KERTAUSHARJOITUKSIA REAALILUKUVÄLIT 8. a), eli reaalilukuvälinä b) 9, eli reaalilukuvälinä 9 c), eli reaalilukuvälinä 9. a) negatiiviset reaaliluvut, b) lukua viisi suuremmat reaaliluvut 5, c) epänegatiiviset reaaliluvut,. a) eli, b) eli, c) tai eli, tai,. a) b) c) 6 8 7
.a), 5 eli 5 b) 9, eli 9 c),8 eli 8 d), eli FUNKTIO. a) Luku a Luvun neliö a Funktio f a aa a f b) Luku a Luvun neliö a Luvun kuutio a Funktio f a a f a a c) Luku a Luvun käänteisluku, a a F unktio f a a a f a, a Vastaus: a) f a a a a f b) faaf a a c) f a a f a, a a. a) y Funktio on yksikäsitteinen 7
b) y Funktio ei ole yksikäsitteinen, esimerkiksi usealla :n arvolla on kaksi eri y:n arvoa 5. a babf bb Funktio on vakiofunktio f b a f, eli b, a-koordinaatistossa vaaka-ak Vastaus: Kuvaajana on koordinaatiston vaakasuora akseli. 6. Ehto a b seli, tässä b-akseli a b Huomataan, että a saa kaksi arvoa jokaista b:n arvoa kohti. Sääntö ei ole funktio a:n ja b:n välillä. Vastaus: ei 7. Korotusten lukumäärä Tuotteen alkuperäinen hinta Tuotteen hinta :n korotuksen jälkeen, ( ) Tuotteen alkuperäinen myynti 5 kg Tuotteen myynti :n korotuksen jälkeen 5 (kg) Koska myynti on positiivinen, pitää olla 5 eli 5 Koska hinta on positiivinen, pitää olla, eli 5 Tuotto t() = myynti hinta, määrittelyalueena 5 5 a f a fa f t 5, 5, 5, Vastaus: Tuotto on t a f 5,, missä 5 5 7
SUORA 8. Suoran yhtälö y y k a b a b g ) y y k k,, y 8, y8 y f b g a f g b g a f b g a f b) y y k k,, y 8, y8 y 6 c) y y kb g y, 6, a 6f d) y y b g a f k 6,;, y 6 ;, y 6,, 8 b g k k y y, 75 8 a f b g a f 75, ;, 8, y 75, Vastaus: a) y,b)y6, c) y 6, 8,, d) y, 75 b g k 9. Suoran yhtälö on y y k, missä a) Pis teet (,) ja (,) Kulmakerroin y y k af Suoran yhtälö y y k b g k,, y y a y b g F I ja HG K J b) Pisteet 8,, Kulmakerroin f y y 7
57 y y k 57 a8f 9 9 Suoran yhtälö 57 y y kbg k, 8, y 9 57 y a8f 9 57 57 y 9 9 F I F c) Pisteet, ja 7, H K H K Kulmakerroin y y k 8 7 Suoran yhtälö 8 y y kbg k, 7, y 8 y a 7f 8 68 y 57 57 Vastaus: a) y b) y 9 9 c) y 8 68 I 7
. 5 y 6 5,5y + 6 = β A α 5 6 7 8 5 6 7 8 9 B a f ja a7 A, B, f Suoran AB kulmakerroin y y k AB 5 5 7 6 Suoran y-koordinaatti pienenee 5 :lla, kun kasvaa yhdellä 5 tan : 5 tan 68, 98... Suora on laskeva ja muodostaa 68, asteen kulman -akselin kanssa. Toisen suoran kulmakerroin 5, y 6 5, y 6 y 6 5, 5, y,, Suoran y-koordinaatti kasvaa,:llä, kun kasvaa yhdellä 75
tan, : tan,, 8... Suora on nouseva ja muodostaa,8 kulman -akselin kanssa Suorien välinen kulma saadaan edellä laskettujen kulmien summana 68, 98..., 8... 9 Vastau s: Kulmakertoimet ovat 5 ja,. Suorien välinen kulma on 9. y 5 D a A 5 h y + 5 = C b B 5 = = Puolisuunnikkaan ABCD pinta-ala A a b h, missä a AD, b BC ja h AB. Lasketaan piste D Sijoitetaan suoran y5 yhtälöön a a f y 5 Piste D, Janan AD pituus f y y Lasketaan piste C Sijoitetaan suoran y5 yhtälöön 76
y 5 y 9 y Piste Ca, f Janan BC pituus Janan AB pituus + = Ala A a b h a, b, h A 6 Vastaus: Puolisuunnikkaan pinta-ala on 6. 5 y y 5 5,5 y = 5 + y 5 = Kuvaajasta katsomalla leikkauspiste on (,5; ) Lasketaan leikkauspiste algebrallisesti muuttamalla suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon ja merkitsemällä y:t yhtä suuriksi. Suora y Suora y5 y 5 Merkitään y:t yhtä suuriksi 77
5 5 6 : 6 y-koordinaatti y Leikkauspiste (, ) Vastaus: Leikkauspiste on (, ). Paloittain määritelty funktio R, kun f ( ) S T, kun Annetaan :lle muutamia arvoja ja piirretään funktion kuvaaja. y 6 5 5 6 y 78
LINEAARINEN MALLI. Tilaukset (kpl) Liksa y ( ) Koko liksa y Vastaus: Liksa y euroa 5. s/km 9 8 Sirkku km/h 6 Terttu km/h 6 8 t/min t min Piirretään kuvaaja ja katsotaan vastaus kuvaajasta. Vastaus: Kello on noin. 6. Kyseessä on lineaarinen malli, jossa celsiusasteet saadaan fahrenheitasteista. Muuttuja on fahrenheitaste ja funktion arvona saadaan celsiusaste Fahrenheitasteet F d i Celsiusasteet C d i y Lineaarisessa riippuvuudessa muutosten suhde ( = kulmakerroin) on vakio y 8 y 8 ayf af 8y 8 8y 79
y Vastaus: y 8 5 9 7. Lineaarinen malli Pisteet Arvosana 7 y 8 5 y 9 6 9 d i 6 9, mi ssä d Fi, ja y C Muutoksien suhde on vakio 7 y 7 8 y 7 8ay7f af 8y 6 7 8y 5 : (8) y 5 8 8 y 6 Vastaus: y 6, missä on kokeesta saatu pistemäärä 8. Alpon matka (km) Alpon nopeus 8 (km/h) Sirkka on ajanut matkan + (km) Sirkan nopeus (km/h) Aika on sama, jolloin mitä nopeammin kulkee sen pidemmälle pääsee, joten matka ja nopeus ovat suoraan verrannolliset 8 8 : Sirkan kulkema matka 5 Vastaus: Sirkka 5 km ja Alpo km 8
9. Tässä on ajateltava fogelin ja jäniksen kulkevan samaan suuntaan Matka, jonka jänis juoksee, kunnes fogeli nappaa (m) Jäniksen nopeus 7,5 (m/s) Matka, jonka fokeli lentää, kunnes nappaa + (m) Fokelin nopeus (m/s) Aika sama, jolloin matka ja nopeus ovat suoraan verrannolliset 75, 5 7, 5 5, 5 : 5,,... Aika = matka nopeus Vastaus: Aika on, s 5. Makaronien määrä,... m, s 75, m/s Makaronien määrä Paino (massa) (g) 8, 6,8 6 5,6 y Laitetaan pisteet koordinaatistoon ja päätellään malli kuvaajasta Kuvasta nähdään, että määrän ja painon riippuvuus on lineaarinen (kuvaajana suora) Muutoksien suhde on vakio 8 6, 8, 6 y 5, 6 56, 6 y 5,6 ay5, 6f 5, 6a6f y 58, 5, 6 58, y 5, 6 y 56, y, 8
7 6 5 p/g m/kpl 5 6 7 8 9 Makaronien määrä ja paino ovat suoraan verrannolliset, kuten kuvaajastakin nähdään - kuvaaja on origon kautta kulkeva suora. Purkissa olevien makaronien massa y = 585 g 985 g = 6 g Makaronien määrä y,, 6 :, 6, 5 Vastaus: Makaronien massa y ja määrä ovat suoraan verrannolliset missä (g) on makaronien määrä. Purkissa on 5 makaronia., y,, 8
TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 5. 8 7 6 5 6 5 5 6 y y = y = 5. 6 5 5 6 5 6 y y =,5 y =,5 + 8
5. 5 y = + + 6 5 5 6 y y = + 5. a),, =,,,,,, 7,,, 7,,,,, 7 5, b) 8
c) 8 + + 9 = 89 8 67 6 Ei ratkaisua d) 6 + 9 = 69 6 Vastaus: a) ja 5 b) tai c) ei nollakohtia d) 55. h 6, t, t 8, a) Kun sijoitetaan t =, saadaan paraabelin ja h-akselin leikkauspiste h 6, t, t, 8 t = h =,8 Kun sijoitetaan h =, saadaan paraabelin ja t-akselin leikkauspiste 6, t, t8,, (, ) 6, 8, t 6,,, t,,, t,,, t, 85
b) 5 h h =,6t,t +,8 5 6 t c) Sijoitetaan yh tälöön h 6, t, t8, h:n arvoksi h =,8 6, t, t8, 8, 6, t, t, (, ) 6, ( ) t 6,, 6, t,, 6, t 5,, 6, t, Vastaus: a) h-akselin leikkauspiste (;,8). t-akselin leikkauspisteet (, ) ja (, ), c) h =,8, kun t = tai t = 5 56. Paraabelin yhtälö y y a( ) huippu, y, y a( ) b g b g 86
paraabeli kulkee pisteen (, 6) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön 6 a( ) 8 a a Paraabelin yhtälö y a( ) y ( ) y y ( ). y a fa f Vastaus: Paraabelin yhtälö on y 57. Paraabelin yhtälö y y a( ) huippu, y, y a( ) paraabeli kulkee pisteen (, ) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön a() a a Paraabelin yhtälö y a( ) y ( ) y y ( ) y f( ) f 77 7 Vastaus: f 7 87
58. Asetetaan paraabeli kulkemaan origon kautta. Tällöin paraabeli kulkee pisteiden (,) ja (6,) kautta ja sen huippu on pisteessä (,9). Suihku alkaa origosta ja päättyy pisteeseen (6,), joten mielekkäät muuttujan arvot välillä [,6]. y (, 9) 9 8 7 6 5 (, ) (6, ) 5 6 7 Paraabelin yhtälö y y a( ) huippu, y,9 y9 a( ) Paraabeli kulkee pisteen (,) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön 9 a( ) 99a a Paraabelin yhtälö y9 a( ) y9 ( ) y9 y ( 69) 9 y 6 Vastaus: Paraabelin yhtälö on y 6 välillä [,6]. 88
59. Paraabelin huippu on pisteessä (, ;,5). Paraabelin yhtälö y y a( ) huipp, y,;,5 u y,5 a(,) Paraabeli kulkee pisteen (,6 ;,5) kautta, joten sen koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön,5,5 a(,6,),5,56a a, 566 Paraabelin yhtälö y,5 a(,) y,5,566 (,) Vastaus: Heittoradan yhtälö on y,5,566 y,566 ( 6,9,),5 y, 566, 98, 5976 y,566,98,5976 6. Pallon lentorata on alaspäin aukeava paraabeli y 5,, 5 lentokorkeus y (m) pallon vaakasuora etäisyys lähtökohdasta (m) Pallo on korkeimmillaan paraabelin huipussa, joka sijaitsee nollakohtien puolivälissä. Nollakohdat 5, 5, a5, 5, f tai 5,, 5 5, 5, : a5, f 5, 5, nollakohtien puolivälissä = 5 y, 5, 5, 55, 55,5 Vastaus: Pallon suurin lentokorkeus on m 89
6. y (,5;,) (, ) Hyppyrata on paraabelin muotoinen. Paraabelin yhtälö on muotoa y y a( ) (, y) ( 5, ;, ) on paraabelin huippu Lisäksi paraabeli kulkee pisteen (;,) kautta,, a( 5, ),, 5a :, 5, a,5 Sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön saadaan, y, ( 5, ) 5,, y, a5, fa5, f,5, y, d,5i,5,,9 y,5,5 Koira on maassa, kun y =,,9,,5,5 F I HG K J F HG,9,9,5,5 F, I HG K J,5,,5 I K J, 9
,9 5,...,5 6,,5,9 5,...,5 5, ei, 6,,5,9 5,...,5,5 6,,5 Hyppy kantaa,5 metrin etäisyydelle lähtöpisteestä eli, metrin etäisyydelle aidasta. Vastaus: Hyppy kantaa, metrin etäisyydelle aidasta 6. y = Aitauksen pituus (m), > Aitauksen leveys (m), > eli < Aitauksen ala A ( ) ( ), missä Alan kuvaaja alaspäin aukeava paraabeli, jolloin alan suurin arvo on paraabelin huipussa. Huippu sijaitsee nollakohtien puolivälissä paraabelin nollakohdat a f tai huipun -koordinaatti aitauksen leveys = Vastaus: Aitauksen mitat ovat m m 9
6.: Toisen asteen yhtälöllä on tasan yksi reaalijuuri, jos diskriminantti D =. D = t t = t 8t t 8t = t (t 8) = t = tai t 8 = eli t = 8 Vastaus: t = tai t = 8 6. Paraabeli sivuaa -akselia, kun yhtälöllä (a + ) + a + = on vain yksi ratkaisu eli, kun diskriminantti D =. D = a tai a8 elia 8 Saadaan kaksi paraabelia Kun a = y = (a + ) + a + = ( + ) + y = + y a a a a a a aa a 8a a 8a a a8 8 7 6 5 + = + Kun a = 8 y = (a + ) + a + = (8 + ) + 8 + = + 5 y = + + 5 5 6 7 8 9 Vastaus: a = tai a = 8 9
POTENSSIFUNKTIO JA POTENSSIYHTÄLÖ 65. a) 8 b) c),5 5 7 5 Vastaus: a) b),5 c) 5 66. a) b) 6 6 c) Vastaus: a) b) c) 67. a) b) c) 5 8 5 8 6 8 : : 5 : 6, Vastaus: a) = tai = b) c) tai 9
68. a) a = kb, k vakio b) a = kb 6, k vakio c) a = k b, k vakio k d) a, k vakio b k e) a, k vakio b k f) a, k vakio 7 b 69. Pääoma talletuksen lopussa Kt k talletettava pääoma k =, kun aika t on 5 vuotta talletettava pääoma k = 5, kun aika t on vuotta korkokerroin %, 6 %, 6 %, 6 5 K t, 6 5, 6 7, 8 ( ) Vastaus: Säästöjä yhteensä 7,8 7. Pääoma talletuksen lopussa Kt k pääoma lopussa K t = 5 talletettava pääoma k talletus aika t = a korkokerroin K k t t 5 : 5 5, 68... Korkoprosentti, 68..., 7, 7 % Vastaus: Vuotuinen korkoprosentti,7 %. 7. Potilaan pinta-ala A m 5, h 75, 7, 8 h 6 (cm), m 6 (kg) t t 9
5, 75, 6 6 7, 8 cm 685 cm 685, m Lääkettä annetaan potilaalle 7, m 5mg / m 7, mg. Vastaus: Lääkettä annetaan 7, mg. EKSPONENTTIFUNKTIO JA EKSPONENTTIYHTÄLÖ 7. a) b) ei ratkaisuja, sillä aina c) d) e) ei ratkaisuja, sillä aina Vastaus: a), b) ei ratkaisuja, c), d) ei ratkaisuja 7. a) F I HG K J F I HG K J F H G I K J 95
= F b) H K ei ratkaisua, sillä F I H K aina I c) + = = Vastaus: a), b) ei ratkaisuja, c) 7. a) F I HG K J F I HG K J F H G I K J = b) 8 = 6 8 = 8 = c) voi olla mikä tahansa reaaliluku eli R d) ei ratkaisua, sillä aina e) H K F I ei ratkaisua, sillä aina H K F I Vastaus: a), b), c) R, d) ei ratkaisuja, e) ei ratkaisuja 96
a a f = 59 9 75. f f a) f b) fa f = 7 Vastaus: a) 59 9 b) a f a f 76. f a) f 7 b) a f ( ) = f Vastaus: a) b) a f a f + = 77. f a) f b) faf + = 8 Vastaus: a) b) 8 78. 5 +5 +5 +5 +5 = 5 5 5 5 = 5 5 5 + = 5 5 + = 5 = Vastaus: 79. Jos astia on nyt puolillaan, on se 5 minuutin kuluttua täysi, koska bakteerikanta kaksinkertaistuu 5 minuutissa Kokonaisaika on 9 h + 5 min = 9 h 5 min Vastaus: Aikaa kuluu 9 h 5 min 97
8. Jokaisessa vaiheessa pituus kasvaa kolmanneksella eli tulee -kertaiseksi. Viidennessä vaiheessa pituus on kasvanut neljä kertaa eli,6 -kertaiseksi. Vastaus:,6-kertaiseksi 8. m m, 65 massa alussa m aika t (a) a) t (a) t m m, 65 m, 6 eli jäljellä on,6 % b) m m, 65 m Vastaus: a),6 % b) 6 % 8. radiohiilen määrä alussa a aika + = 5 määrä tulee,5-kertaiseksi 5 7 vuodessa radioaktiivista hiiltä jäljellä 57 5 a5, 5, a eli jäljellä on 5 % Vastaus: 5 % 6 eli ainetta oli 6 % alkuhetken massasta ac 8. Nt af bc e at, a =,9; b =,9 ; C, ; t 975 5, 9, 9 N ( 5) 57,, 95 9,, e Vuonna maapallon väkiluku tosiasiassa ylitti kuuden miljardin rajan. Vastaus: Väkiluku mallin mukaan 5,7 miljardia, ennuste antama väkiluku vain vähäsen liian pieni. 98
EKSPONENTTIYHTÄLÖN RATKAISEMINEN LOGARITMIN AVULLA 8. a) log = 6 b) lg, = Vastaus: a) 6 b) 85. a) b) c) = lg lg lg lg : lg = lg lg, 5 = 9 lg5 lg 9 lg5 lg9 : (lg 5) lg9 = lg5,65 F HG I K J =,56 lg( ) lg 56, lg lg 56, : lg = lg 56, lg,58 Vastaus: a), b),65 c),58 99
86. Turistien määrä tuli joka vuosi % + 5 % = 5 % =,5-kertaiseksi aika vuosina a) Turisteja 6 vuoden kuluttua 6,5 6 5 b) Turistien määrä kaksinkertaistunut 6 5 6,5 = 5 : 6 5, lg 5, lg lg 5, lg lg lg, 5 Vastaus: a) noin 5 b) noin vuodessa 87. aineen puoliintumisaika on yksi vuosi aika vuosina 7,,5 =, 5,, 7, lg 5,, lg 7,, lg 5, lg 7,, lg 7, lg 5, 9, 5... Vastaus: Kymmenen vuoden päästä viimeisestä mittauksesta tai vuoden päästä onnettomuudesta 88. aika vuosina hiili-:n alkuperäinen määrä a 57 a5, 89, a : a 5 57, 89, 57 lg 5, lg, 89
lg 5, lg, 89 57 lg 89, 57 lg 5, lg 8, 9 5 7 lg 5, 96 Vastaus: Noin 96 vuotta sitten a f 89. f t,965 t aika tunteina löytöhetkestä f t pötila C a f ruumiin läm a) t = f () =,965 = t d i b) Olettaen, että elossa olleen lämpötila oli ollut 7 C a f f t t,965 = 7,965 t 7 t lg,965 lg 7 t lg,965 lg 7 7 lg t lg,965 t 5,,965 Vastaus: a) C b),5 tuntia aiemmin 9. aika vuosina hiili-:n alkuperäinen määrä a 57 a5,, a : a 5, 57, 57 lg 5, lg, t
lg 5, lg, 57 lg, 57 lg 5, lg, 5 7 lg 5, 8 9 Vastaus: noin 8 9 vuotta vanha 9. aika minuutteina neliöiden määrä kaksinkertaistuu joka minuutti :n minuutin kuluttua neliöitä -kertainen määrä a) = 97 7 lg lg 7 lg lg 7 :lg lg 7 lg 6,98... tarvitaan 7 minuuttia b) = 7 7 lg lg( 7 ) lg lg( ) :lg lg( 7 ) lg 58,5... tarvitaan 59 minuuttia c) km = mm = mm 8 = 5, lg lg( 5, ) lg lg( 5, ) lg( 5, ) lg 68, 789... tarvitaan 69 minuuttia Vastaus: a) 7 min b) 59 min c) 69 min
9. Nt N e N populaation koko alussa N t populaation koko hetkellä t t aika r Malthusin kerroin rt a) Populaatio kaksinkertaistuu N N t Escherichia coli rt Nt N e r =,5 (h) 5, t N e N : N e,5 t = lg 5, t lge lg 5, t lge lg : (,5 lge) t lg 5, lge t,77... Yksikön muunnos, 77... h 7 min Paramecium aurelia rt Nt N e r =, (d), t N e N : N e, t = lg t lg e, lg,t lg e lg : (, lg e) lg t, lge t 558,... Yksikön muunnos, 558... d, h Tribolium confusum, t N e N e,t = t rt Nt N e r =, (d) : N lg lg e, lg, t lge lg : (,lge)
lg t, lge t 5776,... Aika 5,776... d 5,78 d Trignogenius globulus, t N e N,t e = t lg e, lg, t lge lg : (,lge) lg t, lge t, 66... Aika,66... d d rt Nt N e r =, (d) : N lg Rattus norvegicus rt Nt N e r = 5,75 (a) 5, 75t N e N : N e 5,75 t = lg t 5 lg e, 75 lg 5, 75t lge lg : (5,75 lge) lg t 575, lge t 6,... Yksikön muunnos, 6... a 5,6 d Canis domesticus 85, t N e N,85 t e = t rt Nt N e r =,85 (a) : N lg lg e 85, lg,85t lg e lg : (,85 lge) lg t,85lg e t,... Yksikön muunnos,... a 77, d
b) N N e, N, t = t rt Escherichia coli (r =,5 h) 5 N = e,, Paramecium aurelia (r =, d) N = e, 86 Tribolium confusum (r =, d) N = e, 66 Trignogenius globulus (r =, d) N = e, 8 Rattus norvegicus (r = 5,75 a) 5 75 N = e,, 5 Canis domesticus (r =,85 a) 85 N = e,, 69 5 Vastaus: a) 7 min,, h, 5,78 d, d, 5, 6 d ja 77, d b),, 86, 66, 8,, 5, 69, 5 HARJOITUSKOE.. a) a f : b) 9 c) a f a f a f 5
Vastaus: a), b), c) ja. a) 5 eli, 5 b) eli, c) 98 eli, 98 d) eli, e), f), 5 98. faf a) Funktion kuvaaja on suora, koska sen lauseke on. asteen polynomi b) Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun =, eli pisteessä (, ) a f c) Funktion nollakohta f 6
a f d) Kuvaaja kulkee pisteen (, ) kautta, jos f f a f Suora ei kulje pisteen (, ) kautta. e) y 6 5 f() = + Vastaus: a) suora, b) (, ), c), d) ei kulje. Prosenttikerroin q päästöt lopussa q Saadaan yhtälö q 95 : q 95 95 q q,95... Vähenemisprosentti % 9,5 % 7,5 % Vastaus: Keskimääräinen vuotuinen vähenemisprosentti on 7,5 %. 7
5. y y =,5 + a f 5 y 5,, Hyppyrata alaspäin aukeavan paraabelin mallinen. Paraabelin huipun -koordinaatti sijaitsee nollakohtien puolivälissä. Korkeus saadaan y-koordinaatista Nollakohdat a f 5, 5, tai tai Huipun -koordinaatti Huipun y-koordinaatti y 5, af 5, Aita on,5 m korkea Kukka ei tallaudu, jos hyppyrata on kohdassa = +, =, (m) korkeampi kuin kukkasen korkeus 8 cm =,8 m a y 5,,,,,8 f Vastaus: Aidan korkeus on,5 m. Kukka ei tallaudu. 8
6. Palkka tulee joka päivä kolminketaiseksi päivien määrä,, :, lg lg lg lg : lg lg lg 5 Vastaus: Jasmiinin on työskenneltävä 5 päivää 7 kauppasumma saatava alennus faf kauppasumma korkeintaan, alennus kauppasumma -, alennus % eli, kauppasumma -, alennus 5 % eli,5 kauppasumma yli, alennus % eli, Funktio R, kun faf S,, kun, 5, kun,, kun T Alennus 5 Koska % eurosta on 8, niin alennus on enemmän kuin %. 5 % eurosta on 5, joten alennus lasketaan 5 %:lla 5, 5 :,5 5 5,, ei kelpaa > Yli ostoksesta ei ole kyse, sillä % on jo. Vastaus: 5 alennusta ei saada minkään suuruisesta ostoksesta. 9
HARJOITUSKOE. a) af b) a f tai Vastaus: a), b) ja. a) a f a f a f a fa f b) 9 9 9 8 6 6 6 a f a f a f 8 8
8 8 Vastaus: a) ja,b) ja 5. a) 6 5 5 = 8 b) 7 lg lg 7 lg lg 7 : lg lg 7 lg 77, Vastaus: a), b) lg 7 7, 7 lg. Paraabelin yhtälö on muotoa yy a( ) huippu (, y) (,8) y8 a( ) Paraabelin yhtälön toteuttavat ne pisteet, joiden kautta kuvaaja kulkee. Sijoitetaan piste (, ). y8 a( ), y 8 a () a Paraabelin yhtälö y8 a( ) y8 ( ) y8 a
y8 ( 6 9) 9 y 8 y Vastaus: Paraabelin yhtälö on y 5. päästöt alussa a päästöt lopussa,5a keskimääräinen vuosittainen vähenemiskerroin k k a 5, a : a Prosentti % 9,... % 6,7 % k 5, k 5, k > k,9... Vastaus: Päästöjä on vähennettävä keskimäärin 6,7 % vuodessa a f 6. a) ostosten määrä alennettu hinta f ostokset alle, ei alennusta eli alennettu hinta on sama kuin ostokset ostokset - 5, alennus 5 % eli alennettu hinta % 5 % = 95 % ostoksista ostokset 5 -, alennus % eli alennettu hinta % % = 9 % ostoksista ostokset yli, alennus 5 % eli alennettu hinta 5 % = 85 % ostoksista funktio R a f S T f, kun,95, kun 5,9, kun 5 85,, kun
9 8 7 6 5 y (e) (e) 5 7 9 6 8 b) Jos asiakas maksaa 88, pitää ostoksien maksaa yli 5 Vaihtoehto, 9 88 :,9 Vaihtoehto 88, 9 977,78,85 88 :,85 88,85 5,9 Vastaus: Ostokset maksoivat 977,78 tai 5,9. 7. aika (h) lääkkeen määrä f () ( g) k f( ) Ae, f() 7 k Ae 7 A = 7
k f( ) Ae, f() 8, A7 k 7 e 8 : 7 e k 8 7 8 k ln : () 7 k 8 ln 7 a f Ae k f f af 5 7e 7 8 ln 7 5 e ln Vastaus: A = 7, k 8 7 5 (g) 8 ln, viiden tunnin kuluttua ainetta 5 mikrogrammaa 7 HARJOITUSKOE. a) 5 5 6 5 a f a f a f 5 6 6 a f a fa f b) afa f a f a f a f
Vastaus: a) = tai = 5, b) = tai = b g. a), 7, kulmakerroin suoran yhtälö b g 7, y k y b a f a f g 7 7 5 b g b g yy k k 5,, y, 7 y7 5af y 5 b) Suorat ovat yhdensuuntaiset, kun kulmakertoimet ovat samat suoran y kulmakerroin y y k suoran yhtälö yy kbg k, b, ygb, g y af y Vastaus: a) y 5,b)y. Vaaka-akselina aika, pystyakselina etäisyys kävely aika - min min = h, nopeus 6 km/h 6 etäisyys työpaikalta 6 6 km, km bussi aika min, eli min - min etäisyys työpaikalta hetkellä min on, km + 5 km = 6, km pyöräily matka km, nopeus km/h aikaa kuluu h = 6 min min 5
etäisyys työpaikalta hetkellä min + min = min on 6, km + km =, km 5 5 etäisyys (km) (; 6,) (;,) 5 (;,) t (min) 5 6 Vastaus: Kotimatka kesti minuuttia ja oli, kilometrin pituinen. d k t, k > d k t 9 k 6 9 k 6 : 6 k 9 6 d 9 (mm), t 6 (d) varren paksuus, kun t = d ja k 9 6 d k t 9 9 5 (mm) 6 6 Vastaus: Paksuus 5 mm 6
5. vuodet lainan korkokerroin % + 5 % = 5 % =,5 lainan 5 korkokerroin % +,5 % =,5 % =,5, 5 5, 5 5 5, lg 5, 5, 5 lg lg 5, lg F HG F HG F HG lg 9, 5 5, 5 5, 5 5 5 5, 5 lg 5, 5 I KJ I KJ I KJ : : lg,5 Vastaus: 9, vuotta 6. Paraabelin yhtälö on muotoa yy a( ) huippu (, y),, 8 8 y a( ) 8 Paraabelin yhtälön toteuttavat ne pisteet, joiden kautta kuvaaja kulkee. Sijoitetaan piste (, ). y a( ) 8, y a ( ) 8 9 9 9 a : 8 6 6 a Paraabelin yhtälö y a( ) 8 a 7
y ( ) 8 y ( )( ) 8 y 8 6 y 8 8 y Nollakohdat a f 5, 756... Positiivisen nollakohdan likiarvo 5, 756... 8, 6 Vastaus: y, nollakohta,86 7. Malli ei voi vastata todellisuutta, jos sen antama todennäköisyys on yli %. Lasketaan millä v:n arvolla todennäköisyys R(v) on %. e, v =,v = ln ln v,5, Koska eksponenttifunktion arvot kasvat, kun muuttuja kasvaa, saadaan mallista yli %:n arvoja, kun v >,5 (promillea). Todennäköisyys, kun veressä on,5 promillea alkoholia,,5 R(,5) e,9 (%) Alkoholia veressä, jos mallin mukaan todennäköisyys on 5 prosenttia 8
,v e 5,v ln5 ln5 v, 7, Vastaus: Malli ei voi vastata todellisuutta, jos v on yli,5 promillea. Mallin mukainen todennäköisyys on,9 %, jos veressä on,5 promillea alkoholia. Alkoholia on veressä,7 promillea, jos mallin mukaan todennäköisyys on 5 prosenttia 9