x T k Meneelmä esii θ :lle sellaisen esimaain, joka maksimoi uskoavuusfunkion L (θ) arvon. Suurimman uskoavuuden esimaaori määriellään seuraavasi θˆ = arg max L( θ). (3.) θ Usein oleeaan, eä havainno ova oisisaan riippumaomia ja samoin jakauuneia. Tällöin voidaan lauseke kirjoiaa seuraavaan muooon T L( θ ) = f ( θ, θ,..., θ. (3.) = θ x k ) Koska lineaarisen ja logarimisen funkion ääriarvo löyyvä samoisa piseisä, voidaan sama esiää myös logarimifunkioiden avulla logarimisena uskoavuusfunkiona (log likelihood funcion), jolloin kerolaskun sijaan voidaan käyää summaa θˆ = arg max L( θ) = arg max θ θ T f ( x θ) = arg max θ θ x θ = = T ln f ( θ, θ,..., θ k ). (3.3) 7
Sovelleaan ny suurimman uskoavuuden meneelmää ARCH malliin oisin sanoen kaavoihin 3. ja 3.5 (Enders 004, 38-40). ARCH mallin apauksessahan oleuksena on, eä virheermi u ova normaalijakauuneia ei-vakiolla, aikariippuvalla varianssilla σ ( N 0, σ ) ), jolloin saadaan kullekin havainnoille seuraava iheysfunkio ( f u exp ( ) σ π σ =. (3.4) Koska jokainen havaino on oleeu oisisaan riippumaomiksi, voidaan yhdisey uskoavuusfunkio kirjoiaa seuraavaan muooon T u L( α,..., α p, β,..., β q, ω, a,..., a p ) = exp ( ). (3.5) = σ π σ Täsä voidaan edelleen johaa logariminen uskoavuusfunkio ln L( α T T,..., α p, β,..., β q, ω, a,..., a p ) = ln(π ) 0.5 lnσ 0. 5 = = T u σ. (3.6) Ensimmäinen ermi yhälössä on vakioermi, joen se voidaan jäää lopullisessa maksimoinnissa pois. Yhälö voidaan avaa myös yksinkeraiselle AR()-ARCH() apaukselle (Greene 003, 39). Sijoiamalla kaavaan 3.6 kaava 3.3 ja 3.5 saamme lopullisen maksimoiavan logarimisen uskoavuusfunkion AR()-ARCH() apaukselle 8
T ( y α y ) ln L( α, ω, a) = 0.5 ln( ω + au ) 0.5. (3.7) ) = T = ( ω + au Tässä yhälössä virheermi u on muooa = y y u α. (3.8) Tämä virheermi u on vielä sijoieava kaavaan 3.7, jolloin saamme oikealle puolelle havainojen y lisäksi juuri ne parameri,, a α ω, joiden suheen logarimisa uskoavuusfunkioa maksimoidaan. Tämän uskoavuusfunkion maksimi voidaan rakaisa numeerisin meneelmin, jolloin saadaan rakaisua mallin paramerien esimaai. 9
4. KATSAUS AIEMPIIN TUTKIMUSTULOKSIIN Erilaisen ARCH ja GARCH mallien soveluvuua on esau lukuisissa ukimuksissa eri maiden osakeindeksien ja yksiäisen osakkeiden uoosarjoihin. Malleja on esau myös valuuaindekseihin sekä korkouoosarjoihin. Tässä kappaleessa käydään lävise joiakin soveluvia ja relevaneja ukimuksia sekä niiden uloksia. Tässä käydään kaksi ukimusa, Akgirayn ja Caiadon ukimukse, lävise arkemmin. Muisa ukimuksisa mainiaan lyhyesi pääulokse. Akgiray (989) käyi omassa klassisessa ukimuksessaan Yhdysvalain päiviäisä osakeindeksidaaa vuosila 963-986. Koko ajanjakson lisäksi hän jakoi uoosarja neljään kuuden vuoden periodiin, joia hän arkaseli ukimuksessaan erikseen. Moivaaiona uoosarjan jakamiselle neljään osaan oli se, eä uoosarja ei käyäydy homogeenisesi koko periodilla. Hän oesi ensinnäkin, eä uoojen jakauma osoii huipukkuua ja sisälsi paksuja häniä. Jakauma poikkesi merkiäväsi normaalijakaumasa koko ajanjakson sekä kaikkien aliajanjaksojen suheen. Hän löysi käyämäsään indeksiuoosarjasa myös lineaarisa riippuvuua eli auokorrelaaioa, minkä hän väii johuvan mahdollisesi yheisisä markkinaekijöisä indeksin osakkeille, vähäisesä kaupankäynnisä joillakin indeksin osakkeilla, informaaion käsielyn nopeueen liiyvisä hiausekijöisä markkinoilla sekä viikonpäiväefekeisä. Edellisesä johuen hän esimoi uoosarjan ehdollisen keskiarvon mallinamiseen parhaien soveluvaksi AR() mallin. Tämän jälkeen Akgiray esi ja löysi neliöidyisä jäännösermeisä merkiävää auokorrelaaioa, mikä viiasi mahdollisuueen mallinaa edelleen ehdollisa varianssia/volailieeia. Varianssin aikariippuvuuden mallinamiseen hän käyi ARCH ja GARCH malleja. Muodoseuaan eri periodeille ARCH malli, Akgiray sai seuraavia uloksia, joka näkyvä myös Taulukossa 4.. Yhdelle periodille riiävä malli oli AR()-ARCH(3), kahdelle periodille riiävä malli oli AR()-ARCH() ja kahdelle AR()-ARCH(5). Viiveermien lisääminen edelleen ei näissä apauksissa parananu esimoiniulosa. Akgiray myös oeaa, eä valiu AR()-ARCH(-5) malli mallinava osakeindeksidaaa huomaavasi paremmin kuin pelkkä AR() malli. GARCH malleisa Akgiray esasi useia keralukuja 30
(GARCH(p,q), p=,, 5; q=,, 3), mua havaisi, eä jo AR()-GARCH(,) mallinsi daaa verraain hyvin ja suuremma p ja q arvo eivä merkiäväsi parananee mallia. AR()-GARCH(,) oli riiävän hyvä malli myös kaikille neljälle aliperiodille ja koko uoosarjalle/periodille. Tulokse eri periodeille näkyvä aulukossa 4.. AR()- GARCH(,) malli oli myös parempi malli, kuin mikään AR()-ARCH(-5) malleisa kaikilla näillä viidellä periodilla. Mallien paremmuuden määriämiseen Akgiray käyi uskoavuusarvoa (log-likelihood). Miä suurempi log-likelihood arvo, siä parempi malli. Akgiray esasi ja mallinsi myös viikoaisia ja kuukausiaisia uoosarjoja ja verasi uloksia päiviäisisä uoosarjoisa saauihin uloksiin. Ensinnäkin hän oesi, eä viikoaisen ja kuukausiaisen uoojen jakauma eivä ole niin lepokurisia kuin päiviäisen uoon jakauma oisin sanoen viikoaisen ja kuukausiaisen uoojen jakauma on lähempänä normaalijakauunua kuin päiviäisen uoojen jakauma. Samoin viikoaisissa ja kuukausiaisissa uoosarjoissa ei ole merkiävää auokorrelaaioa. Neliöidyisä sarjoisa löyyy kuienkin auokorrelaaioa viikoaisesa sarjasa. Sen sijaan kuukausiaisesa neliöidysä sarjasa ei löydy merkiävää auokorrelaaioa. Taulukko 4.. Akgirayn AR()-ARCH(p,q) mallien esimoiniulokse eri perioideille (Akgiray 989, s. 69). 3
Taulukko 4.. Akgirayn AR()-GARCH(,) mallien esimoiniulokse eri periodeille (Akgiray 989, s. 70). Esimerkkinä ARCH/GARCH mallien soveluvuudesa pienempien markkinoiden osakeindeksidaan mallinamiseen arkasellaan ässä arkemmin Caiadon (004) uloksia Porugalin PSI-0 osakeindeksisä. Hän sovelsi GARCH(,), GARCH-M(,), TARCH(,), EGARCH(,) ja EGARCH(,) malleja päiviäisiin ja viikoaisiin PSI- 0 indeksin logarimisiin uoosarjoihin. Taulukossa 4.3 on esiely ukiujen uoosarjojen ominaisuuksia. Taulukosa näemme, eä uoosarjoissa on selväsi normaalijakaumasa poikkeavaa huipukkuua sekä negaiivisa vinoumaa. Tämä piää paikkansa sekä päiviäiselle eä viikoaiselle uoosarjalle. Tosin, huipukkuus on pienempi viikodaalle kuin päiviäiselle daalle. Jarque-Bera esiarvo osoiaa, eä sekä päiviäise eä viikoaise uoosarja eivä ole normaalijakauuneia. Caiado havaisi päiviäisissä uoosarjoissa myös merkiävää auokorrelaaioa. Tämän poisamiseksi Caiado havaisi parhaimmaksi AR(3)-mallin, jossa merkiäviä ova ermi ja 3 ( φ ja φ 3 aulukoissa 4.4 ja 4.5). Tämän AR(3)-mallin jäännösarvojen neliöisä Caiado löysi edelleen auokorrelaaioa, joa mallinaakseen hän käyi erilaisia ARCH malleja ukimuksessaan. 3
Taulukossa 4.4 näemme ulokse eri malleille päiviäiselle uoosarjalle. AR(3)- GARCH(,) malli pysyy hyvin poisamaan auokorrelaaion jäännösarvojen neliöisä. Tää indikoi myös ARCH LM esin ulos (LM(0) aulukossa 4.4, p-arvo > 0.05). AR(3)- EGARCH(,) mallissa on havaiavissa merkiävää epäsymmerisyyä uooissa ( γ aulukossa 4.4), kun aas AR(3)-EGARCH(,) ja AR(3)-TARCH(,) malleissa ei. AR(3)-GARCH-M(,) malli ei osoia merkiävää riippuvuua uoosarjan ja ehdollisen volailieein välillä ( λ aulukossa 4.4). Caiado käyi ehdollisen uoon ja varianssin mallissaan myös viikonpäiväermejä ( δ ja π aulukossa 4.4). Ainoasaan GARCH(,) mallin yheydessä δ osoiauui merkiseväksi uooyhälössä. Taulukossa 4.5 näemme ulokse eri malleille viikoaiselle uoosarjalle. AR(3)- TARCH(,) ja EGARCH malli eivä osoia merkiävää epäsymmerisyyä volailieeille viikoaisessa uoosarjassa ( γ aulukossa 4.5). AR(3)-GARCH-M(,) malli ei osoia merkiävää riippuvuua uoosarjan ja ehdollisen volailieein välillä ( λ aulukossa 4.5). Taulukko 4.3. PSI-0 osakeindeksin logarimisen uoosarjojen unnuslukuja (Caiado 004, s. 0). Muisa ukimuksisa voimme mainia muun muassa Choun (988) ukimuksen. Chou oesi ukimuksessaan, eä GARCH(,)-M malli pysyy mallinamaan viikoaisa NYSE 33
arvopainoeua indeksiä ja ehdollisen keskiarvoyhälön varianssiermi on ässä apauksessa merkiävä. Taulukko 4.4. Mallien esimaai päiviäiselle PSI-0 logarimiselle uoosarjalle (Caiado 004, s. ). 34
Taulukko 4.5. Mallien esimaai viikoaiselle PSI-0 logarimiselle uoosarjalle (Caiado 004, s. ). McMillan, Speigh ja Apqwilym (000) ukiva erilaisen volailieeimallien sovelumisa Lonoon pörssin UK FTA (Financial Times Acuaries All Share Index) ja FTSE 00 (Financial Times Sock Exchange 00 Index) päiviäisen, viikoaisen ja kuukausiaisen indeksien uooihin. ARCH malli, joia he ukiva oliva GARCH, 35
TARCH, EGARCH ja CGARCH (Componen-GARCH). Tukimuksessaan he oesiva, eä GARCH ja liukuva keskiarvo ova parhaa malli kaikilla frekvensseillä. Siourounis (00) käyi erilaisia GARCH malleja mallinaessaan Aeenan Pörssin päiviäisä uooindeksiä. Hän havaisi, eä negaiivisilla shokeilla on vaikuusa päiviäisiin uoosarjoihin ja poliiinen epävakaus kasvaaa markkinoiden volailieeia. Hamao, Masulis ja Ng (990) ukiva hinojen ja volailieeien liikkeiden samansuunaisuua Tokion, Lonoon ja New Yorkin osakeindekseillä. He käyävä ukimuksessaan GARCH-M mallia ja löyävä selkeää ehdollisen volailieein leviämisä Lonoon ja New Yorkin pörsseisä Tokion pörssiin. Tukimuksen mukaan vaikuukse oliva kuienkin epäsymmerisiä, koska muu suunna volailieein leviämiselle ova vain lieväsi merkiyksellisiä ai sien merkiykseömiä. Sarkar (008) uki omassa väiösukimuksessaan suomalaisen osakeuoojen keskiarvoon palaaminen (Mean Reversion). Tämän ukimuksensa osana hän käyi ehdollisen varianssin mallia ja esiessään soveluvina, esasi GARCH(,), EGARCH(,), GJR(,) ja WGARCH(,) malleja mallinamaan suomalaisa osakeuoodaaa. Daana hän käyi HEX yleisindeksin sekä kahdeksan eollisuudenalaindeksin päiviäisiä uooja ajala..997 30..003. Hän löysi omassa ukimuksessaan merkiävää epäsymmerisyyä volailieeeissä kaikille indeksisarjoille sekä EGARCH eä GJR malleilla, joiden odeiin ukimuksessa myös parhaien mallinavan päiviäisiä indeksiuoosarjoja. WGARCH mallilla ukimuksessa löydeiin merkiävää vaihelua eri viikonpäivien vaikuuksesa ehdolliseen volailieeiin. 36
5. EMPIIRINEN TUTKIMUS Tässä kappaleessa esiellään ukielmaan liiyvä empiirinen ukimus. Aluksi esiellään ARCH mallinnuksessa käyey ohjelmiso lyhyesi. Tämän jälkeen esiellään yössä käyey daa eli OMXHPI yleisindeksi ja ähän aikasarjaan liiyvä ominaisuude ja unnusluvu. Lopuksi esiellään varsinainen ukimus ja sen ulokse eli ARCH mallien sovelaminen OMXHPI indeksidaaan. 5. Ohjelmiso Tässä ukielmassa on käyey EViews 5. nimisä kaupallisa ohjelmisopakeia. EViews ohjelmisopakei on kehiey daan manipuloiniin, laskenaan ja graafiseen esiämiseen, minkä vuoksi se soveluu hyvin esimerkiksi julkaisujen pohjana käyeävien numeerisen ukimusen ekemiseen (EViews 005). Eriyisesi ARCH mallinnukseen liiyen EViews 5. ohjelmisossa on valmiina seuraavia ominaisuuksia. Tueu ARCH malli: ARCH GARCH TARCH (GJR-GARCH) EGARCH GARCH-M Componen GARCH Power ARCH 37
Tueu oleusjakauma näille malleille: Normaalijakauma Suden jakauma GED (Generalized Error Disribuions) 5. Käyey daa Daa, joa ässä yössä käyeään pohjauuu OMX Helsinki yleisindeksiin (OMXHPI). OMXHPI käsiää kaikki Pohjoismaisessa pörssissä Helsingissä lisau osakkee. Indeksin arkoius on kuvaa markkinoiden nykyilannea sekä kehiysä. OMXHPI vasaa enisä HEX yleisindeksiä ja indeksin perusluku 000 on aseeu vuoden 990 asoksi (indeksin 8..990 pääöskurssi) (OMX ). OMXHPI on niin sanou hinaindeksi. Hinaindeksissä osakkeen käeisosinkoa ei jälleensijoiea indeksiin. Hinaindeksin uoo on näin ollen vain osakkeiden kurssimuuosen uoama arvonnousu. Indeksin kokonais- ja kurssiuoon uooaseen ero määräyyy indeksin osinkouoon peruseella (OMX ). Tämä ukimus pohjauuu OMXHPI indeksin viikoaisiin pääösarvoihin ajanjaksolla 9..987-.4.008. Kaiken kaikkiaan daa sisälää viikoaisa indeksin pääösarvoa. Tämän ajanjakson aikana indeksin arvo on noussu arvosa 073.30 (9..987) arvoon 97.35 (.4.008). Kuva 5. esiää indeksin kehiyksen kyseisenä ajanjaksona. Pääösarvoisa on laskeu geomerinen uoosarja kaavan 3. mukaisesi. Numeerisen laskennan helpoamiseksi uoosarja on skaalau keroimella 00, eli ässä yössä käyey uoosarja on muodoseu kaavalla p y = 00 ln. (5.) p Tuoosarja on nähävissä kuvassa 5.. Lineaarisen skaalauskeroimen käyäminen ei kuienkaan vaikua esimoiniuloksiin 38
0000 6000 000 8000 4000 0 987 994 999 004 OMXHPI viikoainen pääösarvo Kuva 5.. OMXHPI indeksin viikoainen pääösarvosarja. 0 0 0-0 -0-30 987 994 999 004 OMXHPI logariminen uoosarja Kuva 5.. OMXHPI indeksin viikoainen logariminen uoosarja. 39
400 300 00 00 0-0 -0 0 0 Series: YT Sample /09/987 4//008 Observaions Mean 0.9874 Median 0.354797 Maximum 6.8478 Minimum -3.5679 Sd. Dev. 3.68563 Skewness -0.47478 Kurosis 6.555080 Jarque-Bera 66.96 Probabiliy 0.000000 Kuva 5.3. Tuoosarjasa muodoseu hisogrammi sekä unnuslukuja. Kuvisa 5. ja 5. nähdään ensinnäkin selkeäsi 000-luvun vaiheen suuren pörssikurssien nousun sekä laskun. Tähän ajanjaksoon liiyy selkeäsi myös volailieein kasvu. Samoin kuvasa nähdään, eä volailieei näyäisi kasaanuvan ja vaiheelevan ajan mukana, mikä ova ominaispiireiä, joia ARCH malleilla periaaeessa voidaan mallinaa. Kuvassa 5.3 näkyy uoosarjasa muodoseu hisogrammi sekä uoosarjan unnuslukuja. Kuvasa voimme nähdä, eä uoosarjalla on pieni posiiivinen keskiarvo (mean) ja sarja on epäsymmerinen ja negaiivisesi vinouunu (skewness). Negaiivinen vinouma arkoiaa siä, eä sarjan jakaumassa on enemmän havainoja vasemmassa hännässä kuin oikeassa hännässä. Huipukkuuden (kurosis) arvo on 6.56, mikä poikkeaa normaalijakauman huipukkuudesa. Korkea Jarque-Bera esiarvo 66.96 ja siihen liiyvä odennäköisyysluku osoiava, eä uoosarja ei selkeäsi ole normaalisi jakauunu. Tämä näkyy myös kuvassa 5.4, missä on kuvau kvaniilikuva sarjan jakaumasa normaalijakaumaan verrauna (Engle 004). Jos esaava sarja olisi normaalijakauunu, näkyisi kuvassa suora viiva. Jos esaava sarja ei ole normaalijakauunu, kvaniilikuvassa on nähävissa S-muooa, kuen viikkouoosarjamme kvaniilikuvassa. 40
6 Theoreical Quanile-Quanile 4 Normal Quanile 0 - -4-6 -8-30 -0-0 0 0 0 YT Kuva 5.4. Kvaniilikuva OMXHPI viikkouoosarjasa. 4
5.3 Empiirisen ukimuksen ulokse Ensin ukiaan uoosarjan auokorrelaaioa. Oheisessa aulukossa 5. on esiey auokorrelaaio, osiainen auokorrelaaio, Q-arvo ja p-odennäköisyysluvun arvo uoosarjalle 4:lle viiveelle. Taulukko 5.. Tuoosarjan auokorrelaaio, osiainen auokorrelaaio, Q-arvo sekä p-odennäköisyyde. Viive Auokorrelaaio Osiainen auokorrelaaio Q-arvo (Ljung- Box) p-odennäköisyys 0.067 0.067 4.9479 0.06 0.055 0.05 8.997 0.06 3 0.063 0.056.674 0.005 4 0.044 0.034 4.803 0.005 5 0.096 0.087 5.83 0.000 6 0.033 0.06 6.399 0.000 7-0.04-0.059 8.49 0.000 8 0.005-0.004 8.44 0.000 9-0.035-0.040 9.808 0.000 0 0.040 0.04 3.63 0.000-0.007-0.009 3.680 0.00 0.03 0.04 3.755 0.00 3-0.057-0.06 36.47 0.00 4-0.00 0.005 36.473 0.00 5 0.05 0.050 39.579 0.00 6-0.034-0.04 40.905 0.00 7-0.039-0.038 4.640 0.00 8-0.038-0.03 44.79 0.00 9-0.00 0.008 44.39 0.00 0 0.07 0.00 45.4 0.00-0.004 0.009 45.58 0.00 0.045 0.054 47.557 0.00 3 0.005 0.006 47.584 0.00 4-0.05-0.03 47.849 0.003 Täsä aulukosa käy selväsi ilmi, eä uoosarja on auokorreloiunu ämä käy ilmi Q- arvoisa sekä vasaavisa p-odennäköisyysarvoisa. Poiseaessa uoosarjasa auokorrelaaio mahdollisimman hyvin, on uoosarjaa mallinamaan valiu ARMA(,) malli. Paramerien esimaai on esiey aulukossa 5.. Taulukosa nähdään, eä sekä α ja β ermi ova selkeäsi merkiseviä ja vakiokomponeni c ei ole merkisevä. Malliin päädyiin osiain aulukossa 3. näkyvien krieereiden peruseella ja osiain kokeilemalla erilaisia AR, MA ja ARMA malleja sekä niiden soveluvuua mallinamaan uoosarjaa. 4
Taulukko 5.. Esimoiniulokse yhälölle y α + u. = c + y + βu Parameri Paramerin arvo Keskivirhe -saisiikka P-odennäköisyys C 0.97403 0.47487.33844 0.80 α 0.80539 0.0360 7.703 0.0000 β -0.73608 0.578-5.8809 0.0000 Q(4) Ljung-Box esi Q(0) Ljung- Box esi ARCH LM(4) esi ARCH LM(0) esi AIC 0.3953 0.8 4.773 0.064 65.43 0.0000 3.5693 0.0000 5.43983 BIC 5.453368 Log-Likelihood -308.86 43
Taulukosa 5. nähdään, eä Q(4) ja Q(0) sarjakorrelaaioesi osoiava, eä jäännösermissä ei ole jäljellä enää ilasollisesi merkiävää auokorrelaaioa viiveermeihin 4 ja 0 saakka. Tämä on nähävissä myös aulukossa 5.3, jossa on nähävissä jäännösermien auokorrelaaio, osiainen auokorrelaaio, muu Q-arvo sekä vasaava p-odennäköisyyde. Sen sijaan, ARCH LM(4) ja ARCH LM(0) esi osoiava, eä jäännösarvojen neliöissä on jäljellä huomaavaa auokorrelaaioa. Samoin aulukosa 5.4 nähdään, eä jäännösarvojen neliöisä osiaan löyyy selkeää auokorrelaaioa, mikä viiaa ARCH/GARCH mallien arpeellisuueen. Edelleen kuvassa 5.5 esieään hisogrammi sekä joiakin unnuslukuja jäännösarvoille. Kuvasa nähdään, eä jäännösarvojen jakauma on edelleen voimakkaasi huipukas ja Jarque-Bera esi hylkää myös normaalijakauman mahdollisuuden. Se, eä jäännösarvo eivä ole normaalijakauuneia näkyy myös kuvassa 5.6 näkyväsä kvaniilikuvasa. Taulukko 5.3. Mallin y = c + α y + βu + u jäännösarvojen auokorrelaaio, osiainen auokorrelaaio, Q-arvo sekä p-odennäköisyyde. Viive Auokorrelaaio Osiainen auokorrelaaio Q-arvo (Ljung-box) p-odennäköisyys -0.00-0.00 0.054-0.007-0.007 0.58 3 0.04 0.04 0.380 0.537 4 0.003 0.004 0.3953 0.8 5 0.070 0.070 5.8560 0.9 6 0.00 0.0 5.9599 0.0 7-0.065-0.064 0.65 0.059 8-0.008-0.0 0.73 0.097 9-0.047-0.050 3.5 0.066 0 0.037 0.033 4.773 0.064-0.0-0.03 4.94 0.093 0.03 0.04 6.0 0.099 3-0.064-0.06 0.576 0.038 4-0.00 0.00 0.578 0.057 5 0.058 0.05 4.37 0.08 6-0.035-0.039 5.740 0.08 7-0.040-0.04 7.535 0.05 8-0.039-0.038 9.6 0.0 9-0.00-0.00 9.38 0.03 0 0.08 0.03 30.98 0.035-0.007 0.00 30.360 0.047 0.045 0.05 3.60 0.037 3 0.000 0.007 3.60 0.05 4-0.0-0.04 33.84 0.059 44