MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa sopiva lavennus. b) ( x 2 x 2 4 ), x 2 4 c) x 0 + x. x Ratkaisu : a) 3 + x = 4 = 2 x b) Muistetaan, että (a + b)(a b) = a 2 b 2. Sievennetään lauseke ensin: x 2 4 x 2 4 = x + 2 (x 2)(x + 2) 4 (x 2)(x + 2) = x 2 (x 2)(x + 2) = x + 2 ja otetaan sitten raja-arvo x 2 x + 2 = 4. c) Vastaavasti ( + x )( + x + ) = + x = x, joten + x x = x x( + x + ) = + x + ja x 0 + x + = 2. Samaan tulokseen päästään myös L Hospitalin säännöllä: Jos x a f(x) = x a g(x) = 0 niin x a f(x)/g(x) = x a f (x)/g (x). Lasketaan tarkistuksen vuoksi käyttäen tätä sääntöä: D( + x ) Dx = D( + x) 2 = 2 + x
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 ja nyt x 0 2 + x = 2. Ratkaisu 2: Jos f(x) x 0 g(x) = L 0, niin pisteen x = 0 lähistöllä pätee f(x) Lg(x). Sovella tätä tulosta edellisen tehtävän c)- kohdan raja-arvoon ja johda sen avulla approksimaatio + x.... Päättele tämän avulla lukujen,0 ja 0,99 likiarvot ilman laskinta. Edellisestä tehtävästä saatiin: x 0 +x x =, joten pisteen x = 0 lähistöllä 2 + x 2 x + x 2 x +. Tästä saadaan:,0 = + 0,0 0,5 0,0 + =,005 (vrt. laskimella saatu likiarvo,004988) ja 0,99 = 0,0 0,5 ( 0,0) + = 0,995 (vrt. laskimella saatu likiarvo 0,99499). Toisaalta huomataan, että 0 = 00,0 = 0,0 0, 05. Tehtävä 3: Derivaatan määritelmän mukaan raja-arvo f(x + h) f(x) h 0 h on funktion f derivaatta f (x), jos se on olemassa. Laske tämän perusteella funktion f(x) = /x derivaatta, kun x 0.. Ratkaisu 3: Tehtävänä on siis laskea erotusosamäärän raja-arvo funktiolle f(x) = /x. Saadaan h 0 x+h x h = h 0 = x 2. x (x+h) x(x+h) x(x+h) h x x h = h 0 x(x + h)h = h 0 x(x + h) 2
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Tehtävä 4: Onko funktio jatkuva pisteessä x = 0? Perustele. a) f(x) = { (x 2 + ) cos x, x 0, 2e x sin x, x > 0. b) g(x) = { (x 3 + ) cos 2 x, x < 0, e x 2 sin x, x 0. Ratkaisu 4: Funktio on jatkuva pisteessä x = 0, jos sen toispuoleiset raja-arvot nollaa lähestyttäessä ovat yhtä suuret a) { (x 2 + ) cos x, x 0, f(x) = 2e x sin x, x > 0. ja + ) cos x = + ) cos(0) = x 0 (x2 x 0 (02 Täten funktio ei ole jatkuva. sin x) = sin(0)) = 2 x 0 +(2ex x 0 +(2e0 2 b) ja g(x) = { (x 3 + ) cos 2 x, x < 0, e x 2 sin x, x 0. + ) cos 2 x = + ) cos 2 (0) = x 0 (x3 x 0 (03 2 sin x) = 2 sin(0)) = x 0 +(ex x 0 +(e0 Täten funktio on jatkuva. = 3
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Tehtävä 5: Tarkastellaan funktion f(x) = x 2 jatkuvuutta pisteessä x = jatkuvuuden ε δmääritelmällä. Muodosta konkreettinen lauseke δ:lle ε:n funktiona esitettynä. Ratkaisu 5: Muistetaan, että jos funktiolla on raja-arvo pisteessä x n niin se on jatkuva tässä pisteessä, eli: x x n f(x) = f(x n ) siis tässä tapauksessa: x x2 = Epsilon-delta määritelmän mukaan: Kun valitaan ε > 0, niin täytyy olla olemassa δ > 0 siten, että jos x < δ niin x 2 < ε. Toisin sanoen, kun x-akselilla x:n etäisyys pisteestä on pienempi kuin δ, niin silloin funktion etäisyys raja-arvosta on pienempi kuin ε. Ratkaistaan δ:lle lauseke ε:n funktiona hyödyntäen x 2 < ε epäyhtälöä: x 2 = (x )(x + ) = x x + < ε Huomataan, että yhtälössä on termi x, joka on sama termi kuin epäyhtälössä x < δ. Tämä tarkoittaa sitä, että millä tahansa ε:lla x termi on aina pienempi kuin ε. Voidaan siis sanoa, että tämä termi on kontrollissa. Tutkitaan siis tulon x x + termiä x +, jotta tiedämme, että itseisarvojen tulo on pienempi kuin ε. Tiedetään, että kun x, niin x termistä tulee hyvin pieni ja x + kasvaa kohti arvoa 2. Etsitään nyt x + termille yläraja valitsemalla sellainen δ, jolla epäyhtälö x 2 < ε pysyy voimassa: x < δ δ < x < + δ Valitaan yksinkertaisuuden vuoksi δ, eli x voi olla avoimella välillä ]0, 2[. Tällöin: x + on aina pienempi kuin 2 + = 3. Itseisarvojen tulo voidaan siis kirjoittaa muotoon: x x + < x 3 < ε Tästä saadaan: x < ε 3 Muistetaan, että alussa oltiin määritelty x < δ. Nyt jos x < ε, niin voimme valita δ:n 3 lausekkeeksi δ = ε. 3 Tämä lauseke toimii kuitenkin vain niin kauan kun δ = ε. Esim. Jos ε = 5, niin δ = 5, jolloin 3 epäyhtälö x + < 3 ei pätisi, sillä se oltiin määritelty kun δ. Tästä syystä δ:n lausekkeeksi valitaan: min( ε 3, ) eli pienempi näistä kahdesta arvosta. 4
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Tehtävä 6: Oletetaan, että f : R R ja g : R R ovat jatkuvia. Perustele jatkuvuuden jonomääritelmän avulla, että niiden tulo fg sekä yhdistetty funktio f g, jossa (f g)(x) = f(g(x)), ovat jatkuvia. Ratkaisu 6: Jatkuvuuden jonomääritelmä: Funktio f on jatkuva sen määrittelyjoukkoon kuuluvassa pisteessä x 0, jos jokaisen jonon (x n ) jokainen termi x n kuuluu funktion f määrittelyjoukkoon A ja x n = x 0. Tämä takroittaa sitä, että aina kun jono suppenee määritteljoukossa A se suppenee myös arvojoukossaan. Toisin sanoen voimme joko ensin selvittää raja-arvon ja sitten käyttää funktiota, tai käyttää ensin funktiota ja sitten selvittää raja-arvon, eli: f(x n ) = f( x n ) Hyödynnetään nyt tätä raja-arvo ominaisuutta ja raja-arvojen laskusääntöjä, kun tiedetään, että funktiot ovat jatkuvia. funktioiden tulo fg [f(x n )g(x n )] = f(x n ) g(x n ) = f( x n )g( x n ) = f(x 0 )g(x 0 ) Yhdistetty funktio f g g(f(x n )) = g( f(x n )) = g(f( x n )) = g(f(x 0 )) Derivaatta, L Hospitalin sääntö ja ääriarvot Palautettava tehtävä 7: Laske seuraavien funktioiden derivaatat kohdassa x = : f(x) = (4x 2 3) 5, g(x) = 7 3e x, h(x) = x(ln x cos(πx)). Ratkaisu 7: Muistetaan tulon ja yhdistetyn funktion derivoimissäännöt: (f g) = (f g) g (fg) = f g + fg f(x) = (4x 3) 5 Käytetään yhdistetyn funktion derivoimissääntöä: valitaan ulkofunktioksi f (x) = x 5 ja sisäfunktioksi g (x) = 4x 3. Nyt f (x) = 5x 4 ja g (x) = 4, joten saadaan f (x) = 5 (4x 3) 4 4 = 20 (4x 3) 4 f () = 20. 5
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 g(x) = 7 3e x Käytetään taas yhdistetyn funktion derivoimissääntöä. Valitaan nyt ulkofunktioksi f (x) = x = x 2 ja sisäfunktioksi g 2 (x) = 7 3e x.saadaan f 2(x) = 2 x 2 ja g 2(x) = 3e x, joten 3e x g (x) = 2 (7 3ex ) 2 ( 3e x ) = 2 g () = 3 7 3e x 4. h(x) = x(ln x cos(πx)) Nyt voidaan käyttää tulon derivoimissääntöä (ja trigonometrisiin funktioihin yhdistetyn funktion derivoimissääntöä). Valitaan f 3 (x) = x ja g 3 (x) = ln x cos(πx), jolloin Saadaan f 3(x) = ja g 3(x) = x + π sin(πx). h (x) = ln x cos(πx) + x( x + π sin(πx)) h () = 0 + + + 0 = 2. Palautettava tehtävä 8: a) Laske raja-arvo x sin x x 0 x tan x. cos x b) Voiko L Hospitalin sääntöä käyttää raja-arvon x 0 x laskemiseen? Ratkaisu 8: a) x 0 (x sin x) = 0 ja x 0 (x tan x) = 0, joten voidaan käyttää L Hôpitalin sääntöä. Osoittajan ja nimittäjän derivaatat ovat: d (x sin x) = cos x, dx d (x tan x) = dx cos 2 x = cos2 x cos 2 x. 6
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 L Hôpitalin säännöllä saadaan nyt x sin x x 0 x tan x = cos x x 0 cos 2 x cos2 x cos x = ( ) x 0 (cos x )(cos x + ) cos2 x = x 0 cos x + cos2 x = 2. b) L Hôpitalin sääntö vaatii että f(x) = g(x) = 0 tai ±. x a+ x a+ Koska x 0 cos x = 0 niin L Hôpitalin sääntöä ei voida käyttää. Jos sääntöä sovellettaisiin niin vastaukseksi tulisi f (x) x 0 g (x) = sin x x 0 = 0, vaikka todellisuudessa funktion toispuoleiset raja-arvot ovat ±. Palautettava tehtävä 9: Määritä ne välit, joilla funktio f(x) = x 3 (5 x) 2 on kasvava / vähenevä Ratkaisu 9: Derivoidaan f(x) ja etsitään derivaatan nollakohdat f (x) = 3x 2 (5 x) 2 2x 3 (5 x) = x 2 (5 x)(3(5 x) 2x) = x 2 (5 x)(5 5x) = 5x 2 (5 x)(3 x). Nollakohdat ovat siis x = 0, x = 3 ja x = 5. Derivaatan merkki nollakohtien välillä voidaan laskea tai katsoa funktion kuvaajasta??. x < 0 0 < x < 3 3 < x < 5 x > 5 f (x) + + - + f(x) 7
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 250 200 50 00 50-2 3 4 5 6-50 - 00 Kuva : Tehtävän kolme f (x):n kuvaaja. Palautettava tehtävä 0: Poikkileikkaukseltaan suorakulmion muotoisen vaakasuoran palkin taivutusjäykkyys pystysuorassa suunnassa on suoraan verrannollinen sen leveyden ja korkeuden kuution tuloon, ts. se on muotoa c xy 3, missä c > 0 on vakio. Määritä jäykimmän mahdollisen palkin leveys ja korkeus, kun se sahataan R-säteisestä tukista. Ratkaisu 0: R-säteisestä tukista (kuva) sahataan suorakulmaisen särmiön muotoinen palkki, jonka leveys on x ja korkeus y. Tukista halutaan mahdollisimman jäykkä, ja palkin jäykkyys on muotoa cxy 3, missä c on positiivinen vakio. Selvää lienee, kun leveys ja korkeus x ja y ovat positiivisia lukuja, että ympyrän muotoisesta tukin poikkileikkauksesta kannattaa leikata niin suuri pala, kuin suinkin onnistuu, jotta cxy 3 olisi mahdollisimman suuri. Tällöin kuvan ja Pytagoraan lauseen perusteella on ( x ) 2 ( y ) 2 + = R 2 x 2 + y 2 = 4R 2 x 2 = 4R 2 y 2. (0.) 2 2 y y/2 x/2 R x Kuva 2: R-säteinen tukki, josta palkki sahataan. 8
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Koska x, y ja c ovat kaikki positiivisia, huomataan, että cxy 3 saa maksiminsa samassa pisteessä kuin funktio (xy 3 ) 2 = x 2 y 6 = (4R 2 y 2 )y 6 = 4R 2 y 6 y 8 = f(y). Maksimoidaan siis tätä funktiota etsimällä ensin derivaatan nollakohdat: f (y) = 6 4R 2 y 5 8y 7 = 24R 2 y 5 8y 7 = 0 3R 2 y 5 y 7 = 0 y = 0 tai 3R 2 = y 2 y = 0 tai y = ± 3R. Tutkitaan derivaatan merkkiä ja muistetaan, että korkeus y on positiivinen luku ja että < 3 < 2. f (R) = 24R 2 R 5 8 R 7 = 24R 7 8R 7 = 6R 7 > 0, f (2R) = 24R 2 (2R) 5 8 (2R) 7 = 24R 2 32R 5 8 28R 7 = 256R 7 < 0. y 0 < y < 3R y > 3R Näistä saadaan merkkikaavio: f (y) + - f(y) Funktio f ja siis palkin jäykkyys maksimoituu, kun y = 3R. Lasketaan vielä tätä vastaava x:n arvo yhtälöstä (??): x 2 = 4R 2 y 2 = 4R 2 3R 2 = R 2 x = R. Ratkaisu x = R voidaan tässä hylätä, sillä tiedettiin, että x, y ja x ovat positiivisia lukuja. 9