Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta
Jännitys ja venymä Hooken laki F = k l Δl = 1 k F Jousivakio k riippuu langan dimensioista Saadaan malli Δl = l o EA F k = E A l o Lisäksi tarvitaan materiaalia kuvaava kimmokerroin E.
Määritelmät Jännitys ja venymä jännitys venymä σ = F A ε = Δl l o Hooken laki uudelleen σ = εe
Murtojännitys Elastisuus Suhteellisuusraja Plastinen alue Jännitys Elastinen alue Kimmoraja Venymä
Funktiomittauksesta ja virheen arvioinnista
Esimerkki funktiomittauksesta Tutkitaan alumiinilangan venymistä voiman funktiona Osoitetaan teorian pätevyys jännitys venymä jännityksen ja venymän riippuvuus saadaan F A = E Δl l o σ = εe Δl = l o EA F Määritetään teoriaan liittyvät parametrit: langan kimmokerroin σ = F A ε = Δl l o lineaarinen riippuvuus E Venyttävää voimaa muutetaan lisäämällä langan päähän punnuksia => massaa F = mg
Esimerkki funktiomittauksesta Mittaukset m (g) F (N) l (mm) 530 5,2 0,11 1030 10,1 0,20 1520 14,9 0,28 2070 20,3 0,41 2560 25,1 0,52 langan pituus l0 = (100,0 ± 0,5) cm langan halkaisija d = (1,00 ± 0,05) mm
Esimerkki funktiomittauksesta Lasketaan voima F = mg Piirretään graafi m (g) F (N) l (mm) 530 5,2 0,11 1030 10,1 0,20 1520 14,9 0,28 2070 20,3 0,41 2560 25,1 0,52 Pituuden muutos (mm)
Esimerkki funktiomittauksesta Sovitetaan suora (lineaarinen regressio) y = kx + b Sovitus voidaan tehdä piirtämällä, mutta tämän kurssin laboratroriotöissä suositaan pienimmän neliösumman (PNS) menetelmää Pituuden muutos (mm) PNS löytyy esim. Excel (Trendline, Data analysis > Regression) Matlab (suora.m), Origin (Linear Fit) Miksi piirtää suora? (eikä lasketa pisteittäin) Suora testaa mallia Karkeat virheet jää huomaamatta Systemaattinen virhe voi vääristää tulosta
Esimerkki funktiomittauksesta Sovitus antaa kulmakertoimen k = 0,0206 mm / N k = Δy Δx ja vakiotermin b = 0,01 mm PNS-menetelmä antaa myös virherajat, joten voidaan kirjoittaa k = (0,0206 ± 0,0009) mm / N b = ( 0,01 ± 0,01) mm Pituuden muutos (mm) Δx Δy PNS-menetelmällä voi sovittaa myös muita funktioita Vertailua voi tehdä myös Sovittamalla jotain muuta funktiota kuin suoraa Laskemalla teorian mukaisen käyrän ja piirtämällä sen yhdessä mittaustulosten kanssa
Esimerkki funktiomittauksesta Samaistetaan teoriaan Δl = l o EA F y = k x + b Teorian mukaan b=0 Vakiotermi on silti hyvä olla mukana, sillä se kertoo systemaattisesta virheestä Pituuden muutos (mm) b = ( 0,01 ± 0,01) mm k = l o EA E = l o ka E = 1m 0,0206mm / N π 0,5mm ( ) 2 61,808 109 N / m 2
Esimerkki funktiomittauksesta Lasketaan tuloksen virhearvio Käytetään kokonaisdifferentiaalia, eli lasketaan funktion osittaisderivaatta (herkkyys) jokaisen muuttujan suhteen ja kerrotaan kunkin muuttujan virheellä. Kahden muuttujan tapauksessa esim. f = f(x,y) f = E( l o,k,d) = 4l o kπd 2 ( ) = f ( x, y ) Δf x, y x ( ) Δx + f x, y y Tässä esimerkissä kyseessä on kolmen muuttujan funktio ΔE = E l o Δl o + E k Δk + E d Δd A = πd 2 / 4 Δy
Esimerkki funktiomittauksesta Lasketaan Saadaan ΔE = E l o ΔE = ΔE = ΔE = l o 4 kπd 2 Δl o + E k 4l o kπd 2 4 kπd 2 Δl o + ΔE = 4l o Δl o kπd 2 l o ΔE = 4l o kπd 2 Δk + E d Δd Δl o + k Δl o + 4l o k 2 πd 2 Δl o l o 4l o kπd 2 Δk + 2 4l o kπd 3 4l o k 2 πd 2 Δk + 8l o kπd 3 Δd + 4l o Δk kπd 2 k + 4l o 2Δd kπd 2 d + Δk k + 2Δd d = E Δk + d Δl o l o Δd 4l o kπd 2 + Δk k + 2Δd d Δd tämän voi jo laskea ΔE = 61,8Gpa 5mm 1m + 0,0009mm / N 0,0206mm / N + 2 0,05mm 1mm 6,10GPa
Huomio osittaisderivaatan laskemisesta Kirjoitetaan suhteellisen virheen lauseke ΔE E = Δl o + Δk l o k + 2Δd d Jos derivoitava lauseke sisältää vain kerto-, jako- ja potenssilaskuja, suhteellinen virhe saadaan laskettua helposti. Esimerkiksi f = x2 ab 4 y1/3 Δf f = 2 Δx x + 1 3 Δy y + Δa a + 4 Δb b
Esimerkki funktiomittauksesta Lopputulos E = ( 62 ± 6)GPa Virhetermiin vain yksi merkitsevä numero ja lopputuloksen pyöristys sen mukaisesti Verrataan kirjallisuuteen Table 12-1 => EAl = 70 GPa
Mitä muistaa tästä kurssin laboratoriotöitä varten? Laadi graafiset esitykset huolella Funktiomittaus Funktiomittaus antaa yleensä parempia tuloksia kuin toistomittaus Kulmakertoimen hyödyntäminen Sovittaminen Virhearviointi Suhteellisen virheen laskeminen Saatu virheen suuruusluokka määrittää lopputuloksen tarkkuuden
Vetojännitys, puristusjännitys ja leikkausjännitys Analoginen lauseke Eri geometria Δl = 1 E F A l o Δl = 1 E F A l o Δl = 1 G F A l o
Kokoonpuristuvuus ΔV V = 1 B ΔP
Venymä ja puristuma Usein mukana on molemmat Yläpinnalla puristumaa keskiviivalla ei jännitystä eikä puristumaa alapinnalla vetojännitystä Miksi ratakisko on I-palkki?
Ch 17-1 3
Termodynaaminen tasapaino Termodynaaminen tasapaino: Tuotaessa kaksi systeemiä lämpökontaktiin niiden termodynaaminen tasapaino on saavutettu, kun systeemien makroskooppiset ominaisuudet eivät enää muutu. Lämpökontakti: Jos toista kappaletta lämmitetään, toisen ominaisuudet muuttuvat
Termodynamiikan nollas pääsääntö Jos kaksi systeemiä on termodynaamisessa tasapainossa kolmannen kanssa, ne ovat termodynaamisessa tasapainossa myös keskenään. Tämä antaa mahdollisuuden määritellä lämpötila. Jos kaksi systeemiä on termodynaamisessa tasapainossa, niillä on sama lämpötila. Lämpötila on määritelty vain termodynaamisessa tasapainossa. T
Ch 17-4 Lämpölaajeneminen
Aineen lämpölaajenemista kuvataan tilavuuden lämpölaajenemiskertoimella β = ΔV /V o ΔT ja pituuden lämpölaajenemiskertoimella Lämpölaajeneminen α = ΔL / L o ΔT Kiinteälle homogeeniselle ja isotrooppiselle aineelle pätee β 3α. V = V o ( 1+ βδt )
Esimerkki 17-3 Teräsrakenteinen silta on 200m pitkä kun ulkoilman lämpötila on 20 C. Sillan lämpötilan odotetaan vaihtelevan kuuman kesäpäivän +40 C:sta talven -30 C:een. Määritä kuinka paljon sillan pituus voi vaihdella. Esimerkkien ratkaisut löytyvät kurssin oppikirjasta
Esimerkki 17-7 Auton teräksestä valmistetun bensatankin tilavuus on 70 litraa. Tankki täytetään +20 C:lla bensiinillä aivan täyteen. Auto seisoo auringossa ja sen lämpötila nousee +40 C:een. Selvitä mitä tapahtuu tankille ja bensalle. Esimerkkien ratkaisut löytyvät kurssin oppikirjasta
Ch 17-5 Lämpöjännitys
Esimerkki 17-8 Amerikkalainen valtatie on tehty betonikappaleista, joiden pituus on 10 m ja poikkipinta-ala 0,2 m 2. Ne on asennettu 10 C:een lämpötilassa kiinni toisiinsa. Määritä puristusjännitys 40 C:een lämpötilassa. Kestääkö betoni? Esimerkkien ratkaisut löytyvät kurssin oppikirjasta
Ch 17-6 10 Ideaalikaasu
Kaasut Kaasuille pätee lim p 0 pv NT = k Tästä saadaan ideaalikaasun tilanyhtälö pv = nrt pv = NkT atomien lukumäärä N ainemäärä n Boltzmannin vakio k kaasuvakio R
Kaasulämpömittari ja lämpötila-asteikko Mitataan lämpötilaa ja painetta. Havaitaan lineaarinen riippuvuus. Kalibroidaan lämpötilaasteikko käyttäen ekstrapoloitua (p,t) pistettä (0,0) ja veden kolmoispistettä 611,73 Pa, 273,16 K)
Esimerkit oppikirjasta ja niiden oppimistavoitteet 12-7 Jännitys pianon kielessä 12-8 Pianon kielen katkaiseminen 17-1 Atomien välinen etäisyys kiinteässä aineessa 17-2 Celsius-Fahrenheit muunnos 17-3 Pituuden lämpölaajeneminen 17-5 Pyöreän kappaleen halkaisijan lämpölaajeneminen 17-7 Nesteen ja tankin tilavuuden lämpölaajeneminen 17-8 Lämpölaajeneminen ja puristusjännitys 17-10 Ideaalikaasun moolitilavuuden määrittäminen 17-11 Kaasun määrän laskeminen 17-12 Kaasun massan laskeminen 17-13 Paineen muuttuminen läpötilan muuttuessa 17-14 Vetyatomin massan määrittäminen
tällä kurssilla Ch 2 11 & 14 16 hyvää kertausta tai esitietojen hankkimista Volume 2 esitietoja syksyn kurssille Volume 3 Aineen rakenne kurssin materiaali
haku mahdollista sisäisiä linkkejä